Katedra vyšší matematiky

Křivočaré integrály

Směrnice

Volgograd

UDC 517.373(075)

Recenzent:

odborný asistent katedry aplikované matematiky N.I. Koltsová

Vychází rozhodnutím redakční a vydavatelské rady

Volgogradská státní technická univerzita

Křivočaré integrály: metoda. návod / komp. M.I. Andreeva,

O.E. Grigorieva; Volžská státní technická univerzita. – Volgograd, 2011. – 26 s.

Směrnice jsou návodem k plnění jednotlivých úkolů na téma „Křivočaré integrály a jejich aplikace v teorii pole“.

První část pokynů obsahuje nezbytný teoretický materiál pro plnění jednotlivých úkolů.

Druhá část zkoumá příklady plnění všech typů úkolů obsažených v jednotlivých úkolech na dané téma, což přispívá k lepší organizaci samostatná práce studentů a úspěšné zvládnutí tématu.

Pokyny jsou určeny pro studenty prvního a druhého ročníku.

© Volgogradský stát

Technická univerzita, 2011

1. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

Definice křivočarého integrálu 1. druhu

Nechte È AB– oblouk rovinné nebo prostorové po částech hladké křivky L, F(P) je spojitá funkce definovaná na tomto oblouku, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B AB A P i– libovolné body na dílčích obloucích È A i – 1 A i, jehož délky jsou D l i (i = 1, 2, …, n

na n® ¥ a max. D l i® 0, která nezávisí na způsobu rozdělení oblouku È AB tečky A i, ani z výběru bodů P i na dílčích obloucích È A i – 1 A i (i = 1, 2, …, n). Tato limita se nazývá křivočarý integrál 1. druhu funkce F(P) podél křivky L a je určeno

Výpočet křivočarého integrálu 1. druhu

Výpočet křivočarého integrálu 1. druhu lze redukovat na výpočet určitého integrálu při v různých cestách nastavení integrační křivky.

Pokud je oblouk È AB rovinná křivka je dána parametricky rovnicemi kde X(t) A y(t t, a X(t 1) = x A, X(t 2) = x B, Že

Kde - rozdíl délky oblouku křivky.

Podobný vzorec platí i v případě parametrické nastavení prostorová křivka L. Pokud je oblouk È AB křivý L je dána rovnicemi a X(t), y(t), z(t) – plynule diferencovatelné funkce parametru t, Že

kde je rozdíl délky oblouku křivky.

v kartézských souřadnicích

Pokud je oblouk È AB plochá křivka L daný rovnicí Kde y(X

a vzorec pro výpočet křivočarého integrálu je:

Při zadávání oblouku È AB plochá křivka L tak jako X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
Kde X(y) je plynule diferencovatelná funkce,

a křivočarý integrál se vypočítá podle vzorce

(1.4)

Určení integrační křivky pomocí polární rovnice

Pokud je křivka plochá L daný rovnicí v polárním souřadnicovém systému r = r(j), j О , kde r(j) je tedy spojitě diferencovatelná funkce

A

(1.5)

Aplikace křivočarého integrálu 1. druhu

Pomocí křivočarého integrálu 1. druhu se vypočítá: délka oblouku křivky, plocha části válcové plochy, hmotnost, statické momenty, momenty setrvačnosti a souřadnice těžiště křivky. materiálová křivka s danou lineární hustotou.

1. Délka l plochá nebo prostorová křivka L se zjistí podle vzorce

2. Plocha části válcové plochy s rovnoběžná osa OZ generatrix a nachází se v rovině XOY průvodce L, uzavřený mezi letadlem XOY a povrch daný rovnicí z = F(X; y) (F(P) ³ 0 at P Î L), je rovný

(1.7)

3. Hmotnost m materiálová křivka L s lineární hustotou m( P) se určuje podle vzorce

(1.8)

4. Statické momenty kolem os Vůl A Oj a souřadnice těžiště rovinné materiálové křivky L s lineární hustotou m( X; y) se rovnají:

(1.9)

5. Statické momenty o rovinách Oxy, Oxz, Oyz a souřadnice těžiště prostorové materiálové křivky s lineární hustotou m( X; y; z) se určují podle vzorců:

(1.11)

6. Pro plochou křivku materiálu L s lineární hustotou m( X; y) momenty setrvačnosti kolem os Vůl, Oj a počátek souřadnic se rovná:

(1.13)

7. Momenty setrvačnosti prostorové materiálové křivky L s lineární hustotou m( X; y; z) vzhledem k souřadnicovým rovinám se počítají pomocí vzorců

(1.14)

a momenty setrvačnosti kolem souřadnicových os se rovnají:

(1.15)

2. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 2. DRUHU

Definice křivočarého integrálu 2. druhu

Nechte È AB– oblouk po částech hladké orientované křivky L, = (a x(P); a y(P); a z(P)) – definovaný na tomto oblouku je spojitý vektorová funkce, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B– libovolné rozdělení oblouku AB A P i– libovolné body na dílčích obloucích A i – 1 A i. Nechť je vektor se souřadnicemi D x i, D y i, D z i(i = 1, 2, …, n), a je skalárním součinem vektorů a ( i = 1, 2, …, n). Pak existuje limita posloupnosti integrálních součtů

na n® ¥ a max ÷ ç ® 0, která nezávisí na způsobu dělení oblouku AB tečky A i, ani z výběru bodů P i na dílčích obloucích È A i – 1 A i
(i = 1, 2, …, n). Tato limita se nazývá křivočarý integrál 2. druhu funkce ( P) podél křivky L a je určeno

V případě, kdy je vektorová funkce zadána na rovinné křivce L, podobně máme:

Když se změní směr integrace, křivočarý integrál 2. druhu změní znaménko.

Křivočaré integrály prvního a druhého druhu souvisí vztahem

(2.2)

kde je jednotkový vektor tečny k orientované křivce.

Pomocí křivočarého integrálu 2. druhu můžete vypočítat práci síly při pohybu hmotného bodu po oblouku křivky L:

Kladný směr projíždění uzavřeného oblouku S, ohraničující jednoduše propojenou oblast G, uvažuje se traverz proti směru hodinových ručiček.

Křivočarý integrál 2. druhu nad uzavřenou křivkou S se nazývá oběh a označuje se

(2.4)

Výpočet křivočarého integrálu 2. druhu

Výpočet křivočarého integrálu 2. druhu je redukován na výpočet určitého integrálu.

Parametrická definice integrační křivky

Pokud È AB orientovaná rovinná křivka je dána parametricky rovnicemi kde X(t) A y(t) – plynule diferencovatelné funkce parametru t, a pak

Podobný vzorec probíhá v případě parametrické specifikace prostorově orientované křivky L. Pokud je oblouk È AB křivý L je dána rovnicemi a – plynule diferencovatelné funkce parametru t, Že

Explicitní určení rovinné integrační křivky

Pokud je oblouk È AB L je dán v kartézských souřadnicích rovnicí kde y(X) je tedy spojitě diferencovatelná funkce

(2.7)

Při zadávání oblouku È AB rovinně orientovaná křivka L tak jako
X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2], kde X(y) je spojitě diferencovatelná funkce, platí vzorec

(2.8)

Nechte funkce jsou spojité spolu se svými deriváty

v bytě uzavřená oblast G, ohraničený po částech hladkou uzavřenou samodisjunktní pozitivně orientovanou křivkou S+ . Pak Greenův vzorec platí:

Nechat G– povrchově jednoduše spojená oblast, a

= (a x(P); a y(P); a z(P))

je vektorové pole specifikované v této oblasti. pole ( P) se nazývá potenciál, pokud taková funkce existuje U(P), Co

(P) = grad U(P),

Nezbytná a postačující podmínka pro potencialitu vektorového pole ( P) má tvar:

trouchnivění( P) = , kde (2.10)

(2.11)

Pokud je vektorové pole potenciální, pak křivočarý integrál 2. druhu nezávisí na integrační křivce, ale závisí pouze na souřadnicích začátku a konce oblouku M 0 M. Potenciál U(M) vektorového pole je určeno až do konstantního členu a je zjištěno vzorcem

(2.12)

Kde M 0 M– libovolná křivka spojující pevný bod M 0 a proměnný bod M. Pro zjednodušení výpočtů lze jako integrační cestu zvolit přerušovanou čáru M 0 M 1 M 2 M s odkazy rovnoběžnými se souřadnými osami, například:

3. příklady plnění úkolů

Cvičení 1

Vypočítejte křivočarý integrál prvního druhu

kde L je oblouk křivky, 0 ≤ X ≤ 1.

Řešení. Použití vzorce (1.3) k redukci křivočarého integrálu prvního druhu na určitý integrál v případě explicitně definované křivky hladké roviny:

Kde y = y(X), X 0 ≤ X ≤ X 1 – oblouková rovnice L integrační křivka. V uvažovaném příkladu Najděte derivaci této funkce

a diferenciál délky oblouku křivky L

pak dosazením do tohoto výrazu namísto y, dostaneme

Převedeme křivočarý integrál na určitý integrál:

Tento integrál vypočítáme pomocí substituce. Pak
t 2 = 1 + X, X = t 2 – 1, dx = 2t dt; na x = 0 t= 1; A X= 1 odpovídá . Po transformacích dostaneme

Úkol 2

Vypočítejte křivočarý integrál 1. druhu po oblouku L křivý L:X= cos 3 t, y= hřích 3 t, .

Řešení. Protože L je oblouk hladké rovinné křivky, zadaný v parametrickém tvaru, pak použijeme vzorec (1.1) pro redukci křivočarého integrálu 1. druhu na určitý:

.

V uvažovaném příkladu

Pojďme najít diferenciál délky oblouku

Nalezené výrazy dosadíme do vzorce (1.1) a vypočítáme:

Úkol 3

Najděte hmotnost oblouku přímky L s lineární rovinou m.

Řešení. Hmotnost m oblouky L s hustotou m( P) se vypočítá pomocí vzorce (1.8)

Jedná se o křivočarý integrál 1. druhu přes parametricky definovaný hladký oblouk křivky v prostoru, proto se vypočítá pomocí vzorce (1.2) pro redukci křivočarého integrálu 1. druhu na určitý integrál:

Pojďme najít deriváty

a diferenciál délky oblouku

Do vzorce pro hmotnost dosadíme tyto výrazy:

Úkol 4

Příklad 1. Vypočítejte křivočarý integrál 2. druhu

po oblouku L křivka 4 X + y 2 = 4 z bodu A(1; 0) k bodu B(0; 2).

Řešení. Plochý oblouk L je specifikováno implicitně. Pro výpočet integrálu je vhodnější vyjádřit X přes y:

a najděte integrál pomocí vzorce (2.8) pro transformaci křivočarého integrálu 2. druhu na určitý integrál nad proměnnou y:

Kde a x(X; y) = xy – 1, a y(X; y) = xy 2 .

S přihlédnutím k přiřazení křivky

Pomocí vzorce (2.8) získáme

Příklad 2. Vypočítejte křivočarý integrál 2. druhu

Kde L- přerušovaná čára ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Řešení. Vlastností aditivity křivočarého integrálu

Každý z integrálních členů se vypočítá pomocí vzorce (2.7)

Kde a x(X; y) = X 2 + y, a y(X; y) = –3xy.

Rovnice úsečky AB: y = 2, y¢ = 0, X 1 = 1, X 2 = 3. Dosazením těchto výrazů do vzorce (2.7) získáme:

K výpočtu integrálu

udělejme rovnici přímky PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. podle vzorce

Kde x B, y B, xC, yC– souřadnice bodů B A S. Dostaneme

y – 2 = X – 3, y = X – 1, y¢ = 1.

Výsledné výrazy dosadíme do vzorce (2.7):

Úkol 5

Vypočítejte křivočarý integrál 2. druhu podél oblouku L

0 ≤ t ≤ 1.

Řešení. Protože integrační křivka je dána parametricky rovnicemi x = x(t), y = y(t), t Î [ t 1 ; t 2], kde X(t) A y(t) – plynule diferencovatelné funkce t na t Î [ t 1 ; t 2 ], pak pro výpočet křivočarého integrálu druhého druhu použijeme vzorec (2.5), který redukuje křivočarý integrál na integrál definovaný pro rovinnou parametricky danou křivku

V uvažovaném příkladu a x(X; y) = y; a y(X; y) = –2X.

S přihlédnutím k nastavení křivky L dostaneme:

Nalezené výrazy dosadíme do vzorce (2.5) a vypočítáme určitý integrál:

Úkol 6

Příklad 1. C + Kde S : y 2 = 2X, y = X – 4.

Řešení. Označení C+ označuje, že obvod je překročen v kladném směru, tj. proti směru hodinových ručiček.

Zkontrolujme, že k vyřešení problému můžeme použít Greenův vzorec (2.9)

Vzhledem k tomu, funkce a x (X; y) = 2y – X 2 ; a y (X; y) = 3X + y a jejich parciální deriváty kontinuální v ploché uzavřené oblasti G, omezený obrysem C, pak je použitelný Greenův vzorec.

Pro výpočet dvojného integrálu znázorníme oblast G, který předtím určil průsečíky oblouků křivek y 2 = 2X A
y = X– 4, tvořící obrys C.

Průsečíky najdeme řešením soustavy rovnic:

Druhá rovnice systému je ekvivalentní rovnici X 2 – 10X+ 16 = 0, odkud X 1 = 2, X 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Takže průsečíky křivek: A(2; –2), B(8; 4).

Od oblasti G– správně ve směru osy Vůl, pak pro redukci dvojného integrálu na opakovaný promítneme oblast G na osu OY a použijte vzorec

.

Protože A = –2, b = 4, X 2 (y) = 4+y, Že

Příklad 2 Vypočítejte křivočarý integrál 2. druhu podél uzavřeného obrysu Kde S– obrys trojúhelníku s vrcholy A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Řešení. Označení znamená, že obrys trojúhelníku se přejíždí ve směru hodinových ručiček. V případě, že křivočarý integrál převezme uzavřenou konturu, nabývá formu Greenův vzorec

Pojďme si oblast znázornit G, omezený daným obrysem.

Funkce a parciální derivace a nepřetržité v oblasti G, takže lze použít Greenův vzorec. Pak

Kraj G není správný ve směru žádné z os. Nakreslíme úsečku X= 1 a představte si G tak jako G = G 1 È G 2 kde G 1 a G 2 oblasti správné ve směru osy Oj.

Pak

Zmenšit každý z dvojných integrálů o G 1 a G 2 k opakování použijeme vzorec

kde [ A; b] – plošné promítání D na osu Vůl,

y = y 1 (X) – rovnice dolní mezní křivky,

y = y 2 (X) – rovnice horní mezní křivky.

Zapišme si rovnice hranic oboru G 1 a najít

AB: y = 2X, 0 ≤ X ≤ 1; INZERÁT: , 0 ≤ X ≤ 1.

Vytvořme rovnici pro hranici PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. kraj G 2 pomocí vzorce

PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.: kde 1 ≤ X ≤ 3.

DC: 1 ≤ X ≤ 3.

Úkol 7

Příklad 1. Najděte dílo síly L: y = X 3 z bodu M(0; 0) k bodu N(1; 1).

Řešení. Práce vykonávaná proměnnou silou při pohybu hmotného bodu po oblouku křivky L určeno vzorcem (2.3) (jako křivočarý integrál druhého druhu funkce podél křivky L) .

Protože vektorová funkce je dána rovnicí a oblouk rovinně orientované křivky je explicitně definován rovnicí y = y(X), X Î [ X 1 ; X 2], kde y(X) je spojitě diferencovatelná funkce, pak podle vzorce (2.7)

V uvažovaném příkladu y = X 3 , , X 1 = x M = 0, X 2 = xN= 1. Proto

Příklad 2. Najděte dílo síly při pohybu hmotného bodu po přímce L: X 2 + y 2 = 4 z bodu M(0; 2) k bodu N(–2; 0).

Řešení. Pomocí vzorce (2.3) získáme

.

V uvažovaném příkladu oblouk křivky L(È MN) je čtvrtina zadaného kruhu kanonická rovnice X 2 + y 2 = 4.

Pro výpočet křivočarého integrálu druhého druhu je vhodnější přejít k parametrické definici kružnice: X = R cos t, y = R hřích t a použijte vzorec (2.5)

Protože X= 2 cos t, y= 2 hříchy t, , , dostaneme

Úkol 8

Příklad 1. Vypočítejte modul cirkulace vektorového pole podél obrysu G:

Řešení. Pro výpočet cirkulace vektorového pole podél uzavřeného obrysu G použijme vzorec (2.4)

Protože je dáno prostorové vektorové pole a prostorová uzavřená smyčka G, pak přechodem z vektorové formy zápisu křivočarého integrálu do souřadnicové formy, dostaneme

Křivka G definován jako průsečík dvou povrchů: hyperbolický paraboloid z = x 2 – y 2 + 2 a válce X 2 + y 2 = 1. Pro výpočet křivočarého integrálu je vhodné přejít na parametrické rovnice křivky G.

Rovnici válcové plochy lze zapsat jako:
X= cos t, y= hřích t, z = z. Výraz pro z v parametrických rovnicích křivky se získá dosazením X= cos t, y= hřích t do rovnice hyperbolického paraboloidu z = 2 + cos 2 t- hřích 2 t= 2 + cos 2 t. Tak, G: X= cos t,
y= hřích t, z= 2 + cos 2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

Od těch zahrnutých v parametrických rovnicích křivky G funkcí
X(t) = cos t, y(t) = hřích t, z(t) = 2 + cos 2 t jsou plynule diferencovatelné funkce parametru t na tО , pak najdeme křivočarý integrál pomocí vzorce (2.6)

Je pohodlnější vypočítat objem v cylindrické souřadnice. Rovnice kružnice ohraničující oblast D, kužel a paraboloid

mají tvar ρ = 2, z = ρ, z = 6 − ρ 2. S přihlédnutím ke skutečnosti, že toto těleso je symetrické vzhledem k rovinám xOz a yOz. my máme

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =

3. KŘIVÉ INTEGRÁLY

Zobecněme pojem určitého integrálu na případ, kdy doménou integrace je určitá křivka. Integrály tohoto druhu se nazývají křivočaré. Existují dva typy křivočaré integrály: křivočaré integrály přes délku oblouku a křivočaré integrály přes souřadnice.

3.1. Definice křivočarého integrálu prvního typu (po délce oblouku). Nechť funkci f(x,y) definované podél bytu po částech

hladká1 křivka L, jejíž konce budou body A a B. Křivku L rozdělme libovolně na n částí s body M 0 = A, M 1,... M n = B. Na

Pro každý z dílčích oblouků M i M i + 1 vybereme libovolný bod (x i, y i) a v každém z těchto bodů vypočítáme hodnoty funkce f (x, y). Součet

1 Křivka se nazývá hladká, pokud v každém bodě existuje tečna, která se plynule mění podél křivky. Hladká křivka po částech je křivka skládající se z konečného počtu hladkých kusů.

i = 0

kde ∆ l i je délka dílčího oblouku M i M i + 1, tzv integrální součet

výběr bodů (x i, y i), pak se tato limita nazývá křivočarý integrál prvního typu (křivočarý integrál po délce oblouku) z funkce f (x, y) po křivce L a značí se symbolem ∫ f (x, y) dl.

V tomto případě je volána funkce f(x, y). integrovatelné podél křivky L,

křivka L = AB je obrys integrace, A je počáteční bod a B je konečný bod integrace, dl je prvek délky oblouku.

Poznámka 3.1. Pokud do (3.2) vložíme f (x, y) ≡ 1 pro (x, y) L, pak

získáme výraz pro délku oblouku L ve tvaru křivočarého integrálu prvního typu

l = ∫ dl.

pak mají společné vnitřní body

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.

4 o. Zvláště si všimneme, že hodnota křivočarého integrálu prvního typu nezávisí na směru integrace, protože hodnoty funkce f (x, y) v

libovolné body a délka dílčích oblouků ∆ l i , které jsou kladné,

bez ohledu na to, který bod křivky AB je považován za počáteční a který je konečný, tzn

1 3 (5 5 − 1).

Poznámka 3.2. Podobně jako bylo uvažováno, můžeme zavést koncept křivočarého integrálu prvního typu funkce f (x, y, z) nad

prostorová po částech hladká křivka L:

Je-li křivka L dána parametrickými rovnicemi

α ≤ t ≤ β, pak

x= x(t), y= y(t)

z= z(t)

Příklad 3.3. Vypočítejte∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , kde L je oblouk křivky

Cos2 t − 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =

2 + t2 dt.

Nyní, podle vzorce (3.7), máme

představuje hmotnost křivky L s proměnnou lineární hustotou ρ(x, y)

jehož lineární hustota se mění podle zákona ρ (x, y) = 2 y.

Řešení. Pro výpočet hmotnosti oblouku AB použijeme vzorec (3.8). Oblouk AB je dán parametricky, takže pro výpočet integrálu (3.8) použijeme vzorec (3.4). Protože

1+t

dt,

x (t) = 1, y (t) = t, dl =

3/ 2 1

1 (1+ t

m = ∫ 2 ydl = ∫

1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt =

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. Definice křivočarého integrálu druhého typu (podle

souřadnice). Nechte funkci

f(x, y) je definováno podél roviny

po částech hladká křivka L, jejíž konce budou body A a B. Znovu

libovolný

pojďme to zlomit

křivka L

M 0 = A , M 1 ,... M n = B Volíme i uvnitř

každý dílčí

oblouky M i M i + 1

libovolný bod

(xi, yi)

a vypočítat

1. druh. 1.1.1. Definice křivočarého integrálu 1. druhu Pusťte do letadla Oxy daná křivka (L). Nechť pro jakýkoli bod na křivce (L) spojitá funkce definována f(x;y). Pojďme zlomit oblouk AB linky (L) tečky A = P 0, P 1, Pn = B na n libovolné oblouky Pj-1Pi s délkami ( i = 1, 2, n) (obr. 27) Vyberme si na každém oblouku Pj-1Pi libovolný bod Mi (x i; y i), pojďme vypočítat hodnotu funkce f(x;y) na místě M i. Udělejme integrální součet Ať kde. λ→0 (n→∞), nezávisle na metodě rozdělení křivky ( L)na elementární části, ani z výběru bodů M i křivočarý integrál 1. druhu z funkce f(x;y)(křivočarý integrál po délce oblouku) a označují: Komentář. Obdobným způsobem je zavedena definice křivočarého integrálu funkce f(x;y;z) podél prostorové křivky (L). Fyzikální význam křivočarého integrálu 1. druhu: Li (L)- plochá křivka s lineární rovinou, pak se hmotnost křivky zjistí podle vzorce: 1.1.2. Základní vlastnosti křivočarého integrálu 1. druhu: 3. Pokud je integrační cesta je rozdělena na části tak, že , a mají jeden společný bod, pak . 4. Křivočarý integrál 1. druhu nezávisí na směru integrace: 5. , kde je délka křivky. 1.1.3. Výpočet křivočarého integrálu 1. druhu. Výpočet křivočarého integrálu je redukován na výpočet určitého integrálu. 1. Nechte křivku (L) je dáno rovnicí. Pak To znamená, že rozdíl oblouku se vypočítá pomocí vzorce. Příklad Vypočítejte hmotnost úsečky z bodu A(1;1) do té míry B(2;4), Pokud . Řešení Rovnice přímky procházející dvěma body: . Pak rovnice přímky ( AB): , . Pojďme najít derivát. Pak . = . 2. Nechte křivku (L) specifikováno parametricky: . Potom se pomocí vzorce vypočte diferenciální oblouk. Pro prostorový případ zadání křivky: Potom To znamená, že rozdíl oblouku se vypočítá pomocí vzorce. Příklad Najděte délku oblouku křivky, . Řešení Délku oblouku zjistíme pomocí vzorce: . K tomu najdeme diferenciální oblouk. Najdeme derivace , , , Pak délka oblouku: . 3. Nechte křivku (L) specifikované v polárním souřadnicovém systému: . Pak To znamená, že rozdíl oblouku bude vypočítán pomocí vzorce. Příklad Vypočítejte hmotnost oblouku přímky, 0≤ ≤ jestliže . Řešení Hmotnost oblouku zjistíme pomocí vzorce: K tomu najdeme diferenciální oblouk. Pojďme najít derivát. 1.2. Křivočarý integrál 2. druhu 1.2.1. Definice křivočarého integrálu 2. druhu Pusťte do letadla Oxy daná křivka (L). Nechat na (L) je dána spojitá funkce f(x;y). Pojďme zlomit oblouk AB linky (L) tečky A = P°, P1, Pn = B ve směru od bodu A do té míry V na n libovolné oblouky Pj-1Pi s délkami ( i = 1, 2, n) (obr. 28). Vyberme si na každém oblouku Pj-1Pi libovolný bod Mi (x i ; y i), pojďme vypočítat hodnotu funkce f(x;y) na místě M i. Udělejme integrální součet, kde - délka průmětu oblouku P i -1 P i na osu Ach. Pokud se směr pohybu podél projekce shoduje s kladným směrem osy Ach, pak se uvažuje projekce oblouků pozitivní, v opačném případě - negativní. Ať kde. Pokud existuje limit na integrální součet at λ→0 (n→∞), nezávisle na způsobu rozdělení křivky (L) do elementárních částí, ani z výběru bodů M i v každé elementární části se pak tato limita nazývá křivočarý integrál 2. druhu z funkce f(x;y)(křivočarý integrál nad souřadnicí X) a označují: Komentář. Křivočarý integrál na souřadnici y je zaveden podobně: Komentář. Li (L) je uzavřená křivka, pak se označí integrál nad ní Komentář. Pokud je zapnuto ( L) jsou dány tři funkce najednou a z těchto funkcí jsou integrály , , , pak se nazývá výraz: + + obecný křivočarý integrál 2. druhu a napište: 1.2.2. Základní vlastnosti křivočarého integrálu 2. druhu: 3. Při změně směru integrace změní křivočarý integrál 2. druhu své znaménko. 4. Pokud je integrační cesta rozdělena na části tak, že , a mají jeden společný bod, pak 5. Pokud křivka ( L) leží v rovině: Kolmá osa Ach, pak =0; Kolmá osa Oj, Že ; Kolmá osa Oz, pak =0. 6. Křivočarý integrál 2. druhu nad uzavřenou křivkou nezávisí na volbě počátečního bodu (závisí pouze na směru procházení křivky). 1.2.3. Fyzikální význam křivočarého integrálu 2. druhu. Práce A síly při pohybu hmotného bodu o jednotkové hmotnosti z bodu M přesně N spolu ( MN) je rovný: 1.2.4. Výpočet křivočarého integrálu 2. druhu. Výpočet křivočarého integrálu 2. druhu je redukován na výpočet určitého integrálu. 1. Nechte křivku ( L) je dáno rovnicí . Příklad Vypočítejte kde ( L) - přerušovaná čára OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4). Řešení Od (obr. 29), tedy 1) Rovnice (OA): , , 2) Rovnice přímky (AB): . 2. Nechte křivku (L) specifikováno parametricky: . Komentář. V prostorovém případě: Příklad Vypočítat Kde ( AB)- segment od A(0;0;1) před B(2;-2;3). Řešení Pojďme najít rovnici přímky ( AB): Přejděme k parametrickému záznamu rovnice přímky (AB). Pak . Směřovat A(0;0;1) odpovídá parametru t rovný: tedy, t=0. Směřovat B(2;-2;3) odpovídá parametru t, rovný: tedy, t = 1. Při přesunu z A Na V,parametr t mění z 0 na 1. 1.3. Greenův vzorec. L) vč. M(x;y;z) s nápravami Ox, Oy, Oz 16.3.2.1. Definice křivočarého integrálu prvního druhu. Nechte v prostoru proměnných x, y, z dána po částech hladká křivka, na které je funkce definována F (X ,y ,z Rozdělme křivku na části s body, vybereme libovolný bod na každém z oblouků, zjistíme délku oblouku a sestavíme integrální součet. Pokud existuje limit pro posloupnost integrálních součtů v , nezávisle na metodě dělení křivky na oblouky nebo volbě bodů, pak funkce F (X ,y ,z ) se nazývá integrovatelná křivka a hodnota této limity se nazývá křivočarý integrál prvního druhu nebo křivočarý integrál po délce oblouku funkce F (X ,y ,z ) podél křivky a je označen (nebo). Věta o existenci. Pokud je funkce F (X ,y ,z ) je spojitý na po částech hladké křivce, pak je integrovatelný podél této křivky. Případ uzavřené křivky. V tomto případě můžete jako počáteční a koncový bod vzít libovolný bod na křivce. V následujícím budeme nazývat uzavřenou křivku obrys a označeno písmenem S . Skutečnost, že křivka, podle které se integrál počítá, je uzavřená, se obvykle značí kroužkem na znaménku integrálu: . 16.3.2.2. Vlastnosti křivočarého integrálu prvního druhu. Pro tento integrál platí všech šest vlastností, které platí pro určitý, dvojitý, trojný integrál, od linearita před věty o střední hodnotě. Formulujte a dokažte je na vlastní pěst. Sedmé, osobní vlastnictví však platí i pro tento integrál: Nezávislost křivočarého integrálu prvního druhu na směru křivky:. Důkaz. Integrální součty pro integrály na pravé a levé straně této rovnosti se shodují pro jakékoli rozdělení křivky a výběr bodů (vždy délky oblouku), proto jsou jejich limity stejné pro . 16.3.2.3. Výpočet křivočarého integrálu prvního druhu. Příklady. Nechť je křivka definována parametrickými rovnicemi, kde jsou spojitě diferencovatelné funkce, a body, které definují rozdělení křivky, nechť odpovídají hodnotám parametru, tzn. . Poté (viz část 13.3. Výpočet délek křivek) . Podle věty o střední hodnotě existuje bod takový, že . Vyberme body získané s touto hodnotou parametru: . Pak bude integrální součet pro křivočarý integrál roven integrálnímu součtu pro určitý integrál. Vzhledem k tomu, pak, přechodem na limitu v rovnosti, dostaneme Výpočet křivočarého integrálu prvního druhu je tedy redukován na výpočet určitého integrálu přes parametr. Pokud je křivka zadána parametricky, pak tento přechod nezpůsobuje potíže; Pokud je uveden kvalitativní slovní popis křivky, pak může být hlavním problémem zavedení parametru na křivku. Zdůrazněme to ještě jednou integrace se vždy provádí ve směru rostoucího parametru. Příklady. 1. Vypočítejte, kde je jedna otáčka spirály Zde přechod na určitý integrál nezpůsobuje problémy: najdeme , a . 2. Vypočítejte stejný integrál přes úsečku spojující body a . Neexistuje zde žádná přímá parametrická definice křivky, takže AB musíte zadat parametr. Parametrické rovnice přímky mají tvar kde je směrový vektor a je bod přímky. Bod bereme jako bod a vektor: jako směrový vektor. Je snadné vidět, že bod odpovídá hodnotě, tedy bod odpovídá hodnotě. 3. Zjistěte, kde je část řezu válce rovinou z =X +1, ležící v prvním oktantu. Řešení: Parametrické rovnice kružnice - vedení válce mají tvar X =2cosj, y =2sinj, a od té doby z=x +1 tedy z = 2cosj+1. Tak, Proto 16.3.2.3.1. Výpočet křivočarého integrálu prvního druhu. Ploché pouzdro. Pokud křivka leží na libovolné rovině souřadnic, například rovině Ohoo , a je dáno funkcí , pak s ohledem X jako parametr získáme vzorec pro výpočet integrálu: . Podobně, pokud je křivka dána rovnicí, pak . Příklad. Vypočítejte, kde je čtvrtina kružnice ležící ve čtvrtém kvadrantu. Řešení. 1. Zvažování X jako parametr tedy dostaneme 2. Vezmeme-li jako parametr proměnnou na , pak a . 3. Samozřejmě můžete použít obvyklé parametrické rovnice kruhu: . Pokud je křivka uvedena v polární souřadnice, pak a . Náhradní díly 1 0 0 Pokud najdete chybu, vyberte část textu a stiskněte Ctrl+Enter. Výběr redakce Čas na hodinách je signálem vašeho anděla Co znamená talisman sovy a jak je účinný? Amulet sovy: co to znamená, pro jaké znamení zvěrokruhu je vhodný? Amulet Slunce je mocným magickým symbolem mezi mnoha národy Pivoňka je symbolem lásky a bohatství Žezlo a koule na výstavě „Boris Godunov od sluhy k panovníkovi celé Rusi“