Limita vektorové funkce skalárního argumentu. Přednášky vektorové funkce skalárního argumentu

Definice 1. Vektor r se nazývá vektorová funkce skalárního argumentu t, pokud každá skalární hodnota z definičního oboru přijatelné hodnoty odpovídá určité hodnotě vektoru g Zapíšeme to takto: Je-li vektor g funkcí skalárního argumentu t, pak souřadnice x, y, z vektoru g budou také funkcemi argumentu t. : Vektorová funkce skalárního argumentu. Hodograf. Limita a spojitost vektorové funkce skalárního argumentu Naopak, pokud souřadnice vektoru g jsou funkcemi t %, pak samotný vektor g bude funkcí t: Zadání vektorové funkce r(f) je tedy. ekvivalentní specifikaci tří skalárních funkcí y(t), z(t). Definice 2. Hodograf vektorové funkce r(t) skalárního argumentu je místo bodů, které popisuje konec vektoru r(*), když se skalární t změní, když je začátek vektoru r(f) umístěna v pevném bodě O v prostoru (obr. I ). Hodograf pro vousový vektor r = g(*) pohyb Obr. 1 bod hoření bude trajektorie L tohoto samotného bodu. Hodograf rychlosti v = v(J) tohoto bodu bude nějaká jiná úsečka L\ (obr. 2). Pokud se tedy hmotný bod pohybuje po kružnici konstantní rychlostí |v| = const, pak jeho rychlostní hodograf je také kružnice se středem v bodě 0\ a s poloměrem rovným |v|. Řešení. Máme, kde je jasné, že pokud pro libovolné e 0 vezmeme 6 = ~, pak při -0| označíme |. Podle definice to znamená, že a(t) je nekonečný vektor v t 0. 1> úlohy pro samostatné řešení r Ukažte, že limita modulu vektoru rovný modulu jeho limit, pokud poslední limita existuje. . Dokažte, že k tomu, aby vektorová funkce r(*) měla limitu A at to, je nutné a dostatečné, aby r(lze reprezentovat jako Vektorovou funkci skalárního argumentu. Hodograf. Limita a spojitost vektorové funkce skalární argument de a( t) je nekonečný vektor pro t -* t0 14. Vektorová funkce a+ b(*) je spojitá pro t = t0. jsou také spojité pro t - to ? 15. Dokažte, že pokud a( jsou spojité vektorové funkce, pak jejich skalární součin (a(*),b(f)) a vektorový součin |a(f),b(t)] jsou také kontinuální.

Nechť je množina hodnot vektorové funkce skalárního argumentu redukována na společný počátek v bodě 0. Přiřaďme počátek kartézského souřadnicového systému k tomuto bodu. Pak pro jakýkoli vektor lze rozšířit na jednotkové vektory

Zadání vektorové funkce skalárního argumentu tedy znamená zadání tří skalárních funkcí Když se změní hodnota argumentu, konec vektoru bude popisovat křivku v prostoru, která se nazývá vektorový hodograf

Nechť je blízko hodnota pro Poté se zavolá derivace vektorové funkce na skalární argument

č. 17 Rychlost a zrychlení bodu při křivočarém pohybu

Rychlost

Rychlost je zavedena jako charakteristika pohybu hmotného bodu. Rychlost je vektorová veličina, která je charakterizována jak rychlostí pohybu (velocity vector magnitude), tak jeho směrem (velocity vector direction) v daném čase. Nechť se hmotný bod pohybuje po nějaké křivočaré trajektorii a v okamžiku t odpovídá vektoru poloměru r0 (obr. 1). V krátkém časovém úseku Δt se bod posune Δs a zároveň obdrží elementární (nekonečně malé) posunutí Δr.

Vektor průměrné rychlosti se nazývá poměr přírůstku Δr vektoru poloměru bodu k časovému intervalu Δt:

Směr vektoru průměrné rychlosti se shoduje se směrem Δr. S nekonečným poklesem Δt má průměrná rychlost tendenci k hodnotě nazývané okamžitá rychlost v:

To znamená, že okamžitá rychlost v je vektorová veličina, která se rovná první derivaci vektoru poloměru pohybujícího se bodu vzhledem k času. Protože v limitě se sečna shoduje s tečnou, pak vektor rychlosti v směřuje tečně k trajektorii ve směru pohybu (obr. 2).

Obr.2

Jak Δt klesá, Δs se bude stále více blížit |Δr|, takže modul okamžité rychlosti

To znamená, že absolutní hodnota okamžité rychlosti je rovna první derivaci dráhy s ohledem na čas:

Pokud ne rovnoměrný pohyb Okamžitý modul rychlosti je v různých časech různý. V tomto případě použijte skalární množství - průměrná rychlost nerovnoměrného pohybu:

Pokud integrujeme výraz ds=vdt v čase v rozsahu od t do t+Δt (viz vzorec (2)), zjistíme délku dráhy, kterou bod urazil za čas Δt:

V případě rovnoměrného pohybu je číselná hodnota okamžité rychlosti konstantní; Potom výraz (3) bude mít tvar

Délka dráhy, kterou bod urazí za časové období od t1 do t2, je dána integrálem

AKCELERACE

Při nerovnoměrné jízdě je často nutné vědět, jak rychle se rychlost mění v čase. Fyzikální veličina, která charakterizuje rychlost změny rychlosti ve velikosti a směru, se nazývá zrychlení. Uvažujme rovinný pohyb - pohyb, při kterém trajektorie každého bodu uvažovaného systému leží ve stejné rovině. Nechť vektor v je rychlost bodu A v čase t. Během času Δt se bod posunul do polohy B a získal rychlost odlišnou od v jak velikostí, tak směrem a rovnou v1 + Δv. Přemístěme vektor v1 do bodu A a najdeme Δv (obr. 1).

Průměrné zrychlení nerovnoměrného pohybu v intervalu od t do t+Δt je vektorová veličina rovna poměru změny rychlosti Δv k časovému intervalu Δt:

Okamžité zrychlení a (zrychlení) hmotného bodu v čase t bude vektorová veličina:

rovná první derivaci rychlosti s ohledem na čas.

Rozložme vektor Δv na dvě složky. K tomu z bodu A (obr. 1) ve směru rychlosti v vyneseme vektor AD, jehož modul je roven v1. Je zřejmé, že CD vektor rovný Δvτ určuje změnu rychlosti v čase Δt modulo: Δvτ=v1-v. Druhá složka Δvn vektoru Δv charakterizuje změnu rychlosti v čase Δt ve směru.

Tangenciální složka zrychlení:

tj. je rovna první derivaci s ohledem na čas rychlostního modulu, čímž určuje rychlost změny rychlosti v modulu.

Hledáme druhou složku zrychlení. Předpokládáme, že bod B je velmi blízko bodu A, takže Δs lze považovat za oblouk kružnice o nějakém poloměru r, mírně odlišný od tětivy AB. Trojúhelník AOB je podobný trojúhelníku EAD, ze kterého vyplývá Δvn/AB=v1/r, ale protože AB=vΔt, pak

V limitě při Δt→0 dostáváme v1→v.

Protože v1→v, úhel EAD má tendenci k nule a od trojúhelník EAD je rovnoramenný, pak úhel ADE mezi v a Δvn má sklon k pravému úhlu. V důsledku toho se v Δt→0 vektory Δvn a v stanou vzájemně kolmými. Protože vektor rychlosti směřuje tečně k trajektorii, potom vektor Δvn, kolmý k vektoru rychlosti, směřuje do středu zakřivení trajektorie bodu. Druhá složka zrychlení, rovna

se nazývá normálová složka zrychlení a směřuje po přímce kolmé k tečně k trajektorii (nazývané normála) ke středu jejího zakřivení (proto se také nazývá dostředivé zrychlení).

Celkové zrychlení tělesa je geometrickým součtem tečné a normálové složky (obr. 2):

To znamená, že tangenciální složka zrychlení je charakteristikou rychlosti změny rychlosti v absolutní hodnotě (směřující tangenciálně k trajektorii) a normálová složka zrychlení je charakteristikou rychlosti změny rychlosti ve směru (směřující k trajektorii). střed zakřivení trajektorie). V závislosti na tečné a normální složce zrychlení lze pohyb klasifikovat takto:

1)aτ=0, an=0 - přímočarý rovnoměrný pohyb;

2)aτ=an=konst, аn=0 - přímočarý rovnoměrný pohyb. S tímto typem pohybu

Je-li počáteční čas t1 = 0 a počáteční rychlost v1 = v0, pak, označíme-li t2=t a v2 = v, dostaneme a=(v-v0)/t, z čehož

Po integraci tohoto vzorce v rozsahu od nuly do libovolného časového okamžiku t zjistíme, že délka dráhy, kterou urazí bod v případě rovnoměrně proměnného pohybu

3)aτ=f(t), an=0 - přímý pohyb s proměnným zrychlením;

4)aτ=0, an=konst. Když aτ=0, rychlost se nemění v absolutní hodnotě, ale mění se ve směru. Ze vzorce an=v2/r vyplývá, že poloměr křivosti musí být konstantní. Proto je kruhový pohyb stejnoměrný křivočarý pohyb;

5)aτ=0, an≠0 rovnoměrný křivočarý pohyb;

6)aτ=konst, an≠0 - křivočarý rovnoměrný pohyb;

7)aτ=f(t), an≠0 - křivočarý pohyb s proměnným zrychlením.

č. 18 Rovnice tečné roviny a normály k ploše

Definice. Nechť je funkce dvou proměnných z =f(x,y) dána na definičním oboru D, M0(x0;y0) je vnitřní bod definičního oboru D, M(x0+Δx;y+Δy) je bod v D „sousední“ M0.

Zvažte plný přírůstek funkce:

Pokud je Δz reprezentováno jako:

kde A, B jsou konstanty (nezávislé na Δx, Δy), - vzdálenost mezi M a M0, α(Δ x,Δy) - infinitezimální při Δx 0, Δy 0; pak se funkce z =f(x,y) nazývá diferencovatelná v bodě M0 a výraz

se nazývá totální diferenciál funkce z =f(x;y) v bodě M0.

Věta 1.1. Je-li z =f(x;y) diferencovatelné v bodě M0, pak

Důkaz

Protože v (1.16) Δx, Δy jsou libovolné infinitesimály, můžeme vzít Δy =0, Δx≠0, Δx 0, pak

po kterém z (1.16) vyplývá

Podobně je dokázáno, že

a věta 1.1. osvědčený.

Poznámka: diferencovatelnost z =f(x,y) v bodě M0 implikuje existenci parciálních derivací. Opačné tvrzení je nepravdivé (existence parciálních derivací v bodě M0 neznamená diferencovatelnost v bodě M0).

V důsledku toho, vezmeme-li v úvahu větu 1.1, vzorec (1.18) bude mít tvar:

Následek. Funkce derivovatelná v bodě M0 je v tomto bodě spojitá (protože z (1.17) vyplývá, že pro Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Poznámka: Podobně pro případ tří a více proměnných. Výraz (1.17) bude mít tvar:

Pomocí geometrického významu (obr. 1.3) parciálních derivací můžeme získat následující rovnici (1.24) tečné roviny πcass k ploše: z =f(x,y) v bodě C0(x0,y0,z0), z0=z(M):

Ze srovnání (1.24) a (1.21) získáme geometrický význam plný diferenciál funkce dvou proměnných:

Přírůstek aplikace z, když se bod C pohybuje po tečné rovině z bodu C0 do bodu

odkud je (1.24).

Rovnici normály Lн k ploše: z = f(x,y) v bodě C0 získáme jako rovnici přímky procházející C0 kolmo k tečné rovině:

č. 19 Směrová derivace. Gradient

Nechť je funkce dána v nějakém oboru a tečka . Nakreslete vektor z bodu, jehož směr je kosinus . Na vektoru ve vzdálenosti od jeho začátku uvažujme bod, tzn. .

Budeme předpokládat, že funkce a jeho parciální derivace prvního řádu jsou v doméně spojité.

Limita poměru at se nazývá derivace funkce na místě ve směru vektoru a značí se, tzn. .

Najít derivaci funkce v daném bodě ve směru vektoru použijte vzorec:

Kde – směrové kosiny vektoru , které se počítají podle vzorců:
.

Nechť je funkce specifikována v každém bodě určité oblasti .

Vektor, jehož průměty na souřadnicových osách jsou hodnotami parciálních derivací této funkce v odpovídajícím bodě, se nazývá gradient funkce. a je určeno nebo (čti „nabla u“): .

V tomto případě říkají, že v oblasti je definováno vektorové pole gradientů.

Chcete-li najít gradient funkce v daném bodě použijte vzorec: .

č. 22 základní vlastnosti neurčitého integrálu

Neurčitý integrál

kde F je primitivní funkce f (na intervalu); C je libovolná konstanta.

Základní vlastnosti

1.

2.

3. Pokud Že

24)

25)

28)

Tato metoda se používá v případech, kdy je integrand součinem nebo kvocientem heterogenních funkcí. V tomto případě se V'(x) považuje za snadno integrovatelnou součást.

29)

32) Rozklad racionálního zlomku na jednoduché zlomky.

Jakýkoli správný racionální zlomek
lze vyjádřit jako součet konečného počtu jednoduchých racionálních zlomků prvního – čtvrtého typu. Pro rozklad
je nutné rozšířit jmenovatele na jednoduché zlomky Qm(x) na lineární a čtvercové faktory, pro které musíte vyřešit rovnici:

- (5)

Teorém.Správný racionální zlomek
, Kde
, lze jednoznačně rozložit na součet jednoduchých zlomků:

- (6)

(A 1, A 2, …, Ak, B 1, B 2, …, B 1, M 1, N 1, M 2, M 2, …, M s, N s – některá reálná čísla).

33) Rozklad správný zlomek na jednoduché zlomky se složitými kořeny jmenovatele

Prohlášení o problému. Najděte neurčitý integrál

1 . Představme si následující zápis:

Porovnejme stupně čitatele a jmenovatele.

Je-li integrand nevlastním racionálním zlomkem, tzn. stupeň čitatelen větší nebo rovno mocnině jmenovatelem , pak nejprve vybereme celou část racionální funkce vydělením čitatele jmenovatelem:

Zde je polynom zbytkem dělení a stupněmPk(x) menší stupeňQm

2 . Rozšiřme správný racionální zlomek

na elementární zlomky.

Pokud má jeho jmenovatel jednoduché komplexní kořeny, tj.

pak má expanze tvar

3 . Chcete-li vypočítat nejisté koeficienty,A1,A2,A3...B1,B1,B3... zlomek na pravé straně identity přivedeme ke společnému jmenovateli, načež srovnáme koeficienty se stejnými mocninamiX v čitatelích vlevo a vpravo. Pojďme na systém 2 S rovnice s 2 S neznámý, který má unikátní řešení.

4 Integrujeme elementární zlomky formuláře

47) Pokud existuje konečná limita I integrálního součtu jako λ → 0 a nezávisí na metodě výběru bodů ξ i, metodě rozdělení segmentu, pak se tato limita nazývá určitý integrál funkce f ( x) přes segment a je označen takto:

V tomto případě se říká, že funkce f (x) je integrovatelná na . Čísla a a b se nazývají dolní a horní mez integrace, f (x) je integrand, x je proměnná integrace. Je třeba poznamenat, že nezáleží na tom, které písmeno označuje integrační proměnnou určitého integrálu

protože změna zápisů tohoto druhu nijak neovlivňuje chování integrálního součtu. I přes podobnost v zápisu a terminologii se určité a neurčité integrály liší

48) Věta o existenci určitého integrálu

Rozdělme segment na části body x1,x2,x3... takže

Označme deltaX délku i-tého kusu a maximum těchto délek.

Vyberme libovolně určitý bod na každém segmentu tak, aby (říká se mu „střed“), a složme

veličina nazývaná integrální součet

Pojďme teď najít limit

Definice. Pokud existuje a nezávisí na

a) způsob rozdělení segmentu na části a z

b) způsob výběru středu,

je určitý integrál funkce f(x) přes segment .

Funkce f(x) se v tomto případě nazývá integrovatelná na intervalu. Veličiny a a b se nazývají dolní a horní hranice integrace.

50) Základní vlastnosti určitého integrálu

1) Je-li integrační interval rozdělen na konečný počet dílčích intervalů, pak se určitý integrál převzatý z intervalu rovná součtu určitých integrálů převzatých ze všech jeho dílčích intervalů.

2) věta o střední hodnotě.

Nechť je funkce y = f(x) integrovatelná na intervalu ,m=min f(x) a M=max f(x), pak takové číslo existuje

Následek.

Pokud je funkce y = f(x) spojitá na intervalu , pak existuje číslo takové, že.

3) Při přeskupování hranic integrace mění určitý integrál své znaménko na opačné.

4) Určitý integrál se stejnými limity integrace je roven nule.

5)Integrace funkčního modulu

Pokud je funkce f(x) integrovatelná, pak je její modul integrovatelný i na intervalu.

6)Integrace nerovností

Jestliže f(x) a q(x) jsou integrovatelné na interval a x patří do

Že

7) Linearita

Konstantní faktor lze vzít za znaménko určitého integrálu

jestliže f(x) existuje a je integrovatelný na intervalu, A=konst

Pokud je funkce y=f(x) spojitá na intervalu a F(x) je libovolná z jejích primitivních funkcí na (F’(x)=f(x)), pak vzorec platí

Nechť se provede substituce x=α(t) pro výpočet integrálu spojité funkce.

1) Funkce x=α(t) a její derivace x’=α’(t) jsou spojité pro t patřící do

2) Množina hodnot funkce x=α(t) v t patří do segmentu

3) A a(c)=a a a(v)=b

Nechť je funkce f(x) spojitá na intervalu a má nekonečnou diskontinuitu v x=b. Pokud limita existuje, pak se nazývá nevlastní integrál druhého druhu a značí se .

Takže podle definice

Existuje-li limita na pravé straně, pak nevlastní integrál konverguje. Pokud zadaná limita neexistuje nebo je nekonečná, pak říkají, že integrál se rozchází.

Stáhnout z Depositfiles

DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE

já. VEKTOROVÁ FUNKCE SKALÁRNÍHO ARGUMENTU

Vektorová funkce (definice 1.1), metody pro její specifikaci.

Rádiusový vektor a hodograf, parametrická specifikace hodograf.

Derivace vektorové funkce (Definice 1.6).

Geometrický význam derivace vektorové funkce.

Pravidla pro derivování vektorových funkcí.

1.1. DEFINICE VEKTOROVÉ FUNKCE

Definice 1.1Pokud každá hodnota skalárního argumentushodný vektor
trojrozměrný prostor R 3 , pak říkají, že vektorová funkce (nebo vektorová funkce) skalárního argumentu je dána na množině Xt .

Pokud ve vesmíru R 3 je zadán kartézský souřadnicový systémO xyz , pak úloha je vektor - funkce
,
je ekvivalentní zadání tří skalárních funkcíX( t ), y ( t ), z ( t ) - vektorové souřadnice:

= { x ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

nebo , (1.2)

Kde
— vektory souřadnicových jednotek.

1.2. PROSTOROVÁ ČÁRA JAKO HODOGRAF POLOMĚRU VEKTORU

Definice 1.2 Pokud je začátek všech vektorů ,umístěny v počátku, nazývají se rádiusové vektory.

Definice 1.3 Přímka, která je geometrickým místem konců poloměrových vektorů , se nazývá hodograf vektorové funkce a jejich společným začátkem je pól hodografu.

Pokud je parametr t je čas a je poloměrový vektor pohybujícího se bodu, pak hodograf funkce je trajektorie pohybujícího se bodu.

Hodografová rovnice může být zapsána ve vektorovém tvaru (1.2) nebo v parametrickém tvaru:

(1.3)

Zejména pokud je vektorová funkcese změnou argumentu se změní pouze jeho modul, ale směr se nezmění (), pak bude hodografem takové vektorové funkce přímočarý paprsek vycházející z počátku; pokud se změní pouze směr vektoru, ale jeho velikost zůstane nezměněna (
), pak hodografem vektorové funkce bude křivka umístěná na kouli se středem na pólu a poloměrem rovným konstantnímu modulu vektoru.

Obrázek 1

1.3. LIMITA, KONTINUITA A DERIVÁT VEKTOROVÉ FUNKCE

Definice 1. 4 Vektor se nazývá limita vektorové funkcena
, Pokud

. (1.4)

Definice 1.5 Zavolá se vektorová funkce spojitý v bodět 0, pokud má v tomto bodě limitu rovnou hodnotě vektorové funkce v tomto bodě:

. (1.5)

Definice 1.6Derivace vektorové funkce na místě t se nazývá limita poměru přírůstku vektorové funkce k přírůstku argumentu
na
:

(1.6)

1.4. GEOMETRICKÝ A MECHANICKÝ VÝZNAM PRVNÍ DERIVÁTY VEKTOROVÉ FUNKCE

Geometrický význam první derivace vektorové funkce skalárního argumentu je ten, že tato derivace je nový vektor směřující tečně k hodografu:
. Pojďme to ukázat.

Obrázek 2

Budeme předpokládat, že hodograf uvažované vektorové funkce je spojitá přímka, která má v libovolném bodě tečnu.

Dejme argument t přírůstek, pak geometricky poměr
je nějaký vektor
, ležící na sečně MM'. Když se tento vektor otočí a změní se ve vektor
, ležící na tečně a směřující ke zvýšenít . Takže vektor

(1.7)

bude jednotkový vektor tečny orientovaný ve směru rostoucího parametrut .

Proto vektor
lze brát jako směrový vektor tečnu ke křivce v bodě ), (nebo
) a zapište tečnou rovnici ve tvaru:

(1.8)

Li t – čas a — vektor poloměru bodu
, pohybující se v trojrozměrném prostoru, pak asivztah se nazývá průměrná rychlost bodu na segmentu [t; t+t].

Mechanický smyslprvní derivace vektorové funkce je, že tato derivace představuje rychlost bodu M v daném okamžikut :

Pravidla pro derivování vektorových funkcí

Dokažme pravidlo 1 pomocí pravidel pro odečítání vektorů a dělení vektoru číslem:

Důkaz zbývajících pravidel je založen na pravidle 1 a pravidlech pro práci s vektory.

Příklad 1.1: Je dána vektorová funkce.Sestrojte jeho hodograf a vytvořte rovnici pro jeho tečnu v libovolném bodě.

Řešení. Za jakýkoli bod ( x , y , z ) hodograf vektor – funkce, které máme:x = náklady ; y = asint ; z = bt a tedy pro jakékoli
platí rovnostx 2 + y 2 = A 2 , a tvořící čára je rovnoběžná s osou Oz. Pokud je parametr t interpretován jako čas, pak rovnoměrným pohybem po kružnici promítání konce vektoru poloměru do rovinyOxy jeho průmět do osyOz se bude pohybovat rovnoměrně a přímočarou rychlostíb . Jinými slovy, aplikace hodografového bodu vektorové funkce roste úměrně úhlu natočení jejího průmětu do roviny.Oxy . Požadovaný hodograf tedy bude mít tvar znázorněný na obr. 3 a nazývá se spirálová čára. Abychom našli tečny hodografu (helikální čáry), najdeme derivaci vektorové funkce.

Řešení. Od, pak

a její diferenciaci.

Jedním z nejjednodušších způsobů, jak určit prostorovou křivku, je zadat vektorovou rovnici:

Kde je vektor poloměru bodu křivky a - parametr, který určuje polohu bodu.

Že. variabilní vektor existuje skalární funkce . V matematické analýze se takové funkce nazývají vektorové funkce skalárního argumentu.

Rozkládající se pomocí jednotkových vektorů lze rovnici (1) dát tvar:

Toto rozšíření umožňuje přejít k parametrické rovnici křivky:

Jinými slovy, zadání vektorové funkce je ekvivalentní zadání tří skalárních.

Ve vztahu k vektorové funkci (1), která definuje tuto křivku, se samotná křivka nazývá hodograf této funkce. Počátek souřadnic se v tomto případě nazývá pól hodografu.

Nechte to teď
A
- body křivky definované rovnicí (1). Navíc
, A
Poloměrové vektory těchto bodů budou

A
.

Vektor
nazývá se přírůstek vektorové funkce
, odpovídající přírůstku
jeho argument, a je označen
,

Vektorové funkce
bude nepřetržitá funkce , Pokud

.

Chcete-li najít derivát
budeme postupovat následovně -

.

Nyní určíme směr
. To je zřejmé kolineární s
a při
nasměrované stejným směrem jako
a kdy
- v opačném směru. Ale v prvním případě
a ve druhém
Že. vektor vždy směrováno podél sečtového hodografu
nahoru .

Pokud použijeme rozšíření A podle orts, pak

Odtud dělení (*) podle
a jít na limit
Pro
dostaneme

Na základě (4) lze ukázat, že platí následující vzorce:

(5)

(6)

- skalární funkce.

Důkaz (7).

Podívejme se nyní na některé vlastnosti
. Nejprve najdeme jeho modul:

.

Protože považujeme tedy hodografový oblouk za rektifikovatelný
- je délka tětivy a
- délka oblouku. Proto

Že. modul derivace vektorové funkce skalárního argumentu je roven derivaci hodografového oblouku vzhledem ke stejnému argumentu.

Důsledek 1. Pokud - jednotkový vektor směřující tečně k hodografu ve směru nárůstu , To

Důsledek 2. Je-li délka oblouku hodografu brána jako argument vektorové funkce , To

(protože
)

Že. derivace vektorové funkce po délce oblouku hodografu je rovna jednotkovému vektoru tečny k hodografu, směřující ke zvětšení délky oblouku.

Důsledek 3. Pokud je hodograf vektorové funkce považován za trajektorii bodu a - jako čas pohybu, počítaný od určitého , To
ve velikosti a směru se shoduje s vektorem rychlosti pohybu
.

Ve skutečnosti je skalární hodnota rychlosti rovna derivaci cesty s ohledem na čas:

Navíc vektor směřuje tečně k trajektorii ve směru pohybu, který odpovídá směru nárůstu , tj. odpovídá směru .

Že.
.

Podívejme se nyní
jehož délka je konstantní,
, tj.

(*)
Kde

Když rozlišíme (*), zjistíme:

Tito.

Zejména derivace vektoru libovolné proměnné ve směru jednotky Vždy
.

Nechte to teď
úhel mezi poloměry jednotkové koule nakreslené k bodům
A
hodograf
. Pak délka tětivy
z trojúhelníku
budou rovné

Velikost derivace vektoru jednotkové proměnné je rovna úhlové rychlosti rotace tohoto vektoru.

Pokud jde o skalární funkce, diferenciál vektorové funkce se zapisuje jako

Ale i tehdy

Zakřivení prostorové křivky.

Doprovodný trojstěn.

Podle Důsledku 2, pro můžeme napsat vzorec:

Změna směru , spojený se změnou tečny k prostorové křivce, charakterizuje zakřivení křivky. Jako míra zakřivení prostorové křivky se jako u rovinné křivky bere mez poměru úhlu přilehlosti k délce oblouku, kdy

zakřivení,
úhel sousedství,
délka oblouku.

na druhé straně
jednotkový vektor a jeho derivační vektor je k ní kolmá a její modul
Rozlišování Podle a vstupování
jednotkový vektor se směrem , najdeme:

Vektor
vektor křivosti prostorové křivky. Jeho směr, kolmý na směr tečny, je normálním směrem prostorové křivky. Ale prostorová křivka má v libovolném bodě nekonečný počet normál, které všechny leží v rovině procházející daným bodem křivky a kolmé na tečnu v daném bodě. Tato rovina se nazývá normální rovina prostorové křivky.

Definice. Normála křivky, podél které směřuje vektor křivosti křivky v daném bodě, je hlavní normálou prostorové křivky. Že.
jednotkový hlavní normálový vektor.

Nyní sestrojme třetí jednotkový vektor rovnající se křížovému produktu A

Vektor , stejně jako také kolmé těch. leží v normální rovině. Jeho směr se nazývá směr binormály prostorové křivky v daném bodě. Vektor
A tvoří trojici vzájemně kolmých jednotkových vektorů, jejichž směr závisí na poloze bodu na prostorové křivce a mění se bod od bodu. Tyto vektory tvoří tzv. doprovodný trojstěn (Frenetův trojstěn) prostorové křivky. Vektor
A tvoří pravou trojici, stejně jako jednotkové jednotkové vektory
ve správném souřadnicovém systému.

Foceno v páru
definovat tři roviny procházející stejným bodem na křivce a tvořící plochy doprovodného trojstěnu. Ve stejnou dobu A určit oskulační rovinu (oblouk křivky v blízkosti daného bodu je oblouk rovinné křivky v oskulační rovině s přesností vyššího řádu);

A - rovnací rovina;

A - normální letadlo.

Tečné, normální a binormální rovnice.

Rovnice rovin doprovodného trojstěnu.

Vědět
A nebo jakékoli nejednotkové vektory kolineární s nimi T, N A B Odvoďme rovnice uvedené v této části.

Za tímto účelem v kanonická rovniceřídit

a v rovnici roviny procházející daným bodem

brát za
souřadnice vybraného bodu na křivce, pro
respektive pro
vzít souřadnice vektorů
nebo
, který určuje směr požadované čáry nebo normály k požadované rovině:

nebo - pro tečnou nebo normální rovinu,

nebo - pro hlavní normální a rovnací rovinu,

nebo - pro binormální a oskulační rovinu.

Pokud je křivka dána vektorovou rovnicí
nebo
pak pro vektor
směrované tečně lze vzít

Najít
A nejprve najdeme rozklad
podle vektorů
Dříve (důsledek 1) jsme to zjistili
Rozlišení podle , dostaneme:

Ale protože

Pojďme nyní vektorově vynásobit A

(*)

Na základě (*) na vektor , mající binormální směr, mohli bychom vzít vektor

Ale pak, pro
můžeme vzít vektorový součin těchto posledních:

Že. v libovolném bodě libovolné křivky můžeme určit všechny prvky doprovodného trojstěnu.

Příklad. Rovnice tečny, normály a binormální k pravé šroubovici v libovolném bodě.

Tečna

Doma normálně

Binormální

Příklad 2 Uvažujme například funkci tří proměnných F(X,na,z), mající následující pravdivostní tabulku:

Maticová metoda

Jde o to, že mnoho proměnných  X n se rozpadne na dvě části  na m A  z n–m takovým způsobem, že všechny možné pravdivostní hodnoty vektoru  na m jsou vyneseny podél řádků matice a všech možných pravdivostních hodnot vektoru  z n - m- po sloupcích. Funkční pravdivostní hodnoty F na každém setu   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) umístěny v buňkách tvořených průsečíkem přímky ( 1 , ...,  m) a sloupec ( m+ 1 ,...,  n).

V příkladu 2 diskutovaném výše v případě rozdělování proměnných ( x, y, z) do podmnožin ( X) a ( y, z) matice má tvar:

Základním rysem maticové metody je úplná sada proměnných  X n, odpovídající sousedním (vertikálně i horizontálně) buňkám, se liší v jedné souřadnici.

Zadání pomocí úplného binárního stromu

Pro popis n-místní funkce F( X n) je použita vlastnost binárního stromu výšky n, která spočívá v tom, že každý pendantní vrchol v něm odpovídá jedna ku jedné určité množině vektorových hodnot  X n. V souladu s tím lze tomuto zavěšenému vrcholu přiřadit stejnou pravdivostní hodnotu, jakou má funkce na této množině F. Jako příklad (obr. 1.3) uvádíme úlohu využívající binární strom výše diskutované ternární funkce f =(10110110).

První řada čísel přiřazených k zavěšeným vrcholům stromu označuje lexikografické číslo množiny, druhá - samotnou množinu a třetí - hodnotu funkce na ní.

Použití úkolun - rozměrová jednotka krychleV n

Od vrcholků V n lze také mapovat jedna ku jedné na množinu všech sad  X n, To n-místní funkce F(X n) lze specifikovat přiřazením jeho pravdivostních hodnot k odpovídajícím vrcholům krychle V n . Obrázek 1.4 ukazuje nastavení funkce F= (10110110) na krychli V 3. Pravdivé hodnoty jsou přiřazeny k vrcholům krychle.

Definice . Algebra logiky pojmenujte sadu booleovských konstant a proměnných spolu s logickými spojovacími prvky, které jsou na nich zavedeny.

Úkol vzorce

Funkce logické algebry mohou být specifikovány jako analytické výrazy.

Definice. Nechat X― abeceda proměnných a konstant používaných v logické algebře, F― soubor zápisů pro všechny elementární funkce a jejich zobecnění s počtem proměnných přesahujícím 2.

Formule přes X,F(vzorec logické algebry) zavolejte všechny záznamy formuláře:

A) X, Kde X X;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , Kde F 1 , F 2 - vzorce přes X, F;

PROTI) h(F 1 , … ,F n ), kde n > 2, F 1 ,… ,F n- konec vzorců X,F, h ― označení zobecněné prahové funkce od F .

Jak vyplývá z definice, u dvoumístných elementárních funkcí se používá infixový tvar zápisu, ve kterém je funkční symbol umístěn mezi argumenty pro negační a zobecněné funkce, se používá prefixový tvar zápisu, ve kterém je funkční symbol se umístí před seznam argumentů.

Příklad 3

1. Výrazy X(naz); ( x, y, z  u) jsou vzorce algebry logiky, protože splňují výše uvedenou definici.

2. Výraz  X (na z) není vzorec logické algebry, protože operace  byla použita nesprávně .

Definice. Funkce implementovaná vzorcem F, je funkce získaná dosazením hodnot proměnných do F. Označme to F(F).

Příklad 4. Zvažte vzorec F=xy (Xz). Aby bylo možné sestavit pravdivostní tabulku implementované funkce, je nutné provést logické násobení postupně, s přihlédnutím k síle logických spojovacích prvků xy, pak implikace ( Xz), pak přidejte výsledné pravdivostní hodnoty modulo 2. Výsledek akcí je uveden v tabulce:

Formulická reprezentace funkcí umožňuje a priori vyhodnotit mnoho vlastností funkcí. Přechod od vzorové úlohy k pravdivostní tabulce lze vždy provést postupnými substitucemi pravdivostních hodnot do elementárních funkcí obsažených ve vzorci. Zpětný přechod je nejednoznačný, protože stejná funkce může být reprezentována různými vzorci. Vyžaduje to samostatné zvážení.