Rovnováha tuhého tělesa za přítomnosti tření. Rovnováha za přítomnosti třecích sil Rovnováha za přítomnosti kluzného tření

Studium rovnováhy těles s přihlédnutím k kluznému tření lze redukovat na uvažování o mezní rovnováze, která nastává, když je třecí síla rovna

V analytickém řešení je reakce hrubé vazby reprezentována jejími dvěma složkami N a

Poté sestaví obvyklé rovnovážné rovnice a doplní k nim rovnost Z takto získané soustavy rovnic a určí potřebné veličiny.

Pokud problém vyžaduje stanovení rovnovážných podmínek pro všechny hodnoty, které může mít třecí síla, tedy pro , lze jej také vyřešit uvažováním limitní rovnováhy a následně snížením koeficientu tření ve výsledném výsledku na nulu.

Poznamenejme také, že je-li v úloze nutné určit hodnotu třecí síly F, když rovnováha není omezující a pak, jak již bylo uvedeno v § 23, je třeba tuto sílu F považovat za neznámou veličinu a zjistit z odpovídající rovnic (viz druhá část úlohy 29, dále úlohy 151, 152, § 130).

V geometrickém řešení je vhodnější znázornit reakci hrubé vazby jedinou silou R, která je v mezní rovnovážné poloze odchýlena od normály k ploše o úhel.

Úloha 29. Závaží leží na vodorovné rovině (obr. 77). Určete, jakou silou Q, namířenou pod úhlem k této rovině, musí na břemeno působit, aby se přesunulo z místa, jestliže statický součinitel tření břemene v rovině

Řešení. Uvažujme mezní rovnováhu zatížení. Pak na něj působí síly.Složením podmínek rovnováhy v průmětech na osu získáme:

Z poslední rovnice. Pak

Dosazením této hodnoty do první rovnice a jejím vyřešením nakonec najdeme

Pokud na zatížení působí menší síla, například síla N, pak posouvající síla bude ; maximální třecí síla, která se může v tomto případě vyvinout, bude . Zátěž tedy zůstane v klidu. V tomto případě bude třecí síla F, která jej drží v rovnováze, určena z rovnice rovnováhy v průmětu na osu a bude se rovnat smykové síle, nikoli síle.

Upozorňujeme na skutečnost, že ve všech výpočtech by měla být určena vzorcem, zjišťováním N z podmínek rovnováhy. Chyba, která se často dělá v podobných problémech, jako je ten řešený, je, že při výpočtu se síla tlaku na rovinu nerovná hmotnosti zátěže R.

Úloha 30. Určete, při jakých hodnotách úhlu sklonu a zůstává zatížení ležící na nakloněné rovině v rovnováze, pokud je jeho koeficient tření na rovině roven

Řešení. Nejprve najdeme mezní rovnovážnou polohu, ve které je úhel a roven . V této poloze (obr. 78) na zatížení působí tíhová síla V, normálová reakce N a mezní síla tření Sestrojením uzavřeného trojúhelníku z vyjmenovaných sil z něj zjistíme, že But na na druhou stranu, v důsledku toho,

Pokud snížíte výslednou rovnost, sníží se i hodnota. Odtud usuzujeme, že rovnováha je možná i při Nakonec všechny hodnoty úhlu a, pod kterým bude zatížení v rovnováze, budou určeny nerovností

Výsledek získaný v úloze, vyjádřený rovností (a), lze použít k experimentálnímu určení koeficientu tření zjištěním úhlu z experimentu.

Všimněme si také, že kde je úhel tření, pak tedy největší úhel a, při kterém zatížení ležící na nakloněné rovině zůstává v rovnováze, je roven úhlu tření.

Úloha 31. Trám ohnutý do pravého úhlu spočívá svou svislou částí na výstupcích A a B, jejichž vzdálenost (svisle) je h (obr. 79, a). Při zanedbání hmotnosti nosníku zjistěte, v jaké šířce d bude nosník s břemenem ležícím na jeho vodorovné části v rovnováze v libovolné poloze břemene. Koeficient tření nosníku na vodítkách je roven

Řešení. Hmotnost břemene označme P a jeho vzdálenost od svislé části nosníku I. Uvažujme mezní rovnováhu nosníku, při které jeho šířka Pak působí síly P, N, F, N, F na nosníku, kde jsou mezní třecí síly. Sestavením podmínek rovnováhy (29) a sejmutím momentů kolem středu A získáme:

kde Z prvních dvou rovnic zjistíme:

