Eliptická paraboloidní kanonická rovnice. elipsoidní

Prokázaná vlastnost tečny k parabole je velmi důležitá, protože z ní vyplývá, že paprsky vycházející z ohniska konkávního parabolického zrcadla, tedy zrcadla, jehož povrch je získán rotací paraboly kolem její osy, jsou odražený rovnoběžným paprskem, a to rovnoběžnými zrcadlovými osami (obr.).

Tato vlastnost parabolických zrcadel se využívá při konstrukci světlometů, ve světlometech jakéhokoli automobilu a také v odrazových dalekohledech. Navíc v druhém případě naopak paprsky vycházející z nebeského těla; téměř rovnoběžné, jsou soustředěny blízko ohniska zrcadla dalekohledu, a protože paprsky přicházející z různých bodů svítidla jsou hodně nerovnoběžné, jsou soustředěny blízko ohniska v různé body, takže v blízkosti ohniska se získá obraz svítidla, čím větší je ohnisková vzdálenost paraboly. Tento obraz je již pozorován mikroskopem (okulárem dalekohledu). Přísně vzato, pouze paprsky přísně rovnoběžné s osou zrcadla jsou shromažďovány v jednom bodě (ohnisku), zatímco rovnoběžné paprsky směřující pod úhlem k ose zrcadla jsou shromažďovány pouze téměř do jednoho bodu, a čím dále je tento bod. od zaostření, čím více je obraz rozmazanější. Tato okolnost omezuje „zorné pole dalekohledu“.

Nechť je jeho vnitřní povrch zrcadlovým povrchem; toto parabolické zrcadlo je osvětleno paprskem světelných paprsků rovnoběžných s osou operačního zesilovače. Všechny paprsky rovnoběžné s osou operačního zesilovače se po odrazu protnou v jednom bodě na ose operačního zesilovače (focus F). Z této vlastnosti vychází konstrukce parabolických dalekohledů. Paprsky vzdálených hvězd k nám přicházejí ve formě paralelního paprsku. Zhotovením parabolického dalekohledu a umístěním fotografické desky do jeho ohniska získáme možnost zesílit světelný signál přicházející od hvězdy.

Na stejném principu je i vytvoření parabolické antény, která umožňuje zesílení rádiových signálů. Pokud umístíte zdroj světla do ohniska parabolického zrcadla, pak po odrazu od povrchu zrcadla nebudou paprsky vycházející z tohoto zdroje rozptylovány, ale budou shromažďovány do úzkého paprsku rovnoběžného s osou zrcadla. . Této skutečnosti se využívá při výrobě reflektorů a luceren, různých projektorů, jejichž zrcadla jsou vyráběna ve tvaru paraboloidů.

Výše uvedená optická vlastnost parabolického zrcadla se využívá k vytváření zrcadlových dalekohledů, různých instalací solárního ohřevu a také světlometů. Umístěním výkonného bodového zdroje světla do ohniska parabolického zrcadla získáme hustý proud odražených paprsků rovnoběžný s osou zrcadla.

Když se parabola otáčí kolem své osy, získá se obrazec, který se nazývá paraboloid. Pokud je vnitřní povrch paraboloidu zrcadlový a je na něj směrován paprsek paprsků, rovnoběžně s osou symetrie paraboly, pak se odražené paprsky budou sbíhat v jednom bodě, který se nazývá ohnisko. Současně, pokud je zdroj světla umístěn v ohnisku, pak paprsky odražené od zrcadlového povrchu paraboloidu budou rovnoběžné a nebudou rozptýleny.

První vlastnost umožňuje získat vysokou teplotu v ohnisku paraboloidu. Podle legendy tuto vlastnost využíval starověký řecký vědec Archimedes (287-212 př. n. l.). Při obraně Syrakus ve válce proti Římanům vybudoval systém parabolických zrcadel, která umožňovala odražené paprsky slunce zaměřit na římské lodě. V důsledku toho se teplota v ohniscích parabolických zrcadel ukázala být tak vysoká, že na lodích vypukl požár a ty shořely.

Druhá vlastnost se využívá například při výrobě reflektorů a světlometů automobilů.

Hyperbola

4. Definice hyperboly nám poskytuje jednoduchý způsob, jak ji sestrojit souvislým pohybem: vezměte dvě vlákna, jejichž rozdíl v délkách je 2a, a připevněte jeden konec těchto vláken k bodům F" a F. Pokud držíte druhý dva konce k sobě rukou a pohybujte po nitích špičkou tužky, přičemž dbejte na to, aby byly nitě přitisknuty k papíru, nataženy a dotýkaly se, počínaje od kreslicího hrotu k bodu, kde se konce setkávají, hrot bude kreslit část jedné z větví hyperboly (čím větší, tím delší jsou závity) (obr.).

