Okruh polynomů s celočíselnými koeficienty. Konečná tělesa založená na polynomiálních kruzích

Okruh polynomů nad tělesem (na rozdíl od případu polynomů nad prstencem) má řadu specifických vlastností blízkých vlastnostem okruhu celých čísel Z. Dělitelnost polynomů. Známá metoda dělení „úhlem“ pro polynomy nad polem R používá pouze aritmetické operace s koeficienty a je tedy použitelná pro polynomy nad libovolným polem k. Umožňuje dvěma nenulovým polynomům p,sk[x] sestavit polynomy q (neúplný kvocient) a r (zbytek) tak, že p = q*s +r, a buď r =0 nebo deg(r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Následek. Každý ideál v kruhu polynomů nad polem je hlavní. Ve skutečnosti nechť p je GND všech polynomů zahrnutých v ideálu I. Potom, kde Z definice ideálu vyplývá, že a tedy I =(p). Faktorizace. Nechť k je nějaké těleso, p, q, s jsou polynomy nad k. Jestliže p=q*s a oba polynomy q a s mají stupeň menší než p, pak se polynom p nazývá redukovatelný (nad polem k). Jinak je p ireducibilní. Ireducibilní polynom v kruhu k[x] je analogií prvočísla v kruhu Z. Je zřejmé, že každý nenulový polynom p= může být rozšířen na součin: p= *, kde všechny polynomy jsou ireducibilní přes k a mají vedoucí koeficient rovný 1. Lze prokázat, že takové rozšíření je jedinečné až do pořadí faktorů. Samozřejmě, že mezi těmito faktory mohou být stejné; takové faktory se nazývají násobky. Kombinací více faktorů lze stejný rozvoj zapsat ve tvaru: p= 0. Příklady. 1. Všimněte si, že polynomy prvního stupně jsou podle definice neredukovatelné v jakémkoli poli. Faktor x je násobek, zbytek jsou prvočísla. 2. Polynom je ireducibilní nad tělesem Q racionálních čísel. Ve skutečnosti, jestliže ()=(x-a)*q, pak dosazením x=a do této rovnosti dostaneme: , což je nemožné pro žádné racionální číslo a. Uvádíme stejný polynom nad polem R reálných čísel: , a druhý faktor má záporný diskriminant, a proto jej nelze přes R dále rozšířit. Nakonec nad polem C komplexních čísel máme: , kde = je odmocnina z 1. V tomto příkladu vidíme, že pojem redukovatelnosti výrazně závisí na poli, nad kterým je polynom uvažován. Vlastnosti ireducibilních polynomů. 1.Je-li p ireducibilní polynom a d = OND(p, q) 1, pak p | q. Opravdu, p = d*s a jestliže deg(s)>0, pak to odporuje ireducibilitě p, a jestliže deg(s)=0, pak d | qp | q. 2. Jestliže p | a p je ireducibilní, pak buď p | nebo p | . Ve skutečnosti, jinak gcd(p,) = gcd(p,) =1, a proto, podle hlavní věty teorie dělitelnosti, odkud: a to znamená, že je gcd(p,)=1 a tedy deg (p) =0.

PŘEDNÁŠKA7.

Okruh polynomů v jedné neznámé

Definice polynomu . Ze školního kurzu známe problém řešení rovnice druhého stupně tvaru

Kde
. Řešení rovnice (7.1) znamená nalezení takové hodnoty neznámé , která po dosazení do rovnice ( predikát ) (7.1) jej přemění na číselnou identitu ( do pravdivého tvrzení ).

Příklad 7.1. Najděte pravdivostní sadu predikátu

.

Řešení. Uvažujme identickou transformaci pravé strany zadaného predikátu:

.

Porovnáním posledního výrazu s nulou získáme vzorec

,

který udává hodnoty neznámých, které obracejí predikát
do pravdivého tvrzení. Proto pravda nastavena predikát
obecně se skládá ze dvou prvků

,

jejichž hodnoty se počítají prostřednictvím hodnot koeficientů kvadratického trinomu
. Výraz
, stojící pod znakem druhé odmocniny, se nazývá diskriminační rovnic
. Jsou možné tři případy:

1)
– v tomto případě se pravdivostní množina predikátu skládá z jednoho reálného čísla
(kvadratická rovnice
má jeden skutečný kořen);

2)
– v tomto případě se pravdivostní množina predikátu skládá ze dvou reálných čísel, která jsou vypočtena pomocí výše napsaných vzorců (kvadratická rovnice
má dva skutečné kořeny);

3)
– v tomto případě se pravdivostní množina predikátu skládá ze dvou komplexně konjugovaných čísel:

(rovnice
má složité konjugované kořeny).

