17.02.2023

Příklady oblasti kosočtverce. Oblast kosočtverce

Plocha geometrického obrazce- číselná charakteristika geometrického obrazce znázorňující velikost tohoto obrazce (část plochy ohraničená uzavřeným obrysem tohoto obrazce). Velikost plochy je vyjádřena počtem čtverečních jednotek v ní obsažených.

Vzorce pro oblast trojúhelníku

  1. Vzorec pro oblast trojúhelníku podle strany a výšky
    Oblast trojúhelníku rovná se polovině součinu délky strany trojúhelníku a délky nadmořské výšky nakreslené na tuto stranu
  2. Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě tří stran a poloměru kružnice opsané
  3. Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě tří stran a poloměru vepsané kružnice
    Oblast trojúhelníku se rovná součinu půlobvodu trojúhelníku a poloměru kružnice vepsané.
    4. kde S je plocha trojúhelníku,
    - délky stran trojúhelníku,
    - výška trojúhelníku,
    - úhel mezi stranami a,
    - poloměr vepsané kružnice,
    R - poloměr kružnice opsané,

Vzorce čtvercové oblasti

  1. Vzorec pro plochu čtverce o délce strany
    Čtvercová plocha rovná druhé mocnině délky jeho strany.
  2. Vzorec pro plochu čtverce podél délky úhlopříčky
    Čtvercová plocha rovná polovině druhé mocniny délky jeho úhlopříčky.
    S=1 2
    2
    3. kde S je plocha čtverce,
    - délka strany čtverce,
    - délka úhlopříčky čtverce.

Vzorec oblasti obdélníku

    Plocha obdélníku rovný součinu délek jeho dvou sousedních stran

    kde S je plocha obdélníku,
    - délky stran obdélníku.

Rovnoběžné vzorce oblasti

  1. Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě délky a výšky strany
    Plocha rovnoběžníku
  2. Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě dvou stran a úhlu mezi nimi
    Plocha rovnoběžníku se rovná součinu délek jejích stran vynásobených sinem úhlu mezi nimi.

    a b sin α

    3. kde S je plocha rovnoběžníku,
    - délky stran rovnoběžníku,
    - délka výšky rovnoběžníku,
    - úhel mezi stranami rovnoběžníku.

Vzorce pro oblast kosočtverce

  1. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délky a výšky strany
    Oblast kosočtverce rovná součinu délky jeho strany a délky výšky spuštěné na tuto stranu.
  2. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délky strany a úhlu
    Oblast kosočtverce se rovná součinu druhé mocniny délky jeho strany a sinu úhlu mezi stranami kosočtverce.
  3. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délek jeho úhlopříček
    Oblast kosočtverce rovna polovině součinu délek jeho úhlopříček.
    4. kde S je plocha kosočtverce,
    - délka strany kosočtverce,
    - délka výšky kosočtverce,
    - úhel mezi stranami kosočtverce,
    1, 2 - délky úhlopříček.

Vzorce pro lichoběžníkové plochy

  1. Heronův vzorec pro lichoběžník

    Kde S je plocha lichoběžníku,
    - délky základen lichoběžníku,
    - délky stran lichoběžníku,

V článku budeme zvažovat kosočtvercový plošný vzorec a ne jen jeden! Na obrázcích vám ukážeme, jak snadné to je oblast kosočtverce pomocí jednoduchých vzorců.

Úkolů pro nalezení té či oné veličiny v kosočtverci je velké množství a v tom nám pomohou vzorce, o kterých bude řeč.
Kosočtverec je samostatný typ čtyřúhelníku, protože všechny jeho strany jsou stejné. Také představuje speciální případ rovnoběžník, jehož strany AB=BC=CD=AD jsou stejné.

Poznámka: Pokud potřebujete práci v kurzu, otestujte popř absolventské práce, pak byste měli přejít na webmath.ru. nebo stačí kliknout na odkaz pro objednávku ročníková práce(http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).

Kosočtverec má následující vlastnosti:

Kosočtverec má stejné rovnoběžné úhly
- součet dvou sousedních úhlů je roven 180 stupňům,
- Průsečík úhlopříček pod úhlem 90 stupňů,
- Osy kosočtverce jsou jeho úhlopříčky,
- Při protínání se úhlopříčka rozdělí na stejné části.

