§9 Extrém funkce dvou proměnných. Určení největší a nejmenší hodnoty funkce dvou proměnných v uzavřené oblasti. Největší a nejmenší hodnota funkce více proměnných.

§ Extrémy, Maximální a minimální hodnoty funkcí více proměnných - strana č. 1/1

§ 8. Extrémy. Největší a nejmenší hodnoty funkcí několika proměnných.

1. Extrémy funkcí více proměnných.

Tečka
volal maximální bod funkcí
, pokud za nějaký bod

nerovnost platí

.

Stejně tak bod
volal minimální bod funkcí
, pokud za nějaký bod
z nějakého sousedství bodu
nerovnost platí

.

Poznámky. 1) Podle definic funkce
musí být definován v nějakém sousedství bodu
. Tito. maximální a minimální body funkce
mohou existovat pouze vnitřní body regionu
.

2) Pokud existuje okolí bodu
, ve kterém pro jakýkoli bod
odlišný od
nerovnost platí

(

), pak pointa
volal přísný maximální bod (respektive přísný minimální bod ) funkce
. V tomto ohledu se výše definované maximální a minimální body někdy nazývají nepřísné maximální a minimální body.

Koncepty extrémů mají lokální povahu: hodnota funkce v bodě
se porovnává s funkčními hodnotami v poměrně blízkých bodech. V dané oblasti funkce nemusí mít vůbec žádné extrémy, nebo může mít několik minim, několik maxim a dokonce nekonečný počet obou. Navíc některá minima mohou být větší než některá z jejích maxim. Nezaměňujte maximální a minimální hodnoty funkce s jejími maximálními a minimálními hodnotami.

Pojďme najít nezbytnou podmínku pro extrém. Ať např.
– maximální bod funkce
. Pak podle definice existuje gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-okolí bodu
takové, že
za jakýkoli bod
z této blízkosti. Zejména,

(1)

Kde
,
, A

(2)

Kde
,
. Ale (1) znamená, že funkce jedné proměnné
má na místě maximum nebo je na intervalu
konstantní. Proto,

nebo
- neexistuje,

⇒
nebo
- neexistuje.

Podobně z (2) to dostaneme

nebo
- neexistuje.

Platí tedy následující věta.

VĚTA 8.1. (nutné podmínky pro extrém). Pokud je funkce
na místě
má extrém, pak jsou v tomto bodě buď obě jeho parciální derivace prvního řádu rovny nule, nebo alespoň jedna z těchto parciálních derivací neexistuje.

Geometricky Věta 8.1 znamená, že pokud
– extrémní bod funkce
, pak je tečná rovina ke grafu této funkce v bodě buď rovnoběžná s rovinou
, nebo vůbec neexistuje. K ověření si stačí zapamatovat, jak najít rovnici tečné roviny k ploše (viz vzorec (4.6)).

Volají se body splňující podmínky věty 8.1 kritické body funkcí
. Stejně jako pro funkci jedné proměnné nejsou nutné podmínky pro extrém dostatečné. Tito. ne každý kritický bod funkce bude jejím krajním bodem.

PŘÍKLAD. Zvažte funkci
. Tečka
je pro tuto funkci rozhodující, protože v tomto bodě jsou obě její parciální derivace prvního řádu
A
se rovnají nule. Nepůjde však o extrémní bod. Opravdu,
, ale v jakémkoli okolí bodu
existují body, ve kterých funkce nabývá kladných hodnot, a body, ve kterých funkce nabývá záporných hodnot. To lze snadno ověřit, pokud vytvoříte graf funkce - hyperbolický paraboloid.

Pro funkci dvou proměnných jsou nejvýhodnější dostatečné podmínky dány následující větou.

VĚTA 8.2. (dostatečné podmínky pro extrém funkce dvou proměnných). Nechat
– kritický bod funkce
a v nějakém sousedství bodu
funkce má spojité parciální derivace až do druhého řádu včetně. Označme

,
,
.

Pak 1) pokud
, pak bod
není extrémní bod;


Pokud použijeme větu 8.2 ke zkoumání kritického bodu
selhal (tj
nebo funkce nemá v sousedství vůbec žádný smysl
spojité parciální derivace požadovanou objednávku), odpověď na otázku o dostupnosti v místě
extremum dá v tomto bodě znaménko přírůstku funkce.

Z definice totiž vyplývá, že pokud funkce
má na místě
pak přísné maximum

za všechny body
z nějakého sousedství bodu
, nebo jinak

pro všechny dostatečně malé
A
. Stejně tak, pokud
je bod přísného minima, pak pro všechny dostatečně malý
A
nerovnost bude uspokojena
.

Takže zjistit, zda je kritický bod
extrémní bod, je nutné zkoumat přírůstek funkce v tomto bodě. Pokud pro všechny dostatečně malé
A
zachová znaménko, pak v bodě
funkce má přísný extrém (minimální if
, a maximální if
).

Komentář. Pravidlo zůstává platné pro nepřísný extrém, ale s dodatkem, že pro některé hodnoty
A
přírůstek funkce bude nulový
PŘÍKLAD. Najděte extrémy funkcí:

1)
; 2)
.

Ke studiu kritických bodů použijeme větu 8.2. My máme:

,
,
.

Pojďme prozkoumat pointu
:

,
,
,

;
.

