Najděte souřadnice těžiště homogenní desky. Jak vypočítat těžiště roviny ohraničeného útvaru pomocí dvojitého integrálu? Postup pro provedení typického výpočtu

– výpočet těžiště ploché ohraničené postavy. Mnoho čtenářů intuitivně chápe, co je to těžiště, ale přesto doporučuji zopakovat látku z jedné z lekcí analytická geometrie, kde jsem vyšel problém o těžišti trojúhelníku a v přístupné podobě rozluštil fyzický význam tohoto termínu.

V samostatných a kontrolních úlohách se obvykle nabízí řešení nejjednodušší případ– byt omezený homogenní postava, tedy postava konstantní fyzické hustoty - sklo, dřevo, cín, litinové hračky, těžké dětství atd. Dále se standardně budeme bavit pouze o takových číslech =)

První pravidlo a nejjednodušší příklad : má-li plochá postava střed symetrie, pak je to těžiště tohoto obrázku. Například střed kulaté homogenní desky. Je to logické a srozumitelné v každodenním životě - hmota takové postavy je „spravedlivě rozložena ve všech směrech“ vzhledem ke středu. nechci to obracet.

Nicméně v drsné realitě je nepravděpodobné, že by vám hodili sladkost eliptická čokoládová tyčinka, takže se budete muset vyzbrojit seriózními kuchyňskými nástroji:

Souřadnice těžiště plochého homogenního ohraničeného útvaru se vypočítají pomocí následujících vzorců:

, nebo:

, kde je oblast regionu (obrázek); nebo velmi krátce:

, Kde

Integrálu budeme konvenčně říkat integrál „X“ a integrál integrál „Y“.

Nápověda : pro byt omezený heterogenní obrazce, jejichž hustota je určena funkcí, vzorce jsou složitější:
, Kde – hmotnost postavy;v případě jednotné hustoty jsou zjednodušeny na výše uvedené vzorce.

Ve skutečnosti všechny novinky končí u vzorců, zbytek je vaše dovednost řešit dvojné integrály Mimochodem, teď je skvělá příležitost si procvičit a zlepšit techniku. A jak víte, dokonalost nemá žádné hranice =)

Přihodíme povzbudivou porci parabol:

Příklad 1

Najděte souřadnice těžiště homogenního plochého útvaru ohraničeného úsečkami.

Řešení: čáry jsou zde elementární: definuje osu x a rovnici – parabolu, kterou lze snadno a rychle sestavit pomocí geometrické transformace grafů:

– parabola, posunuto o 2 jednotky doleva a 1 jednotku dolů.

Hotovým bodem těžiště figury dokončím celý výkres najednou:

Pravidlo dvě: pokud má postava osa symetrie, pak těžiště tohoto obrazce nutně leží na této ose.

V našem případě je postava symetrická vzhledem k rovný, tedy ve skutečnosti již známe souřadnici „x“ bodu „em“.

Všimněte si také, že vertikálně je těžiště posunuto blíže k ose x, protože tam je postava masivnější.

Ano, možná ne každý ještě plně pochopil, co je to těžiště: zvedněte prosím ukazováček a v duchu položte stínovanou „podrážku“ s tečkou. Teoreticky by postava neměla padat.

Pomocí vzorců zjistíme souřadnice těžiště obrazce , Kde .

Pořadí procházení oblasti (obrázek) je zřejmé zde:

Pozornost! Rozhodování o nejvýhodnějším pořadí průchodu jednou- a používat to pro všechny integrály!

1) Nejprve vypočítejte plochu obrázku. Vzhledem k relativní jednoduchosti integrálu lze řešení zapsat kompaktně, hlavní věcí je nenechat se ve výpočtech zmást:

Podíváme se na výkres a odhadneme plochu po buňkách. Ukázalo se, že jde o případ.

2) Souřadnice X těžiště již byla nalezena “ grafická metoda“, takže se můžete odkázat na symetrii a přejít k dalšímu bodu. Stále to však nedoporučuji - existuje vysoká pravděpodobnost, že řešení bude odmítnuto se zněním „použij vzorec“.

