§9 Экстремум функции двух переменных. Определение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных

§ Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных - страница №1/1

§ 8. Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.

1. Экстремумы функций нескольких переменных.

Точка
называется точкой максимума функции
, если для любой точки

выполняется неравенство

.

Аналогично точка
называется точкой минимума функции
, если для любой точки
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство

.

Замечания . 1) По смыслу определений функция
должна быть определена в некоторой окрестности точки
. Т.е. точкой максимума и точкой минимума функции
могут быть только внутренние точки области
.

2) Если существует окрестность точки
, в которой для любой точки
отличной от
выполняется неравенство

(

), то точку
называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума ) функции
. В связи с этим, определенные выше точки максимума и минимума называют иногда точками нестрого максимума и минимума.

Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке
сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках. В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько минимумов, несколько максимумов и даже бесчисленное множество и тех и других. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов. Не следует смешивать максимумы и минимумы функции с ее наибольшим и наименьшим значениями.

Найдем необходимое условие экстремума. Пусть, например,
– точка максимума функции
. Тогда по определению существует gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-окрестность точки
такая, что
для любой точки
из этой окрестности. В частности,

(1)

где
,
, и

(2)

где
,
. Но (1) означает, что функция одной переменной
имеет в точке максимум или является на интервале
постоянной. Следовательно,

или
– не существует,

⇒
или
– не существует.

Аналогично из (2) получаем, что

или
– не существует.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.1. (необходимые условия экстремума). Если функция
в точке
имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.

Геометрически теорема 8.1 означает, что если
– точка экстремума функции
, то касательная плоскость к графику этой функции в точке либо параллельна плоскости
, либо вообще не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, как найти уравнение касательной плоскости к поверхности (см. формулу (4.6)).

Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 8.1, называются критическими точками функции
. Также как и для функции одной переменной, необходимые условия экстремума не является достаточным. Т.е. не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.

ПРИМЕР. Рассмотрим функцию
. Точка
является для этой функции критической, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка
и
равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно,
, но в любой окрестности точки
есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.

Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.2. (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть
– критическая точка функции
и в некоторой окрестности точки
функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим

,
,
.

Тогда 1) если
, то точка
не является точкой экстремума;


Если с помощью теоремы 8.2 исследовать критическую точку
не удалось (т.е. если
или функция вообще не имеет в окрестности точки
непрерывных частных производных нужного порядка), ответ на вопрос о наличии в точке
экстремума даст знак приращения функции в этой точке.

Действительно, из определения следует, что если функция
имеет в точке
строгий максимум, то

для всех точек
из некоторой окрестности точки
, или, иначе

при всех достаточно малых
и
. Аналогично, если
– точка строгого минимума, то при всех достаточно малых
и
будет выполняться неравенство
.

Таким образом, чтобы выяснить, является ли критическая точка
точкой экстремума, необходимо исследовать приращение функции в этой точке. Если при всех достаточно малых
и
оно будет сохранять знак, то в точке
функция имеет строгий экстремум (минимум, если
, и максимум, если
).

Замечание . Правило остается верным и для нестрого экстремума, но с поправкой, что при некоторых значениях
и
приращение функции будет нулевым
ПРИМЕР. Найти экстремумы функций:

1)
; 2)
.

Для исследования критических точек применим теорему 8.2. Имеем:

,
,
.

Исследуем точку
:

,
,
,

;
.

Следовательно, в точке
данная функция имеет минимум, а именно
.

Исследуем критическую точку
:

,
,
,


.

Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.

Для исследования критической точки применим теорему 8.2. Имеем:

,
,
,

,
,
,

.

Установить наличие или отсутствие экстремума в точке
с помощью теоремы 8.2 не удалось.

Исследуем знак приращения функции в точке
:

Если
, то
;

если
, то
.

Поскольку
не сохраняет знак в окрестности точки
, то в этой точке функция не имеет экстремума.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

.

Аналогично значение функции в точке
называется наименьшим , если для любой точки
из области
выполняется неравенство

.

Ранее, мы уже говорили, что если функция непрерывна, а область
– замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. При этом точки
и
могут лежать как внутри области
, так и на ее границе. Если точка
(или
) лежит внутри области
, то это будет точка максимума (минимума) функции
, т.е. критическая точка функции внутри области
. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
в области
нужно:
.