Proto v bodě
tato funkce má minimum, totiž
.

Zkoumání kritického bodu
:

,
,
,


.

Druhý kritický bod tedy není extrémním bodem funkce.

Ke studiu kritického bodu použijeme větu 8.2. My máme:

,
,
,

,
,
,

.

Určete přítomnost nebo nepřítomnost extrému v bodě
použití věty 8.2 selhalo.

Prozkoumejme znaménko přírůstku funkce v bodě
:

Li
, Že
;

Li
, Že
.

Protože
nezachovává znaménko v okolí bodu
, pak v tomto bodě funkce nemá extrém.

2. Největší a nejmenší hodnoty funkce.

.

Podobně hodnota funkce v bodě
volal nejmenší , pokud za nějaký bod
z regionu
nerovnost platí

.

Již dříve jsme si řekli, že pokud je funkce spojitá, tak i oblast
– je uzavřená a omezená, pak funkce nabývá svých největších a nejmenších hodnot v této oblasti. Zároveň body
A
mohou ležet oba uvnitř oblasti
a na jeho hranici. Pokud bod
(nebo
) leží uvnitř regionu
, pak to bude maximální (minimální) bod funkce
, tj. kritický bod funkce uvnitř oblasti
. Proto najít největší a nejmenší hodnoty funkce
v oblasti
potřebovat:
.

Věta 1.5 Nechť v uzavřené oblasti D specifikovaná funkce z=z(x,y) , mající spojité parciální derivace prvního řádu. okraj G kraj D je po částech hladký (to znamená, že se skládá z kusů „na dotek hladkých“ křivek nebo rovných čar). Pak v oblasti D funkce z (x,y) dosáhne svého největšího M a nejméně m hodnoty.

Žádný důkaz.

Můžete navrhnout následující plán hledání M A m .
1. Postavíme výkres, vybereme všechny části hranice oblasti D a najděte všechny „rohové“ body hranice.
2. Najděte uvnitř pevné body D .
3. Najděte stacionární body na každé z hranic.
4. Počítáme ve všech stacionárních a rohových bodech a poté vybereme největší M a nejméně m významy.

Příklad 1.14 Najděte největší M a nejméně m funkční hodnoty z = 4x2-2xy+y2-8x v uzavřeném prostoru D , omezené: X = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Postavme plochu D (obr. 1.5) na rovině Ohoo .

Rohové body: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

okraj G kraj D se skládá ze tří částí:

2. Najděte pevné body uvnitř regionu D :

3. Stacionární body na hranicích l 1, l 2, l 3 :

4. Vypočítáme šest hodnot:

Příklady

Příklad 1.

Tato funkce je definována pro všechny hodnoty proměnných X A y , kromě počátku, kde je jmenovatel nulový.

Polynom x 2 + y 2 je všude spojitá, a proto je odmocnina spojité funkce spojitá.

Zlomek bude spojitý všude kromě bodů, kde je jmenovatel nula. To znamená, že uvažovaná funkce je spojitá v celé souřadnicové rovině Ohoo , s výjimkou původu.

Příklad 2

Prozkoumejte spojitost funkce z=tg (x,y) . Tangenta je definovaná a spojitá pro všechny konečné hodnoty argumentu, kromě hodnot rovnající se lichému číslu veličiny π /2 , tj. s výjimkou bodů, kde

Za každou pevnou "k" rovnice (1.11) definuje hyperbolu. Uvažovaná funkce je tedy spojitou funkcí X a y , kromě bodů ležících na křivkách (1.11).

Příklad 3

Najděte parciální derivace funkce u=z -xy , z > 0 .

Příklad 4.

Ukažte tuto funkci

splňuje identitu:

– tato rovnost platí pro všechny body M(x;y;z) , kromě bodu M 0 (a;b;c) .

Uvažujme funkci z=f(x,y) dvou nezávislých proměnných a stanovíme geometrický význam dílčích proměnných z"x =f"x (x,y) A z" y = f" y (x,y) .

V tomto případě rovnice z=f (x,y) existuje rovnice nějaké plochy (obr. 1.3). Nakreslíme rovinu y = konst . V řezu této povrchové roviny z=f (x,y) dostanete nějakou linku l 1 průsečík, podél kterého se mění pouze veličiny X A z .

Parciální derivace z"x (jeho geometrický význam přímo vyplývá ze známého geometrického významu derivace funkce jedné proměnné) je číselně roven tangenci úhlu α sklon vzhledem k ose Ach , tečna L 1 do křivky l 1 , což vede k části povrchu z=f (x,y) letadlo y = konst na místě M(x,y,f(xy)): z" x = tanα .

V řezu povrchu z=f (x,y) letadlo X = konst získáte průsečíkovou čáru l 2 , podél kterého se mění pouze veličiny na A z . Pak parciální derivace z y číselně rovna tečně úhlu β sklon vzhledem k ose OU , tečna L 2 na zadaný řádek l 2 křižovatky v bodě M(x,y,f(xy)): z" x = tanp .

Příklad 5.

Jaký úhel svírá s osou? Ach tečna k přímce:

na místě M(2;4;5) ?

Používáme geometrický význam parciální derivace vzhledem k proměnné X (konstantně na ):

Příklad 6.

Podle (1.31):

Příklad 7.

