توصیه های روش شناختی برای مطالعه درس "سیستم های عددی". در مورد روش بدیهی ساخت یک نظریه

روش بدیهی در ریاضیات.

مفاهیم اساسی و روابط نظریه بدیهی سری طبیعی. تعریف عدد طبیعی

جمع اعداد طبیعی

ضرب اعداد طبیعی

ویژگی های مجموعه اعداد طبیعی

تفریق و تقسیم اعداد طبیعی.

روش بدیهی در ریاضیات

در ساخت بدیهی هر نظریه ریاضی، قوانین زیر رعایت می شود: قوانین خاص:

1. برخی از مفاهیم نظریه به عنوان انتخاب شده است اصلیو بدون تعریف پذیرفته می شوند.

2. فرموله می شوند بدیهیاتکه در این نظریه بدون دلیل پذیرفته شده اند، ویژگی های مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

3. هر مفهومی از نظریه که در فهرست پایه‌ها وجود ندارد، آورده شده است تعریف، معنای آن را با کمک مفاهیم اصلی و قبل توضیح می دهد.

4. هر گزاره از یک نظریه که در فهرست بدیهیات موجود نیست باید اثبات شود. چنین پیشنهاداتی نامیده می شود قضایاو آنها را بر اساس بدیهیات و قضایای قبل از موضوع مورد بررسی ثابت کنید.

سیستم بدیهیات باید به صورت زیر باشد:

الف) سازگار:ما باید مطمئن باشیم که با استخراج تمام نتایج ممکن از یک سیستم معین بدیهیات، هرگز به تناقضی نخواهیم رسید.

ب) مستقل: هیچ بدیهی نباید نتیجه سایر بدیهیات این سیستم باشد.

V) پر شده، اگر در چارچوب آن همیشه بتوان یک گزاره داده شده یا نفی آن را اثبات کرد.

اولین تجربه ساخت نظریه بدیهی را می توان ارائه هندسه توسط اقلیدس در «عناصر» (قرن سوم قبل از میلاد) دانست. سهم قابل توجهی در توسعه روش اصولی ساخت هندسه و جبر توسط N.I. لوباچفسکی و ای. گالوا. در پایان قرن نوزدهم. ریاضیدان ایتالیایی پیانو سیستمی از بدیهیات را برای حساب ایجاد کرد.

مفاهیم اساسی و روابط نظریه بدیهی اعداد طبیعی. تعریف عدد طبیعی

به عنوان یک مفهوم اساسی (تعریف نشده) در یک مجموعه خاص ن انتخاب شده است نگرش ، و همچنین از مفاهیم نظری مجموعه ها و همچنین قواعد منطق استفاده می کند.

عنصر بلافاصله پس از عنصر آ،مشخص کن آ".

رابطه "مستقیم دنبال کردن" بدیهیات زیر را برآورده می کند:

بدیهیات پیانو:

اصل 1. در فراوانی ن یک عنصر به طور مستقیم وجود دارد بعدی نیستبرای هیچ عنصری از این مجموعه نیست. بیا بهش زنگ بزنیم واحدو با علامت مشخص می شود 1 .

اصل 2. برای هر عنصر آ از جانب ن فقط یک عنصر وجود دارد آ" ، بلافاصله پس از آ .

اصل 3. برای هر عنصر آ از جانب نحداکثر یک عنصر وجود دارد که بلافاصله پس از آن وجود دارد آ .

اصل 4.هر زیر مجموعه م مجموعه ها ن مصادف است با ن در صورتی که دارای خواص زیر باشد: 1) 1 موجود در م ; 2) از آنجا که آ موجود در م , نتیجه می شود که آ" موجود در م.

تعریف 1. یک دسته از ن ، که برای عناصر آن رابطه برقرار می شود "مستقیم دنبال کنید"، ارضای بدیهیات 1-4، نامیده می شود مجموعه اعداد طبیعی، و عناصر آن هستند اعداد طبیعی.

