Známky existence extrému funkce. Zvyšující a klesající funkce na intervalu, extrémy

Teorém 12. (První dostatečný příznak extrému) Nechat X 0 - kritický bod spojité funkce f(x). Pokud f" (X) při průchodu bodem x 0 změní znaménko z „+“ na „-“, poté x 0 - bod lokálního maxima. Pokud f" (X) při průjezdu bodem X 0 poté změní znaménko z „-“ na „+“. X 0 - místní minimální bod. Pokud f" (X) při průchodu bodem x 0 nemění znaménko, pak x 0 není lokální extrém.

Důkaz. Nechť x 0 je bod možného extrému funkce a

f "(x)>0 pro xx EU(X 0 ,Delta);

f "(x) x 0, A XEU(X 0 ,Delta). Pak

s f "(x)>0 pro xx EU(X 0 ,Delta);=> f( X 0 )>f(x),

Když f "(x) x 0, A XEU(X 0 ,Delta).=> f( X 0 )
proto A XEU(X 0 ,Delta):F(X 0 )> F(X), tj. bod X 0 je místní maximální bod.

Existence bodu lokálního minima se dokazuje podobným způsobem. Li F `(X) zachovává znaménko v okolí bodu x 0, pak v tomto okolí je funkce monotónní, tedy bod X 0 není lokálním extrémem.

anotace
Tato práce má několik cílů. Prvním z nich je představit nový přístup k platónským tělesům (PS), druhým neméně důležitým cílem je poukázat na roli platónských těles v kontextu rozvoje matematiky a vědy obecně.

Platonická tělesa jsou posuzována i z obecnějších pozic - jejich symetrie, souvislost se „zlatým řezem“, jejich vliv na rozvoj matematiky a všech teoretických přírodních věd. Diskutovány jsou výsledky jejich využití ve vědě minulých staletí („Božská proporce“ od Pacioliho, „Kosmický pohár“ od Keplera, „ikosaedrická myšlenka“ od Kleina). Příklady moderního vědecké objevy, na bázi PT (kvazikrystaly, fullereny, nový přístup k tvorbě teorie elementárních částic).

Pozornost je věnována také roli platónských těles při vytváření Euklidových prvků. Podle „hypotézy Proclus“ se vývoj matematiky, počínaje Euklidem, ubíral dvěma směry: „klasická matematika“ (vypůjčená z „Principů“ axiomatický přístup, teorie čísel a teorie iracionality) a „matematika“. harmonie“ (na základě PT a „zlatého řezu“).

Na základě provedené práce je vyvozen závěr: z hlediska jejich vlivu na rozvoj matematiky a vědy obecně lze platónská tělesa spolu se „zlatým řezem“ postavit na roveň nejen Pythagorově větě. (Kepler), ale také s přirozenými a iracionálními čísly.
Obsah :

1. 
   Platonická tělesa
2. 
   Symetrie platónských těles
3. 
   Spojení mezi platónskými tělesy a „zlatým řezem“
4. 
   Proklova hypotéza: za jakým účelem Euklides napsal své Elementy?
5. 
   Nový pohled na vývoj matematiky vyplývající z hypotézy Proclus
6. 
   "Kosmický pohár" od Johannese Keplera
7. 
   Platonická tělesa a „zlatý řez“ v „The Divine Proportion“ od Lucy Pacioliho
8. 
   Ikosahedrický nápad Felixe Kleina
9. 
   Kvazikrystaly od Dana Shekhtmana
10. 
    Fullereny (Nobelova cena za chemii - 1996)
11. 
    Nové přístupy v teorii elementárních částic
12. 
    Experimentální důkaz projevu „zlatého řezu“ v kvantovém světě
13. 
    Překvapení pro teoretické přírodní vědy
14. 
    Závěr: Platónská tělesa jako jedinečné geometrické objekty vědy a přírody
15. 
    Literatura

jejich postup byl pomalý , a aplikace jsou omezené .