Za předpokladu, že rovnice

implicitně definuje funkci

nalézt z"x , z y .

tedy podle (1.37) dostáváme odpověď.

Příklad 8.

Prozkoumejte extrém:

1. Najděte stacionární body řešením systému (1.41):

to znamená, že jsou nalezeny čtyři stacionární body.
2.

podle věty 1.4 v bodě, kde je minimum.

navíc

4. Vypočítáme šest hodnot:

Ze šesti získaných hodnot vyberte největší a nejmenší.

Bibliografie:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K. Algebra pro pokročilé pro ekonomy. I semestr: Expresní kurz. – M.: Nové poznatky, 2002. – 140 s.

ü Gusak A. A.. Matematická analýza a diferenciální rovnice – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 s.

ü Gusak A. A.. Vyšší matematika. Učebnice pro vysokoškoláky ve 2 dílech. – Mn., 1998. – 544 s. (1 svazek), 448 stran. (2 svazky).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Vyšší matematika pro ekonomy: Učebnice pro univerzity / Ed. prof. N. Sh. Kremer. – M.: UNITI, 2002. – 471 s.

ü Yablonsky A.I., Kuzněcov A.V., Shilkina E.I. a další Vyšší matematika. Obecný kurz: Učebnice / Pod obecný. vyd. S. A. Samal. – Mn.: Vyš. škola, 2000. – 351 s.

Nejvyšší a nejnižší hodnoty

Funkce ohraničená v ohraničené uzavřené oblasti dosahuje svých maximálních a minimálních hodnot buď ve stacionárních bodech, nebo v bodech ležících na hranici oblasti.

Chcete-li najít největší nebo nejmenší hodnoty funkce, musíte:

1. Najděte stacionární body ležící uvnitř této oblasti a vypočítejte hodnotu funkce v nich.

2. Najděte největší (nejmenší) hodnotu funkce na hranici oblasti.

3. Porovnejte všechny získané funkční hodnoty: největší (nejmenší) bude největší (nejmenší) hodnota funkce v této oblasti.

Příklad 2. Najděte největší (nejmenší) hodnotu funkce: v kruhu.

Řešení.

stacionární bod; .

2 .Hranicí této uzavřené oblasti je kruh nebo , kde .

Funkce na hranici oblasti se stává funkcí jedné proměnné: , kde . Pojďme najít největší a nejmenší hodnoty této funkce.

Když x=0; (0,-3) a (0,3) jsou kritické body.

Pojďme vypočítat hodnoty funkce na koncích segmentu

3 . Vzájemným porovnáním hodnot, které získáme,

V bodech A a B.

V bodech C a D.

Příklad 3 Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce v uzavřené oblasti definované nerovností:

Řešení. Plocha je trojúhelník ohraničený souřadnicovými osami a přímkou ​​x+y=1.

1. Najdeme stacionární body uvnitř regionu:

; ; y = -1/8; x = 1/8.

Stacionární bod nepatří do uvažované oblasti, takže hodnota z v něm není počítána.

2 .Zkoumáme funkci na hranici. Protože se hranice skládá ze tří úseků popsaných třemi různými rovnicemi, studujeme funkci na každém úseku zvlášť:

A) v sekci 0A: y=0 - rovnice 0A, pak ; z rovnice je zřejmé, že funkce se z 0 na 1 zvýší o 0A. To znamená .

b) v sekci 0B: x=0 - rovnice 0B, pak ; -6y+1=0; - kritický bod.

PROTI) na přímce x+y = 1: y=1-x, pak dostaneme funkci

Vypočítejme hodnotu funkce z v bodě B(0,1).

3 .Porovnáním čísel dostaneme, že

Na rovné AB.

V bodě B.

Testy na sebeovládání znalostí.

1. Extrémem funkce je

a) jeho deriváty prvního řádu

b) jeho rovnice

c) její rozvrh

d) jeho maximum nebo minimum

2. Lze dosáhnout extrému funkce několika proměnných:

a) pouze v bodech ležících uvnitř jeho definičního oboru, ve kterých jsou všechny parciální derivace prvního řádu větší než nula

b) pouze v bodech ležících uvnitř jeho definičního oboru, ve kterých jsou všechny parciální derivace prvního řádu menší než nula

c) pouze v bodech ležících uvnitř jeho definičního oboru, ve kterých všechny parciální derivace prvního řádu nejsou rovny nule

d) pouze v bodech ležících uvnitř jeho definičního oboru, ve kterých jsou všechny parciální derivace prvního řádu rovny nule

3. Funkce, která je spojitá v omezené uzavřené oblasti, dosahuje svých maximálních a minimálních hodnot:

a) ve stacionárních bodech

b) buď v stacionárních bodech nebo v bodech ležících na hranici regionu

c) v bodech ležících na hranici kraje

d) ve všech bodech

4. Stacionární body pro funkci několika proměnných jsou body:

a) ve kterém všechny parciální derivace prvního řádu nejsou rovny nule

b) ve kterém jsou všechny parciální deriváty prvního řádu větší než nula

c) ve kterém jsou všechny parciální derivace prvního řádu rovny nule

d) ve kterém jsou všechny parciální deriváty prvního řádu menší než nula

Přednáška 28. Studium extrémních funkcí více proměnných. Podmíněný extrém funkcí více proměnných.