که در این تعریفدر مورد ماهیت عناصر مجموعه چیزی گفته نشده است ن . بنابراین می تواند هر چیزی باشد. انتخاب به عنوان مجموعه ن برخی از مجموعه های خاص که در آن یک رابطه خاص "مستقیماً دنبال می شود" داده شده است، که بدیهیات 1-4 را برآورده می کند. مدل این سیستم اصل.

مدل استاندارد سیستم بدیهیات Peano مدلی است که در این فرآیند بوجود آمد توسعه تاریخیجامعه، یک سری اعداد: 1،2،3،4،... سری طبیعی با عدد 1 شروع می شود (اصل 1); هر عدد طبیعی بلافاصله با یک عدد طبیعی منفرد دنبال می شود (اصل 2). هر عدد طبیعی بلافاصله حداکثر از یک عدد طبیعی پیروی می کند (اصول 3). با شروع از عدد 1 و حرکت به سمت اعداد طبیعی بلافاصله پس از یکدیگر، کل مجموعه این اعداد را به دست می آوریم (اصول 4).

بنابراین، ساخت بدیهی یک سیستم اعداد طبیعی را با انتخاب پایه آغاز کردیم رابطه "مستقیم دنبال کنید".و بدیهیاتی که خواص آن را توصیف می کند. ساخت بیشتر این نظریه شامل در نظر گرفتن خواص شناخته شده اعداد طبیعی و عملیات روی آنها است. آنها باید در تعاریف و قضایا آشکار شوند، یعنی. کاملاً منطقی از رابطه "مستقیم دنبال کردن" و بدیهیات 1-4 مشتق شده اند.

اولین مفهومی که پس از تعریف عدد طبیعی معرفی خواهیم کرد این است نگرش "بلافاصله قبل از" , که اغلب هنگام در نظر گرفتن خواص سری طبیعی استفاده می شود.

تعریف 2.اگر یک عدد طبیعی است ب مستقیماً دنبال می کندعدد طبیعی آ, آن عدد آ تماس گرفت بلافاصله قبل از(یا قبلی) شماره ب .

رابطه «قبلی» دارد تعدادی از خواص.

قضیه 1. واحد هیچ عدد طبیعی قبلی ندارد.

قضیه 2. هر عدد طبیعی آ، به غیر از 1، یک عدد قبلی دارد ببه طوری که ب"= آ.

ساختار بدیهی نظریه اعداد طبیعی نه در ابتدایی و نه در در نظر گرفته نمی شود دبیرستان. با این حال، آن خصوصیات رابطه "مستقیماً دنبال می شود" که در بدیهیات Peano منعکس شده است، موضوع مطالعه در دوره اولیه ریاضیات است. قبلاً در کلاس اول، با در نظر گرفتن اعداد ده اول، مشخص می شود که چگونه می توان هر عدد را به دست آورد. از مفاهیم "پیش می آید" و "قبلی" استفاده می شود. هر عدد جدید به عنوان ادامه بخش مورد مطالعه از سری طبیعی اعداد عمل می کند. دانش‌آموزان متقاعد شده‌اند که هر عدد با عدد بعدی دنبال می‌شود، و علاوه بر این، فقط یک چیز این است که سری طبیعی اعداد نامحدود است.

جمع اعداد طبیعی

با توجه به قوانین ساخت یک نظریه بدیهی، تعریف جمع اعداد طبیعی باید تنها با استفاده از رابطه معرفی شود. "مستقیم دنبال کنید"، و مفاهیم "عدد طبیعی"و "شماره قبل".

اجازه دهید تعریف جمع را با ملاحظات زیر مقدمه کنیم. اگر به هر عدد طبیعی آ 1 را اضافه کنید، عدد را دریافت می کنیم آ"،بلافاصله پس از آ، یعنی آ+ 1= a"و بنابراین، قانون جمع کردن 1 به هر عدد طبیعی را دریافت می کنیم. اما چگونه می توان به یک عدد اضافه کرد آعدد طبیعی بمتفاوت از 1؟ بیایید از واقعیت زیر استفاده کنیم: اگر می دانیم که 2 + 3 = 5، پس مجموع 2 + 4 = 6 است که بلافاصله بعد از عدد 5 می آید. عدد 3. بنابراین، 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". که در نمای کلیما داریم , .

