Limita x má tendenci k nekonečnu. Funkční limity

Řešení limity online funkcí. Najděte mezní hodnotu funkce nebo funkční posloupnosti v bodě, vypočítejte Ultimátni hodnota funkce v nekonečnu. určit konvergenci číselné řady a mnohem více lze udělat díky našemu služba online- Umožňujeme vám rychle a přesně najít limity funkcí online. Zadáte si to sami funkční proměnná a na hranici, ke které se snaží, naše služba za vás provede všechny výpočty a poskytne přesnou a jednoduchou odpověď. A pro najít limit online můžete zadat jak číselné řady, tak analytické funkce obsahující konstanty v doslovném vyjádření. V tomto případě bude nalezená limita funkce obsahovat tyto konstanty jako konstantní argumenty ve výrazu. Naše služba řeší všechny složité problémy s hledáním limity online, stačí uvést funkci a bod, ve kterém je potřeba počítat mezní hodnota funkce. Počítání online limity, Můžeš použít různé metody a pravidla pro jejich řešení při kontrole výsledku získaného s řešení limitů online na www.site, což povede k úspěšnému dokončení úkolu - vyhnete se vlastním chybám a administrativním chybám. Nebo nám můžete zcela důvěřovat a použít náš výsledek ve své práci, aniž byste museli vynakládat další úsilí a čas na samostatné počítání limitu funkce. Umožňujeme zadávání mezních hodnot, jako je nekonečno. Je nutné zadat společný člen číselné řady a www.stránka vypočítá hodnotu limit online do plus mínus nekonečna.

Jedním ze základních pojmů matematické analýzy je limit funkce A limit sekvence v bodě a v nekonečnu je důležité umět správně řešit limity. S naší službou to nebude těžké. Je učiněno rozhodnutí limity online během několika sekund je odpověď přesná a úplná. Studium matematické analýzy začíná přechod na limit, limity používá se téměř ve všech sekcích algebra pro pokročilé, takže je užitečné mít po ruce server online řešení limitů, což je matematikam.ru.

Nechť je funkce y = ƒ (x) definována v nějakém okolí bodu x o, snad kromě samotného bodu x o.

Formulujme dvě ekvivalentní definice limity funkce v bodě.

Definice 1 (v „jazyku sekvencí“ nebo podle Heineho).

Číslo A se nazývá limita funkce y=ƒ(x) v peci x 0 (nebo v x® x o), pokud pro jakoukoli sekvenci přijatelné hodnoty argumenty x n, n є N (x n ¹ x 0), konvergující k x, posloupnost odpovídajících hodnot funkce ƒ(x n), n є N, konvergující k číslu A

V tomto případě píšou
nebo ƒ(x)->A v x→x o. Geometrický význam limity funkce: znamená, že pro všechny body x, které jsou dostatečně blízko bodu xo, se odpovídající hodnoty funkce liší od čísla A tak málo, jak je potřeba.

Definice 2 (v „jazyku ε“, nebo podle Cauchyho).

Číslo A se nazývá limita funkce v bodě x o (nebo v x→x o), jestliže pro jakékoli kladné ε existuje kladné číslo δ takové, že pro všechna x¹ x o splňující nerovnost |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Geometrický význam limity funkce:

jestliže pro libovolné ε-okolí bodu A existuje δ-okolí bodu x o takové, že pro všechna x1 xo z tohoto δ-okolí leží odpovídající hodnoty funkce ƒ(x) v ε-okolí bod A. Jinými slovy, body grafu funkce y = ƒ(x) leží uvnitř pásu šířky 2ε, ohraničeného přímkami y=A+ ε, y=A-ε (viz obr. 110). Je zřejmé, že hodnota δ závisí na volbě ε, takže píšeme δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Dokázat to

Řešení: Vezměte libovolné ε>0, najděte δ=δ(ε)>0 takové, že pro všechna x splňující nerovnost |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Vezmeme-li δ=ε/2, vidíme, že pro všechna x splňující nerovnost |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Jednostranné limity

Při definování limity funkce se má za to, že x jakýmkoli způsobem směřuje k x 0: zůstává menší než x 0 (vlevo od x 0), větší než x o (napravo od x o) nebo osciluje kolem bod x 0.