Dosazením těchto hodnot do třetí rovnice a snížením o N dostaneme

Pokud v této rovnosti snížíme nulu, pak se její pravá strana zvětší do nekonečna. Rovnováha je tedy možná pro jakoukoli hodnotu . Na druhé straně má nejvyšší hodnotu, kdy So ​​paprsek bude v rovnováze v libovolné poloze zatížení (v 10), pokud je splněna nerovnost Čím menší tření, tím větší d by mělo být. Při absenci tření je rovnováha nemožná, protože v tomto případě se ukazuje

Uveďme také geometrické řešení problému.

Tímto řešením místo normálových reakcí a třecích sil znázorníme úplné reakce v bodech A a B, které jsou v mezní poloze vychýleny od normál o úhel tření (obr. 79, b). Poté budou na nosník působit tři síly RA, RB, P. V rovnováze se musí čáry působení těchto sil protnout v jednom bodě, tedy v bodě K, kde se protínají síly RA a RB. Odtud získáme zřejmou (viz obr. 79, b) rovnost nebo od . Ve výsledku najdeme pro stejnou hodnotu jako v analytickém řešení.

Problém uvádí příklad samobrzdného zařízení, často používaného v praxi.

Úloha 32. Při zanedbání hmotnosti žebříku AB (obr. 80) zjistěte, při jakých hodnotách úhlu a může člověk vylézt po žebříku na jeho konec B, pokud úhel tření žebříku o podlahu a se zdí se rovná

Řešení. Uvažujme omezující rovnovážnou polohu žebříku a aplikujme na její řešení geometrickou metodu. V mezní poloze působí na schodiště reakce podlahy a stupňů, odchýlené od normál k těmto rovinám o úhel triplicity Čáry působení reakcí se protínají v bodě K. Následně v rovnováze působí třetí síla. P působící na schodiště (číselně se rovná váze osoby) musí také procházet bodem K? V poloze znázorněné na obrázku se tedy člověk nemůže zvednout nad bod D. Aby člověk vystoupal do bodu B, musí se čáry působení sil RA a RB protnout někde na přímce BO, což je možné pouze tehdy, když síla RA směřuje podél AB, tj. když úhel

Člověk tak může vylézt po žebříku až na jeho konec, poté svírá se stěnou úhel, který nepřesahuje úhel tření žebříku o podlahu. Tření o stěnu v tomto případě nehraje roli, čili stěna může být hladká.

Uvažujme válec (váleček) spočívající na vodorovné rovině, když na něj působí horizontální činná síla; Kromě ní působí gravitační síly a také normální reakční a třecí síla. Jak ukazuje zkušenost, při dostatečně malé síle zůstává válec v klidu. Tuto skutečnost však nelze vysvětlit, pokud se spokojíme se zavedením sil znázorněných na Obr. Podle tohoto schématu je rovnováha nemožná, protože hlavní moment všech sil působících na válec je nenulový a jedna z podmínek rovnováhy není splněna.

Důvodem nesrovnalosti, která se objevila, je to, že v našem uvažování nadále používáme myšlenku absolutně tuhého těla a předpokládáme, že se válec dotýká povrchu podél tvořící čáry. Abychom odstranili uvedený rozpor mezi teorií a zkušeností, je nutné opustit hypotézu absolutně tuhého tělesa a vzít v úvahu, že ve skutečnosti je válec a rovina blízko bodu S jsou deformované a existuje určitá kontaktní plocha konečné šířky. Výsledkem je, že ve své pravé části je válec stlačen silněji než v levé a dochází k plné reakci aplikováno napravo od bodu S(tečka ).

Nyní získaný diagram působících sil je staticky vyhovující, protože moment páru může být vyvážen momentem páru. Za předpokladu, že deformace je malá, nahradíme tento systém sil systémem znázorněným na Obr. Na rozdíl od prvního schématu působí na válec dvojice sil s momentem

. (6.11) Tento okamžik se nazývá valivý třecí moment .

Vytvořme rovnice rovnováhy pro válec:

První dvě rovnice dávají , , a ze třetí rovnice můžeme najít . Poté z (6.11) určíme vzdálenost mezi body S A :

. (6.13) Jak je vidět, s rostoucím modulem činné síly se vzdálenost zvětšuje. Tato vzdálenost však souvisí s kontaktní plochou, a proto se nemůže zvětšovat donekonečna. To znamená, že nastane stav, kdy nárůst síly povede k nerovnováze. Označme maximální možnou hodnotu písmenem . Experimentálně bylo zjištěno, že hodnota je úměrná poloměru válce a liší se pro různé materiály.