V obecném případě se dostáváme k problému řešení rovnic - stupně vzhledem k jedné neznámé

šance
které budeme zvažovat libovolná komplexní čísla a vedoucí koeficient
. Řešení rovnice (7.2) znamená nalezení takových hodnot neznámé , které po dosazení do rovnice (7.2) přemění v číselnou identitu. Problém řešení rovnice (7.2) je nahrazen obecnějším problémem studovat levou stranu této rovnice .

Definice 7.1. Polynom nebopolynom stupně od jednoho neznámého (nebo dopisy )se nazývá formální vyjádření formy

, (7.3)

to znamená formální algebraický součet celočíselných nezáporných mocnin neznámého , brát s některými, obecně řečeno, komplexními koeficienty , ,
, ,
.

Polynomy se označují různými písmeny latinské a řecké abecedy, velkými i malými.

Polynomiální stupeň (7.3) se nazývá nejvyšší stupeň neznámý , při které koeficient
. Polynom nula stupně je polynom skládající se z jednoho nenulového komplexního čísla. Číslo nula je také polynom jehož rozsah není určen .

Polynomiální stupeň , je-li to nutné, je označeno například dolním indexem
, nebo symbol
. Spolu se zápisem polynomů ve tvaru (7.3) se často používá i forma zápisu v rostoucích mocninách , to je

Rovnost, součet a součin polynomů . Polynomy lze porovnávat a provádět na nich operace sčítání a násobení.

Definice 7.2. Dva polynomy
A
jsou zvažoványrovnat se a piš
právě tehdy, když jsou jejich koeficienty stejné pro stejné stupně neznámé .

Žádný polynom, jehož alespoň jeden koeficient je nenulový, se nemůže rovnat nule. Tedy rovnítko v rovnici stupeň nemá nic společného s rovností polynomů.

V matematické analýze, rovnost polynomů
je považována za rovnost dvou funkcí, tj.

.

Jsou-li si polynomy rovny ve smyslu definice 7.2, pak jsou si rovny i ve smyslu rovnosti funkcí. Opak je důsledkem základní věty polynomiální algebry formulované níže.

Uveďme dvě algebraické operace s polynomy s komplexními (obecně) koeficienty: přidání A násobení .

Definice 7.3. Nechť jsou dány dva polynomy

,
,

,
.

Pro jistotu uveďme
. Množství těchto polynomů se nazývá polynom

jejichž koeficienty se rovnají součtu koeficientů pro stejné stupně neznámé :

.

Navíc pokud
věřit.

Všimněte si, že stupeň součtu dvou polynomů at
rovná , a kdy
možná méně , totiž kdy
.

Definice 7.4. Práce polynomy

,
,

,

nazývaný polynom

jehož koeficienty se nalézají vzorcem

, . (7.4)

Tedy koeficient součinu dvou polynomů s indexem
roven součtu všech možných součinů koeficientů polynomů
A
, součet indexů se rovná , jmenovitě:

,
,
,
.

Od poslední rovnosti, kterou máme
. Proto, stupeň součinu dvou polynomů se rovná součtu stupňů těchto polynomů:

Podle definice se tomu věří stupeň polynomu

.

Dostali jsme následující výsledek.

Lemma 7.1. Nechat
A
– dva polynomy. Pak jejich produkt.

Příklad 7.2. Nechť jsou dány dva polynomy různých stupňů, např.

,
.

Jejich součet a součin pak jsou:

.

V množině polynomů s komplexními koeficienty jsou tedy zavedeny dvě binární algebraické operace - přidání A násobení . Vlastnosti těchto operací jsou stanoveny následující větou.

Věta 7.1. Množina všech polynomů s komplexními koeficienty je komutativní a asociativní kruh s identitou.

Důkaz věty se redukuje na kontrolu axiomů kruhu a my ho vynecháme. Poznamenejme pouze, že nula pro operaci sčítání je číslo (polynom) a jednotkou pro operaci násobení je číslo (polynom) .

Polynomiální kruh je označen
, Kde
– symbol pole, nad kterým je polynom definován. Věta 7.1 tedy říká: množina všech polynomů s komplexními koeficienty je prstenec
.

Dělitelnost polynomů . Polynom
má inverzní polynom
, tehdy a jen tehdy
– polynom nulového stupně. Opravdu, kdyby
, pak inverzní polynom
. Li
, pak stupeň levé strany
pokud
existuje, nesmí být méně
, ale pravá strana poslední rovnosti je polynom nulového stupně. Tak, v polynomiálním kruhu
Pro operaci násobení neexistuje žádná operace inverzního dělení . V polynomiálním kruhu však existuje algoritmus dělení se zbytkem .

