Kmity nelineárních systémů. Nelineární akustické vibrace

Pečenkin A.A. Paradigma a ideologie: zkušenost filozofické rekonstrukce historie teorie nelineárních oscilací // Filosofie vědy. sv. 7: Formování moderního přírodovědného paradigmatu - M.: , 2001

A.A.Pechenkin

Paradigma a ideologie: zkušenost filozofické rekonstrukce dějin teorie

nelineární oscilace*

Předběžné poznámky

Abychom ukázali zavedené pojmy „v práci“, uvažujme několik fragmentů z historie teorie nelineárních oscilací. Termín „teorie nelineárních oscilací“ používáme v kuhnovském sociologickém smyslu. Nejedná se pouze o deduktivní systém (nebo pokus o jeho formulaci), ale o společenský fenomén – ideje vzniklé koncem 20. let. dvacátém století a ve 30. letech. komunita vědců, obvykle nazývaná škola L.I. Mandelstama. Takto uvažovaná teorie nelineárních kmitů nahradila nelineární teorii elektrických kmitů holandského fyzika a radiotechnika B. Van der Pol, na které pracoval již na počátku 20. let. V roce 1927 zadal L.I. Mandelstam svému postgraduálnímu studentovi A.A. Andronovovi úkol, který vyústil v sérii zásadních prací provedených za účasti dalších dvou postgraduálních studentů L.I. Mandelstama – A.A. Vitta a S.E. Khaikina. L.I.Mandelstam přitom nejenže inicioval vznik teorie nelineárních oscilací, ale spolu se svým přítelem a spoluautorem N.D.Papaleksi přispěl k rozvoji této teorie. Někteří další studenti L.I. Mandelstama, zaměstnanci N.D. Papaleksiho, studenti a zaměstnanci A.A. Andronova, kteří se v roce 1931 přestěhovali z Moskvy do Gorkého (nyní - Nižnij Novgorod), založil tam vlastní školu, kterou lze považovat za pobočku Mandelstamovy školy.

Teorie nelineárních oscilací nebyla v zahraničí okamžitě uznána. K jeho plnému uznání došlo již v poválečných letech, kdy N. Minorsky napsal svou knihu, ve které představil hlavní výsledky školy L.I.Mandelstama. V roce 1949 vyšel anglický překlad knihy „Theory of Oscilations“ od A.A. Andronova, A.A. Witta a S.E. Khaikina, vydané v SSSR v roce 1937 (protože byl Witt zatčen, jeho jméno bylo z názvu této knihy odstraněno) , kniha představující hlavní obsah a program teorie nelineárních oscilací (to je každopádně to, co Mandelstam říká v předmluvě k této knize). V roce 1966 vyšel anglický překlad druhého vydání této knihy (1959), který připravil Andronovův student N. A. Železcov. Následně se práce na teorii nelineárních oscilací rozplynuly v obecném proudu publikací o nelineární dynamice.

Tento článek plánuje ukázat, že nejen paradigma, ale také ideologie řídily formování a vývoj teorie nelineárních oscilací a byla to ideologie, která vedla k netriviálním konceptům, které se ukázaly být v 70. letech. v oblasti zájmů synergetika - teorie sebeorganizace. V dalším odstavci

Budeme hovořit o paradigmatu, v jehož rámci vznikla teorie nelineárních oscilací. Ve třetím odstavci se podíváme na toto paradigma „v akci“, tzn. Pojďme diskutovat o řadě úspěchů v teorii nelineárních oscilací (30s), získaných na cestě toho, co T. Kuhn nazval „řešením hádanek“. Ve čtvrtém odstavci bude popsána ideologie nelineárních oscilací a bude vysledováno, jak „fungovala“ za hranicemi problémů, které byly řešeny v rámci paradigmatu.

Paradigma teorie nelineárních kmitů

Jak bylo uvedeno výše, nahradila se teorie nelineárních oscilací nelineární teorie elektrické oscilace van der Pol. Ten je zase geneticky spjat s rozvojem teorie radiotechnického zařízení - elektronkového generátoru. V tomto zařízení, které jako každé skutečné zařízení pracuje s „třením“ (tj. jde o nekonzervativní systém), vznikají netlumené oscilace. Samozřejmě to znamená, že systém obsahuje zdroj energie (neboli energie do systému vstupuje zvenčí). Nemluvíme však o vynucených oscilacích. Elektronkový generátor sám generuje netlumené oscilace. Jde o autonomní systém (diferenciální rovnice takových systémů neobsahují výslovně čas), tzn. systém s neperiodickým zdrojem energie. Netlumené kmity vznikají díky speciální konstrukci elektronkového generátoru, který obsahuje kromě oscilačního obvodu zesilovač (elektronku) připojený k oscilačnímu obvodu zpětná vazba.

Ponecháme-li otázku paradigmatu van der Polovy teorie otevřenou, popíšeme paradigma, které se objevilo v dílech Mandelstama, Andronova a jejich spolupracovníků na konci 20. let. Budeme se řídit „prvky disciplinární matrice“, které Kuhn uvedl v Dodatku z roku 1969. ke své knize „Struktura vědeckých revolucí“.

Jako první prvek Kuhn poukazuje na „symbolická zobecnění“ – matematické vzorce vyjadřující univerzální vědecké zákony. V moderní fyzice jsou to především diferenciální rovnice. „Symbolická zobecnění“ musí být dostatečně prostorná, aby formulace konkrétních úkolů probíhala „dešifrováním“ těchto „zobecnění“.

Van der Pol pracoval z velké části z rovnice, která nyní nese jeho jméno a která popisuje princip činnosti jednoduchého elektronkového oscilátoru:

d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)

Tady X– zobecněná souřadnice (v případě elektronkového generátoru – síla proudu), t je čas a nelineární prvek je 2x 2 dx/dt vyjadřuje činnost zesilovače (elektronky).

V dílech Andronova a dalších představitelů Mandelstamovy školy se diferenciální rovnice stává „symbolickým zobecněním“, ve vztahu k němuž je rovnice van der Pol. speciální případ. Toto je následující rovnice:

d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)

Kde x a t, jako dříve, zobecněná souřadnice a čas, δ je koeficient tlumení, ω je vlastní frekvence, tzn. cyklická frekvence procesu, který by nastal bez tření a vnější síly, f(x, dx/dt) – nelineární funkce, která popisuje činnost zdroje energie zahrnutého v řídicím systému, který zajišťuje spojité oscilace. Rovnici (2) lze napsat pokaždé po svém pro různé nelineární problémy radiotechniky a mechaniky - popsat elektronkový generátor, hodiny, třecí kyvadlo (tzv. Froudovo kyvadlo, což je obyčejné kyvadlo namontované s tření na hřídeli rotující konstantní rychlostí) atd.

Na druhém místě po „symbolických zobecněních“ pro Kuhna jsou „obecně uznávané předpisy“, jako „teplo představuje kinetickou energii částí, které tvoří tělo“. Pro Mandelstama, Andronova, jejich spolupracovníky a studenty byl takový pokyn především následující: „sestavit fázový portrét oscilačního systému – jeho trajektorii na fázové rovině (kde souřadnicové osy jsou x, dx/dt). Rovnici (2) obecně nelze integrovat a nelze ji řešit v elementárních funkcích. Van der Pol, řešící rovnici (1), použil přibližnou metodu, kterou vynalezl - metodu pomalu se měnících amplitud (μ interpretoval jako malý parametr). Za integraci lze považovat i konstrukci fázového portrétu. Vzhledem k tomu, že fázový portrét se řídí přísnými zákony teorie diferenciálních rovnic, konstrukce fázového portrétu poskytuje přesné řešení diferenciální rovnice. Protože fázový portrét sám o sobě nenese kvantitativní informace o amplitudě, fázi a frekvenci kmitů, je toto řešení kvalitativní. Termín populární v Andronovově kruhu je tedy „kvalitativní integrace“.

Van der Pol se k problému sestrojení fázového portrétu přiblížil v roce 1926. Pomocí izoklinové metody načrtl obrysy toho, co bylo později nazýváno fázovým portrétem rovnice (1). Jeho „fázový portrét“ však nebyl předmětem kvalitativní teorie diferenciálních rovnic, kterou stanovil A. Poincaré v posledních desetiletích 19. století. Byl to spíše obrázek, grafická ilustrace.

Fázové portréty rovnic (1) a (2) zkonstruoval Andronov ve svých dílech z let 1928–1929, které se staly základem jeho disertační práce. Andronov ukázal, že netlumené oscilace, ke kterým dochází v lampovém oscilátoru, hodinách atd. (nazval je samooscilace), jsou znázorněny na fázové rovině ve formě Poincarého limitních cyklů - uzavřených křivek, ke kterým se všechny blízké křivky asymptoticky přibližují. Limitní cyklus obklopuje singulární bod, který symbolizuje stav rovnováhy. V následujících pracích Andronov zkoumal přechodné procesy - případy „tvrdého“ a „měkkého“ buzení oscilací v elektronkovém generátoru – a našel jejich geometrické obrazy na fázové rovině.

„Kvalitativní integrace“ zahrnuje analýzu stability oscilací. Andronov ukázal, že vlastní oscilace odpovídají stabilním Poincarého limitním cyklům. V tomto případě se ukazují jako významné dva typy stability: stabilita Ljapunova a strukturální stabilita (drsnost) oscilačního systému. Ljapunovova stabilita znamená stabilitu s ohledem na malé změny počáteční podmínky. termín "neslušnost" dynamický systém“ představil Andronov již ve svých prvních dílech o limitních cyklech. Správnou formulaci této koncepce však provedl spolu s L.S.Pontryaginem v roce 1937. Systém se nazývá hrubý, jehož fázový portrét je stabilní vzhledem k malým změnám v diferenciální rovnici popisující tento systém. Abychom „neslušnost“ formulovali přesněji, musíme přepsat rovnici (2). následující formulář:

d 2 x/dt 2 +ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)

kde nelineární funkce f(x, dx/dt) představuje nejen neperiodický zdroj energie, ale i faktor tlumení (má to svůj důvod, protože tření může být nelineární). Hrubý pohyb bude takový, který je stabilní s ohledem na malé změny na pravé straně rovnice (3).

Vedeni teorií stability vyvinutou A. M. Ljapunovem na počátku dvacátého století, Andronov spolu s A. A. Wittem ukázali, že s ohledem na drsnost systému lze Ljapunovovy charakteristické exponenty použít k posouzení stability limitního cyklu a tedy přítomnost vlastních oscilací.

automatická regulace. Andronov napsal, že právě během těchto let vyřešil problém stability pohybů, který mu položil Mandelstam v roce 1927.

Pomocí metody fitování se hledá fázový portrét nakreslením řešení nikoli lineární rovnice typu (2) od kusů řešení k lineárním rovnicím, které aproximují jednotlivé úseky tohoto řešení, a „spojování“ lineárních řešení na základě požadavku návaznosti řešení na nelineární rovnici. V tomto případě integrační konstanta lineární řešení, odpovídající dalšímu lineárnímu dílu, se najde „přizpůsobením“ této sekce k předchozí: počáteční hodnoty charakterizující tuto sekci se musí shodovat s konečnými hodnotami charakterizujícími předchozí sekci.

Náčrt fázového portrétu, který metoda fitování poskytuje, silně závisí na počátečních hodnotách, při kterých bylo získáno řešení první lineární rovnice, jedním slovem na podmínkách, za kterých začalo „lícování“. Pomocí metody bodového mapování lze tuto nevýhodu částečně překonat: lze zohlednit rozsah možných počátečních hodnot. Tak či onak, metoda fitování umožňuje posoudit povahu fázového portrétu řešeného problému a vyhodnotit kvantitativní charakteristiky tohoto portrétu. Zdá se, že otevírá dveře do fázového prostoru, bytí, ve kterém se již člověk musí pohybovat podle jiných zákonů – nikoli podle zákonů empirických pozorování a pravidel, ale podle zákonů přísné matematické teorie – kvalitativní teorie diferenciálu. rovnic.

Další přibližná metoda byla zmíněna výše - metoda pomalu se měnících amplitud, vyvinutá van der Polem. Tato metoda byla také použita pro heuristické úvahy týkající se fázového portrétu. V roce 1930 Andronov a Witt pomocí metody pomalu se měnících amplitud zkoumali fenomén „zachycení“, ke kterému dochází v neautonomním systému (na rozdíl od rovnic (1) a (2), které popisují autonomní systémy, v rovnicích pro neautonomní systémy existuje termín, který bere v úvahu periodickou vnější sílu)*. Zároveň dostali obrázek tohoto

* Pro neautonomní systémy jsou typické „údery“, oscilace charakterizované dvěma frekvencemi (frekvence ω - viz rovnice (2) a frekvence vnější síly). „Záchyt“ se nazývá vynucená synchronizace: změnou frekvence vnější síly pozorujeme, že při určité hodnotě tohoto parametru vznikají s touto frekvencí homogenní oscilace.

jevy ve fázovém prostoru, tzn. sledovali změnu ve fázovém portrétu samooscilačního systému se změnou frekvence vnější síly.

Metoda pomalu se měnících amplitud spočívá v nahrazení rovnice (1) jednoduššími „zkrácenými“ rovnicemi, jejichž řešení se blíží řešení původní rovnice pro malé hodnoty parametru μ. Kniha Andronova, Witta a Khaikina vysvětluje vztah mezi fázovými portréty původní rovnice a fázovým portrétem „zkrácených rovnic“. Souřadnicový systém původní rovnice, umístěný na fázové rovině „zkrácených“ rovnic, se otáčí ve směru hodinových ručiček s úhlová rychlost, rovné 1. Mezní cykly původní rovnice odpovídají kružnicím rovnovážných stavů ve fázovém portrétu „zkrácených“ rovnic a spirály navíjející se na mezní cykly odpovídají přímým trajektoriím v tomto pomocném fázovém portrétu.

Tyto korespondence samozřejmě vedou pouze k domnělému fázovému portrétu původní rovnice. Tento předpoklad je však uveden do kontextu rigorózní matematické teorie – kvalitativní teorie diferenciálních rovnic. Tím získává vyšší postavení ve struktuře fyziky. Všechny fyzikální teorie jsou domněnky. Existují však mezi nimi uzavřené koncepční systémy, které operují s přísnými pojmy a zákony. Tuto přísnost jim dává přísný matematický aparát, v němž jsou formulovány. Díky kvalitativní teorii diferenciálních rovnic se z takové teorie stává teorie nelineárních oscilací.

Již ve svých prvních dílech o Poincarého limitních cyklech použil Andronov jiný asymptotická metoda– metoda malých parametrů, kterou zavedl Poincaré v „Nových metodách nebeské mechaniky“ (tato metoda se také nazývá Poincarého metoda). Ve třicátých letech 20. století ve spolupráci s Wittem aplikoval tuto metodu v oblasti nad rámec těch studií, které byly prováděny na základě kvalitativní teorie diferenciálních rovnic.

Po srovnání „ontologického“ a „heuristického“ modelu jsme se již dotkli třetího prvku Kuhnovy „disciplinární“ matice – hodnot. Mandelstamova škola se vyznačovala fundamentalismem – přednost se dávala obecným fyzikálním teoriím před „produktivními“ modely. Andronov sám i Mandelstam interpretovali Andronovovu práci o Poincarého limitních cyklech jako základní v teorii nelineárních oscilací. Věřili, že díky této práci získala teorie nelineárních oscilací

rigorózním matematickým aparátem a tím se svým statusem přiblížil základní teorii (jako je mechanika, elektrodynamika atd.). Van der Pol, který rozvinul teorii elektrických oscilací a publikoval své výzkumy současně s Mandelstamem a Andronovem, nepoužil pouze přibližné metody, deklaroval zásadní význam těchto metod. Mandelstam a Andronov, i když vzdali hold účinnosti van der Polových metod, poznamenali, že nevytvořil teorii „adekvátní“ uvažovanému tématu a vedoucí k dalekosáhlým kvalitativním předpovědím.

Mandelstam ve své předmluvě ke knize Andronova, Witta a Chaikina zdůraznil koncepční význam tohoto díla. Zkoumal nejen metody, které berou v úvahu nelinearitu formou korekce na lineární výpočty, ale vytvořil i specifický jazyk nelineární fyziky. „V komplexní oblasti nelineárních oscilací,“ předpověděl Mandelstam, „jejich specifické obecné pojmy, ustanovení a metody, které vstoupí do používání fyzikem, se stanou známými a zřejmými, umožní mu porozumět složitému souboru jevů a poskytnou mocnou heuristickou zbraň pro nový výzkum.“... Fyzik se zájmem o moderní problémy váhání, se nyní musí podílet na postupu na této cestě.“

To neznamená, že Mandelstam, Andronov, jejich spolupracovníci a studenti podcenili přibližné metody. Naopak, téměř všechna jejich díla byla z 30. let. spojené s používáním přibližných metod. Upřednostňování přesných metod bylo jakousi regulační myšlenkou. Stanovila prezentaci látky v učebnicích a přehledových článcích. Tato preference navíc podnítila práci na zdůvodnění přibližné metody pomalu se měnících amplitud (L.I. Mandelstam a N.D. Papaleksi, 1935). A konečně (a to je možná nejdůležitější), když postavil do popředí kvalitativní teorii diferenciálních rovnic, Andronov ve spolupráci s řadou svých spolupracovníků a studentů vyvinul teorii evoluce fázového portrétu systému. který nastane, když se změní parametr systému. Tento vývoj začal výše zmíněným studiem „měkkého“ a „tvrdého“ buzení elektronkového oscilátoru a vedl k obohacení teorie nelineárních oscilací o pojmy „změna stability“ a bifurkační body,

nějaký druh asymptotické metody, nějaký druh korespondenčního principu,“ řekl Mandelstam. Následně však nejen schválil práci svých studentů, kteří používali metodu malých parametrů, ale sám tuto metodu spolu s N. D. Papaleksim aplikoval v článku o fenoménu rezonance druhého druhu (1934–35). Andronov a Witt použili metodu malých parametrů k výpočtu systému se dvěma stupni volnosti. Sami poznamenali, že tento systém je stále příliš složitý na to, aby byl uvažován z hlediska kvalitativní teorie diferenciálních rovnic. G.S. Gorelik, jeden z posledních Mandelstamových postgraduálních studentů a Andronovův spolupracovník, nicméně veden žebříčkem hodnot, který byl přijat v Mandelstamově škole, napsal, že „metoda malých parametrů zaujímá v jeho (Andronovových) dílech zcela vedlejší místo. Hlavní je v nich aplikace na studium nelineárních oscilací kvalitativní teorie diferenciálních rovnic a souvisejících topologických metod.“

A konečně čtvrtou složkou „disciplinární matrice“ jsou příklady, na kterých se procvičuje formulace a řešení problémů, příklady ukazující, jak konkretizovat „symbolická zobecnění“ a aplikovat na ně „předpisy“, jak „heuristické modely“ umožňují vybudovat „ontologický model“. Jak bylo uvedeno výše, teorie nelineárních oscilací se původně vyvinula jako teorie jednoduchého radiotechnického zařízení - elektronkového oscilátoru. Toto zařízení sloužilo jako „sdílený příklad“, na kterém byl v učebnicích vysvětlen koncept samokmitání a použití Poincarého limitních cyklů k popisu samokmitání. Mandelstam ve svých přednáškách o oscilacích uvádí další příklad – Froudovo kyvadlo, v knize Andronova, Witta a Chaikina sousedí elektronkový generátor s hodinami.

Paradigma "v práci"

Abychom vysvětlili roli, kterou toto paradigma sehrálo ve vývoji teorie nelineárních oscilací, uvažujme, jak byly vyřešeny dva problémy: problém oscilací v Abrahamově a Blochově multivibrátoru (systém, který neobsahuje znatelné indukčnosti) a problém kmitů houslové struny. První problém (1930) vedl k vytvoření doktríny relaxačních oscilací, silně nesinusových oscilací skládajících se z rychlých a pomalých pohybů. Druhý (1936) znamenal průlom do oblasti distribuovaných systémů a spojitých prostředí. Ve svých prvních dílech zač

Andronovo aplikace Poincarého limitních cyklů, Mandelstam, jeho spolupracovníci a studenti se zabývali výhradně soustředěnými systémy, jejichž kmitáním jsou prostorové pohyby – výkyvy kyvadla, pohyby elektrického náboje. Přestože parametry, které určují chování takových systémů - hmotnost kyvadla, indukčnost a kapacita v oscilačním obvodu - prakticky nejsou bodové, ale jsou rozmístěny po vlastních prostorových oblastech, lze od této nebodovosti abstrahovat. Soustředěné systémy jsou popsány obyčejnými diferenciálními rovnicemi, zatímco distribuované systémy jsou popsány parciálními diferenciálními rovnicemi.

Sám Andronov tento příběh popsal takto: „V roce 1929 stojím, jak uvidíme později, v určitém smyslu příliš přímočaře, na tom, že matematický obraz netlumených oscilací neboli samokmitů je Poincarého limitní cyklus. Dívám se na různé systémy a všude hledám limitní cykly. Vezmu však obvyklý idealizovaný Abraham-Blochův multivibrační obvod, obsahující pouze kapacity, ale vykazující vlastní oscilace. Píšu diferenciální rovnice dynamiky, hledám cyklus, ale bez výsledků. Navíc se mi podařilo dokázat, že uvažované diferenciální rovnice nemohou mít limitní cyklus. Místo cyklu jsem našel specifickou křivku ukazující, že fázová rychlost se stává nekonečnou. Přítomnost takové křivky neumožňuje jednoznačně stanovit pohyb reprezentujícího bodu. Ukazuje se paradox: vlastní oscilace znamenají cykly, neexistují žádné cykly, ale systém

provádí vlastní oscilace. S tímto paradoxem jsem přišel za Mandelstamem, který okamžitě pochopil, oč jde. Po nějaké diskusi došel k závěru: „Pokud se prokáže, že neexistují žádné cykly, je to již něco. Protože systém osciluje, vaše idealizace je buď neplatná, nebo nevíte, jak s ní pracovat.“ Dodal, že odjíždí do Leningradu a zkusí se tam nad tímto paradoxem zamyslet. Po návratu z Leningradu řekl toto: „N.D. Papaleksi a myslím si, že můžeme pracovat s vaší idealizací a najít periodické řešení, které je zajímavé z fyzikálního hlediska. Toto řešení ale nebude patřit k kontinuálním řešením, která hledáte. Půjde o diskontinuální řešení, tzn. odpovídající pohyb reprezentujícího bodu způsobí okamžité skoky. Myslíme si, že je možné najít periodické řešení, pokud zavedeme další hypotézu, že s těmito změnami se energie uložená v kondenzátorech neustále mění." Brzy jsem se společně s Wittem pokusil tyto Mandelstamovy myšlenky realizovat. Po překonání některých výpočetních potíží jsme našli nespojité periodické řešení."

Problém multivibrátoru Abraham–Bloch byl tedy Andronovem vyřešen ve dvou fázích.

Andronov důsledně ukázal, že tento systém rovnic „nepřipouští žádná spojitá periodická řešení“. Paradigmatické problémy mu přitom řekly, že systém je samooscilující, tzn. provádí nepřetržitý periodický pohyb.

II. Po projednání problému s Mandelstamem Andronov ve spolupráci s Wittem vyřešil „puzzle“. Zachoval si stejnou idealizaci a přijal „skokovou hypotézu“, kterou mu navrhli Mandelstam a Papaleksi. Tato hypotéza, která spočívá v tom, že napětí na kondenzátorech jsou spojitá, nám umožňuje „dokončit“ fázovou trajektorii rovnic multivibrátoru do limitního cyklu ve čtyřrozměrném fázovém prostoru. Reprezentující bod, který dosáhl kritické hodnoty (rychlost změny napětí na mřížce se změní na nekonečno), provede skok do bodu křivky určeného uvedenými podmínkami kontinuity a poté se opět pohybuje po fázové trajektorii těchto bodů. rovnice,

se otočí do nekonečna), provede skok do bodu na křivce určeného uvedenými podmínkami spojitosti a poté se opět posune po fázové trajektorii těchto rovnic.

Problém vibrací houslové struny vyřešil Witt, který v roce 1934 publikoval článek o „distribuovaných samooscilačních systémech“. V tomto díle však, jak sám Witt uvádí, jednal pomocí velmi hrubých přibližných metod. Jednak považuje nelineární systémy za slabě nelineární, což mu dává možnost použít metodu malých parametrů, a v její nejjednodušší verzi, kde se bere v úvahu pouze první člen řady v mocninách parametru μ. Za druhé, Witt předpokládá, že Ljapunovova věta o stabilitě, která platí pro koncentrované systémy, platí i pro distribuované systémy.

Witt ve svém článku o vibracích houslové struny již pracuje v paradigmatu teorie nelineárních vibrací. Matematicky je tento problém formulován ve formě soustavy parciálních diferenciálních rovnic: vlnová rovnice a rovnice vyjadřující hraniční podmínky– jeden z nich je nelineární. K redukci problému do podoby odpovídající „symbolickému zobecnění“ (1)–(2) Witt používá metodu bodových mapování (viz výše). Jinými slovy, z parciálních diferenciálních rovnic získal „funkční rovnici“, na kterou jsou v souladu s metodou bodových zobrazení redukovány problémy s obyčejnými diferenciálními rovnicemi. „Abychom získali univerzální vztahy, použijeme bezrozměrné veličiny,“ píše Witt. – Pozici bodu na provázku změříme hodnotou y=x/l, kde X– vzdálenost uvažovaného bodu struny od pevného konce, / – délku poloviny struny, čas změříme poměrem τ=tc/l=4t/T , Kde s - rychlost šíření vibrací ve struně, t –čas, T – perioda základního tónu volných vibrací. Označme podle u poměr v/l, kde v je posun struny. Podle d'Alemberta:

u=φ 1 (τ-у)+φ 2 (τ+у) (a)

pro y=0: u=0 a tedy ъ=0 (pro τ>0) (b)

ϕ(τ+ Τ )=ψ(ϕ(τ))

s počátečními hodnotami ϕ(t)=ϕ 0 (τ), 0<τ<Τ.

Studoval tuto rovnici, která definuje bodová mapování pomocí iterací. Zároveň zavedl koncept stacionární posloupnosti, příkladem takové posloupnosti jsou posloupnosti, ve kterých jsou všechny členy identické a periodické posloupnosti. Zavedl také koncept Koenigsovy stabilní posloupnosti, analogie s limitními cykly vzniká, když jsou tyto posloupnosti vyneseny do Lemereyových diagramů (grafy funkce ψ(ϕ(τ)) v kartézských souřadnicích ϕ(τ)=х a ϕ(τ+Т)=ψ).

Witt uvažoval o příkladu velmi jednoduchého distribuovaného nelineárního systému: jeho nelinearita byla soustředěna v bodě kontaktu mezi smyčcem a tětivou. Systematický výzkum nelineárních oscilací distribuovaných systémů začal později, v 50. letech. A už se to neprovádělo v rámci „paradigmatu samokmitání“, ale „ideologie samooscilací“.

Ideologie teorie nelineárních oscilací

Ideologií teorie nelineárních oscilací je především koncept vlastních oscilací, který, jak bylo uvedeno výše, představil Andronov v článcích z let 1928–1929. Vlastními oscilacemi se totiž zabýval i van der Pol, který popsal netlumené kmity v elektronkovém oscilátoru, ale nezavedl pro ně speciální termín. Andronov nejen zavedl speciální termín, ale dal tomuto jevu teoretickou hloubku spojením vlastních oscilací s limitními cykly na fázové rovině. A před Andronovem radioinženýři a radiofyzici věděli, že elektronkový generátor je charakterizován netlumenými oscilacemi, charakterizovanými jejich specifickou amplitudou, nezávislou na podmínkách pro buzení těchto oscilací. Andronov však učinil tento koncept teoretickým. Ukázal,

že stabilitu vlastních oscilací lze chápat v matematickém smyslu a je vysvětlena jako Ljapunovova stabilita a drsnost oscilačního systému.

Koncept vlastních oscilací začal získávat autoritu po První celounijní konferenci o oscilacích (1931), kterou pořádala škola L. I. Mandelstama. Auto-oscilace byly středem zájmu této konference. V jednom z článků z roku 1936 čteme, že „v současnosti existuje matematicky rigorózní a fyzikálně adekvátní teorie široké třídy samooscilačních jevů, která prokázala svou plodnost ve velkém počtu studií“. „Fenomén samooscilací... se v přírodě vyskytuje na každém kroku,“ píše ve své učebnici G.S. Gorelik, jehož přístup k metodě malých parametrů byl diskutován výše. „Sovětští vědci,“ říká jeden z recenzí, „v podstatě vytvořili nový vědní obor o oscilacích – obor samokmitání, který je v současnosti doplňován novými výzkumy a výsledky.“

V poválečných letech se objevily knihy speciálně věnované samooscilacím. V roce 1944 vyšla kniha K. F. Teodorchika, který nastoupil do funkce v roce 1939. a asi. Vedoucí katedry oscilací, kterou založil L.I. Mandelstam. Kniha se jmenovala „Self-oscilating Systems“ a prošla třemi vydáními. Kniha „Self-Oscillations“ od A.A. Charkeviche, prominentního specialisty na problémy automatického řízení, také prošla třemi vydáními. Předmluva k této knize, napsaná „bez jediného matematického vzorce v hlavním textu“, uvádí „široký význam vlastních oscilací nejen pro techniku, ale také pro přírodní vědy obecně“.

Ideologie vzniká spolu s paradigmatem, lze také říci, že paradigma nese určitou ideologii. Ideologie však přesahuje paradigma. Výše jsme charakterizovali čtyři složky paradigmat podle Kuhna: „symbolická zobecnění“ (obvykle se jedná o diferenciální rovnice), „předpisy“ (obvykle se jedná o metody řešení diferenciálních rovnic), hodnoty, které zakládají hierarchii mezi předpisy, a sdílené příklady, celkem jednoduché problémy, které nám umožňují vysvětlit, jak „předpisy“ zajišťují aplikaci „symbolických zobecnění“. Jak „symbolická zobecnění“, tak „předpisy“ jsou podmíněny určitými pravidly (např. pravidly matematiky). Ideologie jsou slova a výrazy, jejichž významy jsou vysvětleny na příkladech (analogie a ilustrace). Používání těchto slov a výrazů se řídí intuicí. Každá vědecká komunita má samozřejmě svou vlastní intuici. Ale intuice

může jít nad rámec pravidel a dokonce způsobit problémy, které vyžadují revizi pravidel. Významy slov a výrazů se mohou vyvíjet a vytvářet to, co L. Wittgenstein nazýval „rodinné podobnosti“. Například význam slova „hra“, který si Wittgenstein bere za vzor, ​​umožňuje takové příklady jako šachy, solitaire, kulatý tanec. Význam slova "samooscilace" lze rozvinout na sérii ilustrací, počínaje elektronkovým generátorem, Froudovým kyvadlem a mechanickými hodinami a včetně houslové struny buzené smyčcem, hvězd proměnlivého jasu (cefeidy), srdce a „biologické hodiny“. Pokud se obrátíme na takový predikát jako „být podmíněn vlastnostmi samotného systému, a ne počátečními podmínkami“, pak bude tato řada doplněna o takové objekty, jako jsou autovlny a disipativní struktury.

Jedním z důležitých znaků ideologické aplikace konceptu je eroze jeho obsahu. Zdá se, že koncept přesahuje svůj rámec. V podstatě to znamená, že jsou formulovány analogy tohoto pojmu, že pod stejným pojmem vznikají nové pojmy a pojmy, které nejsou jasně definovány.

První takový práh, který koncept samokmitů překročil, byl práh mezi samooscilacemi a vynucenými kmity. „V souvislosti s objevem nových principů generování samokmitů a rozvojem již známých se pojem samokmitání po druhé světové válce výrazně rozšířil. K vlastním kmitům začaly patřit zejména nejen ty netlumené kmity, jejichž energie je čerpána z konstantního zdroje, ale i takové kmity, které jsou podporovány energií jiného dostatečně silného kmitacího procesu buzeného zvenčí... ( takové oscilace lze zcela uhasit změnou parametru systému, řekněme útlum nebo rozladění).

Pokračováním tohoto procesu eroze je replikace konceptu ve formě lingvistických analogií. Ve vztahu k vlastním oscilacím to byl vznik konceptů autovlny a autostruktury. První představil R. V. Khokhlov v recenzi doktorské disertační práce A. M. Zhabotinského o oscilačních chemických reakcích (1972). Chochlov měl na mysli, že Žabotinský popsal nejen samotné chemické samooscilace, ale i podobné vlnové procesy, podobné ve smyslu jejich suverenity - nezávislosti na výchozích a do jisté míry i okrajových podmínek a definovatelnosti parametry systému.

Koncept autostruktur se objevuje ve společném článku dvou autorů, kteří se ztotožňují s Mandelstamovou školou – A.V. Gaponov-Grekhov (bývalý postgraduální student Andronova) a M.I. Rabinovich. Autostruktura je chápána jako stabilní prostorové nebo časové uspořádání, které vzniká v distribuovaném systému s jasně vyjádřenou nelinearitou a nachází se daleko od rovnovážného stavu. Vlastností autostruktur je opět jejich relativní nezávislost na počátečních a okrajových podmínkách.

Je snadné vidět, že při formulování takových pojmů, jako jsou autovlny a autostruktury, se nepoužívá jakákoli definice autooscilace, ale jazykové formy, které jsou těmto definicím vlastní. Tyto lingvistické formy nevyjadřují pouze intuici limitního cyklu, který je nesen definicemi sebeoscilací, ale spíše intuici atraktoru obecně.

Výše byl zmíněn článek Gaponova-Grekhova a Rabinoviče, ve kterém byly představeny „autostruktury“. V rozhovoru poskytnutém autorovi těchto řádků (22.5.1992) v odpovědi na otázku: „Dá se říci, že je pro vás zásadní určitá „samooscilující ideologie“? – M.I. Rabinovich řekl: „Ano, určitě. Vlastně ani nejde o slovo. Jen samooscilace, jako automatické vlny, které vynalezl R. V. Khokhlov. Nepřišel s vlnami samotnými, ale se slovem, velmi úspěšným obratem frází... Ale, víte, velmi úspěšným slovem. Téměř celý život pracuji s nelineárními disipativními nerovnovážnými systémy. Mohou to být středy. Zpravidla pracuji na vlnových problémech nebo turbulencích, ale vždy tam dochází k rozptylu. Mám hamiltonovské systémy, systémy bez tření, bez rozptylu, vždy omezující případ. Vždy mě více zajímaly systémy s atraktory, ve kterých je v t→∞ vždy něco ustanoveno: chaos, takže chaos, periodické oscilace, takže periodické oscilace, stochastické struktury - proboha. V tomto smyslu jsou pro mě struktury a dynamický chaos jednoduše různé typy atraktorů, které se ustavují, když t inklinuje k nekonečnu během evoluce chování systému. Vždy mě zajímaly systémy, ve kterých je něco zavedeno, v nichž je něco objektivního, nezávislého na výchozích podmínkách.“

Takže M.I. Rabinovich není fascinován ani tak samotným konceptem samokmitání, ale myšlenkou suverenity v něm obsažené, která nese intuici atraktoru.

Závěr

Při filozofické kvalifikaci vědecké teorie je obvykle kladen důraz buď na její popisné schopnosti, nebo na její vysvětlující nástroje. V tomto článku jsou obě tyto hypotézy teoretických znalostí zohledněny. Paradigma je průvodcem řešením problémů a vytvářením vědeckých vysvětlení a předpovědí. Ideologie je jazyk, aparát vědeckého popisu, který zpravidla přesahuje hranice vysvětlujících zdrojů.

Poznámky

Kun T. Struktura vědeckých revolucí / Přel. z angličtiny I. Z. Naletová. Ed. S. R. Mikulinský a L. A. Marková. M, 1975. P. 70.

Minorsky N.Úvod do nelineární mechaniky. Michigan: J. W. Edwards, 1947.

Andronov A.A., Chaikin S.E. Teorie oscilací. Princeton: Princeton Univ. Press., 1949.

Van der Pol B. O relaxačních oscilacích // Philos. Mag. Ser. 7.sv. 2, 1926. S. 978–992.

Andronov A.A. Poincarého limitní cykly a teorie oscilací // IV kongres ruských fyziků. M., N.-Novgorod, Kazaň, Saratov (5.–16. srpna 1928). Seznam zpráv prezentovaných na kongresu se stručným shrnutím jejich obsahu. M.-L., 1928. S. 23–24; On je stejný. Les cycles limites de Poincaré et la théorie des oscilations autoentrenues // C.r. Acad sci. Paříž. T. 189, 1929. S. 559–561. Přetištěno: Andronov A.A. Sbírka tr. M., 1956. S. 32–33, 41–43.

Andronov A.A., Vitt A.A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Archiv fuer Elektrotechnik. Bd. 24, 1930. S. 99–110. Přetištěno: Gorelik G.S. Oscilace a vlny. M.; L.: GTTI, 1950. S. 105.

Krylov N.N. Způsoby rozvoje teorie nelineárních oscilací v SSSR za 50 let // Radiotechnika. 1969. T. 24, č. 5. S. 10.

Charkevič A.A. Vlastní oscilace. M., 1950. S. 5.

Kaplan A. Vlastní oscilace (nepublikováno). 1979. S. 5.

Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovič M.I.. L.I. Mandelstam a moderní teorie nelineárních oscilací a vln // Pokroky ve fyzikálních vědách. T. 128, 1979. s. 579–624.

Oscilace ve fyzice systémy popsané nelineárními systémy obyčejných diferenciálních rovnic, kde ve složkách vektoru obsahuje členy alespoň 2. stupně - vektorová funkce času - malý parametr (nebo a). Možná zobecnění jsou spojena s uvažováním nespojitých systémů, dopadů s nespojitými charakteristikami (například hystereze), zpoždění a náhodných dopadů, integro-diferenciálních a diferenciálních operátorových rovnic, oscilačních systémů s distribuovanými parametry popsanými parciálními diferenciálními rovnicemi, jakož i jako použití metod optimálního řízení nelineárních oscilačních systémů. Hlavní obecné úkoly N.K.: nalezení rovnovážných poloh, stacionární režimy, zejména periodické. pohyby, vlastní oscilace a studium jejich stability, problémy synchronizace a stabilizace N. K. Vše fyz. systémy, přísně vzato, jsou nelineární. Jedním z nejcharakterističtějších rysů NC je jejich porušení principu superpozice kmitů: výsledek každého z vlivů za přítomnosti druhého se ukáže být jiný než za nepřítomnosti druhého vlivu. Kvazilineární soustavy - soustavy (1) at. Hlavní výzkumnou metodou je metoda malých parametrů. Za prvé je to Poincaré-Lindstedtova metoda pro stanovení periodicity. řešení kvazilineárních systémů, analytická v parametru pro dostatečně malé hodnoty, buď ve formě mocninných řad (viz kapitola IX), nebo ve formě řad v mocninách a - přičtení počátečních hodnot složek vektoru (viz kapitola III). Další vývoj této metody viz např. v -. Další metodou malých parametrů je metoda průměrování. Zároveň do studia kvazilineárních systémů pronikly i nové metody: asymptotické. metody (viz, ), metoda K-funkcí (viz), založená na fundamentálních výsledcích A. M. Ljapunova - N. G. Četajeva aj. V podstatě nelineární systémy, ve kterých není předem předepsaný malý parametr. Pro systémy Lyapunov, kde a mezi vlastními hodnotami matice nejsou žádné násobky kořene - analytické. vektorové funkce x, rozvoj začíná členy alespoň 2. řádu a existuje analytický první integrál speciálního tvaru A. M. Ljapunov (viz § 42) navrhl metodu hledání periodických funkcí. řešení ve formě řady v mocninách libovolné konstanty c (pro kterou lze vzít počáteční hodnotu jedné ze dvou kritických proměnných). Pro systémy blízké Ljapunovovým systémům, kde stejný tvar jako v (2) je analytický. vektorová funkce a malý parametr, spojitý a -periodický v t, je také navržena metoda pro stanovení periodicity. rozhodnutí (viz kapitola VIII). Systémy Ljapunovova typu (2), ve kterých má matice l nula vlastních hodnot s jednoduchými elementárními děliteli, dvě - čistě imaginární vlastní čísla a nemá žádná vlastní čísla, která jsou násobky - stejně jako v (2), mohou být redukovány na systémy Ljapunov (viz IV.2). N.K. byly také studovány v systémech Ljapunov a v tzv. Ljapunovovy systémy s tlumením a také vyřešily obecný problém čerpání energie do nich (viz kapitoly I, III, IV). Nechť v podstatě nelineární autonomní systém redukujeme na Jordanovu formu jeho lineární části, kde vektor má podle předpokladu alespoň jednu nenulovou složku; , jsou rovny nule nebo jedné, v nepřítomnosti nebo přítomnosti komplexních elementárních dělitelů matice lineární části, - koeficienty; množina hodnot vektoru s celočíselnými složkami je následující: Pak je tu normalizační transformace: vedoucí (3) k normálnímu tvaru diferenciálních rovnic
a co kdyby. Normální tvar (5) tedy obsahuje pouze rezonanční členy, tj. koeficienty mohou být odlišné od nuly pouze pro ty, pro které je splněna rezonanční rovnice, což hraje významnou roli v teorii kmitů. Byla studována konvergence a divergence normalizační transformace (4) (viz část I, kapitoly II, III); je uveden výpočet koeficientů (pomocí jejich symetrizace) (viz § 5.3). V řadě problémů na nelineární formě v podstatě nelineárních autonomních systémů se osvědčila metoda normálních forem (viz kapitoly VI-VIII). Z dalších metod pro studium v ​​podstatě nelineárních systémů se používá metoda bodových zobrazení (viz), stroboskonic. metodu a funkčně-analytické. metody. Kvalitativní metody nelineárních diferenciálních rovnic Výchozím bodem je zde studium tvaru integrálních křivek nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic, které provedl A. Poincare (N. Poincare, viz). Aplikace pro problémy N.K popsané autonomními systémy 2. řádu viz. Byly studovány otázky existence periodicity. řešení a jejich stabilita ve velkém pro vícerozměrné systémy; jsou uvažovány téměř periodické neperiodické rovnice Aplikace teorie obyčejných diferenciálních rovnic s malým parametrem pro určité derivace na úlohy relaxačních nelineárních rovnic viz. Důležité aspekty N. k. a lit. viz články Teorie poruch, Teorie oscilací. Lit.: Poincaré A., Izbr. děl, přel. z francouzštiny, díl 1, M., 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Teorie oscilací, 2. vyd., M., 1959; Bulgakov B.V., Oscilace, M., 1954; Malkin I.G., Některé problémy teorie nelineárních oscilací, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. práce, díl 1, K., 1969; [b] Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Asymptotické metody v teorii nelineárních oscilací, 4. vydání, M-, 1974; Kamenkov G.V., Izbr. práce, díl 1-2, M., 1971-72; Ljapunov A. M., Sbírka. soch., díl 2, M.-L., 195B, str. 7-263; Starzhinsky V.M., Aplikované metody nelineárních oscilací, M., 1977; Bruno A.D., "Tr. Moscow Mathematical Society", 1971, sv. 25, str. 119-262; 1972, vol. 26, str. 199-239; Neimark Yu.I., Metoda bodových zobrazení v teorii nelineárních oscilací, M., 1972; Minorsky N., Úvod do nelineární mechaniky, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky M. A., Burd V. Sh., Kolesov Yu. S., Nelineární téměř periodické oscilace, M., 1970; Poincaré A., O křivkách určených diferenciálními rovnicemi, přel. z francouzštiny, M.-L., 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Úvod do teorie nelineárních oscilací, M., 1976; Plise V.A., Nelokální problémy teorie kmitů, M. -L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Diferenciální rovnice s malým parametrem a relaxační oscilace, M., 1975. V. M. Starzhinsky.

Zobrazit hodnotu Nelineární oscilace v jiných slovnících

Průměrný příjem plus kolísání— MEAN-VARIANCE EFFICIENCY Model pro vytvoření optimálního portfolia cenných papírů pro investory, založený na závěru Harryho Markowitze, že
osoba investující
........
Ekonomický slovník

Kapitálová ztráta, ztráta kapitálu v důsledku kolísání míry zisku; Kapitálová ztráta v důsledku— Částka, o kterou je zisk z prodeje kapitálových aktiv nižší než náklady na jejich pořízení. Před zákonem o daňové reformě z roku 1986, 2 $.........
Ekonomický slovník

Oscilace— MOVERůst popř
pokles cen určitého druhu akcií nebo cen na trhu jako celku v důsledku výhodných či nevýhodných podmínek, jakož i v důsledku........
Ekonomický slovník

Výkyvy tržních podmínek— změny ekonomických parametrů v průběhu času spojené s objektivní realitou tržního hospodářství, včetně sezónních změn.
Ekonomický slovník

Kolísání směnných kurzů
Ekonomický slovník

Kolísání směnných kurzů (měny, cenné papíry)- změny směnných cen za valuty, ceniny
papíru pod vlivem změny
poptávka,
nabídky a další faktory.
Ekonomický slovník

Maximální fluktuace směnného kurzu- Angličtina maximální kolísání ceny je maximální míra kolísání smluvního kurzu jedním nebo druhým směrem během směnné relace, určená pravidly burzy.
Ekonomický slovník

Výkyvy tržních podmínek— VÝMĚNY TRHU Viz. HOUPAČKA; OBCHODNÍ CYKLUS; SPEKULATIVNÍ CYKLUS
Ekonomický slovník

Výkyvy Sezónní— SEZÓNNÍ VARIACEVíceméně pravidelné
výkyvy v podnikatelské činnosti způsobené sezónními faktory. Například,
Objem peněz odepsaných z bankovních účtů v prosinci je obvykle.......
Ekonomický slovník

Princip fluktuace sazby— PRINCIP FLUKTUACE Princip výběru cenných papírů (dluhopisů nebo akcií) na základě amplitudy kolísání jejich tržních sazeb během celého ekonomického období. cyklus. Rozsah takových výkyvů.........
Ekonomický slovník

Sezónní variace- propagace popř
pokles úrovně ekonomické aktivity, rozsah ekonomické aktivity v důsledku změny ročních období.
Ekonomický slovník

Sezónní cenové výkyvy- ceny se liší v závislosti na ročním období (
ceny zemědělských produktů), sezóna (ceny oděvů a obuvi).
Ekonomický slovník

Obchodní fluktuace— Akcie, na které se ceny v transakcích s cennými papíry zaokrouhlují.
Ekonomický slovník

Kolísání; Oscilace; nestabilita; Změna— (1) Změna cen nebo úrokových sazeb ve směru růstu nebo poklesu. Termín „kolísání“ může označovat malé i velké změny ceny akcie.......
Ekonomický slovník

Maximální fluktuace (limity kolísání/změny ceny)— Maximální denní kolísání cen povolené na některých trzích. Viz: limit (limit/limit).
Ekonomický slovník

Realignment (mechanismus pro společnou fluktuaci směnných kurzů/revizi směnných kurzů)— Proces devalvace jedné nebo více měn zahrnutých do Evropského měnového systému. Směnný kurz pro každou evropskou měnu je určen směnným kurzem.......
Ekonomický slovník

Kolísání směnných kurzů— - změny směnných cen měn a cenných papírů pod vlivem změn poptávky, nabídky a dalších faktorů.
Právní slovník

Sezónní variace— - zvýšení nebo snížení úrovně hospodářské činnosti, rozsahu hospodářské činnosti v důsledku změny ročních období.
Právní slovník

Harmonické oscilace— , periodický pohyb, jako je pohyb KYVADLA, atomové vibrace nebo oscilace v elektrickém obvodu. Těleso vykonává netlumené harmonické kmity, když.......
Vědeckotechnický encyklopedický slovník

Nucené oscilace- vznikají v soustavě vlivem periodických vnějších vlivů (například vynucené kmity kyvadla pod vlivem periodické síly, vynucené kmity.......

Harmonické oscilace- jsou charakterizovány změnou kmitavé veličiny x (např. výchylka kyvadla z rovnovážné polohy, napětí v obvodu střídavého proudu apod.) za čas t podle zákona:....... .
Velký encyklopedický slovník

Tlumené oscilace- vlastní kmity, jejichž amplituda A klesá s časem t podle exponenciálního zákona A(t) = Аоexp (- ?t) (? - indikátor útlumu v důsledku ztráty energie v důsledku viskózních sil.......
Velký encyklopedický slovník

Oscilace- pohyby (změny stavu) s různou mírou opakovatelnosti. Nejběžnější: 1) mechanické vibrace: vibrace kyvadla, mostu, lodi.......
Velký encyklopedický slovník

Vibrace krystalové mřížky- vibrace atomů nebo iontů, které tvoří krystal kolem rovnovážných poloh (uzlů krystalové mřížky). Amplituda tepelných vibrací krystalové mřížky.......
Velký encyklopedický slovník

Ultra vysokofrekvenční oscilace— (mikrovlnné) elektromagnetické kmitání s frekvencí od 3108 do 31011 Hz; používá se ve fyzioterapii k lokálnímu povrchovému ohřevu tělesných tkání.
Velký lékařský slovník

Ultrazvukové vibrace— viz Ultrazvuk.
Velký lékařský slovník

Nelineární systémy— oscilační systémy, ve kterých probíhají procesy popsané nelineárními diferenciálními rovnicemi. Vlastnosti a charakteristiky nelineárních systémů závisí na jejich stavu.
Velký encyklopedický slovník

Normální oscilace— přirozené (volné) harmonické kmitání lineárních systémů s konstantními parametry, ve kterých nedochází ke ztrátám nebo přílivu energie zvenčí. Každý je normální...........
Velký encyklopedický slovník

Plazmové oscilace— různé druhy kmitů buzených a šířících se v plazmatu. Patří mezi ně pomalé oscilace těžkých iontů vzhledem k rychle oscilujícím elektronům.......
Velký encyklopedický slovník

Nespojité oscilace- relaxační oscilace, ve kterých je oscilační proces sledem pomalých (ve srovnání s periodou oscilací) změn stavu......
Velký encyklopedický slovník

Teorie nelineárních oscilací se začala aktivně využívat a rozvíjet v průběhu posledních 50 let. Zásadní význam v této hypotéze, zejména v konceptu automatických vibrací, má ruský vědec. M. Ljapunov a jeho příznivci, jejichž práce dokázala prokázat nutnost použití nelineárních metod při řešení složitých problémů.

Poznámka 1

Teorie nelineárních oscilací (neboli nelineárního mechanického pohybu částic prostředí) je zaměřena na studium nestabilních oscilačních pohybů, popsaných ve fyzice ve formě diferenciálních rovnic.

Tento obor mechaniky poskytuje přesnější pochopení charakteristik vibračního pohybu automatických systémů. Výsledkem je, že lineární vzorce jsou získány zjednodušením nelineárních. Zohlednění takových oscilací proto umožňuje vyvozovat pouze určité závěry o vlastnostech krátkodobých pohybů, které mohou být pouze přibližné. Navzdory tomu teorie nelineárních vibrací obsahuje důležité informace o systematických řešeních, která se objevují za stabilitou ustáleného stavu.

Způsoby, jak projevit nelineární efekty

Nelineární procesy lze generovat různými metodami. Klasickým a jasným příkladem je nelineární spirála, ve které vratná síla přímo závisí na počátečním natažení. V případě paralelní nelinearity (stejný výsledek pro napětí a tlak) má vzorec pro pohyb částic v libovolném prostoru tvar:

$\chi + 2 \gamma \chi + \alpha \chi + \beta \chi^3 = f (t)$

Pokud je systém periodicky ovlivňován vnější silou, pak klasická hypotéza předpokládá, že konečná odezva bude také cyklická. Rezonance nelineárního jevu při nízké frekvenci odezvy spočívá v jeho souladu s hustotou pojmových prvků. Při konstantním pohybu hnací síly vzniká amplituda odpovídajících frekvencí, ve kterých jsou pravděpodobné různé hodnoty posunutí částic.

Existují další komplexní řešení, jako jsou superharmonické a subharmonické vibrace. Pokud má vazebná síla holistický vzhled, pak se další výkyvy stávají vyššími. Hypotéza nelineární rezonance je založena na předpokladu, že systematické ovlivnění zahrnuje vytvoření periodické odezvy.

Samogenerované oscilace představují další důležitou třídu nelineárních procesů. Jedná se o vibrační pohyby, které se tvoří v systémech bez cyklických vnějších periodických sil nebo vlivů.

Paradigma hypotézy nelineární oscilace

Teorie nelineárních pohybů se stala náhradou za Van der Polův zákon elektrických vibrací. Ten byl geneticky propojen s vytvořením principů hypotézy radiotechnického zařízení - elektronkového rozdělovače. V takovém generátoru, pracujícím s určitým „třením“ (tedy nekonzervativním pojetím), se postupně objevují netlumené oscilační pohyby. To znamená, že systém obsahuje zdroj vnitřní energie (neboli energie je do systému systematicky dodávána zvenčí). V tomto aspektu však nehovoříme o vynucených vibracích. Zařízení lampy nezávisle generuje cyklické samobuzené oscilace.

Takové procesy vznikají a fungují díky univerzální konstrukci generátoru, který obsahuje kromě oscilačního zesilovače i obvod napojený na rázovou zpětnovazební linku.

Ponecháme-li otázku paradigmatu zmíněné van der Pol hypotézy nevyřešenou, je možné zhruba popsat koncept, který byl pozorován v dílech Mandelstama, Andronova a jejich následovníků na konci 20. let.

Poznámka 2

Prvním a hlavním prvkem v dílech vědců jsou „symbolická zobecnění“ – matematické rovnice, které definují a popisují univerzální vědecké zákony. V moderní fyzice jsou to především diferenciální vzorce.

Van der Pol se primárně řídil rovnicemi, které popisují princip fungování jednoduchého rozdělovače trubek:

$\frac (d^2x)(dt^2) - \mu (1 – 2x^2) \frac (dx)(dt) = x = 0$

Zde je $x$ obecný parametr (v případě generátoru síla proudu a energie), $t$ je určitý časový úsek a nelineární prvek $\frac(x)(dt)$ demonstruje fungování vakuová trubice.

Významnou roli v historii teorie nelineárních vibrací sehrála tzv. metoda fitování (později nazývaná zákon strukturně-lineární aproximace).

Ve skutečnosti byl Mandelstam na začátku roku 1927 schopen pečlivěji analyzovat stabilitu oscilačních pohybů získaných podle tohoto principu. Metoda fitování je dnes stále široce používána v hypotéze nelineárních oscilací.

Ideologie teorie nelineárních procesů

Ideologie zvažované hypotézy především charakterizuje rysy samooscilací.

Koncepty těchto jevů zavedl L.V. Andronov ve vědeckých článcích 1928-1929. Van der Pol se totiž zabýval i mechanickými vibracemi, popsal oscilační pohyby v elektronkovém generátoru, ale nedovedl si pro ně představit speciální termín.

V Andronovových dílech se „symbolické zobecnění“ nakonec stalo diferenciální rovnicí, ve vztahu k níž je Van der Polův vzorec pouze speciálním případem. Zápis pro takovou ekvivalenci vypadá takto:

$\frac (d^2x)(dt^2) + \frac ( 2dx)(dt + \omega^2 x) = f (\frac (x,dx)(dt))$

Ideologie se objevuje spolu s paradigmatem, ale sahá mnohem dále. Ideologické procesy jsou výrazy a slova, jejichž významy jsou určeny analogiemi, příklady a ilustracemi. Jedním z hlavních znaků používání termínu v ideologii je určitá eroze jeho podstaty. Koncept konvenčně překračuje hranice vlastního rozsahu použití.

Ministerstvo školství Běloruské republiky

Vzdělávací instituce

Brestská státní univerzita pojmenovaná po A.S. Puškin

Fyzikální fakulta

Ústav metod výuky fyziky a OTD

KURZOVÁ PRÁCE

NONLINEÁRNÍ KMITY A SYNCHRONIZACE KMITU

Provádí student skupiny FI-51

Paškevič A.Ya.

Vědecký poradce:

Ph.D. Sc., docent N. N. Vorsin

Brest, 2012

Úvod

1.1 Lineární kmitání za přítomnosti deterministické vnější síly

2. Volné kmity konzervativních systémů s nelineárními vratnými silami

2.1 Volné nelineární kmity soustav s tlumicí a nelineární vratnou silou

2.2 Různé typy funkcí0

3. Netlumené a relaxační kmity

3.1 Kvalitativní analýza van der Polovy rovnice

3.2 Vázané nelineární oscilace, fázově uzamčený regenerativní přijímač a princip synchronizace

3.3 Základní rovnice

3.4 Oscilace s velkým rozladěním

3.5 Kombinované oscilace konstantní amplitudy

3.6 Elektrické úlohy vedoucí k Hillově rovnici

Závěr

Bibliografie

Úvod

Není divu, že fyzik by měl být schopen najít řešení nelineárních problémů, protože mnoho jevů, které se vyskytují ve světě kolem něj, je řízeno nelineárními závislostmi. V procesu rozvoje matematických věd překážky nelineární analýzy bránily formulaci představ o nelineárních pohybech, které by umožnily hlubší pochopení takových jevů.

Podíváme-li se zpět do historie vědeckých úspěchů, je zarážející, že hlavní úsilí badatelů se soustředilo pouze na studium lineárních systémů a lineárních konceptů. Pokud se zároveň podíváte na svět kolem nás, doslova na každém kroku narazíte na jevy, které jsou nelineární povahy. Lineární koncepty poskytují pouze povrchní pochopení většiny toho, co se v přírodě vyskytuje. Aby byla analýza realističtější, je nutné dosáhnout vyšší úrovně a snadnějšího porozumění a používání nelineárních reprezentací.

V posledních letech se vyvinuly metody počítačové analýzy a v mnoha případech se věřilo, že výsledná řešení mohou poskytnout lepší pochopení projevů nelinearity. Obecně řečeno, bylo zjištěno, že prosté hledání numerických řešení vede k jen o málo většímu pochopení nelineárních procesů, než například pozorování samotné přírody, „broušení“ řešení tak specifického nelineárního problému, jakým je počasí. Zdá se, že naše chápání není založeno na rovnicích nebo jejich řešeních, ale spíše na základních a dobře naučených konceptech. Obvykle rozumíme svému prostředí pouze tehdy, když jej dokážeme popsat pomocí pojmů, které jsou tak jednoduché, že jim lze dobře porozumět, a tak široké, že s nimi můžeme pracovat, aniž bychom odkazovali na konkrétní situaci. Seznam takových pojmů je rozsáhlý a zahrnuje například pojmy jako rezonance, hystereze, vlny, zpětná vazba, mezní vrstvy, turbulence, rázové vlny, deformace, fronty počasí, imunita, inflace, deprese atd. Většina nejužitečnějších procesy jsou nelineární povahy a naše neschopnost popsat přesným matematickým jazykem takové každodenní jevy, jako je proudění vody v okapu nebo víření kouře z cigarety, spočívá částečně v naší neochotě dříve se ponořit do nelineární matematiky a porozumět jí.

Fenomén rezonance, jak známo, se často vyskytuje v živé hmotě. Po Wienerovi navrhl Szent-Györgyi význam rezonance pro strukturu svalů. Ukazuje se, že látky se silnými rezonančními vlastnostmi mají obvykle výjimečnou schopnost ukládat energii i informace a k takové akumulaci ve svalu nepochybně dochází.

Nelineární oscilace, náhodné nelineární oscilace a sdružené (fázově synchronizované) nelineární oscilace tvoří samotnou podstatu jevů v mnoha oblastech vědy a techniky, jako jsou komunikace a energie; rytmické procesy probíhají v biologických a fyziologických systémech. Biofyzik, meteorolog, geofyzik, jaderný fyzik, seismolog – ti všichni se zabývají nelineárními oscilacemi, často fázově uzamčenými v té či oné formě. Energetický inženýr se například zabývá problematikou stability synchronních strojů, komunikační inženýr se zabývá nestabilitou výběru času či synchronizace, fyziolog klonusem, neurolog ataxií, meteorolog frekvencí kolísání v atmosférický tlak, kardiolog se zabývá výkyvy způsobenými prací srdce, biolog - výkyvy způsobenými průběhem biologických hodin.

Hlavním cílem práce je zvážit řadu problémů v teorii nelineárních oscilací souvisejících s takovými základními pojmy, jako je zachycení (nebo synchronizace), sledování, demodulace a fázově koherentní komunikační systémy. Pokusí se podat přehled praktických nelineárních problémů, jejichž řešení jsou psána přístupnou formou. Přehled není vyčerpávající, ale zahrnuje příklady problémů, které slouží k ilustraci základních konceptů potřebných k pochopení nelineárních vlastností systémů s fázovým závěsem. Otázka existence a jedinečnosti řešení se dotýká jen povrchně; hlavní důraz je kladen na metody pro získávání řešení.

Recenzovaný materiál lze seskupit do tří hlavních témat. První téma zahrnuje prezentaci výsledků teorie lineárních kmitů v systémech s jedním stupněm volnosti a konstantních parametrech. Tento materiál slouží jako referenční a pro srovnání s výsledky získanými z teorie nelineárních oscilací. Druhé téma je věnováno snadno integrovaným nelineárním systémům, které nejsou ovlivněny vnějšími časově závislými silami. Zde jsou podrobně studovány volné kmity nelineárních systémů pomocí aparátu fázové roviny. Je uvedeno stručné shrnutí Poincarého teorie singulárních bodů diferenciálních rovnic prvního řádu. Užitečnost konceptu singulárního bodu je ilustrována řešením řady fyzikálních problémů. Konečně třetí téma pokrývá vynucené, samoudržující oscilace (samooscilace) a relaxační nelineární oscilace. Zejména bude diskutována aplikace van der Pol teorie na problémy synchronizace a sledování a kapitola bude uzavřena diskusí o Hillově rovnici.

1. Volné kmitání v lineárních systémech

Zdá se cenné a zajímavé shrnout hlavní rysy lineárních oscilací. Existuje několik důvodů, proč to udělat zde. Jedním z našich základních úkolů je porovnat lineární a nelineární metody pro studium oscilací. Kromě toho se stalo praxí aplikovat terminologii používanou v lineárních úlohách, pokud je to možné, na úlohy nelineární. Nakonec je užitečné mít shrnutí hlavních myšlenek a vzorců lineární teorie pro snadnou orientaci.

Snad nejjednodušší příklad problému lineárního kmitání poskytuje jednoduchý elektrický obvod sestávající z indukčnosti zapojené do série s kondenzátorem a rezistorem (obr. 1). Mechanický analog znázorněný na obr. 1, sestává z tělesa hmoty připojeného k pružině, která vyvíjí sílu (nazývanou vratná síla) úměrnou posunutí tělesa. Pro tento elektrický systém pomocí Kirchhoffova zákona máme

Předpokládáme-li, že se těleso v mechanické soustavě pohybuje v prostředí, které klade odpor úměrný rychlosti (vazké tření), pak je pohybová rovnice pro vibrace mechanické soustavy dána vztahem

Analogicky to máme; ; a navíc je analogem posunu.

Rýže. 1. Lineární elektrické a mechanické systémy

Za předpokladu, že vnější síla a zavedení notace

zredukujeme (1.2) do tvaru

Protože oscilace určené touto lineární homogenní rovnicí se nazývají volné lineární oscilace. Obecným řešením lineární rovnice s konstantními koeficienty je lineární kombinace dvou exponenciálních funkcí:

kde a jsou libovolné konstanty, které jsou určeny počátečními podmínkami, a a jsou kořeny charakteristické rovnice

Tedy a jsou dány vztahy

Chceme-li předložit řešení (1.5) v reálné podobě, uvažujeme tři případy, kdy je veličina: a) reálná, b) nulová, c) imaginární. Je snadné ukázat, že řešení mají formu

kde a jsou skutečné; a jsou to libovolné konstanty, které jsou určeny specifikací hodnot posunutí (proudu) a rychlosti v určitém počátečním okamžiku.

Nejčastěji v praxi vzniká rovnice (1.8 - a). Jak je snadno vidět z (1.3), tento případ nastane, pokud je koeficient tlumení malý ve srovnání s. Rovnice (1.8 - a) v tomto případě popisuje takový kmitavý pohyb, že každé dvě po sobě jdoucí maxima a posuvy splňují vztah

NELINEÁRNÍ KMITY

Oscilace ve fyzice systémy popsané nelineárními systémy obyčejných diferenciálních rovnic

Kde obsahuje členy minimálně 2. stupně ve vektorových složkách - vektorová funkce času - malý parametr (nebo a ). Možná zobecnění jsou spojena s uvažováním nespojitých systémů, dopadů s nespojitými charakteristikami (například hystereze), zpoždění a náhodných dopadů, integro-diferenciálních a diferenciálních operátorových rovnic, oscilačních systémů s distribuovanými parametry popsanými parciálními diferenciálními rovnicemi, jakož i jako použití metod optimálního řízení nelineárních oscilačních systémů. Hlavní obecné úkoly N.K.: nalezení rovnovážných poloh, stacionární režimy, zejména periodické. pohyby, vlastní oscilace a studium jejich stability, problémy synchronizace a stabilizace N.K.

Všechny fyzické systémy, přísně vzato, jsou nelineární. Jedním z nejcharakterističtějších rysů NC je jejich porušení principu superpozice kmitů: výsledek každého z vlivů za přítomnosti druhého se ukáže být jiný než za nepřítomnosti druhého vlivu.

Kvazilineární systémy - systémy (1) pro . Hlavní výzkumnou metodou je metoda malých parametrů. Za prvé je to Poincaré-Lindstedtova metoda pro stanovení periodicity. řešení kvazilineárních systémů, která jsou v parametru pro dostatečně malé hodnoty analytická, buď ve formě mocninných řad (viz kapitola IX), nebo ve formě mocninných řad a - doplnění počátečních hodnot složek vektoru (viz kapitola III). Další vývoj této metody viz např. v -.

Další metodou malých parametrů je metoda průměrování. Zároveň do studia kvazilineárních systémů pronikly i nové metody: asymptotické. metody (viz,), metoda K-funkcí (viz), založená na zásadních výsledcích A. M. Ljapunova - N. G. Četaeva atd.

V podstatě nelineární systémy, ve kterých neexistuje žádný předem určený malý parametr. Pro systémy Ljapunov

a mezi vlastními čísly matice nejsou žádné násobky kořene - analytická vektorová funkce X, expanze začíná členy minimálně 2. řádu a existuje analytický zvláštního typu, A. M. Ljapunov (viz § 42) navrhl způsob hledání periodických. řešení ve formě řady v mocninách libovolné konstanty c (pro kterou lze vzít počáteční hodnotu jedné ze dvou kritických proměnných nebo).

Pro systémy blízké systémům Ljapunov,

kde má stejný tvar jako v (2), - analytický. vektorová funkce a malý parametr, spojitý a -periodický in t, je také navržena metoda pro stanovení periodicity. rozhodnutí (viz kapitola VIII). Systémy Ljapunovova typu (2), ve kterých má l nula vlastních čísel s jednoduchými elementárními děliteli, dvě čistě imaginární vlastní čísla a nemá žádná vlastní čísla, která jsou násobky - stejné jako v (2), lze redukovat na Ljapunovovy systémy (viz IV.2). N.K. byly také studovány v systémech Ljapunov a v tzv. Ljapunovovy systémy s tlumením a také vyřešily obecný problém čerpání energie do nich (viz kapitoly I, III, IV).

Nechť v podstatě nelineární redukujeme na Jordanovu formu jeho lineární části

kde vektor podle předpokladu má alespoň jednu nenulovou složku; , jsou rovny nule nebo jedné, v nepřítomnosti nebo přítomnosti komplexních elementárních dělitelů matice lineární části, - koeficienty; Hodnoty vektoru s celočíselnými složkami jsou následující:

Pak dojde k normalizační transformaci:

vedoucí (3) k normálnímu tvaru diferenciálních rovnic

a takové, že pokud . (5) tedy obsahuje pouze , tj. koeficienty mohou být odlišné od nuly pouze pro ty, pro které je splněna rezonanční rovnice

hraje významnou roli v teorii oscilací. Byla studována konvergence a divergence normalizační transformace (4) (viz část I, kapitoly II, III); je uveden výpočet koeficientů (pomocí jejich symetrizace) (viz § 5.3). V řadě problémů na nelineární formě v podstatě nelineárních autonomních systémů se osvědčila metoda normálních forem (viz kapitoly VI-VIII).

Z dalších metod pro studium v ​​podstatě nelineárních systémů se používá metoda bodových zobrazení (viz), stroboskonic. metodu a funkčně-analytické. metody.

Kvalitativní metody nelineárních diferenciálních rovnic Výchozím bodem je zde studium tvaru integrálních křivek nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic, které provedl A. Poincare (N. Poincare, viz). Aplikace pro problémy N.K popsané autonomními systémy 2. řádu viz. Byly studovány otázky existence periodicity. řešení a jejich stabilita ve velkém pro vícerozměrné systémy; jsou uvažovány téměř periodické neperiodické rovnice Aplikace teorie obyčejných diferenciálních rovnic s malým parametrem pro určité derivace na úlohy relaxačních nelineárních rovnic viz.

Důležité aspekty N. k. a lit. viz články Poruchy, teorie oscilací.

Lit.: Poincaré A., Izbr. děl, přel. z francouzštiny, díl 1, M., 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Teorie oscilací, 2. vyd., M., 1959; Bulgakov B.V., Oscilace, M., 1954; Malkin I.G., Některé problémy teorie nelineárních oscilací, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. práce, díl 1, K., 1969; [b] Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Asymptotické metody v teorii nelineárních oscilací, 4. vydání, M-, 1974; Kamenkov G.V., Izbr. práce, díl 1-2, M., 1971-72; Ljapunov A. M., Sbírka. soch., díl 2, M.-L., 195B, str. 7-263; Starzhinsky V.M., Aplikované metody nelineárních oscilací, M., 1977; Bruno A.D., "Tr. Moscow Mathematical Society", 1971, sv. 25, str. 119-262; 1972, vol. 26, str. 199-239; Neimark Yu.I., Metoda bodových zobrazení v teorii nelineárních oscilací, M., 1972; Minorsky N., Úvod do nelineární mechaniky, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky M. A., Burd V. Sh., Kolesov Yu. S., Nelineární téměř periodické oscilace, M., 1970; Poincaré A., O křivkách určených diferenciálními rovnicemi, přel. z francouzštiny, M.-L., 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Úvod do teorie nelineárních oscilací, M., 1976; Plise V.A., Nelokální problémy teorie kmitů, M.-L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Diferenciální rovnice s malým parametrem a relaxačními oscilacemi, M., 1975.

V. M. Staržinský.

Matematická encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Podívejte se, co jsou „NELINEÁRNÍ KMITY“ v jiných slovnících:

nelineární oscilace- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Anglicko-ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] Témata elektrotechniky, základní pojmy EN nelineární oscilace ... Technická příručka překladatele

nelineární oscilace- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. nelineární oscilace; nelineární vibrace vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. nelineární oscilace, n pranc. oscilace nelineární, f … Fizikos terminų žodynas

Termín, který se někdy používá k označení oscilací v nelineárních systémech (viz Nelineární systémy) ... Velká sovětská encyklopedie

Nelineární oscilace Nelineární vibrace Specializace ... Wikipedie

Procesy v oscilaci. a vlnové systémy, které nesplňují princip superpozice. Nelineární oscilace nebo vlny se obecně vzájemně ovlivňují a jejich charakteristiky (frekvence, tvar vibrací, rychlost šíření, typ profilu... ... Fyzická encyklopedie

Oscilační systémy silně závisí na procesech v nich probíhajících. Kmity takových systémů jsou popsány nelineárními rovnicemi. Nelineární jevy: mechanické. systémy, kde moduly pružnosti těles závisí na jejich deformacích nebo koeficientech. tření...... Fyzická encyklopedie