Derivace funkce zadané implicitně.
Derivace parametricky definované funkce

V tomto článku se podíváme na další dva typické úkoly, které se často vyskytují testy Podle algebra pro pokročilé. Abyste látku úspěšně zvládli, musíte být schopni najít deriváty alespoň na středně pokročilé úrovni. Najít deriváty se můžete naučit prakticky od nuly ve dvou základních lekcích a Derivace komplexní funkce. Pokud jsou vaše rozlišovací schopnosti v pořádku, pak pojďme.

Derivace funkce zadané implicitně

Nebo stručně řečeno derivace implicitní funkce. Co je to implicitní funkce? Nejprve si připomeňme samotnou definici funkce jedné proměnné:

Funkce jedné proměnné je pravidlo, podle kterého každá hodnota nezávisle proměnné odpovídá jedné a pouze jedné hodnotě funkce.

Proměnná se nazývá nezávislé proměnné nebo argument.
Proměnná se nazývá závislá proměnná nebo funkce .

Dosud jsme se podívali na funkce definované v explicitní formulář. Co to znamená? Proveďme rozbor na konkrétních příkladech.

Zvažte funkci

Vidíme, že nalevo máme osamělého „hráče“ a napravo - pouze "X". Tedy funkce výslovně vyjádřeno prostřednictvím nezávislé proměnné.

Podívejme se na další funkci:

Zde dochází k promíchání proměnných. navíc v žádném případě nemožné vyjadřujte „Y“ pouze prostřednictvím „X“. Jaké jsou tyto metody? Přenášení pojmů z části do části se změnou znaménka, jejich přesouvání ze závorek, házení faktorů podle pravidla proporce atd. Přepište rovnost a pokuste se vyjádřit „y“ explicitně: . Můžete rovnici kroutit a otáčet celé hodiny, ale neuspějete.

Dovolte mi, abych vás představil: – příklad implicitní funkce.

V průběhu matematické analýzy bylo prokázáno, že implicitní funkce existuje(avšak ne vždy), má graf (stejně jako „normální“ funkce). Implicitní funkce je úplně stejná existuje první derivace, druhá derivace atd. Jak se říká, všechna práva sexuálních menšin jsou respektována.

A v této lekci se naučíme, jak najít derivaci funkce zadané implicitně. Není to tak těžké! Všechna pravidla derivace a tabulka derivací elementárních funkcí zůstávají v platnosti. Rozdíl je v jednom zvláštním momentu, na který se právě teď podíváme.

Ano, a řeknu vám dobrou zprávu - níže popsané úkoly se provádějí podle poměrně přísného a jasného algoritmu bez kamene před třemi stopami.

Příklad 1

1) V první fázi připojíme tahy na obě části:

2) Používáme pravidla linearity derivace (první dvě pravidla lekce Jak najít derivát? Příklady řešení):

3) Přímá diferenciace.
Jak se odlišit, je zcela jasné. Co dělat tam, kde jsou pod tahy „hry“?

- až k ostudě, derivace funkce je rovna její derivaci: .

Jak se odlišit
Tady máme komplexní funkce. Proč? Zdá se, že pod sinem je pouze jedno písmeno „Y“. Faktem však je, že existuje pouze jedno písmeno „y“ - JE SAMA FUNKCÍ(viz definice na začátku lekce). Sinus je tedy vnější funkcí a je vnitřní funkcí. Používáme pravidlo pro derivování komplexní funkce :

Výrobek rozlišujeme podle obvyklého pravidla :

Vezměte prosím na vědomí, že – je také komplexní funkce, každá „hra se zvonky a píšťalkami“ je komplexní funkce:

Samotné řešení by mělo vypadat nějak takto:


Pokud existují závorky, rozbalte je:

4) Na levé straně shromažďujeme pojmy, které obsahují „Y“ s prvočíslem. Přesuňte vše ostatní na pravou stranu:

5) Na levé straně vyjmeme derivaci ze závorek:

6) A podle pravidla proporce dáme tyto závorky do jmenovatele pravé strany:

Derivát byl nalezen. Připraveno.