Věta 7.2. Pro libovolné dva polynomy
A
existují takové polynomy
A
, Co

, (7.5)

kde, popř
. Reprezentace (7.5) je jedinečná.

Důkaz. Nechat
A
. Představme si polynomy
A
tak jako

Li
nebo
, pak vložíme (7.5)

,
.

Pak je zjevně splněno (7.5). Proto předpokládejme, že
. Položme:

. (7.6)

Označme vedoucí koeficient polynomu
přes . To je zřejmé
. Li
, pak vložíme:

. (7.7)

Vedoucí koeficient polynomu
označme . Li
, pak to dáme znovu

(7.8)

a tak dále. stupně
polynomy
, evidentně pokles. Po konečném počtu kroků se dostaneme

, (7.9)

kde nebo
nebo
. Poté se proces zastaví.

Sečtením rovností (7.6) – (7.9) dostaneme

Označení částky v závorce
, A
, získáme (7.5) a buď
, nebo stupeň
.

Dokažme jedinečnost (7.5). Nechat

kde nebo
, nebo . Z (7.5) a (7.11) máme:

Stupeň polynomu na levé straně poslední rovnosti není menší než stupeň
a stupeň polynomu na pravé straně je buď nula, nebo menší než stupeň
. Poslední rovnost je tedy splněna pouze pro rovnosti

,
.

Polynom
ve vzorci (7.5) se nazývá soukromé z dělení polynomu
na polynom
a polynom
volal zbytek z této divize. Li
, pak říkají, že polynom
dělitelný polynomem
který se nazývá dělitel polynomu
. Pojďme zjistit, kdy polynom
dělitelný polynomem
.

Věta 7.3. Polynom
dělitelný polynomem
tehdy a jen tehdy, pokud takový polynom existuje
, Co

. (7.12)

Důkaz. Opravdu, kdyby
děleno
, pak jako
měli byste vzít podíl dělení
na
. Nechť naopak existuje polynom splňující rovnost (7.12). Potom z toho, co bylo prokázáno ve větě 7.1. jednoznačnost polynomů
A
v zastoupení (7,5) a podmínky, které titul
menší stupeň
, z toho vyplývá, že kvocient dělení
na
rovná se
a zbytek
.

Důsledek věty 7.3.Pokud polynom
a jeho dělitel
mít racionální nebo reálné koeficienty, pak kvocient
bude mít také racionální nebo reálné koeficienty.

Příklad 7.3. Proveďte dělení se zbytkem polynomu

na polynom
.

Řešení Algoritmus dělení (7.6) – (7.9) je implementován ve tvaru „ dělení rohem »:

Takže kvocient
, zbytek
. Proto máme následující reprezentaci

což lze ověřit přímým násobením.

Definice 7.5. Nechat
A
– dva polynomy. Polynom
volalnejvětší společný dělitel (GCD)těchto polynomů, pokud je jejich společným dělitelem a je sám dělitelný jakýmkoli jiným společným dělitelem těchto polynomů.

GCD polynomů
A
označeno . Pojďme formulovat a dokázat větu, která poskytuje konstruktivní algoritmus pro nalezení GCD pro libovolné dva polynomy.

Věta 7.4 (Euklidovský algoritmus). Pro libovolné dva polynomy
A
existuje největší společný dělitel

Důkaz. Nejprve formulujme Euklidovský algoritmus nález
a pak dokážeme, že polynom získaný v procesu implementace tohoto algoritmu je největším společným dělitelem dvou daných polynomů.

Nejprve rozdělíme polynom
na polynom
a v obecném případě získáme nějaký zbytek
. Dále se rozdělíme
na
a získat zbytek
, rozdělit
na
a získat zbytek
a tak dále. V důsledku těchto postupných dělení se dostáváme ke zbytku
, kterým se dělí předchozí zbytek
. Tento zbytek bude největším společným dělitelem těchto polynomů.

Abychom to dokázali, vypíšeme řetězec dělení postupně:

Poslední rovnost to ukazuje
je dělitel pro
. Proto jsou oba členy na pravé straně předposlední rovnosti dělené
a proto dál
akcie a
. Když se posuneme v řetězci divizí nahoru, dostaneme to
je dělitel pro
,
,
,
. Z druhé rovnosti řetězce to vidíme
je dělitel pro
a tedy na základě první rovnosti – pro
. Tak,
je společný dělitel pro
A
.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ +38. Polynomiální prstenec

✪ Teorie prstenů | polynomiální kruhy | 1

✪ Teorie okruhů a polí 7. Okruh polynomů. Neredukovatelné polynomy. Rozšíření pole

✪ Okruh polynomů nad prstencem faktoriálu. Koncept pole

✪ +41. Polynomy jako prstenec

titulky

Polynomy v jedné proměnné nad polem

Polynomy

Polynom z X s koeficienty v terénu k je vyjádřením formy

Kde p 0 , …, p m - prvky k, šance p, A X, X 2 , … - formální symboly („stupně X"). Takové výrazy lze sčítat a násobit podle obvyklých pravidel pro operace s algebraickými výrazy (komutivita sčítání, distributivita, redukce podobných členů atd.). členové p k X  k s nulovým koeficientem p k jsou obvykle při nahrávání vynechány. Pomocí symbolu součtu se polynomy zapisují v kompaktnější podobě:

Polynomiální prstenec

Je snadné vidět, že množina všech polynomů s koeficienty v k (\displaystyle k) tvoří komutativní kruh, značený k [ x ] (\displaystyle k[x]) a zavolal kruh polynomů přes k (\displaystyle k) . Symbol x (\displaystyle x) obvykle nazývaná „proměnná“, tato terminologie vzešla z úvahy polynomiální funkce výše R (\displaystyle \mathbb (R) ) nebo nad C (\displaystyle \mathbb (C) ). Nicméně, obecně, polynomials a polynomial funkce jsou různé věci; například přes konečné pole F p (\displaystyle \mathbb (F)_(p)) z prvočísla p (\displaystyle p) prvky polynomy x 1 (\displaystyle x^(1)) A x p + 1 (\displaystyle x^(p+1)) definují stejnou funkci, ale jedná se o různé polynomy (polynomy jsou považovány za rovnocenné právě tehdy, když se všechny jejich koeficienty shodují). Proto proměnná x (\displaystyle x) nelze považovat za příslušnost k oboru k (\displaystyle k); o prstenu k [ x ] (\displaystyle k[x]) můžete přemýšlet takto: přidáme nový prvek do sady prvků pole x (\displaystyle x) a my pouze požadujeme, aby byly splněny kruhové axiomy a to x (\displaystyle x) dojížděl s polními prvky.

Vzhledem k tomu, že prvky polynomiálního kruhu lze násobit "skaláry" z pole k (\displaystyle k), je to vlastně asociativní algebra nad polem k (\displaystyle k). Pokud vezmeme v úvahu k [ x ] (\displaystyle k[x]) Jak vektorový prostor(tedy „zapomeňte“ na násobení), má nekonečný základ prvků 1 = x 0 (\displaystyle 1=x^(0)), x = x 1 (\displaystyle x=x^(1)), x 2 (\displaystyle x^(2)) atd.

Rozklad primeru v k[X]

Prstencový faktor k[X]

Důležité speciální případ- když prsten obsahuje k, sám je pole; označme to K. Jednoduchost faktorového modulu tím (p) (\displaystyle (p)) je ekvivalentní neredukovatelnosti p (\displaystyle p). Věta o primitivním prvku říká, že jakékoli konečné oddělitelné rozšíření může být generováno jediným prvkem, a proto má formu podílu kruhu polynomů nad menším polem neredukovatelným polynomem. Příkladem je pole komplexních čísel, které se generuje přes Rživel i, takové, že i 2 + 1 = 0. V souladu s tím polynom X 2 + 1 neredukovatelný přes R A

Obecněji pro libovolný (i nekomutativní) prsten A obsahující k a prvek A kroužky A, dojíždění se všemi prvky k, existuje unikátní homomorfismus prstenců z k[X] V A, odesílání X PROTI A:

Existence a jednoznačnost takového homomorfismu je vyjádřena pomocí určité univerzální vlastnosti polynomického kruhu a vysvětluje určitou „jedinečnost“ polynomického kruhu v různých konstrukcích teorie kruhu a komutativní algebry.

Moduly

Okruh polynomů v několika proměnných

Definice

Polynom od n proměnné X 1 ,…, X n s koeficienty v terénu K je definován podobně jako polynom v jedné proměnné, ale zápis se stává složitějším. Pro jakýkoli multiindex α = (α 1 ,…, α n), kde každý α i je nenulové celé číslo, nech

X α volal monomiální stupně | α | = ∑ i = 1 n α i (\displaystyle |\alpha |=\součet _(i=1)^(n)\alpha _(i)). Polynom je konečná lineární kombinace monočlenů s koeficienty v K: ∑ α p α X α (\displaystyle \sum _(\alpha )p_(\alpha )X^(\alpha )).

Polynomy z n proměnné s koeficienty v poli k(s obvyklými operacemi sčítání a násobení) tvoří komutativní kruh, značený k[X 1 ,…, X n]. Tento kruh lze získat opakovanou aplikací operace „převzít kruh polynomů přes daný kruh“. Například, k[X 1 , X 2] izomorfní k[X 1 ][X 2], stejně jako k[X 2 ][X 1]. Tento prsten hraje zásadní roli v algebraické geometrii. Mnoho výsledků v komutativní algebře bylo dosaženo studiem ideálů tohoto prstence a modulů nad ním.

Hilbertova nulová věta

Několik základních výsledků týkajících se vztahu mezi ideály prstenu k[X 1 ,…, X n] a algebraických podvariet k n známý souhrnně jako Hilbertův nulový teorém.

• (slabá forma, algebraicky uzavřené pole) Nechat k- algebraicky uzavřené pole. Pak jakýkoliv maximální ideál m kroužky k[X 1 ,…, X n] má tvar

• (slabá forma, libovolné pole koeficientů) Nechat k- pole, K- algebraicky uzavřené pole obsahující k A já- ideální do prstenu k[X 1 ,…, X n]. Pak já obsahuje 1 právě tehdy, když jsou polynomy z já nemají společnou nulu v K n .
• (silná forma) Nechat k- pole, K- algebraicky uzavřené pole obsahující k, já- ideální do prstenu k[X 1 ,…, X n] A PROTI(já) - algebraická pododrůda, K n určitý já. Nechat F- polynom rovný nule ve všech bodech PROTI(já). Pak nějaký stupeň F patří k ideálu já.

Kapitola XI. Polynomy.

Okruh polynomů v jedné proměnné nad

Asociativní-komutativní prsten s identitou

Definice 1. Nechat K- asociativně-komutativní kruh s identitou. Polynom nad prstencem K v proměnné x se nazývá výraz ve tvaru , kde a iÎ K a pouze konečný počet prvků a i≠0.

a i volal koeficient polynomu f(X)na stupni I.

Množina všech polynomů nad kruhem K v proměnné x označený K[X].

Definice 2. Nechat F(X) A G(X), kde K je asociativně-komutativní kruh s identitou. Polynomy F(X) A G(X) jsou nazývány rovnat se(algebraicky), pokud jsou jejich koeficienty stejné pro stejné stupně X.

Definice 3. Nulový polynom je polynom, jehož koeficienty jsou všechny rovny 0, a je označen 0=0( X).

Definice 4. Nechat K- F(X) , F(X)≠0(X). Číslo n volal stupeň polynomu f a je určeno stupeň f =n, je-li n≠0 a a i=0 at i>n.

Podle definice se předpokládá, že stupeň nulového polynomu je roven , tzn. stupeň 0(X) .

Tedy pokud , tak stupně(stupněℕ {0}).

Podle Definice 2 sečtením nebo vyřazením členů s nulovými koeficienty získáme polynom rovný danému. Tedy každý polynom stupně n lze napsat jako

Pak 0 volal volný, uvolnit nebo trvalé člen polynom F(X), a n - seniorský koeficient polynom F(X).

Definice 5. Nechat K- asociativně-komutativní prsten s identitou, , , a n≥m

Operace sčítání a násobení polynomů z K[X] jsou určeny pravidly

Věta 1 . Nechť K je nenulový asociativně-komutativní kruh s identitou. Poté K[X]ohledně provozu podle pravidel(1 )A(2 )– je také asociativně-komutativní kruh s identitou 1(X)= 1.

Důkaz. Pojďme zkontrolovat K[X] všechny axiomy asociativně-komutativního kruhu s identitou.

1. K[X]¹Æ, například 0( X)Î K[X], protože všechny jeho koeficienty jsou rovny 0О K.

2. Operace „+“ a „⋅“ podle pravidel (1) a (2) jsou algebraické na K[X] (tj. K[X] je v rámci těchto operací uzavřena). Opravdu, nech F(X)A G(X)Î K[X], ze vzorců (1) a (2) vyplývá, že koeficienty polynomů F(X)+g(X)A F(X)⋅g(X) se získá sečtením a vynásobením koeficientů F(X)A G(X), těch. prvky z K. Vzhledem k uzavřenosti prstenu K sčítání a násobení, koeficienty polynomů F(X)+g(X)A F(X)⋅g(X) patří K. To znamená F(X)+g(X)Î K[X]A F(X)⋅g(X)Î K[X].

3. [ X ], +> je abelovská skupina.