معادله متعارف پارابولوئید بیضوی. بیضی

خاصیت ثابت شده مماس بر یک سهمی بسیار مهم است، زیرا از آن نتیجه می شود که پرتوهایی که از کانون یک آینه سهمی مقعر ساطع می شوند، یعنی آینه ای که سطح آن از چرخش سهمی حول محور آن به دست می آید. منعکس شده توسط یک پرتو موازی، یعنی محورهای آینه موازی (شکل).

از این خاصیت آینه های سهموی در ساخت نورافکن ها، در چراغ های جلوی هر خودرویی و همچنین در تلسکوپ های بازتابی استفاده می شود. علاوه بر این، در مورد اخیر، برعکس، پرتوهایی که از بدن آسمانی می‌آیند. تقریباً موازی، در نزدیکی کانون آینه تلسکوپ متمرکز می شوند، و از آنجایی که پرتوهایی که از نقاط مختلف تابش می آیند بسیار غیر موازی هستند، در نزدیکی کانون متمرکز می شوند. نقاط مختلفبه طوری که در نزدیکی کانون تصویری از نور به دست می آید، هر چه فاصله کانونی سهمی بزرگتر باشد. این تصویر قبلاً از طریق میکروسکوپ (چشمی تلسکوپ) مشاهده شده است. به بیان دقیق، فقط پرتوهای موازی با محور آینه در یک نقطه جمع آوری می شوند (مرکز)، در حالی که پرتوهای موازی که با زاویه ای نسبت به محور آینه حرکت می کنند تقریباً تا یک نقطه جمع می شوند و هر چه این نقطه دورتر باشد. از فوکوس، تصویر بیشتر تار می شود. این شرایط "میدان دید تلسکوپ" را محدود می کند.

بگذارید سطح داخلی آن یک سطح آینه ای باشد. تمام پرتوهای موازی با محور اپ آمپر، پس از بازتاب، در یک نقطه از محور آپامپ (تمرکز F) قطع خواهند شد. طراحی تلسکوپ های سهموی بر اساس همین ویژگی است. پرتوهای ستارگان دور به شکل پرتوهای موازی به سمت ما می آیند. با ساخت یک تلسکوپ سهموی و قرار دادن یک صفحه عکاسی در کانون آن، این فرصت را به دست می آوریم که سیگنال نوری را که از ستاره می آید، تقویت کنیم.

همین اصل زیربنای ایجاد یک آنتن سهموی است که امکان تقویت سیگنال های رادیویی را فراهم می کند. اگر یک منبع نور را در کانون یک آینه سهمی قرار دهید، پس از بازتاب از سطح آینه، پرتوهایی که از این منبع می‌آیند پراکنده نمی‌شوند، بلکه در یک پرتو باریک موازی با محور آینه جمع می‌شوند. . از این واقعیت در ساخت نورافکن ها و فانوس ها، پروژکتورهای مختلف استفاده می شود که آینه های آنها به شکل پارابولوئید ساخته شده است.

ویژگی نوری فوق الذکر آینه سهموی برای ایجاد تلسکوپ های آینه ای، تاسیسات مختلف گرمایش خورشیدی و همچنین نورافکن ها استفاده می شود. با قرار دادن یک منبع نور نقطه ای قدرتمند در کانون یک آینه سهموی، جریان متراکمی از پرتوهای منعکس شده موازی با محور آینه به دست می آوریم.

وقتی سهمی حول محور خود می چرخد، شکلی به دست می آید که به آن پارابولوئید می گویند. اگر سطح داخلی پارابولوئید آینه ای باشد و پرتوی از اشعه به سمت آن هدایت شود، موازی با محورتقارن سهمی، سپس پرتوهای بازتاب شده در یک نقطه همگرا می شوند که به آن کانون می گویند. در عین حال، اگر منبع نور در کانون قرار گیرد، پرتوهای منعکس شده از سطح آینه پارابولوئید موازی بوده و پراکنده نمی شوند.

اولین ویژگی به دست آوردن دمای بالا در کانون پارابولوئید را ممکن می کند. طبق افسانه ها، این ویژگی توسط دانشمند یونان باستان ارشمیدس (287-212 قبل از میلاد) استفاده می شد. او هنگام دفاع از سیراکوز در جنگ علیه رومیان، سیستمی از آینه های سهموی ساخت که به پرتوهای منعکس شده خورشید اجازه می داد بر روی کشتی های رومی متمرکز شوند. در نتیجه دمای کانون آینه های سهموی به قدری بالا بود که در کشتی ها آتش گرفت و آنها سوختند.

خاصیت دوم به عنوان مثال در ساخت نورافکن و چراغ جلو اتومبیل استفاده می شود.

هذلولی

4. تعریف هذلولی یک راه ساده برای ساختن آن با یک حرکت پیوسته به ما می دهد: دو رشته را انتخاب کنید که اختلاف طول آنها 2 a است و یک سر این رشته ها را به نقاط F و F وصل کنید. اگر سر دیگر را نگه دارید. دو سر را با دست همراه کنید و با نوک مداد در امتداد نخ ها حرکت کنید، مراقب باشید که نخ ها روی کاغذ فشار داده شوند، کشیده و لمس شوند، از نوک نقاشی شروع کنید تا انتهای آن ها به هم برسند، نوک کشیده می شود. بخشی از یکی از شاخه های هذلولی (هرچه بزرگتر باشد رشته ها طولانی تر می شوند) (شکل).

با معکوس کردن نقش نقاط F" و F، بخشی از شاخه دیگر را بدست می آوریم.

مثلا،در مبحث "منحنی های مرتبه دوم" می توانید مشکل زیر را در نظر بگیرید:

وظیفه.دو ایستگاه راه آهن A و B در فاصله s کیلومتری از یکدیگر قرار دارند. به هر نقطه M، محموله را می توان از ایستگاه A با حمل و نقل مستقیم جاده ای (مسیر اول) و یا توسط حمل و نقل تحویل داد راه آهنبه ایستگاه B و از آنجا با ماشین (مسیر دوم). تعرفه راه آهن (قیمت حمل و نقل 1 تن در هر 1 کیلومتر) متر روبل، تعرفه حمل و نقل جاده ای n روبل، n> m، تعرفه بارگیری و تخلیه k روبل است. منطقه نفوذ ایستگاه راه‌آهن B را تعیین کنید، به عنوان مثال، منطقه‌ای که تحویل محموله از ایستگاه A با وسایل مختلط به آن ارزان‌تر است - از طریق راه‌آهن، و سپس از طریق جاده، یعنی. تعیین مکان هندسی نقاطی که مسیر دوم برای آنها سود بیشتری نسبت به مسیر اول دارد.

راه حل.بگذارید AM = r، BM = r را نشان دهیم، سپس هزینه تحویل (حمل و نقل و بارگیری - تخلیه) در طول مسیر AM برابر با nr + k و هزینه تحویل در مسیر ABM برابر با ms + 2k + است. ng. سپس نقاط M که هر دو مقدار برای آنها برابر است، معادله nr + k = ms+2k+nг را برآورده می کند، یا

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O،

بنابراین، خط تعیین کننده منطقه یکی از شاخه های هذلولی | r - r | = ثابت برای تمام نقاط هواپیما که در همان سمت نقطه A این هذلولی قرار دارند، مسیر اول سودمندتر است و برای نقاطی که در طرف دیگر قرار دارند - دومی، بنابراین شاخه هذلولی منطقه نفوذ را مشخص می کند. ایستگاه B.

نوع این مشکل.

دو ایستگاه راه آهن A و B در فاصله 1 کیلومتری از یکدیگر قرار دارند. به نقطه M، محموله را می توان از ایستگاه A یا با حمل و نقل جاده ای مستقیم، یا از طریق راه آهن به ایستگاه B و از آنجا با ماشین تحویل داد (شکل 49). در این مورد، تعرفه راه آهن (قیمت حمل 1 تن در هر کیلومتر) متر روبل، هزینه بارگیری و تخلیه K روبل (به ازای هر 1 تن) و تعرفه حمل و نقل جاده ای n روبل (n > m) است. بیایید به اصطلاح منطقه نفوذ ایستگاه راه آهن B را تعیین کنیم، یعنی منطقه ای که تحویل محموله از A با استفاده از یک مسیر مختلط به آن ارزان تر است: راه آهن و سپس جاده.

راه حل.هزینه تحویل 1 تن بار در مسیر AM r n است که r = AM و در طول مسیر ABM برابر با 1m + k + r n خواهد بود. ما باید نابرابری مضاعف r n 1m+ k+ r n را حل کنیم و نحوه توزیع نقاط روی صفحه (x,y) را تعیین کنیم که تحویل محموله از طریق مسیر اول یا دوم ارزان‌تر است.

اجازه دهید معادله خطی را که مرز بین این دو ناحیه را تشکیل می دهد، یعنی مکان نقاطی که هر دو مسیر برای آنها "به یک اندازه مفید" هستند، پیدا کنیم:

r n = 1m+ k+ r n

از این شرط r - r = = const بدست می آوریم.

بنابراین، خط تقسیم یک هذلولی است. برای تمام نقاط خارجی این هذلولی، مسیر اول سودمندتر است، و برای نقاط داخلی - دوم. بنابراین، هذلولی منطقه نفوذ ایستگاه B را مشخص می کند. شاخه دوم هذلولی، منطقه نفوذ ایستگاه A را مشخص می کند (محموله از ایستگاه B تحویل می شود). بیایید پارامترهای هذلولی خود را پیدا کنیم. محور اصلی آن 2a = و فاصله بین کانون ها (که ایستگاه های A و B هستند) در این حالت 2c = l است.

بنابراین، شرط امکان این مشکل، با رابطه a تعیین می شود< с, будет

این مسئله مفهوم هندسی انتزاعی هذلولی را با یک مسئله حمل و نقل و اقتصادی مرتبط می کند.

مکان مورد نیاز نقاط مجموعه نقاطی است که در شاخه سمت راست هذلولی حاوی نقطه B قرار دارد.

6. میدانم " ماشین آلات کشاورزی" مهم ویژگی های عملکردتراکتوری که روی یک شیب کار می کند، زاویه شیب طولی و زاویه غلتشی جانبی پایداری آن را نشان می دهد.

برای سادگی در نظر خواهیم گرفت تراکتور چرخ دار. سطحی که تراکتور روی آن کار می کند (حداقل قسمت نسبتاً کوچکی از آن) را می توان یک صفحه (صفحه حرکت) در نظر گرفت. محور طولی تراکتور برآمدگی خط مستقیمی است که نقاط میانی محورهای جلو و عقب را به صفحه حرکت متصل می کند. زاویه رول جانبی، زاویه ای است که با صفحه افقی یک خط مستقیم، عمود بر محور طولی و در صفحه حرکت قرار دارد.