Obrácením rolí bodů F" a F získáme část další větve.

Například, Na téma „Křivky 2. řádu“ můžete zvážit následující problém:

Úkol. Dvě železniční stanice A a B se nacházejí ve vzdálenosti s km od sebe. Do kteréhokoli bodu M lze náklad doručit ze stanice A buď přímou silniční dopravou (první trasa), nebo prostřednictvím železnice do stanice B a odtud autem (druhá trasa). Železniční tarif (cena přepravy 1 tuna na 1 km) je m rublů, tarif silniční dopravy je n rublů, n > m, nakládací a vykládací tarif je k rublů. Určete oblast vlivu železniční stanice B, tj. oblast, do které je levnější dopravit náklad ze stanice A smíšenou cestou - po železnici a poté po silnici, tj. určit geometrické umístění bodů, pro které je druhá cesta výnosnější než první.

Řešení. Označme AM = r, BM = r, pak náklady na doručení (doprava a nakládka-vykládka) po trase AM se rovnají nr + k a náklady na doručení po trase ABM se rovnají ms + 2k + ng. Potom body M, pro které jsou obě hodnoty stejné, splňují rovnici nr + k = ms+2k+nг, popř.

ms + k = nr - ng

r - r = = konst > O,

proto je čára vymezující region jednou z větví hyperboly | r - r | = konst. Pro všechny body roviny ležící na stejné straně jako bod A této hyperboly je výhodnější první cesta a pro body ležící na druhé straně druhá, proto větev hyperboly vymezuje oblast vlivu stanice B.

Varianta tohoto problému.

Dvě železniční stanice A a B se nacházejí ve vzdálenosti l km od sebe. Do bodu M lze náklad dopravit ze stanice A buď přímou silniční dopravou, nebo po železnici do stanice B a odtud autem (obr. 49). V tomto případě je železniční tarif (cena přepravy 1 tuny na 1 km) m rublů, náklady na nakládku a vykládku k rublů (na 1 tunu) a tarif za silniční dopravu n rublů (n > m). Stanovme tzv. zónu vlivu železniční stanice B, tedy zónu, do které je levnější dopravit náklad z A smíšenou cestou: po železnici a poté po silnici.

Řešení. Náklady na dodání 1 tuny nákladu po trase AM jsou r n, kde r = AM, a na trase ABM se budou rovnat 1 m + k + r n. Potřebujeme vyřešit dvojitou nerovnost r n 1m+ k+ r n a určit, jak jsou rozmístěny body na rovině (x, y), do kterých je levnější dopravit náklad buď první nebo druhou cestou.

Najdeme rovnici přímky tvořící hranici mezi těmito dvěma zónami, tedy umístění bodů, pro které jsou obě cesty „stejně výhodné“:

r n = 1 m+ k+ r n

Z této podmínky získáme r - r = = konst.

Dělicí čárou je tedy hyperbola. Pro všechny vnější body této hyperboly je výhodnější první cesta a pro vnitřní body druhá. Hyperbola tedy načrtne zónu vlivu stanice B. Druhá větev hyperboly vymezí zónu vlivu stanice A (náklad je dodán ze stanice B). Najdeme parametry naší hyperboly. Jeho hlavní osa je 2a = a vzdálenost mezi ohnisky (což jsou stanice A a B) je v tomto případě 2c = l.

Tedy podmínka pro možnost tohoto problému, určená vztahem a< с, будет

Tento problém spojuje abstraktní geometrický koncept hyperboly s dopravním a ekonomickým problémem.

Požadované místo bodů je množina bodů ležících uvnitř pravé větve hyperboly obsahující bod B.

6. Vím " Zemědělské stroje" Důležité výkonnostní charakteristiky traktoru pracujícího na svahu, vykazujícího jeho stabilitu, jsou úhel podélného sklonu a úhel bočního náklonu.

Pro jednoduchost budeme uvažovat kolový traktor. Plochu, na které se traktor pohybuje (alespoň její poměrně malou část), lze považovat za rovinu (rovinu pohybu). Podélná osa traktoru je průmět přímky spojující středy přední a zadní nápravy na rovinu pohybu. Boční úhel náklonu je úhel svíraný s vodorovnou rovinou přímky, kolmé k podélné ose a ležící v rovině pohybu.