Upozorňujeme, že zde si vystačíte výhradně s mentálními výpočty - někdy není vůbec nutné redukovat zlomky na společného jmenovatele nebo trápit kalkulačku.

Tím pádem:
, což je to, co bylo nutné získat.

3) Najděte pořadnici těžiště. Vypočítejme „herní“ integrál:

Ale tady by to bez kalkulačky bylo těžké. Pro jistotu uvedu, že v důsledku násobení polynomů se získá 9 členů a některé z nich jsou podobné. Podobné termíny jsem uvedl ústně (jak se to v podobných případech běžně dělá) a rovnou zapsal celkovou částku.

Jako výsledek:
, což je velmi, velmi podobné pravdě.

V konečné fázi označte bod na výkresu. Podle podmínky nebyl požadavek nic kreslit, ale ve většině úkolů jsme nuceni chtě nechtě nakreslit postavu. Ale je tu absolutní plus - vizuální a docela efektivní ověření výsledku.

Odpovědět:

Následující dva příklady jsou pro vás, abyste je vyřešili sami.

Příklad 2

Najděte souřadnice těžiště homogenního plochého útvaru ohraničeného úsečkami

Mimochodem, když si představíte, jak je parabola umístěna a viděli body, ve kterých protíná osu, tak tady se vlastně bez nákresu obejdete.

A složitější:

Příklad 3

Najděte těžiště homogenního plochého útvaru ohraničeného úsečkami

Pokud máte potíže se sestavováním grafů, prostudujte si (opakujte) lekce o parabolách a/nebo příklad č. 11 článku Dvojité integrály pro figuríny.

Ukázky řešení na konci lekce.

Kromě toho lze v odpovídajícím archivu na stránce nalézt tucet nebo dva podobné příklady Hotová řešení pro vyšší matematiku.

No, nemůžu si pomoct, ale fanoušky potěším algebra pro pokročilé kteří mě často žádají o řešení obtížných problémů:

Příklad 4

Najděte těžiště homogenního plochého útvaru ohraničeného úsečkami. Nakreslete na výkres postavu a její těžiště.

Řešení: podmínka tohoto úkolu již kategoricky vyžaduje dokončení výkresu. Požadavek ale není tak formální! – i člověk s průměrnou úrovní výcviku si dokáže v duchu představit toto číslo:

Rovná čára rozdělí kruh na 2 části a další větu (cm. lineární nerovnosti) označuje, že mluvíme o malém stínovaném kousku.

Obrázek je symetrický vzhledem k přímce (znázorněno tečkovanou čarou), takže těžiště by mělo ležet na této čáře. A jeho souřadnice jsou samozřejmě stejné modulo. Vynikající vodítko, které prakticky eliminuje možnost chybné odpovědi!

Teď ta špatná zpráva =) Na obzoru se rýsuje nepříjemný integrál odmocniny, který jsme podrobně zkoumali v příkladu č. 4 lekce Efektivní metody řešení integrálů. A kdo ví, co se tam ještě bude kreslit. Zdálo by se, že kvůli přítomnosti kruh ziskové, ale ne vše je tak jednoduché. Rovnice přímky se převede do tvaru a integrály se také neukážou jako cukr (i když fanoušci goniometrické integrály ocení). V tomto ohledu je prozíravější zaměřit se na kartézské souřadnice.

Pořadí procházení obrázku:

1) Vypočítejte plochu obrázku:

Racionálnější je vzít první integrál sečtením diferenciálního znaménka:

A ve druhém integrálu provedeme standardní náhradu:

Pojďme vypočítat nové limity integrace:

2) Pojďme najít.

Zde ve 2. integrálu byl opět použit metoda přičtení funkce pod diferenciální znaménko. Cvičte a osvojte si tyto optimální (dle mého názoru) techniky řešení standardních integrálů.

Po obtížných a zdlouhavých výpočtech opět obrátíme pozornost na výkres (pamatujte na to body ještě nevíme! ) a z nalezené hodnoty se nám dostává hlubokého morálního zadostiučinění.

3) Na základě dříve provedené analýzy zbývá zajistit, aby .

