Uvedení systému do jeho nejjednodušší podoby. Případy redukce rovinné soustavy sil na nejjednodušší formu

Základní věta statiky.Libovolnou soustavu sil působících na tuhé těleso lze nahradit ekvivalentní soustavou tvořenou silou a dvojicí sil. Síla je rovna hlavnímu vektoru silové soustavy a působí v libovolně zvoleném bodě tělesa (střed redukce), moment dvojice je roven hlavnímu momentu silové soustavy vůči tomuto bodu.

Hlavní vektor silového systému:

.

Hlavní moment soustavy sil vzhledem ke středu Ó:

je určena svými průměty na souřadnicové osy:

, , ,

.

Jsou možné následující případy přivedení systému sil do středu:

Soustava sil je redukována na výslednici. Čára působení výslednice prochází středem redukce.

Soustava sil je redukována na dvojici sil.

3. , , - soustava sil má výslednici, která neprochází středem redukce. Jeho akční linie je určena rovnicemi

4. , , - soustava sil je redukována na dynamický šroub (síla a dvojice ležící v rovině kolmé na sílu).

Moment páru sil dynamické vrtule

.

Osa dynamického šroubu je určena rovnicemi

5. , - vyvážený systém sil.

Příklad 1.4.1. Uveďte soustavu sil (obr. 1.4.1) do její nejjednodušší podoby, pokud F 1 = 5 N, F 2 = 15 N, F 3 = 10 N, F 4 = 3 N, A= 2 m.

1. Pro střed zmenšení zvolte počátek souřadnic – bod Ó(obr. 1.4.2) a označte úhly a a b, které určují polohu síly.

2. Najděte průměty hlavního vektoru na souřadnicové osy:

,

,

.

N.

3. Vypočítejte průměty hlavního momentu vzhledem k bodu O na souřadnicové ose:

,

,

,

Nm, Nm, Nm,

4. Najděte hodnotu skalárního součinu hlavního vektoru a hlavního momentu

Od , je soustava sil přivedena na správný dynamický šroub. Momentový vektor dvojice dynamických vrtulí a hlavní vektor se ve směru shodují.

5. Rovnice dynamické osy vrtule má tvar:

nebo s přihlédnutím k nalezeným hodnotám:

Pro konstrukci osy dynamické vrtule najdeme body A A B jeho průsečíky s rovinami souřadnic Oxy A Oyz, respektive

–0,203 m 1,063 m

6. Určeme moment dvojice sil dynamické vrtule

Nm.

7. Podle souřadnic bodů A A B Znázorněme osu dynamického šroubu (obr. 1.4.3). V libovolném bodě na této ose označujeme sílu rovnou hlavnímu vektoru a vektoru momentu dvojice.

Problém 1.4.1. Má výsledný systém sil, pro který je hlavní vektor a hlavní moment vzhledem ke středu O .

Odpověď: ano.

Problém 1.4.2. Má výsledný systém sil, pro který je hlavní vektor a hlavní moment vzhledem ke středu O .

Odpověď: ne.

Problém 1.4.3. Určete vzdálenost od středu zmenšení Oúdolí působení výsledného systému sil (obr. 1.4.4), je-li jeho hlavním vektorem R= 15 N a hlavní moment M O= 30 Nm.

Odpověď: 2 m.

Problém 1.4.4. Určete úhel mezi hlavním vektorem a hlavním momentem silového systému znázorněného na obrázku 1.4.5, přičemž referenčním bodem je střed redukce. Ó, Pokud F 1 = F 2 = 2 N, moment páru sil M 1 = 3 Nm, OA= 1,5 m.

Odpovědět: α = 0º.

Problém 1.4.5. Určete úhel mezi hlavním vektorem a hlavním momentem soustavy sil znázorněné na obrázku 1.4.6, přičemž referenčním bodem je střed redukce. O, Pokud F 1 = F 2 = F 3 = 10 N, A= 3 m.

Odpovědět: α = 135º.

Problém 1.4.6. Najděte hlavní vektor a hlavní moment soustavy sil znázorněné na obrázku 1.4.7, jestliže F 1 = F 2 = F 3 = 7 N, a OA = OB = OS= 2 m. Bod vezměte jako střed zmenšení O.

Odpovědět: R = 0, M O= 17,146 Nm.

Rýže. 1.4.6	Rýže. 1.4.7

Problém 1.4.7. Uveďte soustavu sil působících na vrcholy kvádru (obr. 1.4.8) do nejjednodušší podoby, pokud F 1 = 16 N, F 2 = 12 N, F 3 = 20 N, A = S= 2,4 m, b= 1,8 m.

M= 48 Nm.

Problém 1.4.8. Uveďte soustavu sil působících na vrcholy krychle (obr. 1.4.9) do její nejjednodušší podoby, pokud F 1 = 15 N, F 2 = 40 N, F 3 = 25 N,
F 4 = F 5 = 20 N, A= 1,5 m.

Odpověď: soustava sil je redukována na dvojici sil s momentem M= 63,65 Nm.

Problém 1.4.9. Přiveďte soustavu sil působících na pravidelný čtyřboký jehlan, jak je znázorněno na Obr. 1.4.10, do nejjednodušší formy, pokud F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = 1 N, F 5 = 2,83 N, AB = TAK JAKO= 2 m.

Odpovědět : systém sil je vyvážený.

Rýže. 1.4.8	Rýže. 1.4.9
Rýže. 1.4.10	Rýže. 1.4.11

Problém 1.4.10. Uveďte soustavu sil působících na vrcholy pravoúhlého rovnoběžnostěnu (obr. 1.4.11) do nejjednodušší podoby, pokud F 1 = F 5 = 10 N, F 3 = 40 N, F 4 = 15 N, F 2 = 9 N, A= 2,4 m, b= 3,2 m, C= 1 m.

Odpověď: soustava sil je redukována na výslednici R= 32 N, jehož působiště je rovnoběžná s osou Oj a prochází bodem A (0,9; 0; 0).

Problém 1.4.11. Uveďte soustavu sil působících na vrcholy pravoúhlého rovnoběžnostěnu (obr. 1.4.12) do nejjednodušší podoby, pokud F 1 = F 3 = 3 N, F 2 = F 6 = 6 N, F 4 = F 5 = 9 N, A= 3 m, b= 2 m, C= 1 m.

Odpovědět : systém sil je vyvážený.

Problém 1.4.12. Uveďte soustavu sil působících na vrcholy pravoúhlého rovnoběžnostěnu (obr. 1.4.13) do nejjednodušší podoby, pokud F 1 = F 4 =F 5 = 50 N, F 2 = 120 N, F 3 = 30 N, A= 4 m, b= 3 m, C= 5 m.

R= 80 N, jehož působiště je rovnoběžná s osou Oj a prochází bodem A (0,0,10).

Problém 1.4.13. Uveďte soustavu sil působících na vrcholy krychle (obr. 1.4.14) do její nejjednodušší podoby, pokud A= 1 m, F 1 = 866 N, F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = 500 N. Při rozhodování o přijetí .

Odpověď: systém je redukován na výslednici R= 7,07 N.

Rýže. 1.4.12	Rýže. 1.4.13
Rýže. 1.4.14	Rýže. 1.4.15

Problém 1.4.14. Uveďte soustavu sil působících na pravidelný trojúhelníkový jehlan (obr. 1.4.15) do jeho nejjednodušší podoby, pokud F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6 = 1 N, AB = TAK JAKO= 2 m.

Odpověď: systém sil je poháněn dynamickým šroubem s R= 1,41 N a M= 1,73 Nm, osa silového šroubu prochází vrcholem S kolmo k základně pyramidy.

Problém 1.4.15. Závaží rádiového stožáru se základnou G= 140 kN. Na stožár působí napínací síla antény F= 20 kN a výsledné tlakové síly větru P= 50 kN; obě síly jsou vodorovné a umístěné ve vzájemně kolmých rovinách (obr. 1.4.16). Určete výslednou reakci zeminy, ve které je položena základna stožáru.

Odpověď: Na levou dynamickou vrtuli je poháněna rozložená soustava pozemních reakčních sil silou 150 kN a dvojice momentem 60 kN∙m. rovnice středové spirálové osy má tvar

.

Centrum gravitace

Těžiště pevného tělesa je těžištěm rovnoběžných sil tíže částic daného tělesa.

,

Pro určení polohy těžiště homogenních těles se používá metoda symetrie, metoda dělení na tělesa jednoduchého tvaru se známou polohou těžišť, dále metoda záporných hmotností (přímky, plochy). , svazky).

Příklad 1.5.1. Určete souřadnice těžiště plochého vazníku (obr. 1.5.1), složeného z homogenních prutů o stejné lineární hmotnosti.

1. Aplikujme metodu přepažení, tedy představme si krov jako sadu sedmi prutů.

2. Najděte souřadnice těžiště krovu pomocí vzorců:

; ,

kde , , jsou délka a souřadnice těžiště tyče s číslem .

Délky a souřadnice těžišť tyčí:

Pak ,

Příklad 1.5.2. Koncová stěna hangáru (obr. 1.5.2) má tvar půlkruhu 1 poloměr s obdélníkovými dveřmi 2 výška a šířka Určete souřadnice těžiště stěny.

1. Aplikujme metody symetrie a negativních oblastí, uvažujme půlkruh 1 a obdélníkový výřez 2 .

2. Najděte souřadnice těžiště stěny.

Protože osa Ach je osa symetrie, pak souřadnice

Souřadnice těžiště desky je určena vzorcem

kde , , , jsou plochy a souřadnice těžišť obrazců 1 A 2 .

Plochy a souřadnice těžišť obrazců:

Úkoly 1.5.1 – 1.5.4. Určete souřadnice těžišť plochých vazníků (obr. 1.5.3 - 1.5.6), složených z homogenních prutů o stejné lineární hmotnosti.

Odpovědi na problémy 1.5.1 – 1.5.4:

Rýže. 1.5.3	Rýže. 1.5.4
Rýže. 1.5.5	Rýže. 1.5.6
Rýže. 1.5.7	Rýže. 1.5.8

Problémy 1.5.5 – 1.5.7. Určete souřadnice těžišť homogenních složených čar (obr. 1.5.7 – 1.5.9).

Odpovědi na problémy 1.5.5 – 1.5.7:

Rýže. 1.5.9	Rýže. 1.5.10
Rýže. 1.5.11	Rýže. 1.5.12

Problém 1.5.8. Homogenní drát ohnutý do pravého úhlu je zavěšen na závitu (obr. 1.5.10). Najděte vztah mezi délkami úseků INZERÁT A A.E., u kterého oblast A.E. je ve vodorovné poloze. AB = 0,3 l 1 .

Problém 1.5.9. Určete souřadnice těžiště homogenního drátu (obr. 1.5.11), pokud A= 3 m, b= 2 m, C= 1,5 m.

Odpovědět: xC= 1,69 m, yC= 1,38 m, z C= 1,33 m.

Problém 1.5.10. Homogenní uzavřený obrys ohraničující půlkruh je zavěšen na niti (obr. 1.5.12). Určete úhel α mezi vodorovnou rovinou a průměrem půlkruhu.

Odpověď: α = 68,74º.

Problémy 1.5.11 – 1.5.14. Určete souřadnice těžišť homogenních plochých obrazců (obr. 1.5.13 – 1.5.16).

Odpovědi na problémy 1.5.11 – 1.5.14:

Rýže. 1.5.13	Rýže. 1.5.14
Rýže. 1.5.15	Rýže. 1.5.16
Rýže. 1.5.17	Rýže. 1.5.18

Problém 1.5.15. Podpěra pro čep ložiska je součástí skládající se z podpěry ve tvaru kvádru a pera ve tvaru krychle (obr. 1.5.17). Určete souřadnice těžiště stojanu. Rozměry jsou uvedeny v milimetrech.

Odpovědět:

Problém 1.5.16. Čep kluzného ložiska je součástí skládající se z hranolu a válcové podpěry (obr. 1.5.18). Určete souřadnice těžiště nápravy. Rozměry jsou uvedeny v milimetrech.

Odpovědět: , ,

Problém 1.5.17. Homogenní těleso, jehož průřez je znázorněno na obrázku 1.5.19, se skládá z polokoule, válcové části a kruhového kužele. Určete souřadnice těžiště tělesa. Rozměry jsou uvedeny v milimetrech.

Odpovědět: , ,

Problém 1.5.18. Hlaveň tankového děla má tvar komolého kužele délky (obr. 1.5.20). Vnější průměr hlavně v místě připevnění k závěru zbraně vnější průměr v úseku odpovídajícím ústí vývrtu hlavně, ráže zbraně d= 100 mm. Určete souřadnici těžiště kmene.

Odpovědět:

Problém 1.5.19. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa sestávajícího ze dvou pravoúhlých rovnoběžnostěnů (obr. 1.5.21). Spodní rovnoběžnostěn má výřez ve tvaru čtvrtválce s poloměrem základny R= 10 cm.Rozměry na obrázku jsou v cm.

Odpovědět: xC= 17,1 cm, yC= 20,99 cm, z C= 7,84 cm.

Problém 1.5.20. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa (obr. 1.5.22), sestávajícího z trojbokého hranolu a rovnoběžnostěnu s výřezem. Rozměry na obrázku jsou v cm.

Rýže. 1.5.19	Rýže. 1.5.20
Rýže. 1.5.21	Rýže. 1.5.22

Odpovědět: xC= 20,14 cm, yC= 35,14 cm, z C= 5 cm.

Část 2. Kinematika

Kinematika bodu

Existují tři analytické způsoby, jak určit pohyb bodu: vektorový, souřadnicový a přirozený.

Pomocí vektorové metody je vektor poloměru pohybujícího se bodu určen jako funkce času. Vektory rychlosti a zrychlení bodu se rovnají první a druhé časové derivaci vektoru poloměru, v tomto pořadí:

, .

Vztah mezi vektorem poloměru a kartézskými souřadnicemi bodu je vyjádřen rovností: , kde , , jsou jednotkové vektory souřadnicových os.

U souřadnicové metody je pohybový zákon bodu v kartézském souřadnicovém systému dán zadáním tří funkcí: , , . Průměty rychlosti a zrychlení na souřadnicových osách, stejně jako moduly rychlosti a zrychlení bodu jsou určeny vzorcem:

, , , ,

V přirozené metodě se specifikuje trajektorie bodu a zákon pohybu bodu po trajektorii, kde se křivočará souřadnice měří po oblouku z nějakého pevného bodu na trajektorii. Algebraická hodnota rychlosti je určena vzorcem a zrychlení bodu se rovná geometrickému součtu tečného a normálového zrychlení, tzn. , , , , – poloměr zakřivení trajektorie v daném bodě.

Příklad 2.1.1. Střela se pohybuje ve svislé rovině podle rovnic, (x, y- v m, t– v c). Nalézt:

– rovnice trajektorie;

– rychlost a zrychlení v počátečním okamžiku;

– výška a dosah střelby;

– poloměr zakřivení v počátečním a nejvyšším bodě trajektorie.

1. Získejte rovnice dráhy střely bez parametru t z pohybových rovnic

.

Dráha střely je úsek paraboly (obr. 2.1.1), který má omezující body: počáteční bod se souřadnicemi X = 0, na= 0 a konečná, pro kterou X = L(dosah letu), na = 0.

2. Dosazením určete dostřel střely na= 0 do rovnice trajektorie. Odkud to najdeme? L= 24000 m.

3. Rychlost a zrychlení střely zjistíme pomocí průmětů na souřadnicové osy:

V počátečním okamžiku proti 0 = 500 m/s, A= 10 m/s 2.

4. Abychom určili výšku letu střely, najdeme čas t 1 let do tohoto bodu. V nejvyšším bodě průmět rychlosti na osu y rovna nule (obr. 2.1.1), , kde t 1 = 40 s. Střídání t 1 do souřadnicového výrazu na, dostaneme hodnotu výšky N= 8000 m.

5. Poloměr zakřivení trajektorie

, Kde .

m; m

Příklad 2.1.2. V klikově posuvném mechanismu (obr. 2.1.2) klika 1 otáčí se konstantou úhlová rychlost rad/s. Najděte rovnice pohybu, trajektorie a rychlosti středu M ojnice 2 , Pokud OA = AB= 80 cm.

1. Zapišme si pohybové rovnice bodu M v souřadnicovém tvaru (obr. 2.1.3)

2. Rovnici trajektorie získáme eliminací času t z pohybové rovnice:

Bodová trajektorie M– elipsa se středem v počátku a poloosami 120 cm a 40 cm.

3. Rychlost bodu je určena průměty na souřadnicové osy

Úkol 2.1.1. Vzhledem k pohybovým rovnicím bodu najděte rovnici jeho trajektorie v souřadnicovém tvaru.

Pohybová rovnice	Odpovědět

Úkol 2.1.2. Najděte rovnici trajektorie v souřadnicovém tvaru a zákon pohybu bodu po trajektorii, jsou-li dány rovnice jeho pohybu v kartézských souřadnicích. Pro počátek souřadnic oblouku s přijmout počáteční polohu bodu.

Pohybová rovnice	Odpovědět
	, ;
	;
	;
	;

Úkol 2.1.3. Pohyb bodu je dán rovnicemi , ( – v cm, – v s). Najděte rovnici trajektorie bodu v souřadnicovém tvaru, rychlost a zrychlení, tečné a normálové zrychlení bodu a také poloměr zakřivení trajektorie v čase s. Nakreslete do výkresu trajektorii bodu a nalezené vektory rychlosti a zrychlení. , – v cm, pokud a kdy je úhel největší.

Odpověď: 1) ; 2) , , ; , , .

Věta (o paralelní přenos síla v libovolném bodě).Síla aplikovaná na ATT, aniž by se změnil účinek, který působí na tělo, může být přenesena rovnoběžně sama se sebou na jakýkoli bod ATT, přidáním dvojice sil s momentem rovným momentu přenesené síly vzhledem k bodu. kam se přenáší.

Důkaz. Nechat na A.T.T. silové akty F, aplikováno v bodě A. Podle axiomu 2 statiky můžeme v libovolném bodě tělesa aplikovat vyvážený systém sil F, F", například v bodě V(obr. 4.1).

Rýže. 4.1

Nechat F" = F. Potom lze výslednou soustavu tří sil považovat za soustavu tvořenou silou F" a další dvojice sil F", F s okamžikem T = mB(F). ?

Uveďme další dvě věty, které mohou být užitečné při řešení problémů. První je Eulerova - Somovova věta.

Teorém.Libovolný prostorový systém sil působících na ATT lze redukovat na dvě síly (kříž sil), z nichž jedna je aplikována v libovolně zvoleném bodě A TT.

Druhý - Varignonův teorém pro libovolnou rovinnou soustavu sil, což je speciální případ Euler-Somovovy věty.

Teorém.Libovolná rovinná soustava sil je ekvivalentní soustavě dvou sil ležících v této rovině.

? Přivedení soustavy sil do jednoho středu Věta (základní věta statiky).Působení libovolného systému sil na A TT je ekvivalentní působení v libovolném bodě A tohoto hlavního vektoru ATT 1 F této soustavy sil a dvojice sil s momentem MA, který je roven hlavnímu momentu soustavy sil vzhledem ke středu redukce A 2.

Důkaz. Nechat na A.T.T. funguje libovolný systém sil F(_n. Zvolme bod libovolně A těleso jako střed redukce (obr. 4.2) a přenést všechny síly do tohoto bodu podle věty o paralelním přenosu síly.

Rýže. 4.2.K základní větě statiky: redukce na nejjednodušší formu libovolné soustavy sil

S takovým převodem na místě A budou použity dvě skupiny vektorů:

1) vektory sil F(_n = Fx_n a 2) vektory přidaných momentů #a LO b,1 = m A (F\_„). SSS Fx"_n lze nahradit výslednicí F = ^Fj, a systém dvojic je ekvivalentní jedné dvojici s momentem

m l = !

V konkrétním případě umístění všech sil v jedné rovině - ploché soustavě sil - je soustava sil redukována na hlavní vektor a skalární hlavní moment (protože je znám směr vektoru hlavního momentu, je kolmá k rovině umístění sil).

Platnost F, se nazývá geometrický/vektorový součet všech sil soustavy hlavní vektor systémy sil.

Moment M A, rovna geometrickému/vektorovému součtu momentů všech sil vzhledem ke středu A, volal hlavní bod systémy sil.

Mechanické působení jakéhokoli prostorového systému sil na ATT je tedy charakterizováno dvěma zobecněnými parametry:

• 1 Definice hlavního vektoru a hlavního momentu soustavy sil viz dále v této kapitole.
• 2 Ve stejnou dobu F nezáleží na volbě centra L(jinými slovy, hlavní vektor silového systému je invariantem silového systému), a hodnoty M A v obecném případě závisí na poloze středu redukce (jinými slovy, hlavní moment soustavy sil není invariantem soustavy sil).

ramie: hlavní vektor a hlavní moment. Stanovení těchto veličin lze provést buď geometrickou konstrukcí nebo numerickými výpočty pomocí vzorců:

Pokud potřebujete najít úhly, vypočtou se směrové kosiny hlavních vektorů:

? Speciální případy redukce silových soustav

Tyto případy jsou formálně spojeny s nulovou rovností hodnot hlavních vektorů silového systému.

I případ. Redukce libovolné rovinné soustavy sil:

• 1) F= O, M L - 0 - soustava sil je v rovnováze;
• 2) F- O, M A F M A,
• 3) FF O, M A - 0 - systém sil je redukován na jeden hlavní vektor (aplikovaný ve středu redukce A), což je v tomto případě výsledná síla;
• 4) F F O, M A F 0 - soustava sil je redukována na jednu sílu - hlavní vektor soustavy sil působících v bodě V(obr. 4.3), což je v tomto případě výsledná síla.

Rýže. 4.3.

Na Obr. 4,3 vzdálenost LW = d, která je ramenem síly, se vypočítává z podmínky M A - F ?d.

Případ II. Přivedení libovolného prostorového systému sil:

• 1)F= O, M A= 0 - soustava sil je v rovnováze;
• 2) F= O, M AF 0 - soustava sil je redukována na jeden pár s momentem M A, jehož hodnota nezávisí na volbě redukčního centra;
• 3) FF O, M A = 0 - soustava sil je redukována na jednu výslednici F
• 4) Gf Oh, M AF 0:
  • A) F A.M A - soustava sil je redukována na jednu výslednici, která je aplikována v bodě V takové, že LW = d = M.J.F.(viz obr. 4.3);
  • b) F M A - soustava sil (obr. 4.4) se v tomto případě nazývá dynamický/výkonový šroub, nebo jednoduše dynamo.Říká se přímka, podél které směřuje hlavní vektor osa dynamiky nebo centrální osa systému sil.

Rýže. 4.4.

Pod vlivem takového systému sil vykonává volné těleso šroubový pohyb. S analytickým zadáním osa dynama procházející tyčí A, má rovnice:

kde - parametr dynamiky mající rozměr délky.

Opravdu, nech M 0= ^Г(#;. x/s) - hlavní moment soustavy sil F i s výsledným F(X,U, Z)= vzhledem ke středu O A M A= ^(i, x/D - hlavní moment stejného systému sil při přivedení do středu A(obr. 4.5, A). Protože /*, = OA+ Já tedy M L = M 0 -OAX^F i= M 0 -OA X F. Podmínka kolinearity pro hlavní vektor a hlavní moment pro bod A se píše takto: pF = M A, Kde R- parametr šroubu, který má rozměr délky. Odkud to máme?

a přirovnáním koeficientů jednotkových vektorů nalevo a napravo získáme požadovanou rovnici pro středovou osu dynama;

Rýže. 4,5,A. Odvodit rovnici pro centrální osu dynamiky

c) jestliže hlavní vektor a hlavní moment svírají mezi sebou úhel φ, odlišný od nuly a l/2, pak se soustava sil redukuje na dynamiku F, M p jehož osa prochází bodem V takové, že AB=MJF( rýže. 4.5 ,b).

Rýže. 4,5,b. Libovolné umístění hlavního vektoru silové soustavy a hlavního momentu

Jak vidíme, hlavním vektorem jsou prvky dynamiky F silové systémy a momentová dynamika pan r M A do směru hlavního vektoru, tzn. = M A soBf.

Odkud to máme?

Hlavní statické invarianty 1 hlavním vektorem jsou silové systémy Ri moment dynamiky, rovná projekci hlavního momentu M A do směru hlavního vektoru. Pro vektor F toto tvrzení je zřejmé. Pro moment dynamiky lze poznamenat, že MA = M 1( + M ±, kde M A F= M l( F+ M L F, nebo M A F = Mp F.

Protože vektor /‘ je konstantní, vyplývá z toho, že projekce hlavního momentu do jeho směru je také konstantní.

? Podmínky rovnováhy

Na základě geometrických charakteristik jsou silové systémy rozděleny do následujících typů:

• 1) systém konvergujících sil, těch. síly, jejichž akční linie se protínají v jednom bodě;
• 2) libovolné plochý systém sil, těch. síly, jejichž akční čáry jsou umístěny ve stejné rovině;
• 3)paralelní silový systém- ploché a prostorové, tzn. síly, jejichž akční linie jsou rovnoběžné;
• 4) libovolné prostorový systém sil.

Působí-li na LTT kromě soustavy sil také momentová soustava, pak lze každý moment této soustavy znázornit jako dvojici sil a redukovat tak soustavu momentů na soustavu sil.

Hlavní podmínkou pro statickou rovnováhu(ve vektorové podobě):

Pro rovnováhu L TT při působení prostorové soustavy sil je nutné a postačující, aby hlavní vektor a hlavní moment této soustavy sil vůči jakémukoli středu redukce byly rovny nule 1:

Promítnutím těchto dvou vektorových rovnic na souřadnicové osy vybraného CO, dostaneme šest skalárních rovnic, popř analytická forma podmínek rovnováhy:

Tím pádem, aby ATT byla v rovnováze pod vlivem prostorového systému sil, je nutné a postačující, aby součty průmětů všech sil na každou ze tří souřadnicových os a součty momentů všech sil vzhledem k těmto osám se rovnají nule.

Tyto stejné podmínky lze formulovat v geometrickém tvaru:aby byl ATT vlivem prostorového systému sil v rovnováze, je nutné a postačující, aby silový polygon a momentový polygon byly uzavřeny.

Často se také nazývají podmínky rovnováhy vyjádřené v analytické formě (4.1a). rovnice rovnováhy. Pokud počet neznámých překročí počet rovnovážných rovnic, pak je problém staticky neurčité. Jak vidíme, v obecném případě může mít problém tělesné rovnováhy šest neznámých veličin.

Rada!Chcete-li získat nejjednodušší rovnice rovnováhy (každá z nich obsahuje minimální počet neznámých) Můžete nakreslit souřadnicové osy kolmo k největšímu počtu neznámých sil a jako střed zmenšení vybrat body v průsečíku čar největšího počtu neznámých sil.

• ? Speciální případy podmínek rovnováhy
• 1. Soustava konvergujících sil se středem sil v bodě A. Podmínka rovnováhy pro něj ve vektorovém tvaru je redukována na jednu rovnici

1a. Prostorový systém konvergujících sil. Rovnovážné rovnice pro takový systém v analytické formě budou mít tvar:

16. Rovinná soustava sbíhajících se sil. Rovnovážné rovnice pro takový systém v analytické podobě, za předpokladu, že síly jsou umístěny v rovině rovnoběžné s rovinou ooh, bude mít podobu:

2. Rovinná soustava sil se silami umístěnými v rovině ohu:

Pro statickou jistotu by v tomto případě neměl počet neznámých překročit tři. Stejné rovnice mohou být uvedeny v jiných ekvivalentních analytických formách:

kde je čára slunce není kolmá k ose Ach.

Další forma podmínek rovnováhy:

Kde A, B, C neleží na stejné přímce a patří do roviny Ooh.

3. Paralelní systémy síla:

Za. Paralelní systémy sil v prostoru, uvažovat je umístěné rovnoběžně s osou OU. Pak ze šesti rovnic (4.1a) se první, třetí a šestá stanou identickými (bez ohledu na to, zda tento systém síly v rovnováze nebo ne):

36. Rovnoběžné soustavy sil v rovině, uvažujme je umístěné ve stejné rovině Ohoo rovnoběžně s osou OU:

nebo v jiné podobě:

4. Pro libovolnou prostorovou soustavu sil byla již dříve v této kapitole ukázána podmínka rovnováhy - to je hlavní podmínka pro rovnováhu statiky (4.1).

Příklad 1 (přivedení systému sil do jeho nejjednodušší podoby). Určete hlavní vektor R* a hlavní bod M 0 daný systém sil Rx, R2, R2, R4 vzhledem ke středu O a zjistit, do jaké nejjednodušší formy lze tento systém zredukovat. Rozměry kvádru (obr. 4.6), jakož i moduly a směry sil jsou uvedeny v tabulce.

Při dokončení úkolu musíte udělat následující:

• 1) znázorněte daný systém sil konstrukcí rovnoběžnostěnu v měřítku, znázorňujícím úhel xOy na výkrese rovný 135°; zmenšení osových rozměrů Ach brát rovno 1:2;
• 2) po zvolení systému souřadnicových os určete modul a směr hlavního vektoru daného systému sil z jeho průmětů do souřadnicových os a znázorněte R* na výkresu;

Rýže. 4.6. Příklad 1: původní rovnoběžnostěn

• 3) vypočítat hlavní moment dané soustavy sil vzhledem ke středu O podle jeho průmětů do souřadnicových os a znázornit M 0 na výkresu;
• 4) vypočítat nejmenší hlavní moment daného systému sil;
• 5) na základě výsledků výpočtů hlavního vektoru a nejmenšího hlavního momentu M* stanovit, na jakou nejjednodušší formu je daný systém sil redukován. V tomto případě je třeba provést následující:
  • a) pokud je daná soustava sil redukována na dvojici sil, ukažte moment této dvojice jejím aplikováním na bod O;
• 6) pokud je daná soustava sil redukována na výslednici, pak najděte rovnice přímky působení výslednice, určete průsečíky souřadnicových rovin s touto přímkou ​​a znázorněte ji na výkrese;
• c) pokud je daná soustava sil redukována na dynu (silový šroub), pak najděte rovnice středové osy, určete průsečíky souřadnicových rovin s touto osou a na výkresu znázorněte /?* a M* .

Řešení. 1. Určení hlavního vektoru dané soustavy sil. Uvedený silový systém je na Obr. 4.7.

Rýže. 4.7. Například 1: aplikovaný systém sil Předběžně určíme

V tomto případě cos a = 0,6 a sin a = 0,8.

Průměty hlavního vektoru na souřadnicové osy:

Hlavní vektorový modul Směrové kosiny:

V souladu s výchozími údaji získáváme X= 10,6 N, Y= 10,0 N; Z = -12,8 N; R* = 19,4 N; cos (R, i) = 0,547, cos (R, j) = 0,515, cos (R, k) == -0,660.

Hlavní vektor je znázorněn na Obr. 4.8.

Rýže. 4.8.

2. Určení hlavního momentu dané soustavy sil vzhledem ke středu O.

Hlavní momenty daného systému sil vzhledem k souřadnicovým osám:

Zvýrazňující modul:

Směrové kosiny:

Jako výsledek výpočtů máme: M x= -200 N cm; M= 384 N cm; M,= -200 N cm; cos (M 0, i) = -0,419; cos (M 0,j)= 0,805; cos (M 0, k) -- -0,419.

Hlavní bod je znázorněn na Obr. 4.8.

3. Výpočet nejmenšího hlavního momentu dané soustavy sil:

Pomocí tohoto vzorce dostaneme: LG = 221 N cm.

4. Od R* Ф 0 a L/* * 0, pak se daný systém sil redukuje na dynu (silový šroub).

Rovnice středové osy je:

Z těchto tří rovnic jsou pouze dvě nezávislé. Dosazením nalezených číselných hodnot veličin do dvou z těchto rovnic zjistíme:

Hodnoty souřadnic průsečíků středové osy souřadnicových rovin, určené pomocí těchto rovnic, jsou uvedeny v tabulce.

Středová osa systému je znázorněna na obr. 4.8.

Poznámka. Pokud jsou síly redukovány na výslednici, tzn. R* f 0 a M"= 0, pak rovnice akční přímky výslednice:

Kde X, Y, Z - průměty výsledné síly na souřadnicové osy; M x, M y, M. - hlavní momenty daného systému sil vzhledem k souřadnicovým osám. Z těchto tří rovnic jsou pouze dvě nezávislé.

• Invariant je veličina, která nezávisí na volbě souřadnicového systému, a proto zůstává konstantní při různých transformacích souřadnicových systémů. V tomto případě zůstávají tyto hodnoty konstantní různé volby addukční centrum.
• Tyto podmínky budou postačovat pro rovnováhu ATT, pokud byla v počátečním okamžiku v klidu ve zvolené inerciální vztažné soustavě. Typicky se v inženýrské praxi jako takový systém volí CO spojený se Zemí.

Jak bylo prokázáno výše, libovolný systém sil, libovolně umístěný v prostoru, může být redukován na jedinou sílu rovnou hlavnímu vektoru systému a aplikován v libovolném redukčním centru. O a jeden pár s momentem rovným hlavnímu momentu systému vzhledem ke stejnému středu. Proto v budoucnu libovolný systém síly mohou být nahrazeny ekvivalentní sadou dvou vektorů - síly a momentu působícího v bodě O. Při změně polohy středu redukce O hlavní vektor si zachová velikost a směr, ale hlavní moment se změní. Dokažme, že pokud je hlavní vektor nenulový a je kolmá na hlavní moment, pak se soustava sil redukuje na jednu sílu, kterou v tomto případě budeme nazývat výslednice (obr. 8). Hlavní moment může být reprezentován dvojicí sil ( , ) s ramenem , pak síly a hlavní vektor tvoří soustavu dvou

síly ekvivalentní nule, které lze vyřadit. Zůstane jedna síla působící podél přímky rovnoběžné s hlavní

Obrázek 8 k vektoru a míjení na dálku

h= z roviny tvořené vektory a . Uvažovaný případ ukazuje, že pokud od samého začátku zvolíme střed zmenšení na přímce L, pak by se soustava sil okamžitě přivedla na výslednici, hlavní moment by byl roven nule. Nyní dokážeme, že pokud je hlavní vektor nenulový a není kolmý na hlavní moment, pak lze takový bod zvolit jako střed zmenšení O* že hlavní moment vzhledem k tomuto bodu a hlavní vektor budou umístěny na stejné přímce. Abychom to dokázali, rozložme moment na dvě složky – jednu směřující podél hlavního vektoru a druhou kolmou na hlavní vektor. Dvojice sil se tedy rozloží na dvě dvojice s momenty: a , a rovina první dvojice je kolmá na , pak rovina druhé dvojice kolmá na vektor (obr. 9) obsahuje vektor . Spojení dvojice s momentem a silou tvoří soustavu sil, kterou lze zredukovat na jednu sílu (obr. 8) procházející bodem O*. Tedy (obr. 9), kombinace hlavního vektoru a hlavního momentu v bodě O redukováno na sílu procházející bodem O*, a pár s momentem rovnoběžným s touto linií, což bylo potřeba dokázat. Spojení síly a dvojice, jejíž rovina je kolmá na linii působení síly, se nazývá dynamismus (obr. 10). Dvojice sil může být reprezentována dvěma silami ( , ) o stejné velikosti, umístěnými tak, jak je znázorněno na obr. 10. Ale sečtením dvou sil a získáme jejich součet a zbývající sílu , ze které vyplývá (obr. 10 ), že kombinace hlavního vektoru a hlavního momentu v bodě O, lze redukovat na dvě neprotínající se síly a .

Uvažujme některé případy redukce soustavy sil.

1. Plochá soustava sil. Pro jistotu nechť jsou všechny síly v rovině OXY. Pak v nejobecnějším případě

Hlavní vektor není nula, hlavní moment není nula, jejich bodový součin je skutečně nulový

proto je hlavní vektor kolmý na hlavní moment: rovinný systém sil je redukován na výslednici.

2. Soustava rovnoběžných sil. Pro jistotu nechť jsou všechny síly rovnoběžné s osou OZ. Pak v nejobecnějším případě

Zde také hlavní vektor není roven nule, hlavní moment není roven nule a jejich skalární součin je roven nule, skutečně

proto je v tomto případě hlavní vektor kolmý na hlavní moment: soustava rovnoběžných sil je redukována na výslednici. V konkrétním případě, je-li roven nule, pak je hlavní vektor sil roven nule a soustava sil je redukována na dvojici sil, jejichž vektor momentu je v rovině OXY. Pojďme nyní systematizovat posuzované případy. Připomeňme si: libovolný prostorový systém sil, na který se působí pevné tělo, je staticky ekvivalentní síle rovné hlavnímu vektoru aplikované v libovolném bodě tělesa (střed redukce) a dvojici sil s momentem rovným hlavnímu momentu soustavy sil vzhledem k určenému středu tělesa. redukce.

Podívejme se na některé speciální případy předchozí věty.

1. Jestliže pro danou soustavu síly R = 0, M 0 = 0, pak je v rovnováze.

2. Jestliže pro danou soustavu sil R = 0, M 0  0, pak se redukuje na jednu dvojici s momentem M 0 = m 0 (F i). V tomto případě hodnota M 0 nezávisí na volbě středu O.

3. Jestliže pro danou soustavu síly R  0, pak se redukuje na jednu výslednici a jestliže R  0 a M 0 = 0, pak je soustava nahrazena jednou silou, tzn. výslednice R procházející středem O; jestliže R  0 a M 0  0, pak je systém nahrazen jednou silou procházející určitým bodem C a OC = d(OCR) a d = |M 0 |/R.

Plochá soustava sil, pokud není v rovnováze, se tedy redukuje buď na jednu výslednici (když R  0), nebo na jeden pár (když R = 0).

Příklad 2 Síly působící na disk:

(obr. 3.16) dovést tento systém sil do jeho nejjednodušší podoby.

Řešení: zvolte souřadnicový systém Oxy. Jako střed zmenšení zvolíme bod O. Hlavní vektor R:

R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; Rýže. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0. Proto R = 0.

Hlavní moment systému M 0:

M 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0, kde a je poloměr disku.

Odpověď: R = 0; M° = 0; tělo je v rovnováze.

Uveďte do nejjednodušší podoby soustavu sil F 1, F 2, F 3, znázorněnou na obrázku (obr. 3.17). Síly F 1 a F 2 směřují na opačné strany a síla F 3 směřuje podél úhlopříčky obdélníku ABCD, jehož strana AD je rovna a. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

Řešení: nasměrujte souřadnicové osy podle obrázku. Určíme průměty všech sil na souřadnicové osy:

Velikost hlavního vektoru R je rovna:
;
.

Směrové kosiny budou:
;
.

Tedy: (x,R) = 1500; (y, R) = 600.

O určíme hlavní moment soustavy sil vzhledem ke středu redukce A. Potom

mA = mA (F1) + mA (F2) + mA (F3).

Vzhledem k tomu, že m A (F 1) = m A (F 3) = 0, protože směr sil prochází bodem A, pak

mA = mA (F2) = F*a.

Soustava sil se tedy redukuje na sílu R a dvojici sil s momentem m A směřující proti směru hodinových ručiček (obr. 3.18).

Odpověď: R = 2F; (x,^R) = 1500; (y,^R) = 600; mA = F*a.

Otázky pro sebeovládání

Jaký je moment síly kolem středu?

Co je to pár sil?

Přivedení libovolného rovinného systému sil do daného středu?

Sčítání rovnoběžných sil?

Literatura: , , .

Přednáška 4. Podmínky rovnováhy pro libovolnou rovinnou soustavu sil

Základní tvar podmínek rovnováhy. Pro rovnováhu libovolné rovinné soustavy sil je nutné a postačující, aby součet průmětů všech sil na každou ze dvou souřadnicových os a součet jejich momentů vzhledem k libovolnému středu ležícímu v rovině působení souřadnicových os. síly se rovnají nule:

F ix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

Druhá forma podmínek rovnováhy: Pro rovnováhu libovolné rovinné soustavy sil je nutné a postačující, aby součet momentů všech těchto sil vůči libovolným dvěma středům A a B a součet jejich průmětů na osu Ox nebyl kolmý k přímce AB se rovnají nule:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; F ix = 0.

Třetí forma podmínek rovnováhy (třímomentová rovnice): Pro rovnováhu libovolné rovinné soustavy sil je nutné a postačující, aby součet všech těchto sil vůči libovolným třem středům A, B, C, které neleží na stejné přímce, byl roven nule:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

P Příklad 1. Určete reakce vetknutí konzolového nosníku při působení rovnoměrně rozloženého zatížení, jedné soustředěné síly a dvou dvojic sil (obr. 4.1); intenzita zatíženíq = 3*104 N/m; F = 4 x 104H; mi = 2 x 104 H*m; m2 = 3*104 H*m. BN = 3 m; NC = 3 m; CA = 4m.

R řešení:

Podle principu osvobození od spojení nahradíme spojení odpovídajícími reakcemi. Při tuhém zapuštění do stěny vzniká reakční síla R A neznámého směru a neznámého momentu m A (obr. 4.2). Nahraďte rozložené zatížení ekvivalentní koncentrovanou silou Q působící v bodě K (ВК = 1,5 m). Zvolme souřadný systém VCU a nakreslete podmínky rovnováhy pro paprsek v základním tvaru:

průměty sil na osu X: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

průměty sil na osu Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

součet momentů: m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)

Sílu F v bodě C rozložíme na dvě vzájemně kolmé složky F“ a F‘; síla F’ nevytváří moment vzhledem k bodu A, protože čára působení síly prochází bodem A. Modul síly F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

Dosazením číselných hodnot do rovnic (1), (2) a (3) získáme:

V dané soustavě tří rovnic jsou tři neznámé, soustava má tedy řešení, a to pouze jedno jediné.

4*10 4 *0,7 = R Ax R Ax = 2,8 * 10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0,7 + R Ay = 0 R Ay = 11,8 * 10 4 H

m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8,5 + 4*10 4 *2,8 = 0 m A = - 86,8*10 4 H*m

Odpověď: R Ax = 2,8 x 104 H; Ray = 11,8 x 104H; mA = -86,8*104 H*m.

Příklad 2. Určete reakce podpor A, B, C a závěsu D spřaženého nosníku (obr. 4.3).

q = 1,75 x 104 N/m; F = 6 x 104H; P = 5 x 104H.

Řešení: Na základě principu osvobození od spojení nahrazujeme spojení vhodnými reakcemi.

Rozložené zatíženíq nahradíme ekvivalentní koncentrovanou silou Q = q*KA působící v bodě M (AM = 2m). Počet neznámých reakčních sil: R Ax, R Ay, R B, R C a dva páry složek reakční síly v závěsu D.

R Podívejme se samostatně na reakce na závěsu D. K tomu je třeba uvažovat zvlášť nosníky AD a DE (obr. 4.5a, 4.5b).

Podle třetího Newtonova zákona v závěsu D působí na nosník KD soustava sil R Dx a R Dy a na nosník DE opačný systém sil: R' Dx a R' Dy a moduly síly jsou ve dvojicích stejné, tzn. R Dx = R Dx a R Dy = R Dy. Jedná se o vnitřní síly složeného nosníku, takže počet neznámých reakčních sil je šest. K jejich určení je nutné vytvořit šest nezávislých rovnic rovnovážných stavů. Pro sestavení stavových rovnic jsou možné následující možnosti.

Vypracujeme podmínky rovnováhy pro celou konstrukci (3 rovnice) a pro samostatný prvek této konstrukce: nosník KD nebo nosník DE. Při sestavování rovnic rovnováhy pro celou konstrukci se nebere v úvahu vnitřní síly, protože se při sečtení navzájem vyruší.

Rovnice podmínek rovnováhy pro celou konstrukci:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q – R Ay – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0

m A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC – P*AE = 0

Rovnice podmínky rovnováhy pro prvek DE:

R'Dy, + RC – P*DE = 0

MD (F) = RC *DC – P*DE = 0

Tímto způsobem se sestaví šest nezávislých rovnic se šesti neznámými, takže systém rovnic má řešení, a to pouze jedinečné. Řešením soustavy rovnic určíme neznámé reakční síly.

Případy redukce na nejjednodušší formu

Přivedení do páru

Nechť se v důsledku přivedení sil do středu O ukáže, že hlavní vektor je roven nule a hlavní moment se liší od nuly: . Pak na základě základní věty statiky můžeme psát

To znamená, že původní soustava sil je v tomto případě ekvivalentní dvojici sil s momentem.

Okamžik páru nezávisí na tom, který bod je zvolen jako momentový střed při výpočtu okamžiku páru. V tomto případě by tedy hlavní bod neměl záviset na volbě středu redukce. Ale právě k tomuto závěru tento vztah vede

spojující hlavní body týkající se dvou různých center. Když je doplňkový člen také roven nule, dostaneme

Redukce na výsledný

Nechť nyní hlavní vektor není roven nule a hlavní moment je roven nule: . Na základě základní věty statiky máme

to znamená, že systém sil se ukáže jako ekvivalentní jedné síle - hlavnímu vektoru. Následně je v tomto případě původní systém sil redukován na výslednici a tato výslednice se shoduje s hlavním vektorem aplikovaným ve středu redukce: .

Soustava sil se redukuje na výslednici v případě, kdy hlavní vektor a hlavní moment nejsou rovny nule, ale jsou vzájemně kolmé: . Důkaz se provádí pomocí následující sekvence akcí.

Středem redukce O vedeme rovinu kolmou k hlavnímu momentu (obr. 50, a). Na obrázku je tato rovina kombinována s rovinou kreslení a je v ní umístěn hlavní vektor. V této rovině sestrojíme dvojici s momentem a síly dvojice volíme tak, aby byly co do velikosti shodné s hlavním vektorem; pak se pákový efekt páru bude rovnat . Dále pohneme dvojicí v její rovině tak, aby jedna ze sil dvojice působila ve středu redukce O opačném k hlavní; druhá síla dvojice bude aplikována v bodě C vzdáleném od středu O v požadovaném směru, určeném směrem, ve vzdálenosti OS rovné rameni dvojice h (obr. 50, b). Nyní vynecháme vyvážené síly R a - působící v bodě O, dojdeme k jedné síle působící v bodě C (obr. 50, c). Bude sloužit jako výsledek tohoto systému sil.

Je vidět, že reakční síla je stále stejná jako hlavní vektor, ale liší se od hlavního vektoru v místě působení. Pokud je hlavní vektor aplikován v redukčním středu O, pak je výslednice v bodě C, jehož poloha vyžaduje speciální definici. Geometrický způsob nalezení bodu C je viditelný z výše provedené konstrukce.

Pro moment výslednice vzhledem ke středu redukce O můžeme napsat (viz obr. 50):

nebo s vynecháním středních hodnot:

Promítneme-li tuto vektorovou rovnost na libovolnou osu procházející bodem O, získáme odpovídající rovnost v projekcích:

Pamatujeme si, že průmět momentu síly vzhledem k bodu na osu procházející tímto bodem je moment síly vzhledem k ose, přepíšeme tuto rovnost takto:

Výsledné rovnosti vyjadřují Varignonův teorém ve svém obecný pohled(v přednášce 2 byla věta formulována pouze pro konvergující síly): má-li soustava sil výslednici, pak moment této výslednice (vzhledem k bodu, vzhledem k ose) je roven součtu momentů všech sil. dané síly - složky (vzhledem ke stejnému bodu, stejné ose). Je jasné, že v případě bodu je součet momentů vektorový, v případě osy algebraický.

Redukce na dynamiku

Dynamie neboli dynamický šroub je kombinací dvojice sil a síly směřující kolmo k rovině působení dvojice. Lze ukázat, že v obecném případě redukce, kdy a není kolmé, je původní systém sil ekvivalentní nějaké dynamice.