Při studiu tématu „Přímky a roviny ve vesmíru“ v kurzu matematiky zvažujeme následující problémy:

a) Najděte úhel podélného sklonu traktoru pohybujícího se po svahu, pokud je znám úhel sklonu svahu a úhel odchylky trajektorie traktoru od podélného směru.

b) Maximální boční úhel náklonu traktoru je maximální přípustný úhel sklonu svahu, přes který může traktor stát, aniž by se převrátil. Jaké parametry traktoru stačí znát k určení maximálního bočního úhlu náklonu; jak najít tento
roh?

7. Přítomnost přímočarých tvořících přímek se používá ve stavebních zařízeních. Zakladatelem praktické aplikace této skutečnosti je slavný ruský inženýr Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939). V. G. Shukhov provedl návrh stožárů, věží a podpěr složených z kovových nosníků umístěných podél přímočarých tvořících přímek jednolistový hyperboloid revoluce. Vysoká pevnost těchto konstrukcí v kombinaci s lehkostí, nízkými výrobními náklady a elegancí zajišťuje jejich široké použití v moderním stavebnictví.

8. ZÁKONY POHYBU VOLNÉHO TUHÉHO TĚLESA

Pro volné těleso jsou všechny druhy pohybu stejně možné, ale to neznamená, že pohyb volného tělesa je neuspořádaný a nepodléhá žádným zákonům; naopak translační pohyb tuhého tělesa bez ohledu na jeho vnější tvar je omezen zákonem o těžišti a je redukován na pohyb jednoho bodu a rotační pohyb je po tzv. hlavních osách. setrvačnosti popř elipsoid setrvačnosti. Hůl vyhozená do volného prostoru, nebo obilí vylétající z třídiče apod. se tedy jako jeden bod (těžiště) pohybuje vpřed a zároveň se otáčí kolem těžiště. Obecně platí, že při translačním pohybu každé tuhé těleso bez ohledu na jeho tvar resp složitý stroj lze nahradit jedním bodem (těžištěm) a v případě rotace - elipsoidem setrvačnosti , jehož poloměrové vektory jsou rovny --, kde / je moment setrvačnosti tohoto tělesa vůči osám procházejícím středem elipsoidu.

Pokud se při rotaci z nějakého důvodu změní moment setrvačnosti tělesa, pak se odpovídajícím způsobem změní i rychlost rotace. Například při skoku nad hlavou se akrobati stlačují do klubíčka, čímž se snižuje moment setrvačnosti těla a zvyšuje se rychlost rotace, což je potřeba pro úspěch skoku. Stejně tak lidé po uklouznutí natahují ruce do stran, čímž se zvyšuje moment setrvačnosti a snižuje se rychlost otáčení. Stejně tak je proměnný moment setrvačnosti sklizňového hrábla kolem svislé osy při jeho otáčení kolem vodorovné osy.

Existují dva typy paraboloidů: eliptické a hyperbolické.

Eliptický paraboloid je plocha, která je v nějakém systému kartézských pravoúhlých souřadnic definována rovnicí

Eliptický paraboloid má tvar nekonečné konvexní mísy. Má dvě vzájemně kolmé roviny symetrie. Bod, se kterým je spojen počátek souřadnic, se nazývá vrchol eliptického paraboloidu; čísla p a q se nazývají jeho parametry.

Hyperbolický paraboloid je plocha definovaná rovnicí

Hyperbolický paraboloid má tvar sedla. Má dvě vzájemně kolmé roviny symetrie. Bod, se kterým je spojen počátek souřadnic, se nazývá vrchol hyperbolického paraboloidu; čísla R A q se nazývají jeho parametry.

Cvičení 8.4. Uvažujme konstrukci hyperbolického paraboloidu tvaru

Nechť je nutné sestrojit část paraboloidu ležící v rozmezích: XО[–3; 3], naО[–2; 2] s krokem D=0,5 pro obě proměnné.

Výkon. Nejprve musíte vyřešit rovnici pro proměnnou z. V příkladu

Zadáme hodnoty proměnných X do sloupce A. K tomu v cele A1 zadejte symbol X. Do buňky A2 zadává se první hodnota argumentu - levá mez rozsahu (–3). Do buňky A3- druhá hodnota argumentu je levá mez rozsahu plus konstrukční krok (–2,5). Poté vyberte blok buněk A2:AZ, pomocí automatického vyplňování získáme všechny hodnoty argumentu (přetáhneme pravý dolní roh bloku do buňky A14).