Studium funkcí mnoha proměnných do extrému je mnohem složitější postup než podobný postup pro funkce jedné proměnné. Proto se omezíme na zvážení tohoto problému na nejjednodušší a nejvíce jasný příklad funkce dvou proměnných (viz obr. 1). Tady M 1(x 1; y 1), M 2(x2; y 2), M 3(x 3; y 3) jsou extrémní body této funkce. Totiž body M 1 A M 3 – minimální bod funkce a bod M 2– jeho maximální bod. Obrázek 1 ukazuje funkci se třemi extrémními body, ale těchto bodů může být přirozeně více nebo méně.

Definujme přesněji, co jsou extrémní body pro funkci dvou proměnných.

Definice. Funkce má maximum(minimální) v bodě, pokud pro jakýkoli bod nacházející se v určitém sousedství - sousedství bodu, platí: (). - okolí může být reprezentováno množinou bodů, jejichž souřadnice splňují podmínku , kde je kladné dostatečně malé číslo.

Volají se maxima a minima funkce extrémy, A - extrémní bod.

Nechat M0(x 0; y 0) – bod libovolného extrému (maximální bod nebo minimální bod) funkce. Pak je to spravedlivé

Věta 1.

Pokud v extrémním bodě M0(x 0; y 0) existují parciální derivace A , pak jsou oba rovny nule:

2) Podívejme se nyní na funkci . Protože je krajní hodnota této funkce, pak derivace této funkce at y = y 0, pokud existuje, rovná se nule:

Věta byla prokázána.

Všimněte si, že podmínky (1) jsou pouze nutné extrémní podmínky v místě M0(x 0; y 0) funkce v tomto bodě diferencovatelná. To znamená, že tyto podmínky nejsou dostatečnými podmínkami pro to, oč jde M0(x 0; y 0) funkce bude mít extrém (maximum nebo minimum). Jinými slovy tečka M0(x 0; y 0), ve kterém jsou splněny obě rovnosti (1), je pouze podezřelé do krajního bodu pro funkci. Konečný závěr o povaze takového podezřelého bodu pro extrém lze učinit pomocí následující věty (uvádíme ji bez odvození):

Věta 2.(Dostatečné podmínky pro extrém)

Nechat M0(x 0; y 0) – takový bod z kraje D definování funkce, že jsou splněny nezbytné podmínky (1) pro extrém této funkce. To znamená M0(x 0; y 0) – bod podezřelý z extrému. V tomto bodě najdeme čísla

1) Pokud > 0 a > 0 (nebo С>0 na A=0), Že M0(x 0; y 0) – minimální bod funkce .

2) Pokud > 0 a < 0 (nebo S<0 na A=0), Že M0(x 0; y 0) – maximální bod funkce .

3) Pokud < 0, pak bod M0(x 0; y 0) – ne extrémní bod funkce .

4) Pokud = 0, pak otázka zůstává otevřená – je zapotřebí další výzkum.

Příklad 1. Nechat X A na– množství dvou vyrobených výrobků; p 1 = 8 rub. A p 2 = 10 rub. – jednotkovou cenu každého tohoto zboží; C= 0,01(x 2 + xy + y 2) je funkcí nákladů (v rublech) na výrobu tohoto zboží. Pak příjem R z prodeje zboží bude R = 8x+10y(rub.) a zisk P bude (v rublech)

P = R – C = 8x+ 10y – 0,01(x 2 + xy + y 2).

Pojďme najít svazky X A na zboží, pro které zisk P bude maximální.

1) Nejprve najdeme hodnoty ( x;y), podezřelé z extrému pro funkci P:

2) Nyní prozkoumáme nalezenou podezřelou funkci extrému P směřovat M 0(200; 400). K tomu najdeme v tomto bodě hodnoty určené výrazy (4). Protože

a to platí pro všechny ( X; na), a tedy v bodě M 0(200; 400), tedy

Protože jinak pointa M 0(200; 400) – maximální bod funkce P. Tedy zisk P z prodeje bude maximálně na x = 200(Jednotky) A y = 400(Jednotky) a rovná se 2800 rublů.

Příklad 2 Najděte extrémní body a extrémní hodnoty funkce

Řešení. Tato funkce je funkcí dvou proměnných definovaných pro libovolnou X A na, tedy v celé rovině jak a mající parciální derivace prvního řádu v každém bodě:

Nejprve najdeme body roviny jak, podezřelé z extrému pro tuto funkci:

Poté, co jsme našli parciální derivace druhého řádu funkce, napíšeme výrazy pro:

Nyní, když vypočítáme číselné hodnoty těchto veličin pro každý ze čtyř bodů podezřelých z extrému, získáme o těchto bodech následující závěry:

Tečka min.

Tečka max.

Žádný extrémní bod.

Žádný extrémní bod.

Nyní najdeme dvě extrémní (maximální) hodnoty funkce, které určují výšku dvou vrcholů grafu této funkce:

Určení největší a nejmenší hodnoty funkce dvou proměnných v uzavřené oblasti.

Zvažme následující problém. Nechť je nějaká spojitá funkce dvou proměnných, uvažovaných v uzavřené oblasti, kde je vnitřek oblasti, a G– jeho ohraničení (obr. 8.6).