Ale když tyto vědy spojily své síly , Ony

vypůjčili si od sebe novou vitalitu

a od té doby jsme udělali rychlé kroky k dokonalosti

( Joseph Louis Lagrange )

1. Platonická tělesa

Pravidelné mnohostěny jsou známy již od starověku. Proč se ale pravidelné mnohostěny nazývají platónská tělesa?

Platón (428-348 př. n. l.) ve svých dílech věnoval velkou pozornost názorům Pythagorejců na pravidelná tělesa, neboť sám věřil, že celý vesmír má tvar dvanáctistěnu a hmota se skládá ze čtyř druhů atomů, které mají tvar čtyřstěnů, krychlí, osmistěnů a dvacetistěnů. Jako první zpíval o kráse pravidelných konvexních mnohostěnů, které mají úžasnou symetrii v trojrozměrném prostoru. Tváře těchto mnohostěnů jsou pravidelné polygony se stejným počtem stran; v každém horní mnohostěny mají stejný počet hran se sbíhají. Je pozoruhodné, že všech pět platónských těles bylo použito jako kostky v různých časech .

^ Theaetetus z Athén (417 - 369 před naším letopočtem E.), současník Platóna, podal matematický popis pravidelných mnohostěnů a první známý důkaz, že jich je přesně pět.

Po nich se taktovky ujal Euclid (365-300 př. n. l.). V závěrečné knize slavných Prvků podal Euklides nejen úplnou, podrobnou analýzu platónských těles, ale také nejjednodušší geometrický důkaz existence ne více než pěti pravidelných těles.

Mnoho knih je věnováno teorii mnohostěnů. Jednou z nejznámějších je kniha anglického matematika M. Wennigera „Models of Polyhedra“. Tato kniha byla vydána v ruském překladu nakladatelstvím Mir v roce 1974. Epigraf ke knize je výrok Bertranda Russella: « Matematika má víc než jen pravdu , ale také velká krása – krása nabroušená a přísná , vznešeně čisté a usilující o skutečnou dokonalost , který je charakteristický jen pro největší ukázky umění ».

Tuto myšlenku Bertranda Russella lze především připsat pravidelným mnohostěnům, kterými začíná kniha M. Wennigera. Tyto mnohostěny se běžně nazývají platónská tělesa. , pojmenovaný po starověkém řeckém filozofovi Platónovi, který ve své kosmologii používal pravidelné mnohostěny . Začněme naše úvahy pravidelnými mnohostěny, jejichž plochami jsou rovnostranné trojúhelníky .

První z nich je čtyřstěn (obr. 1-a). V čtyřstěnu se v jednom vrcholu setkávají tři rovnostranné trojúhelníky; zároveň jejich základny tvoří nový rovnostranný trojúhelník. Čtyřstěn má nejmenší počet ploch mezi platónskými tělesy a je trojrozměrným analogem plochého pravidelného trojúhelníku, který má nejmenší počet stran mezi pravidelnými mnohoúhelníky.

(A)

(d) (e)

Výkres 1. Platónská tělesa: (a) čtyřstěn („Oheň“), (b) šestistěn nebo krychle („Země“), (c) osmistěn („Vzduch“), (d) dvacetistěn („Voda“), (e) dvanáctistěn ( "Univerzální mysl")

Další těleso, které je tvořeno rovnostrannými trojúhelníky, se nazývá osmistěn (obr. 1-b). V osmistěnu se čtyři trojúhelníky setkávají v jednom vrcholu; výsledkem je pyramida se čtyřhrannou základnou. Spojíte-li dvě takové pyramidy s jejich základnami, získáte symetrické těleso s osmi trojúhelníkovými plochami - osmistěn.

Nyní můžete zkusit spojit pět rovnostranných trojúhelníků v jednom bodě. Výsledkem bude obrazec s 20 trojúhelníkovými plochami - dvacetistěn (obr. 1-d). další správná forma mnohoúhelník - čtverec . Spojíme-li v jednom bodě tři čtverce a pak přidáme další tři, dostaneme dokonalý tvar se šesti stranami, zvaný šestistěn nebo krychle (obr. 1-c).

Konečně existuje další možnost konstrukce pravidelného mnohostěnu, založená na použití následujícího pravidelného mnohoúhelníku -

Pentagon. Nasbíráme-li 12 pětiúhelníků tak, že se v každém bodě setkají tři pětiúhelníky, dostaneme další platónské těleso, nazývané dvanáctistěn (obr. 1-d).

Dalším pravidelným mnohoúhelníkem je šestiúhelník. Pokud však spojíme tři šestiúhelníky v jednom bodě, dostaneme rovinu, to znamená, že z šestiúhelníků nelze sestavit trojrozměrný obrazec. Jakékoli jiné pravidelné mnohoúhelníky nad šestiúhelníkem nemohou tvořit tělesa vůbec. Z těchto úvah vyplývá, že existuje pouze pět pravidelných mnohostěnů, jejichž plochami mohou být pouze rovnostranné trojúhelníky, čtverce a pětiúhelníky.

2. Symetrie platónských těles

Od starověku přitahovala platónská tělesa pozornost badatelů svými výjimečnými symetrickými vlastnostmi. Obvykle se pro charakterizaci symetrie určitého objektu uvádí úplná sada prvků symetrie. Například skupina symetrie sněhové vločky má tvar L 6 6P . To znamená, že sněhová vločka má jednu osu symetrie šestého řádu L 6, to znamená, že se může „samovyrovnat“ 6krát při otáčení kolem osy a 6 rovin symetrie. Skupina symetrií květu heřmánku s 24 okvětními lístky vypadá L 24 24Р , to znamená, že květina má jednu osu 24. řádu a 24 rovin symetrie. Tabulka 1 ukazuje skupiny symetrie všech „platónských těles“.

Stůl 1. Grupy symetrie platónských těles

^ 3. Spojení mezi platónskými tělesy a « Zlatý řez ».

Analýza platónských těles na Obr. 1 ukazuje, že dvě platónská tělesa - dvanáctistěn a jeho duální dvacetistěn přímo souvisí se „zlatým poměrem“. Ve skutečnosti jsou plochy dvanáctistěnu (obr. 1-e) pětiúhelníky, tj. pravidelné pětiúhelníky založené na zlatém řezu. Když se pozorně podíváte na dvacetistěn (obr. 1-d), uvidíte, že v každém vrcholu dvacetistěnu se stýká pět trojúhelníků, jejichž vnější strany tvoří pětiúhelník. Tato fakta sama o sobě nás přesvědčí, že „zlatý řez“ hraje významnou roli při návrhu těchto dvou platónských těles.

Existují však hlubší matematické důkazy pro zásadní roli, kterou hraje zlatý řez v dvacetistěnu a dvanáctistěnu. Je známo, že tato tělesa mají tři specifické sféry. První (vnitřní) koule je vepsána do těla a dotýká se jeho tváří. Označme poloměr této vnitřní koule pomocí R i. Druhá neboli střední koule se dotýká jejích žeber. Označme poloměr této koule pomocí R m . Nakonec je třetí (vnější) koule popsána kolem tělesa a prochází jeho vrcholy. Označme jeho poloměr pomocí R C . V geometrii bylo prokázáno, že hodnoty poloměrů uvedených koulí pro dvanáctistěn a dvacetistěn,

mající hranu o jednotkové délce, je vyjádřena zlatým řezem:
(Tabulka 2).

Stůl 2. Zlatý řez ve sférách dvanáctistěnu a dvacetistěnu

Všimněte si, že poměr poloměrů stejné pro dvacetistěn i

pro dvanáctistěn. Pokud tedy dvanáctistěn a dvacetistěn mají totožné vepsané koule, pak jsou jejich opsané koule také stejné. Důkaz tohoto matematického výsledku je uveden v Euklidových prvcích.

V geometrii jsou známy další vztahy pro dvanáctistěn a dvacetistěn, což potvrzuje jejich spojení se zlatým podílem. Existuje tedy obrovské množství poměrů získaných starověkými matematiky, potvrzujících pozoruhodnou skutečnost, že právě zlatý řez je hlavním podílem dvanáctistěnu a dvacetistěnu, a tento fakt je zajímavý zejména z pohledu tzv. volal « dvanáctistěn - dvacetistěnná doktrína » .

Nezbytný znak extrému lze formulovat takto: pokud bod M(x 0, y 0) je lokální extrémní bod diferencovatelné funkce z = f(X, y), pak gradientový vektor této funkce v tomto bodě bude nulový vektor, tzn. .

Nazývají se body, ve kterých jsou parciální derivace prvního řádu funkce dvou proměnných rovny nule stacionární body.

K formulaci dostatečného kritéria pro extrém funkce dvou proměnných potřebujeme matici diferenciálu druhého řádu této funkce, zapsanou ve formě kvadratického tvaru:

A také determinant této matice, do kterého lze zapisovat následující formulář:

Dostatečný znak extrému

Komentář. Pokud ve stacionárním bodě M: Δ = AB – C 2= 0, pak je přítomnost extrému možná, ale to vyžaduje další výzkum.

PŘÍKLAD: Najděte extrémy funkce

Vypočítejme parciální derivace prvního a druhého řádu této funkce:

Abychom našli stacionární body, srovnáme parciální derivace prvního řádu s nulou a získáme soustavu rovnic:

nebo:

Řešením tohoto systému získáme dva stacionární body M(0, 0) a N(1, 1/2).

Abychom určili přítomnost extrémů a jejich znaků v těchto bodech, vypočítáme hodnoty parciálních derivací druhého řádu postupně v každém bodě.

Pro stacionární bod M(0, 0) dostaneme:

Protože: Δ = AB – C 2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстре­му­ма нет.

Pro stacionární bod N(1, 1/2) dostaneme:

Protože Δ = AB – C 2= 108 > 0 a A= 6 > 0, dojdeme k závěru, že v tomto stacionárním bodě bude lokální minimum této funkce. Navíc hodnota funkce v minimálním bodě bude rovna 0.

Metoda nejmenších čtverců

V praktických aplikacích, včetně ekonomických, často vyvstává problém vyhlazení některých experimentálně získaných závislostí. To znamená, že úkolem je co nejpřesněji odrážet obecný trend závislosti y z X s vyloučením náhodných odchylek od tohoto obecného trendu v důsledku nevyhnutelných chyb v experimentálních nebo statistických datech. Taková vyhlazená závislost se obvykle hledá ve formě vzorce. V tomto případě se vzorce používané pro analytickou reprezentaci závislostí experimentálních nebo experimentálních dat obvykle nazývají empirický.

Úkol najít vhodný empirický vzorec je obvykle rozdělen do dvou hlavních etap. V první fázi zakládají nebo vybírají, obecná forma taková závislost y = f(X), tj. rozhodnout, zda je tato závislost lineární, kvadratická, exponenciální, logaritmická atd. Při takové volbě jsou často zahrnuty další úvahy, obvykle nematematické povahy. Ve druhé fázi jsou neznámé parametry vybrané empirické funkce nalezeny pouze pomocí pole experimentálně získaných dat.

Podle nejběžnějších a teoreticky podložených metoda nejmenších čtverců jako neznámé parametry empirické funkce F(X) zvolte takové hodnoty, aby součet druhých mocnin „zbytků“ δ i (odchylky „teoretických“ hodnot funkce od experimentálně získaných hodnot) byl minimální, tj.:

kde a jsou experimentální data a n– celkový počet párů těchto údajů.

Podívejme se na nejjednodušší problém tohoto druhu. Nechť je jako empirická funkce zvolena lineární funkce, tzn. (obr. 22), a je nutné takové hodnoty parametrů najít A A b, který bude poskytovat minimum funkcí: .

Je zřejmé, že funkce bude funkcí dvou proměnných A A b dokud nebudou nalezeny a opraveny jejich „nejlepší“ hodnoty, protože vše jsou konstantní čísla zjištěná experimentálně. Proto, abychom našli parametry přímky, které nejlépe odpovídají experimentálním datům, stačí vyřešit soustavu rovnic:

Po příslušných výpočtech derivací a transformací identity lze tento systém znázornit ve formě soustavy normálních rovnic :

Tento systém lineární rovnice má unikátní řešení, které lze nalézt pomocí Cramerova pravidla:

;

Nejlepší lineární aproximací experimentální závislosti pomocí metody nejmenších čtverců bude tedy přímka.

PŘÍKLAD: Vztah mezi ziskem podniku Y a náklady na dlouhodobý majetek X, vyjádřený v konvenčních jednotkách, je dán tabulkou.

Pro objasnění tvaru empirického vzorce spojení vyneseme experimentální závislost (kruhy na obr. 23). Na základě umístění experimentálních bodů na grafu lze předpokládat, že vztah mezi X A Y je lineární, tzn. má tvar:

K určení číselných hodnot parametrů A A b Vypočítáme koeficienty soustavy normálních rovnic a pro přehlednost si výpočty shrneme do tabulky.

Podle tabulky:

Nahrazením nalezených hodnot (s přihlédnutím k tomu, že n= 7) ve vzorcích pro výpočet parametrů A A b, shledáváme:

Empirická závislost má tedy tvar (na obr. 23 je znázorněna plná čára): y = 0,557X - 5,143.

OTÁZKY pro sebetestování znalostí k tématu 6:

1. Určuje rovnice funkci několika proměnných?

Známky lokálního zvýšení a snížení funkce.

Jedním z hlavních úkolů studia funkce je najít intervaly jejího nárůstu a poklesu. Takovou studii lze snadno provést pomocí derivátu. Formulujme odpovídající tvrzení.

Dostatečná známka zvyšující se funkce. Pokud f’(x) > 0 v každém bodě intervalu I, pak se funkce f zvětší o I.

Dostatečná známka klesající funkce. Pokud f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Důkaz těchto znaků se provádí na základě Lagrangeova vzorce (viz odstavec 19). Vezměte libovolná dvě čísla x 1 a x 2 z intervalu. Nechte x 1 existuje číslo c∈(x 1, x 2), takže

(1)

Číslo c patří do intervalu I, protože body x 1 a x 2 patří do I. Jestliže f"(x)>0 pro x∈I, pak f’(c)>0, a proto F(x 1 )) - to vyplývá ze vzorce (1), protože x 2 - x 1 >0. To dokazuje, že funkce f roste na I. Jestliže f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1)>f (x 2 ) — vyplývá ze vzorce (1), protože x 2-x 1 >0. Pokles funkce f na I je dokázán.

Vizuální význam znaků je z fyzikálního uvažování jasný (pro jistotu uvažujme znak nárůstu).

Nechť bod pohybující se podél svislé osy v čase t má pořadnici y = f(t). Pak je rychlost tohoto bodu v čase t rovna f"(t) (viz. Okamžitá rychlost ). Pokud f’ (t)>0 v každém časovém okamžiku z intervalu t, pak se bod pohybuje v kladném směru osy pořadnic, tj. pokud t 1 ). To znamená, že funkce f na intervalu I roste.

Poznámka 1.

Pokud je funkce f spojitá na libovolném konci rostoucího (klesajícího) intervalu, pak je tento bod připojen k tomuto intervalu.

Poznámka 2

K vyřešení nerovností f" (x)>0 a f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Nutné a postačující podmínky pro existenci extrému funkce v bodě.

Nutná podmínka pro extrém

Funkce g(x) v bodě má extrém (maximum nebo minimum), pokud je funkce definována v oboustranném okolí bodu a pro všechny body x nějaké oblasti: , nerovnost je splněna odpovídajícím způsobem.

(v případě maxima) nebo (v případě minima).

Extrém funkce lze zjistit z podmínky: pokud derivace existuje, tzn. přirovnáme první derivaci funkce k nule.

Dostatečná podmínka pro extrém

1) První dostatečná podmínka:

a) f(x) je spojitá funkce a je definována v nějakém okolí bodu tak, že první derivace v tomto bodě je rovna nule nebo neexistuje.

b) f(x) má konečnou derivaci v blízkosti specifikace a spojitosti funkce

c) derivace si zachovává určité znaménko napravo od bodu a nalevo od stejného bodu, pak lze bod charakterizovat následovně

Tato podmínka není příliš vhodná, protože potřebujete zkontrolovat mnoho podmínek a zapamatovat si tabulku, ale pokud se nic neříká o derivacích vyšších řádů, pak je to jediný způsob, jak najít extrém funkce.

2) Druhá postačující podmínka

Pokud má funkce g(x) druhou derivaci a v určitém bodě je první derivace rovna nule a druhá derivace je jiná než nula. Pak bod extrém funkce g(x), a jestliže , pak bod je maximum; pokud , pak je bod minimum.

K nalezení maxima a minima funkce můžete použít kterékoli ze tří dostatečných znamének extrému. I když nejběžnější a nejpohodlnější je ten první.

První postačující podmínka pro extrém.

Nechte funkci y = f(x) je diferencovatelný v sousedství bodu a je spojitý v bodě samotném. Pak

Jinými slovy:

Algoritmus.

• Najdeme definiční obor funkce.

Najdeme derivaci funkce na definičním oboru.

Určíme nuly v čitateli, nuly ve jmenovateli derivace a body definičního oboru, ve kterých derivace neexistuje (tyto body se nazývají body možného extrému, procházející těmito body může derivace jen změnit své znaménko).

Tyto body rozdělují definiční obor funkce na intervaly, ve kterých si derivace zachovává své znaménko. Znaménka derivace určíme na každém z intervalů (například výpočtem hodnoty derivace funkce v libovolném bodě určitého intervalu).

Vybíráme body, ve kterých je funkce spojitá a při průchodu kterými derivace mění znaménko.

Příklad. Najděte extrémy funkce.
Řešení.
Definičním oborem funkce je celá množina reálných čísel kromě x = 2.
Hledání derivátu:

Nuly v čitateli jsou body x = -1 A x = 5, jmenovatel klesne na nulu v x = 2. Označte tyto body na číselné ose

Určujeme znaménka derivace v každém intervalu, k tomu vypočítáme hodnotu derivace v kterémkoli z bodů každého intervalu, například v bodech x = -2, x = 0, x = 3 A x=6.

Na intervalu je tedy derivace kladná (na obrázku dáme nad tento interval znaménko plus). Rovněž

Proto dáme mínus nad druhý interval, mínus nad třetí a plus nad čtvrtý.

Zbývá vybrat body, ve kterých je funkce spojitá a její derivace mění znaménko. Toto jsou extrémní body.
Na místě x = -1 funkce je spojitá a derivace mění znaménko z plus na mínus, tedy podle prvního znaménka extrému, x = -1 je maximální bod, tomu odpovídá maximum funkce.
Na místě x = 5 funkce je spojitá a derivace mění znaménko z mínus na plus, proto, x = -1 je minimální bod, tomu odpovídá minimum funkce.
Grafické znázornění.

Odpovědět: .

Druhý dostatečný znak extrému funkce.
nech,

if , pak je minimální bod;

jestliže , pak je maximální bod.

Jak vidíte, toto kritérium vyžaduje existenci derivace alespoň do druhého řádu v bodě .
Příklad. Najděte extrémy funkce.
Řešení.
Začněme s doménou definice:

Rozlišme původní funkci:

Derivace jde na nulu v x = 1, to znamená, že se jedná o bod možného extrému.
Najdeme druhou derivaci funkce a vypočítáme její hodnotu at x = 1:

Proto druhou postačující podmínkou pro extrém, x = 1- maximální bod. Potom - maximum funkce.
Grafické znázornění.

Odpovědět: .
Třetí dostatečný znak extrému funkce.
Nechte funkci y = f(x) má deriváty až n-tý řád v -okolí bodu a derivace až n+1-tý řád v samotném bodě. Nech to být.
Pak,

Konec práce -

Toto téma patří do sekce:

Algebra a analytická geometrie. Pojem matice, operace s maticemi a jejich vlastnosti

Pojem matice jsou operace s maticemi a jejich vlastnostmi. matice je obdélníková tabulka složená z čísel, která nemohou být.. a sčítání matice je operace s prvky..

Pokud potřebujete další materiál k tomuto tématu nebo jste nenašli to, co jste hledali, doporučujeme použít vyhledávání v naší databázi prací:

Co uděláme s přijatým materiálem:

Pokud byl pro vás tento materiál užitečný, můžete si jej uložit na svou stránku na sociálních sítích:

Všechna témata v této sekci:

Definice diferencovatelnosti
Operace hledání derivace se nazývá derivace funkce. O funkci se říká, že je v určitém bodě diferencovatelná, pokud má v tomto bodě konečnou derivaci a

Pravidlo diferenciace
Důsledek 1. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace:

Geometrický význam derivace. Rovnice tečny
Úhel sklonu přímky y = kx+b je úhel měřený od polohy

Geometrický význam derivace funkce v bodě
Uvažujme sečnu AB grafu funkce y = f(x) takovou, že body A a B mají souřadnice, resp.

Řešení
Funkce je definována pro všechna reálná čísla. Protože (-1; -3) je tečný bod

Nezbytné podmínky pro extrém a dostatečné podmínky pro extrém
Definice rostoucí funkce. Funkce y = f(x) roste na intervalu X, pokud pro nějaký

Podmínky monotonie a stálosti funkce
Podmínka pro (nepřísnou) monotónnost funkce na intervalu. Nechť má funkce v každém derivaci

Definice primitivního derivátu
Primitivní derivace funkce f(x) na intervalu (a; b) je funkce F(x) taková, že rovnost

Zkouška
Pro kontrolu výsledku diferencujeme výsledný výraz: V důsledku toho dostaneme

Primitivní součin konstanty a funkce se rovná součinu konstanty a primitivní funkce funkce
Postačující podmínkou pro existenci primitivní funkce dané na intervalu je

Definice
Nechte to být definováno na

Geometrický význam
Určitý integrál se numericky rovná ploše obrazce ohraničené osou úsečky a přímkami

Vlastnosti určitého integrálu
Základní vlastnosti určitého integrálu. Vlastnost 1. Derivace určitého integrálu vzhledem k horní hranici je rovna integrandu, do kterého je integrován místo proměnné

Newtonův-Leibnizův vzorec (s důkazem)
Newtonův-Leibnizův vzorec. Nechť funkce y = f(x) je spojitá na intervalu a F(x) je jedna z primitivních funkcí funkce na tomto intervalu, pak rovnice

Je volána funkce y = f(x). vzrůstající (klesající) v určitém intervalu, pokud pro x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Jestliže diferencovatelná funkce y = f(x) na intervalu roste (klesá), pak její derivace na tomto intervalu f " (x) > 0

(f" (x)< 0).

Tečka x o volal místní maximální bod (minimální) funkce f(x), pokud existuje okolí bodu x o, pro všechny body, pro které platí nerovnost f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).

Jsou volány maximální a minimální body extrémní body a hodnoty funkce v těchto bodech jsou její extrémy.

Nutné podmínky pro extrém. Pokud bod x o je extrémním bodem funkce f(x), pak buď f " (x o) = 0, nebo f (x o) neexistuje. Takové body se nazývají kritický, a funkce samotná je definována v kritickém bodě. Extrémy funkce je třeba hledat mezi jejími kritickými body.

První postačující podmínka. Nechat x o- kritický bod. Pokud f "(x) při průjezdu bodem x o změní znaménko plus na mínus a poté na bod x o funkce má maximum, jinak má minimum. Pokud při průchodu kritickým bodem derivace nezmění znaménko, pak v bodě x o neexistuje žádný extrém.

Druhá postačující podmínka. Nechť funkce f(x) má derivaci
f "(x) v blízkosti bodu x o a druhá derivace v samotném bodě x o. Pokud f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x o je bod lokálního minima (maxima) funkce f(x). Je-li =0, musíte buď použít první dostatečnou podmínku, nebo použít vyšší derivace.

Na segmentu může funkce y = f(x) dosáhnout své minimální nebo maximální hodnoty buď v kritických bodech nebo na koncích segmentu.

Studium podmínek a vykreslování grafů.

Najděte definiční obor funkce

Najděte průsečíky grafu se souřadnicovými osami

Najděte intervaly znaménka stálosti

Zkoumejte stejnoměrnost, lichost

Najděte asymptoty grafu funkce

Najděte intervaly monotónnosti funkce

Najděte extrémy funkce

Najděte intervaly konvexnosti a inflexní body

Asymptoty funkčních grafů. Obecné schéma pro studium a vykreslování funkčních grafů. Příklady.

Vertikální

Vertikální asymptota - přímka, za předpokladu existence limity .

Zpravidla při určování vertikální asymptoty nehledají jednu limitu, ale dvě jednostranné (levou a pravou). To se provádí za účelem určení, jak se funkce chová, když se blíží k vertikální asymptotě z různých směrů. Například:

Poznámka: věnujte pozornost znaménkům nekonečna v těchto rovnostách.

[upravit] Horizontální

Horizontální asymptota - přímka, za předpokladu existence limity

.

[upravit] Šikmý

Šikmá asymptota - přímka, podléhající existenci limit

Příklad šikmé asymptoty

1.

Poznámka: funkce nemůže mít více než dvě šikmé (horizontální) asymptoty!

Poznámka: Pokud alespoň jedna ze dvou výše uvedených limit neexistuje (nebo je rovna ), pak šikmá asymptota v (nebo ) neexistuje!

Vztah mezi šikmými a vodorovnými asymptotami

Pokud při výpočtu limitu , pak je zřejmé, že šikmá asymptota se shoduje s horizontální. Jaká je souvislost mezi těmito dvěma typy asymptot?

Jedná se o to, že vodorovná asymptota je speciální případ šikmého na , a z výše uvedených komentářů vyplývá, že

1. Funkce má buď pouze jednu šikmou asymptotu, nebo jednu svislou asymptotu, nebo jednu šikmou a jednu svislou, nebo dvě šikmé, nebo dvě svislé, nebo nemá asymptoty vůbec žádné.

2. Existence asymptot uvedených v odstavci 1.) přímo souvisí s existencí odpovídajících limitů.

Graf funkce se dvěma horizontálními asymptotami

]Hledání asymptot

Pořadí hledání asymptot

1. Hledání vertikálních asymptot.

2. Nalezení dvou limitů

3. Nalezení dvou limitů:

jestliže v položce 2.), pak , a limita se hledá pomocí vzorce horizontální asymptoty, .