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функцияz=z(x,y) , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z (x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахождения M и m .
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D .
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D , ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху .

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .

Граница Г области D состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D :

3. Стационарные точки на границах l 1 , l 2 , l 3 :

4. Вычисляем шесть значений:

Примеры

Пример 1.

Данная функция определена при всех значениях переменных x и y , кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху , исключая начало координат.

Пример 2.

Исследовать на непрерывность функцию z=tg (x,y) . Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π /2 , т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

Пример 3.

Найти частные производные функции u=z -xy , z > 0 .

Пример 4.

Показать, что функция

удовлетворяет тождеству:

– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z) , кроме точки М 0 (a;b;c) .

Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z" x =f" x (х,у) и z" y =f" y (х,у) .

В этом случае уравнение z=f (х,у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскость y = const . В сечении этой плоскостью поверхности z=f (х,у) получится некоторая линия l 1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z .

Частная производная z" x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох , касательной L 1 к кривой l 1 , получающейся в сечении поверхности z=f (х,у) плоскостью y = const в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgα .

В сечении же поверхности z=f (х,у) плоскостью х = const получится линия пересечения l 2 , вдоль которой изменяются лишь величины у и z . Тогда частная производная z" y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу , касательной L 2 к указанной линии l 2 пересечения в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgβ .

Пример 5.

Какой угол образует с осью Ох касательная к линии:

в точке М(2,4,5) ?

Используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у ):

Пример 6.

Согласно (1.31):

Пример 7.

Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z" x , z" y .

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

Пример 8.

Исследовать на экстремум:

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки.
2.

по теореме 1.4 в точке – минимум.

Причём

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Список литературы:

ü Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.

ü Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

ü Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

ü Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

ü Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.

Наибольшее и наименьшее значения

Функция, ограниченная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.

Для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции необходимо:

1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить в них значение функции.

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области.

3. Сравнить все полученные значения функции: самые большее (меньшее) и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в данной области.

Пример 2 . Найти наибольшее (наименьшее) значение функции: в круге .

Решение .

точка стационарная; .

2 .Границей данной замкнутой области является окружность или , где .

Функция на границе области становится функцией одной переменной: , где . Найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции.

При x=0 ; (0,-3) и (0,3)- критические точки.

Вычислим значения функции на концах отрезка

3 . Сравнивая между собой значения получаем,

В точках Aи B.

В точках C и D.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, заданной неравенством:

Решение . Область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой x+y=1.

1. Находим стационарные точки внутри области:

; ; у = - 1/ 8 ; х = 1/ 8.

Стационарная точка не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение z в ней не вычисляем.

2 .Исследуем функцию на границе. Так как граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями, то исследуем функцию на каждом участке отдельно:

а ) на участке 0A: y=0- уравнение 0A, тогда ; из уравнения видно, что функция возрастает на 0A от 0 до 1. Значит .

б ) на участке 0B: x=0 - уравнение 0B, тогда ; –6y+1=0; - критическая точка.

в ) на прямой x+y = 1: y=1-x, тогда получим функцию

Вычислим значение функции z в точке B(0,1).

3 .Сравнивая числа получаем, что

На прямой AB.

В точке B.

Тесты для самоконтроля знаний.

1 . Экстремум функции - это

а) ее производные первого порядка

б) ее уравнение

в) ее график

г) ее максимум или минимум

2. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться:

а) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка больше нуля

б) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка меньше нуля

в) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка не равны нулю

г) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка равны нулю

3. Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений:

а) в стационарных точках

б) или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области

в) в точках, лежащих на границе области

г) во всех точках

4. Стационарными точками для функции нескольких переменных называются точки:

а) в которых все частные производные первого порядка не равны нулю

б) в которых все частные производные первого порядка больше нуля

в) в которых все частные производные первого порядка равны нулю

г) в которых все частные производные первого порядка меньше нуля

Лекция 28. Исследование на экстремум функций нескольких переменных. Условный экстремум функций нескольких переменных.