Skutečnost, že funkce je v oblasti spojitá, znamená, že graf této funkce (plochy v prostoru) je spojitou (bez nespojitostí) plochou pro všechny . To znamená, že koncept spojitosti funkce dvou proměnných je podobný konceptu spojitosti funkce jedné proměnné. Stejně jako funkce jedné proměnné jsou funkce dvou proměnných vytvořené z elementárních funkcí spojité pro všechny hodnoty jejich argumentů, pro které jsou definovány. To platí také pro funkce tří, čtyř nebo více proměnných.

Vraťme se k Obr. 2. Položme si následující otázku: ve kterých bodech oblasti dosahuje funkce své největší a nejmenší hodnoty? z max A z jméno? A jaké jsou tyto hodnoty? Všimněte si, že tento problém je podobný tomu, který byl uvažován pro funkci jedné proměnné uvažované na uzavřeném intervalu [ A; b] sekery Ach.

Je zřejmé, že požadované body oblasti, ve kterých funkce dosahuje svých největších a minimálních hodnot, jsou obsaženy buď mezi extrémními body této funkce umístěnými uvnitř oblasti (v oblasti), nebo se nacházejí někde na hranici G tato oblast. V uzavřené oblasti takové body jistě budou existovat (Weierstrassova věta). A na otevřeném prostranství (bez hranic G) takové body nemusí být.

Z výše uvedeného vyplývá: diagram pro nalezení těchto bodů, podobně jako je uvedeno pro funkce jedné proměnné.

1. Najděte všechny body funkce, které jsou podezřelé pro extrém a nacházejí se v oblasti D. To jsou body, ve kterých jsou obě parciální derivace i rovno nule (nebo jedna je nula a druhá neexistuje; nebo obě neexistují).

2. Najdeme všechny body funkce, které jsou pro extrém podezřelé a nacházejí se na hranici G oblasti. V tomto případě použijeme okrajovou rovnici G.

3. Aniž bychom zkoumali podezřelé body nalezené v krocích 1 a 2 (toto není nutné), najdeme hodnoty funkcí u všech nalezených podezřelých bodů a vybereme ty, kde z bude největší a nejmenší.

Příklad 3 Nalézt z max A z jméno funkce uvažovaná v uzavřené oblasti, což je trojúhelníková deska s vrcholy Ó(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (obr. 3).

Řešení.Řiďme se výše uvedeným diagramem.

1. Najděte uvnitř trojúhelníku (v oblasti D) body podezřelé pro extrém pro naši funkci z. K tomu nejprve najdeme parciální derivace prvního řádu a:

Tyto deriváty existují (lze je vypočítat) pro libovolné (x;y). V důsledku toho budou body podezřelé pro extrém pouze ty, pro které jsou obě tyto parciální derivace rovny nule:

Pointa evidentně patří regionu D(k příslušnému trojúhelníku). To znamená, že je to bod podezřelý pro extrém pro danou funkci z uvnitř trojúhelníku a ona je tam jediná.

2. Nyní najdeme body podezřelé pro extrém na hranici trojúhelníku.

a) Nejprve prozkoumáme oblast OA hranice ( na= 0; 0 £ X 1 £). V této sekci - funkce jedné proměnné X. Jeho derivát existuje pro každého XÎ . Proto jsou jeho extrémní hodnoty funkcí z může mít buď v bodě, kde , tedy v bodě, nebo na koncích segmentu OA, tedy v bodech O(0; 0) a A(1; 0).

b) Nyní prozkoumáme oblast OB hranice trojúhelníku (tam X= 0; 0 £ na 1 £). V této sekci je funkce (0 £ na£ 1) – funkce jedné proměnné na. Opakováním uvažování bodu (a) dojdeme k závěru, že jeho extrémní hodnoty jsou funkcí z může mít buď v bodě, nebo na koncích segmentu OB, tedy v bodech O(0; 0) a B(0; 1).

c) Nakonec prozkoumáme oblast AB hranic. Od té doby AB(ujistěte se o tom) y = - x + 1 (0 £ X£ 1), pak je zde funkce z má podobu: (0 £ X 1 £). Jeho derivace je tedy funkcí jeho extrémních hodnot z může dosáhnout pouze v bodě, kde , tedy v bodě nebo na koncích segmentu AB, tedy v bodech A A V.

Takže kompletní sada bodů funkce podezřelých z extrému
v trojúhelníku OAV je:

; ; ; ; ; ; .

3. Nyní najdeme hodnoty funkce z u všech nalezených podezřelých bodů a z těchto hodnot vyberte největší hodnotu z max a nejmenší hodnotu z jméno:

Tím pádem, z max = 3 a je dosaženo funkcí z v trojúhelníku OAV ve dvou bodech najednou - v jeho vrcholech A A V. A je dosaženo funkcí z v trojúhelníku OAV ve svém vnitřním bodě.

Příklad 4. Rozpočet města má možnost utratit ne více než 600 milionů rublů na sociální bydlení, přičemž má projekty a pozemky pro 10 pětipodlažních budov s 90 byty v každé a 8 devítipodlažních budov se 120 byty v každé. Průměrné odhadované náklady na jeden byt v pětipatrové budově jsou 400 tisíc rublů a v devítipatrové budově 500 tisíc rublů. Kolik pětipatrových a kolik devítipatrových budov by mělo město postavit, aby získalo maximální počet bytů?