هنگام مطالعه مبحث "خطوط و صفحات در فضا" در درس ریاضی، مشکلات زیر را در نظر می گیریم:

الف) در صورتی که زاویه شیب و زاویه انحراف مسیر تراکتور از جهت طولی مشخص باشد، زاویه شیب طولی تراکتوری که در امتداد شیب حرکت می کند را بیابید.

ب) حداکثر زاویه رول جانبی تراکتور حداکثر زاویه مجاز شیب شیبی است که تراکتور می تواند بدون واژگونی روی آن بایستد. چه پارامترهای تراکتور برای تعیین حداکثر زاویه رول جانبی کافی است. چگونه این یکی را پیدا کنیم
گوشه؟

7. وجود ژنراتیکس های مستقیم در تجهیزات ساختمانی استفاده می شود. بنیانگذار کاربرد عملی این واقعیت، مهندس مشهور روسی ولادیمیر گریگوریویچ شوخوف (1853-1939) است. وی. هایپربولوئید تک صفحه ای انقلاب.استحکام بالای چنین سازه هایی همراه با سبکی، هزینه ساخت کم و ظرافت، استفاده گسترده از آنها را در ساخت و سازهای مدرن تضمین می کند.

8. قوانین حرکت یک بدن صلب آزاد

برای جسم آزاد، همه انواع حرکت به یک اندازه امکان پذیر است، اما این بدان معنا نیست که حرکت جسم آزاد بی نظم است و از هیچ قانونی تبعیت نمی کند. برعکس، حرکت انتقالی یک جسم صلب، بدون توجه به شکل خارجی آن، توسط قانون مرکز جرم محدود می شود و به حرکت یک نقطه کاهش می یابد و حرکت چرخشی توسط محورهای به اصطلاح اصلی است. اینرسی یا بیضی اینرسی. بنابراین، چوبی که به فضای آزاد پرتاب می‌شود، یا دانه‌ای که از یک مرتب‌کننده به بیرون پرتاب می‌شود، و غیره، به صورت انتقالی به عنوان یک نقطه (مرکز جرم) حرکت می‌کند و در همان زمان به دور مرکز جرم می‌چرخد. به طور کلی، در حین حرکت انتقالی، هر جسم صلب، صرف نظر از شکل یا ماشین پیچیدهمی توان با یک نقطه (مرکز جرم) و در صورت چرخش - با یک بیضی اینرسی جایگزین کرد. ، که بردارهای شعاع آن برابر است با --، که در آن / ممان اینرسی این جسم نسبت به محورهایی است که از مرکز بیضی می گذرند.

اگر ممان اینرسی جسمی به دلایلی در حین چرخش تغییر کند، سرعت چرخش نیز بر همین اساس تغییر خواهد کرد. به عنوان مثال، در حین پرش از بالای سر، آکروبات ها به صورت یک توپ فشرده می شوند و باعث می شوند ممان اینرسی بدن کاهش یابد و سرعت چرخش افزایش یابد، که برای موفقیت در پرش لازم است. به همین ترتیب افراد پس از لیز خوردن، بازوهای خود را به طرفین دراز می کنند که باعث افزایش ممان اینرسی و کاهش سرعت چرخش می شود. به همین ترتیب، ممان اینرسی چنگک برداشت حول محور عمودی در طول چرخش آن حول محور افقی متغیر است.

دو نوع پارابولوئید وجود دارد: بیضوی و هذلولی.

پارابولوئید بیضویسطحی است که در برخی از سیستم های مختصات مستطیلی دکارتی با معادله تعریف می شود

یک پارابولوئید بیضوی شکل یک کاسه محدب بی نهایت دارد. دارای دو صفحه متقارن عمود بر یکدیگر است. نقطه ای که مبدأ مختصات با آن ترکیب می شود راس پارابولوئید بیضوی نامیده می شود. اعداد p و q پارامترهای آن نامیده می شوند.

پارابولوئید هذلولی سطحی است که با این معادله تعریف می شود

پارابولوئید هیپربولیکشکل زین دارد. دارای دو صفحه متقارن عمود بر یکدیگر است. نقطه ای که مبدا مختصات با آن ترکیب می شود راس یک سهمی هذلولی نامیده می شود. شماره آرو qپارامترهای آن نامیده می شوند.

تمرین 8.4.اجازه دهید ساخت یک سهمی هذلولی شکل را در نظر بگیریم

اجازه دهید لازم باشد بخشی از یک پارابولوئید در محدوده های زیر ساخته شود: ایکسО[–3; 3]، درО[–2; 2] با مرحله D=0.5 برای هر دو متغیر.

کارایی. ابتدا باید معادله متغیر را حل کنید z.در مثال

بیایید مقادیر متغیر را وارد کنیم ایکسبه ستون آ. برای انجام این کار، در سلول A1یک نماد را وارد کنید ایکس.به سلول A2اولین مقدار آرگومان وارد می شود - حد چپ محدوده (–3). به سلول A3- مقدار دوم آرگومان حد چپ محدوده به اضافه مرحله ساخت است (–2,5). سپس، بلوک سلول ها را انتخاب کنید A2: AZ، با استفاده از تکمیل خودکار، تمام مقادیر آرگومان را دریافت می کنیم (گوشه سمت راست پایین بلوک را به سلول می کشیم. A14).