Pokud tedy existuje rovnováha, pak je podmínka splněna

Množství se nazývá koeficient valivého tření ; má rozměr délky.

Podmínka (6.14) může být zapsána i ve tvaru

nebo s ohledem na (6.12),

Je zřejmé, že maximální valivý třecí moment je úměrný normálové tlakové síle.

Referenční tabulky ukazují poměr koeficientu valivého tření k poloměru válce pro různé materiály.

Problém 6.8. Na nakloněné rovině je válec. Zjistěte, pod jakými úhly sklonu roviny k horizontu bude válec v rovnováze, pokud je poloměr válce, je koeficient kluzného tření a je koeficient valivého tření. , pak bude narušena nerovnost (6.16) a válec začne klouzat.

3.4.1 Rovnováha tuhého tělesa za přítomnosti kluzného tření

Kluzné tření je odpor, který vzniká při vzájemném klouzání dvou těles v kontaktu.

Velikost kluzné třecí síly je úměrná normálnímu tlaku jednoho z kontaktujících těles na druhém:

Reakce drsného povrchu je odchýlena od normály o určitý úhel φ (obr. 3.7). Největší úhel, který svírá celková reakce hrubé vazby s normálou k povrchu, se nazývá úhel tření.

kde je koeficient statického tření.

Tento koeficient je obvykle větší než koeficient tření při pohybu.

Z Obr. 3.7 je zřejmé, že úhel tření se rovná hodnotě

. (3.26)

Rovnost (3.26) vyjadřuje vztah mezi úhlem tření a koeficientem tření.

Technika řešení statických problémů za přítomnosti tření zůstává stejná jako v případě nepřítomnosti tření, to znamená, že jde o sestavení a řešení rovnic rovnováhy. V tomto případě by reakce hrubého povrchu měla být reprezentována dvěma složkami - normální reakcí a třecí silou.

Je třeba mít na paměti, že u takových úloh se výpočet obvykle provádí pro maximální hodnotu třecí síly, která je určena vzorcem (3.25).

Příklad 3.6:

Hmotnost Hmotnost A Q leží na hrubé rovině nakloněné k

horizontální pod úhlem α a je držen závitem navinutým na blokovém kroku o poloměru R. Při jaké váze R zatížení B, systém bude v rovnováze, pokud součinitel kluzného tření zatížení na rovině bude roven F, a poloměr kroku menšího bloku (obr. 3.8).

Uvažujme rovnováhu zatížení B, na které působí gravitační síla a reakce závitu, a numericky (obr. 3.8, a). Na zatížení A působí tíhová síla, reakce závitu, normálová reakce nakloněné roviny a třecí síla. Od poloměru r menší stupeň bloku je poloviční velikosti většího stupně, pak v rovnovážné poloze, popř

Uvažujme případ, kdy nastane rovnováha zatížení A, ale tak, že nárůst tíhy P zátěž B způsobí pohyb zátěže A nahoru (obr. 3.8, b). V tomto případě je třecí síla směrována dolů po nakloněné rovině a . Zvolme osy x a y naznačené na obrázku a sestavme dvě rovnovážné rovnice pro soustavu konvergujících sil v rovině:

(3.27)

Dostaneme to, pak třecí sílu .

Dosadíme hodnoty a do rovnosti (3.27) a najdeme hodnotu R:

Nyní uvažujme případ, kdy dojde k rovnováze zatížení A, ale tak, že dojde k poklesu gravitace R zátěž B způsobí pohyb zátěže A směrem dolů (obr. 3.8, c). Potom bude třecí síla směrována nahoru podél nakloněné roviny. Od hodnoty N se nemění, pak stačí vytvořit jednu rovnici v průmětu na osu x:

. (3.29)

Dosazením hodnot a do rovnosti (3.29) získáme to

Tedy rovnováha tohoto systému bude možná za podmínky

3.4.2. Rovnováha tuhého tělesa za přítomnosti valivého tření

Valivé tření je odpor, který vzniká, když se jedno těleso převaluje po povrchu druhého.

