Dvojitý integrál. Základní definice a vlastnosti

DVOJITÉ INTEGRÁLY

PŘEDNÁŠKA 1

Dvojné integrály.Definice dvojitý integrál a jeho vlastnosti. Iterované integrály. Redukce dvojných integrálů na opakované. Nastavení hranic integrace. Výpočet dvojných integrálů v kartézské soustavě souřadnic.

Dvojný integrál je zobecněním pojmu určitého integrálu na případ funkce dvou proměnných. V tomto případě bude místo integračního segmentu nějaká plochá postava.

Nechat D je nějaká uzavřená omezená oblast a F(x, y) je libovolná funkce definovaná a omezená v této oblasti. Budeme předpokládat, že hranice regionu D sestávají z konečného počtu křivek daných rovnicemi tvaru y=F(X) nebo X=g( y), kde F(X) A G(y) jsou spojité funkce.

Rozdělme oblast D náhodně na n díly. Náměstí i-tá sekce bude označena symbolem D s i. V každé sekci náhodně vybereme bod pí, a ať má souřadnice v nějakém pevném kartézském systému ( x i, y i). Pojďme skládat integrální součet pro funkci F(x, y) podle regionu D, k tomu najděte hodnoty funkce ve všech bodech P i, vynásobte je plochou odpovídajících sekcí Ds i a shrnout všechny získané výsledky:

Zavolejme průměr pr(G) oblasti G největší vzdálenost mezi hraničními body této oblasti.

Dvojitý integrál funkce f(x, y) nad doménou D je limit, ke kterému posloupnost integrálních součtů inklinuje (1.1) s neomezeným zvýšením počtu oddílů n (kde). To se píše následovně

Všimněte si, že obecně řečeno, integrální součet pro danou funkci a daná doména integrace závisí na metodě rozdělení domény D a výběr bodů P i. Pokud však dvojný integrál existuje, znamená to, že limita odpovídajících integrálních součtů již nezávisí na uvedených faktorech. Aby existoval dvojný integrál(nebo, jak se říká, takže funkce f(x, y) být integrovatelný v doméně D), stačí, aby funkce integrand byla kontinuální v dané integrační doméně.

Nechte funkci F(x, y) je integrovatelný do domény D. Protože limit odpovídajících integrálních součtů pro takové funkce nezávisí na způsobu rozdělení integrační domény, lze rozdělení provést pomocí svislých a vodorovných čar. Dále pak většina oblastí regionu D bude mít obdélníkový tvar, jehož plocha se rovná D s i=D x i D y i. Plošný diferenciál lze tedy zapsat jako ds=dxdy. Proto, v kartézském souřadnicovém systému dvojité integrály lze zapsat ve tvaru

Komentář. Pokud integrand f(x, y)º1, pak se dvojitý integrál bude rovnat oblasti integrační oblasti:

Všimněte si, že dvojité integrály mají stejné vlastnosti jako určité integrály. Všimněme si některých z nich.

Vlastnosti dvojných integrálů.

1 0 . Lineární vlastnost. Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů:

a konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka integrálu:

2 0 .Aditivní vlastnost. Pokud je obor integrace D rozdělen na dvě části, pak se dvojitý integrál bude rovnat součtu integrálů nad každou z těchto částí.:

3 0 .Věta o střední hodnotě. Pokud je funkce F( x, y)je spojitá v oblasti D, pak v této oblasti takový bod existuje(x, h) , Co:

Další otázka zní: jak se počítají dvojné integrály? Lze to přibližně vypočítat, pro tento účel byl vyvinut efektivní metody sestavení odpovídajících integrálních součtů, které se pak numericky vypočítají pomocí počítače. Při analytickém výpočtu dvojných integrálů jsou tyto redukovány na dva určité integrály.

1.1 Definice dvojného integrálu

1.2 Vlastnosti dvojného integrálu

Vlastnosti dvojného integrálu (a jejich odvození) jsou obdobné jako odpovídající vlastnosti jednoduchého určitého integrálu.

1°. Aditivitu. Je-li funkce f(x, y) integrovatelná v oblasti D a je-li oblast D rozdělena křivkou Г o ploše nula na dvě spojené oblasti D1 a D2, které nemají společné vnitřní body, pak funkce f(x , y) je integrovatelná do každé z oblastí D 1 a D 2, a

2°. Lineární vlastnost. Pokud jsou funkce f(x, y) a g(x, y) integrovatelné v oblasti D, co? A? - nějaká reálná čísla, pak funkce [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] je také integrovatelný v doméně D a

3°. Pokud jsou funkce f(x, y) a g(x, y) integrovatelné v oblasti D, pak je součin těchto funkcí integrovatelný i v oblasti D.

4°. Jsou-li funkce f(x, y) a g(x, y) obě integrovatelné v oblasti D a všude v této oblasti f(x, y) ? g(x, y), pak

5°. Je-li funkce f(x, y) integrovatelná v definičním oboru D, pak funkce |f(x, y)| integrovatelný v doméně D a

(Integrovatelnost |f(x, y)| v D samozřejmě neznamená integrovatelnost f(x, y) v D.)

6°. Věta o střední hodnotě. Pokud jsou obě funkce f(x, y) a g(x, y) integrovatelné v oblasti D, funkce g(x, y) je nezáporná (nekladná) všude v této oblasti, M a m jsou supremum a infimum funkce f( x, y) v definičním oboru D, pak existuje číslo?, které splňuje nerovnost m ? ? ? M a takové, že vzorec je platný

Konkrétně, je-li funkce f(x, y) spojitá v D a definiční obor D je souvislý, pak v tomto oboru existuje bod (?, ?) takový, že? = f(?, ?) a vzorec má tvar

7°. Důležitá geometrická vlastnost. rovná oblasti regionu D

Nechť je v prostoru dáno těleso T (obr. 2.1), ohraničené zdola oblastí D, shora - grafem spojité a nezáporné funkce) z=f (x, y), které je definováno v oblast D ze stran - válcovou plochou, jejímž vedením je hraniční oblast D, a generátory jsou rovnoběžné s osou Oz. Těleso tohoto typu se nazývá válcové těleso.

1.3 Geometrická interpretace dvojného integrálu

1.4 Pojem dvojitého integrálu pro obdélník

Nechť je definována libovolná funkce f(x, y) všude na obdélníku R = ? (viz obr. 1).

Rozdělíme segment a? X? b na n dílčích segmentů pomocí bodů a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Toto rozdělení pomocí přímek rovnoběžných s osami Ox a Oy odpovídá rozdělení obdélníku R na n · p dílčích obdélníků R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Naznačené rozdělení obdélníku R označujeme symbolem T. Pod pojmem „obdélník“ se dále v této části rozumí obdélník se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami.

Na každém dílčím obdélníku R kl zvolíme libovolný bod (? k, ? l). Položením?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1 označíme ?R kl plochu obdélníku R kl. Je zřejmé, že aRkl = ?x k?yl.

se nazývá integrální součet funkce f(x, y) odpovídající dané oblasti T obdélníku R a dané volbě mezilehlých bodů (? k, ? l) na dílčích obdélnících části T.

Diagonále budeme říkat průměr obdélníku R kl. Symbol? označme největší z průměrů všech dílčích obdélníků R kl .

Číslo I se nazývá limita integrálních součtů (1) at? > 0 pro jakékoli kladné číslo? můžete uvést takové kladné číslo?, co když?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - já |< ?.

Funkce f(x, y) se nazývá Riemannova integrovatelná na obdélníku R, pokud existuje konečná limita I integrálních součtů této funkce v? > 0.

Zadaná limita I se nazývá dvojitý integrál funkce f(x, y) nad obdélníkem R a značí se jedním z následujících symbolů:

Komentář. Stejně jako u jednoduchého určitého integrálu je stanoveno, že jakákoli funkce f(x, y) integrovatelná na obdélník R je omezena na tento obdélník.

To dává důvod uvažovat v následujícím textu pouze omezené funkce f(x, y).

Vlastnosti dvojných integrálů.

Některé vlastnosti dvojných integrálů přímo vyplývají z definice tohoto pojmu a vlastností integrálních součtů, a to:

1. Pokud funkce f(x, y) integruje do D, Že kf(x, y) je také integrovatelný v této oblasti a (24.4)

2. Pokud v oblasti D integrovatelné funkce f(x, y) A g(x, y), pak v této doméně funkce f(x, y) ± g(x, y) a kde

3. Pokud pro ty, kteří jsou integrováni do oblasti D funkcí f(x, y) A g(x, y) nerovnost platí f(x, y)≤g(x, y), Že

(24.6)

Dokažme ještě několik vlastností dvojného integrálu:

4. Pokud oblast D rozdělena do dvou oblastí D 1 a D 2 bez společných vnitřních bodů a funkcí f(x, y) nepřetržité v regionu D, Že

(24.7) Důkaz . Celkový součet za oblast D může být reprezentován jako:

kde je oblastní oddíl D nakreslena tak, že hranice mezi D 1 a D 2 tvoří hranice částí přepážky. Přejdeme-li pak do limity v , dostaneme rovnost (24.7).

5. V případě integrovatelnosti na D funkcí f(x, y) v této doméně je funkce také integrovatelná | f(x, y) | a nerovnost platí

(24.8)

Důkaz.

odkud pomocí průchodu do limity at dostaneme nerovnost (24.8)

6. kde S D– oblast regionu D. Důkaz tohoto tvrzení získáme dosazením do integrálního součtu f(x, y)≡ 0.

7. Pokud je integrován do oblasti D funkce f(x, y) vyhoví nerovnosti

m ≤ f(x, y) ≤ M,

Že (24.9)

Důkaz.

Důkaz se provádí přechodem na limit od zjevné nerovnosti

Následek.

Dělíme-li všechny části nerovnice (24.9) o D, můžeme získat tzv. větu o střední hodnotě:

Zejména za podmínky kontinuity funkce F PROTI D v této oblasti je takový bod ( x 0, y 0), kde F(x 0, y 0) = μ , to je

-

Další formulace věty o střední hodnotě.

Geometrický význam dvojného integrálu.

Zvažte tělo PROTI, omezený částí povrchu danou rovnicí z = f(x, y), projekce D tento povrch k rovině O xy a boční válcový povrch získaný ze svislých tvořících přímek spojujících body hranice povrchu s jejich průměty.

z=f(x,y)

PROTI

y P i D Obr.2.

Objem tohoto tělesa budeme hledat jako limitu součtu objemů válců, jejichž základnou jsou díly Δ S i kraj D a výšky jsou segmenty délky F(P i), kde jsou body P i patří k Δ S i. Překročením limitu v , získáme to

(24.11)

tedy dvojný integrál představuje objem tzv. cylindru, ohraničeného shora povrchem z = f(x, y) a níže – region D.

Výpočet dvojného integrálu jeho redukcí na opakovaný.

Zvažte oblast D, ohraničený čarami x = a, x = b(A< b ), kde φ 1 ( X) a φ 2 ( X) jsou nepřetržité na [ a, b]. Pak libovolná přímka rovnoběžná se souřadnicovou osou O na a procházející vnitřním bodem regionu D, protíná hranici regionu ve dvou bodech: N 1 a N 2 (obr. 1). Nazvěme tuto oblast opravit v na-

na Ovládání osy O na. Podobně definování

y=φ 2 (X) je oblast ve správném směru

N 2 osa O X. Oblast ve správném směru je

Nii obou souřadnicových os, budeme

D jen to správně nazvat. Například,

správná oblast je na obr. 1.

y=φ 1 (X) N 1

O a b x

Nechte funkci f(x, y) nepřetržité v regionu D. Zvažte výraz

, (24.12)

volal dvojitý integrál z funkce f(x, y) podle regionu D. Vypočítejme nejprve vnitřní integrál (v závorce) nad proměnnou na, počítání X trvalý. Výsledkem je spojitá funkce X:

Výslednou funkci integrujeme X v rozmezí od A před b. V důsledku toho dostaneme číslo

Dokažme důležitou vlastnost dvojného integrálu.

Věta 1. Pokud oblast D, správně ve směru O na, rozdělené do dvou oblastí D 1 a D 2 přímky rovnoběžné s osou O na nebo osa O X, pak dvojný integrál přes plochu D se bude rovnat součtu stejných integrálů přes plochy D 1 a D 2:

Důkaz.

a) Nechť je to přímka x = c přestávky D na D 1 a D 2, správně ve směru O na. Pak

+

+

b) Nechte čáru y = h přestávky D doprava ve směru O na kraj D 1 a D 2 (obr. 2). Označme podle M 1 (A 1 , h) A M 2 (b 1 , h) průsečíky přímky y = h s okrajem L kraj D.

y Kraj D 1 ohraničený souvislými čarami

y=φ 2 (X) 1) y = φ 1 (X);

D 2 2) křivka A 1 M 1 M 2 V, jehož rovnici píšeme

h M 1 M 2 y = φ 1 *(X), kde φ 1 *(X) = φ 2 (X) na a ≤ x ≤ a 1 a

A 1 D 1 B b 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h na A 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) rovné x = a, x = b.

Kraj D 2 omezena linkami y = φ 1 *(X),

A y= φ 2 (X),A 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (X) Aplikujme větu o

rozdělení integračního intervalu:

O a a 1 b 1 b

+

Uveďme druhý ze získaných integrálů jako součet:

+ + .

Protože φ 1 *(X) = φ 2 (X) na a ≤ x ≤ a 1 a b 1 ≤ x ≤ b, první a třetí z výsledných integrálů jsou shodně rovny nule. Proto,

I D = , to je .

Problém vedoucí ke konceptu dvojitého integrálu.

Předpokládejme, že funkce částí je definována a zapište částku

který se nazývá integrál.

A: Pod určitým integrálem (d.i.) funkce a výběru

Označení:

Čísla se nazývají Riemann integrovatelná na .

T. existence: Za předpokladu, že .

V souladu s definicí o.i. podotýkáme, že integrál závisí na druhu, mezích a nezávisí však na symbolu označení proměnné, jinak vyjádřené

V souladu s články 17.1.1 a 17.1.2 a definicí o.i. Zapišme si vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku: , dílo síly

na:

Pojem dvojného integrálu, integrální součty.

Existence dvojitého integrálu, tj. limity integrálního součtu pro, se zdá zřejmá, protože tato limita udává objem válcového tělesa. Tato úvaha však není rigorózní. Ve více plné kurzy toto tvrzení je přísně dokázané a nazývá se teorémem o existenci dvojného integrálu.

Věta o existenci. Pro jakoukoli funkci, která je spojitá v ohraničeném uzavřená oblast, mající oblast a, existuje dvojitý integrál, tj. existuje limit integrálních součtů s neomezeným nárůstem počtu malých oblastí, za předpokladu, že se každá z nich smrští do bodu. Tato hranice nezávisí na způsobu rozdělení regionu na části ani na volbě bodů

V následujícím budeme uvažovat pouze funkce, které jsou spojité v oblasti integrace.

Z věty o existenci vyplývá, že oblast a můžeme například rozdělit na malé obdélníky s rovnými stranami, rovnoběžně s osami souřadnice (obr. 230). V čem. Potom vybereme bod v každém malém obdélníku a můžeme psát podle definice dvojného integrálu

Abychom zdůraznili, že dvojný integrál lze získat jako limitu součtu tvaru, místo zápisu použijeme také zápis

Výraz se nazývá plošný prvek v kartézských souřadnicích a rovná se ploše obdélníku se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic.

Všimněte si, že při sestavování integrálního součtu nemají oblasti sousedící s hranicí oblasti a tvar obdélníků. Lze však prokázat, že chyba nahrazení takových ploch obdélníky s plochami v limitu se sníží na nulu.

Vlastnosti dvojných integrálů

Vlastnosti dvojného integrálu (a jejich odvození) jsou obdobné jako odpovídající vlastnosti jednoduchého určitého integrálu.

1°. Aditivitu. Pokud je funkce F(X, y) je integrovatelný do domény D a pokud oblast D pomocí křivky G oblast nula je rozdělena na dvě spojené oblasti, které nemají žádné společné vnitřní body D 1 a D 2, pak funkce F(X, y) je integrovatelný v každé z domén D 1 a D 2 a

2°. Lineární vlastnost. Pokud funkce F(X, y) A G(X, y) jsou integrovatelné do domén D, A α A β - jakákoli reálná čísla, pak funkce [ α · F(X, y) + β · G(X, y)] je také integrovatelný do domény D, a

3°. Pokud funkce F(X, y) A G(X, y) jsou integrovatelné do domén D, pak je produkt těchto funkcí integrovatelný do D.

4°. Pokud funkce F(X, y) A G(X, y) oba jsou integrovatelné do domény D a všude v této oblasti F(X, y) ≤ G(X, y), Že

5°. Pokud je funkce F(X, y) je integrovatelný do domény D, pak funkce | F(X, y)| integrovatelné do oblastí D, a

(Samozřejmě z integrovatelnosti | F(X, y)| PROTI D integrovatelnost nenásleduje F(X, y) V D.)

6°. Věta o střední hodnotě. Pokud obě funkce F(X, y) A G(X, y) jsou integrovatelné do domén D, funkce G(X, y) je nezáporná (nepozitivní) všude v tomto regionu, M A m- přesná horní a přesná dolní hranice funkce F(X, y) v oblasti D, pak je tam číslo μ , uspokojující nerovnost m ≤ μ ≤ M a tak, aby vzorec byl platný

Zejména pokud funkce F(X, y) je nepřetržitý v D a oblast D koherentní, pak v této oblasti existuje takový bod ( ξ , η ), Co μ = F(ξ , η ) a vzorec (11) má tvar

Dvojný integrál má vlastnosti podobné vlastnostem určitého integrálu. Uveďme jen ty hlavní:

1. Pokud funkce a
integrované do oblastí
, pak jejich součet a rozdíl jsou v něm integrovatelné a

2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka dvojného integrálu:

3. Pokud
integrovatelné do oblastí
a tato oblast je rozdělena na dvě nepřekrývající se oblasti A
, Že

.

4. Pokud
A
integrované do oblastí
, kde

, Že

.

5. Pokud v oblasti
funkce
vyrovnává nerovnosti


,Kde
A
nějaká reálná čísla tedy

,

Kde – oblast regionu
.

Důkazy těchto vlastností jsou podobné důkazům odpovídajících vět pro určitý integrál.

Výpočet dvojného integrálu v pravoúhlých kartézských souřadnicích

Předpokládejme, že potřebujeme vypočítat dvojný integrál
, kde oblast - obdélník definovaný nerovnostmi ,.

Pojďme to předstírat
je v tomto obdélníku spojitý a nabývá v něm nezáporné hodnoty, pak se tento dvojitý integrál rovná objemu tělesa se základnou , shora ohraničený povrchem
, ze stran - roviny
,
,
,
:

.

Na druhou stranu, objem takového obrazce lze vypočítat pomocí určitého integrálu:

,

Kde
- plocha průřezu daného tělesa rovinou procházející bodem a kolmo k ose
. A protože uvažovaný úsek je zakřivený lichoběžník
, ohraničený výše grafem funkce
, Kde pevné a , Že

.

Z těchto tří rovností vyplývá, že

.

Výpočet tohoto dvojného integrálu byl tedy zredukován na výpočet dvou určitých integrálů; při výpočtu "vnitřního integrálu" (psáno v závorce) považovány za trvalé.

Komentář. Lze prokázat, že poslední vzorec platí také pro
, a také v případě, kdy funkce
změní znaménko v určeném obdélníku.

Pravá strana vzorce se nazývá iterovaný integrál a je označena takto:

.

Podobně lze ukázat, že

.

Z výše uvedeného vyplývá, že

.

Poslední rovnost znamená, že výsledek integrace nezávisí na pořadí integrace.

Abychom zvážili obecnější případ, zavedeme koncept standardní domény. Standardní (neboli pravidelná) oblast ve směru dané osy je taková oblast, pro kterou jakákoli přímka rovnoběžná s touto osou protíná hranici oblasti nejvýše ve dvou bodech. Jinými slovy, protíná samotný region a jeho hranici pouze podél jednoho přímého segmentu.

Předpokládejme, že omezená oblast

a je nahoře ohraničený grafem funkce
, dole - graf funkce
. Nechat R( ,) - minimální obdélník, který tuto oblast ohraničuje
.

Pusťte do oblasti
definovaná a spojitá funkce
. Představme si novou funkci:

,

pak v souladu s vlastnostmi dvojného integrálu

.

A proto

.

Od segmentu
patří zcela do regionu
pak tedy
na


, a pokud leží mimo tento segment
.

Při pevném můžeme psát:

.

Protože první a třetí integrál na pravé straně jsou rovny nule

.

Proto,

.

Z čehož získáme vzorec pro výpočet dvojného integrálu nad normou oblasti vzhledem k ose
redukcí na iterovaný integrál:

.

Pokud oblast
je standardní ve směru osy
a je určen nerovnostmi ,

, obdobně lze prokázat, že

.

Komentář. Pro oblast
, standardní ve směru os
A
, budou tedy splněny obě poslední rovnosti

Tento vzorec mění pořadí integrace při výpočtu odpovídajícího dvojného integrálu.

Komentář. Pokud oblast integrace není standardní (správná) ve směru obou souřadnicových os, pak se rozdělí na součet standardních oblastí a integrál je uveden jako součet integrálů přes tyto oblasti.

Příklad. Vypočítejte dvojný integrál
podle regionu
, ohraničený čarami:
,
,
.

Řešení.

Tato oblast je standardní vzhledem k ose
a vzhledem k ose
.

Vypočítejme integrál, uvažujme plochu jako standardní vzhledem k ose
.

.

Komentář. Pokud vypočítáme integrál, vezmeme v úvahu standard plochy vzhledem k ose
, dostaneme stejný výsledek:

.

Příklad. Vypočítejte dvojný integrál
podle regionu
, ohraničený čarami:
,
,
.

Řešení. Znázorněme danou integrační doménu na obrázku.

Tato oblast je standardní vzhledem k ose
.

.

Příklad. Změňte pořadí integrace v iterovaném integrálu:

Řešení. Znázorněme oblast integrace na obrázku.

Od hranic integrace najdeme čáry omezující oblast integrace: ,
,
,
. Abychom změnili pořadí integrace, vyjadřujeme jako funkce a najděte průsečíky:

,
,
.

Protože na jednom z intervalů funkce je vyjádřena dvěma analytickými výrazy, pak musí být integrační oblast rozdělena na dvě oblasti a opakovaný integrál musí být prezentován jako součet dvou integrálů.

.