مقادیر متغیر دروارد خط شوید 1 . برای انجام این کار، در سلول در 1اولین مقدار متغیر وارد می شود - حد چپ محدوده (-2). به سلول C1- مقدار دوم متغیر - حد چپ محدوده به اضافه مرحله ساخت (- 1,5). سپس، بلوک سلول ها را انتخاب کنید B1: C1با تکمیل خودکار تمام مقادیر آرگومان را دریافت می کنیم (گوشه سمت راست پایین بلوک را به سلول می کشیم. J1).

سپس مقادیر متغیر را وارد کنید z.برای انجام این کار، مکان نما جدول باید در سلول قرار گیرد در 2و فرمول - = را وارد کنید $A2^2/18 -B$1^2/8،سپس کلید را فشار دهید وارد. در یک سلول در 2ظاهر می شود 0. اکنون باید تابع را از سلول کپی کنید در 2. برای انجام این کار، از تکمیل خودکار (طراحی سمت راست) استفاده کنید تا ابتدا این فرمول را در محدوده کپی کنید B2:J2، سپس (با پایین کشیدن) - به محدوده B2:J14.

در نتیجه، در محدوده B2:J14جدولی از نقاط پارابولوئید هذلولی ظاهر می شود.

برای رسم نمودار در نوار ابزار استانداردباید یک دکمه را فشار دهید جادوگر نمودار. در کادر محاوره ای که ظاهر می شود جادوگر نمودار (مرحله 1 از 4): نوع نمودارنوع نمودار را نشان دهید - سطحو مشاهده - سطح سیم (شفاف).(نمودار بالا سمت راست در پنجره سمت راست). سپس دکمه را فشار دهید به علاوهدر کادر محاوره ای

در کادر محاوره ای که ظاهر می شود Chart Wizard (مرحله 2 از 4): منبع دادهنمودارهایی که برای انتخاب برگه نیاز دارید دامنهداده ها و در میدان دامنهاز ماوس برای نشان دادن فاصله داده ها استفاده کنید B2:J14.

سپس باید سطرها یا ستون هایی را که ردیف های داده در آن قرار دارند مشخص کنید. این جهت محورها را تعیین می کند ایکسو تودر مثال، سوئیچ ردیف دربا استفاده از نشانگر ماوس، آن را در موقعیت ستون ها قرار دهید.

تب Row و در فیلد را انتخاب کنید برچسب های محور Xمحدوده امضاها را نشان می دهد. برای انجام این کار، این فیلد را با کلیک بر روی نشانگر ماوس در آن فعال کنید و محدوده برچسب های محور را وارد کنید. ایکس -A2: A14.

مقادیر برچسب های محور را وارد کنید توبرای انجام این کار، در زمینه کار ردیفاولین ورودی را انتخاب کنید ردیف 1و با فعال کردن زمینه کار نامبا اشاره گر ماوس، اولین مقدار متغیر را وارد کنید y: -2.سپس وارد میدان شد ردیفورودی دوم را انتخاب کنید ردیف 2و وارد میدان کار شود ناممقدار دوم متغیر را وارد کنید y: -1.5.این روش را تا آخرین ورودی تکرار کنید - ردیف 9.

پس از ظاهر شدن ورودی های مورد نیاز، روی دکمه کلیک کنید به علاوه.

پنجره سوم از شما می خواهد که عنوان نمودار و نام محورها را وارد کنید. برای انجام این کار، برگه را انتخاب کنید سرفصل هابا کلیک بر روی آن با اشاره گر ماوس. سپس به میدان کار عنوان نمودارنام را از صفحه کلید وارد کنید: پارابولوئید هیپربولیک.سپس به همین ترتیب وارد فیلدهای کاری شوید محور X (دسته ها),محور Y (سری داده ها)و محور Z (مقادیر)اسامی مربوطه: x، yو z.

یک پارابولوئید هذلولی نیز به سطوح درجه دوم تعلق دارد. این سطح را نمی توان با استفاده از الگوریتمی به دست آورد که از چرخش یک خط معین نسبت به یک محور ثابت استفاده می کند.

یک مدل خاص برای ساخت یک سهمی هذلولی استفاده می شود. این مدل شامل دو سهمی است که در دو صفحه عمود بر هم قرار گرفته اند.

اجازه دهید سهمی I در یک هواپیما و بی حرکت قرار گیرد. Parabola II حرکت پیچیده ای را انجام می دهد:

▫ موقعیت اولیه آن با هواپیما منطبق است
و راس سهمی با مبدأ مختصات منطبق است: =(0,0,0);

▫ سپس این سهمی حرکت می کند انتقال موازی، و بالای آن
یک مسیر منطبق با سهمی I ایجاد می کند.

▫ دو موقعیت اولیه مختلف سهمی II در نظر گرفته می شود: یکی - شاخه های سهمی به سمت بالا، دوم - شاخه های پایین.

بیایید معادلات را بنویسیم: برای سهمی اول I:
- همیشه؛ برای سهمی دوم:
- موقعیت اولیه، معادله حرکت:
دیدن این نکته سخت نیست
مختصات دارد:
. از آنجایی که نمایش قانون حرکت یک نقطه ضروری است
: این نقطه متعلق به سهمی I است، پس روابط زیر همیشه باید برآورده شوند: =
و
.

از ویژگی های هندسی مدل می توان به راحتی سهمی متحرک را فهمید جارو می کند مقداری سطح در این مورد، معادله سطح توصیف شده توسط سهمی II به شکل زیر است:

یا →
. (1)

شکل سطح حاصل به توزیع علائم پارامترها بستگی دارد
. دو مورد احتمالی وجود دارد:

1). نشانه های مقادیر پو qهمزمان: سهمی های I و II در یک سمت هواپیما قرار دارند OXY. بپذیریم: پ = آ 2 و q = ب 2 . سپس معادله سطح شناخته شده را بدست می آوریم:

→ پارابولوئید بیضوی . (2)

2). نشانه های مقادیر پو qمتفاوت هستند: سهمی های I و II در امتداد قرار دارند طرف های مختلفاز هواپیما OXY. اجازه دهید پ = آ 2 و q = - ب 2 . حالا معادله سطح را بدست می آوریم:

→پارابولوئید هذلولی . (3)

تصور شکل هندسی سطح که با رابطه (3) تعریف شده است، دشوار نیست، اگر مدل سینماتیکی برهمکنش دو سهمی درگیر در حرکت را به خاطر بیاوریم.

در شکل، سهمی I به طور معمول با رنگ قرمز نشان داده شده است. با توجه به این واقعیت که شکل سطح به وضوح به یک زین سواره نظام اشاره می کند، این محله اغلب - زین اسب .

در فیزیک، هنگام مطالعه پایداری فرآیندها، انواع تعادل معرفی می شود: پایدار - یک سوراخ، محدب به سمت پایین، ناپایدار - یک سطح محدب به سمت بالا، و متوسط ​​- یک زین. تعادل نوع سوم نیز به عنوان یک نوع تعادل ناپایدار طبقه بندی می شود و فقط در خط قرمز (پارابولای I) امکان تعادل وجود دارد.

§ 4. سطوح استوانه ای.

هنگام در نظر گرفتن سطوح چرخشی، ساده‌ترین سطح استوانه‌ای را شناسایی کردیم - یک استوانه چرخشی، یعنی یک استوانه دایره‌ای.

در هندسه ابتدایی، یک استوانه با قیاس با تعریف کلی منشور تعریف می شود. کاملاً پیچیده است:

▫ اجازه دهید یک چندضلعی مسطح در فضا داشته باشیم
- بیایید آن را به عنوان علامت گذاری کنیم ، و چند ضلعی با آن منطبق است
- بیایید آن را به عنوان علامت گذاری کنیم
;

▫ قابل اجرا برای چند ضلعی
حرکت ترجمه موازی: نقاط
حرکت در امتداد مسیرهای موازی با یک جهت معین ;

▫ اگر انتقال چند ضلعی را متوقف کنید
، سپس هواپیمایش
موازی با هواپیما ;

▫ سطح منشور را می گویند: مجموعه ای از چندضلعی ها ,
– زمینه منشورها و متوازی الاضلاع
,
,... – سطح جانبی منشورها

که در بیایید از تعریف ابتدایی منشور برای ایجاد یک تعریف کلی تر از یک منشور و سطح آن استفاده کنیم، یعنی ما متمایز خواهیم کرد:

▫ منشور نامحدود یک جسم چند وجهی است که توسط لبه ها محدود شده است ,،... و صفحات بین این لبه ها;

▫ منشور محدود جسمی چند وجهی است که توسط لبه‌هایی محدود شده است ,،... و متوازی الاضلاع
,
،...؛ سطح جانبی این منشور مجموعه ای از متوازی الاضلاع است
,
،...؛ پایه های منشور - مجموعه ای از چند ضلعی ها ,
.

اجازه دهید منشور نامحدود داشته باشیم: ,،... بیایید این منشور را با یک صفحه دلخواه قطع کنیم . بیایید همان منشور را با صفحه دیگری قطع کنیم
. در مقطع ما یک چند ضلعی می گیریم
. به طور کلی، ما فرض می کنیم که هواپیما
موازی با هواپیما نیست . این بدان معناست که منشور با ترجمه موازی چندضلعی ساخته نشده است .

ساخت پیشنهادی یک منشور نه تنها شامل منشورهای مستقیم و مایل، بلکه هر نوع منشوری است.

در هندسه تحلیلی، سطوح استوانه ای را بطور کلی درک خواهیم کرد که یک استوانه نامحدود شامل یک منشور نامحدود به عنوان یک حالت خاص است: فقط باید فرض کرد که چندضلعی را می توان با یک خط دلخواه جایگزین کرد، نه لزوما بسته - راهنما سیلندر. جهت تماس گرفت ژنراتیکس سیلندر.

از مجموع آنچه گفته شد چنین استنباط می شود: برای تعریف سطح استوانه ای باید یک خط راهنما و جهت ژنراتیکس مشخص شود.

سطوح استوانه ای بر اساس منحنی های صفحه درجه 2، خدمت به دست آمده است راهنماها برای تشکیل .

در مرحله اولیه مطالعه سطوح استوانه‌ای، فرضیات ساده‌سازی را می‌پذیریم:

▫ اجازه دهید راهنمای سطح استوانه ای همیشه در یکی از صفحات مختصات قرار گیرد.

▫ جهت ژنراتیکس منطبق با یکی از محورهای مختصات است، یعنی عمود بر صفحه ای که راهنما در آن تعریف شده است.

محدودیت های پذیرفته شده منجر به از دست دادن کلیت نمی شود، زیرا به دلیل انتخاب بخش ها توسط هواپیما ممکن است و
اشکال هندسی دلخواه بسازید: استوانه های مستقیم، مایل، کوتاه.

سیلندر بیضوی .

اجازه دهید یک بیضی را به عنوان راهنمای استوانه در نظر بگیریم :
، در صفحه مختصات قرار دارد

: استوانه بیضوی.

سیلندر هایپربولیک .

:

، و جهت ژنراتیکس محور را تعیین می کند
. در این حالت معادله استوانه خود خط است : سیلندر هذلولی.

استوانه سهموی .

اجازه دهید یک هذلولی را به عنوان راهنمای استوانه در نظر بگیریم :
، در صفحه مختصات قرار دارد
، و جهت ژنراتیکس محور را تعیین می کند
. در این حالت معادله استوانه خود خط است : استوانه سهموی

اظهار نظر: با توجه به قوانین عمومیدر ساخت معادلات سطوح استوانه ای و همچنین نمونه های خاص ارائه شده از استوانه های بیضوی، هذلولی و سهمی، توجه می کنیم: ساخت یک استوانه برای هر ژنراتیکس دیگر، برای شرایط ساده سازی پذیرفته شده، نباید هیچ مشکلی ایجاد کند!

اجازه دهید اکنون بیشتر در نظر بگیریم شرایط عمومیساخت معادلات سطوح استوانه ای:

▫ راهنمای سطح استوانه ای در یک صفحه دلخواه از فضا قرار دارد
;

▫ جهت ژنراتیکس در سیستم مختصات اتخاذ شده دلخواه است.

شرایط پذیرفته شده را در شکل به تصویر می کشیم.

▫ راهنمای سطح استوانه ای واقع در یک هواپیما دلخواه فضا
;

▫ سیستم مختصات
به دست آمده از سیستم مختصات
انتقال موازی؛

▫ مکان راهنمای در هواپیما ترجیحاً: برای یک منحنی مرتبه 2، منشاء مختصات را در نظر می گیریم مصادف است با مرکز تقارن منحنی مورد بررسی؛

▫ جهت ژنراتیکس دلخواه (به هر یک از راه ها می توان مشخص کرد: بردار، خط مستقیم و غیره).

در ادامه ما سیستم های مختصات را فرض خواهیم کرد
و
مطابقت دادن این بدان معنی است که گام اول الگوریتم کلی برای ساخت سطوح استوانه ای، منعکس کننده ترجمه موازی:
→
، قبلا تکمیل شده است.

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه انتقال موازی در حالت کلی با در نظر گرفتن یک مثال ساده در نظر گرفته می شود.

مثال 6–13 : در سیستم مختصات
مانند:
=0. معادله این راهنما را در سیستم یادداشت کنید
.

راه حل:

1). اجازه دهید یک نقطه دلخواه را تعیین کنیم
: در سیستم
چگونه
، و در سیستم
چگونه
.

2). بیایید برابری برداری را بنویسیم:
=
+
. به صورت مختصات می توان این را به صورت زیر نوشت:
=
+
. یا به شکل:
=
–
، یا:
=.

3). اجازه دهید معادله راهنمای سیلندر را بنویسیم در سیستم مختصات
:

پاسخ: معادله راهنمای تبدیل شده: =0.

بنابراین، فرض می کنیم که مرکز منحنی نشان دهنده راهنمای سیلندر همیشه در مبدا مختصات سیستم قرار دارد.
در هواپیما .

برنج. که در . طراحی اولیه برای ساخت یک سیلندر.

بیایید یک فرض دیگر داشته باشیم که مراحل نهایی ساخت یک سطح استوانه ای را ساده می کند. از آنجایی که با استفاده از چرخش سیستم مختصات تراز کردن جهت محور دشوار نیست
دستگاه های مختصات
با هواپیما معمولی ، و جهت محورها
و
با محورهای تقارن راهنما ، سپس آن را به عنوان موقعیت اولیه راهنما فرض می کنیم ما یک منحنی داریم که در صفحه قرار دارد
و یکی از محورهای تقارن آن با محور منطبق است
، و دوم با محور
.

اظهار نظر: از آنجایی که عملیات انتقال موازی و چرخش حول یک محور ثابت بسیار ساده است، مفروضات پذیرفته شده کاربرد الگوریتم توسعه‌یافته برای ساخت یک سطح استوانه‌ای را در کلی‌ترین حالت محدود نمی‌کند!

دیده ایم که هنگام ساخت یک سطح استوانه ای در موردی که راهنما واقع در هواپیما
، و ژنراتیکس موازی با محور است
، کافی است فقط راهنما را تعیین کنید .

از آنجایی که یک سطح استوانه‌ای را می‌توان با مشخص کردن هر خطی که در مقطع این سطح توسط یک صفحه دلخواه به دست می‌آید به طور منحصربه‌فرد تعیین کرد، الگوریتم کلی زیر را برای حل مسئله می‌پذیریم:

1 ▫ . اجازه دهید جهت ژنراتیکس سطح استوانه ای داده شده توسط بردار . بیایید یک راهنما طراحی کنیم ، با معادله به دست می آید:
= 0، به صفحه ای عمود بر جهت ژنراتیکس ، یعنی روی هواپیما
. در نتیجه سطح استوانه ای در سیستم مختصات مشخص خواهد شد
معادله:
=0.

2 ▫
حول محور
در یک زاویه
: معنی زاویه
سازگار با سیستم
، و معادله سطح مخروطی به معادله تبدیل می شود:
=0.

3 ▫ . چرخش سیستم مختصات را اعمال کنید
حول محور
در یک زاویه
: معنی زاویه از شکل کاملا مشخص است در نتیجه چرخش، سیستم مختصات
سازگار با سیستم
، و معادله سطح مخروطی تبدیل می شود
=0. این معادله یک سطح استوانه ای است که راهنما برای آن داده شده است و ژنراتور در سیستم مختصات
.

مثال ارائه شده در زیر اجرای الگوریتم نوشته شده و مشکلات محاسباتی چنین مسائلی را نشان می دهد.

مثال 6–14 : در سیستم مختصات
معادله راهنمای سیلندر داده شده است مانند:
=9. معادله ای برای استوانه ای بنویسید که مولدهای آن با بردار موازی هستند =(2,–3,4).

آر
تصمیم گیری:

1). اجازه دهید راهنمای سیلندر را روی صفحه ای عمود بر آن قرار دهیم . مشخص است که چنین تبدیلی یک دایره معین را به یک بیضی تبدیل می کند که محورهای آن عبارتند از: بزرگ = 9 و کوچک است =
.

این شکل طراحی یک دایره تعریف شده در یک صفحه را نشان می دهد
به هواپیمای مختصات
.

2). نتیجه طراحی یک دایره یک بیضی است:
= 1، یا
. در مورد ما این است:
، جایی که
==.

3
). بنابراین، معادله یک سطح استوانه ای در سیستم مختصات
اخذ شده. از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله باید معادله این استوانه را در سیستم مختصات داشته باشیم
، سپس باید یک تبدیل مختصاتی اعمال شود که سیستم مختصات را تبدیل می کند
به سیستم مختصات
، در همان زمان معادله استوانه:
به معادله ای که بر حسب متغیرها بیان می شود
.

4). بهره ببریم پایه ای ترسیم کنید و تمام مقادیر مثلثاتی لازم برای حل مسئله را یادداشت کنید:

==,
==,
==.

5). اجازه دهید فرمول های تبدیل مختصات را هنگام حرکت از سیستم بنویسیم
به سیستم
:
(که در)

6). اجازه دهید فرمول های تبدیل مختصات را هنگام حرکت از سیستم بنویسیم
به سیستم
:
(با)

7). جایگزینی متغیرها
از سیستم (B) به سیستم (C) و همچنین با در نظر گرفتن مقادیر توابع مثلثاتی استفاده شده، می نویسیم:

=
=
.

=
=
.

8). باقی مانده است که مقادیر یافت شده را جایگزین کنیم و به معادله راهنمای سیلندر :
در سیستم مختصات
. تکمیل شدن با دقت تمام تبدیلات جبری معادله یک سطح مخروطی در سیستم مختصات را به دست می آوریم
: =0.

پاسخ: معادله مخروط: =0.

مثال 6–15 : در سیستم مختصات
معادله راهنمای سیلندر داده شده است مانند:
=9, =1. معادله ای برای استوانه ای بنویسید که مولدهای آن با بردار موازی هستند =(2,–3,4).

راه حل:

1). به راحتی می توان فهمید که این مثال با مثال قبلی تنها در این است که راهنما به صورت موازی 1 به سمت بالا حرکت کرده است.

2). این بدان معنی است که در روابط (B) باید پذیرفت: =-1. با در نظر گرفتن عبارات سیستم (C)، ورودی متغیر را تصحیح می کنیم :

=
.

3). این تغییر به راحتی با تنظیم معادله نهایی برای استوانه از مثال قبلی در نظر گرفته می شود:

پاسخ: معادله مخروط: =0.

اظهار نظر: به راحتی می توان دریافت که مشکل اصلی با تبدیل های متعدد سیستم های مختصات در مسائل با سطوح استوانه ای است. دقت و تحمل در ماراتن های جبر: زنده باد نظام آموزشی که در کشور رنج کشیده ما پذیرفته شده است!

ارتفاع پارابولوئید را می توان با فرمول تعیین کرد

حجم پارابولوئیدی که کف آن را لمس می کند برابر با نصف حجم یک استوانه با شعاع پایه R و ارتفاع H است، همان حجم فضای W' زیر پارابولوئید را اشغال می کند (شکل 4.5a)

شکل 4.5. نسبت حجم ها در یک پارابولوئید که پایین را لمس می کند.

Wп – حجم پارابولوئید، W’ – حجم زیر پارابولوئید، Hп – ارتفاع پارابولوئید

شکل 4.6. نسبت حجم در یک پارابولوئید که لبه‌های استوانه را لمس می‌کند Hp ارتفاع پارابولوئید است، R شعاع ظرف است، Wl حجم زیر ارتفاع مایع در ظرف قبل از شروع چرخش است، z 0 موقعیت راس پارابولوئید است، H ارتفاع مایع در ظرف قبل از شروع چرخش است.

در شکل 4.6a، سطح مایع در سیلندر قبل از شروع چرخش H است. حجم Wl مایع قبل و بعد از چرخش حفظ می شود و برابر است با مجموع حجم Wt سیلندر با ارتفاع z 0 به اضافه حجم مایع زیر پارابولوئید که برابر با حجم پارابولوئید Wp با ارتفاع Hn است

اگر پارابولوئید لبه بالایی استوانه را لمس کند، ارتفاع مایع داخل استوانه قبل از شروع چرخش H ارتفاع سهمی Hn را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند، پایین ترین نقطه (راس) پارابولوئید در رابطه قرار می گیرد. به پایه (شکل 4.6c)

علاوه بر این، ارتفاع H پارابولوئید را به دو قسمت تقسیم می کند (شکل 4.6c) که حجم های آن برابر با W 2 = W 1 است. از برابری حجم های حلقه سهموی W 2 و جام سهمی W 1، شکل 4.6c

هنگامی که سطح پارابولوئید کف ظرف را قطع می کند (شکل 4.7) حلقه W 1 = W 2 = 0.5W

شکل 4.7 حجم و ارتفاع زمانی که سطح پارابولوئید کف استوانه را قطع می کند

ارتفاعات در شکل 4.6

حجم در شکل 4.6.

محل قرارگیری سطح آزاد در ظرف

شکل 4.8. سه مورد استراحت نسبی در طول چرخش

1. اگر ظرف باز است، Po = Ratm (شکل 4.8a). در طول چرخش، قسمت بالای پارابولوئید از سطح اولیه-H پایین می‌آید و لبه‌ها بالاتر از سطح اولیه یعنی موقعیت بالا قرار می‌گیرند.

2. اگر ظرف کاملاً پر باشد، با درپوش پوشانده شده باشد، سطح آزاد نداشته باشد، تحت فشار اضافی Po>Patm باشد، قبل از چرخش سطح (PP) که روی آن Po=Patm بالاتر از سطح درب در ارتفاع خواهد بود. h 0i =M/ ρg، H 1 =H+ M/ρg.

3. اگر ظرف کاملاً پر شده باشد، تحت خلاء پو قرار دارد<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. چرخش با سرعت زاویه ای بالا (شکل 4.9)

هنگامی که یک ظرف حاوی مایع با سرعت زاویه ای بالا می چرخد، نیروی گرانش را می توان در مقایسه با نیروهای گریز از مرکز نادیده گرفت. قانون تغییر فشار در مایع را می توان از فرمول بدست آورد

(4.22),

سطوح سطح استوانه هایی با یک محور مشترک تشکیل می دهند که ظرف به دور آن می چرخد. اگر ظرف قبل از شروع چرخش به طور کامل پر نشده باشد، فشار P 0 در امتداد شعاع عمل خواهد کرد r = r 0 ، به جای عبارت (4.22) خواهیم داشت

که در آن g(z 0 - z) = 0 را می گیریم،

برنج. 4.9 محل سطوح چرخش در غیاب گرانش.

شعاع سطح داخلی برای H و h شناخته شده

در اطراف محور آن، می توانید یک بیضوی معمولی بگیرید. این جسم ایزومتریک توخالی است که بخش های آن بیضی و سهمی است. یک پارابولوئید بیضوی توسط:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
تمام بخش های اصلی یک سهمی سهمی هستند. هنگام برش هواپیماهای XOZ و YOZ، فقط سهمی به دست می آید. اگر یک مقطع عمود بر صفحه Xoy رسم کنید، می توانید یک بیضی به دست آورید. علاوه بر این، مقاطع، که سهمی هستند، با معادلات شکل مشخص می شوند:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
بخش‌های بیضی با معادلات دیگری به دست می‌آیند:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
یک پارابولوئید بیضوی در a=b به پارابولوئید انقلاب تبدیل می شود. ساخت پارابولوئید دارای تعدادی ویژگی است که باید در نظر گرفته شود. عملیات را با تهیه پایه - ترسیم نمودار تابع شروع کنید.

برای شروع ساختن پارابولوئید، ابتدا باید یک سهمی بسازید. همانطور که در شکل نشان داده شده است یک سهمی در صفحه Oxz رسم کنید. به پارابولوئید آینده ارتفاع مشخصی بدهید. برای این کار، یک خط مستقیم بکشید تا نقاط بالایی سهمی را لمس کند و با محور Ox موازی شود. سپس یک سهمی در صفحه یوز بکشید و یک خط مستقیم بکشید. دو صفحه پارابولوئید عمود بر هم دریافت خواهید کرد. پس از این، در صفحه Xoy، متوازی الاضلاع بسازید که به رسم بیضی کمک می کند. یک بیضی در این متوازی الاضلاع بنویسید تا تمام اضلاع آن را لمس کند. پس از این تبدیل ها متوازی الاضلاع را پاک کنید و آنچه باقی می ماند یک تصویر سه بعدی از یک پارابولوئید است.

همچنین یک پارابولوئید هذلولی وجود دارد که شکل مقعر بیشتری نسبت به بیضی دارد. بخش های آن نیز دارای سهمی و در برخی موارد هذلولی هستند. بخش های اصلی در امتداد Oxz و Oyz، مانند قسمت های یک سهمی بیضوی، سهمی هستند. آنها با معادلات به شکل زیر ارائه می شوند:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
اگر بخشی را نسبت به محور Oxy رسم کنید، می توانید یک هذلولی دریافت کنید. هنگام ساختن پارابولوئید هذلولی از معادله زیر استفاده کنید:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - معادله یک سهمی هذلولی

ابتدا یک سهمی ثابت در صفحه Oxz بسازید. یک سهمی متحرک در صفحه Oyz رسم کنید. پس از این، ارتفاع پارابولوئید h را تنظیم کنید. برای این کار دو نقطه روی سهمی ثابت علامت بزنید که رئوس دو سهمی متحرک دیگر خواهد بود. سپس یک سیستم مختصات دیگر O"x"y" ترسیم کنید تا هذلولی ها را رسم کنید. مرکز این سیستم مختصات باید با ارتفاع سهمی منطبق باشد. بعد از تمام ساخت ها، آن دو سهمی متحرک ذکر شده در بالا را رسم کنید تا نقاط انتهایی را لمس کنند. از هذلول ها در نتیجه یک سهمی هذلولی است.