Řešení. Nechat X- požadovaný počet pětipodlažních budov, y – devítipatrový a z – celkový počet bytů v těchto budovách:

z = 90x+ 120y

Náklady na všechny byty v pětipodlažních budovách budou 90 × 0,4 X = 36X milionů rublů a v devítipatrových budovách 120 × 0,5 na = 60na milionů rublů. Podle podmínek problému máme:

0 £ X 10 GBP; 0 £ na 8 GBP; 36 X + 60na 600 liber

Tyto omezující nerovnosti jsou v pětiúhelníku zjevně uspokojeny (obr. 4). V této uzavřené oblasti musíte najít bod M(x;y), pro které je funkce z = 90x+ 120y bude mít největší hodnotu z max.

Pojďme implementovat výše uvedené schéma pro řešení takových problémů.

1. Najděte body uvnitř pětiúhelníku, které jsou podezřelé z extrému funkce z. Protože a tyto parciální derivace se zjevně nerovnají nule, pak neexistují žádné body podezřelé pro extrém uvnitř pětiúhelníku.

2. Najděte body podezřelé z extrému na hranicích pětiúhelníku. Na každém z pěti segmentů, které tvoří hranici pětiúhelníku, funkce z– lineární funkce formuláře z = ax + by, a proto dosahuje svých největších a nejmenších hodnot na hranicích segmentů. Tedy požadovanou maximální hodnotu z max funkce z dosáhne jednoho z rohových bodů (O; A; M 1; M 2; B). Výpočet hodnoty z v těchto bodech dostáváme:

z(O) = 0; z( A) = 960; z( M 1) = 1260; z( M 2) = 1380; z( B) = 900.

Tím pádem z naimbo= 1380 a je dosaženo v bodě M 2(10; 4). To znamená, že největší počet bytů (1380) bude získán, pokud bude postaveno 10 pětipatrových budov a 4 devítipodlažní budovy.

Příklad 5. Dokažte, že ze všech trojúhelníků, které mají daný obvod 2p, má největší obsah rovnostranný trojúhelník. M(2p/3, 2p/3), protože zbývající body nesplňují smysl úlohy: nemůže existovat trojúhelník, jehož strana je rovna polovině obvodu.

Zkoumáme extrémní bod M(2p/3, 2p/3):

∂2f/∂x2 = -2p(p-y); ∂2f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂2f/∂y2 = -2p(p-x);

D=AC-B2=;

D>0, a protože A<0 , pak ve zkoumaném bodě funkce dosáhne maxima. Takže v jediném stacionárním bodě funkce dosáhne svého maxima, a tedy své největší hodnoty; tedy s x=2p/3, y=2p/3 funkce dosáhne své maximální hodnoty. Ale pak z=2p-x-y=2p/3. A protože x=y=z, pak je trojúhelník rovnostranný.

A k jeho vyřešení budete potřebovat minimální znalosti tématu. Končí další školní rok, všichni chtějí na prázdniny a abych tento okamžik přiblížil, hned přejdu k věci:

Začněme oblastí. Oblast uvedená v podmínce je omezený ZAVŘENO množina bodů na rovině. Například množina bodů ohraničená trojúhelníkem, včetně CELÉHO trojúhelníku (pokud od hranic„vypíchnout“ alespoň jeden bod, pak již nebude region uzavřen). V praxi se vyskytují i ​​plochy obdélníkových, kulatých a trochu složitějších tvarů. Je třeba poznamenat, že v teorii matematické analýzy jsou uvedeny přesné definice omezení, izolace, hranice atd., ale myslím si, že každý si je těchto pojmů vědom na intuitivní úrovni a teď už není potřeba nic víc.

Plochá oblast se standardně označuje písmenem a zpravidla je specifikována analyticky - několika rovnicemi (ne nutně lineární); méně často nerovnosti. Typická slovesnost: „uzavřená oblast ohraničená čarami“.

Nedílnou součástí uvažovaného úkolu je konstrukce plochy ve výkresu. Jak to udělat? Musíte nakreslit všechny uvedené čáry (v tomto případě 3 rovný) a analyzovat, co se stalo. Hledaná oblast je obvykle lehce stínovaná a její hranice je označena silnou čarou:


Stejnou oblast lze také nastavit lineární nerovnosti: , které jsou z nějakého důvodu často psány spíše jako výčtový seznam než Systém.
Protože hranice patří regionu, pak všechny nerovnosti, samozřejmě, laxní.

A nyní podstata úkolu. Představte si, že osa vychází přímo k vám z počátku. Zvažte funkci, která kontinuální v každém plošný bod. Graf této funkce představuje některé povrch a malým štěstím je, že k vyřešení dnešního problému nepotřebujeme vědět, jak tento povrch vypadá. Může být umístěn výše, níže, protínat rovinu - na tom všem nezáleží. A důležité je následující: podle Weierstrassovy věty, kontinuální PROTI omezeně uzavřeno oblasti funkce dosáhne své největší hodnoty (nejvyšší") a nejméně (nejnižší") hodnoty, které je třeba najít. Takových hodnot je dosaženo nebo PROTI stacionární body, patřící regionuD , nebo v bodech, které leží na hranici této oblasti. To vede k jednoduchému a transparentnímu algoritmu řešení:

Příklad 1

V omezeném uzavřeném prostoru

Řešení: Nejprve musíte na výkresu znázornit oblast. Bohužel je pro mě technicky obtížné vytvořit interaktivní model problému, a proto rovnou uvedu finální ilustraci, která ukazuje všechny „podezřelé“ body nalezené během výzkumu. Obvykle jsou uvedeny jeden po druhém, jak jsou objeveny:

Na základě preambule lze rozhodnutí pohodlně rozdělit do dvou bodů:

I) Najděte stacionární body. Jedná se o standardní akci, kterou jsme ve třídě prováděli opakovaně. o extrémech několika proměnných:

Nalezen stacionární bod patří oblasti: (označte to na výkresu), což znamená, že bychom měli vypočítat hodnotu funkce v daném bodě:

- jako v článku Největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu, důležité výsledky zvýrazním tučně. Je vhodné je obkreslit tužkou do sešitu.

Věnujte pozornost našemu druhému štěstí - nemá smysl kontrolovat postačující podmínkou pro extrém. Proč? I když v určitém bodě funkce dosáhne např. místní minimum, pak to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimální v celém regionu (viz začátek lekce o bezpodmínečných extrémech) .

Co dělat, když stacionární bod NEPATŘÍ do oblasti? Skoro nic! To je třeba poznamenat a přejít k dalšímu bodu.

II) Prozkoumáme hranici regionu.

Vzhledem k tomu, že hranice je tvořena stranami trojúhelníku, je vhodné rozdělit studii do 3 podsekcí. Ale je lepší to vůbec nedělat. Z mého pohledu je nejprve výhodnější uvažovat segmenty rovnoběžné se souřadnicovými osami a především ty ležící na osách samotných. Abyste pochopili celou sekvenci a logiku akcí, zkuste si prostudovat konec „jedním dechem“:

1) Pojďme se zabývat spodní stranou trojúhelníku. Chcete-li to provést, nahraďte přímo do funkce:

Případně to můžete udělat takto:

Geometricky to znamená, že souřadnicová rovina (což je také dáno rovnicí)"vyřezává" z povrchy„prostorová“ parabola, jejíž vrchol okamžitě přichází v podezření. Pojďme to zjistit kde se nachází:

– výsledná hodnota „spadla“ do oblasti a může se dobře ukázat, že v bodě (vyznačeno na výkrese) funkce dosahuje největší nebo nejmenší hodnoty v celé oblasti. Tak či onak, pojďme provést výpočty:

Dalšími „kandidáty“ jsou samozřejmě konce segmentu. Pojďme vypočítat hodnoty funkce v bodech (vyznačeno na výkrese):

Zde, mimochodem, můžete provést ústní mini-kontrolu pomocí „svlečené“ verze:

2) Chcete-li prostudovat pravou stranu trojúhelníku, dosaďte ji do funkce a „dejte věci do pořádku“:

Zde okamžitě provedeme hrubou kontrolu a „prozvoníme“ již zpracovaný konec segmentu:
, Skvělý.

Geometrická situace souvisí s předchozím bodem:

– výsledná hodnota se také „dostala do sféry našich zájmů“, což znamená, že musíme vypočítat, čemu se rovná funkce v objeveném bodě:

Podívejme se na druhý konec segmentu:

Pomocí funkce , provedeme kontrolní kontrolu:

3) Asi každý tuší, jak prozkoumat zbývající stranu. Dosadíme jej do funkce a provedeme zjednodušení:

Konce segmentu již byly prozkoumány, ale v návrhu stále kontrolujeme, zda jsme funkci našli správně :
– shoduje se s výsledkem podle prvního pododstavce;
– se shoduje s výsledkem podle druhého pododstavce.

Zbývá zjistit, zda je uvnitř segmentu něco zajímavého:

- Tady je! Dosazením přímky do rovnice získáme pořadnici této „zajímavosti“:

Označíme bod na výkresu a najdeme odpovídající hodnotu funkce:

Zkontrolujeme výpočty pomocí „rozpočtové“ verze :
, objednat.

A poslední krok: POZORNĚ prohlížíme všechna „tučná“ čísla, doporučuji začátečníkům, aby si vytvořili jeden seznam:

ze kterých vybíráme největší a nejmenší hodnoty. Odpovědět Zapišme se ve stylu problému hledání největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu:

Pro jistotu ještě jednou okomentuji geometrický význam výsledku:
– zde je nejvyšší bod povrchu v regionu;
– zde je nejnižší bod povrchu v oblasti.

V analyzovaném úkolu jsme identifikovali 7 „podezřelých“ bodů, ale jejich počet se u jednotlivých úkolů liší. Pro trojúhelníkovou oblast sestává minimální „výzkumný soubor“ ze tří bodů. To se stane, když funkce například specifikuje letadlo- je zcela jasné, že neexistují žádné stacionární body a funkce může dosáhnout svých maximálních/nejmenších hodnot pouze ve vrcholech trojúhelníku. Ale existuje jen jeden nebo dva podobné příklady - obvykle se s některými musíte vypořádat povrch 2. řádu.

Pokud takové úkoly trochu vyřešíte, pak se vám z trojúhelníků může zatočit hlava, a proto jsem pro vás připravil nevšední příklady, aby to bylo hranaté :))

Příklad 2

Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce v uzavřeném prostoru ohraničeném čarami

Příklad 3

Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce v omezené uzavřené oblasti.