Je zajímavé poznamenat, že jakoukoli funkci lze implicitně přepsat. Například funkce lze přepsat takto: . A odlišit to pomocí algoritmu, který jsme právě probrali. Ve skutečnosti se fráze „implicitní funkce“ a „implicitní funkce“ liší v jedné sémantické nuanci. Fráze „implicitně specifikovaná funkce“ je obecnější a správnější, – tato funkce je specifikována implicitně, ale zde můžete vyjádřit „hru“ a prezentovat funkci explicitně. Slova „implicitní funkce“ častěji znamenají „klasickou“ implicitní funkci, kdy „hra“ nemůže být vyjádřena.

Je třeba také poznamenat, že „implicitní rovnice“ může implicitně specifikovat dvě nebo dokonce více funkcí najednou, například rovnice kruhu implicitně definuje funkce , , které definují půlkruhy. V rámci tohoto článku jsme však nebude nijak zvlášť rozlišovat mezi pojmy a nuancemi, byla to jen informace pro obecný vývoj.

Druhé řešení

Pozornost! S druhou metodou se můžete seznámit pouze tehdy, pokud víte, jak s jistotou najít částečné derivace. Začátečníci v kalkulu a figuríny, prosím nečtěte a přeskočte tento bod, jinak budeš mít v hlavě úplný chaos.

Pojďme najít derivaci implicitní funkce pomocí druhé metody.

Přesuneme všechny termíny na levou stranu:

A zvažte funkci dvou proměnných:

Potom lze naši derivaci najít pomocí vzorce
Pojďme najít parciální derivace:

Tím pádem:

Druhé řešení umožňuje provést kontrolu. Nedoporučuje se jim ale vypisovat konečnou verzi zadání, protože parciální derivace jsou zvládnuté později a student, který studuje téma „Derivace funkce jedné proměnné“, by parciální derivace ještě neměl znát.

Podívejme se na několik dalších příkladů.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce dané implicitně

Přidejte tahy do obou částí:

Používáme pravidla linearity:

Hledání derivátů:

Otevření všech závorek:

Přesuneme všechny termíny s na levou stranu, zbytek na pravou stranu:

Konečná odpověď:

Příklad 3

Najděte derivaci funkce dané implicitně

Kompletní řešení a vzorový návrh na konci lekce.

Není neobvyklé, že po derivaci vznikají zlomky. V takových případech se musíte zlomků zbavit. Podívejme se na další dva příklady.

Příklad 4

Najděte derivaci funkce dané implicitně

Obě části uzavřeme pod tahy a použijeme pravidlo linearity:

Diferencujte pomocí pravidla pro derivování komplexní funkce a pravidlo diferenciace kvocientů :

Rozšíření závorek:

Nyní se musíme zbavit zlomku. To lze provést později, ale je racionálnější to udělat hned. Jmenovatel zlomku obsahuje . Násobit na . V detailu to bude vypadat takto:

Někdy se po diferenciaci objeví 2-3 zlomky. Pokud bychom měli například další zlomek, pak by bylo potřeba operaci zopakovat – vynásobit každý termín každé části na

Na levé straně to vyjmeme ze závorek:

Konečná odpověď:

Příklad 5

Najděte derivaci funkce dané implicitně

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Jediná věc je, že než se zbavíte zlomku, budete se muset nejprve zbavit třípatrové struktury samotného zlomku. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Derivace parametricky definované funkce

Nezoufejme, vše v tomto odstavci je také docela jednoduché. Obecný vzorec pro parametricky definovanou funkci si můžete zapsat, ale aby bylo jasno, rovnou napíšu konkrétní příklad. V parametrickém tvaru je funkce dána dvěma rovnicemi: . Často se rovnice nepíší do složených závorek, ale sekvenčně: , .

Proměnná se nazývá parametr a může nabývat hodnot od „minus nekonečna“ po „plus nekonečno“. Zvažte například hodnotu a dosaďte ji do obou rovnic: . Nebo lidsky: „pokud se x rovná čtyřem, pak se y rovná jedné. Na souřadnicové rovině můžete označit bod a tento bod bude odpovídat hodnotě parametru. Podobně můžete najít bod pro libovolnou hodnotu parametru „te“. Pokud jde o „běžnou“ funkci, pro americké indiány parametricky definované funkce jsou také respektována všechna práva: můžete sestavit graf, najít derivace atd. Mimochodem, pokud potřebujete vykreslit graf parametricky definované funkce, můžete použít můj program.

V nejjednodušších případech je možné funkci reprezentovat explicitně. Vyjádřeme parametr: – z první rovnice a dosadíme do druhé rovnice: . Výsledkem je obyčejná kubická funkce.