Představu o povaze valivého tření lze získat tím, že překročíme statiku tuhého tělesa. Uvažujme válcový válec o poloměru R a hmotnost R spočívající na vodorovné rovině. Působíme na osu válečku silou, která je menší než třecí síla (obr. 3.9, a). Potom třecí síla, číselně rovna , zabrání klouzání válce po rovině. Pokud je v bodě A aplikována normální reakce, vyrovná sílu a síly vytvoří pár, který způsobí, že se válec bude odvalovat i při nízké hodnotě síly. S.

Ve skutečnosti dochází vlivem deformací těles k jejich kontaktu podél určité oblasti AB (obr. 3.9, b). Při působení síly se intenzita tlaku v bodě A snižuje a v bodě B se zvyšuje. V důsledku toho se normální reakce posune směrem k síle o určitou hodnotu k, který se nazývá koeficient valivého tření. Tento koeficient se měří v jednotkách délky.

V ideální rovnovážné poloze válečku na něj budou působit dvě vzájemně vyvážené dvojice: jedna dvojice sil s momentem a druhá dvojice sil udržující váleček v rovnováze. Moment dvojice, nazývaný moment valivého tření, je určen vzorcem

Z této rovnosti vyplývá, že aby mohlo dojít k čistému odvalování (bez klouzání), je nutné, aby valivá třecí síla byla menší než maximální kluzná třecí síla: , kde F- součinitel kluzného tření. Za těchto podmínek je tedy možné čisté válcování.

Je třeba rozlišovat směr posunu místa působení normální reakce hnacího a hnaného kola. U hnacího kola je deformační válec, který způsobuje posunutí bodu působení normálové reakce roviny, umístěn vlevo od jeho středu C, pokud se kolo pohybuje doprava. Proto se u tohoto kola směr třecí síly shoduje se směrem jeho pohybu (obr. 3.10, a). U hnaného kola je deformační válec posunut vůči středu C ve směru pohybu. V důsledku toho je třecí síla v tomto případě směrována ve směru opačném ke směru pohybu středu kola.

Příklad 3.7:

Váhový válec R=10 N a poloměr R= 0,1 m se nachází na hrubé rovině skloněné pod úhlem α = 30˚ k horizontále. Nit je přivázána k ose válce, přehozena přes blok a na druhém konci nese zátěž B. Při jaké hmotnosti Q zatížení se nebude valit do válce, pokud je koeficient valivého tření roven k= 0,01 m (obr. 3.11, a)?

Uvažujme rovnováhu válce ve dvou případech. Pokud velikost síly Q má nejmenší hodnotu, pak se válec může pohybovat dolů po nakloněné rovině (obr. 3.11, b). Na válec působí tíha válce a napětí nitě. V tomto případě bude normální reakce nakloněné roviny posunuta o vzdálenost k nalevo od kolmice spuštěné ze středu válce na nakloněnou rovinu. Třecí síla směřuje podél nakloněné roviny proti možnému pohybu středu válce.

Rýže. 3.11

Pro určení hodnoty stačí vytvořit rovnovážnou rovnici vzhledem k bodu S. Při výpočtu momentu síly kolem tohoto bodu rozložíme sílu na složky: složka je kolmá k nakloněné rovině a složka je s touto rovinou rovnoběžná. Moment síly a vzhledem k bodu C se rovnají nule, protože jsou aplikovány v tomto bodě:

Kde

V druhém případě, když síla Q dosáhne své maximální hodnoty, je možné posunout střed válce nahoru po nakloněné rovině (obr. 3.11, c). Pak budou síly směřovat podobně jako v prvním případě. Reakce nakloněné roviny bude aplikována v bodě a posunuta o vzdálenost k vpravo po nakloněné rovině. Třecí síla směřuje proti možnému pohybu středu válce. Vytvořme rovnici momentů o bodu.

Tření je odpor, ke kterému dochází, když se jedno těleso snaží pohybovat po povrchu druhého.

Podle charakteru pohybu (zda těleso klouže nebo se odvaluje) se rozlišují dva druhy tření: kluzné tření a valivé tření.