Skvělý:

Nakreslíme bod na výkresu. V souladu se zněním podmínky zapisujeme jako konečnou Odpovědět:

Podobný úkol, který musíte vyřešit sami:

Příklad 5

Najděte těžiště homogenního plochého útvaru ohraničeného úsečkami. Proveďte výkres.

Tento problém je zajímavý, protože obsahuje postavu poměrně malé velikosti, a pokud někde uděláte chybu, je vysoká pravděpodobnost, že se do oblasti vůbec „nedostanete“. Což je z hlediska kontroly rozhodování jistě dobře.

Vzorový návrh na konci lekce.

Někdy to dává smysl přechod k polárním souřadnicím ve dvojných integrálech. Záleží na postavě. Hledal jsem a hledal jsem úspěšný příklad, ale nemohl jsem ho najít, takže řešení předvedu v prvním ukázkovém problému výše uvedené lekce:


Dovolte mi připomenout, že v tomto příkladu jsme šli polární souřadnice, zjistil pořadí projíždění areálu a vypočítal jeho plochu

Najdeme těžiště tohoto obrazce. Schéma je stejné: . Hodnota je zobrazena přímo z výkresu a souřadnice „x“ by měla být posunuta o něco blíže k ose pořadnice, protože se tam nachází masivnější část půlkruhu.

V integrálech používáme standardní přechodové vzorce:

Je pravděpodobné, že se s největší pravděpodobností nemýlili.

3 Aplikace dvojných integrálů

3.1 Teoretický úvod

Uvažujme aplikace dvojného integrálu k řešení řady geometrických a mechanických problémů.

3.1.1 Výpočet plochy a hmotnosti ploché desky

Zvažte tenkou desku materiálu D, umístěný v rovině Ohoo. Náměstí S této desky lze nalézt pomocí dvojitého integrálu podle vzorce:

3.1.2 Statické momenty. Těžiště ploché desky

Statický moment M X vzhledem k ose Vůl hmotný bod P(X;y), ležící v letadle Oxy a mít hmotu m, se nazývá součin hmotnosti bodu a jeho pořadnice, tzn. M X = můj. Statický moment se určí obdobně M y vzhledem k ose Oj: ­ ­ ­ M y = mx. Statické momenty plochá deska s plošnou hustotou γ = γ (x, y) se počítají pomocí vzorců:

Jak je známo z mechaniky, souřadnice X C , y C těžiště plochého materiálového systému je určeno rovností:

Kde m je hmotnost systému a M X A M y– statické momenty systému. Hmotnost ploché desky m je určen vzorcem (1), statické momenty ploché desky lze vypočítat pomocí vzorců (3) a (4). Potom podle vzorců (5) získáme výraz pro souřadnice těžiště ploché desky:

Typický výpočet obsahuje dvě úlohy. Každý problém je uveden na ploché desce D, ohraničené řádky zadanými v příkazu k problému. G(x, y) – hustota povrchu desky D. Pro tuto desku najděte: 1. S- náměstí; 2. m- Hmotnost; 3. M y , M X– statické momenty kolem os Ach A Ach respektive; 4. , – souřadnice těžiště.

3.3 Postup provedení typického výpočtu

Při řešení každého problému je nutné: ​​1. Nakreslit nákres dané oblasti. Vyberte souřadnicový systém, ve kterém se budou počítat dvojné integrály. 2. Napište oblast ve tvaru soustavy nerovnic do zvoleného souřadnicového systému. 3. Vypočítejte plochu S a hmotnost m desky podle vzorců (1) a (2). 4. Vypočítejte statické momenty M y , M X podle vzorců (3) a (4). 5. Vypočítejte souřadnice těžiště pomocí vzorců (6). Nakreslete na výkres těžiště. V tomto případě dochází k vizuální (kvalitativní) kontrole získaných výsledků. Číselné odpovědi musí být uvedeny na tři platné číslice.