Исследование функций многих переменных на экстремум – процедура гораздо более сложная, чем аналогичная процедура для функций одной переменной. Поэтому ограничимся рассмотрением этого вопроса на наиболее простом и наглядном примере функции двух переменных (см рис.1). Здесь M 1 (x 1 ; y 1 ), M 2 (x 2 ; y 2 ), M 3 (x 3 ; y 3 )– точки экстремума этой функции. А именно, точки М 1 и М 3 – точки минимума функции, а точка М 2 – точка ее максимума. На рис.1 представлена функция с тремя точками экстремума, но этих точек, естественно, может быть и больше, и меньше.

Определим более точно, что такое точки экстремума для функции двух переменных.

Определение . Функция имеет максимум (минимум ) в точке , если для любой точки , находящейся в некоторой окрестности - окрестности точки , выполняется (). - окрестность можно представить множеством точек , координаты которых удовлетворяют условию , где - положительное достаточно малое число.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами , а - экстремальной точкой .

Пусть M 0 (x 0 ; y 0 )– точка какого-либо экстремума (точка максимума или точка минимума) функции . Тогда справедлива

Теорема 1.

Если в точке экстремума M 0 (x 0 ; y 0 ) существуют частные производные и , то обе они равны нулю:

2) Рассмотрим теперь функцию . Так как – экстремальное значение этой функции, то производная этой функции при y = y 0 , если она существует, равна нулю:

Теорема доказана.

Заметим, что условия (1) являются лишь необходимыми условиями экстремума в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) дифференцируемой в этой точке функции . То есть, эти условия не являются достаточными условиями того, что в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) функция будет иметь экстремум (максимум или минимум). Иначе говоря, точка M 0 (x 0 ; y 0 ), в которой выполняются оба равенства (1), является лишь подозрительной на экстремум точкой для функции . Окончательный вывод о характере такой подозрительной на экстремум точки можно сделать с помощью следующей теоремы (приведем ее без вывода):

Теорема 2. (Достаточные условия экстремума )

Пусть M 0 (x 0 ; y 0 ) – такая точка из области D определения функции , что для нее выполняются необходимые условия (1) экстремума этой функции. То есть M 0 (x 0 ; y 0 ) – подозрительная на экстремум точка. Найдем в этой точке числа

1) Если > 0 и > 0 (или С>0 при А=0 ), то M 0 (x 0 ; y 0 ) – точка минимума функции .

2) Если > 0 и < 0 (или С<0 при А=0 ), то M 0 (x 0 ; y 0 ) – точка максимума функции .

3) Если < 0, то точка M 0 (x 0 ; y 0 ) – не точка экстремума функции .

4) Если = 0, то вопрос остается открытым – нужно дополнительное исследование.

Пример 1. Пусть х и у – количества двух произведенных товаров; p 1 = 8 руб. и p 2 = 10 руб. – цена единицы каждого из этих товаров соответственно; C = 0,01(x 2 + xy+ y 2 ) – функция затрат (в рублях) на производство этих товаров. Тогда доход R от продажи товаров составит R = 8x+10y (руб.), а прибыль П составит (в рублях)

П = R – C = 8x + 10y – 0,01(x 2 +xy+y 2 ).

Найдем объемы х и у товаров, при которых прибыль П будет максимальной.

1) Сначала найдем значения (х;у ), подозрительные на экстремум для функции П:

2) Теперь исследуем найденную подозрительную на экстремум для функции П точку М 0 (200; 400). Для этого найдем в этой точке значения , определяемые выражениями (4). Так как

и это верно для любых (х; у ), а значит, и в точке М 0 (200; 400), то

Так как а то точка М 0 (200; 400) – точка максимума функции П . То есть прибыль П от продаж будет максимальной при х = 200 (ед) и у = 400 (ед) и равна 2800 руб.

Пример 2. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение. Данная функция – функция двух переменных, определенная для любых х и у , то есть на всей плоскости хоу , и имеющая в каждой ее точке частные производные первого порядка:

Сначала найдем точки плоскости хоу , подозрительные на экстремум для данной функции :

Затем, найдя частные производные второго порядка от функции , запишем выражения для :

Вычисляя теперь числовые значения этих величин для каждой из четырех подозрительных на экстремум точек, получим следующие выводы об этих точках:

Точка min .

Точка max .

Не точка экстремума.

Не точка экстремума.

