Rovnoměrný pohyb po kruhu s poloměrem. Úhlová rychlost

Obvykle, když mluvíme o pohybu, představujeme si předmět pohybující se přímočaře. Rychlost takového pohybu se obvykle nazývá lineární a výpočet její průměrné hodnoty je jednoduchý: stačí najít poměr ujeté vzdálenosti k době, za kterou ji tělo urazilo. Pokud se objekt pohybuje po kružnici, pak v tomto případě není určen lineární, ale co je tato veličina a jak se počítá? To je přesně to, o čem bude řeč v tomto článku.

Úhlová rychlost: pojem a vzorec

Při pohybu po kružnici lze rychlost jejího pohybu charakterizovat velikostí úhlu natočení poloměru, který spojuje pohybující se objekt se středem této kružnice. Je jasné, že tato hodnota se neustále mění v závislosti na čase. Rychlost, s jakou tento proces probíhá, není nic jiného než úhlová rychlost. Jinými slovy, toto je poměr odchylky vektoru poloměru objektu k době, kterou objekt potřeboval k takovému otočení. Vzorec úhlové rychlosti (1) lze zapsat následovně:

w = φ / t, kde:

φ - úhel natočení poloměru,

t - doba rotace.

Jednotky měření

V mezinárodní soustavě společných jednotek (SI) se k charakterizaci obratů používají radiány. Proto je 1 rad/s základní jednotkou používanou při výpočtech úhlové rychlosti. Zároveň nikdo nezakazuje používat stupně (připomeňme, že jeden radián se rovná 180/pi, neboli 57˚18’). Úhlovou rychlost lze také vyjádřit počtem otáček za minutu nebo za sekundu. Pokud k pohybu po kružnici dochází rovnoměrně, lze tuto hodnotu zjistit pomocí vzorce (2):

kde n je rychlost otáčení.

Jinak se stejně jako u běžné rychlosti počítá průměrná nebo okamžitá úhlová rychlost. Je třeba poznamenat, že uvažovaná veličina je vektorová. K určení jeho směru se obvykle používá, což se často používá ve fyzice. Vektor úhlové rychlosti je směrován stejným směrem jako šroub s pravotočivým závitem. Jinými slovy, směřuje podél osy, kolem které se těleso otáčí, ve směru, ze kterého je vidět, že rotace probíhá proti směru hodinových ručiček.

Příklady výpočtů

Předpokládejme, že potřebujete určit, jaká je lineární a úhlová rychlost kola, pokud je známo, že jeho průměr je roven jednomu metru a úhel otáčení se mění v souladu se zákonem φ = 7t. Použijme náš první vzorec:

w = φ/t = 7t/t = 7 s-1.

To bude požadovaná úhlová rychlost. Nyní přejděme k hledání nám známé rychlosti pohybu. Jak je známo, v = s/t. Uvážíme-li, že s v našem případě jsou kola (l = 2π*r) a 2π je jedna celá otáčka, dostaneme následující:

v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0,5 = 3,5 m/s

Zde je další hádanka na toto téma. Je známo, že na rovníku je to 6370 kilometrů. Je třeba určit lineární a úhlovou rychlost pohybu bodů umístěných na této rovnoběžce, která vzniká v důsledku rotace naší planety kolem její osy. V tomto případě potřebujeme druhý vzorec:

w = 2π*n = 2*3,14 *(1/(24*3600)) = 7,268 *10-5 rad/s.

Zbývá zjistit, čemu se rovná lineární rychlost: v = w*r = 7,268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m/s.

Kruhový pohyb je nejjednodušší případ křivočarého pohybu tělesa. Když se těleso pohybuje kolem určitého bodu, spolu s vektorem posunutí je vhodné zadat úhlové posunutí ∆ φ (úhel natočení vzhledem ke středu kružnice), měřené v radiánech.

Znáte-li úhlové posunutí, můžete vypočítat délku kruhového oblouku (dráhy), kterou tělo prošlo.

∆ l = R ∆ φ

Pokud je úhel natočení malý, pak ∆ l ≈ ∆ s.

Ukažme si, co bylo řečeno:

Úhlová rychlost

S křivočarým pohybem se zavádí pojem úhlové rychlosti ω, tedy rychlosti změny úhlu natočení.

Definice. Úhlová rychlost

Úhlová rychlost v daném bodě trajektorie je limitem poměru úhlového posunutí ∆ φ k časovému úseku ∆ t, během kterého k němu došlo. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Jednotkou měření úhlové rychlosti je radián za sekundu (r a d s).