Existují případy, kdy metoda aproximace argumentu x až x o významně ovlivňuje hodnotu limity funkce. Proto se zavádějí pojmy jednostranné limity.

Číslo A 1 se nazývá limita funkce y=ƒ(x) vlevo v bodě x o, pokud pro libovolné číslo ε>0 existuje číslo δ=δ(ε)> 0 takové, že v x є (x 0 -δ;x o), nerovnost |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 nebo stručně: ƒ(x o- 0) = A 1 (Dirichletův zápis) (viz obr. 111).

Limita funkce vpravo je určena podobně, zapisujeme ji pomocí symbolů:

Krátce, limita vpravo je označena ƒ(x o +0)=A.

Levé a pravé limity funkce se nazývají jednostranné limity. Je zřejmé, že pokud existuje, pak existují obě jednostranné limity a A = A 1 = A 2.

Platí to i obráceně: pokud existují obě limity ƒ(x 0 -0) a ƒ(x 0 +0) a jsou si rovny, pak existuje limita a A = ƒ(x 0 -0).

Pokud A 1 ¹ A 2, pak tato kaple neexistuje.

16.3. Limita funkce v x ® ∞

Nechť je funkce y=ƒ(x) definována v intervalu (-∞;∞). Volá se číslo A limit funkceƒ(x) na x→ ∞ , jestliže pro libovolné kladné číslo ε existuje číslo M=M()>0 takové, že pro všechna x splňující nerovnost |x|>M platí nerovnost |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Geometrický význam této definice je následující: pro " ε>0 $ M>0, že pro x є(-∞; -M) nebo x є(M; +∞) odpovídající hodnoty funkce ƒ( x) spadají do ε-okolí bodu A, to znamená, že body grafu leží v pruhu o šířce 2ε, ohraničeném přímkami y=A+ε a y=A-ε (viz obr. 112) .

16.4. Nekonečně velká funkce (b.b.f.)

Funkce y=ƒ(x) se nazývá nekonečně velká pro x→x 0, pokud pro libovolné číslo M>0 existuje číslo δ=δ(M)>0, které pro všechna x vyhovuje nerovnosti 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Například funkce y=1/(x-2) je b.b.f. pro x->2.

Pokud má ƒ(x) tendenci k nekonečnu jako x→x o a nabývá pouze kladných hodnot, pak píší

pokud pouze záporné hodnoty, pak

Funkce y=ƒ(x), definovaná na celé číselné ose, nazývané nekonečně velké jako x→∞, jestliže pro libovolné číslo M>0 existuje číslo N=N(M)>0 takové, že pro všechna x splňující nerovnost |x|>N platí nerovnost |ƒ(x)|>M. Krátký:

Například y=2x má b.b.f. jako x→∞.

Všimněte si, že pokud argument x, inklinující k nekonečnu, nabývá pouze přirozených hodnot, tj. xєN, pak odpovídající b.b.f. se stává nekonečně velkou sekvencí. Například posloupnost v n =n 2 +1, n є N, je nekonečně velká posloupnost. Je zřejmé, že každý b.b.f. v okolí bodu x o je v tomto okolí neomezené. Opak není pravdou: neomezená funkce nemusí být b.b.f. (Například y=xsinx.)

Pokud však limƒ(x)=A pro x→x 0, kde A je konečné číslo, pak je funkce ƒ(x) omezena v okolí bodu x o.

Z definice limity funkce totiž vyplývá, že jako x→ x 0 platí podmínka |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Lekce a prezentace na téma: "Limita funkce v nekonečnu"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě Integral pro stupeň 10 od 1C
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní konstrukční úlohy pro ročníky 7-10
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní úkoly o stavění ve vesmíru pro ročníky 10 a 11

Co budeme studovat:

5. Vlastnosti. 6. Příklady.

Kluci, podívejme se, jaká je limita funkce v nekonečnu?
co je nekonečno?
Nekonečno- používá se k charakterizaci neomezených, neohraničených, nevyčerpatelných předmětů a jevů, v našem případě charakteristika čísel.

Nekonečno– libovolně velký (malý), neomezený počet.
Uvažujeme-li souřadnicovou rovinu, pak osa úsečky (ordináta) jde do nekonečna, pokud pokračuje do nekonečna doleva nebo doprava (dolů nebo nahoru).

Nyní přejdeme k limitě funkce v nekonečnu:
Mějme funkci y=f(x), definiční obor naší funkce obsahuje paprsek a přímka y=b je vodorovná asymptota grafu funkce y=f(x), zapišme to vše v matematickém jazyce:

Naše vztahy lze také realizovat současně:

Pak je obvyklé psát to jako:

Limita funkce y=f(x), protože x má tendenci k nekonečnu, je b

Příklady

Základní vlastnosti

1) Pro libovolné přirozené číslo m platí vztah:

2) Pokud pak:
a) Limit částky se rovná součtu limitů:

B) Limit součinu se rovná součinu limitů:

c) Limita podílu se rovná podílu limit:

d) Konstantní faktor může být překročen za limitní znaménko:

Příklad 1.

Nalézt: Řešení: Vydělte čitatele a jmenovatele zlomku x. Použijme vlastnost, že limita kvocientu je rovna kvocientu limit:

Chlapi, pamatujte na limit číselné řady.

Dostaneme:

Příklad 2

Definice konečných a nekonečných limit funkce v nekonečnu podle Cauchyho. Definice oboustranných a jednostranných limit (levá a pravá). Příklady řešení problémů, ve kterých je pomocí Cauchyho definice požadováno ukázat, že limita v nekonečnu je rovna dané hodnotě, .

Viz také: Okolí bodu
Univerzální definice limity funkce podle Heineho a Cauchyho

Konečná limita funkce v nekonečnu

Limita funkce v nekonečnu:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Stanovení Cauchyho limity
Číslo a se nazývá limita funkce F (X) jako x má sklon k nekonečnu (), jestliže
1) existuje takové |x| >
2) pro jakékoli, byť malé, kladné číslo ε > 0 , existuje číslo N ε >K, v závislosti na ε, které pro všechna x, |x| > N ε, funkční hodnoty patří do ε-okolí bodu a:
|f (x)-a|< ε .
Limita funkce v nekonečnu je označena takto:
.
Nebo v .

Často se také používá následující zápis:
.

Napišme tuto definici pomocí logických symbolů existence a univerzálnosti:
.
To předpokládá, že hodnoty patří do domény funkce.

Jednostranné limity

Levá limita funkce v nekonečnu:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Často se vyskytují případy, kdy je funkce definována pouze pro kladné nebo záporné hodnoty proměnné x (přesněji v blízkosti bodu nebo ). Také limity v nekonečnu pro kladné a záporné hodnoty x mohou mít různé hodnoty. Pak se používají jednostranné limity.

Levý limit v nekonečnu nebo limita, protože x má tendenci k mínus nekonečnu (), je definována takto:
.
Pravý limit v nekonečnu nebo limit, protože x má tendenci k plus nekonečnu ():
.
Jednostranné limity v nekonečnu jsou často označovány takto:
; .

Nekonečná limita funkce v nekonečnu

Nekonečná limita funkce v nekonečnu:
|f(x)| > M pro |x| >N

Definice nekonečné limity podle Cauchyho
Limita funkce f (X) protože x má tendenci k nekonečnu (), je rovno nekonečnu, Pokud
1) existuje takové okolí bodu v nekonečnu |x| > K, na kterém je funkce definována (zde K je kladné číslo);
2) pro libovolné libovolně velké číslo M > 0 , existuje takové číslo N M >K, v závislosti na M, které pro všechna x, |x| > N M , hodnoty funkce patří do okolí bodu v nekonečnu:
|f (x) | >M.
Nekonečná limita, protože x má tendenci k nekonečnu, je označena následovně:
.
Nebo v .

Pomocí logických symbolů existence a univerzálnosti lze definici nekonečné limity funkce zapsat takto:
.

Podobně jsou zavedeny definice nekonečných limit určitých znaků rovných a:
.
.

Definice jednostranných limit v nekonečnu.
Levé limity.
.
.
.
Správné limity.
.
.
.

Určení limity funkce podle Heineho

Číslo a (konečné nebo v nekonečnu) se nazývá limita funkce f (X) v bodě x 0 :
,
Li
1) existuje takové okolí bodu x v nekonečnu 0 , na kterém je funkce definována (zde nebo nebo );
2) pro libovolnou sekvenci (xn), konvergující k x 0 : ,
jehož prvky patří do sousedství, posloupnosti (f(xn)) konverguje k:
.

Pokud vezmeme jako okolí okolí bodu bez znaménka v nekonečnu: , pak dostaneme definici limity funkce, protože x má tendenci k nekonečnu, . Vezmeme-li levostranné nebo pravostranné okolí bodu x v nekonečnu 0 : nebo , pak získáme definici limity, protože x má tendenci k mínus nekonečnu a plus nekonečnu.

Heineho a Cauchyho definice limity jsou ekvivalentní.

Příklady

Příklad 1

Pomocí Cauchyho definice to ukázat
.

Představme si následující zápis:
.
Pojďme najít definiční obor funkce. Protože čitatel a jmenovatel zlomku jsou polynomy, je funkce definována pro všechna x kromě bodů, ve kterých jmenovatel zaniká. Pojďme najít tyto body. Řešení kvadratické rovnice. ;
.
Kořeny rovnice:
; .
Od té doby a .
Proto je funkce definována v . To použijeme později.

Zapišme si definici konečné limity funkce v nekonečnu podle Cauchyho:
.
Pojďme transformovat rozdíl:
.
Čitatele a jmenovatele vydělte a vynásobte -1 :
.

Nechte
Pak
;
;
;
.

Takže jsme zjistili, že když,
.
.
Z toho vyplývá, že
v , a .

Protože ji můžete vždy zvýšit, vezměme . Pak pro kohokoli,
na .
Znamená to, že .

Příklad 2

Nechte
Pomocí Cauchyho definice limity ukažte, že:
1) ;
2) .

1) Řešení, protože x má tendenci k mínus nekonečnu

Protože je funkce definována pro všechna x.
Zapišme si definici limity funkce rovné mínus nekonečnu:
.

Nechte Pak
;
.

Takže jsme zjistili, že když,
.
Zadejte kladná čísla a:
.
Z toho vyplývá, že pro každé kladné číslo M existuje číslo, takže pro ,
.

Znamená to, že .

2) Řešení, protože x má tendenci k plus nekonečnu

Pojďme transformovat původní funkci. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomku a použijte vzorec pro rozdíl čtverců:
.
My máme:

.
Zapišme si definici pravé limity funkce na:
.

Zaveďme zápis: .
Pojďme transformovat rozdíl:
.
Vynásobte čitatele a jmenovatele:
.

Nechat
.
Pak
;
.

Takže jsme zjistili, že když,
.
Zadejte kladná čísla a:
.
Z toho vyplývá, že
v a .

Protože to platí pro jakékoli kladné číslo, pak
.

Reference:
CM. Nikolského. Kurz matematické analýzy. Svazek 1. Moskva, 1983.

Limity dávají všem studentům matematiky spoustu problémů. Chcete-li vyřešit limit, musíte někdy použít spoustu triků a vybrat si z různých metod řešení přesně tu, která se hodí pro konkrétní příklad.

V tomto článku vám nepomůžeme porozumět limitům vašich schopností nebo porozumět limitům kontroly, ale pokusíme se odpovědět na otázku: jak rozumět limitům ve vyšší matematice? Pochopení přichází se zkušeností, proto zároveň uvedeme několik podrobných příkladů řešení limit s vysvětlením.

Pojem limita v matematice

První otázka zní: co je tato hranice a hranice čeho? Můžeme mluvit o limitech číselných posloupností a funkcí. Zajímá nás pojem limita funkce, protože s tím se studenti nejčastěji setkávají. Nejprve však nejobecnější definice limity:

Řekněme, že existuje nějaká proměnná hodnota. Pokud se tato hodnota v procesu změny neomezeně blíží určitému číslu A , Že A – limit této hodnoty.

Pro funkci definovanou v určitém intervalu f(x)=y takové číslo se nazývá limit A , ke kterému funkce inklinuje, když X , směřující k určitému bodu A . Tečka A patří do intervalu, na kterém je funkce definována.

Zní to těžkopádně, ale je to napsáno velmi jednoduše:

Lim- z angličtiny omezit- limit.

Existuje také geometrické vysvětlení pro určení limity, ale zde se nebudeme pouštět do teorie, protože nás zajímá spíše praktická než teoretická stránka problému. Když to říkáme X inklinuje k nějaké hodnotě, to znamená, že proměnná nenabývá hodnoty čísla, ale blíží se k ní nekonečně blízko.

Uveďme konkrétní příklad. Úkolem je najít limit.

K vyřešení tohoto příkladu dosadíme hodnotu x=3 do funkce. Dostaneme:

Mimochodem, pokud vás zajímají základní operace s maticemi, přečtěte si na toto téma samostatný článek.

V příkladech X může mít libovolnou hodnotu. Může to být libovolné číslo nebo nekonečno. Zde je příklad, kdy X inklinuje k nekonečnu:

Intuitivně, čím větší číslo ve jmenovateli, tím menší hodnotu funkce nabude. Tedy s neomezeným růstem X význam 1/x bude klesat a blížit se k nule.

Jak vidíte, k vyřešení limity stačí do funkce dosadit hodnotu, o kterou se snažíme X . To je však ten nejjednodušší případ. Často není nalezení limitu tak zřejmé. V mezích jsou nejistoty typu 0/0 nebo nekonečno/nekonečno . Co dělat v takových případech? Uchylte se k trikům!

Nejistoty uvnitř

Nejistota tvaru nekonečno/nekonečno

Nechť existuje limit:

Pokusíme-li se do funkce dosadit nekonečno, dostaneme nekonečno v čitateli i ve jmenovateli. Obecně stojí za to říci, že v řešení takových nejistot je určitý prvek umění: musíte si všimnout, jak můžete transformovat funkci tak, aby nejistota zmizela. V našem případě dělíme čitatele a jmenovatele o X v seniorském stupni. Co se bude dít?

Z výše uvedeného příkladu víme, že členy obsahující x ve jmenovateli budou mít tendenci k nule. Pak řešení limitu je:

K vyřešení typových nejistot nekonečno/nekonečno vydělte čitatele a jmenovatele X na nejvyšší stupeň.

Mimochodem! Pro naše čtenáře je nyní sleva 10 %. jakýkoli druh práce

Jiný typ nejistoty: 0/0

Jako vždy, dosazení hodnot do funkce x=-1 dává 0 v čitateli a jmenovateli. Podívejte se trochu pozorněji a všimnete si, že v čitateli máme kvadratickou rovnici. Pojďme najít kořeny a napsat:

Snížíme a dostaneme:

Pokud se tedy potýkáte s typovou nejistotou 0/0 – faktor čitatele a jmenovatele.

Abychom vám usnadnili řešení příkladů, uvádíme tabulku s limity některých funkcí:

L'Hopitalovo pravidlo uvnitř

Další účinný způsob, jak eliminovat oba typy nejistot. Co je podstatou metody?

Pokud je v limitě nejistota, berte derivaci čitatele a jmenovatele, dokud nejistota nezmizí.

L'Hopitalovo pravidlo vypadá takto:

Důležitý bod : musí existovat limita, ve které stojí derivace čitatele a jmenovatele místo čitatele a jmenovatele.

A teď - skutečný příklad:

Je tam typická nejistota 0/0 . Vezměme si deriváty čitatele a jmenovatele:

Voilá, nejistota je vyřešena rychle a elegantně.

Doufáme, že tyto informace dokážete užitečně aplikovat v praxi a najdete odpověď na otázku „jak řešit limity ve vyšší matematice“. Pokud potřebujete vypočítat limitu posloupnosti nebo limitu funkce v bodě a na tuto práci není absolutně čas, obraťte se na profesionální studentský servis pro rychlé a podrobné řešení.