Jaký je rozdíl mezi okrajovými a počátečními podmínkami? já

Počáteční podmínky

Aby bylo možné počítat změny teploty v bodech tělesa v jednom nebo druhém směru v následujících okamžicích, musí být pro každý bod tělesa specifikován počáteční počáteční tepelný stav. Jinými slovy, musí být specifikována spojitá nebo nespojitá souřadnicová funkce T0 (x, y, z), kompletně popisující teplotní stav ve všech bodech tělesa v počátečním čase t = 0, a požadovaná funkce T (x, y , z, t), což je řešení diferenciální rovnice (1.8), musí splňovat počáteční podmínku

T (x, y, z, 0i=o = T0 (x, y, z). (1.11)

Hraniční podmínky

Teplovodivé těleso může být svým povrchem vystaveno různým podmínkám vnějšího tepelného vlivu. Ze všech řešení diferenciální rovnice (1.8) je tedy potřeba vybrat to, které splňuje dané podmínky na ploše S, tedy tyto specifické okrajové podmínky. Používají se následující formy matematické specifikace okrajových podmínek.

1. Teplota v každém bodě na povrchu tělesa se může v čase měnit podle konkrétního daného zákona, tj. teplota povrchu tělesa bude představovat spojitou (nebo nespojitou) funkci souřadnic a času Ts (x, y, z, i). V tomto případě musí požadovaná funkce T (x, y, z, t), která je řešením rovnice (1.8), splňovat okrajovou podmínku

T (x, y, z, 0 je = Ts (x, y, z, i). (1,12)

V nejjednodušších případech může být teplota na povrchu tělesa 7 (x, y, z, t) periodickou funkcí času nebo může být konstantní.

2. Tepelný tok povrchem tělesa je znám jako spojitá (nebo nespojitá) funkce souřadnic povrchových bodů a času qs (x, y, z, I). Pak funkce T (x, y, z, I) musí splňovat okrajovou podmínku:

X grad T (x, y, z, 0U = Qs (*. Y> z> 0- (1-13)

3. Okolní teplota Ta a zákon výměny tepla mezi životní prostředí a povrch tělesa, pro který se pro jednoduchost používá Newtonův zákon. V souladu s tímto zákonem je množství odevzdaného tepla dQ

během času dt povrchový prvek dS s teplotou

Ts (x, y, z, t) do prostředí je určeno vzorcem

dQ = k (Ts - Ta) dS dt, (1,14)

kde k je koeficient prostupu tepla v cal/cm2 - sec-°C. Na druhou stranu, podle vzorce (1.6) je stejné množství tepla přiváděno do plošného prvku zevnitř a je určeno rovností

dQ = - x (stupeň „ 7") s dS dt. (1,15)

Dáme-li rovnítko (1.14) a (1.15), dostaneme, že požadovaná funkce T (x, y, z, t) musí splňovat okrajovou podmínku

(gradnr)s = -±-(Ts-Ta). (1,16)

Jak bylo uvedeno výše, při spojování dvou částí konstrukce během instalace jsou podmínky pro svařování nejobtížnější. Svařování celého úseku současně je zcela nemožné, a proto po nanesení části švů...

Pokud jsou obecné deformace svařovaných konstrukcí značně ovlivněny posloupností nanášení jednotlivých švů, pak místní deformace a deformace od roviny svařovaných plechů jsou významně ovlivněny způsobem zhotovení každého švu. ...

Jak bylo uvedeno výše, při svařování složitých kompozitních profilů a konstrukcí závisí povaha výsledných deformací na pořadí, ve kterém jsou švy aplikovány. Proto je jedním z hlavních prostředků boje proti deformaci při výrobě svařovaných konstrukcí...

Počáteční a okrajové podmínky. Nedílným a nejdůležitějším prvkem při formulaci jakéhokoli problému v mechanice kontinua je formulace počátečních a okrajových podmínek. Jejich význam je dán tím, že ten či onen systém řešení rovnic popisuje celou třídu pohybů odpovídajícího deformovatelného prostředí a teprve nastavení počátečních a okrajových podmínek odpovídajících zkoumanému procesu umožňuje vybrat z této třídy jeden ze zajímavostí speciální případ, odpovídající řešenému praktickému problému.

Počáteční podmínky jsou podmínky, které nastavují hodnoty požadovaných charakteristických funkcí v okamžiku, kdy začíná zvažování zkoumaného procesu. Počet zadaných počátečních podmínek je určen počtem hlavních neznámých funkcí zahrnutých v systému řešení rovnic a také řádem vyšší časové derivace obsažené v tomto systému. Například adiabatický pohyb ideální kapaliny nebo ideálního plynu popisuje soustava šesti rovnic se šesti hlavními neznámými – třemi složkami vektoru rychlosti, tlakem, hustotou a měrnou vnitřní energií, přičemž řád časových derivací tyto fyzikální veličiny nepřesahují první řád. V souladu s tím musí být počáteční pole těchto šesti fyzikálních veličin specifikována jako počáteční podmínky: při t = 0,. V některých případech (např dynamická teorie elasticita) hlavními neznámými v systému řešení rovnic nejsou složky vektoru rychlosti, ale složky vektoru posunutí a pohybová rovnice obsahuje derivace složek posunutí druhého řádu, což vyžaduje zadání dvou počátečních podmínek pro požadovaná funkce: při t = 0

Při zadávání úloh v mechanice kontinua jsou okrajové podmínky specifikovány složitějším a rozmanitějším způsobem. Okrajové podmínky jsou podmínky, které specifikují hodnoty hledaných funkcí (nebo jejich derivací s ohledem na souřadnice a čas) na povrchu S oblasti obsazené deformovatelným prostředím. Existuje několik typů okrajových podmínek: kinematické, dynamické, smíšené a teplotní.

Kinematické okrajové podmínky odpovídají případu, kdy jsou na povrchu S tělesa (nebo jeho části) zadány posuvy nebo rychlosti, kde jsou souřadnice bodů na povrchu S, které se obecně mění v závislosti na čase.

Dynamické okrajové podmínky (neboli okrajové podmínky napětí) jsou specifikovány, když na povrch S působí povrchové síly p. Jak vyplývá z teorie napětí, v tomto případě na libovolné elementární ploše s jednotkovým normálovým vektorem n vektor měrných povrchových sil pn násilně nastavuje vektor celkového napětí?n = pn, působící ve spojitém prostředí v bodě na a daný povrch, což vede ke vztahu napětí tenzoru (?) v tomto bodě s povrchová síla a orientaci vektoru n odpovídající plochy povrchu: (?) · n = pn nebo.

Smíšené okrajové podmínky odpovídají případu, kdy jsou na ploše S specifikovány hodnoty kinematických i dynamických veličin nebo jsou mezi nimi stanoveny vztahy.

Teplotní okrajové podmínky se dělí do několika skupin (rod). Okrajové podmínky prvního druhu nastavují určité hodnoty teploty T na povrchu S deformovatelného média. Okrajové podmínky druhého druhu nastavují vektor tepelného toku q na hranici, který při zohlednění Fourierova zákona tepelné vodivosti , q = -- ? grad T v podstatě ukládá omezení charakteru rozložení teplot v blízkosti hraničního bodu. Okrajové podmínky třetího druhu nastavují vztah mezi vektorem tepelného toku q směrovaným do daného média z okolí a teplotním rozdílem mezi těmito médii atd.

Je třeba poznamenat, že formulace a řešení většiny problémů ve fyzice rychlých procesů se zpravidla provádějí v adiabatické aproximaci, proto se okrajové teplotní podmínky používají poměrně zřídka; používají se zejména kinematické, dynamické a smíšené okrajové podmínky. v různých kombinacích. Uvažujme možné možnosti nastavení okrajových podmínek pomocí konkrétního příkladu.

Na Obr. Obrázek 3 schematicky znázorňuje proces interakce, když deformovatelné těleso I pronikne deformovatelnou bariérou II. Těleso I je omezeno plochami S1 a S5 a těleso II plochami S2, S3, S4, S5. Povrch S5 je rozhraním mezi vzájemně působícími deformovatelnými tělesy. Budeme předpokládat, že k pohybu tělesa I před začátkem interakce, stejně jako během jejího procesu, dochází v kapalině vytvářející určitý hydrostatický tlak

Obrázek 3

a specifikující povrchové síly pn = -- pn = -- pni ri, vnější vůči oběma tělesům, působící na kteroukoli z elementárních oblastí povrchů S1 tělesa I a S2 bariéry II, ohraničujících kapalinu. Budeme také předpokládat, že povrch Sz bariéry je pevně fixován a povrch S4 je bez působení povrchových sil (рп = 0).

Pro daný příklad musí být specifikovány okrajové podmínky všech tří hlavních typů na různých plochách ohraničujících deformovatelná média I a II. Je zřejmé, že na pevně fixované ploše Sз je nutné nastavit kinematické okrajové podmínky tělesa: nebo Složky tenzoru napětí na povrchu svodidla S4 také nemohou být libovolné, ale jsou propojeny s orientací jeho elementárních oblastí. tak jako.

Okrajové podmínky na rozhraní (povrch S5) interagujících deformovatelných médií jsou nejsložitější a týkají se podmínek smíšeného typu, které zase zahrnují kinematické a dynamické části (viz obr. 3). Kinematická část smíšených okrajových podmínek ukládá omezení rychlosti pohybu jednotlivých bodů obou prostředí, která jsou v kontaktu v každém prostorovém bodě plochy S5. Existují dvě možné možnosti nastavení těchto omezení, znázorněné na Obr. 4, a a b. Podle nejjednodušší první možnosti se předpokládá, že rychlosti pohybu libovolných dvou jednotlivých bodů v kontaktu jsou stejné (? = ?) - jedná se o tzv. „přilepení“ nebo „svařovací“ stav (viz obr. 4, a). Složitější a zároveň adekvátnější pro uvažovaný proces je nastavit podmínku „nepropustnosti“, případně podmínku „netěsnosti“ (? · n= ? · n; viz obr. 4, b), což odpovídá experimentálně ověřené skutečnosti: interagující deformovatelná média nemohou proniknout

Obrázek 4

do sebe nebo za sebou zaostávat, nebo mohou klouzat vůči sobě rychlostí? - ?, směřující tečně k rozhraní ((?I -?II) · n = 0). Dynamická část smíšených okrajových podmínek na rozhraní dvou prostředí je formulována na základě třetího Newtonova zákona pomocí vztahů teorie napětí (obr. 4, c). V každé ze dvou jednotlivých částic deformovatelného prostředí I a II, které jsou v kontaktu, se tak realizuje vlastní stav napětí, charakterizovaný tenzory napětí (?) I a (?) II. Navíc v prostředí I na každé elementární ploše rozhraní s jednotkovým normálovým vektorem nII, mimo dané médium, působí celkový vektor napětí?nI = (?)·nI. V prostředí II na stejné ploše, ale s jednotkovým normálovým vektorem nII, mimo toto prostředí, působí vektor celkového napětí?nII = (?)II · nII. Vezmeme-li v úvahu reciprocitu akce a reakce?nI = - ? n II, stejně jako zřejmá podmínka nI = --nII = n, je stanoven vztah mezi tenzory napětí v obou interagujících prostředích na jejich rozhraní: (?)I · p = (?) II · p nebo (?ijI - ?ijII) nj = 0. Možné volby pro specifikaci okrajových podmínek nejsou omezeny na konkrétní uvažovaný příklad. Existuje tolik možností pro specifikaci počátečních a okrajových podmínek, kolik procesů interakce mezi deformovatelnými tělesy nebo médii v přírodě a technologii existuje. Jsou určeny charakteristikou řešeného praktického problému a jsou stanoveny v souladu s obecnými zásadami uvedenými výše.

U| x=0 = g 1 (t),U| x=l = g 2 (t)

Tyto podmínky fyzicky znamenají, že na koncích jsou specifikovány oscilační režimy.

II. Okrajové podmínky druhého druhu

U X | x=0 = g 1 (t), U X | x=l = g 2 (t)

Takové podmínky odpovídají skutečnosti, že na koncích jsou specifikovány síly.

III. Okrajové podmínky třetího druhu

(U X -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t), (U X –σ 2 U)| x=l = g 2 (t)

Tyto podmínky odpovídají elastickému upevnění konců.

Okrajové podmínky (5), (6) a (7) se nazývají homogenní, pokud jsou pravé strany g 1 (t) a g 2 (t) shodně rovné nule pro všechny hodnoty t. Pokud alespoň jedna z funkcí na pravých stranách není rovna nule, pak se okrajové podmínky nazývají nehomogenní.

Obdobně jsou okrajové podmínky formulovány v případě tří nebo čtyř proměnných za předpokladu, že jednou z těchto proměnných je čas. Hranicí v těchto případech bude buď uzavřená křivka Г, ohraničující určitou plochou oblast, nebo uzavřená plocha Ω, ohraničující oblast v prostoru. Derivace funkce, která se objeví v okrajových podmínkách druhého a třetího druhu, se odpovídajícím způsobem změní. Bude to derivace vzhledem k normále n ke křivce Г v rovině nebo k ploše Ω v prostoru a zpravidla se uvažuje normála vnější k oblasti (viz obr. 5).

Například (homogenní) okrajová podmínka prvního druhu na rovině se zapíše jako U| Γ =O, v prostoruU| Ω = 0. Okrajová podmínka druhého druhu na rovině má tvar a v prostoru. Samozřejmě, že fyzikální význam těchto podmínek je pro různé problémy odlišný.

Při nastavování počátečních a okrajových podmínek nastává problém najít řešení diferenciální rovnice splňující dané počáteční a okrajové (okrajové) podmínky. Pro vlnovou rovnici (3) nebo (4) jsou počáteční podmínky U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) a v případě okrajových podmínek prvního druhu ( 5), problém se nazývá první problém počátečních okrajových hodnot pro vlnovou rovnici. Pokud jsou místo okrajových podmínek prvního druhu zadány podmínky druhého druhu (6) nebo třetího druhu (7), bude problém zavolán, resp. druhý a třetí počáteční okrajový problém. Pokud okrajové podmínky na různých úsecích hranice mají různé typy, pak se takové počáteční okrajové úlohy nazývají smíšený.

Zvažte dva typické elektrostatické problémy:

1) Najděte potenciál elektrického pole pro neznámé místo počátečních nábojů, ale daný elektrický potenciál na hranicích oblasti. (Například problém rozložení potenciálu elektrického pole vytvořeného soustavou stacionárních vodičů umístěných ve vakuu a napojených na baterie. Zde je možné změřit potenciál každého vodiče, ale jen velmi obtížně určit rozložení elektrických nábojů na vodičích v závislosti na jejich tvaru.)

2) Najděte potenciál elektrického pole vytvořeného daným rozložením elektrických nábojů v prostoru.

Je dobře známo, že přímou metodou pro výpočet potenciálu elektrického pole v těchto problémech je řešení Laplaceovy rovnice(úkol 1)

(1)

A Poissonovy rovnice(úkol 2)

. (2)

Rovnice (1), (2) patří do třídy parciálních diferenciálních rovnic eliptický typ.

Níže se budeme zabývat pouze speciálním případem eliptické rovnice pro pole  v závislosti na dvou prostorových proměnných. Je zcela zřejmé, že pro úplné vyřešení problému je třeba rovnice (1), (2) doplnit okrajovými podmínkami. Existují tři typy okrajových podmínek:

1) Dirichletovy okrajové podmínky(hodnoty  jsou specifikovány na některé uzavřené křivce v rovině (x,y) a případně na některých dalších křivkách umístěných uvnitř oblasti (obr. 1));

2) Neumannovy okrajové podmínky(na hranici je specifikována normálová derivace potenciálu );

3) smíšený okrajový problém(na hranici je uvedena lineární kombinace potenciálu  a jeho normální derivace).

Určuje teplotu na povrchu tělesa kdykoliv, tzn

Ts = Ts (x, y, z, t) (2.15)

Rýže. 2.4 – Izotermická okrajová podmínka.

Bez ohledu na to, jak se teplota uvnitř tělesa mění, teplota bodů na povrchu se řídí rovnicí (2.15).

Křivka rozložení teploty v tělese (obr. 2.4) na hranici tělesa má danou pořadnici T s , které se mohou v průběhu času měnit. Speciálním případem okrajové podmínky prvního druhu je izotermický okrajová podmínka, při které teplota povrchu těla zůstává konstantní po celý proces přenosu tepla:

T s = konst.

Rýže. 2.5 – Stav prvního druhu

Pro představu takového stavu tělesa je nutné předpokládat, že symetricky ke zdroji tepla působícímu v tělese existuje mimo něj další, fiktivní zdroj tepla se záporným znaménkem (tzv. chladič). Navíc vlastnosti tohoto chladiče se přesně shodují s vlastnostmi skutečného zdroje tepla a rozložení teplot je popsáno stejným matematickým výrazem. Celkový efekt těchto zdrojů povede k založení stálá teplota, ve zvláštním případě T = 0 °C , zatímco v těle se teplota bodů neustále mění.

Hraniční stav druhého druhu

Určuje hustotu tepelného toku v libovolném bodě povrchu tělesa v libovolném čase, tzn.

Podle Fourierova zákona je hustota tepelného toku přímo úměrná teplotnímu gradientu. Teplotní pole na rozhraní má tedy daný gradient (obr. b), v konkrétním případě konstanty, kdy

Speciálním případem okrajové podmínky druhého druhu je adiabatická okrajová podmínka, kdy je tepelný tok povrchem tělesa nulový (obr. 2.6), tzn.

Rýže. 2.6 - Okrajová podmínka druhého druhu

V technických výpočtech se často vyskytují případy, kdy je tepelný tok z povrchu tělesa malý ve srovnání s toky uvnitř tělesa. Pak můžeme tuto hranici přijmout jako adiabatickou. Při svařování lze takový případ znázornit následujícím schématem (obr. 2.7).

Rýže. 2.7 – Stav druhého druhu

Na místě O zdroj tepla je aktivní. Pro splnění podmínky, že hranice nepropouští teplo, je nutné umístit stejný zdroj mimo těleso, symetricky k tomuto zdroji, v bodě O 1 a tepelný tok z něj směřuje proti proudu hlavního zdroje. Navzájem se ruší, to znamená, že hranice nepropouští teplo. Teplota okraje tělesa však bude dvakrát vyšší, pokud by toto těleso bylo nekonečné. Tato metoda kompenzace tepelného toku se nazývá metoda odrazu, protože v tomto případě lze tepelně nepropustnou hranici považovat za hranici odrážející tepelný tok přicházející z kovu.

Hraniční podmínka třetího druhu.

Určuje okolní teplotu a zákon výměny tepla mezi povrchem těla a okolím. Nejjednodušší tvar okrajové podmínky třetího druhu získáme, je-li přestup tepla na hranici dán Newtonovou rovnicí, která vyjadřuje, že hustota tepelného toku prostupu tepla mezním povrchem je přímo úměrná rozdílu teplot mezi hraničním povrchem a prostředím

Hustota tepelného toku proudícího k hraniční ploše ze strany tělesa je podle Fourierova zákona přímo úměrná teplotnímu gradientu na hraniční ploše:

Přirovnáme-li tepelný tok přicházející z těla k toku přenosu tepla, získáme okrajovou podmínku 3. druhu:

,

vyjadřující, že teplotní gradient na hraničním povrchu je přímo úměrný rozdílu teplot mezi povrchem tělesa a prostředím. Tato podmínka vyžaduje, aby tečna ke křivce rozložení teploty v hraničním bodě procházela vodícím bodem O s teplotou umístěnou mimo těleso ve vzdálenosti od hraničního povrchu (obr. 2.8).

Obrázek 2.8 – Okrajová podmínka 3. druhu

Z okrajové podmínky 3. druhu lze získat jako speciální případ izotermickou okrajovou podmínku. Pokud, k čemuž dojde při velmi vysokém součiniteli prostupu tepla nebo velmi nízkém součiniteli tepelné vodivosti, pak:

a, tj. teplota povrchu těla je během celého procesu přenosu tepla konstantní a rovná se teplotě okolí.

), definující jeho chování v počátečním časovém okamžiku, respektive na hranici uvažovaného regionu.

Diferenciální rovnice obvykle nemá jedno řešení, ale celou jejich rodinu. Počáteční a okrajové podmínky umožňují vybrat z něj takovou, která odpovídá skutečnému fyzikálnímu procesu nebo jevu. V teorii obyčejných diferenciálních rovnic se osvědčila věta o existenci a jednoznačnosti řešení úlohy s počáteční podmínkou (tzv. Cauchyho úloha). Pro parciální diferenciální rovnice jsou získány některé věty o existenci a jednoznačnosti pro řešení pro určité třídy počátečních a okrajových úloh.

Terminologie

Někdy jsou počáteční podmínky v nestacionárních problémech, jako je řešení hyperbolických nebo parabolických rovnic, také považovány za okrajové podmínky.

U stacionárních úloh existuje rozdělení okrajových podmínek na hlavní A přírodní.

Hlavní podmínky mají obvykle formu u (∂ Ω) = g (\displaystyle u(\částečné \Omega)=g), Kde ∂ Ω (\displaystyle \partial \Omega )- hranice regionu Ω (\displaystyle \Omega ).

Přirozené podmínky obsahují také derivaci řešení podél normály k hranici.

Příklad

Rovnice d 2 y d t 2 = − g (\displaystyle (\frac (d^(2)y)(dt^(2)))=-g) popisuje pohyb tělesa v gravitačním poli. Vyhovuje mu jakákoli kvadratická funkce formy y (t) = − g t 2 / 2 + a t + b, (\displaystyle y(t)=-gt^(2)/2+at+b,) Kde a , b (\displaystyle a,b)- libovolná čísla. Pro identifikaci konkrétního pohybového zákona je nutné uvést počáteční souřadnici tělesa a jeho rychlost, tedy počáteční podmínky.

Správnost nastavení okrajových podmínek

Úlohy matematické fyziky popisují skutečné fyzikální procesy, a proto jejich formulace musí splňovat tyto přirozené požadavky:

1. Řešení musí existovat v nějaké třídě funkcí;
2. Řešení musí být jediný v nějaké třídě funkcí;
3. Řešení musí neustále závislý na datech(výchozí a okrajové podmínky, volný termín, koeficienty atd.).

Požadavek na spojitou závislost řešení je dán tím, že fyzikální data jsou zpravidla určena přibližně z experimentu, a proto je třeba mít jistotu, že řešení úlohy v rámci zvoleného matematického modelu nebude výrazně závisí na chybě měření. Matematicky lze tento požadavek zapsat například takto (pro nezávislost na volném termínu):

Nechť jsou dány dvě diferenciální rovnice: Lu = F 1, Lu = F 2 (\displaystyle Lu=F_(1),~Lu=F_(2)) se stejnými diferenciálními operátory a stejnými okrajové podmínky, pak jejich řešení budou průběžně záviset na volném termínu, pokud:

Volá se množina funkcí, pro které jsou splněny uvedené požadavky třída správnosti. Nesprávné nastavení okrajových podmínek je dobře znázorněno