Kosočtverec má následující vlastnosti:

Pokud rovnoběžník, ve kterém se úhlopříčky setkávají pod úhlem 90 stupňů, pak se nazývá kosočtverec.
- Pokud je rovnoběžník, jehož osou je úhlopříčka, pak se nazývá kosočtverec.
- Pokud má rovnoběžník stejné strany, jedná se o kosočtverec.
- Pokud má čtyřúhelník stejné strany, je to kosočtverec.
- Je-li čtyřúhelník, ve kterém je osou úhlopříčka a úhlopříčky se setkávají pod úhlem 90 stupňů, pak je to kosočtverec.
- Pokud má rovnoběžník stejné výšky, jedná se o kosočtverec.

Z výše uvedených znaků můžeme usoudit, že jsou potřeba k tomu, abychom se naučili oddělovat kosočtverec od jiných jemu podobných postav.

Protože v kosočtverci jsou všechny strany stejné obvod je podle následujícího vzorce:
P=4a
Oblast vzorce kosočtverce

Existuje několik vzorců. Nejjednodušší je vyřešen přidáním oblasti 2 trojúhelníků, které byly získány dělením úhlopříček.

Pomocí druhého vzorce můžete vyřešit problémy se známými úhlopříčkami kosočtverce. V tomto případě bude plocha kosočtverce: součet úhlopříček dělený dvěma.

Je velmi snadné to vyřešit a nezapomenete.

Třetí vzorec lze použít, když znáte úhel mezi stranami. Když to víte, můžete najít oblast kosočtverce; bude se rovnat čtverci stran krát sinus úhlu. Je jedno z jakého úhlu. protože sinus úhlu má stejnou hodnotu.

Je důležité si uvědomit, že plocha se měří ve čtvercích a obvod se měří v jednotkách. Tyto vzorce jsou velmi snadno použitelné v praxi.

Můžete se také setkat s problémy s nalezením poloměru kružnice vepsané do kosočtverce.

Existuje na to také několik vzorců:

Pomocí prvního vzorce se poloměr zjistí jako součin úhlopříček dělený číslem získaným sečtením všech stran. nebo rovna polovině výšky (r=h/2).

Druhý vzorec přebírá princip z prvního a platí, že známe úhlopříčky a strany kosočtverce.

Ve třetím vzorci vychází poloměr z výšky menšího trojúhelníku vyplývajícího z průsečíku.

Definice diamantu

Kosočtverec je rovnoběžník, ve kterém jsou všechny strany stejné.

Online kalkulačka

Pokud strany kosočtverce svírají pravý úhel, pak dostaneme náměstí.

Úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu.
Úhlopříčky kosočtverce jsou osy jeho úhlů.

Oblast kosočtverce, stejně jako oblasti většiny geometrických tvarů, lze nalézt několika způsoby. Pojďme pochopit jejich podstatu a zvážit příklady řešení.

Vzorec pro oblast kosočtverce podle strany a výšky

Nechť nám bude dán kosočtverec se stranou a a A a výška h h h, přitažené na tuto stranu. Protože kosočtverec je rovnoběžník, najdeme jeho plochu stejným způsobem jako plochu rovnoběžníku.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a A- boční;
h h h- výška snížena na stranu a a A.

Řešíme jednoduchý příklad.

Příklad

Strana kosočtverce je 5 (cm). Výška snížená na tuto stranu má délku 2 (cm). Najděte oblast kosočtverce S S S.

Řešení

A = 5 a = 5 a =5
h = 2 h = 2 h =2

Použijeme náš vzorec a vypočítáme:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10S=a ⋅h =5 ⋅ 2 = 1 0 (viz náměstí)

Odpovědět: 10 cm čtverečních

Vzorec pro oblast kosočtverce pomocí úhlopříček

Zde je vše stejně jednoduché. Stačí vzít polovinu součinu úhlopříček a získat plochu.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S=2 1 ​ ⋅ d 1 ​ ⋅ d 2 ​

D 1, d 2 d_1, d_2 d 1 ​ , d 2 ​ - úhlopříčky kosočtverce.

Příklad

Jedna z úhlopříček kosočtverce je 7 (cm) a druhá je 2krát větší než první. Najděte oblast obrázku.

Řešení

D1 = 7 d_1 = 7 d 1 ​ = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​

Pojďme najít druhou úhlopříčku:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​ = 2 ⋅ 7 = 1 4
Pak oblast:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S=2 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (viz náměstí)

Odpovědět: 49 cm čtverečních

Vzorec pro oblast kosočtverce pomocí dvou stran a úhlu mezi nimi

S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)S=A 2 ⋅ hřích (α)

A a A- strana kosočtverce;
a\alfa α - libovolný úhel kosočtverce.

Příklad

Najděte plochu kosočtverce, pokud je každá z jeho stran 10 cm a úhel mezi dvěma sousedními stranami je 30 stupňů.

Řešení

A = 10 a = 10 a =1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Pomocí vzorce dostaneme:
S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) = 100 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= 50S=A 2 ⋅ sin(α) =1 0 0 ⋅ hřích (3 0 ∘ ) = 5 0 (viz náměstí)

Odpovědět: 50 cm čtverečních

Vzorec pro oblast kosočtverce na základě poloměru vepsané kružnice a úhlu

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S=hřích (α)4 ⋅ r 2 ​

R r r- poloměr vepsané kružnice v kosočtverci;
a\alfa α - libovolný úhel kosočtverce.

Příklad

Najděte oblast kosočtverce, pokud úhel mezi základnami je 60 stupňů a poloměr vepsané kružnice je 4 (cm).

Řešení

R = 4 r = 4 r =4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73,9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\cca 73,9S=hřích (α)4 ⋅ r 2 ​ = hřích (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ​ ≈ 7 3 . 9 (viz náměstí)

Odpovědět: 73,9 cm čtverečních

Vzorec pro oblast kosočtverce na základě poloměru vepsané kružnice a strany

S = 2 ⋅ a ⋅ r S = 2\cdot a\cdot rS=2 ⋅ a ⋅r

A a A-strana kosočtverce;
r r r- poloměr vepsané kružnice v kosočtverci.

Příklad

Vezměme podmínku z předchozí úlohy, ale místo úhlu uveďme stranu kosočtverce rovnou 5 cm.

Řešení

A = 5 a = 5 a =5
r = 4 r = 4 r =4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40S=2 ⋅ a ⋅r =2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (viz náměstí)

Odpovědět: 40 cm čtverečních

je rovnoběžník, ve kterém jsou všechny strany stejné.

Kosočtverec s pravými úhly se nazývá čtverec a je považován za zvláštní případ kosočtverce. Plochu kosočtverce můžete najít různými způsoby, pomocí všech jeho prvků - stran, úhlopříček, výšky. Klasický vzorec pro oblast kosočtverce je vypočítat hodnotu přes výšku.

Příklad výpočtu plochy kosočtverce pomocí tohoto vzorce je velmi jednoduchý. Stačí jen nahradit data a vypočítat plochu.

Plocha kosočtverce přes diagonály


Úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu a v průsečíku jsou rozděleny na polovinu.

Vzorec pro oblast kosočtverce přes jeho úhlopříčky je součin jeho úhlopříček dělených 2.

Podívejme se na příklad výpočtu plochy kosočtverce pomocí úhlopříček. Nechť je nám dán kosočtverec s úhlopříčkami
d1 = 5 cm a d2 = 4. Pojďme najít oblast.

Vzorec pro oblast kosočtverce přes strany také znamená použití dalších prvků. Pokud je kruh vepsán do kosočtverce, pak lze plochu obrázku vypočítat ze stran a jeho poloměru:

Příklad výpočtu plochy kosočtverce přes strany je také velmi jednoduchý. Potřebujete pouze vypočítat poloměr vepsané kružnice. Lze jej odvodit z Pythagorovy věty a pomocí vzorce.

Plocha kosočtverce skrz stranu a úhel


Vzorec pro oblast kosočtverce z hlediska strany a úhlu se používá velmi často.

Podívejme se na příklad výpočtu plochy kosočtverce pomocí strany a úhlu.

Úkol: Je dán kosočtverec, jehož úhlopříčky jsou d1 = 4 cm, d2 = 6 cm. Ostrý úhel je α = 30°. Najděte oblast obrázku pomocí strany a úhlu.
Nejprve najdeme stranu kosočtverce. Použijeme k tomu Pythagorovu větu. Víme, že v průsečíku se úhlopříčky půlí a svírají pravý úhel. Proto:
Dosadíme hodnoty:
Nyní známe stranu a úhel. Pojďme najít oblast:

Navzdory skutečnosti, že matematika je královnou věd a aritmetika je královnou matematiky, geometrie je pro školáky to nejtěžší, co se učí. Planimetrie je odvětví geometrie, které studuje rovinné obrazce. Jedním z těchto tvarů je kosočtverec. Většina problémů při řešení čtyřúhelníků spočívá v hledání jejich oblastí. Pojďme systematizovat známé vzorce a různé metody pro výpočet plochy kosočtverce.

Kosočtverec je rovnoběžník se všemi čtyřmi stranami stejnými. Připomeňme, že rovnoběžník má čtyři úhly a čtyři páry rovnoběžných stejných stran. Jako každý čtyřúhelník má kosočtverec řadu vlastností, které se scvrkají na následující: když se úhlopříčky protnou, svírají úhel rovný 90 stupňům (AC ⊥ BD), průsečík rozděluje každou na dva stejné segmenty. Úhlopříčky kosočtverce jsou zároveň osami jeho úhlů (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD atd.). Z toho vyplývá, že rozdělují kosočtverec na čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky. Součet délek úhlopříček zvednutých na druhou mocninu se rovná délce strany k druhé mocnině vynásobené 4, tzn. BD 2 + AC 2 = 4AB 2. Existuje mnoho metod používaných v planimetrii pro výpočet plochy kosočtverce, jejichž použití závisí na zdrojových datech. Pokud je známa délka strany a jakýkoli úhel, můžete použít následující vzorec: plocha kosočtverce se rovná druhé mocnině strany vynásobené sinem úhlu. Z kurzu trigonometrie víme, že sin (π – α) = sin α, což znamená, že ve výpočtech můžete použít sinus libovolného úhlu - ostrého i tupého. Speciálním případem je kosočtverec, ve kterém jsou všechny úhly pravé. Toto je čtverec. Je známo, že sinus pravého úhlu je roven jedné, takže plocha čtverce se rovná délce jeho strany zvýšené na druhou mocninu.

Pokud velikost stran neznáme, použijeme délku úhlopříček. V tomto případě se plocha kosočtverce rovná polovině součinu hlavních a vedlejších úhlopříček.

Vzhledem ke známé délce úhlopříček a velikosti jakéhokoli úhlu je plocha kosočtverce určena dvěma způsoby. Za prvé: plocha je polovina druhé mocniny větší úhlopříčky vynásobená tečnou poloviny míry ostrý úhel, tj. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), kde D je hlavní úhlopříčka, α je ostrý úhel. Pokud znáte velikost vedlejší úhlopříčky, použijeme vzorec 1/2*d 2 *tg(β/2), kde d je vedlejší úhlopříčka, β je tupý úhel. Připomeňme, že míra ostrého úhlu je menší než 90 stupňů (míra pravého úhlu), a tupý úhel je tedy větší než 90 0.

Oblast kosočtverce lze nalézt pomocí délky strany (nezapomeňte, že všechny strany kosočtverce jsou stejné) a výšky. Výška je kolmice spuštěná na stranu protilehlou úhlu nebo k jeho prodloužení. Aby byla základna výšky umístěna uvnitř kosočtverce, měla by být spuštěna z tupého úhlu.

Někdy problém vyžaduje nalezení oblasti kosočtverce na základě údajů souvisejících s vepsaným kruhem. V tomto případě musíte znát jeho poloměr. Pro výpočet lze použít dva vzorce. Takže, abyste odpověděli na otázku, můžete zdvojnásobit součin strany kosočtverce a poloměru vepsané kružnice. Jinými slovy, musíte vynásobit průměr vepsané kružnice stranou kosočtverce. Je-li velikost úhlu uvedena v zadání problému, pak je plocha nalezena prostřednictvím podílu mezi druhou mocninou poloměru vynásobeného čtyřmi a sinem úhlu.

Jak vidíte, existuje mnoho způsobů, jak najít oblast kosočtverce. Samozřejmě, pamatovat si každý z nich bude vyžadovat trpělivost, pozornost a samozřejmě čas. Ale v budoucnu si můžete snadno vybrat metodu vhodnou pro váš úkol a zjistíte, že geometrie není obtížná.

1 0 0
Pokud najdete chybu, vyberte část textu a stiskněte Ctrl+Enter.