Metodická doporučení pro studium předmětu "Číselné systémy". O axiomatické metodě budování teorie

Axiomatická metoda v matematice.

Základní pojmy a vztahy axiomatické teorie přirozených řad. Definice přirozeného čísla.

Sčítání přirozených čísel.

Násobení přirozených čísel.

Vlastnosti množiny přirozených čísel

Odčítání a dělení přirozených čísel.

Axiomatická metoda v matematice

Při axiomatické konstrukci jakékoli matematické teorie jsou dodržována následující pravidla: určitá pravidla:

1. Některé pojmy teorie jsou vybrány jako hlavní a jsou přijímány bez definice.

2. Jsou formulovány axiomy, které jsou v této teorii přijímány bez důkazu, odhalují vlastnosti základních pojmů.

3. Je uveden každý pojem teorie, který není obsažen ve výčtu základních definice, vysvětluje jeho význam pomocí hlavních a předcházejících pojmů.

4. Každý návrh teorie, který není obsažen v seznamu axiomů, musí být prokázán. Takové návrhy se nazývají teorémy a dokázat je na základě axiomů a teorémů předcházejících uvažovanému.

Systém axiomů by měl být:

a) konzistentní: musíme si být jisti, že vyvozením všech možných závěrů z daného systému axiomů nikdy nedojdeme k rozporu;

b) nezávislý: žádný axiom by neměl být důsledkem jiných axiomů tohoto systému.

PROTI) plný, pokud v jeho rámci lze vždy prokázat buď dané tvrzení, nebo jeho negaci.

Za první zkušenost s konstrukcí axiomatické teorie lze považovat prezentaci geometrie Euklidem v jeho „Prvcích“ (3. století př. Kr.). Významně přispěl k rozvoji axiomatické metody konstrukce geometrie a algebry N.I. Lobačevskij a E. Galois. Na konci 19. stol. Italský matematik Peano vyvinul systém axiomů pro aritmetiku.

Základní pojmy a vztahy axiomatické teorie přirozených čísel. Definice přirozeného čísla.

Jako základní (nedefinovaný) pojem v určité množině N je vybráno přístup a také používá koncepty teorie množin a také pravidla logiky.

Prvek bezprostředně následující za prvkem A, označovat A".

Vztah „přímo následovat“ splňuje následující axiomy:

Peanovy axiomy:

Axiom 1. V hojnosti N existuje přímo prvek ne další ne pro žádný prvek této sady. Zavolejme mu jednotka a označeno symbolem 1 .

Axiom 2. Pro každý prvek A z N existuje pouze jeden prvek A" , bezprostředně následující A .

Axiom 3. Pro každý prvek A z N existuje nejvýše jeden prvek, který bezprostředně následuje A .

Axiom 4. Jakákoli podmnožina M sady N shoduje se s N , pokud má následující vlastnosti: 1) 1 obsaženo v M ; 2) ze skutečnosti, že A obsaženo v M , z toho vyplývá, že A" obsaženo v M.

Definice 1. hromada N , pro jejichž prvky je vztah stanoven "přímo následovat“, splňující axiomy 1-4, se nazývá množina přirozených čísel a jeho prvky jsou přirozená čísla.

V tato definice nic není řečeno o povaze prvků souboru N . Takže to může být cokoliv. Výběr jako set N nějakou konkrétní množinu, na kterou je dán konkrétní vztah „přímo následovat“, splňující axiomy 1-4, dostaneme model tohoto systému axiom.

Standardní model systému Peano axiom je ten, který v tomto procesu vznikl historický vývoj společnost, řada čísel: 1,2,3,4,... Přirozená řada začíná číslem 1 (axiom 1); za každým přirozeným číslem bezprostředně následuje jediné přirozené číslo (axiom 2); každé přirozené číslo bezprostředně následuje nejvýše jedno přirozené číslo (axiom 3); počínaje číslem 1 a přesouváme se k přirozeným číslům bezprostředně za sebou, získáme celou množinu těchto čísel (axiom 4).

Zahájili jsme tedy axiomatickou konstrukci systému přirozených čísel výběrem základního „přímo následovat“ vztah a axiomy, které popisují jeho vlastnosti. Další konstrukce teorie zahrnuje úvahy o známých vlastnostech přirozených čísel a operacích s nimi. Musí být uvedeny v definicích a teorémech, tzn. jsou odvozeny čistě logicky ze vztahu „přímo následovat“ a axiomy 1-4.

První pojem, který zavedeme po definování přirozeného čísla, je přístup "bezprostředně předchází" , což se často používá při zvažování vlastností přírodní řady.

Definice 2. Pokud je to přirozené číslo b přímo následuje přirozené číslo A, to číslo A volal bezprostředně předcházející(nebo předchozí) číslo b .

Vztah „předchází“ má řadu vlastností.

Věta 1. Jednotka nemá žádné předchozí přirozené číslo.

Věta 2. Každé přirozené číslo A, jiné než 1, má jedno předchozí číslo b, takové, že b"= A.

Axiomatická konstrukce teorie přirozených čísel se neuvažuje ani v iniciále, ani v in střední škola. Tyto vlastnosti vztahu „přímo následovat“, které se odrážejí v Peanových axiomech, jsou však předmětem studia v počátečním kurzu matematiky. Již v první třídě se při zvažování čísel první desítky ukáže, jak lze každé číslo získat. Používají se pojmy „následuje“ a „předchází“. Každé nové číslo funguje jako pokračování studovaného segmentu přirozené řady čísel. Studenti jsou přesvědčeni, že za každým číslem následuje další, a navíc jen jedna věc, že ​​přirozená řada čísel je nekonečná.

Sčítání přirozených čísel

Podle pravidel pro konstrukci axiomatické teorie musí být definice sčítání přirozených čísel zavedena pouze pomocí vztahu "přímo sledovat" a koncepty "přirozené číslo" A "předchozí číslo".

Definici sčítání uveďme na úvod následujícími úvahami. Pokud na libovolné přirozené číslo A přidejte 1, dostaneme číslo A", bezprostředně následující A, tj. A+ 1= a" a proto dostaneme pravidlo pro přičtení 1 k libovolnému přirozenému číslu. Ale jak přidat k číslu A přirozené číslo b, odlišná od 1? Využijme následující skutečnost: pokud víme, že 2 + 3 = 5, pak je součet 2 + 4 = 6, což bezprostředně následuje za číslem 5. To se děje proto, že v součtu 2 + 4 je druhý člen číslo bezprostředně následující číslo 3. Tedy 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". V obecný pohled my máme , .

Tato fakta tvoří základ pro definici sčítání přirozených čísel v axiomatické teorii.

Definice 3. Sčítání přirozených čísel je algebraická operace, která má následující vlastnosti:

Číslo a + b volal součet čísel A A b , a samotná čísla A A b - podmínky.

Daný systém axiomů teorie celých čísel není nezávislý, jak je uvedeno ve cvičení 3.1.4.

Věta 1. Axiomatická teorie celých čísel je konzistentní.

Důkaz. Prokážeme konzistenci axiomatické teorie celých čísel na základě předpokladu, že axiomatická teorie přirozených čísel je konzistentní. K tomu postavíme model, na kterém jsou splněny všechny axiomy naší teorie.

Nejprve si postavíme prsten. Zvažte sadu

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) přirozená čísla. Takovou dvojicí pochopíme rozdíl přirozených čísel a–b. Ale dokud není prokázána existence systému celých čísel, ve kterém takový rozdíl existuje, nemáme právo takové označení používat. Zároveň nám takové pochopení dává možnost nastavit vlastnosti dvojic tak, jak požadujeme.

Víme, že různé rozdíly přirozených čísel se mohou rovnat stejnému celému číslu. V souladu s tím, dovolte nám představit na scéně N´ N vztah rovnosti:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Je snadné vidět, že tento vztah je reflexivní, symetrický a tranzitivní. Proto je to vztah ekvivalence a má právo být nazýván rovností. Faktorová sada sad N´ N Z. Jeho prvkům budeme říkat celá čísla. Představují třídy ekvivalence na množině párů. Třída obsahující pár
(a, b), označte [ a, b].

Z a, b] jak je to s rozdílem a–b

[a, b] + [c, d] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ c, d] = [ac+bd, ad+bc].