3.4 Příklady provedení typického výpočtu

Úkol 1. Talíř D omezeno linkami: y = 4 – X 2 ; X = 0; y = 0 (X ≥ 0; y≥ 0) Hustota povrchu γ 0 = 3. Řešení. Oblast specifikovaná v problému je omezena parabolou y = 4 – X 2, souřadnicové osy a leží v první čtvrtině (obr. 1). Úlohu vyřešíme v kartézském souřadnicovém systému. Tato oblast může být popsána systémem nerovností:

Rýže. 1

Náměstí S deska je rovna (1): Protože deska je homogenní, její hmotnost m = γ 0 S= 3· = 16. Pomocí vzorců (3), (4) zjistíme statické momenty desky: Souřadnice těžiště se zjistí podle vzorce (6): Odpovědět: S ≈ 5,33; m = 16; M X = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Úkol 2. Talíř D omezeno linkami: X 2 + na 2 = 4; X = 0, na = X (X ≥ 0, na≥ 0). Hustota povrchu γ (x, y) = na. Řešení. Deska je omezena kružnicí a přímkami procházejícími počátkem souřadnic (obr. 2). Proto je pro vyřešení problému vhodné použít polární souřadnicový systém. Polární úhel φ se změní z π/4 na π/2. Paprsek vedený od pólu přes desku do něj „vstupuje“ při ρ = ​​0 a „vychází“ na kružnici, jejíž rovnice je: X 2 + na 2 = 4 <=>ρ = 2.

Rýže. 2

V důsledku toho lze danou oblast zapsat systémem nerovností: Zjistíme plochu desky pomocí vzorce (1): Hmotnost desky zjistíme pomocí vzorce (2), dosazením γ (x, y) = y = ρ hřích φ :
Pro výpočet statických momentů desky použijeme vzorce (3) a (4):
Souřadnice těžiště získáme pomocí vzorců (6): Odpovědět: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M X = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Příprava zprávy

Zpráva musí obsahovat všechny provedené výpočty a pečlivě provedené výkresy. Číselné odpovědi musí být uvedeny na tři platné číslice.

Uveďme příklad určení těžiště tělesa jeho rozdělením na samostatná tělesa, jejichž těžiště jsou známa.

Příklad 1. Určete souřadnice těžiště homogenní desky (obr. 9). Rozměry jsou na obrázku 9 uvedeny v milimetrech.

Řešení: Ukážeme souřadnicové osy a . Plech rozdělíme na díly, které jsou tvořeny třemi obdélníky. Pro každý obdélník nakreslíme úhlopříčky, jejichž průsečíky určují polohy těžišť každého obdélníku. V přijatém souřadnicovém systému je snadné najít hodnoty souřadnic těchto bodů. A to:

(-1; 1), (1;5), (5;9). Plochy každého těla jsou stejné:

; ; .

Plocha celé desky se rovná:

Pro určení souřadnic těžiště dané desky použijeme výrazy (21). Dosazením hodnot všech známých veličin v této rovnici dostaneme

Podle získaných hodnot souřadnic těžiště desky označujeme na obrázku bod C. Jak vidíte, těžiště (geometrický bod) desky se nachází mimo ni.

Způsob sčítání. Tato metoda je dílčím případem separační metody. Může být aplikován na těla, která mají výřezy (dutiny). Navíc bez vyříznutého dílu je známa poloha těžiště těla. Zvažte například použití takové metody.

Příklad 2 Určete polohu těžiště kruhové desky o poloměru R, ve které je výřez o poloměru r (obr. 10). Vzdálenost .

Řešení: Jak vidíme, z obr. 10 leží těžiště desky na ose symetrie desky, tedy na přímce, protože tato přímka je osou symetrie. Pro určení polohy těžiště této desky je tedy nutné určit pouze jednu souřadnici, protože druhá souřadnice bude umístěna na ose symetrie a vyrovná nulové. Ukažme souřadnicové osy , . Předpokládejme, že deska je tvořena dvěma tělesy - plným kruhem (jakoby bez výřezu) a tělesem, které se zdá být vyrobeno s výřezem. V přijatém souřadnicovém systému se souřadnice pro označená tělesa budou rovnat: .Plochy těles se rovnají: ; . Celková plocha celého těla se bude rovnat rozdílu mezi plochami prvního a druhého těla, jmenovitě