Теперь найдем два экстремальных (максимальных) значения функции , определяющие высоту двух вершин графика этой функции:

Определение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть – некоторая непрерывная функция двух переменных, рассматриваемая в замкнутой области , где – внутренняя часть области , а Г – ее граница (рис. 8.6).

То, что функция непрерывна в области , означает, что график этой функции (поверхность в пространстве) является сплошной (без разрывов) поверхностью для всех . То есть понятие непрерывности функции двух переменных аналогично понятию непрерывности функции одной переменной. Как и функции одной переменной, функции двух переменных, образованные из элементарных функций, непрерывны для всех значений своих аргументов, для которых они определены. Это касается и функций трех, четырех и более переменных.

Вернемся к рис. 2. Поставим следующий вопрос: в каких точках области функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений z наиб и z наим ? И каковы эти значения? Заметим, что эта задача аналогична той, что была рассмотрена для функции одной переменной , рассматриваемой на замкнутом отрезке [a; b ] оси ох .

Очевидно, что искомые точки области , в которых функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений, содержатся либо среди точек экстремума этой функции, находящихся внутри области (в области ), либо находятся где-то на границе Г этой области. В замкнутой области такие точки заведомо найдутся (теорема Вейерштрасса). А в открытой области (без границы Г ) таких точек может и не быть.

Из сказанного выше вытекает следующая схема нахождения этих точек , аналогичная той, что была изложена для функций одной переменной.

1. Находим все подозрительные на экстремум точки функции , находящиеся в области D . Это – те точки, в которых обе частные производные и равны нулю (или одна равна нулю, а другая не существует; или обе не существуют).

2. Находим все подозрительные на экстремум точки функции , находящиеся на границе Г области . При этом используем уравнение границы Г .

3. Не исследуя найденные в пунктах 1 и 2 подозрительные точки (это излишне), находим значения функции во всех найденных подозрительных точках и выбираем те из них, где z будет наибольшим и наименьшим.

Пример 3. Найти z наиб и z наим функции , рассматриваемой в замкнутой области , представляющей собой треугольную пластинку с вершинами O (0; 0), A (1; 0), B (0; 1)(рис. 3).

Решение. Выполним изложенную выше схему.

1. Найдем внутри треугольника (в области D ) точки, подозрительные на экстремум для нашей функции z . Для этого сначала найдем частные производные первого порядка и :

Эти производные существуют (их можно вычислить) для любых (х; у) . Следовательно, точками, подозрительными на экстремум, будут лишь те, для которых обе эти частные производные равны нулю:

Точка , очевидно, принадлежит области D (рассматриваемому треугольнику). То есть она – подозрительная на экстремум точка для заданной функции z внутри треугольника, причем она там единственная.

2. Найдем теперь точки, подозрительные на экстремум, на границе треугольника.

а) Исследуем сначала участок ОА границы (у = 0; 0 £ х £ 1). На этом участке – функция одной переменной х . Ее производная существует для всех x Î . Поэтому свои экстремальные значения функция z может иметь или в точке, где , то есть в точке , или на концах отрезка ОА , то есть в точках О (0; 0) и А (1; 0).

б) Исследуем теперь участок ОВ границы треугольника (там х = 0; 0 £ у £ 1). На этом участке функция (0 £ у £ 1) – функция одной переменной у . Повторяя рассуждения пункта (а), приходим к выводу, что свои экстремальные значения функция z может иметь или в точке , или на концах отрезка ОВ , то есть в точках О (0; 0) и B (0; 1).

в) Наконец, исследуем участок АВ границы. Так как на AB (убедитесь в этом) у = - х + 1 (0 £ х £ 1), то там функция z принимает вид: (0 £ х £ 1). Ее производная , поэтому своих экстремальных значений функция z может достигать лишь в точке, где , то есть в точке , либо на концах отрезка АВ , то есть в точках А и В .

Итак, полный набор подозрительных на экстремум точек функции
в треугольнике ОАВ таков:

; ; ; ; ; ; .

3. А теперь найдем значения функции z во всех найденных подозрительных точках и выберем из этих значений наибольшее значение z наиб и наименьшее значение z наим :

Таким образом, z наиб = 3 и достигается функцией z в треугольнике ОАВ сразу в двух точках – в его вершинах А и В . А и достигается функцией z в треугольнике ОАВ в его внутренней точке .