Proměnné hodnoty na vstoupit do řady 1 . K tomu v cele V 1 Zadává se první hodnota proměnné - levá mez rozsahu (–2). Do buňky C1- druhá hodnota proměnné - levá mez rozsahu plus konstrukční krok (– 1,5). Poté vyberte blok buněk B1:C1,automatickým vyplněním získáme všechny hodnoty argumentu (přetáhneme pravý dolní roh bloku do buňky J1).

Dále zadejte hodnoty proměnných z. K tomu musí být kurzor tabulky umístěn v buňce AT 2 a zadejte vzorec - = $A2^2/18 -B $1^2/8, poté stiskněte klávesu Vstupte. V buňce AT 2 objeví se 0. Nyní musíte zkopírovat funkci z buňky AT 2. Chcete-li to provést, použijte automatické vyplňování (kreslení vpravo) a zkopírujte tento vzorec nejprve do rozsahu B2:J2, po kterém (stažením dolů) - do rozsahu B2:J14.

V důsledku toho v rozsahu B2:J14 Objeví se tabulka hyperbolických paraboloidních bodů.

Chcete-li vykreslit graf na panelu nástrojů Standard musíte stisknout tlačítko Průvodce grafem. V zobrazeném dialogovém okně Průvodce grafem (krok 1 ze 4): Typ grafu uveďte typ diagramu - Povrch a zobrazit - Drátěný (průhledný) povrch(schéma vpravo nahoře v pravém okně). Poté stiskněte tlačítko Dále v dialogovém okně.

V zobrazeném dialogovém okně Průvodce grafem (krok 2 ze 4): Zdroj dat grafy, musíte vybrat kartu Rozsah dat a v terénu Rozsah pomocí myši označte interval dat B2:J14.

Dále musíte označit řádky nebo sloupce, kde jsou umístěny řádky dat. Tím určíte orientaci os X A u V příkladu přepínač Řady dovnitř Pomocí ukazatele myši jej nastavte do polohy sloupců.

Vyberte kartu Řádek a v poli Popisky osy X uveďte rozsah podpisů. Chcete-li to provést, aktivujte toto pole kliknutím ukazatele myši v něm a zadejte rozsah označení os X -A2:A14.

Zadejte hodnoty popisků os u K tomu na pracovním poli Řádek vyberte první položku Řádek 1 a aktivací pracovního pole název kurzorem myši zadejte první hodnotu proměnné y: –2. Pak do terénu Řádek vyberte druhý záznam Řádek 2 a do pracovního pole název zadejte druhou hodnotu proměnné r: –1,5. Takto opakujte až do posledního záznamu - Řádek 9.

Po zobrazení požadovaných položek klikněte na tlačítko Dále.

Třetí okno vyžaduje zadání názvu grafu a názvů os. Chcete-li to provést, vyberte kartu Nadpisy kliknutím na něj ukazatelem myši. Pak na pracovní pole Název grafu zadejte jméno z klávesnice: Hyperbolický paraboloid. Poté stejným způsobem zadejte do pracovních polí Osa X (kategorie),Osa Y (datová řada) A Osa Z (hodnoty) odpovídající jména: x, y A z.

K plochám druhého řádu patří také hyperbolický paraboloid. Tento povrch nelze získat pomocí algoritmu, který používá rotaci určité linie vzhledem k pevné ose.

Ke konstrukci hyperbolického paraboloidu se používá speciální model. Tento model obsahuje dvě paraboly umístěné ve dvou vzájemně kolmých rovinách.

Nechť je parabola I umístěna v rovině a nehybná. Parabola II dělá komplexní pohyb:

▫ jeho počáteční poloha se shoduje s rovinou
a vrchol paraboly se shoduje s počátkem souřadnic: =(0,0,0);

▫ pak se tato parabola pohne paralelní přenos a jeho vrchol
vytvoří trajektorii shodující se s parabolou I;

▫ jsou uvažovány dvě různé počáteční polohy paraboly II: jedna – vzestupné větve paraboly, druhá – sestupné větve.

Zapišme si rovnice: pro první parabolu I:
- stále; pro druhou parabolu II:
– výchozí poloha, pohybová rovnice:
Není těžké v tom vidět smysl
má souřadnice:
. Protože je nutné zobrazit zákon pohybu bodu
: tento bod patří do paraboly I, pak musí být vždy splněny následující vztahy: =
A
.