Je třeba mít na paměti, že přísně vzato, použití provozních symbolů zde není zcela správné. Stejný symbol + označuje sčítání přirozených čísel a dvojic. Protože je ale vždy jasné, v jaké sadě se daná operace provádí, nebudeme zde zavádět samostatný zápis těchto operací.

Je nutné zkontrolovat správnost definic těchto operací, totiž že výsledky nezávisí na volbě prvků A A b, definování dvojice [ a, b]. Opravdu, nech

[a, b] = [A 1 ,b 1 ], [s, d] = [S 1 ,d 1 ].

Znamená to, že a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + S 1. Když sečteme tyto rovnosti, dostaneme

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + S 1 Þ[ a + b, c + d] = [A 1 +S 1 ,b 1 + d 1] Þ

Þ [ a, b] + [c, d] = [A 1 ,b 1 ] + [C 1 ,d 1 ].

Správnost definice násobení se určuje obdobně. Ale zde byste měli nejprve zkontrolovat, že [ a, b] × [ c, d] = [A 1 ,b 1] × [ c, d].

Nyní bychom měli zkontrolovat, že výsledná algebra je prstenec, tedy axiomy (Z1) – (Z6).

Zkontrolujme například komutativnost sčítání, tedy axiom (Z2). My máme

[c, d] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [c, d].

Komutativnost sčítání pro celá čísla je odvozena od komutativnosti sčítání pro přirozená čísla, která je považována za již známou.

Axiomy (Z1), (Z5), (Z6) se kontrolují stejným způsobem.

Roli nuly hraje dvojice. Označme to podle 0 . Opravdu,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Konečně, -[ a, b] = [b, a]. Opravdu,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Nyní zkontrolujeme axiomy rozšíření. Je třeba mít na paměti, že v sestrojeném kruhu nejsou žádná přirozená čísla jako taková, protože prvky kruhu jsou třídy párů přirozených čísel. Proto musíme najít subalgebru izomorfní k semiringu přirozených čísel. Zde opět myšlenka páru [ a, b] jak je to s rozdílem a–b. Přirozené číslo n lze znázornit jako rozdíl dvou přirozených, například takto: n = (n+ 1) – 1. Vzniká tedy návrh na navázání korespondence F: N ® Z podle pravidla

F(n) = [n + 1, 1].

Tato korespondence je injektivní:

F(n) = F(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.

V důsledku toho mezi sebou máme osobní korespondenci N a nějakou podmnožinu Z, kterou označujeme N*. Zkontrolujeme, že ukládá operace:

F(n) + F(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = F(n+m);

F(n) × F(m) = [n+ 1, 1]× [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = F(nm).

Tím se to potvrzuje N* tvoří v Z s ohledem na operace sčítání a násobení subalgebra izomorfní N

Označme dvojici [ n+ 1, 1] od N* n, přes n a, b] my máme

[a, b] = [A + 1, 1] + = [A + 1, 1] – [b + 1, 1] = A – b .

To konečně potvrzuje myšlenku páru [ a, b] jako rozdíl přirozených čísel. Zároveň bylo zjištěno, že každý prvek z konstruované sady Z je reprezentován jako rozdíl dvou přirozených. To pomůže ověřit axiom minimality.

Nechat M – podmnožina Z, obsahující N* a spolu s jakýmikoli prvky A A b jejich rozdíl a – b. Dokažme to v tomto případě M =Z. Ve skutečnosti jakýkoli prvek z Z je reprezentován jako rozdíl dvou přirozených čísel, ke kterým podle podmínky patří M spolu s jeho odlišnostmi.

Z

Věta 2. Axiomatická teorie celých čísel je kategorická.

Důkaz. Dokažme, že jakékoli dva modely, na kterých jsou splněny všechny axiomy této teorie, jsou izomorfní.

Nechť á Z 1, +, ×, N 1 ñ a á Z 2, +, ×, N 2 ñ – dva modely naší teorie. Přísně vzato, operace v nich musí být označeny různými symboly. Od tohoto požadavku ustoupíme, abychom nezahltili výpočty: pokaždé je jasné, o jaké operaci mluvíme. Prvky patřící k uvažovaným modelům budou opatřeny odpovídajícími indexy 1 nebo 2.

Budeme definovat izomorfní zobrazení z prvního modelu do druhého. Protože N 1 a N 2 jsou poloměry přirozených čísel, pak existuje izomorfní zobrazení j prvního pololetí na druhé. Pojďme definovat mapování F: Z 1® Z 2. Každé celé číslo X 1 Î Z 1 je znázorněn jako rozdíl dvou přirozených:
X 1 = a 1 –b 1. Věříme

F (X 1) = j( A 1) – j( b 1).

Pojďme to dokázat F– izomorfismus. Mapování je definováno správně: if X 1 = na 1 kde y 1 = C 1 – d 1, tedy

A 1 –b 1 = C 1 – d 1 Þ A 1 +d 1 = b 1 + C 1 Þ j( A 1 +d 1) = j( b 1 + C 1) Þ

Þ j( A 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( C 1) Þ j( A 1)– j( b 1)= j( C 1) – j( d 1) Þ F(X 1) =F (y 1).

Z toho vyplývá, že f – mapování jedna ku jedné Z 1 palec Z 2. Ale pro kohokoli X 2 z Z 2 můžete najít přírodní prvky A 2 a b 2 takové, že X 2 = a 2 –b 2. Protože j je izomorfismus, mají tyto prvky inverzní obrazy A 1 a b 1. Prostředek, X 2 = j( A 1) – j( b 1) =
= F (A 1 –b 1) a pro každý prvek z Z 2 je prototyp. Proto ta korespondence F jedna ku jedné. Zkontrolujeme, že ukládá operace.

Li X 1 = a 1 –b 1 , y 1 =c 1 –d 1, tedy

X 1 + y 1 = (A 1 + C 1) – (b 1 +d 1),

F(X 1 + y 1) = j( A 1 + C 1) – j( b 1 +d 1) =j( A 1)+ j( C 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( A 1) – j( b 1)+ j( C 1)– j( d 1) =F(X 1) + F(y 1).

Podobně je ověřeno, že je zachováno násobení. Tím se to potvrzuje F je izomorfismus a věta je dokázána.

Cvičení

1. Dokažte, že každý kruh, který obsahuje soustavu přirozených čísel, obsahuje také kruh celých čísel.

2. Dokažte, že každý minimální uspořádaný komutativní kruh s identitou je izomorfní s kruhem celých čísel.

3. Dokažte, že každý uspořádaný kruh s jedním a žádnými nulovými děliteli obsahuje pouze jeden podkruh izomorfní s kruhem celých čísel.

4. Dokažte, že kruh matic druhého řádu nad oborem reálných čísel obsahuje nekonečně mnoho podkruhů izomorfních s kruhem celých čísel.

Obor racionálních čísel

Definice a konstrukce systému racionálních čísel se provádí stejným způsobem jako u systému celých čísel.

Definice. Systém racionálních čísel je minimální pole, které je rozšířením kruhu celých čísel.

V souladu s touto definicí dostáváme následující axiomatickou konstrukci soustavy racionálních čísel.

Primární termíny:

Q– množina racionálních čísel;

0, 1 – konstanty;

+, × – binární operace na Q;

Z- podmnožina Q, množina celých čísel;

Å, Ä – binární operace na Z.

Axiomy:

já Polní axiomy.

(Q1) A+ (b+c) = (a+b) + C.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" A) A + 0 = A.

(Q4) (" A)($(–A)) A + (–A) = 0.

(Q5) A× ( b× C) = (A× b) × C.

(Q6) A× b = b× A.

(Q7) A× 1 = A.

(Q8) (" A¹ 0)($ A –1) A × A –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× C.

II. Axiomy rozšíření.

(Q10) b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – kruh přirozených čísel.

(Q11) Z Í Q.

(Q12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ b.

(Q13) (" a,bÎ Z) A× b = aÄ b.

III. Axiom minimality.

(Q14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® A× b–1 О M)Þ M = Q.

Číslo A× b–1 se nazývá kvocient čísel A A b, označené A/b nebo .

Věta 1. Každé racionální číslo může být reprezentováno jako podíl dvou celých čísel.

Důkaz. Nechat M– množina racionálních čísel, která lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Li n- tedy celý n = n/1 patří M, tedy, ZÍ M. Li a, bÎ M, Že a = k/l, b = m/n, Kde k, l, m, nÎ Z. Proto, A/b=
= (kn) / (lm)Î M. Podle axiomu (Q14) M= Q a věta je dokázána.

Věta 2. Pole racionálních čísel může být lineárně a přísně uspořádané a jedinečným způsobem. Pořadí v oboru racionálních čísel je archimédovské a pokračuje v pořadí v kruhu celých čísel.

Důkaz. Označme podle Q+ množina čísel reprezentovatelných jako zlomek, kde kl> 0. Je snadné vidět, že tato podmínka nezávisí na typu zlomku reprezentujícího číslo.

Pojďme to zkontrolovat Q + – pozitivní část oboru Q. Od pro celé číslo kl jsou možné tři případy: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, pak pro a = dostaneme jednu ze tří možností: a = 0, aО Q+ , –aО Q + . Dále, pokud a = , b = patří Q+ , tedy kl > 0, mn> 0. Potom a + b = a ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Tedy a + bО Q + . Lze ověřit podobným způsobem jako abО Q + . Tím pádem, Q + – pozitivní část oboru Q.

Nechat Q++ – nějaká pozitivní část tohoto oboru. My máme

l =.l 2 О Q ++ .

Odtud NÍ Q++. Podle věty 2.3.4 patří také převrácené hodnoty přirozených čísel Q++. Pak Q + Í Q++. Na základě věty 2.3.6 Q + =Q++. Proto se také řády definované kladnými částmi shodují Q+ a Q ++ .

Protože Z + = NÍ Q+ , pak je pořadí Q pokračuje v pořadí Z.

Nechť nyní a => 0, b => 0. Protože pořadí v kruhu Archimédových celých čísel, pak pro kladné kn A ml je tam něco přirozeného S takové, že S× kn>ml. Odtud S a = S> = b. To znamená, že pořadí v oboru racionálních čísel je archimedovské.

Cvičení

1. Dokažte, že pole racionálních čísel je husté, tedy pro jakákoli racionální čísla A < b existuje racionální r takové, že A < r < b.

2. Dokažte, že rovnice X 2 = 2 nemá žádná řešení Q.

3. Dokažte, že soubor Q počitatelný.

Věta 3. Axiomatická teorie racionálních čísel je konzistentní.

Důkaz. Konzistence axiomatické teorie racionálních čísel se dokazuje stejným způsobem jako u celých čísel. K tomu je postaven model, na kterém jsou splněny všechny axiomy teorie.

Jako základ bereme sadu

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Prvky této sady jsou dvojice ( a, b) celá čísla. Takovou dvojicí budeme rozumět podílu celých čísel A/b. V souladu s tím nastavíme vlastnosti dvojic.

Pojďme se představit na scéně Z´ Z* vztah rovnosti:

(a, b) = (c, d) Û ad = bc.

Poznamenáváme, že jde o vztah ekvivalence a má právo být nazýván rovností. Faktorová sada sad Z´ Z* podle tohoto vztahu rovnosti označujeme Q. Jeho prvkům budeme říkat racionální čísla. Třída obsahující pár ( a, b), označte [ a, b].

Uveďme ve zkonstruované množině Q operace sčítání a násobení. To nám pomůže porozumět prvku [ a, b] jako soukromý A/b. V souladu s tím z definice předpokládáme:

[a, b] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ c, d] = [ac, bd].

Kontrolujeme správnost definic těchto operací, totiž že výsledky nezávisí na volbě prvků A A b, definování dvojice [ a, b]. To se provádí stejným způsobem jako v důkazu věty 3.2.1.

Roli nuly hraje dvojice. Označme to podle 0 . Opravdu,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, bx 1] = [a, b].

Naproti [ a, b] je pár –[ a, b] = [–a, b]. Opravdu,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Jednotkou je dvojice = 1 . Zpět na pár [ a, b] - pár [ b, a].

Nyní zkontrolujeme axiomy rozšíření. Pojďme navázat korespondenci
F: Z ® Q podle pravidla

F(n) = [n, 1].

Zkontrolujeme, že se jedná o vzájemnou korespondenci Z a nějakou podmnožinu Q, kterou označujeme Z*. Dále kontrolujeme, že zachovává operace, což znamená, že mezi nimi vytváří izomorfismus Z a pod prstenem Z* PROTI Q. To znamená, že axiomy rozšíření byly ověřeny.

Označme dvojici [ n, 1] od Z*, odpovídající přirozenému číslu n, přes n . Pak pro libovolný pár [ a, b] my máme

[a, b] = [A, 1] × = [ A, 1] / [b, 1] = A /b .

To ospravedlňuje myšlenku páru [ a, b] jako podíl celých čísel. Zároveň bylo zjištěno, že každý prvek z konstruované sady Q je reprezentován jako podíl dvou celých čísel. To pomůže ověřit axiom minimality. Ověření se provádí jako ve větě 3.2.1.

Tedy pro konstruovaný systém Q všechny axiomy teorie celých čísel jsou splněny, to znamená, že jsme sestavili model této teorie. Věta byla prokázána.

Věta 4. Axiomatická teorie racionálních čísel je kategorická.

Důkaz je podobný jako u věty 3.2.2.

Věta 5. Archimédovo uspořádané pole je rozšířením oboru racionálních čísel.

Důkazem je cvičení.

Věta 6. Nechat F– Archimédovo uspořádané pole, A > b, Kde a, bÎ F. Existuje racionální číslo Î F takové, že A > > b.

Důkaz. Nechat A > b³ 0. Pak a–b> 0 a ( a–b) –1 > 0. Existuje přirozená T takové, že m×1 > ( a–b) –1 , odkud m –1 < a–b £ A. Dále existuje přírodní k takové, že k× m– 1³ A. Nechat k je nejmenší číslo, pro které tato nerovnost platí. Protože k> 1, pak můžeme dát k = n + 1, n Î N. V čem
(n+ 1)× m– 1³ A, n× m –1 < A. Li n× m– 1 £ b, Že A = b + (a–b) > b+m– 1³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-1. Rozpor. Prostředek, A >n× m –1 > b.

Cvičení

4. Dokažte, že každé pole, které obsahuje kruh celých čísel, zahrnuje také pole racionálních čísel.

5. Dokažte, že každé minimální uspořádané pole je izomorfní s polem racionálních čísel.

Reálná čísla

Při konstrukci axiomatické teorie přirozených čísel budou primárními pojmy „prvek“ nebo „číslo“ (které v kontextu tohoto manuálu můžeme považovat za synonyma) a „množina“, hlavní vztahy: „náležení“ (prvek patří do sady), „rovnost“ a „ následovat“, označuje a / (čte se „číslo a tah následuje za číslem a“, například po dvojce následuje trojka, tedy 2 / = 3, po čísle 10 následuje číslo 11, tzn. 10 / = 11 atd.).

Množina přirozených čísel(přirozená řada, kladná celá čísla) je množina N se zavedeným vztahem „následovat“, ve kterém jsou splněny následující 4 axiomy:

A 1. V množině N je prvek tzv jednotka, které za žádným jiným číslem nenásleduje.

A 2 Pro každý prvek přírodní řady je vedle něj jen jeden.

A 3 Každý prvek N následuje nejvýše jeden prvek přirozené řady.

A 4.( Axiom indukce) Jestliže podmnožina M množiny N obsahuje jeden a také spolu s každým svým prvkem a obsahuje také následující prvek a / , pak M se shoduje s N.

Stejné axiomy lze stručně napsat pomocí matematických symbolů:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Pokud prvek b následuje za prvkem a (b = a /), pak řekneme, že prvek a je před prvkem b (nebo předchází b). Tento systém axiomů se nazývá Systémy Peanových axiomů(protože jej v 19. století zavedl italský matematik Giuseppe Peano). Toto je jen jedna z možných množin axiomů, které nám umožňují definovat množinu přirozených čísel; Existují i ​​jiné ekvivalentní přístupy.

Nejjednodušší vlastnosti přirozených čísel

Nemovitost 1. Jsou-li prvky odlišné, pak jsou odlišné i ty, které za nimi následují

a  b => a /  b / .

Důkaz se provádí kontradikcí: předpokládejme, že a / = b /, pak (podle A 3) a = b, což odporuje podmínkám věty.

Nemovitost 2. Jsou-li prvky různé, pak ty, které jim předcházejí (pokud existují), jsou odlišné, tzn

a /  b / => a  b.

Důkaz: předpokládejme, že a = b, pak podle A 2 máme a / = b /, což odporuje podmínkám věty.

Nemovitost 3. Žádné přirozené číslo se nerovná dalšímu.

Důkaz: Uveďme v úvahu množinu M, skládající se z takových přirozených čísel, pro které tento stav provedeno

M = (a  N | a  a / ).

Důkaz provedeme na základě indukčního axiomu. Podle definice množiny M jde o podmnožinu množiny přirozených čísel. Dále 1M, protože po žádném přirozeném čísle nenásleduje (A 1), což znamená, že i pro a = 1 platí: 1  1 / . Předpokládejme nyní, že nějaké a  M. To znamená, že a  a / (podle definice M), odkud a /  (a /) / (vlastnost 1), tedy a /  M. Ze všech výše, na základě Použití axiomů indukce můžeme dojít k závěru, že M = N, to znamená, že naše věta platí pro všechna přirozená čísla.

Věta 4. Pro jakékoli přirozené číslo jiné než 1 je před ním číslo.

Důkaz: Zvažte sadu

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Toto M je podmnožinou množiny přirozených čísel, jedno do této množiny jednoznačně patří. Druhou částí této množiny jsou prvky, pro které existují předchůdci, tedy pokud a  M, pak a / patří také do M (jeho druhá část, protože a / má předchůdce - to je a). Na základě axiomu indukce se tedy M shoduje s množinou všech přirozených čísel, což znamená, že všechna přirozená čísla jsou buď 1, nebo ta, pro která existuje předcházející prvek. Věta byla prokázána.

Důslednost axiomatické teorie přirozených čísel

Za intuitivní model množiny přirozených čísel můžeme považovat množiny přímek: číslu 1 bude odpovídat |, číslu 2 || atd., to znamená, že přirozená řada bude vypadat takto:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Tyto řady řádků mohou sloužit jako model přirozených čísel, pokud se jako vztah „následovat“ použije „přiřazení jednoho řádku číslu“. Platnost všech axiomů je intuitivně zřejmá. Tento model samozřejmě není striktně logický. Chcete-li sestavit rigorózní model, musíte mít další zjevně konzistentní axiomatickou teorii. Ale takovou teorii, jak bylo uvedeno výše, nemáme k dispozici. Buď jsme tedy nuceni spoléhat na intuici, nebo se neuchylovat k metodě modelů, ale odvolávat se na skutečnost, že po více než 6 tisíc let, během nichž se provádělo studium přirozených čísel, žádné rozpory s tyto axiomy byly objeveny.

Nezávislost systému Peanova axiomu

K prokázání nezávislosti prvního axiomu stačí sestrojit model, ve kterém axiom A 1 je nepravdivý a axiomy A 2, A 3, A 4 jsou pravdivé. Uvažujme čísla 1, 2, 3 jako primární členy (prvky) a definujme vztah „následovat“ vztahy: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

V tomto modelu není žádný prvek, který by nenavazoval na žádný jiný (axiom 1 je nepravdivý), ale všechny ostatní axiomy jsou splněny. První axiom tedy nezávisí na ostatních.

Druhý axiom se skládá ze dvou částí – existence a jedinečnosti. Nezávislost tohoto axiomu (z hlediska existence) lze ilustrovat na modelu dvou čísel (1, 2) se vztahem „následovat“ definovaným jediným vztahem: 1 / = 2:

U dvou chybí další prvek, ale axiomy A 1, A 3, A 4 jsou pravdivé.

Nezávislost tohoto axiomu, pokud jde o jedinečnost, je ilustrována modelem, ve kterém množina N bude množinou všech běžných přirozených čísel a také všech druhů slov (množiny písmen, která nemusí mít význam) vytvořených nahoru písmen latinské abecedy (po písmenu z bude další aa, pak ab ... az, pak ba ...; všechna možná dvoupísmenná slova, z nichž poslední je zz, budou následovat slovo aaa a tak dále). Zavedeme vztah „následovat“, jak je znázorněno na obrázku:

Zde platí také axiomy A 1, A 3, A 4, ale po 1 bezprostředně následují dva prvky 2 a a. Axiom 2 tedy nezávisí na ostatních.

Nezávislost Axiom 3 ilustruje model:

ve kterém platí A 1, A 2, A 4, ale číslo 2 následuje po čísle 4 i po čísle 1.

K prokázání nezávislosti indukčního axiomu použijeme množinu N, skládající se ze všech přirozených čísel a také ze tří písmen (a, b, c). V tomto modelu lze zavést následující vztah, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

Zde se pro přirozená čísla používá obvyklá relace follow a pro písmena je relace follow definována následujícími vzorci: a / = b, b / = c, c / = a. Je zřejmé, že 1 nenásleduje za žádným přirozeným číslem, pro každé existuje další a pouze jeden, za každým prvkem následuje nejvýše jeden prvek. Pokud však budeme uvažovat množinu M sestávající z běžných přirozených čísel, pak to bude podmnožina této množiny obsahující jedno, stejně jako další prvek pro každý prvek z M. Tato podmnožina se však nebude shodovat s celým modelem pod úvahu, protože nebude obsahovat písmena a, b, c. Indukční axiom tedy není v tomto modelu splněn, a proto indukční axiom nezávisí na ostatních axiomech.

Axiomatická teorie přirozených čísel je kategorický(úplné v užším slova smyslu).

 (n /) = ( (n)) / .

Princip úplné matematické indukce.

Indukční věta. Nechť je formulováno nějaké tvrzení P(n) pro všechna přirozená čísla a budiž a) P(1) pravdivé, b) z toho, že P(k) je pravdivé, vyplývá, že platí i P(k /). Pak platí tvrzení P(n) pro všechna přirozená čísla.

Abychom to dokázali, zaveďme množinu M přirozených čísel n (M  N), pro kterou platí tvrzení P(n). Použijme axiom A 4, to znamená, že se pokusíme dokázat, že:

1. k  M => k /  M.

Pokud uspějeme, pak podle axiomu A 4 můžeme dojít k závěru, že M = N, tedy P(n) platí pro všechna přirozená čísla.

1) Podle podmínky a) věty platí P(1), proto 1  M.

2) Jestliže nějaké k  M, pak (podle konstrukce M) platí P(k). Podle podmínky b) věty to znamená pravdivost P(k /), což znamená k /  M.

Tedy podle indukčního axiomu (A 4) M = N, což znamená, že P(n) platí pro všechna přirozená čísla.

Axiom indukce nám tedy umožňuje vytvořit metodu pro dokazování teorémů „indukcí“. Tato metoda hraje klíčovou roli při dokazování základních aritmetických vět o přirozených číslech. Skládá se z následujícího:

1) kontroluje se platnost výpisun=1 (indukční základna) ,

2) platnost tohoto prohlášení se předpokládá pron= k, Kdek– libovolné přirozené číslo(indukční hypotéza) , a s přihlédnutím k tomuto předpokladu je platnost prohlášení stanovena pron= k / (indukční krok ).

Důkaz založený na daném algoritmu se nazývá důkaz matematickou indukcí .

Úkoly pro samostatné řešení

č. 1.1. Zjistěte, které z uvedených systémů splňují Peanovy axiomy (jsou modely množiny přirozených čísel), určete, které axiomy jsou splněny a které ne.

a) N = (3, 4, 5...), n/ = n + 1;

b) N =(n  6, n  N n/ = n + 1;

c) N =(n  – 2, n  Z n/ = n + 1;

d) N =(n  – 2, n  Z n/ = n + 2;

e) lichá přirozená čísla, n / = n +1;

f) lichá přirozená čísla, n / = n +2;

g) Přirozená čísla s poměrem n / = n + 2;

h) N = (1, 2, 3), 1/ = 3, 2/ = 3, 3/ = 2;

i) N = (1, 2, 3, 4, 5), 1/= 2, 2/ = 3, 3/ = 4, 4/ = 5, 5/ = 1;

j) Přirozená čísla, násobky 3 s poměrem n / = n + 3

k) Sudá přirozená čísla s poměrem n / = n + 2

m) celá čísla,
.

Doporučení jsou určena studentům vysokých škol pedagogických studujících obor „Algebra a teorie čísel“. V rámci této disciplíny se v souladu s státní norma v 6. semestru se studuje sekce "Číselné soustavy". Tato doporučení představují materiál o axiomatické konstrukci systémů přirozených čísel (systém Peanova axiomu), systémů celých a racionálních čísel. Tato axiomatika nám umožňuje lépe pochopit, co je to číslo, které je jedním ze základních pojmů školního kurzu matematiky. Pro lepší asimilaci materiálu jsou uvedeny problémy na relevantní témata. Na konci doporučení jsou odpovědi, pokyny a řešení problémů.

Recenzent: doktor pedagogických věd, Prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Podepsáno k publikaci - 22.10.98

1. PŘIROZENÁ ČÍSLA.

1.1 Systém Peanova axiomu a nejjednodušší důsledky.

Výchozími pojmy v Peanově axiomatické teorii jsou množina N (kterou budeme nazývat množina přirozených čísel), z ní speciální číslo nula (0) a na N „následuje“ binární relace označovaná S(a) (příp. A()).
AXIOMY:
1. ((a(N) a"(0) (Existuje přirozené číslo 0, které nenásleduje žádné číslo.)
2. a=b (a"=b" (Za každé přirozené číslo a následuje přirozené číslo a" a pouze jedno.)
3. a"=b" (a=b (Za každým přirozeným číslem následuje nejvýše jedno číslo.)
4. (indukční axiom) Pokud množina M(N a M splňuje dvě podmínky:
A) 0 (M;
B) ((a(N)a(M®a"(M, potom M=N.
Ve funkční terminologii to znamená, že mapování S:N®N je injektivní. Z axiomu 1 vyplývá, že zobrazení S:N®N není surjektivní. Axiom 4 je základem pro dokazování tvrzení „metodou matematické indukce“.
Všimněme si některých vlastností přirozených čísel, které přímo vyplývají z axiomů.
Vlastnost 1. Za každým přirozeným číslem a(0 následuje jediné číslo.
Důkaz. Označme M množinu přirozených čísel obsahujících nulu a všechna tato přirozená čísla, z nichž každé následuje za nějakým číslem. Stačí ukázat, že M=N, jednoznačnost vyplývá z axiomu 3. Použijme indukční axiom 4:
A) 0(M - konstrukcí množiny M;
B) jestliže a(M, pak a"(M, protože a" následuje po a.
To znamená, podle axiomu 4, M=N.
Vlastnost 2. Pokud a(b, pak a"(b".
Vlastnost se dokazuje kontradikcí pomocí axiomu 3. Následující vlastnost 3 se dokazuje podobným způsobem pomocí axiomu 2.
Vlastnost 3. Pokud a"(b", pak a(b.
Vlastnost 4. ((a(N)a(a). (Za sebou nenásleduje žádné přirozené číslo.)
Důkaz. Nechť M=(x (x(N, x(x")). Stačí ukázat, že M=N. Protože podle axiomu 1 ((x(N)x"(0, pak zejména 0"(0) , a tedy podmínka A) axiomu 4 0(M - je splněna. Pokud x(M, tedy x(x), pak pomocí vlastnosti 2 x"((x")", což znamená, že podmínka B) x (M® x"(M. Ale pak, podle axiomu 4, M=N.
Nechť ( je nějaká vlastnost přirozených čísel. Skutečnost, že číslo a má vlastnost (, budeme psát ((a).
Úkol 1.1.1. Dokažte, že axiom 4 z definice množiny přirozených čísel je ekvivalentní následujícímu tvrzení: pro jakoukoli vlastnost (, if ((0) a, potom.
Úkol 1.1.2. Na tříprvkové množině A=(a,b,c) je unární operace ( definována takto: a(=c, b(=c, c(=a. Které z Peanových axiomů jsou pravdivé na množině) A s operací (?
Úkol 1.1.3. Nechť A=(a) je singletonová množina, a(=a. Které z Peanových axiomů platí na množině A s operací (?
Úkol 1.1.4. Na množině N definujeme unární operaci, za předpokladu pro libovolnou. Zjistěte, zda výroky Peanových axiomů formulované pomocí operace budou pravdivé v N.
Problém 1.1.5. Nech být. Dokažte, že A je pod operací uzavřeno (. Ověřte pravdivost Peanových axiomů na množině A pomocí operace (.
Problém 1.1.6. Nech být, . Definujme unární operaci na A, nastavení. Které z Peanových axiomů jsou pravdivé na množině A s operací?

1.2. Konzistence a kategoričnost systému Peanova axiomu.

Systém axiomů se nazývá konzistentní, pokud z jeho axiomů nelze dokázat větu T a její negaci (T. Je jasné, že protichůdné systémy axiomů nemají v matematice žádný význam, protože v takové teorii lze dokázat cokoli a takové teorie neodráží zákony reálného světa Proto je konzistence systému axiomů naprosto nezbytným požadavkem.
Pokud se v axiomatické teorii nenachází věta T a její negace (T), neznamená to, že systém axiomů je konzistentní, takové teorie se mohou objevit v budoucnu, proto je třeba prokázat konzistenci systému axiomů. nejběžnějším způsobem, jak dokázat konzistenci, je metoda interpretace, založená na skutečnosti, že pokud existuje interpretace systému axiomů ve zjevně konzistentní teorii S, pak je konzistentní i samotný systém axiomů. Pokud by byl systém axiomů nekonzistentní, pak věty T a (T by v něm byly prokazatelné, ale pak by tyto věty byly platné a při jeho výkladu, a to odporuje konzistenci teorie S. Metoda výkladu umožňuje dokázat pouze relativní konzistenci teorie.
Pro systém Peanových axiomů lze konstruovat mnoho různých interpretací. Teorie množin je obzvláště bohatá na interpretace. Uveďme jeden z těchto výkladů. Množiny (, ((), ((()), (((())),... budeme považovat za přirozená čísla, nulu budeme považovat za speciální číslo (. Vztah „následuje“ bude interpretovat následovně: po množině M následuje množina (M), jejímž jediným prvkem je samotné M. Tedy ("=((), (()"=((()) atd. Proveditelnost axiomy 1-4 lze snadno ověřit. Účinnost takové interpretace je však malá: ukazuje, že systém Peanových axiomů je konzistentní, pokud je konzistentní teorie množin. Ale dokázat konzistenci systému axiomů teorie množin je ještě obtížnější Nejpřesvědčivější interpretací systému Peanova axiomu je intuitivní aritmetika, jejíž konzistentnost je potvrzena staletými vývojovými zkušenostmi.
Konzistentní systém axiomů se nazývá nezávislý, pokud každý axiom tohoto systému nelze dokázat jako teorém na základě jiných axiomů. Dokázat, že axiom (nezávisí na jiných axiomech systému
(1, (2, ..., (n, ((1))
stačí dokázat, že systém axiomů je konzistentní
(1, (2, ..., (n, (((2))
Pokud by (bylo prokázáno na základě zbývajících axiomů systému (1), pak by systém (2) byl rozporuplný, protože v něm věta (a axiom ((.
K prokázání nezávislosti axiomu (na ostatních axiomech systému (1) tedy stačí zkonstruovat interpretaci systému axiomů (2).
Nezávislost systému axiomů je volitelným požadavkem. Někdy, aby se zabránilo dokazování „obtížných“ teorémů, je konstruován záměrně redundantní (závislý) systém axiomů. Avšak „extra“ axiomy znesnadňují studium role axiomů v teorii i vnitřních logické souvislosti mezi různými obory teorie. Konstruování interpretací pro závislé systémy axiomů je navíc mnohem obtížnější než pro nezávislé; Koneckonců, musíme zkontrolovat platnost axiomů „navíc“. Z těchto důvodů byla otázka závislosti mezi axiomy od starověku přikládána prvořadý význam. Pokusy dokázat, že postulát 5 v Euklidových axiomech „Existuje nejvýše jedna přímka procházející bodem A rovnoběžně s přímkou ​​(“ je věta (tj. závisí na zbývajících axiomech) a vedly k objevu Lobačevského geometrie.
Konzistentní systém se nazývá deduktivně úplný, pokud lze jakýkoli výrok A dané teorie buď dokázat, nebo vyvrátit, tedy buď A nebo (A je teorém této teorie. Existuje-li tvrzení, které nelze ani dokázat, ani vyvrátit, pak se systém axiomů nazývá deduktivně neúplný. Deduktivní úplnost také není povinným požadavkem. Například systém axiomů teorie grup, teorie prstenců, teorie pole jsou neúplné, protože existují konečné i nekonečné grupy, okruhy, pole , pak v těchto teoriích není možné ani dokázat, ani vyvrátit tvrzení: "Grupa (kruh, pole) obsahuje konečný počet prvků."
Je třeba poznamenat, že v mnoha axiomatických teoriích (zejména v neformalizovaných) nelze množinu výroků považovat za přesně definovanou, a proto nelze prokázat deduktivní úplnost systému axiomů takové teorie. Další pocit úplnosti se nazývá kategoričnost. Systém axiomů se nazývá kategorický, pokud jsou libovolné dva jeho výklady izomorfní, to znamená, že existuje taková korespondence jedna ku jedné mezi sadami počátečních objektů jedné a druhé interpretace, která je zachována ve všech počátečních vztazích. Kategoričnost je také volitelná podmínka. Například axiomový systém teorie grup není kategorický. To vyplývá ze skutečnosti, že konečná grupa nemůže být izomorfní s nekonečnou grupou. Při axiomatizaci teorie jakéhokoli numerického systému je však kategoričnost povinná; například kategoriální povaha systému axiomů definujících přirozená čísla znamená, že až do izomorfismu existuje pouze jedna přirozená řada.
Dokažme kategoričnost systému Peanových axiomů. Nechť (N1, s1, 01) a (N2, s2, 02) jsou libovolné dvě interpretace systému Peanových axiomů. Je nutné uvést bijektivní (jedna ku jedné) mapování f:N1®N2, pro které jsou splněny následující podmínky:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) pro libovolné x z N1;
b) f(01)=02
Pokud jsou obě unární operace s1 a s2 označeny stejným prvočíslem, pak se podmínka a) přepíše jako
a) f(x()=f(x)(.
Definujme binární relaci f na množině N1(N2) pomocí následujících podmínek:
1) 01f02;
2) pokud xfy, pak x(fy(.
Ujistěte se, že tento vztah je zobrazením z N1 na N2, tedy pro každé x z N1
(((y(N2) xfy (1)
Označme M1 množinu všech prvků x z N1, pro které je splněna podmínka (1). Pak
A) 01 (M1 kvůli 1);
B) x(M1® x((M1 na základě 2) a vlastnosti 1 odstavce 1.
Odtud podle axiomu 4 usuzujeme, že M1=N1, což znamená, že vztah f je zobrazením N1 do N2. Navíc z 1) vyplývá, že f(01)=02. Podmínka 2) se zapisuje ve tvaru: jestliže f(x)=y, pak f(x()=y(. Z toho plyne, že f(x()=f(x)(). Pro zobrazení podmínky f a ) ab) jsou splněny.Zbývá dokázat, že zobrazení f je bijektivní.
Označme M2 množinu těch prvků z N2, z nichž každý je obrazem jednoho a pouze jednoho prvku z N1 pod zobrazením f.
Protože f(01)=02, pak 02 je obrázek. Navíc, pokud x(N2 a x(01), pak vlastností 1 položky 1 x následuje nějaký prvek c z N1 a pak f(x)=f(c()=f(c)((02. To znamená 02 je obraz jediného prvku 01, tedy 02(M2.
Nechť dále y(M2 a y=f(x), kde x je jediný inverzní obraz prvku y. Potom podle podmínky a) y(=f(x)(=f(x()), tj. y(je obraz prvku x (. Nechť c je libovolný inverzní obraz prvku y(, tj. f(c)=y(. Protože y((02), pak c(01 a pro c) je předchozí) prvek, který označíme d. Potom y(=f(c)=f(d()=f(d)(), odkud podle axiomu 3 y=f(d). Ale protože y(M2, pak d= x, odkud c=d(=x(. Dokázali jsme, že je-li y obrazem jedinečného prvku, pak y(je obrazem jedinečného prvku, tedy y(M2 ® y((M2. Oba). podmínky axiomu 4 jsou splněny, a proto M2=N2, čímž je důkaz kategoričnosti dokončen.
Celá pre-řecká matematika byla empirické povahy. Jednotlivé prvky teorie byly utopeny v mase empirických metod řešení praktických problémů. Řekové tento empirický materiál podrobili logickému zpracování a snažili se najít souvislosti mezi různými empirickými informacemi. V tomto smyslu sehrál hlavní roli v geometrii Pythagoras a jeho škola (5. století př. n. l.). Myšlenky axiomatické metody jasně zazněly v dílech Aristotela (4. století př. n. l.). Nicméně, praktické provedení Tyto myšlenky provedl Euclid ve svých Prvcích (3. století př. n. l.).
V současné době lze rozlišit tři formy axiomatických teorií.
1). Smysluplná axiomatika, která byla do poloviny minulého století jediná.
2). Poloformální axiomatika, která vznikla v poslední čtvrtině minulého století.
3). Formální (neboli formalizovaná) axiomatika, za jejíž datum narození lze považovat rok 1904, kdy D. Hilbert publikoval svůj slavný program o základních principech formalizované matematiky.
Každá nová forma nepopírá předchozí, ale je jejím rozvojem a vyjasněním, takže úroveň přísnosti každé nové formy je vyšší než ta předchozí.
Intenzivní axiomatika se vyznačuje tím, že výchozí pojmy mají intuitivně jasný význam ještě před formulováním axiomů. V Euklidových prvcích tedy bod znamená přesně to, co tímto pojmem intuitivně chápeme. V tomto případě se používá běžný jazyk a běžná intuitivní logika, která sahá až k Aristotelovi.
Semiformální axiomatické teorie také používají běžný jazyk a intuitivní logiku. Původní pojmy však na rozdíl od smysluplné axiomatiky nedostávají žádný intuitivní význam, jsou charakterizovány pouze axiomy. To zvyšuje přísnost, protože intuice do určité míry narušuje přísnost. Obecnosti se navíc získá, protože každá věta dokázaná v takové teorii bude platná v jakékoli interpretaci. Příkladem semiformální axiomatické teorie je Hilbertova teorie, uvedená v jeho knize „Základy geometrie“ (1899). Příkladem semiformálních teorií je také teorie prstenců a řada dalších teorií prezentovaných v kurzu algebry.
Příkladem formalizované teorie je výrokový počet, studovaný v kurzu matematické logiky. Na rozdíl od substantivní a poloformální axiomatiky používá formalizovaná teorie speciální symbolický jazyk. Totiž je dána abeceda teorie, tedy určitý soubor symbolů, které hrají stejnou roli jako písmena v běžném jazyce. Jakákoli konečná posloupnost znaků se nazývá výraz nebo slovo. Mezi výrazy se rozlišuje třída vzorců a je uvedeno přesné kritérium, které umožňuje u každého výrazu zjistit, zda se jedná o vzorec. Vzorce hrají stejnou roli jako věty v běžném jazyce. Některé vzorce jsou deklarovány jako axiomy. Kromě toho jsou specifikována pravidla logického vyvozování; Každé takové pravidlo znamená, že určitý vzorec přímo vyplývá z určité sady vzorců. Důkazem samotné věty je konečný řetězec formulí, ve kterém poslední formule je věta samotná a každá formule je buď axiomem, nebo dříve dokázanou větou, nebo přímo vyplývá z předchozích vzorců řetězce podle některého z pravidla vyvozování. O přísnosti důkazů tedy není vůbec pochyb: buď je daný řetězec důkazem, nebo není, neexistují žádné pochybné důkazy. V tomto ohledu se formalizovaná axiomatika používá ve zvláště jemných otázkách zdůvodnění matematických teorií, kdy běžná intuitivní logika může vést k chybným závěrům, ke kterým dochází zejména kvůli nepřesnostem a nejednoznačnostem našeho běžného jazyka.
Protože ve formalizované teorii lze o každém výrazu říci, zda se jedná o formuli, lze množinu vět formalizované teorie považovat za určitou. V tomto ohledu lze v zásadě nastolit otázku dokazování deduktivní úplnosti i dokazování konzistence, aniž bychom se uchylovali k výkladu. V řadě jednoduchých případů toho lze dosáhnout. Například konzistence výrokového počtu je prokázána bez interpretace.
V neformalizovaných teoriích není mnoho tvrzení jasně definováno, takže je zbytečné klást otázku dokazování konzistence, aniž bychom se uchýlili k interpretacím. Totéž platí pro otázku prokázání deduktivní úplnosti. Pokud se však setkáme s návrhem neformalizované teorie, kterou nelze dokázat ani vyvrátit, pak je teorie zjevně deduktivně neúplná.
Axiomatická metoda je odedávna využívána nejen v matematice, ale i ve fyzice. První pokusy v tomto směru učinil Aristoteles, ale axiomatická metoda získala své skutečné uplatnění ve fyzice až v Newtonových pracích o mechanice.
V souvislosti s rychlým procesem matematizace věd dochází i k procesu axiomatizace. V současné době se axiomatická metoda dokonce používá v některých oblastech biologie, například v genetice.
Přesto možnosti axiomatické metody nejsou neomezené.
Předně poznamenáváme, že ani ve formalizovaných teoriích se nelze zcela vyhnout intuici. Samotná formalizovaná teorie bez interpretací nemá žádný význam. Vyvstává proto řada otázek ohledně vztahu mezi formalizovanou teorií a její interpretací. Kromě toho, stejně jako ve formalizovaných teoriích, vyvstávají otázky o konzistenci, nezávislosti a úplnosti systému axiomů. Souhrn všech takových otázek tvoří obsah další teorie, která se nazývá metateorie formalizované teorie. Na rozdíl od formalizované teorie je jazykem metateorie běžný každodenní jazyk a logické uvažování se provádí podle pravidel běžné intuitivní logiky. Intuice, zcela vyloučená z formalizované teorie, se tak znovu objevuje v její metateorii.
To ale není hlavní slabina axiomatické metody. Již jsme zmínili program D. Hilberta, který položil základ pro formalizovanou axiomatickou metodu. Hilbertovou hlavní myšlenkou bylo vyjádřit klasickou matematiku jako formalizovanou axiomatickou teorii a následně dokázat její konzistenci. Tento program se však ve svých hlavních bodech ukázal jako utopický. V roce 1931 rakouský matematik K. Gödel dokázal své slavné věty, z nichž vyplývalo, že oba hlavní Hilbertovy problémy jsou nemožné. Pomocí své kódovací metody se mu podařilo vyjádřit některé pravdivé předpoklady z metateorie pomocí vzorců formální aritmetiky a dokázat, že tyto vzorce nejsou ve formální aritmetice odvoditelné. Formalizovaná aritmetika se tedy ukázala jako deduktivně neúplná. Z Gödelových výsledků vyplynulo, že pokud se tato neprokazatelná formule započítá do počtu axiomů, pak bude existovat další neprokazatelná formule vyjadřující nějakou pravdivou tezi. To vše znamenalo, že nejen veškerou matematiku, ale ani aritmetiku - její nejjednodušší část - nelze zcela formalizovat. Gödel zejména zkonstruoval vzorec odpovídající větě „Formální aritmetika je konzistentní“ a ukázal, že tento vzorec také není odvoditelný. Tato skutečnost znamená, že konzistenci formalizované aritmetiky nelze prokázat v rámci aritmetiky samotné. Samozřejmě je možné zkonstruovat silnější formalizovanou teorii a použít její prostředky k prokázání konzistence formalizované aritmetiky, ale pak vyvstává složitější otázka o konzistenci této nové teorie.
Gödelovy výsledky ukazují na omezení axiomatické metody. A přesto neexistuje absolutně žádný základ pro pesimistické závěry v teorii poznání, že existují nepoznatelné pravdy. Skutečnost, že existují aritmetické pravdy, které nelze dokázat ve formální aritmetice, neznamená, že existují nepoznatelné pravdy, a neznamená, že lidské myšlení je omezené. Znamená to pouze, že možnosti našeho myšlení se neomezují na zcela formalizované postupy a že lidstvo musí teprve objevit a vymyslet nové principy dokazování.

1.3.Sčítání přirozených čísel

Operace sčítání a násobení přirozených čísel nejsou postulovány systémem Peanových axiomů, my si tyto operace definujeme.
Definice. Sčítání přirozených čísel je binární algebraická operace + na množině N, která má tyto vlastnosti:
1s. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Nabízí se otázka: existuje taková operace, a pokud ano, je jediná?
Teorém. Existuje pouze jedno sčítání přirozených čísel.
Důkaz. Binární algebraická operace na množině N je zobrazení (:N(N®N. Je nutné dokázat, že existuje jedinečné zobrazení (:N(N®N) s vlastnostmi: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Pokud pro každé přirozené číslo x dokážeme existenci zobrazení fx:N®N s vlastnostmi 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), pak funkce ((x,y), definovaná rovností ((x ,y) (fx(y), bude splňovat podmínky 1) a 2 ).
Na množině N definujeme binární relaci fx podmínkami:
a) 0fxx;
b) pokud yfxz, pak y(fxz(.
Ujistěte se, že tento vztah je zobrazením z N na N, tedy pro každé y z N
(((z(N) yfxz (1)
Označme M množinu přirozených čísel y, pro kterou je splněna podmínka (1). Pak z podmínky a) vyplývá, že 0(M, az podmínky b) a vlastnosti 1 klauzule 1 vyplývá, že pokud y(M, pak y((M. Na základě axiomu 4 tedy dojdeme k závěru, že M = N , a to znamená, že vztah fx je zobrazení z N na N. Pro toto zobrazení jsou splněny následující podmínky:
1() fx(0)=x - kvůli a);
2() fx((y)=fx(y() - na základě b).
Existence sčítání je tedy prokázána.
Pojďme dokázat jedinečnost. Nechť + a ( jsou libovolné dvě binární algebraické operace na množině N s vlastnostmi 1c a 2c. Musíme dokázat, že
((x,y(N) x+y=x(y
Opravme libovolné číslo x a označme S množinu těch přirozených čísel y, pro která platí rovnost
x+y=x(y (2)
provedeno. Protože podle 1c x+0=x a x(0=x, pak
A) 0 (S
Nechť je nyní splněno y(S, tedy rovnost (2). Protože x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(a x+y=x(y)), pak axiomem 2 x+y(=x(y(, to znamená, že podmínka je splněna
B) y(S® y((S.
Podle axiomu 4 tedy S=N, čímž je důkaz věty dokončen.
Dokažme některé vlastnosti sčítání.
1. Číslo 0 je neutrální prvek sčítání, tedy a+0=0+a=a pro každé přirozené číslo a.
Důkaz. Rovnost a+0=a vyplývá z podmínky 1c. Dokažme rovnost 0+a=a.
Označme M množinu všech čísel, pro které platí. Je zřejmé, že 0+0=0 a tedy 0(M. Nechť a(M, tedy 0+a=a. Potom 0+a(=(0+a)(=a(a tedy a((M) To znamená M=N, což je potřeba dokázat.
Dále potřebujeme lemma.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Důkaz. Nechť M je množina všech přirozených čísel b, pro která platí rovnost a(+b=(a+b) pro libovolnou hodnotu a. Pak:
A) 0(M, protože a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Skutečně, ze skutečnosti, že b(M a 2c), máme
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
tedy b((M. To znamená M=N, což je to, co je potřeba dokázat.
2. Sčítání přirozených čísel je komutativní.
Důkaz. Nechť M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Stačí dokázat, že M=N). Máme:
A) 0 (M - kvůli vlastnosti 1.
B) a(M ® a((M. Při použití lemmatu a skutečnosti, že a(M, dostaneme:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
To znamená a((M, a podle axiomu 4 M=N.
3. Sčítání je asociativní.
Důkaz. Nechat
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
Je třeba prokázat, že M=N. Protože (a+b)+0=a+b a a+(b+0)=a+b, pak 0(M. Nechť c(M, to je (a+b)+c=a+(b+c ) . Pak
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
To znamená c((M a podle axiomu 4 M=N.
4. a+1=a(, kde 1=0(.
Důkaz. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Pokud b(0, pak ((a(N)a+b(a.
Důkaz. Nechť M=(a(a(N(a+b(a). Protože 0+b=b(0), pak 0(M.) Dále, pokud a(M, to znamená a+b(a), pak) vlastnost 2 položka 1 (a+b)((a(nebo a(+b(a(. Takže a((M a M=N.
6. Pokud b(0, pak ((a(N)a+b(0.
Důkaz. Pokud a=0, pak 0+b=b(0, ale pokud a(0 a a=c(, pak a+b=c(+b=(c+b)(0). Takže v každém případě a + b(0.
7. (Zákon trichotomie sčítání). Pro všechna přirozená čísla a a b platí pouze jeden ze tří vztahů:
1) a=b;
2) b=a+u, kde u(0;
3) a=b+v, kde v(0.
Důkaz. Opravme libovolné číslo a a označme M množinu všech přirozených čísel b, pro která platí alespoň jeden ze vztahů 1), 2), 3). Je třeba prokázat, že M=N. Nechť b=0. Pokud a=0, pak platí vztah 1, a pokud a(0, platí vztah 3), protože a=0+a. Takže 0 (M.
Předpokládejme nyní, že b(M, tedy pro zvolené a) je splněn jeden ze vztahů 1), 2), 3). Pokud a=b, pak b(=a(=a+1, tedy pro b(platí vztah 2). Pokud b=a+u, pak b(=a+u(, tedy pro b() vztah 2). Jestliže a=b+v, pak jsou možné dva případy: v=1 a v(1. Jestliže v=1, pak a=b+v=b“, tedy pro b“ jsou vztahy 1 splněno. Pokud je stejné v(1, pak v=c", kde c(0 a poté a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, kde c(0, že je pro b" je splněn vztah 3). Dokázali jsme tedy, že b(M®b"(M, a tedy M=N, tedy pro libovolné a a b alespoň jeden ze vztahů 1), 2), 3 je splněno). Ujistíme se, že žádné dva z nich nemohou být splněny současně. Ostatně: pokud by byly splněny vztahy 1) a 2), pak by měly b=b+u, kde u(0, a to odporuje vlastnosti 5. Nemožnost splnitelnosti 1) a 3). Konečně, pokud by byly splněny vztahy 2) a 3), pak bychom měli a=(a+u)+v = a+ +(u+v), a to je nemožné kvůli vlastnostem 5 a 6. Vlastnost 7 je zcela prokázána .
Úkol 1.3.1. Nechť 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).) Dokažte, že 3+5=8, 2+4=6.

1.4. NÁSOBENÍ PŘIROZENÝCH ČÍSEL.

1.5. POŘÁDNOST SYSTÉMU PŘIROZENÝCH ČÍSEL.

1.6. KOMPLETNÍ OBJEDNÁVKA SYSTÉMU PŘIROZENÝCH ČÍSEL.

1.7. PRINCIP INDUKCE.

1.8. ODČÍTÁNÍ A DĚLENÍ PŘIROZENÝCH ČÍSEL.

1.10. SYSTÉM PŘIROZENÝCH ČÍSEL JAKO DISKRÉTNÍ KOMPLETNĚ OBJEDNANÁ SADA.

2. CELÁ ČÍSLA A RACIONÁLNÍ ČÍSLA.

2.2. EXISTENCE SYSTÉMU CELÝCH ČÍSEL.

2.3. JEDINEČNOST SYSTÉMU CELÝCH ČÍSEL.

2.4. DEFINICE A VLASTNOSTI SYSTÉMU RACIONÁLNÍCH ČÍSEL.

2.5. EXISTENCE SYSTÉMU RACIONÁLNÍCH ČÍSEL.

2.6. JEDINEČNOST SYSTÉMU RACIONÁLNÍCH ČÍSEL.

ODPOVĚDI, NÁVODY, ŘEŠENÍ.

LITERATURA

Celočíselná soustava

Připomeňme si, že přirozená řada se objevila jako seznam objektů. Pokud ale chceme provádět nějaké akce s objekty, pak budeme potřebovat aritmetické operace s čísly. To znamená, že pokud chceme skládat jablka nebo rozdělit dort, musíme tyto akce převést do řeči čísel.

Upozorňujeme, že pro zavedení operací + a * do jazyka přirozených čísel je nutné přidat axiomy, které definují vlastnosti těchto operací. Ale pak je také množina přirozených čísel sama o sobě rozšiřující se.

Podívejme se, jak se množina přirozených čísel rozšiřuje. Nejjednodušší operace Jedním z prvních bylo sčítání. Pokud chceme definovat operaci sčítání, musíme definovat její inverzní – odčítání. Ve skutečnosti, pokud víme, co bude výsledkem sčítání, například 5 a 2, pak bychom měli být schopni řešit problémy jako: co by se mělo přidat ke 4, abychom dostali 11. To znamená, že problémy související se sčítáním budou určitě vyžadují schopnost provést zpětnou akci - odečítání. Ale jestliže sečtením přirozených čísel opět vznikne přirozené číslo, pak odečtením přirozených čísel dostaneme výsledek, který se do N nevejde. Byla vyžadována některá další čísla. Analogicky s pochopitelným odečítáním menšího čísla od většího bylo zavedeno pravidlo odčítání většího čísla od menšího čísla - tak se objevila záporná celá čísla.

Doplněním přirozené řady o operace + a - se dostaneme k množině celých čísel.

Z=N+operace(+-)

Systém racionálních čísel jako jazyk aritmetiky

Podívejme se nyní na další nejsložitější akci - násobení. V podstatě se jedná o opakované přidávání. A součin celých čísel zůstává celým číslem.

Ale inverzní operací k násobení je dělení. Ale ne vždy přináší nejlepší výsledky. A opět stojíme před dilematem – buď přijmout jako dané, že výsledek dělení „neexistuje“, nebo přijít s čísly nějakého nového typu. Tak se objevila racionální čísla.

Vezměme systém celých čísel a doplňte ho axiomy, které definují operace násobení a dělení. Získáme soustavu racionálních čísel.

Q=Z+operace(*/)

Jazyk racionálních čísel nám tedy umožňuje vyrábět všechny aritmetické operace nad čísly. Jazyk přirozených čísel na to nestačil.

Uveďme axiomatickou definici systému racionálních čísel.

Definice. Množina Q se nazývá množina racionálních čísel a její prvky se nazývají racionální čísla, pokud je splněna následující množina podmínek, nazývaná axiomatika racionálních čísel:

Axiomy operace sčítání. Za každý objednaný pár x, y prvky z Q je definován nějaký prvek x+yОQ, nazývaná suma X A na. V tomto případě jsou splněny následující podmínky:

1. (Existence nuly) Existuje prvek 0 (nula) takový, že pro libovolný XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Pro jakýkoli prvek XО Q existuje prvek - XО Q (naopak X) takové, že

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komutativnost) Pro jakékoli x, yО Q

4. (Asociativita) Pro libovolné x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiomy operace násobení.

Za každý objednaný pár x, y prvky z Q nějaký prvek je definován xyО Q, nazvaný produkt X A u V tomto případě jsou splněny následující podmínky:

5. (Existence jednotkového prvku) Existuje prvek 1 О Q takový, že pro libovolný XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Pro jakýkoli prvek XО Q, ( X≠ 0) existuje inverzní prvek X-1 ≠0 tak, že

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Asociativita) Pro jakékoli x, y, zО Q

X . (y . z) = (x . y) . z

8. (Komutativnost) Pro jakékoli x, yО Q

Axiom souvislosti sčítání a násobení.

9. (Distributivita) Pro jakékoli x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Axiomy řádu.

Jakékoli dva prvky x, y,О Q vstupuje do srovnávacího vztahu ≤. V tomto případě jsou splněny následující podmínky:

10. (X≤na)L ( na≤X) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => X≤z

12. Pro kohokoli x, yО Q nebo x< у, либо у < x .

přístup< называется строгим неравенством,

Vztah = se nazývá rovnost prvků z Q.

Axiom spojení mezi sčítáním a řádem.

13. Pro libovolné x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Axiom souvislosti mezi násobením a řádem.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Archimédův axiom kontinuity.

15. Pro libovolné a > b > 0 existuje m О N an О Q takových, že m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Systém racionálních čísel je tedy jazykem aritmetiky.

Tento jazyk však k řešení praktických výpočetních problémů nestačí.