Pokud dvě těla já A II(obr. 1.48) se vzájemně ovlivňují, dotýkají se v bodě A, pak vždy dojde k reakci A, působící např. z těla II a připevněné k tělu já, lze rozložit na dvě složky: A, směřující podél společné normály k povrchu kontaktujících těles v bodě A, A A, ležící v tečné rovině. Komponent A nazývá se normální reakce, síla A zvaná kluzná třecí síla – zabraňuje klouzání tělesa já přes tělo II. V souladu s axiomem 6 (třetí zákon I. Newtona) o těle II ze strany těla já působí reakční síla stejné velikosti a opačného směru. Jeho složka kolmá k tečné rovině se nazývá normálová tlaková síla. Jak již bylo uvedeno dříve, třecí síla A se rovná nule, pokud jsou kontaktní plochy dokonale hladké. V reálných podmínkách jsou povrchy drsné a v mnoha případech nelze zanedbat třecí sílu.

Četné studie prokázaly, že pokud je těleso v klidu, je třecí síla určena pouze velikostí a směrem působících aktivních sil na toto těleso. Třecí síla však nemůže překročit určitou pevnou hodnotu, která se shoduje s maximální třecí silou. Tedy pokud je tělo v rovnováze, tak

T≤T max (1,61)

Maximální třecí síla T max závisí na vlastnostech materiálů, ze kterých jsou tělesa vyrobena, jejich stavu (například na povaze povrchové úpravy) a také na normálním tlaku . Zkušenosti ukazují, že maximální třecí síla je přibližně úměrná normálnímu tlaku:

T max = f N.(1.62)

Tento vztah se nazývá Amonton-Coulombův zákon.

Bezrozměrný koeficient F tzv. koeficient tření uklouznutí. Jak vyplývá ze zkušeností, jeho hodnota v širokém rozmezí nezávisí na ploše kontaktních ploch, ale závisí na materiálu a stupni drsnosti kontaktních ploch. Hodnoty koeficientu tření jsou určeny empiricky a lze je nalézt v referenčních tabulkách.

Nerovnici (1,61) lze tedy zapsat jako

T≤f·N. (1.63)

Případ přísné rovnosti v (1.63) odpovídá maximální hodnota třecí síly. To znamená, že třecí sílu lze vypočítat pomocí vzorce

T=f·N. (1.64)

pouze v případech, kdy je předem známo, že dojde ke kritickému incidentu. Ve všech ostatních případech by měla být třecí síla určena z rovnic rovnováhy.

Roh φ mezi limitní reakcí a nazývá se normála k povrchu úhel tření(obr. 1.49,a).

Je snadné to ukázat

tan φ = f.(1.65)

Proto místo koeficientu tření můžete nastavit úhel tření (obě hodnoty jsou uvedeny v referenčních tabulkách).

V závislosti na působení aktivních sil se může změnit směr omezující reakce. Geometrické místo všech možných směrů omezující reakce třecí kužel tvoří kuželovou plochu (obr. 1.49b). Pokud koeficient tření F je ve všech směrech stejný, pak bude třecí kužel kruhový. V případech, kdy koeficient tření závisí na směru možný pohyb těleso, třecí kužel nebude kruhový.

Je snadné ukázat, že pokud se výslednice činných sil nachází uvnitř třecího kužele, pak bude těleso v rovnováze a zvýšením modulu výslednice v tomto případě nelze rovnováhu tělesa narušit. Aby se těleso dalo do pohybu, je nutné (a postačující), aby výslednice činných sil F byla mimo třecí kužel.

Pokud zkoumané těleso neklouže, ale odvaluje se po určité ploše (obr. 1.50), pak je vhodné znázornit odpor proti pohybu jako dvojici sil s momentem:

MT = 5N. (1.66)

Tento okamžik se nazývá valivý třecí moment. Velikost δ volal koeficient valivého tření, má rozměr délky. Experimentálně bylo zjištěno, že hodnota δ je úměrná poloměru válce a liší se pro různé materiály.

Referenční tabulky ukazují poměr koeficientu valivého tření k poloměru válce:

λ = δ/R,

pro různé materiály.

Pokud jsou aktivní síly působící na těleso nedostatečné k tomu, aby se odvalilo, to znamená, že dojde k rovnováze, pak bude valivý třecí moment určen výrazem:

MT ≤ 5N.(1.67)

Velikost M T v tomto případě by měla být určena z rovnic rovnováhy.

Při řešení problémů s valivým třením je třeba vzít v úvahu, že čisté odvalování je možné pouze při absenci prokluzu mezi povrchy těles. K tomu dojde, pokud je třecí síla mezi tělesy přísně menší než maximální třecí síla, to znamená:

T (1.68)