Пример 4. Городской бюджет имеет возможность потратить на социальное жилье не более 600 млн. рублей, располагая при этом проектами и участками земли под 10 пятиэтажных домов на 90 квартир каждый и под 8 девятиэтажных домов на 120 квартир каждый. Средняя сметная стоимость одной квартиры в пятиэтажном доме составляет 400 тысяч рублей, а в девятиэтажном 500 тысяч рублей. Сколько пятиэтажных и сколько девятиэтажных домов должен построить город, чтобы получить максимальное число квартир?

Решение. Пусть х – искомое количество пятиэтажных домов, у – девятиэтажных, а z – общее количество квартир в этих домах:

z = 90x + 120y

Стоимость всех квартир в пятиэтажных домах составит 90 × 0,4·х = 36х млн. рублей, а в девятиэтажных 120 × 0,5·у = 60у млн. рублей. Согласно условиям задачи имеем:

0 £ х £10; 0 £ у £ 8; 36х + 60у £ 600

Данные ограничительные неравенства выполняются, очевидно, в пятиугольнике (рис.4). В этой замкнутой области нужно найти точку М(х; у) , для которой функция z = 90x + 120y примет наибольшее значение z наиб .

Реализуем изложенную выше схему решения такого рода задач.

1. Найдем внутри пятиугольника точки, подозрительные на экстремум для функции z . Так как , и эти частные производные заведомо не равны нулю, то подозрительных на экстремум точек внутри пятиугольника нет.

2. Найдем точки, подозрительные на экстремум, на границах пятиугольника. На каждом из пяти отрезков, составляющих границу пятиугольника, функция z – линейная функция вида z = ax + by , а следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений она достигает на границах отрезков. То есть искомое наибольшее значение z наиб функция z достигает в одной из угловых точек (О; А; М 1 ; М 2 ; В) . Вычисляя значение z в этих точках, получим:

z (О ) = 0; z(A ) = 960; z(M 1 ) = 1260; z(M 2 ) = 1380; z(B ) = 900.

Таким образом z наимб = 1380 и достигается оно в точке M 2 (10; 4). То есть наибольшее число квартир (1380) получится, если будут построены 10 пятиэтажных домов и 4 девятиэтажных.

Пример 5 . Доказать, что из всех треугольников, имеющих данный периметр 2р, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.М(2p/3, 2p/3), т.к. остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи: не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра.

Исследуем на экстремум точку М(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B 2 = ;

D>0 , а т.к. А<0 , то в исследуемой точке функция достигает максимума. Итак, в единственной стационарной точке функция достигает максимума, а потому и наибольшего значения; таким образом, при х=2p/3, y=2p/3 функция достигает и наибольшего значения. Но тогда z=2p-x-y=2p/3 . А т.к. х=у=z , то треугольник – равносторонний.

И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:

Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой) . На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д. , но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.

Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными) ; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».

Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые ) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:


Эту же область можно задать и линейными неравенствами : , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой .
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие .

А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность , и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса , непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках , принадлежащих области D , либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:

Пример 1

В ограниченной замкнутой области

Решение : прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:

Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:

I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных :

Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже) , а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:

– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.

Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума . Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума , то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах ) .

Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.

II) Исследуем границу области.

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:

1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:

Как вариант, можно оформить и так:

Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится :

– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже) функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:

Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже) :

Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :

2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:

Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.

Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:

– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :

Исследуем второй конец отрезка :

Используя функцию , выполним контрольную проверку:

3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:

Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.

Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :

– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:

Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :

Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.

И заключительный шаг : ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:

из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .

В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка .

Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .

Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.

Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:

– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.

– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них , которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!

– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще) . Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!

– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что

Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:

Пример 4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:

Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)

Решение , как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:

Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….

I) Найдём стационарные точки:

Система-мечта идиота:)

Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.

А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)

II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:

1) Если , то

Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:

Вычислим значения функции на концах отрезка:

2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :

Контроль:

Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:

Решаем квадратное уравнение , помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:


Вычислим значения функции в найденных точках:

Проверку по функции проведите самостоятельно.

Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ :

Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!

Для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области

Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».

Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа , но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!

Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : изобразим область на чертеже: