Interpolace, interpolace (z lat. inter-polis - « vyhlazený, obnovený, obnovený; převedeny") - ve výpočetní matematice metoda hledání mezilehlých hodnot veličiny z existující diskrétní množiny známé hodnoty. Termín „interpolace“ poprvé použil John Wallis ve svém pojednání „Aritmetika nekonečna“ (1656).

Ve funkcionální analýze je interpolace lineárních operátorů částí, která zachází s Banachovými prostory jako s prvky nějaké kategorie.

Mnoho z těch, kteří se zabývají vědeckými a technickými výpočty, musí často pracovat se sadami hodnot získaných empiricky nebo náhodným výběrem. Na základě těchto množin je zpravidla nutné sestrojit funkci, do které by mohly s vysokou přesností padat další získané hodnoty. Tento problém se nazývá aproximace. Interpolace je typ aproximace, při které křivka konstruované funkce prochází přesně dostupnými datovými body.

Interpolaci se blíží i úloha, která spočívá v aproximaci komplexní funkce jinou, jednodušší funkcí. Pokud je určitá funkce pro produktivní výpočty příliš složitá, můžete zkusit vypočítat její hodnotu v několika bodech a z nich sestrojit, tedy interpolovat, jednodušší funkci. Použití zjednodušené funkce samozřejmě nepřinese tak přesné výsledky jako původní funkce. Ale v některých třídách problémů může dosažený zisk v jednoduchosti a rychlosti výpočtů převážit nad výslednou chybou ve výsledcích.

Za zmínku také stojí zcela jiný typ matematické interpolace známý jako operátorová interpolace. Mezi klasické práce o operátorové interpolaci patří Riesz-Thorinův teorém a Marcinkiewiczův teorém, které jsou základem mnoha dalších prací.

Definice

Uvažujme systém neshodných bodů x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) z nějaké oblasti D ( \displaystyle D) . Nechť jsou hodnoty funkce f (\displaystyle f) známé pouze v těchto bodech:

Yi = f (xi), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Interpolační problém je najít funkci F (\displaystyle F) z dané třídy funkcí tak, že

F(xi) = yi, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Jsou volány body x i (\displaystyle x_(i)). interpolační uzly a jejich totalita je interpolační mřížka.
• Dvojice (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) se nazývají datové body nebo základní body.
• Rozdíl mezi „sousedními“ hodnotami Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - krok interpolační mřížky. Může být variabilní nebo konstantní.
• Funkce F (x) (\displaystyle F(x)) - interpolační funkce nebo interpolant.

Příklad

1. Mějme tabulkovou funkci, jako je ta popsaná níže, která pro několik hodnot x (\displaystyle x) určuje odpovídající hodnoty f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

Interpolace nám pomáhá zjistit, jakou hodnotu by taková funkce mohla mít v jiném bodě, než jsou specifikované body (např X = 2,5).

K dnešnímu dni existuje mnoho různých interpolačních metod. Výběr nejvhodnějšího algoritmu závisí na odpovědích na otázky: jak přesná je zvolená metoda, jaké jsou náklady na její použití, jak hladká je interpolační funkce, kolik datových bodů vyžaduje atd.

2. Najděte střední hodnotu (lineární interpolací).

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000)) (0.0.2)-*0 (1900000-6) 15.5))(1))=16.1993)

V programovacích jazycích

Příklad lineární interpolace pro funkci y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Uživatel může zadat číslo od 1 do 10.

Fortran

C++

Interpolační metody

Interpolace nejbližšího souseda

Nejjednodušší metodou interpolace je metoda interpolace nejbližšího souseda.

Interpolace polynomy

V praxi se nejčastěji používá interpolace polynomy. Je to způsobeno především tím, že polynomy se snadno počítají, jejich derivace se dají snadno analyticky najít a množina polynomů je hustá v prostoru spojitých funkcí (Weierstrassova věta).

• Lineární interpolace
• Interpolační vzorec Newton
• Metoda konečných rozdílů
• IMN-1 a IMN-2
• Lagrangeův polynom (interpolační polynom)
• Schéma Aitken
• Spline funkce
• Kubický spline

Inverzní interpolace (výpočet x dané y)

• Lagrangeův polynom
• Reverzní interpolace pomocí Newtonova vzorce
• Inverzní interpolace pomocí Gaussova vzorce

Interpolace funkce více proměnných

• Bilineární interpolace
• Bikubická interpolace

Jiné metody interpolace

• Racionální interpolace
• Trigonometrická interpolace

Související pojmy

• Extrapolace - metody hledání bodů venku zadaný interval(prodloužení křivky)
• Aproximace - metody pro konstrukci přibližných křivek

Reverzní interpolace

na třídě funkcí z prostoru C2, jejichž grafy procházejí body pole (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Řešení. Mezi všemi funkcemi, které procházejí referenčními body (xi, f(xi)) a patří do zmíněného prostoru, je to kubický splajn S(x), splňující okrajové podmínky S00(a) = S00(b) = 0 , který poskytuje extrém (minimum) funkcionálu I(f).

V praxi často nastává problém hledání hodnoty argumentu pomocí dané hodnoty funkce. Tento problém je řešen metodami inverzní interpolace. Li danou funkci je monotónní, pak se zpětná interpolace nejsnáze provede nahrazením funkce argumentem a naopak a následnou interpolací. Pokud daná funkce není monotónní, nelze tuto techniku ​​použít. Potom, aniž bychom měnili role funkce a argumentu, zapíšeme jeden nebo druhý interpolační vzorec; Pomocí známých hodnot argumentu a za předpokladu, že je funkce známá, vyřešíme výslednou rovnici s ohledem na argument.

Vyhodnocení zbývajícího členu při použití první techniky bude stejné jako u přímé interpolace, pouze derivace přímé funkce musí být nahrazeny derivacemi funkce inverzní. Odhadneme chybu druhé metody. Pokud dostaneme funkci f(x) a Ln (x) je Lagrangeův interpolační polynom sestrojený pro tuto funkci z uzlů x0, x1, x2, . . . , xn, tedy

f (x) − Ln (x) = (n + 1)! (x− x0). . . (x− xn) .

Předpokládejme, že potřebujeme najít hodnotu x¯, pro kterou je dáno f (¯x) = y¯ (y¯). Budeme řešit rovnici Ln (x) = y¯. Pojďme získat nějakou hodnotu x¯. Dosazením do předchozí rovnice dostaneme:

Z posledního výrazu vyplývá:

|x¯ − x¯| 6m1(n+1)! |$n(x¯)| .

V tomto případě se samozřejmě předpokládá, že jsme rovnici Ln (x) = y¯ vyřešili přesně.

Použití interpolace k vytvoření tabulek

Interpolační teorie má aplikace při sestavování tabulek funkcí. Po obdržení takového problému musí matematik před zahájením výpočtů vyřešit řadu otázek. Musí být zvolen vzorec, podle kterého se budou výpočty provádět. Tento vzorec se může lišit místo od místa. Vzorce pro výpočet funkčních hodnot jsou obvykle těžkopádné, a proto se používají k získání některých referenčních hodnot a poté je tabulka zhuštěna subtabulací. Vzorec, který udává referenční hodnoty funkce, musí poskytovat požadovanou přesnost tabulek s přihlédnutím k následující podtabulce. Pokud potřebujete vytvořit tabulky s konstantním krokem, musíte nejprve určit jeho krok.

Zpět První Předchozí Další Poslední Přejít na index

Nejčastěji se tabulky funkcí sestavují tak, aby byla možná lineární interpolace (tedy interpolace pomocí prvních dvou členů Taylorova vzorce). V tomto případě bude mít zbývající termín formu

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Zde ξ patří do intervalu mezi dvěma sousedními tabulkovými hodnotami argumentu, ve kterém se nachází x a t je mezi 0 a 1. Součin t(t − 1) má největší modulo

hodnota v t = 12. Tato hodnota je 14. Tak,

Je třeba mít na paměti, že spolu s touto chybou - chybou metody - v praktickém výpočtu mezihodnoty vznikne i neodstranitelná chyba a chyba zaokrouhlení. Jak jsme viděli dříve, fatální chyba v lineární interpolaci se bude rovnat chybě v tabulkových hodnotách funkcí. Chyba zaokrouhlení bude záviset na výpočetních prostředcích a výpočetním programu.

Zpět První Předchozí Další Poslední Přejít na index

Předmětový rejstřík

oddělené rozdíly druhého řádu, 8 prvního řádu, 8

spline, 15

interpolační uzly, 4

Zpět První Předchozí Další Poslední Přejít na index

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Jak provést interpolaci

Vzorec pro interpolaci tabulkových dat

Používá se ve 2. akci, kdy množství NHR (Q, t) z podm je prostřední mezi 100 t a 300 t.

(Výjimka: pokud se Q podle podmínky rovná 100 nebo 300, interpolace není nutná).

y Ó- Vaše počáteční množství NHR ze stavu v tunách

(odpovídá písmenu Q)

y 1 – menší

(z tabulek 11-16, obvykle se rovná 100).

y 2 – více hodnota množství NHR nejbližší vašemu, v tunách

(z tabulek 11-16, obvykle se rovná 300).

X 1 y 1 (X 1 umístěný naproti y 1 ), km.

X 2 – tabulková hodnota hloubky rozložení oblaku kontaminovaného vzduchu (Gt), resp y 2 (X 2 umístěný naproti y 2 ), km.

X 0 – požadovaná hodnota G T odpovídající y Ó(podle vzorce).

Příklad.

NHR – chlor; Q = 120 t;

Typ SVSP (stupeň vertikálního odporu vzduchu) – inverzní.

Nalézt G T- tabulková hodnota hloubky rozložení oblaku kontaminovaného vzduchu.

Prohlédneme si tabulky 11-16 a najdeme údaje, které odpovídají vašemu stavu (chlór, inverze).

Tabulka 11 je vhodná.

Výběr hodnot y 1 , y 2, X 1 , X 2 . Důležité – rychlost větru 1 m/s, teplotu 20 °C.

Vybrané hodnoty dosadíme do vzorce a najdeme X 0 .

Důležité – výpočet je správný, pokud X 0 bude mít hodnotu někde mezi X 1 , X 2 .

1.4. Lagrangeův interpolační vzorec

Algoritmus navržený Lagrangeem pro konstrukci interpolace

funkcí z tabulek (1) umožňuje konstrukci interpolačního polynomu Ln(x) ve tvaru

Je zřejmé, že splnění podmínek (11) pro (10) určuje splnění podmínek (2) pro nastavení interpolačního problému.

Polynomy li(x) jsou zapsány následovně

Všimněte si, že ani jeden faktor ve jmenovateli vzorce (14) není roven nule. Po výpočtu hodnot konstant ci je můžete použít k výpočtu hodnot interpolované funkce v daných bodech.

Vzorec pro Lagrangeův interpolační polynom (11), který bere v úvahu vzorce (13) a (14), lze zapsat jako

1.4.1.Organizace ručních výpočtů pomocí Lagrangeova vzorce

Přímá aplikace Lagrangeova vzorce vede k velkému počtu podobných výpočtů. U tabulek malých rozměrů lze tyto výpočty provádět buď ručně, nebo v programovém prostředí

V první fázi budeme uvažovat o algoritmu pro ruční výpočty. V budoucnu by se stejné výpočty měly opakovat v prostředí

Microsoft Excel nebo OpenOffice.org Calc.

Na Obr. Obrázek 6 ukazuje příklad původní tabulky interpolované funkce definované čtyřmi uzly.

Obr.6. Tabulka obsahující počáteční data pro čtyři uzly interpolované funkce

Do třetího sloupce tabulky zapíšeme hodnoty koeficientů qi vypočítané pomocí vzorců (14). Níže je záznam těchto vzorců pro n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Dalším krokem při implementaci ručních výpočtů je výpočet hodnot li(x) (j=0,1,2,3), provedený podle vzorců (13).

Napišme tyto vzorce pro verzi tabulky se čtyřmi uzly, které uvažujeme:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

Spočítejme si hodnoty polynomů li(xj) (j=0,1,2,3) a zapište je do buněk tabulky. Hodnoty funkce Ycalc(x) podle vzorce (11) budou získány jako výsledek sečtení hodnot li(xj) po řádcích.

Formát tabulky včetně sloupců vypočtených hodnot li(xj) a sloupce hodnot Ycalc(x) je znázorněn na obr. 8.

Rýže. 8. Tabulka s výsledky ručních výpočtů provedených pomocí vzorců (16), (17) a (11) pro všechny hodnoty argumentu xi

Po vytvoření tabulky znázorněné na obr. 8, pomocí vzorců (17) a (11) můžete vypočítat hodnotu interpolované funkce pro libovolnou hodnotu argumentu X. Například pro X=1 vypočítáme hodnoty li(1) (i=0, 1,2,3):

10(1) = 0,7763; 11(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Sečtením hodnot li(1) dostaneme hodnotu Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Implementace interpolačního algoritmu pomocí Lagrangeových vzorců v prostředí programu Microsoft Excel

Implementace interpolačního algoritmu začíná, stejně jako u ručních výpočtů, zápisem vzorců pro výpočet koeficientů qi Na Obr. Obrázek 9 ukazuje sloupce tabulky s danými hodnotami argumentu, interpolované funkce a koeficientů qi. Napravo od této tabulky jsou vzorce zapsané v buňkách sloupce C pro výpočet hodnot koeficientů qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ж q0

ВС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ж q1

ВС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ж q2

ВС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Ж q3

Rýže. 9 Tabulka koeficientů qi a výpočetní vzorce

Po zadání vzorce q0 do buňky C2 se tento rozšíří přes buňky C3 až C5. Poté se vzorce v těchto buňkách upraví podle (16) do podoby znázorněné na Obr. 9.

Implementací vzorců (17) zapíšeme vzorce pro výpočet hodnot li(x) (i=0,1,2,3) do buněk sloupců D, E, F a G. Do buňky D2 pro výpočet hodnoty l0(x0) zapíšeme vzorec:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

získáme hodnoty l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Formát odkazu $A2 umožňuje roztáhnout vzorec přes sloupce E, F, G a vytvořit tak výpočetní vzorce pro výpočet li(x0) (i=1,2,3). Když vzorec přetáhnete přes řádek, index sloupce argumentů se nezmění. Pro výpočet li(x0) (i=1,2,3) po nakreslení vzorce l0(x0) je nutné je opravit podle vzorců (17).

Do sloupce H umístíme excelovské vzorce pro sčítání li(x) podle vzorce

(11)algoritmus.

Na Obr. Obrázek 10 ukazuje tabulku implementovanou v prostředí programu Microsoft Excel. Známkou správnosti vzorců zapsaných v buňkách tabulky a provedených výpočetních operací jsou výsledná diagonální matice li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), opakováním výsledků znázorněných na obr. 8 a sloupec hodnot, které se shodují s hodnotami interpolované funkce v uzlech zdrojové tabulky.

Rýže. 10. Tabulka hodnot li(xj) (j=0,1,2,3) a Ycalc(xj)

Pro výpočet hodnot v některých mezilehlých bodech to stačí

Do buněk sloupce A, počínaje buňkou A6, zadejte hodnoty argumentu X, pro které chcete určit hodnoty interpolované funkce. Vybrat

v posledním (5.) řádku tabulky buňky od l0(xn) do Ycalc(xn) a roztáhněte vzorce zapsané ve vybraných buňkách na řádek obsahující poslední

zadaná hodnota argumentu x.

Na Obr. 11 ukazuje tabulku, ve které je funkční hodnota vypočtena ve třech bodech: x=1, x=2 a x=3. Do tabulky byl přidán další sloupec s čísly řádků zdrojové datové tabulky.

Rýže. 11. Výpočet hodnot interpolovaných funkcí pomocí Lagrangeových vzorců

Pro větší přehlednost při zobrazování výsledků interpolace vytvoříme tabulku, která bude obsahovat sloupec hodnot argumentu X seřazených vzestupně, sloupec počátečních hodnot funkce Y(X) a sloupec

Řekněte mi, jak používat interpolační vzorec a který z nich při řešení problémů v termodynamice (tepelné inženýrství)

Ivan Šestakovič

Nejjednodušší, ale často ne dostatečně přesná interpolace je lineární. Když již máte dva známé body (X1 Y1) a (X2 Y2) a potřebujete najít hodnoty Y dne nějakého X, který se nachází mezi X1 a X2. Pak je vzorec jednoduchý.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+U1
Mimochodem, tento vzorec funguje i pro hodnoty X mimo interval X1..X2, ale to se již nazývá extrapolace a ve značné vzdálenosti od tohoto intervalu dává velmi velkou chybu.
Existuje mnoho dalších nadávek. interpolační metody - doporučuji přečíst si učebnici nebo prohledat internet.
Možný je i způsob grafické interpolace - ručně nakreslete graf přes známé body a najděte z grafu Y pro požadované X. ;)

Román

Máte dva významy. A přibližně závislost (lineární, kvadratická, ..)
Graf této funkce prochází vašimi dvěma body. Potřebujete hodnotu někde mezi. No ty to vyjadřuješ!
Například. V tabulce je při teplotě 22 stupňů tlak nasycených par 120 000 Pa a při 26 124 000 Pa. Poté při teplotě 23 stupňů 121000 Pa.

Interpolace (souřadnice)

Na mapě (obrázku) je souřadnicová mřížka.
Je na něm několik dobře známých referenčních bodů (n>3), z nichž každý má dva hodnoty x,y- souřadnice v pixelech a souřadnice v metrech.
Je nutné najít mezilehlé hodnoty souřadnic v metrech se znalostí souřadnic v pixelech.
Lineární interpolace není vhodná - chyba mimo čáru je příliš velká.
Asi takto: (Xc je souřadnice v metrech podél ox, Xp je souřadnice v pixelech podél ox, Xc3 je požadovaná hodnota v ox)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Jak najít stejný vzorec pro nalezení Xc a Yc, přičemž se neberou v úvahu dva (jako zde), ale N známých referenčních bodů?

Joka kapradina lowd

Soudě podle zapsaných vzorců, shodují se osy souřadnicových systémů v pixelech a v metrech?
To znamená, že Xp -> Xc je interpolováno nezávisle a Yp -> Yc je interpolováno nezávisle. Pokud ne, pak je potřeba použít dvourozměrnou interpolaci Xp,Yp->Xc a Xp,Yp->Yc, což úkol poněkud komplikuje.
Dále se předpokládá, že souřadnice Xp a Xc spolu souvisí nějakou závislostí.
Pokud je znám charakter závislosti (nebo se předpokládá, že např. předpokládáme, že Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), pak je možné získat parametry této závislosti (pro danou závislost a, b, c) pomocí regresní analýzy (metoda nejmenších čtverců). V této metodě, pokud zadáte určitou závislost Xc(Xp), můžete získat vzorec pro parametry závislosti na referenčních datech. Tato metoda umožňuje zejména najít lineární vztah, který nejlépe vyhovuje danému souboru dat.
Nevýhoda: Při této metodě se souřadnice Xc získané z dat řídicích bodů Xp mohou lišit od zadaných. Například aproximační přímka vedená skrz experimentální body neprochází přesně těmito body samotnými.
Pokud je požadována přesná shoda a povaha závislosti není známa, musí se použít interpolační metody. Matematicky nejjednodušší je Lagrangeův interpolační polynom, který prochází přesně referenčními body. Vzhledem k vysokému stupni tohoto polynomu s velkým počtem řídicích bodů a špatnou kvalitou interpolace je však lepší jej nepoužívat. Výhodou je poměrně jednoduchý vzorec.
Je lepší použít spline interpolaci. Podstata této metody spočívá v tom, že v každém řezu mezi dvěma sousedními body je studovaná závislost interpolována polynomem a ve spojovacích bodech těchto dvou intervalů jsou zapsány podmínky hladkosti. Výhodou této metody je kvalita interpolace. Nevýhody - odvodit obecný vzorec je téměř nemožné, koeficienty polynomu v každé sekci musíte najít algoritmicky. Další nevýhodou je obtížnost zobecnění na dvourozměrnou interpolaci.

Interpolace. Úvod. Obecné vyjádření problému

Při řešení různých praktických problémů jsou výsledky výzkumu prezentovány ve formě tabulek zobrazujících závislost jedné nebo více měřených veličin na jednom definujícím parametru (argumentu). Tyto druhy tabulek jsou obvykle prezentovány ve formě dvou nebo více řádků (sloupců) a používají se k vytváření matematických modelů.

Funkce specifikované v matematických modelech se obvykle zapisují do tabulek ve tvaru:

Omezené informace poskytované takovými tabulkami v některých případech vyžadují získání hodnot funkcí Y j (X) (j=1,2,...,m) v bodech X, které se neshodují s uzlovými body tabulka X i (i=0,1,2 ,…,n) . V takových případech je nutné určit nějaký analytický výraz φ j (X) pro výpočet přibližných hodnot zkoumané funkce Y j (X) v libovolně určených bodech X. Funkce φ j (X) používaná k určení přibližných hodnot funkce Y j (X) se nazývá aproximační funkce (z latinského aproximo - přibližování). Blízkost aproximační funkce φ j (X) k aproximované funkci Y j (X) je zajištěna volbou vhodného aproximačního algoritmu.

Všechny další úvahy a závěry uděláme pro tabulky obsahující počáteční data jedné zkoumané funkce (tj. pro tabulky s m=1).

1. Interpolační metody

1.1 Stanovení problému interpolace

Nejčastěji se k určení funkce φ(X) používá formulace, nazývaná formulace interpolačního problému.

V této klasické formulaci interpolačního problému je potřeba určit přibližnou analytickou funkci φ(X), jejíž hodnoty v uzlových bodech X i odpovídat hodnotám Y(Х i) původní tabulky, tzn. podmínky

Takto konstruovaná aproximační funkce φ(X) umožňuje získat poměrně blízkou aproximaci k interpolované funkci Y(X) v rozsahu hodnot argumentu [X 0 ; X n ], určené tabulkou. Při zadávání hodnot argumentu X, nepatřící tento interval se interpolační problém transformuje na extrapolační problém. V těchto případech přesnost

hodnoty získané při výpočtu hodnot funkce φ(X) závisí na vzdálenosti hodnoty argumentu X od X 0, pokud X< Х 0 , или от Х n , если Х >Xn.

V matematickém modelování lze interpolační funkci použít k výpočtu přibližných hodnot studované funkce v mezilehlých bodech subintervalů [Х i ; Xi+1]. Tento postup se nazývá hutnění stolu.

Interpolační algoritmus je určen metodou výpočtu hodnot funkce φ(X). Nejjednodušší a nejzřejmější možností implementace interpolační funkce je nahradit studovanou funkci Y(X) na intervalu [X i ; X i+1 ] přímkou ​​spojující body Y i , Y i+1 . Tato metoda se nazývá metoda lineární interpolace.

1.2 Lineární interpolace

Při lineární interpolaci je hodnota funkce v bodě X, který se nachází mezi uzly X i a X i+1, určena vzorcem přímky spojující dva sousední body tabulky

Na Obr. Obrázek 1 ukazuje příklad tabulky získané jako výsledek měření určité veličiny Y(X). Řádky zdrojové tabulky jsou zvýrazněny. Napravo od tabulky je bodový graf odpovídající této tabulce. Stůl se zhutní pomocí vzorce

(3) hodnoty aproximované funkce v bodech X odpovídajících středům subintervalů (i=0, 1, 2, …, n).

Obr. 1. Zhuštěná tabulka funkce Y(X) a její odpovídající diagram

Když vezmeme v úvahu graf na Obr. 1 je vidět, že body získané zhutněním stolu metodou lineární interpolace leží na přímých úsecích spojujících body původní tabulky. Lineární přesnost

interpolace, výrazně závisí na povaze interpolované funkce a na vzdálenosti mezi uzly tabulky X i, , X i+1.

Je zřejmé, že pokud je funkce hladká, pak i při relativně velké vzdálenosti mezi uzly graf vytvořený spojením bodů s úsečkami umožňuje poměrně přesně odhadnout povahu funkce Y(X). Pokud se funkce mění poměrně rychle a vzdálenosti mezi uzly jsou velké, pak lineární interpolační funkce neumožňuje získat dostatečně přesnou aproximaci ke skutečné funkci.

Lineární interpolační funkce může být použita pro obecné předběžná analýza a posouzení správnosti výsledků interpolace, které jsou pak získány jinými přesnějšími metodami. Toto posouzení se stává zvláště relevantní v případech, kdy se výpočty provádějí ručně.

1.3 Interpolace kanonickým polynomem

Metoda interpolace funkce kanonickým polynomem je založena na konstrukci interpolační funkce jako polynomu ve tvaru [1]

Koeficienty c i polynomu (4) jsou volné interpolační parametry, které jsou určeny z Lagrangeových podmínek:

Pn (xi) = Yi, (i = 0, 1, ..., n)

Pomocí (4) a (5) zapíšeme soustavu rovnic

Vektor řešení s i (i = 0, 1, 2, …, n) soustavy lineární algebraické rovnice(6) existuje a lze jej nalézt, pokud neexistují žádné odpovídající uzly x i. Determinant systému (6) se nazývá Vandermondův determinant1 a má analytické vyjádření [2].

1 Vandermondův determinant nazývaný determinant

Je roven nule právě tehdy, když xi = xj pro některé . (Materiál z Wikipedie – volné encyklopedie)

Pro určení hodnot koeficientů s i (i = 0, 1, 2, …, n)

rovnice (5) mohou být zapsány ve formě vektorové matice

A*C = Y,

kde A, matice koeficientů určená tabulkou stupňů vektoru argumentů X= (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

C je sloupcový vektor koeficientů s i (i = 0, 1, 2, … , n) a Y je sloupcový vektor hodnot Y i (i = 0, 1, 2, …, n) interpolovaná funkce v uzlech interpolace.

Řešení tohoto systému lineárních algebraických rovnic lze získat jednou z metod popsaných v [3]. Například podle vzorce

kde A -1 je inverzní matice matice A. K získání inverzní matice A -1 lze použít funkci MOBR(), která je součástí sady standardních funkcí programu Microsoft Excel.

Poté, co jsou hodnoty koeficientů s i určeny pomocí funkce (4), lze hodnoty interpolované funkce vypočítat pro libovolnou hodnotu argumentu x.

Zapišme matici A pro tabulku zobrazenou na obr. 1, aniž bychom vzali v úvahu řádky, které tabulku zhutňují.

Obr.2 Matice soustavy rovnic pro výpočet koeficientů kanonického polynomu

Pomocí funkce MOBR() získáme matici A -1 inverzní k matici A (obr. 3). Poté podle vzorce (9) získáme vektor koeficientů C = (c 0, c 1, c 2, …, c n ) T znázorněný na Obr. 4.

Pro výpočet hodnot kanonického polynomu v buňce sloupce Y kanonický odpovídající hodnotě x 0 zavedeme transformovaný na další pohled vzorec odpovídající nulovému řádku soustavy (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5))))

Namísto zápisu " c i " do vzorce zadaného do buňky excelové tabulky by měl existovat absolutní odkaz na odpovídající buňku obsahující tento koeficient (viz obr. 4). Místo "x 0" - relativní odkaz na buňku ve sloupci X (viz obr. 5).

Y canonical(0) hodnoty, která odpovídá hodnotě v buňce Ylin(0) . Při roztahování vzorce zapsaného do buňky Y canonical (0) se musí také shodovat hodnoty Y canonical (i) odpovídající uzlovým bodům originálu

tabulky (viz obr. 5).

Rýže. 5. Diagramy sestavené pomocí lineárních a kanonických interpolačních tabulek

Porovnáním grafů funkcí sestavených z tabulek vypočítaných pomocí lineárních a kanonických interpolačních vzorců vidíme v řadě mezilehlých uzlů významnou odchylku hodnot získaných pomocí lineárních a kanonických interpolačních vzorců. Přiměřenější úsudek o přesnosti interpolace může být založen na získání dodatečné informace o povaze modelovaného procesu.

Interpolace je metoda hledání přechodných proměnných funkce z několika již známých hodnot. Slovo „interpolace“ poprvé představil John Wallis ve své vědecké práci „Aritmetika nekonečna“.

Lineární interpolace

Nejjednodušší případ interpolace je „lineární“, tedy nalezení hodnoty ze dvou daných bodů. Tento proces výpočtu lze považovat za lineární funkci, díky čemuž je výpočet vizuálnější. Aplikace funkce na souřadnicový systém se nazývá aproximace. K tomu je třeba nakreslit přímku na souřadnicové ose přes známé body. Je logické, že požadovanou hodnotu umístěnou mezi prvními dvěma body lze najít graficky se znalostí úsečky X. Pokud souřadnice X požadované hodnoty leží mimo známé hodnoty (X 1, X 2), pak proces výpočtu se nazývá extrapolace.

Kalkulačka vám umožňuje určit hodnotu Y požadované hodnoty se znalostí souřadnic X a Y dvou dalších funkcí a také její abscisy. Pro výpočet je třeba zadat hodnoty daných dvou bodů X 1, Y 1 a X 2, Y 2 a také uvést souřadnici X požadovaného bodu a služba automaticky určí způsob výpočtu a provést to.

Lineární interpolační vzorec

Pro výpočet se používá následující vzorec:

Příklad výpočtu

Jsou dány: souřadnice dvou bodů A(3;1,5) a B(6;5).
Najděte: pořadnici bodu C s úsečkou 4.5.

Poté dosadíme hodnoty do zadaného vzorce:

Y = 5 + (1,5 - 5) / (3 - 6) · (4,5 - 6) = 5 + (-3,5) / (-3) · (-1,5) = 3,25.

Nástroj k nalezení rovnice funkce. Lagrangeův interpolační polynom je metoda pro nalezení rovnice odpovídající křivce, která má souřadnice několika bodů.

Odpovědi na otázky

dCode umožňuje použít Lagrangovu metodu pro interpolace polynomu a najde zpět originál pomocí známých hodnot bodů (x,y).

Příklad: Na základě znalosti bodů \((x,y) \) : \((0,0),(2,4),(4,16) \) metoda polynomiální Lagrangeovy interpolace umožňuje najít zpět \(y = x^2\). Po odečtení umožňuje interpolační funkce \(f(x) = x^2 \) odhadnout hodnotu pro \(x = 3 \), zde \(f(x) = 9 \).

Lagrangeova interpolační metoda umožňuje dobrou aproximaci polynomiálních funkcí.

Existují další interpolační vzorce (spíše než Lagrange/Rechner), jako je Nevilleova interpolace, která je také dostupná online na dCode.

Tyto otázky a odpovědi můžete upravit (přidat nové informace, zlepšit překlad atd.) " itemscope="" itemtype="http://schema.org/Question">

Jaké jsou limity pro interpolaci s Lagrangeem?

Vzhledem k tomu, že složitost výpočtů roste s počtem bodů, je program omezen na 25 souřadnic (s odlišnými hodnotami x v Q).

Položte novou otázku

Zdrojový kód

dCode si ponechává vlastnictví zdrojového kódu skriptu Lagrange Interpolating Polynomial online. S výjimkou explicitní licence s otevřeným zdrojovým kódem (označené Creative Commons / zdarma), jakýkoli algoritmus, aplet, úryvek, software (konvertor, řešitel, šifrování / dešifrování, kódování / dekódování, šifrování / dešifrování, překladač) nebo jakákoli funkce (konvertovat, řešit, dešifrovat , šifrovat, dešifrovat, šifrovat, dekódovat, kódovat, překládat) napsané v jakémkoli informatickém jazyce (PHP, Java, C#, Python, Javascript, Matlab atd.), na který dCode vlastní práva, nebude uvolněno zdarma. Chcete-li si stáhnout online skript Lagrangeova interpolačního polynomu pro offline použití na PC, iPhone nebo Android, požádejte o cenovou nabídku na