Zvláštní pozornost věnujte racionálnímu pořadí a technice studia hranice regionu a také řetězci průběžných kontrol, které téměř zcela zabrání chybám ve výpočtu. Obecně řečeno, můžete to vyřešit, jak chcete, ale u některých problémů, například v příkladu 2, existuje velká šance, že vám život značně ztíží. Přibližná ukázka závěrečných úkolů na konci lekce.

Pojďme systematizovat algoritmus řešení, jinak se to s mou pavoukovou pílí nějak ztratilo v dlouhém vláknu komentářů k prvnímu příkladu:

– V prvním kroku vybudujeme plochu, je vhodné ji vystínovat a ohraničení zvýraznit tučnou čarou. Během řešení se objeví body, které je třeba na výkrese označit.

– Najděte stacionární body a vypočítejte hodnoty funkce pouze v těch z nich které patří do regionu. Výsledné hodnoty v textu zvýrazníme (například je zakroužkujte tužkou). Pokud stacionární bod do regionu NEPATŘÍ, pak tuto skutečnost označíme ikonou nebo slovně. Pokud neexistují žádné stacionární body, vyvodíme písemný závěr, že chybí. V žádném případě tento bod nelze přeskočit!

– Zkoumáme hranici regionu. Za prvé je výhodné porozumět přímkám, které jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami (pokud vůbec nějaké jsou). Zvýrazňujeme také hodnoty funkcí vypočítané v „podezřelých“ bodech. O technice řešení toho bylo řečeno hodně a něco jiného bude řečeno níže - čtěte, znovu čtěte, ponořte se do toho!

– Z vybraných čísel vyberte největší a nejmenší hodnotu a dejte odpověď. Někdy se stane, že funkce dosáhne takových hodnot v několika bodech najednou - v tomto případě by se všechny tyto body měly projevit v odpovědi. Ať např. a ukázalo se, že to je nejmenší hodnota. Pak to zapíšeme

Poslední příklady pokrývají další užitečné nápady, které se budou hodit v praxi:

Příklad 4

Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce v uzavřené oblasti .

Zachoval jsem autorovu formulaci, ve které je plocha dána ve formě dvojité nerovnosti. Tato podmínka může být zapsána ekvivalentním systémem nebo v tradičnější formě pro tento problém:

Připomínám, že s nelineární narazili jsme na nerovnosti a pokud nerozumíte geometrickému významu zápisu, tak prosím neotálejte a vyjasněte si situaci hned teď ;-)

Řešení, jako vždy začíná vytvořením oblasti, která představuje jakousi „podrážku“:

Hmm, občas musíte žvýkat nejen žulu vědy...

I) Najděte stacionární body:

Systém je sen idiota :)

Do regionu patří stacionární bod, totiž leží na jeho hranici.

A tak je to v pořádku... lekce dopadla dobře - to je to, co znamená pít správný čaj =)

II) Prozkoumáme hranici regionu. Bez dalšího zdržování začněme s osou x:

1) Pokud , tak

Pojďme zjistit, kde je vrchol paraboly:
– važte si takových okamžiků – „trefili“ jste se přesně do bodu, ze kterého je již vše jasné. Ale stále nezapomínáme na kontrolu:

Pojďme vypočítat hodnoty funkce na koncích segmentu:

2) Vypořádejme se se spodní částí „podešve“ „na jeden zátah“ – bez komplexů ji dosadíme do funkce a bude nás zajímat pouze segment:

Řízení:

To již přináší určité vzrušení do monotónní jízdy po rýhované trati. Pojďme najít kritické body:

Pojďme se rozhodnout kvadratická rovnice, pamatuješ si k tomu ještě něco? ...Pamatujte si ovšem, že jinak byste tyto řádky nečetli =) Pokud v předchozích dvou příkladech byly výpočty v desetinných zlomcích pohodlné (což je mimochodem vzácné), pak zde obvyklé obyčejné zlomky čekat na nás. Najdeme kořeny „X“ a pomocí rovnice určíme odpovídající „herní“ souřadnice „kandidátských“ bodů:


Vypočítejme hodnoty funkce v nalezených bodech:

Zkontrolujte funkci sami.

Nyní pečlivě studujeme vyhrané trofeje a zapisujeme Odpovědět:

To jsou „kandidáti“, to jsou „kandidáti“!

Chcete-li to vyřešit sami:

Příklad 5

Najděte nejmenší a největší hodnoty funkce v uzavřeném prostoru

Záznam se složenými závorkami zní takto: „množina bodů taková, že“.

Někdy v takových příkladech používají Lagrangeova multiplikační metoda, ale je nepravděpodobné, že bude potřeba jej použít. Je-li tedy např. dána funkce se stejnou oblastí „de“, pak po dosazení do ní – s derivací bez obtíží; Navíc je vše nakresleno v „jednom řádku“ (se znaky), aniž by bylo nutné uvažovat odděleně horní a dolní půlkruhy. Ale samozřejmě existují i ​​složitější případy, kdy bez funkce Lagrange (kde je například stejná rovnice kruhu) Je těžké se obejít – stejně jako je těžké se obejít bez dobrého odpočinku!

Mějte se všichni krásně a brzy na viděnou v příští sezóně!

Řešení a odpovědi:

Příklad 2: Řešení: Znázorněme oblast na výkresu: