Symetrické geometrické tvary. Obdélník, kosočtverec a čtverec

Dvě postavy se nazývají symetrické vzhledem k libovolnému bodu O v prostoru, pokud každý bod A jednoho obrázku odpovídá na druhém obrázku bodu A, který se nachází na přímce OA na druhé straně bodu O, ve vzdálenosti rovné vzdálenosti bod A z bodu O (obr. 114). Bod O se nazývá střed symetrie postavy.

Příklad takových symetrických obrazců v prostoru jsme již viděli (§ 53), kdy pokračováním hran a ploch mnohostěnného úhlu za vrcholem jsme získali mnohostěnný úhel symetrický k danému. Odpovídající segmenty a úhly, které tvoří dva symetrické obrazce, jsou si navzájem rovné. Obrazce jako celek však nelze nazvat rovnocennými: nelze je vzájemně kombinovat kvůli skutečnosti, že pořadí částí na jednom obrázku je jiné než na druhém, jak jsme viděli na příkladu symetrických mnohostěnných úhlů.

V některých případech lze symetrické obrazce kombinovat, ale jejich nesourodé části se budou shodovat. Vezměme například pravý trojstěnný úhel (obr. 115) s vrcholem v bodě O a hranami OX, OY, OZ.

Sestrojme pro něj symetrický úhel OXYZ. Úhel OXYZ lze kombinovat s OXYZ tak, že hrana OX se shoduje s OY a hrana OY se shoduje s OX. Pokud zkombinujeme odpovídající hrany OX s OX a OY s OY, pak budou hrany OZ a OZ směřovat opačným směrem.

Jestliže symetrické obrazce dohromady tvoří jedno geometrické těleso, pak se o tomto geometrickém tělese říká, že má střed symetrie. Má-li tedy dané těleso střed symetrie, pak každý bod patřící tomuto tělesu odpovídá symetrickému bodu, rovněž patřícímu tomuto tělesu. Z těch, které jsme recenzovali geometrická tělesa mají střed symetrie, například:

1. rovnoběžnostěn,
2. hranol, který má ve své základně pravidelný mnohoúhelník se sudým počtem stran.

Pravidelný čtyřstěn nemá střed symetrie.

Symetrie vzhledem k rovině

Dva prostorové útvary se nazývají symetrické vzhledem k rovině P, pokud každý bod A na jednom obrázku odpovídá bodu A na druhém obrázku a úsečka AA je kolmá k rovině P a je rozdělena na polovinu v průsečíku s touto. letadlo.

Teorém. Jakékoli dva odpovídající segmenty ve dvou symetrických obrazcích jsou si navzájem rovné.

Nechť jsou dány dva obrazce, symetrické vzhledem k rovině P. Zvolme nějaké dva body A a B prvního obrázku, nechť A a B jsou odpovídající body druhého obrázku (Obrázek 116, obrázky nejsou znázorněny kresba).

Nechť dále C je průsečík úsečky AA s rovinou P, D je průsečík úsečky BB se stejnou rovinou. Spojením bodů C a D úsečkou dostaneme dva čtyřúhelníky ABDC a ABDC. Protože AC = AC, BD = BD a

∠ACD = ∠ACD, ∠BDC = ∠BDC, jako pravé úhly jsou pak tyto čtyřúhelníky stejné (což můžeme snadno ověřit superpozicí). Proto AB = AB. Z této věty přímo vyplývá, že odpovídající rovinné a dihedrální úhly dvou obrazců, které jsou symetrické k rovině, jsou si navzájem rovny. Nicméně je nemožné tyto dva obrázky vzájemně kombinovat tak, aby se jejich odpovídající části spojily, protože pořadí částí na jednom obrázku je opačné než na druhém. Nejjednodušší příklad dvou obrazců, které jsou symetrické vzhledem k rovině, jsou: jakýkoli předmět a jeho odraz v rovinném zrcadle; Každá postava je symetrická se svým zrcadlovým obrazem vzhledem k rovině zrcadla.

Pokud lze jakékoli geometrické těleso rozdělit na dvě části, které jsou symetrické vzhledem k určité rovině, pak se tato rovina nazývá rovina symetrie tohoto tělesa.

Geometrická tělesa s rovinou symetrie jsou v přírodě i v každodenním životě extrémně běžná. Tělo lidí a zvířat má rovinu symetrie, která ho rozděluje na pravou a levou část.

Tento příklad zvláště jasně ukazuje, že symetrické obrazce nelze kombinovat. Ruce pravé a levé ruky jsou tedy symetrické, ale nelze je kombinovat, což je vidět alespoň z toho, že na stejnou rukavici se nevejde pravá i levá ruka. Velké množství předmětů pro domácnost má rovinu symetrie: židle, jídelní stůl, knihovna, pohovka atd. Některé, jako například jídelní stůl, mají dokonce ne jednu, ale dvě roviny symetrie (obr. 117) .

Obvykle se při zvažování předmětu, který má rovinu symetrie, snažíme zaujmout vůči němu takovou polohu, aby rovina symetrie našeho těla, nebo alespoň hlavy, splývala s rovinou symetrie samotného předmětu. V tomto případě je obzvláště patrný symetrický tvar objektu.

Symetrie kolem osy. Osa symetrie druhého řádu.

Z této definice ihned vyplývá, že pokud dvě geometrická tělesa, souměrná podle libovolné osy, protne rovina kolmá k této ose, pak v řezu dostaneme dva ploché obrazce, symetrické podle průsečíku roviny s osou symetrie těl.

Odtud je dále snadné odvodit, že dvě tělesa, která jsou symetrická kolem osy, lze vzájemně kombinovat otočením jednoho z nich o 180° kolem osy symetrie. Ve skutečnosti si představme všechny možné roviny kolmé k ose symetrie.

Každá taková rovina protínající obě tělesa obsahuje obrazce, které jsou symetrické vzhledem k bodu, kde se rovina setkává s osou souměrnosti těles. Pokud přinutíte rovinu řezu, aby se sama posouvala a otočila ji kolem osy symetrie těla o 180°, pak se první údaj shoduje s druhým.

To platí pro jakoukoli rovinu řezu. Otočení všech částí těla o 180° je ekvivalentní otočení celého těla o 180° kolem osy symetrie. Z toho plyne platnost našeho tvrzení.

Pokud se po otočení prostorového útvaru kolem určité přímky o 180° shoduje se sebou samým, říká se, že útvar má tuto přímku jako osu symetrie druhého řádu.

Název „osa symetrie druhého řádu“ je vysvětlen tím, že během úplného otočení kolem této osy těleso v procesu rotace dvakrát zaujme polohu shodující se s tou původní (včetně původní). Příklady geometrických těles, která mají osu symetrie druhého řádu, jsou:

1) pravidelná pyramida se sudým počtem bočních ploch; jeho osou symetrie je jeho výška;

2) pravoúhlý rovnoběžnostěn; má tři osy symetrie: přímky spojující středy jeho protilehlých ploch;

3) pravidelný hranol se sudým počtem bočních ploch. Osou jeho symetrie je každá přímka spojující středy libovolné dvojice jeho protilehlých ploch (boční plochy a dvě základny hranolu). Pokud je počet bočních stran hranolu 2 k, pak počet takových os symetrie bude k+ 1. Osou symetrie pro takový hranol je navíc každá přímka spojující středy jeho protilehlých bočních hran. Hranol má takové osy symetrie A.

Správná je tedy 2 k-fasetovaný hranol má 2 k+1 osy, symetrie.

Závislost mezi různými typy symetrie v prostoru.

Teorém. Je-li obrazec F symetrický s obrazcem F vzhledem k rovině P a zároveň symetrický s obrazcem F" vzhledem k bodu O ležícím v rovině P, pak jsou obrazce F a F" symetrické vzhledem k ose. procházející bodem O a kolmý k rovině P .

Vezměme si nějaký bod A obrázku F (obr. 118). Odpovídá bodu A na obrázku F a bodu A" na obrázku F" (samotné obrázky F, F a F" nejsou na obrázku znázorněny).

Nechť B je průsečík úsečky AA s rovinou P. Narýsujme rovinu procházející body A, A a O. Tato rovina bude kolmá k rovině P, protože prochází přímkou ​​AA kolmou k této rovině. . V rovině AAO vedeme přímku OH kolmou na OB. Tato přímka OH bude také kolmá k rovině P. Dále nechť C je průsečík přímek AA" a OH.

V trojúhelníku AAA" úsečka BO spojuje středy stran AA a AA", proto BO || AA", ale VO⊥OH, což znamená AA"⊥OH. Dále, protože O je střed strany AA" a CO || AA, pak AC = A"C. Odtud usuzujeme, že body A a A" jsou symetrické vzhledem k ose OH. Totéž platí pro všechny ostatní body obrázku. To znamená, že naše věta je dokázána. Z této věty okamžitě vyplývá, že dva útvary, které jsou symetrické vzhledem k rovině nelze kombinovat tak, aby se jejich odpovídající části spojily. Ve skutečnosti je obrázek F kombinován s F" otočením kolem osy OH o 180°. Ale obrázky F" a F nelze kombinovat jako symetrické vzhledem k bodu, proto také obrázky F a F nelze kombinovat.

Osy symetrie vyššího řádu

Postava, která má osu symetrie, se po otočení kolem osy symetrie o úhel 180° vyrovná sama se sebou. Jsou však možné případy, kdy se obrazec dostane do zarovnání se svou původní polohou po otočení kolem určité osy o úhel menší než 180°. Pokud tedy těleso provede úplnou otáčku kolem této osy, během procesu rotace se několikrát vyrovná se svou původní polohou. Taková osa rotace se nazývá osa symetrie vyššího řádu a počet poloh těla, které se shodují s počáteční, se nazývá řád osy symetrie. Tato osa se nemusí shodovat s osou symetrie druhého řádu. Pravidelný trojúhelníkový jehlan tedy nemá osu symetrie druhého řádu, ale jeho výška mu slouží jako osa symetrie třetího řádu. Ve skutečnosti se tato pyramida po otočení kolem výšky pod úhlem 120° vyrovná sama se sebou (obr. 119).

Když se pyramida otáčí kolem výšky, může zaujímat tři pozice, které se shodují s tou původní, včetně té původní. Je snadné si všimnout, že každá osa symetrie sudého řádu je zároveň osou symetrie druhého řádu.

Příklady os symetrie vyššího řádu:

1) Správně n-uhlíková pyramida má osu symetrie n-tý řád. Tato osa je výška pyramidy.

2) Správně n- uhlíkový hranol má osu symetrie n-tý řád. Tato osa je přímka spojující středy základen hranolu.

Symetrie krychle.

Krychle má devět rovin symetrie: šest diagonálních rovin a tři roviny procházející středy každé čtyř jejích rovnoběžných hran.

Krychle má devět os symetrie druhého řádu: šest přímek spojujících středy jejích protilehlých hran a tři přímky spojující středy protilehlých ploch (obr. 120).

Tyto poslední přímky jsou osami symetrie čtvrtého řádu. Kostka má navíc čtyři osy symetrie třetího řádu, což jsou její úhlopříčky. Ve skutečnosti je úhlopříčka krychle AG (obr. 120) zjevně stejně nakloněna k hranám AB, AD a AE a tyto hrany jsou navzájem stejně nakloněny. Spojíme-li body B, D a E, dostaneme pravidelný trojúhelníkový jehlan ADBE, kterému jako výška slouží úhlopříčka krychle AG. Když se tato pyramida při otáčení kolem výšky zarovná sama se sebou, celá krychle se zarovná do své původní polohy. Jak je snadno vidět, krychle nemá žádné další osy symetrie. Podívejme se, kolika různými způsoby lze kostku se sebou kombinovat. Rotace kolem běžné osy symetrie dává jednu polohu krychle, odlišnou od původní, ve které je kostka jako celek zarovnána sama se sebou.

Rotace kolem osy třetího řádu vytváří dvě takové polohy a rotace kolem osy čtvrtého řádu vytváří tři takové polohy. Protože krychle má šest os druhého řádu (jedná se o běžné osy symetrie), čtyři osy třetího řádu a tři osy čtvrtého řádu, existuje 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 pozic krychle, odlišná od té původní, ve které je kombinována sama se sebou.

Je snadné přímo ověřit, že všechny tyto polohy se liší jedna od druhé a také od výchozí polohy krychle. Spolu s výchozí pozicí tvoří 24 způsobů spojení kostky se sebou samým.

Friedrich V.A. 1

Dementieva V.V. 1

1 Městský rozpočtový vzdělávací ústav „Střed všeobecná střední školač. 6", Alexandrovsk, Permská oblast

Text práce je vyvěšen bez obrázků a vzorců.
Plná verze práce je dostupná v záložce "Soubory práce" ve formátu PDF

Úvod

„Stojím před černou tabulí a kreslím na ni

křídou různé postavy,

Najednou mě napadla myšlenka:

Proč je symetrie příjemná pro oči?

Co je symetrie?

To je vrozený pocit, odpověděl jsem si."

L.N. Tolstoj

V učebnici matematiky 6. ročník, autor S. M. Nikolsky, na str. 132 - 133, oddíl Doplňkové úlohy ke kapitole č. 3, jsou úkoly pro studium obrazců v rovině symetrických vzhledem k přímce. Toto téma mě zaujalo, rozhodl jsem se úkoly splnit a nastudovat toto téma podrobněji.

Předmětem studia je symetrie.

Předmětem studia je symetrie jako základní zákon vesmíru.

Jakou hypotézu budu testovat:

Domnívám se, že osová symetrie není pouze matematický a geometrický pojem a používá se pouze k řešení relevantních problémů, ale je také základem harmonie, krásy, rovnováhy a stability. Princip symetrie se používá téměř ve všech vědách, v našem každodenním životě a je jedním ze „základních“ zákonů, na kterých je založen vesmír jako celek.

Relevance tématu

Pojem symetrie prochází celou staletou historií lidské tvořivosti. Nachází se již u počátků svého vývoje. V dnešní době je asi těžké najít člověka, který by neměl představu o symetrii. Svět, ve kterém žijeme, je naplněn symetrií domů, ulic, výtvorů přírody a člověka. Se symetrií se setkáváme doslova na každém kroku: v technice, umění, vědě.

Proto jsou znalosti a porozumění o symetrii ve světě kolem nás povinné a nezbytné, což se v budoucnu bude hodit při studiu dalších vědních oborů. To je relevance mnou zvoleného tématu.

Cíl a úkoly

Cíl práce: zjistit, jakou roli hraje symetrie v každodenním životě člověka, v přírodě, architektuře, každodenním životě, hudbě a dalších vědách.

Abych dosáhl svého cíle, musím splnit následující úkoly:

1. Najděte potřebné informace, literaturu a fotografie. Zjistěte si co největší množství údajů nezbytných pro mou práci s využitím zdrojů, které mám k dispozici: učebnic, encyklopedií nebo jiných médií relevantních k danému tématu.

2. Dávejte obecný koncept o symetrii, typech symetrie a historii vzniku termínu.

3. Chcete-li potvrdit svou hypotézu, vytvořte řemesla a proveďte experiment s těmito figurami, které mají symetrii a nejsou asymetrické.

4. Předveďte a prezentujte výsledky pozorování ve svém výzkumu.

Pro praktickou část výzkumná práce Musím udělat následující, pro které jsem vypracoval pracovní plán:

1. Vytvořte vlastníma rukama řemesla se stanovenými vlastnostmi - symetrické a nesymetrické modely, kompozice, pomocí barevného papíru, kartonu, nůžek, fixů, lepidla atd.;

2. Proveďte experiment s mými řemesly se dvěma možnostmi symetrie.

3. Zkoumejte, analyzujte a systematizujte výsledky získané sestavením tabulky.

4. Pro vizuální a zajímavé upevnění nabytých znalostí pomocí aplikace „Paint 3D“ vytvářejte pro názornost nákresy, stejně jako kreslete obrázky, s úkoly - dokreslit symetrickou polovinu (počínaje jednoduchými kresbami a konče složité) a zkombinujte je, čímž vznikne elektronická kniha.

Metody výzkumu:

1. Analýza článků a všech informací o symetrii.

2. Počítačové modelování (zpracování fotografií pomocí grafického editoru).

3. Zobecnění a systematizace získaných dat.

Hlavní část.

Osová symetrie a pojem dokonalosti

Od pradávna si člověk rozvíjel představy o kráse a snažil se pochopit význam dokonalosti. Všechny výtvory přírody jsou krásné. Lidé jsou svým způsobem krásní, zvířata a rostliny jsou úžasné. Pohled na drahý kámen nebo krystal soli potěší oko, je těžké neobdivovat sněhovou vločku nebo motýla. Ale proč se to děje? Zdá se nám, že vzhled předmětů je správný a úplný, jejichž pravá a levá polovina vypadají stejně.

O podstatě krásy se zřejmě jako první zamysleli lidé umění.

Tento koncept byl poprvé podložen umělci, filozofy a matematiky Starověké Řecko. Starověcí sochaři, kteří studovali strukturu Lidské tělo, ještě v 5. století před naším letopočtem. Začal se používat pojem „symetrie“. Toto slovo je řeckého původu a znamená harmonii, proporcionalitu a podobnost v uspořádání jednotlivých částí. Starověký řecký myslitel a filozof Platón tvrdil, že krásné může být pouze to, co je symetrické a přiměřené.

Tyto jevy a formy, které jsou proporcionální a úplné, skutečně „potěší oko“. Říkáme jim správné.

Typy symetrie

V geometrii a matematice se uvažují tři typy symetrie: osová symetrie (vzhledem k přímce), středová (vzhledem k bodu) a zrcadlová symetrie (vzhledem k rovině).

Osová symetrie jako matematický pojem

Body jsou symetrické vůči určité přímce (ose souměrnosti), pokud leží na přímce kolmé k této přímce a ve stejné vzdálenosti od osy souměrnosti.

Obrazec je považován za symetrický vzhledem k přímce, pokud se pro každý bod uvažovaného obrazce nachází na tomto obrazci také bod, který je pro něj symetrický vzhledem k dané přímce. Přímka je v tomto případě osou symetrie obrazce.

Obrazce, které jsou symetrické podle přímky, jsou stejné. Pokud je geometrický obrazec charakterizován osovou symetrií, lze definici zrcadlových bodů vizualizovat jednoduchým ohnutím podél osy a umístěním stejných polovin „tváří v tvář“. Požadované body se budou navzájem dotýkat.

Příklady osy symetrie: osa nerozvinutého úhlu rovnoramenného trojúhelníku, jakákoli přímka vedená středem kružnice atd. Pokud je geometrický obrazec charakterizován osovou symetrií, lze definici zrcadlových bodů vizualizovat jednoduchým ohnutím podél osy a umístěním stejných polovin „tváří v tvář“. Požadované body se budou navzájem dotýkat.

Obrázky mohou mít několik os symetrie:

· osou symetrie úhlu je přímka, na které leží jeho osa;

· osa souměrnosti kružnice a kružnice je libovolná přímka procházející jejich průměrem;

· rovnoramenný trojúhelník má jednu osu souměrnosti, rovnostranný trojúhelník má tři osy souměrnosti;

· obdélník má 2 osy symetrie, čtverec má 4 a kosočtverec má 2 osy symetrie.

Osa symetrie je pomyslná čára rozdělující objekt na symetrické části. Pro názornost je to znázorněno na mém nákresu.

Existují postavy, které nemají jedinou osu symetrie. Mezi takové obrázky patří rovnoběžník, odlišný od obdélníku a kosočtverce, a zmenšený trojúhelník.

Osová symetrie v přírodě

Příroda je moudrá a racionální, proto téměř všechny její výtvory mají harmonickou strukturu. To platí jak pro živé bytosti, tak pro neživé předměty.

Pečlivé pozorování ukazuje, že základem krásy mnoha forem vytvořených přírodou je symetrie. Listy, květy a plody mají výraznou symetrii. Jejich zrcadlová, radiální, středová, osová symetrie je zřejmá. Je to z velké části způsobeno fenoménem gravitace.

Geometrické tvary krystalů s jejich plochými povrchy jsou úžasným přírodním jevem. Skutečná fyzická symetrie krystalu se však v něm tolik neprojevuje vzhled, kolik krystalické látky je ve vnitřní struktuře.

Osová symetrie v říši zvířat

Symetrie ve světě živých bytostí se projevuje v pravidelném uspořádání identických částí těla vzhledem ke středu nebo ose. Osová symetrie je v přírodě běžnější. Určuje nejen celkovou stavbu organismu, ale i možnosti jeho následného vývoje. Každý živočišný druh má charakteristickou barvu. Pokud se ve zbarvení objeví vzor, ​​je zpravidla duplikován na obou stranách.

Osová souměrnost a člověk

Pokud se podíváte na jakéhokoli živého tvora, okamžitě vás upoutá symetrie stavby těla. Člověk: dvě ruce, dvě nohy, dvě oči, dvě uši a tak dále.

To znamená, že existuje určitá linie, podél které lze zvířata a lidi vizuálně „rozdělit“ na dvě stejné poloviny, to znamená, že jejich geometrická struktura je založena na osové symetrii.

Jak je vidět z výše uvedených příkladů, příroda nevytváří jakýkoli živý organismus chaoticky a nesmyslně, ale podle obecných zákonů světového řádu, protože nic ve Vesmíru nemá čistě estetický, dekorativní účel. To je způsobeno přirozenou nutností.

Samozřejmě, že příroda se jen zřídka vyznačuje matematickou přesností, ale podobnost prvků organismu je stále nápadná.

Symetrie v architektuře

Od starověku si architekti dobře uvědomovali matematické proporce a symetrii a používali je při stavbě architektonických struktur. Například architektura ruských pravoslavných kostelů a katedrál v Rusku: Kreml, katedrála Krista Spasitele v Moskvě, Kazaň a katedrála svatého Izáka v Petrohradě atd.

Stejně jako další světoznámé atrakce, z nichž mnohé jsou ve všech zemích světa, stále můžeme vidět: egyptské pyramidy, Louvre, Tádž Mahal, kolínskou katedrálu atd. Všechny, jak vidíme, mají symetrii.

Symetrie v hudbě

Studuji hudební školu a bylo pro mě zajímavé najít příklady symetrie v této oblasti. Nejen hudební nástroje mají zjevnou symetrii, ale také části hudební díla zní v určitém pořadí, v souladu s partiturou a skladatelovým záměrem.

Například repríza - (francouzská repríza, z reprendre - obnovit). Opakování tématu nebo skupiny témat po etapě jeho (jejich) rozpracování nebo představení nového tematického materiálu.

Také hudební princip rytmu spočívá v jednorozměrném opakování v čase ve stejných intervalech.

Symetrie v technologii

Žijeme v rychle se měnícím, high-tech, informační společnost a nepřemýšlíme o tom, proč některé předměty a jevy kolem nás probouzejí smysl pro krásu, zatímco jiné ne. Nevšímáme si jich, ani nepřemýšlíme o jejich vlastnostech.

Kromě toho však tato technická a mechanická zařízení, části, mechanismy, jednotky nebudou moci správně fungovat a fungovat vůbec, pokud nebude pozorována symetrie, nebo spíše určitá osa, v mechanice je to těžiště.

Rovnováha ve středu je v tomto případě povinná technický požadavek, jehož dodržování je přísně regulováno GOST nebo TU a musí být dodrženo.

Symetrie a vesmírné objekty

Ale možná nejzáhadnějšími objekty, které od pradávna znepokojovaly mysl mnoha lidí, jsou vesmírné objekty. Které mají také symetrii – slunce, měsíc, planety.

Tento řetězec může pokračovat, ale nyní mluvíme o něčem jediném: že osová symetrie je základním zákonem vesmíru, je základem krásy, harmonie a proporcionality a ve vztahu k matematice.

Praktická část

Po nalezení potřebných informací a prostudování literatury jsem se přesvědčil o správnosti své hypotézy a dospěl jsem k závěru, že v očích člověka je asymetrie nejčastěji spojena s nepravidelností nebo méněcenností. Proto lze ve většině výtvorů lidských rukou vysledovat symetrii a harmonii jako nezbytný a povinný požadavek.

To je jasně vidět na mé kresbě, která zobrazuje prase s nepřiměřenými částmi těla, což okamžitě upoutá pozornost!

A teprve až se na něj budete dívat trochu déle, budete ho považovat za roztomilého?

Přestože je toto téma známé a dobře prostudované, všechna tato data jsou v každé disciplíně posuzována samostatně. Nesetkal jsem se se zobecněnými údaji, že se používá princip symetrie a právě na něm je založena řada dalších věd a jejich vztah k matematice.

Proto jsem se rozhodl své tvrzení doložit pro mě nejjednodušší a nejdostupnější metodou. Domnívám se, že tímto řešením by bylo provést experiment s testy.

Abych jasně dokázal, že asymetrické modely nejsou stabilní, nemají potřebné požadavky a životně důležité dovednosti, a abych potvrdil svou hypotézu, musím vytvořit řemesla, kresby a kompozice:

Možnost 1 - symetrická kolem osy;

Možnost 2 - s jasným porušením symetrie.

Protože věřím, že taková nerovnováha bude jasně vidět na následujících příkladech, pro které jsem vytvořil origami řemesla (letadlo a žába) z barevného papíru. Pro čistotu experimentu byly vyrobeny ze stejného barevného papíru a byly testovány za stejných podmínek. A kompozice „Maják“, kde je maják prázdný plastová láhev, pokrytý barevným papírem. Ke zdobení kompozice jsem použila figurky lidí, modely plachetnice a člunu, ozdobné kameny a k napodobení světla jsem použila prvek na baterie, který svítí.

Provedl jsem testy s těmito řemesly, zaznamenal jsem všechny ukazatele a zadal je do tabulky (všechny ukazatele jsou k nahlédnutí v příloze č. 1, str. 18 - 21).

Všechna řemesla byla vyrobena v souladu s bezpečnostními předpisy (Příloha č. 2 str. 21)

Analyzoval jsem všechna přijatá data a došel jsem k tomuto.

Analýza přijatých dat

Pokus č. 1

zkušební- skok do dálky žab, měření této vzdálenosti.

Zelená žába (symetrická) skáče plynule, na větší vzdálenost, ale Červená (ne symetrická) nikdy neskočila rovně, vždy s otočením nebo překlopením do strany, vzdálenost 2-3x menší.

Můžeme tedy konstatovat, že takové zvíře nebude schopno rychle lovit nebo naopak utéct, efektivně získávat potravu, což snižuje šance na přežití, to dokazuje, že v přírodě je vše vyvážené, proporcionální, správné - symetrické .

Pokus č. 2

Typ testu- uvedení letadla do letu a měření vzdálenosti délky letu.

Letadlo č. 1 „růžové“ (symetrické) letí 10krát, 8krát hladce a rovně, na svou maximální délku (tj. na celou délku mého pokoje) a dráhu letu letounu č. 2 „oranžové“ (ne symetrické ) od 10x - nikdy neletěl rovně, vždy s otočkou nebo překlopením, na kratší vzdálenost. To znamená, že pokud by šlo o skutečné letadlo, nemohlo by plynule letět správným směrem. Takový let by byl velmi nepohodlný až nebezpečný pro lidi (stejně jako pro ptáky), auta a další vozidel pohyb, nemohl by jezdit, plavat atp. v požadovaném směru.

Pokus č. 3

Typ testu - kontrola stability budovy Mayak, když se úhel sklonu konstrukce vůči povrchu snižuje.

1. Po vytvoření kompozice „Mayak“ jsem ji nainstaloval rovně, tzn. kolmo (v úhlu 90 0) vzhledem ke stěnám konstrukce k povrchu. Tento design stojí vodorovně, odolává instalovanému světelnému prvku i lidské postavě.

2. Pro další provedení experimentu jsem potřeboval nakreslit základnu věže v úhlech rovných 10 0.

Poté jsem ze základny vyřízl úhel rovný 10 0.

V úhlu 80 0 stavba stojí nakřivo, houpe se, ale snese dodatečné zatížení.

3. Po odříznutí dalších 10 0 jsem získal úhel sklonu 70 0, při kterém se celá moje struktura zhroutí.

Tato zkušenost dokazuje, že historicky zavedená tradice stavění v pravém úhlu a zachování symetrie samotné budovy je nezbytnou podmínkou udržitelné, spolehlivé výstavby a provozu architektonických budov a staveb.

Pro jasný příklad osová symetrie a důkaz tvrzení, že člověk vnímá jakékoliv předměty kolem sebe, obrazy zvířat atp. pouze symetricky, tedy když jsou obě strany, „půlky“ stejné, stejné, jsem vytvořil elektronickou omalovánku, kterou lze vytisknout, tvořící dětskou omalovánku. Tato příručka pomůže všem, kteří chtějí lépe porozumět tématu, zajímavě a rádi strávit volný čas (Titulní strana na tomto obrázku, další obrázky jsou umístěny v příloze č. 3 str. 21 -24).

Experimenty, které jsem provedl, dokazují, že symetrie není jen matematický a geometrický pojem, ale je to sféra, prostředí našeho života, určitý technický požadavek a také nezbytná podmínka pro přežití obecně, a to jak pro lidi, tak pro zvířata. Symetrie to vše spojuje a jde daleko za hranice běžné vědy!

Závěr

Závěry:

Zjistil jsem, že symetrie je jednou z hlavních součástí každodenního života člověka, v domácnostech, architektuře, technice, přírodě, hudbě, vědě atd.

Výsledek:

Našel jsem potřebné informace, svou hypotézu dokázal, otestoval a experimentálně potvrdil. Vytvořil jsem řemesla, kompozice, kresby a elektronické omalovánky pro vizuální provedení experimentu.

Zjistil jsem, že všechny přírodní zákony – biologické, chemické, genetické, astronomické – souvisí se symetrií. Prakticky vše, co nás obklopuje, co je vytvořeno člověkem, podléhá principům symetrie společným nám všem, protože mají záviděníhodný systém. Rovnováha, identita jako princip má tedy univerzální rozsah.

Můžeme říci, že symetrie je základní zákon, na kterém jsou založeny základní zákony vědy? Možná ano.

Velcí myslitelé lidstva se snažili pochopit toto tajemství. I my jsme dnes ponořeni do řešení této záhady.

Jeden ze slavných matematiků Hermann Weil napsal, že „symetrie je myšlenka, jejímž prostřednictvím se člověk po staletí snažil pochopit a vytvořit řád, krásu a dokonalost“.

Možná jsme našli tajemství vytváření krásy, dokonalosti nebo dokonce vytváření základních zákonů vesmíru? Možná je to symetrie?

Aplikace

Příloha č. 1 Testovací tabulka:

Příloha č. 2

Při výrobě mých řemesel byla dodržena bezpečnostní opatření, a to:

Nůžky nebo nůž musí být dobře nabroušené a seřízené.

Musí být uložen na konkrétním a bezpečném místě nebo krabici.

Při používání nůžek (nožů) se nemůžete rozptylovat, je potřeba být maximálně pozorný a disciplinovaný.

Při předávání nůžek (nožů) je držte za zavřené čepele (ostří).

Umístěte nůžky (nůž) vpravo se zavřenými čepelemi (ostří) směřujícími od vás.

Při stříhání by měla být úzká čepel nůžek (špička nože) dole.

Po použití lepidla si umyjte ruce.

Příloha č. 3

Elektronická omalovánka

Symetrie-

To znamená, že jedna část objektu je podobná jiné.

Osová souměrnost je souměrnost kolem přímky (přímky).

Osa symetrie je pomyslná čára rozdělující objekt na symetrické části. Pro názornost je to znázorněno na obrázcích.

V této knize musíte dokreslit kresby spojováním teček.

Pak můžete vybarvit, co máte.

Pokuste se dokončit tyto výkresy:

srdce

Trojúhelník Dům

Hvězdný list

Myš vánoční strom

PesZámek

NA Kromě osové souměrnosti existuje také symetrie kolem bodu.

Tato koule je symetrická

A dalším typem symetrie je zrcadlová symetrie.

Zrcadlová symetrie -

to je symetrie kolem roviny. Například ohledně zrcadla.

Symetrie je -

Použité knihy

2. Herman Weyl „Symmetry“ (Nakladatelství „Nauka“, hlavní redakce fyzikální a matematické literatury, Moskva 1968)

4. Moje kresby a fotografie.

5. Příručka strojírenství, svazek 1, (Státní vědecké a technické nakladatelství strojírenské literatury, Moskva 1960)

6. Fotografie a kresby z internetu.

cíle:

• vzdělávací:
  • dát představu o symetrii;
  • představit hlavní typy symetrie v rovině a v prostoru;
  • rozvíjet silné dovednosti v konstrukci symetrických postav;
  • rozšířit své chápání slavných postav představením vlastností spojených se symetrií;
  • ukázat možnosti využití symetrie při řešení různých problémů;
  • upevnit získané znalosti;
• obecné vzdělání:
  • naučit se, jak se připravit na práci;
  • naučit, jak ovládat sebe a svého souseda na stole;
  • naučit se hodnotit sebe a svého souseda na stole;
• rozvíjející se:
  • zintenzivnit samostatnou činnost;
  • rozvíjet kognitivní činnost;
  • naučit se shrnout a systematizovat obdržené informace;
• vzdělávací:
  • rozvíjet u studentů „smysl ramene“;
  • kultivovat komunikační dovednosti;
  • vštípit kulturu komunikace.

BĚHEM lekcí

Před každou osobou jsou nůžky a list papíru.

Cvičení 1(3 min).

- Vezmeme list papíru, složíme ho na kousky a vystřihneme nějakou postavu. Nyní list rozložíme a podíváme se na linii ohybu.

Otázka: Jakou funkci má tento řádek?

Navrhovaná odpověď: Tato čára rozděluje postavu na polovinu.

Otázka: Jak jsou všechny body obrázku umístěny na dvou výsledných polovinách?

Navrhovaná odpověď: Všechny body polovin jsou ve stejné vzdálenosti od linie ohybu a na stejné úrovni.

– To znamená, že čára přehybu rozdělí postavu na polovinu tak, že 1 polovina je kopií 2 polovin, tzn. tato přímka není jednoduchá, má pozoruhodnou vlastnost (všechny body vůči ní jsou ve stejné vzdálenosti), tato přímka je osou symetrie.

Úkol 2 (2 minuty).

– Vystřihni sněhovou vločku, najdi osu symetrie, charakterizuj ji.

Úkol 3 (5 minut).

– Nakreslete si do sešitu kruh.

Otázka: Určete, jak probíhá osa souměrnosti?

Navrhovaná odpověď: Jinak.

Otázka: Kolik os symetrie má tedy kruh?

Navrhovaná odpověď: Hodně.

– To je pravda, kruh má mnoho os symetrie. Neméně pozoruhodnou postavou je míč (prostorová postava)

Otázka: Které další obrazce mají více než jednu osu symetrie?

Navrhovaná odpověď:Čtverec, obdélník, rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník.

– Zvažte trojrozměrné obrazce: krychle, pyramidy, kužel, válec atd. Tyto obrazce mají také osu symetrie Určete, kolik os symetrie má čtverec, obdélník, rovnostranný trojúhelník a navrhované trojrozměrné obrazce?

Žákům rozdávám půlky figurek z plastelíny.

Úkol 4 (3 min).

– Pomocí obdržených informací doplňte chybějící část obrázku.

Poznámka: obrazec může být rovinný i trojrozměrný. Je důležité, aby žáci určili, jak probíhá osa symetrie, a doplnili chybějící prvek. Správnost práce zjišťuje soused u stolu a hodnotí, jak správně byla práce provedena.

Čára (uzavřená, otevřená, s vlastním průnikem, bez vlastního průniku) je vyložena z krajky stejné barvy na ploše.

Úkol 5 (skupinová práce 5 minut).

– Vizuálně určete osu symetrie a relativně k ní doplňte druhou část z krajky jiné barvy.

Správnost provedených prací si studenti určují sami.

Studentům jsou prezentovány prvky výkresů

Úkol 6 (2 minuty).

– Najděte symetrické části těchto výkresů.

Pro upevnění probrané látky navrhuji následující úkoly, naplánované na 15 minut:

Pojmenujte všechny stejné prvky trojúhelníku KOR a KOM. O jaké typy trojúhelníků se jedná?

2. Nakreslete si do sešitu několik rovnoramenných trojúhelníků se společnou základnou 6 cm.

3. Nakreslete segment AB. Sestrojte úsečku AB kolmou a procházející jejím středem. Označte na něm body C a D tak, aby čtyřúhelník ACBD byl symetrický vzhledem k přímce AB.

– Naše prvotní představy o formě se datují do velmi vzdálené doby starověké doby kamenné – paleolitu. Po statisíce let tohoto období žili lidé v jeskyních, v podmínkách málo odlišných od života zvířat. Lidé vyráběli nástroje pro lov a rybaření, vyvinuli jazyk, pomocí kterého se mohli mezi sebou dorozumět, a během pozdního paleolitu vyšperkovali svou existenci vytvářením uměleckých děl, figurek a kreseb, které odhalují pozoruhodný smysl pro tvar.
Když došlo k přechodu od prostého sběru potravy k její aktivní výrobě, od lovu a rybolovu k zemědělství, lidstvo vstoupilo do nové doby kamenné, do neolitu.
Neolitický člověk měl bystrý smysl pro geometrické tvary. Vypalování a malování hliněných nádob, výroba rákosových rohoží, košíků, látek a později zpracování kovů rozvíjelo představy o rovinných a prostorových postavách. Neolitické ozdoby lahodily oku, prozrazovaly rovnost a symetrii.
– Kde se v přírodě vyskytuje symetrie?

Navrhovaná odpověď: křídla motýlů, brouků, listí stromů...

– Symetrie lze pozorovat i v architektuře. Při stavbě budov stavitelé přísně dodržují symetrii.

Proto jsou budovy tak krásné. Příkladem symetrie jsou také lidé a zvířata.

Domácí práce:

1. Vymyslete si vlastní ornament, nakreslete ho na list A4 (můžete ho nakreslit ve formě koberce).
2. Nakreslete motýly, poznamenejte si, kde jsou přítomny prvky symetrie.

Životy lidí jsou plné symetrie. Je to pohodlné, krásné a není třeba vymýšlet nové standardy. Ale co to vlastně je a je to v přírodě tak krásné, jak se běžně věří?

Symetrie

Od pradávna se lidé snažili uspořádat svět kolem sebe. Proto jsou některé věci považovány za krásné a některé ne tolik. Z estetického hlediska je zlatý a stříbrný poměr považován za atraktivní, stejně jako samozřejmě symetrie. Tento výraz je řeckého původu a doslova znamená „proporcionalita“. Samozřejmě se nebavíme jen o náhodě na tomto základě, ale i o některých dalších. V obecném smyslu je symetrie vlastností objektu, kdy se v důsledku určitých útvarů výsledek rovná původním datům. Nachází se v živé i neživé přírodě, stejně jako v předmětech vyrobených člověkem.

Za prvé, termín "symetrie" se používá v geometrii, ale nachází uplatnění v mnoha vědních oborech a jeho význam zůstává obecně nezměněn. Tento jev se vyskytuje poměrně často a je považován za zajímavý, protože několik jeho typů a prvků se liší. Zajímavé je i využití symetrie, protože ji najdeme nejen v přírodě, ale také ve vzorech na látkách, okrajích budov a mnoha dalších umělých předmětech. Stojí za to zvážit tento fenomén podrobněji, protože je nesmírně fascinující.

Použití termínu v jiných vědních oborech

V dalším bude symetrie uvažována z pohledu geometrie, ale stojí za zmínku, že toto slovo se používá nejen zde. Biologie, virologie, chemie, fyzika, krystalografie – to vše je neúplný výčet oblastí, ve kterých je tento fenomén studován z různých úhlů pohledu a za různých podmínek. Klasifikace například závisí na tom, k jaké vědě se tento termín vztahuje. Rozdělení do typů se tedy velmi liší, i když některé základní možná zůstávají nezměněny.

Klasifikace

Existuje několik hlavních typů symetrie, z nichž tři jsou nejběžnější:

Kromě toho se v geometrii rozlišují také následující typy; jsou mnohem méně běžné, ale neméně zajímavé:

• posuvné;
• rotační;
• směřovat;
• progresivní;
• šroub;
• fraktál;
• atd.

V biologii se všechny druhy nazývají mírně odlišně, i když v podstatě mohou být stejné. K rozdělení do určitých skupin dochází na základě přítomnosti nebo nepřítomnosti, stejně jako množství určitých prvků, jako jsou středy, roviny a osy symetrie. Je třeba je posuzovat samostatně a podrobněji.

Základní prvky

Jev má určité rysy, z nichž jeden je nutně přítomen. Mezi tzv. základní prvky patří roviny, středy a osy souměrnosti. V souladu s jejich přítomností, nepřítomností a množstvím se určuje typ.

Střed symetrie je bod uvnitř obrazce nebo krystalu, ve kterém se sbíhají čáry spojující ve dvojicích všechny strany navzájem rovnoběžné. Samozřejmě ne vždy existuje. Pokud existují strany, ke kterým neexistuje žádná rovnoběžná dvojice, pak takový bod nelze najít, protože neexistuje. Podle definice je zřejmé, že střed symetrie je ten, kterým se na sebe může odrážet postava. Příkladem může být například kruh a bod v jeho středu. Tento prvek je obvykle označován jako C.

Rovina symetrie je samozřejmě imaginární, ale je to právě ona, která rozděluje postavu na dvě části stejné. Může procházet jednou nebo více stranami, být s ní rovnoběžné nebo je rozdělovat. U stejného obrázku může existovat několik rovin najednou. Tyto prvky jsou obvykle označovány jako P.

Ale možná nejběžnější je to, čemu se říká „osa symetrie“. Jde o běžný jev, který lze vidět jak v geometrii, tak v přírodě. A to si zaslouží samostatnou úvahu.

Nápravy

Často prvek, ve vztahu k němuž lze postavu nazvat symetrickou, je

Příklady zahrnují rovnoramenné a V prvním případě bude vertikální osa symetrie, na jejíchž obou stranách jsou stejné plochy, a ve druhém budou přímky protínat každý úhel a shodovat se se všemi osami, mediány a výškami. Obyčejné trojúhelníky toto nemají.

Mimochodem, souhrn všech výše uvedených prvků v krystalografii a stereometrii se nazývá stupeň symetrie. Tento ukazatel závisí na počtu os, rovin a středů.

Příklady v geometrii

Obvykle můžeme celou sadu předmětů studia matematiků rozdělit na figury, které mají osu symetrie, a ty, které ji nemají. Všechny kruhy, ovály, stejně jako některé speciální případy automaticky spadají do první kategorie, zatímco zbytek spadá do druhé skupiny.

Stejně jako v případě, kdy jsme hovořili o ose souměrnosti trojúhelníku, tento prvek pro čtyřúhelník vždy neexistuje. Pro čtverec, obdélník, kosočtverec nebo rovnoběžník to tak je, ale pro nepravidelný obrazec tomu tak není. U kruhu je osou symetrie množina přímek, které procházejí jeho středem.

Kromě toho je zajímavé uvažovat o trojrozměrných obrazcích z tohoto hlediska. Kromě všech pravidelných mnohoúhelníků a koule budou mít některé kužely, stejně jako jehlany, rovnoběžníky a některé další, alespoň jednu osu symetrie. Každý případ je třeba posuzovat samostatně.

Příklady v přírodě

V životě se nazývá bilaterální, vyskytuje se nejvíce
často. Každý člověk a mnoho zvířat jsou toho příkladem. Axiální se nazývá radiální a ve světě rostlin se zpravidla vyskytuje mnohem méně často. A přesto existují. Například stojí za to přemýšlet o tom, kolik os symetrie má hvězda a má vůbec nějakou? Samozřejmě, mluvíme o mořských tvorů, a ne o předmětu studia astronomů. A správná odpověď by byla: záleží na počtu paprsků hvězdy, například pěti, je-li pěticípá.

Kromě toho je u mnoha květin pozorována radiální symetrie: sedmikrásky, chrpy, slunečnice atd. Příkladů je obrovské množství, jsou doslova všude kolem.

Arytmie

Tento termín v první řadě připomíná medicínu a kardiologii, ale zpočátku má trochu jiný význam. V tomto případě bude synonymem „asymetrie“, tedy absence nebo porušení pravidelnosti v té či oné formě. Může se objevit jako náhoda a někdy se může stát báječnou technikou, například v oděvu nebo architektuře. Koneckonců, symetrických budov je spousta, ale ta slavná je mírně nakloněná, a přestože není jediná, jde o nejznámější příklad. Je známo, že se to stalo náhodou, ale má to své kouzlo.

Navíc je zřejmé, že ani tváře a těla lidí a zvířat nejsou zcela symetrické. Existují dokonce studie, které ukazují, že „správné“ tváře jsou považovány za neživé nebo jednoduše neatraktivní. Přesto je vnímání symetrie a tento jev sám o sobě úžasný a ještě nebyl plně prozkoumán, a proto je nesmírně zajímavý.

TROJÚHELNÍKY.

§ 17. SYMETRIE VZHLEDEM K PRAVÉ ROVNĚ.

1. Obrazce, které jsou navzájem symetrické.

Nakreslete nějakou postavu na list papíru inkoustem a tužkou mimo něj - libovolnou rovnou čáru. Poté, aniž bychom nechali inkoust zaschnout, ohýbáme list papíru podél této přímky tak, aby jedna část listu překrývala druhou. Tato druhá část listu tak vytvoří otisk tohoto obrázku.

Pokud pak list papíru znovu narovnáte, budou na něm dvě postavy, které se nazývají symetrický vzhledem k dané čáře (obr. 128).

Dvě postavy se nazývají symetrické vzhledem k určité přímce, pokud jsou při ohýbání kreslicí roviny podél této přímky zarovnány.

Přímka, vzhledem k níž jsou tyto obrazce symetrické, se nazývá jejich osa symetrie.

Z definice symetrických obrazců vyplývá, že všechny symetrické obrazce jsou si rovny.

Symetrické obrazce můžete získat bez použití ohýbání roviny, ale pomocí geometrické konstrukce. Nechť je třeba sestrojit bod C" symetrický k danému bodu C vzhledem k přímce AB. Pusťme kolmici z bodu C
CD na přímku AB a jako její pokračování položíme úsečku DC" = DC. Ohneme-li kreslicí rovinu podél AB, pak se bod C zarovná s bodem C": body C a C" jsou symetrické (obr. 129 ).

Předpokládejme, že nyní potřebujeme sestrojit segment C "D", symetrický k danému segmentu CD vzhledem k přímce AB. Sestrojme body C" a D", symetrické k bodům C a D. Pokud ohneme kreslicí rovinu podél AB, pak se body C a D shodují s body C" a D" (Výkres 130). CD a C "D" se budou shodovat, budou symetrické.

Sestrojme nyní obrazec souměrný k danému mnohoúhelníku ABCDE vzhledem k dané ose symetrie MN (obr. 131).

Abychom tento problém vyřešili, pustíme kolmice A A, V b, S S, D d a E E k ose symetrie MN. Poté na prodloužení těchto kolmiček vyneseme úsečky
A A" = A A, b B" = B b, S C" = Cs; d D"" =D d A E E" = E E.

Mnohoúhelník A"B"C"D"E" bude symetrický k mnohoúhelníku ABCDE. Pokud kresbu ohnete podél přímky MN, pak se odpovídající vrcholy obou mnohoúhelníků zarovnají, a proto se zarovnají i samotné mnohoúhelníky to dokazuje, že polygony ABCDE a A" B"C"D"E" jsou symetrické kolem přímky MN.

2. Figury sestávající ze symetrických částí.

Často nalezené geometrické obrazce, které jsou rozděleny nějakou přímkou ​​na dvě symetrické části. Takové postavy se nazývají symetrický.

Například úhel je symetrický obrazec a osou úhlu je jeho osa symetrie, protože při ohnutí podél ní je jedna část úhlu kombinována s druhou (obr. 132).

V kruhu je osou symetrie jeho průměr, protože při ohýbání podél ní je jeden půlkruh kombinován s druhým (obr. 133). Obrázky na výkresech 134, a, b jsou přesně symetrické.

Symetrické postavy se často vyskytují v přírodě, stavebnictví a špercích. Obrázky umístěné na výkresech 135 a 136 jsou symetrické.

Je třeba poznamenat, že symetrické obrazce lze kombinovat pouhým pohybem po rovině pouze v některých případech. Chcete-li kombinovat symetrické postavy, je zpravidla nutné jednu z nich otočit opačnou stranou,