V „závažnějších“ případech tento trik nefunguje. Ale na tom nezáleží, protože najít derivát parametrická funkce existuje vzorec:

Najdeme derivaci „hry s ohledem na proměnnou te“:

Všechna pravidla diferenciace a tabulka derivací platí samozřejmě pro písmeno , tedy v procesu hledání derivátů není žádná novinka. Stačí mentálně nahradit všechna „X“ v tabulce písmenem „Te“.

Najdeme derivaci „x vzhledem k proměnné te“:

Nyní zbývá pouze dosadit nalezené deriváty do našeho vzorce:

Připraveno. Derivace, stejně jako funkce samotná, také závisí na parametru.

Pokud jde o notaci, místo jejího zápisu do vzorce jej lze jednoduše napsat bez dolního indexu, protože se jedná o „běžnou“ derivaci „vzhledem k X“. Ale v literatuře je vždy možnost, takže nebudu vybočovat ze standardu.

Příklad 6

Používáme vzorec

V tomto případě:

Tím pádem:

Zvláštností hledání derivace parametrické funkce je fakt, že v každém kroku je výhodné výsledek co nejvíce zjednodušit. Takže v uvažovaném příkladu, když jsem to našel, otevřel jsem závorky pod kořenem (i když jsem to možná neudělal). Je velká šance, že při dosazování do vzorce se mnoho věcí dobře zredukuje. I když samozřejmě existují příklady s neobratnými odpověďmi.

Příklad 7

Najděte derivaci parametricky zadané funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami.

V článku Nejjednodušší typické problémy s derivacemi podívali jsme se na příklady, ve kterých jsme potřebovali najít druhou derivaci funkce. U parametricky definované funkce můžete také najít druhou derivaci a ta se najde pomocí následujícího vzorce: . Je zcela zřejmé, že abyste našli druhou derivaci, musíte nejprve najít tu první.

Příklad 8

Najděte první a druhou derivaci funkce zadané parametricky

Nejprve najdeme první derivaci.
Používáme vzorec

V tomto případě:

Nebo ve zkratce – derivace implicitní funkce. Co je to implicitní funkce? Vzhledem k tomu, že moje lekce jsou praktické, snažím se vyhýbat definicím a teorémům, ale zde by bylo vhodné tak učinit. Co je to vůbec funkce?

Funkce jediné proměnné je pravidlo, které říká, že pro každou hodnotu nezávisle proměnné existuje pouze jedna hodnota funkce.

Proměnná se nazývá nezávislé proměnné nebo argument.
Proměnná se nazývá závislá proměnná nebo funkce.

Zhruba řečeno, písmeno „Y“ je v tomto případě funkcí.

Dosud jsme se podívali na funkce definované v explicitní formulář. Co to znamená? Proveďme rozbor na konkrétních příkladech.

Zvažte funkci

Vidíme, že nalevo máme osamocené „Y“ (funkce) a napravo - pouze "X". Tedy funkce výslovně vyjádřeno prostřednictvím nezávislé proměnné.

Podívejme se na další funkci:

Zde dochází k promíchání proměnných. navíc v žádném případě nemožné vyjadřujte „Y“ pouze prostřednictvím „X“. Jaké jsou tyto metody? Přenášení pojmů z části do části se změnou znaménka, jejich přesouvání ze závorek, házení faktorů podle pravidla proporce atd. Přepište rovnost a pokuste se vyjádřit „y“ explicitně: . Můžete rovnici kroutit a otáčet celé hodiny, ale neuspějete.

Dovolte mi představit vás: - příklad implicitní funkce.

V průběhu matematické analýzy bylo prokázáno, že implicitní funkce existuje(avšak ne vždy), má graf (stejně jako „normální“ funkce). Implicitní funkce je úplně stejná existuje první derivace, druhá derivace atd. Jak se říká, všechna práva sexuálních menšin jsou respektována.

A v této lekci se naučíme, jak najít derivaci funkce zadané implicitně. Není to tak těžké! Všechna pravidla derivace a tabulka derivací elementárních funkcí zůstávají v platnosti. Rozdíl je v jednom zvláštním momentu, na který se právě teď podíváme.

Ano, a řeknu vám dobrou zprávu - níže popsané úkoly se provádějí podle poměrně přísného a jasného algoritmu bez kamene před třemi stopami.

Příklad 1

1) V první fázi připojíme tahy na obě části:

2) Používáme pravidla linearity derivace (první dvě pravidla lekce Jak najít derivát? Příklady řešení):

3) Přímá diferenciace.
Jak se odlišit, je zcela jasné. Co dělat tam, kde jsou pod tahy „hry“?

Až k ostudě derivace funkce je rovna její derivaci: .

Jak se odlišit

Tady máme komplexní funkce. Proč? Zdá se, že pod sinem je pouze jedno písmeno „Y“. Faktem však je, že existuje pouze jedno písmeno „y“ - JE SAMA FUNKCÍ(viz definice na začátku lekce). Sinus je tedy vnější funkcí a je vnitřní funkcí. Pro derivování komplexní funkce používáme pravidlo:

Výrobek rozlišujeme podle obvyklého pravidla:

Vezměte prosím na vědomí, že - je také komplexní funkce, každá „hra se zvonky a píšťalkami“ je komplexní funkce:

Samotné řešení by mělo vypadat nějak takto:

Pokud existují závorky, rozbalte je:

4) Na levé straně shromažďujeme pojmy, které obsahují „Y“ s prvočíslem. Přesuňte vše ostatní na pravou stranu:

5) Na levé straně vyjmeme derivaci ze závorek:

6) A podle pravidla proporce dáme tyto závorky do jmenovatele pravé strany:

Derivát byl nalezen. Připraveno.

Je zajímavé poznamenat, že jakoukoli funkci lze implicitně přepsat. Funkci lze přepsat například takto: . A odlišit to pomocí algoritmu, který jsme právě probrali. Ve skutečnosti se fráze „implicitní funkce“ a „implicitní funkce“ liší v jedné sémantické nuanci. Fráze „funkce specifikovaná v implicitní formě“ je obecnější a správnější – tato funkce je uvedena v implicitní formě, ale zde můžete vyjádřit „hru“ a reprezentovat funkci explicitně. Fráze „implicitní funkce“ odkazuje na „klasickou“ implicitní funkci, kdy „y“ nelze vyjádřit.

Druhé řešení

Pozornost! S druhou metodou se můžete seznámit pouze tehdy, pokud víte, jak s jistotou najít parciální derivace. Začátečníci a začátečníci ve studiu matematické analýzy, prosím, nečtěte a přeskočte tento bod, jinak budete mít v hlavě úplný chaos.

Pojďme najít derivaci implicitní funkce pomocí druhé metody.

Přesuneme všechny termíny na levou stranu:

A zvažte funkci dvou proměnných:

Potom lze naši derivaci najít pomocí vzorce

Pojďme najít parciální derivace:

Tím pádem:

Druhé řešení umožňuje provést kontrolu. Nedoporučuje se jim ale vypisovat konečnou verzi zadání, protože parciální derivace jsou zvládnuté později a student, který studuje téma „Derivace funkce jedné proměnné“, by parciální derivace ještě neměl znát.

Podívejme se na několik dalších příkladů.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce dané implicitně

Přidejte tahy do obou částí:

Používáme pravidla linearity:

Hledání derivátů:

Otevření všech závorek:

Přesuneme všechny termíny na levou stranu, zbytek na pravou stranu:

Na levé straně to vyjmeme ze závorek:

Konečná odpověď:

Příklad 3

Najděte derivaci funkce dané implicitně

Kompletní řešení a vzorový návrh na konci lekce.

Není neobvyklé, že po derivaci vznikají zlomky. V takových případech se musíte zlomků zbavit. Podívejme se na další dva příklady: každý termín každé části

Příklad 5

Najděte derivaci funkce dané implicitně

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Jediná věc je, že než se zbavíte zlomku, budete se muset nejprve zbavit třípatrové struktury samotného zlomku. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Vzorec pro derivaci funkce zadané implicitně. Důkaz a příklady použití tohoto vzorce. Příklady výpočtu derivací prvního, druhého a třetího řádu.

Derivace prvního řádu

Nechť je funkce specifikována implicitně pomocí rovnice
(1) .
A nechť má tato rovnice pro nějakou hodnotu jedinečné řešení. Nechť funkce je diferencovatelná funkce v bodě , a
.
Pak při této hodnotě existuje derivace, která je určena vzorcem:
(2) .

Důkaz

Chcete-li to dokázat, zvažte funkci jako komplexní funkci proměnné:
.
Aplikujme pravidlo derivování komplexní funkce a najdeme derivaci vzhledem k proměnné z levé a pravé strany rovnice
(3) :
.
Protože derivace konstanty je nula a , pak
(4) ;
.

Vzorec je osvědčený.

Deriváty vyššího řádu

Přepišme rovnici (4) pomocí různých zápisů:
(4) .
Ve stejné době a jsou komplexní funkce proměnné:
;
.
Závislost je určena rovnicí (1):
(1) .

Najdeme derivaci vzhledem k proměnné z levé a pravé strany rovnice (4).
Podle vzorce pro derivaci komplexní funkce máme:
;
.
Podle vzorce derivátu produktu:

.
Pomocí vzorce derivačního součtu:


.

Protože derivace pravé strany rovnice (4) je rovna nule, pak
(5) .
Dosazením derivace zde získáme hodnotu derivace druhého řádu v implicitní podobě.

Podobným způsobem derivování rovnice (5) získáme rovnici obsahující derivaci třetího řádu:
.
Nahradíme-li zde nalezené hodnoty derivace prvního a druhého řádu, najdeme hodnotu derivace třetího řádu.

Při pokračující diferenciaci lze nalézt derivát jakéhokoli řádu.

Příklady

Příklad 1

Najděte derivaci prvního řádu funkce dané implicitně rovnicí:
(P1) .

Řešení podle vzorce 2

Derivaci najdeme pomocí vzorce (2):
(2) .

Přesuňme všechny proměnné na levou stranu, aby rovnice nabyla tvaru .
.
Odtud.

Najdeme derivaci vzhledem k , považujeme ji za konstantní.
;
;
;
.

Najdeme derivaci vzhledem k proměnné, vezmeme-li v úvahu proměnnou konstantu.
;
;
;
.

Pomocí vzorce (2) zjistíme:
.

Výsledek můžeme zjednodušit, když si všimneme, že podle původní rovnice (A.1) je . Pojďme nahradit:
.
Vynásobte čitatele a jmenovatele:
.

Řešení druhé cesty

Vyřešme tento příklad druhým způsobem. K tomu najdeme derivaci vzhledem k proměnné levé a pravé strany původní rovnice (A1).

Aplikujeme:
.
Použijeme vzorec derivačního zlomku:
;
.
Aplikujeme vzorec pro derivaci komplexní funkce:
.
Derivujme původní rovnici (A1).
(P1) ;
;
.
Termíny násobíme a seskupujeme.
;
.

Dosadíme (z rovnice (A1)):
.
Vynásobte:
.

Příklad 2

Najděte derivaci druhého řádu funkce dané implicitně pomocí rovnice:
(A2.1) .

Původní rovnici diferencujeme s ohledem na proměnnou, uvážíme-li, že je funkcí:
;
.
Aplikujeme vzorec pro derivaci komplexní funkce.
.

Rozlišme původní rovnici (A2.1):
;
.
Z původní rovnice (A2.1) vyplývá, že . Pojďme nahradit:
.
Otevřete závorky a seskupte členy:
;
(A2.2) .
Najdeme derivaci prvního řádu:
(A2.3) .

Abychom našli derivaci druhého řádu, derivujeme rovnici (A2.2).
;
;
;
.
Dosadíme výraz za derivaci prvního řádu (A2.3):
.
Vynásobte:

;
.
Odtud najdeme derivát druhého řádu.

Příklad 3

Najděte derivaci třetího řádu funkce dané implicitně pomocí rovnice:
(A3.1) .

Původní rovnici derivujeme s ohledem na proměnnou za předpokladu, že je funkcí .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Derivujme rovnici (A3.2) vzhledem k proměnné .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Derivujme rovnici (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Z rovnic (A3.2), (A3.3) a (A3.4) najdeme hodnoty derivací na .
;
;
.

Uvažujme funkci y(x), která je zapsána implicitně obecný pohled$ F(x,y(x)) = 0 $. Derivace implicitní funkce se nalézá dvěma způsoby:

1. Odlišením obou stran rovnice
2. Pomocí hotového vzorce $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Jak najít?

Metoda 1

Není potřeba přetypovat funkci explicitně. Musíte okamžitě začít rozlišovat levou a pravou stranu rovnice vzhledem k $ x $. Za povšimnutí stojí, že derivace $ y" $ se počítá podle pravidla derivace komplexní funkce. Například $ (y^2)"_x = 2yy" $. Po nalezení derivace je nutné vyjádřit $ y" $ z výsledné rovnice a umístěte $ y" $ na levou stranu.

Metoda 2

Můžete použít vzorec, který používá parciální derivace implicitní funkce $ F(x,y(x)) = 0 $ v čitateli a jmenovateli. Chcete-li najít čitatele, vezměte derivaci vzhledem k $ x $ a pro jmenovatele vezměte derivaci vzhledem k $ y $.

Druhou derivaci implicitní funkce lze nalézt opakovaným derivováním první derivace implicitní funkce.

Příklady řešení

Podívejme se na praktické příklady řešení pro výpočet derivace implicitně zadané funkce.

Obraz funkce je v naší mysli nepochybně spojen s rovností a odpovídající přímkou ​​- grafem funkce. Například - funkční závislost, jejímž grafem je kvadratická parabola s vrcholem v počátku a větvemi směřujícími nahoru; je funkce sinus známá svými vlnami.

V těchto příkladech je levá strana rovnosti y a pravá strana je výraz závislý na argumentu x. Jinými slovy, máme rovnici vyřešenou pro y. Výkon funkční závislost ve formě takového výrazu se nazývá explicitním určením funkce(nebo fungovat explicitně). A tento typ přiřazení funkcí je pro nás nejznámější. Ve většině příkladů a problémů jsou nám prezentovány explicitní funkce. O diferenciaci funkcí jedné proměnné, explicitně specifikované, jsme již podrobně hovořili.

Funkce však implikuje shodu mezi sadou hodnot x a sadou hodnot y, a tato korespondence NENÍ nezbytně stanovena žádným vzorcem nebo analytickým výrazem. To znamená, že existuje mnoho způsobů, jak specifikovat funkci kromě obvyklého.

V tomto článku se podíváme na implicitní funkce a metody hledání jejich derivací. Příklady funkcí, které jsou specifikovány implicitně, zahrnují nebo .

Jak jste si všimli, implicitní funkce je definována vztahem. Ale ne všechny takové vztahy mezi x a y definují funkci. Například žádná dvojice reálných čísel x a y nesplňuje rovnost , proto tento vztah nedefinuje implicitní funkci.

Může implicitně určit zákon korespondence mezi veličinami x a y a každá hodnota argumentu x může odpovídat buď jedné (v tomto případě máme jednohodnotovou funkci) nebo několika hodnotám funkce (v tomto případě funkce se nazývá vícehodnotová). Například hodnota x = 1 odpovídá dvěma reálným hodnotám y = 2 a y = -2 implicitně zadané funkce.

Ne vždy je možné převést implicitní funkci do explicitní formy, jinak by nebylo nutné rozlišovat samotné implicitní funkce. Například, - není převedeno na explicitní formu, ale - je převedeno.

Teď k věci.

K nalezení derivace implicitně dané funkce je nutné derivovat obě strany rovnosti vzhledem k argumentu x, přičemž y považujeme za funkci x, a poté vyjádřit.

Derivace výrazů obsahujících x a y(x) se provádí pomocí derivačních pravidel a pravidla pro nalezení derivace komplexní funkce. Podívejme se hned na pár příkladů podrobně, aby nevznikaly další otázky.

Příklad.

Rozlišujte výrazy v x, přičemž y považujeme za funkci x.

Řešení.

Protože y je funkcí x, pak je to komplexní funkce. Může být konvenčně reprezentován jako f(g(x)), kde f je funkce kostky a g(x) = y. Pak podle vzorce pro derivaci komplexní funkce máme: .

Při derivování druhého výrazu vyjmeme konstantu z derivačního znaménka a chováme se jako v předchozím případě (zde f je funkce sinus, g(x) = y):

Pro třetí výraz použijeme vzorec pro derivaci součinu:

Důsledným uplatňováním pravidel rozlišujeme poslední výraz:

Nyní můžete přejít k nalezení derivace implicitně specifikované funkce, k tomu máte všechny znalosti.

Příklad.

Najděte derivaci implicitní funkce.

Řešení.

Derivace implicitně specifikované funkce je vždy reprezentována jako výraz obsahující x a y: . Abychom dospěli k tomuto výsledku, rozlišujeme obě strany rovnosti:

Vyřešme výslednou rovnici s ohledem na derivaci:

Odpovědět:

.

KOMENTÁŘ.

Pro konsolidaci materiálu vyřešme jiný příklad.