Z geometrických rysů modelu je dobře vidět, že jde o pohyblivou parabolu zametá nějaký povrch. V tomto případě má rovnice povrchu popsaného parabolou II tvar:

nebo →
. (1)

Tvar výsledné plochy závisí na rozložení znamének parametrů
. Existují dva možné případy:

1). Známky množství p A q se shodují: paraboly I a II jsou umístěny na stejné straně letadla OXY. Přijměme: p = A 2 A q = b 2 . Pak dostaneme rovnici známého povrchu:

→ eliptický paraboloid . (2)

2). Známky množství p A q jsou různé: paraboly I a II jsou umístěny podél různé strany z letadla OXY. Nechat p = A 2 A q = - b 2 . Nyní dostaneme rovnici povrchu:

→hyperbolický paraboloid . (3)

Není těžké si představit geometrický tvar plochy definovaný rovnicí (3), připomeneme-li si kinematický model interakce dvou parabol zapojených do pohybu.

Na obrázku je konvenčně červeně znázorněna parabola I. Je zobrazeno pouze okolí povrchu v počátku souřadnic. Vzhledem k tomu, že tvar povrchu výrazně naznačuje jízdní sedlo, je tato čtvrť často nazývána - sedlo .

Ve fyzice se při studiu stability procesů zavádějí typy rovnováhy: stabilní - díra, konvexní směrem dolů, nestabilní - povrch konvexní nahoru a střední - sedlo. Rovnováha třetího typu je také klasifikována jako typ nestabilní rovnováhy a pouze na červené čáře (parabola I) je rovnováha možná.

§ 4. Válcové plochy.

Při uvažování rotačních ploch jsme identifikovali nejjednodušší válcovou plochu - rotační válec, tedy kruhový válec.

V elementární geometrii je válec definován analogicky s obecnou definicí hranolu. Je to docela složité:

▫ mějme plochý mnohoúhelník v prostoru
- označme to jako a polygon se s ním shoduje
- označme to jako
;

▫ platí pro polygon
pohyb paralelní překlad: body
pohybovat po trajektoriích rovnoběžných s daným směrem ;

▫ pokud zastavíte přenos polygonu
, pak jeho rovina
rovnoběžně s rovinou ;

▫ povrch hranolu se nazývá: soubor mnohoúhelníků ,
– důvody hranoly a rovnoběžníky
,
,... – boční povrch hranoly.

V Použijme elementární definici hranolu k sestrojení obecnější definice hranolu a jeho povrchu, konkrétně rozlišíme:

▫ neohraničený hranol je polyedrické těleso ohraničené hranami ,,... a roviny mezi těmito hranami;

▫ omezený hranol je polyedrické těleso ohraničené hranami ,,... a rovnoběžníky
,
,...; boční povrch tohoto hranolu je soubor rovnoběžníků
,
,...; hranolové základny – soubor mnohoúhelníků ,
.

Mějme neomezený hranol: ,,... Protneme tento hranol libovolnou rovinou . Protneme stejný hranol jinou rovinou
. V průřezu dostaneme mnohoúhelník
. Obecně předpokládáme, že letadlo
není rovnoběžná s rovinou . To znamená, že hranol nebyl postaven paralelním posunem polygonu .

Navržená konstrukce hranolu zahrnuje nejen hranoly rovné a šikmé, ale i libovolné komolé.

V analytické geometrii budeme válcové plochy chápat tak obecně, že neohraničený válec obsahuje jako speciální případ i neohraničený hranol: stačí předpokládat, že mnohoúhelník může být nahrazen libovolnou přímkou, ne nutně uzavřenou - průvodce válec. Směr volal generatrix válec.

Ze všeho, co bylo řečeno, vyplývá: pro definování válcové plochy je nutné určit vodicí čáru a směr tvořící přímky.

Válcové plochy se získávají na základě rovinných křivek 2. řádu, sloužících průvodci Pro formování .

V počáteční fázi studia válcových ploch přijmeme zjednodušující předpoklady:

▫ vedení válcové plochy nechat vždy ležet v jedné ze souřadnicových rovin;

▫ směr tvořící přímky se shoduje s jednou ze souřadnicových os, to znamená kolmou k rovině, ve které je definováno vedení.

Přijatá omezení nevedou ke ztrátě obecnosti, protože to zůstává možné díky výběru řezů podle rovin A
stavět libovolné geometrické tvary: rovné, šikmé, komolé válce.

Eliptický válec .

Vezměme elipsu jako vedení válce :
, umístěný v souřadnicové rovině

: eliptický válec.

Hyperbolický válec .

:

a směr tvořící přímky určuje osu
. V tomto případě je rovnicí válce přímka samotná : hyperbolický válec.

Parabolický válec .

Vezměme hyperbolu jako vedení válce :
, umístěný v souřadnicové rovině
a směr tvořící přímky určuje osu
. V tomto případě je rovnicí válce přímka samotná : parabolický válec.

Komentář: zvažovat hlavní pravidla konstruování rovnic válcových ploch, jakož i uvedených konkrétních příkladů eliptických, hyperbolických a parabolických válců, poznamenáváme: sestrojení válce pro jakoukoli jinou tvořící přímku, za přijatých zjednodušujících podmínek, by nemělo způsobit žádné potíže!

Uvažujme nyní více Obecné podmínky sestavení rovnic válcových ploch:

▫ vedení válcové plochy je umístěno v libovolné rovině prostoru
;

▫ směr tvořící přímky v přijatém souřadnicovém systému je libovolný.

Přijaté podmínky znázorňujeme na obrázku.

▫ válcové povrchové vedení umístěné v libovolné rovině prostor
;

▫ souřadnicový systém
získané ze souřadnicového systému
paralelní přenos;

▫ umístění průvodce v letadle nejvýhodnější: pro křivku 2. řádu budeme předpokládat, že počátek souřadnic shoduje se s centrum symetrie uvažované křivky;

▫ směr tvořící přímky libovolný (lze zadat libovolným způsobem: vektor, přímka atd.).

V následujícím budeme předpokládat, že souřadnicové systémy
A
sladit se. To znamená, že 1. krok obecného algoritmu pro konstrukci válcových ploch odrážejících paralelní posun:
→
, dříve dokončené.

Připomeňme si, jak se v obecném případě bere v úvahu paralelní přenos, na jednoduchém příkladu.

Příklad 6–13 : V souřadnicovém systému
tak jako:
=0. Zapište rovnici tohoto průvodce do systému
.

Řešení:

1). Označme libovolný bod
: v systému
Jak
a v systému
Jak
.

2). Zapišme si vektorovou rovnost:
=
+
. V souřadnicovém tvaru to lze zapsat jako:
=
+
. Nebo ve tvaru:
=
–
, nebo:
=.

3). Napišme rovnici vedení válce v souřadnicovém systému
:

Odpověď: transformovaná vodicí rovnice: =0.

Budeme tedy předpokládat, že střed křivky představující vedení válce je vždy umístěn v počátku souřadnic systému
v letadle .

Rýže. V . Základní výkres pro stavbu válce.

Udělejme ještě jeden předpoklad, který zjednodušuje závěrečné kroky konstrukce válcové plochy. Protože při použití rotace souřadného systému není obtížné vyrovnat směr osy
souřadnicové systémy
s rovinou normální a směry os
A
s vodicími osami symetrie , pak budeme předpokládat, že jako výchozí polohu vodítka máme křivku umístěnou v rovině
a jedna z jeho os symetrie se shoduje s osou
, a druhý s osou
.

Komentář: protože operace paralelní translace a rotace kolem pevné osy jsou poměrně jednoduché, přijaté předpoklady neomezují použitelnost vyvinutého algoritmu pro konstrukci válcové plochy v nejobecnějším případě!

Viděli jsme, že při konstrukci válcové plochy v případě, že vedení umístěný v letadle
a tvořící čára je rovnoběžná s osou
, stačí určit pouze vodítko .

Protože válcovou plochu lze jednoznačně určit zadáním libovolné čáry získané v řezu této plochy libovolnou rovinou, přijmeme následující obecný algoritmus pro řešení problému:

1 ▫ . Nechť směr tvořící čáry válcová plocha daná vektorem . Pojďme navrhnout průvodce , dáno rovnicí:
=0, do roviny kolmé ke směru tvořící přímky , tedy do letadla
. V důsledku toho bude válcová plocha specifikována v souřadnicovém systému
rovnice:
=0.

2 ▫
kolem osy
pod úhlem
: význam úhlu
kompatibilní se systémem
a rovnice kuželové plochy se převede na rovnici:
=0.

3 ▫ . Použijte rotaci souřadnicového systému
kolem osy
pod úhlem
: význam úhlu je z obrázku zcela zřejmé. V důsledku rotace je souřadný systém
kompatibilní se systémem
, a rovnice kuželové plochy se převede na
=0. Toto je rovnice válcové plochy, pro kterou bylo dáno vodítko a generátor v souřadnicovém systému
.

Níže uvedený příklad ilustruje implementaci písemného algoritmu a výpočetní potíže takových problémů.

Příklad 6–14 : V souřadnicovém systému
je dána rovnice vedení válce tak jako:
=9. Napište rovnici pro válec, jehož generátory jsou rovnoběžné s vektorem =(2,–3,4).

R
rozhodnutí:

1). Promítneme vedení válce na rovinu kolmou k . Je známo, že taková transformace změní danou kružnici v elipsu, jejíž osy budou: velké =9 a malé =
.

Tento obrázek znázorňuje návrh kruhu definovaného v rovině
do souřadnicové roviny
.

2). Výsledkem návrhu kružnice je elipsa:
=1, nebo
. V našem případě je to:
, Kde
==.

3
). Tedy rovnice válcové plochy v souřadnicovém systému
přijaté. Protože podle podmínek úlohy musíme mít rovnici tohoto válce v souřadném systému
, pak zbývá použít transformaci souřadnic, která transformuje souřadnicový systém
do souřadnicového systému
, zároveň rovnice válce:
do rovnice vyjádřené pomocí proměnných
.

4). Využijme toho základní kreslení a zapište si všechny trigonometrické hodnoty potřebné k vyřešení problému:

==,
==,
==.

5). Zapišme si vzorce pro transformaci souřadnic při pohybu ze systému
do systému
:
(V)

6). Zapišme si vzorce pro transformaci souřadnic při pohybu ze systému
do systému
:
(S)

7). Substituční proměnné
ze systému (B) do systému (C) a také s přihlédnutím k hodnotám použitých goniometrických funkcí píšeme:

=
=
.

=
=
.

8). Zbývá dosadit nalezené hodnoty A do rovnice vedení válce :
v souřadnicovém systému
. Po dokončení opatrně všech algebraických transformací získáme rovnici kuželové plochy v souřadnicovém systému
: =0.

Odpověď: kuželová rovnice: =0.

Příklad 6–15 : V souřadnicovém systému
je dána rovnice vedení válce tak jako:
=9, =1. Napište rovnici pro válec, jehož generátory jsou rovnoběžné s vektorem =(2,–3,4).

Řešení:

1). Je snadné vidět, že tento příklad se liší od předchozího pouze tím, že vodítko bylo posunuto paralelně o 1 nahoru.

2). To znamená, že ve vztazích (B) bychom měli přijmout: =-1. S přihlédnutím k výrazům systému (C) opravíme zadání pro proměnnou :

=
.

3). Změna se snadno vezme v úvahu úpravou konečné rovnice pro válec z předchozího příkladu:

Odpověď: kuželová rovnice: =0.

Komentář: je snadné vidět, že hlavní problém s vícenásobnými transformacemi souřadnicových systémů v problémech s válcovými plochami je přesnost A vytrvalost v algebraických maratonech: ať žije vzdělávací systém přijatý v naší dlouho trpící zemi!

Výšku paraboloidu lze určit podle vzorce

Objem paraboloidu dotýkajícího se dna je roven polovině objemu válce o poloměru základny R a výšce H, stejný objem zabírá prostor W‘ pod paraboloidem (obr. 4.5a)

Obr.4.5. Poměr objemů v paraboloidu dotýkajícím se dna.

Wп – objem paraboloidu, W‘ – objem pod paraboloidem, Hп – výška paraboloidu

Obr.4.6. Poměr objemů v paraboloidu dotýkajících se okrajů válce Hp je výška paraboloidu., R je poloměr nádoby, Wl je objem pod výškou kapaliny v nádobě před začátkem rotace, z 0 je poloha vrcholu paraboloidu, H je výška kapaliny v nádobě před začátkem rotace.

Na obr. 4.6a je hladina kapaliny ve válci před začátkem rotace H. Objem kapaliny Wl před a po rotaci je zachován a je roven součtu objemu Wt válce o výšce z 0 plus objem kapaliny pod paraboloidem, který se rovná objemu paraboloidu Wp o výšce Hn

Pokud se paraboloid dotýká horní hrany válce, výška kapaliny ve válci před začátkem rotace H rozděluje výšku paraboloidu Hn na dvě stejné části, nejnižší bod (vrchol) paraboloidu se nachází ve vztahu k základně (obr. 4.6c)

Výška H navíc rozděluje paraboloid na dvě části (obr. 4.6c), jejichž objemy se rovnají W 2 = W 1. Z rovnosti objemů parabolického prstence W 2 a parabolické misky W 1, obr. 4.6c

Když povrch paraboloidu protíná dno nádoby (obr. 4.7) W 1 =W 2 =0,5W prstenec

4.7 Objemy a výšky, když povrch paraboloidu protíná dno válce Obr.

Výšky na obr. 4.6

objemy na obr. 4.6.

Umístění volné hladiny v nádobě

Obr.4.8. Tři případy relativního klidu během rotace

1. Pokud je nádoba otevřená, Po = Ratm (obr. 4.8a). Během rotace vrchol paraboloidu klesne pod počáteční úroveň-H a okraje stoupají nad počáteční úroveň, což je poloha vrcholu

2. Pokud je nádoba zcela naplněná, přikrytá víkem, nemá volný povrch, je pod přetlakem Po>Patm, před otočením bude povrch (PP), na kterém bude Po=Patm ve výšce nad úrovní víka. hOi =M/pg, H1=H+ M/pg.

3. Pokud je nádoba zcela naplněna, je pod vakuem Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotace vysokou úhlovou rychlostí (obr. 4.9)

Když se nádoba obsahující kapalinu otáčí vysokou úhlovou rychlostí, lze gravitační sílu ve srovnání s odstředivými silami zanedbat. Zákon změny tlaku v kapalině lze získat ze vzorce

(4.22),

Plochy hladiny tvoří válce se společnou osou, kolem kterých se nádoba otáčí. Pokud není nádoba před začátkem otáčení zcela naplněna, tlak P 0 bude působit podél poloměru r = r 0 , místo výrazu (4.22) budeme mít

ve kterém vezmeme g(z 0 - z) = 0,

Rýže. 4.9 Umístění rotačních ploch v nepřítomnosti gravitace.

Poloměr vnitřního povrchu pro známé H a h

Kolem jeho osy se dá pořídit obyčejný eliptický. Je to duté izometrické těleso, jehož řezy jsou elipsy a paraboly. Eliptický paraboloid je dán vztahem:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Všechny hlavní sekce paraboloidu jsou paraboly. Při řezání rovin XOZ a YOZ se získají pouze paraboly. Pokud nakreslíte kolmý řez vzhledem k rovině Xoy, můžete získat elipsu. Navíc sekce, které jsou parabolami, jsou specifikovány rovnicemi ve tvaru:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Řezy elipsy jsou dány jinými rovnicemi:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Eliptický paraboloid v bodě a=b se změní v paraboloid rotace. Konstrukce paraboloidu má řadu vlastností, které je třeba vzít v úvahu. Operaci zahajte přípravou podkladu - nákresu grafu funkce.

Abyste mohli začít stavět paraboloid, musíte nejprve postavit parabolu. Nakreslete parabolu v rovině Oxz, jak je znázorněno na obrázku. Dejte budoucímu paraboloidu určitou výšku. K tomu nakreslete přímku tak, aby se dotýkala horních bodů paraboly a byla rovnoběžná s osou Ox. Poté nakreslete parabolu v Yozově rovině a nakreslete přímku. Získáte dvě paraboloidní roviny na sebe kolmé. Poté v rovině Xoy zkonstruujte rovnoběžník, který pomůže nakreslit elipsu. Do tohoto rovnoběžníku vepište elipsu tak, aby se dotýkala všech jeho stran. Po těchto transformacích vymažte rovnoběžník a zůstane trojrozměrný obraz paraboloidu.

Existuje také hyperbolický paraboloid, který má konkávnější tvar než eliptický. Jeho sekce mají také paraboly a v některých případech hyperboly. Hlavní úseky podél Oxz a Oyz, jako u eliptického paraboloidu, jsou paraboly. Jsou dány rovnicemi ve tvaru:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Pokud nakreslíte řez vzhledem k ose Oxy, můžete získat hyperbolu. Při konstrukci hyperbolického paraboloidu použijte následující rovnici:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - rovnice hyperbolického paraboloidu

Nejprve sestrojte pevnou parabolu v rovině Oxz. Nakreslete pohybující se parabolu v rovině Oyz. Poté nastavte výšku paraboloidu h. K tomu označte dva body na pevné parabole, které budou vrcholy dvou dalších pohyblivých parabol. Poté nakreslete další souřadnicový systém O"x"y" pro vykreslení hyperbol. Střed tohoto souřadnicového systému by se měl shodovat s výškou paraboloidu. Po všech konstrukcích nakreslete tyto dvě pohyblivé paraboly uvedené výše tak, aby se dotýkaly krajních bodů Výsledkem je hyperbolický paraboloid.