Existuje vztah mezi úhlovou a lineární rychlostí tělesa při pohybu po kružnici. Vzorec pro zjištění úhlové rychlosti:

Při rovnoměrném pohybu po kružnici zůstávají rychlosti v a ω nezměněny. Mění se pouze směr vektoru lineární rychlosti.

V tomto případě rovnoměrný pohyb v kruhu ovlivňuje tělo dostředivým nebo normálním zrychlením, směřujícím podél poloměru kruhu do jeho středu.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Modul dostředivého zrychlení lze vypočítat pomocí vzorce:

a n = v 2 R = ω 2 R

Dokažme tyto vztahy.

Uvažujme, jak se změní vektor v → za krátkou dobu ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .

V bodech A a B je vektor rychlosti nasměrován tečně ke kružnici, přičemž moduly rychlosti jsou v obou bodech stejné.

Podle definice zrychlení:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Podívejme se na obrázek:

Trojúhelníky OAB a BCD jsou podobné. Z toho plyne, že O A A B = B C C D .

Pokud je hodnota úhlu ∆ φ malá, je vzdálenost A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Vezmeme-li v úvahu, že O A = R a C D = ∆ v pro podobné trojúhelníky uvažované výše, dostaneme:

R v ∆ t = v ∆ v nebo ∆ v ∆ t = v 2 R

Když ∆ φ → 0, směr vektoru ∆ v → = v B → - v A → se blíží směru ke středu kružnice. Za předpokladu, že ∆ t → 0, dostaneme:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v2R.

Při rovnoměrném pohybu po kružnici zůstává modul zrychlení konstantní a směr vektoru se mění s časem, přičemž se zachovává orientace ke středu kruhu. Proto se toto zrychlení nazývá dostředivé: vektor v každém okamžiku směřuje ke středu kruhu.

Zápis dostředivého zrychlení ve vektorové podobě vypadá takto:

a n → = - ω 2 R → .

Zde R → je vektor poloměru bodu na kružnici s počátkem ve středu.

Obecně se zrychlení při pohybu po kružnici skládá ze dvou složek – normálové a tečné.

Uvažujme případ, kdy se těleso pohybuje po kružnici nerovnoměrně. Představme si pojem tečné (tangenciální) zrychlení. Jeho směr se shoduje se směrem lineární rychlosti tělesa a v každém bodě kružnice k němu směřuje tečně.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

Zde ∆ v τ = v 2 - v 1 - změna modulu rychlosti v intervalu ∆ t

Směr celkového zrychlení je určen vektorovým součtem normálového a tečného zrychlení.

Kruhový pohyb v rovině lze popsat pomocí dvou souřadnic: x a y. V každém časovém okamžiku lze rychlost tělesa rozložit na složky v x a v y.

Pokud je pohyb rovnoměrný, budou se veličiny v x a v y i příslušné souřadnice v čase měnit podle harmonického zákona s periodou T = 2 π R v = 2 π ω

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Mezi různými typy křivočarého pohybu je zvláštní zájem rovnoměrný pohyb tělesa v kruhu. Jedná se o nejjednodušší typ křivočarého pohybu. Přitom každý složitý křivočarý pohyb tělesa v dostatečně malé části jeho trajektorie lze přibližně považovat za rovnoměrný pohyb po kružnici.

Takový pohyb vykonávají body rotujících kol, rotorů turbín, umělých satelitů otáčejících se po drahách apod. Při rovnoměrném pohybu po kruhu zůstává číselná hodnota rychlosti konstantní. Směr rychlosti se však během takového pohybu neustále mění.

Rychlost pohybu tělesa v libovolném bodě křivočaré trajektorie směřuje tečně k trajektorii v tomto bodě. Můžete si to ověřit pozorováním činnosti kotoučového brousku: přitlačením konce ocelové tyče proti rotujícímu kameni můžete vidět horké částice odcházející z kamene. Tyto částice létají rychlostí, kterou měly v okamžiku, kdy opustily kámen. Směr jisker se vždy shoduje s tečnou ke kružnici v místě, kde se tyč dotýká kamene. Ke kruhu se tečně pohybují i ​​cákance od kol projíždějícího auta.

Okamžitá rychlost tělesa v různých bodech křivočaré trajektorie má tedy různé směry, zatímco velikost rychlosti může být buď všude stejná, nebo se bod od bodu lišit. Ale i když se modul rychlosti nezmění, stále jej nelze považovat za konstantní. Rychlost je totiž vektorová veličina a pro vektorové veličiny jsou stejně důležité modul a směr. Proto křivočarý pohyb je vždy zrychlený, i když je modul rychlosti konstantní.

Během křivočarého pohybu se může modul rychlosti a jeho směr změnit. Nazýváme křivočarý pohyb, při kterém modul rychlosti zůstává konstantní rovnoměrný křivočarý pohyb. Zrychlení při takovém pohybu je spojeno pouze se změnou směru vektoru rychlosti.

Jak velikost, tak směr zrychlení musí záviset na tvaru zakřivené trajektorie. Není však třeba zvažovat každou z jeho nesčetných podob. Když si představíme každý úsek jako samostatnou kružnici s určitým poloměrem, problém hledání zrychlení při křivočarém rovnoměrném pohybu bude redukován na hledání zrychlení při rovnoměrném pohybu tělesa po kružnici.

Rovnoměrný kruhový pohyb je charakterizován periodou a frekvencí otáčení.

Doba, kterou tělo potřebuje k provedení jedné otáčky, se nazývá oběhové období.

Při rovnoměrném pohybu po kružnici se doba otáčení určí vydělením ujeté vzdálenosti, tj. obvodu rychlostí pohybu:

Reciproční období se nazývá frekvence oběhu, označený písmenem ν . Počet otáček za jednotku času ν volal frekvence oběhu:

Vlivem plynulé změny směru rychlosti má těleso pohybující se v kruhu zrychlení, které charakterizuje rychlost změny jeho směru, číselná hodnota rychlosti se v tomto případě nemění.

Když se těleso pohybuje rovnoměrně po kružnici, zrychlení v libovolném bodě směřuje vždy kolmo k rychlosti pohybu po poloměru kružnice do jejího středu a nazývá se dostředivé zrychlení.

Chcete-li zjistit jeho hodnotu, zvažte poměr změny vektoru rychlosti k časovému intervalu, během kterého k této změně došlo. Vzhledem k tomu, že úhel je velmi malý, máme.

Rotační pohyb kolem pevné osy je dalším speciálním případem pohybu tuhého tělesa.
Rotační pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy nazývá se takový pohyb, při kterém všechny body tělesa opisují kružnice, jejichž středy jsou na stejné přímce, nazývané osa rotace, přičemž roviny, ke kterým tyto kružnice patří, jsou kolmé rotační osa (Obr.2.4).

V technice se tento typ pohybu vyskytuje velmi často: například otáčení hřídelí motorů a generátorů, turbín a leteckých vrtulí.
Úhlová rychlost . Každý bod tělesa rotujícího kolem osy procházející bodem O, se pohybuje v kruhu a různé body se v průběhu času pohybují různými cestami. Takže, , tedy modul bodové rychlosti A víc než bod V (Obr.2.5). Poloměry kruhů se však časem otáčejí o stejný úhel. Úhel - úhel mezi osou ACH a rádiusový vektor, který určuje polohu bodu A (viz obr. 2.5).

Nechte těleso otáčet se rovnoměrně, tj. otáčet se o stejné úhly v libovolných stejných časových intervalech. Rychlost rotace tělesa závisí na úhlu natočení vektoru poloměru, který určuje polohu jednoho z bodů tuhého tělesa za daný časový úsek; je to charakterizováno úhlová rychlost . Pokud se například jedno těleso každou sekundu otočí o úhel a druhé o úhel, pak říkáme, že se první těleso otáčí 2krát rychleji než druhé.
Úhlová rychlost tělesa při rovnoměrném otáčení je veličina rovna poměru úhlu natočení tělesa k časovému úseku, během kterého k tomuto natočení došlo.
Úhlovou rychlost budeme označovat řeckým písmenem ω (omega). Pak podle definice

Úhlová rychlost je vyjádřena v radiánech za sekundu (rad/s).
Například úhlová rychlost rotace Země kolem její osy je 0,0000727 rad/s a rychlost brusného kotouče je asi 140 rad/s 1 .
Úhlová rychlost může být vyjádřena prostřednictvím rychlost otáčení , tj. počet plných otáček za 1s. Pokud se těleso (řecké písmeno „nu“) otočí za 1 s, pak se doba jedné otáčky rovná sekundám. Tato doba se nazývá období rotace a označeno písmenem T. Vztah mezi frekvencí a periodou rotace lze tedy reprezentovat jako:

Úplné otočení těla odpovídá úhlu. Proto podle vzorce (2.1)

Pokud je při rovnoměrné rotaci známa úhlová rychlost a v počátečním okamžiku je úhel rotace , pak úhel rotace tělesa za čas t podle rovnice (2.1) se rovná:

Pokud , pak , nebo .
Úhlová rychlost nabývá kladných hodnot, pokud úhel mezi vektorem poloměru, který určuje polohu jednoho z bodů tuhého tělesa, a osou ACH se zvyšuje a negativní, když se snižuje.
Můžeme tedy kdykoli popsat polohu bodů rotujícího tělesa.
Vztah mezi lineárními a úhlovými rychlostmi. Často se nazývá rychlost pohybu bodu po kružnici lineární rychlost , aby se zdůraznil její rozdíl od úhlové rychlosti.
Již jsme si všimli, že když se tuhé těleso otáčí, jeho různé body mají nestejné lineární rychlosti, ale úhlová rychlost je pro všechny body stejná.
Existuje vztah mezi lineární rychlostí libovolného bodu rotujícího tělesa a jeho úhlovou rychlostí. Pojďme to nainstalovat. Bod ležící na kružnici o poloměru R, urazí vzdálenost za jednu otáčku. Od doby jedné otáčky tělesa je perioda T, pak modul lineární rychlosti bodu lze nalézt takto:

Občas se v souvislosti s auty objeví otázky z matematiky a fyziky. Jedním takovým problémem je zejména úhlová rychlost. Týká se to jak fungování mechanismů, tak i zatáčení. Pojďme zjistit, jak tuto hodnotu určit, jak se měří a jaké vzorce je zde třeba použít.

Jak určit úhlovou rychlost: co je to za veličinu?

Z fyzikálního a matematického hlediska lze tuto veličinu definovat následovně: jedná se o údaje, které ukazují, jak rychle se určitý bod otáčí kolem středu kružnice, po které se pohybuje.

PODÍVEJTE SE NA VIDEO

Tato zdánlivě čistě teoretická hodnota má při provozu automobilu značný praktický význam. Zde je jen několik příkladů:

• Je nutné správně korelovat pohyby, kterými se kola při otáčení otáčejí. Úhlová rychlost kola automobilu pohybujícího se po vnitřní části trajektorie musí být menší než ta vnější.
• Musíte si spočítat, jak rychle se klikový hřídel v autě otáčí.
• Konečně i auto samo má při průjezdu zatáčkou určitou hodnotu pohybových parametrů – a na nich v praxi závisí stabilita vozu na dálnici a pravděpodobnost převrácení.

Vzorec pro čas, který trvá, než se bod otočí po kružnici o daném poloměru

Pro výpočet úhlové rychlosti se používá následující vzorec:

ω = ∆φ /∆t

• ω (čti „omega“) je skutečná vypočítaná hodnota.
• ∆φ (čti „delta phi“) – úhel natočení, rozdíl mezi úhlovou polohou bodu v prvním a posledním okamžiku měření.
• ∆t
  (čti „delta te“) – doba, během které k tomuto posunu došlo. Přesněji řečeno, od „delta“ to znamená rozdíl mezi časovými hodnotami v okamžiku, kdy bylo měření zahájeno a kdy bylo dokončeno.

Výše uvedený vzorec pro úhlovou rychlost platí pouze v obecných případech. Tam, kde se bavíme o stejnoměrně rotujících objektech nebo vztahu mezi pohybem bodu na povrchu součásti, poloměrem a časem rotace, je nutné použít další vztahy a metody. Zde bude potřeba zejména vzorec frekvence otáčení.

Úhlová rychlost se měří v různých jednotkách. Teoreticky se často používají rad/s (radiány za sekundu) nebo stupně za sekundu. Tato hodnota však v praxi znamená málo a lze ji využít pouze v projekční práci. V praxi se měří spíše v otáčkách za vteřinu (nebo minutu, pokud mluvíme o pomalých procesech). V tomto ohledu se blíží rychlosti otáčení.

Úhel rotace a perioda rotace

Mnohem častěji než úhel rotace se používá rychlost rotace, která měří, kolik rotací objekt udělá za dané časové období. Faktem je, že radián používaný pro výpočty je úhel v kruhu, kdy je délka oblouku rovna poloměru. V souladu s tím jsou v celém kruhu 2 π radiány. Číslo π je iracionální a nelze jej redukovat na desetinné číslo ani na jednoduchý zlomek. Pokud tedy dojde k rovnoměrné rotaci, je snazší ji počítat ve frekvenci. Měří se v otáčkách - otáčkách za minutu.

Pokud se nejedná o dlouhé časové období, ale pouze o období, během kterého dojde k jedné revoluci, pak se zde používá pojem oběžné periody. Ukazuje, jak rychle se provede jeden kruhový pohyb. Jednotkou měření zde bude druhá.

Vztah mezi úhlovou rychlostí a frekvencí otáčení nebo periodou otáčení je znázorněn následujícím vzorcem:

ω = 2 π / T = 2 π *f,

• ω – úhlová rychlost v rad/s;
• T – doba oběhu;
• f – frekvence otáčení.

Kteroukoli z těchto tří veličin můžete získat z jiné pomocí pravidla proporcí, aniž byste zapomněli převést rozměry do jednoho formátu (v minutách nebo sekundách)

Jaká je úhlová rychlost v konkrétních případech?

Uveďme příklad výpočtu na základě výše uvedených vzorců. Řekněme, že máme auto. Při jízdě rychlostí 100 km/h jeho kolo, jak ukazuje praxe, dělá průměrně 600 otáček za minutu (f = 600 ot./min.). Vypočítejme úhlovou rychlost.

Protože je nemožné přesně vyjádřit π v desetinných zlomcích, výsledek bude přibližně 62,83 rad/s.

Vztah mezi úhlovou a lineární rychlostí

V praxi je často nutné kontrolovat nejen rychlost, s jakou se mění úhlová poloha rotujícího bodu, ale také jeho rychlost ve vztahu k lineárnímu pohybu. Ve výše uvedeném příkladu byly provedeny výpočty pro kolo - ale kolo se pohybuje po silnici a buď se otáčí vlivem rychlosti vozu, nebo mu tuto rychlost poskytuje samo. To znamená, že každý bod na povrchu kola bude mít kromě úhlového také lineární rychlost.

Nejjednodušší způsob výpočtu je přes poloměr. Protože rychlost závisí na čase (což bude doba otáčení) a ujeté vzdálenosti (což bude obvod), pak, s přihlédnutím k výše uvedeným vzorcům, bude úhlová a lineární rychlost souviset následovně:

• V – lineární rychlost;
• R – poloměr.

Ze vzorce je zřejmé, že čím větší poloměr, tím vyšší hodnota této rychlosti. Ve vztahu ke kolu se bod na vnějším povrchu běhounu bude pohybovat nejvyšší rychlostí (R je maximální), ale přesně ve středu náboje bude lineární rychlost nulová.

Zrychlení, moment a jejich souvislost s hmotou

Kromě výše uvedených hodnot existuje několik dalších problémů spojených s rotací. Vzhledem k tomu, kolik rotujících dílů různé hmotnosti je v autě, nelze ignorovat jejich praktický význam.

Důležité je rovnoměrné střídání. Není tu ale jediná část, která by se neustále točila rovnoměrně. Počet otáček kterékoli rotující součásti, od klikového hřídele po kolo, vždy nakonec stoupá a pak klesá. A hodnota, která ukazuje, jak moc se zvýšily otáčky, se nazývá úhlové zrychlení. Protože se jedná o derivaci úhlové rychlosti, měří se v radiánech za sekundu na druhou (jako lineární zrychlení - v metrech za sekundu na druhou).

S pohybem a jeho změnou v čase je spojen další aspekt – moment hybnosti. Pokud bychom až do této chvíle mohli uvažovat pouze o čistě matematických rysech pohybu, pak zde musíme vzít v úvahu skutečnost, že každá část má hmotu, která je rozložena kolem její osy. Je určeno poměrem počáteční polohy bodu s přihlédnutím ke směru pohybu - a hybnosti, tedy součinu hmotnosti a rychlosti. Díky znalosti momentu impulsu vznikajícího během rotace je možné určit, jaké zatížení dopadne na každou část, když interaguje s jinou

Pant jako příklad přenosu impulsu

Typickým příkladem toho, jak jsou všechna výše uvedená data aplikována, je homokinetický kloub (CV joint). Tento díl se používá především u vozů s předním náhonem, kde je důležité nejen zajistit různé rychlosti otáčení kol při zatáčení, ale také je ovládat a přenášet na ně impuls z motoru.

PODÍVEJTE SE NA VIDEO

Konstrukce této jednotky je přesně určena pro:

• porovnejte mezi sebou, jak rychle se kola otáčejí;
• zajistit rotaci v okamžiku otáčení;
• zaručují nezávislost zadního zavěšení.

V důsledku toho jsou všechny výše uvedené vzorce zohledněny při provozu kloubu CV.