این حقایق مبنای تعریف جمع اعداد طبیعی در نظریه بدیهیات را تشکیل می دهند.

تعریف 3. جمع کردن اعداد طبیعییک عملیات جبری است که دارای ویژگی های زیر است:

عدد a + b تماس گرفت مجموع اعداد آو ب , و خود اعداد آو ب - مقررات.

همانطور که در تمرین 3.1.4 ذکر شده است، سیستم داده شده از بدیهیات نظریه اعداد صحیح مستقل نیست.

قضیه 1.نظریه بدیهی اعداد صحیح سازگار است.

اثبات ما بر اساس این فرض که نظریه بدیهی اعداد طبیعی سازگار است، سازگاری نظریه بدیهی اعداد صحیح را اثبات خواهیم کرد. برای انجام این کار، مدلی خواهیم ساخت که تمام بدیهیات نظریه ما بر اساس آن برآورده شود.

ابتدا بیایید یک حلقه بسازیم. مجموعه را در نظر بگیرید

ن´ ن = {(الف، ب)ï الف، بÎ ن}.

الف، ب) اعداد طبیعی. با چنین جفتی تفاوت اعداد طبیعی را درک خواهیم کرد الف – ب. اما تا زمانی که وجود سیستمی از اعداد صحیح که چنین تفاوتی در آن وجود دارد ثابت نشود، ما حق نداریم از چنین نامگذاری استفاده کنیم. در عین حال، چنین درکی به ما این فرصت را می دهد تا ویژگی های جفت ها را همانطور که نیاز داریم تنظیم کنیم.

می دانیم که تفاوت های مختلف اعداد طبیعی می توانند برابر با یک عدد صحیح باشند. بر این اساس، اجازه دهید به معرفی در مجموعه ن´ نرابطه برابری:

(الف، ب) = (ج، د) Û a + d = b + c.

به راحتی می توان دریافت که این رابطه بازتابی، متقارن و متعدی است. بنابراین یک رابطه هم ارزی است و حق دارد که آن را برابری نامیده شود. مجموعه فاکتورها ن´ ن ز. عناصر آن را اعداد صحیح می نامیم. آنها کلاس های هم ارزی را در مجموعه جفت ها نشان می دهند. کلاس شامل یک جفت
(الف، ب، با [ الف، ب].

ز الف، ب] چگونه در مورد تفاوت الف – ب

[الف، ب] + [ج، د] = [a+c، b+d];

[الف، ب] × [ ج، د] = [ac+bd، ad+bc].

باید در نظر داشت که به طور دقیق، استفاده از نمادهای عملیات در اینجا کاملاً صحیح نیست. همان علامت + نشان دهنده جمع اعداد و جفت های طبیعی است. اما از آنجایی که همیشه مشخص است که یک عملیات معین در چه مجموعه ای انجام می شود، در اینجا نماد جداگانه ای برای این عملیات معرفی نمی کنیم.

لازم است صحت تعاریف این عملیات بررسی شود، یعنی اینکه نتایج به انتخاب عناصر بستگی ندارد. آو ب، تعریف جفت [ الف، ب]. در واقع، اجازه دهید

[الف، ب] = [آ 1 ، ب 1 ], [SD] = [با 1 ، د 1 ].

این به آن معنا است a+b 1 = b+a 1 , ج + د 1 =د + با 1 . با اضافه کردن این برابری ها، دریافت می کنیم

a+b 1 + ج + د 1 = b+a 1 +د + با 1 Þ[ a + b، c + d] = [آ 1 +با 1 ، ب 1 + د 1] Þ

Þ [ الف، ب] + [ج، د] = [آ 1 ، ب 1 ] + [ج 1 ، د 1 ].

صحت تعریف ضرب نیز به همین ترتیب تعیین می شود. اما در اینجا ابتدا باید بررسی کنید که [ الف، ب] × [ ج، د] = [آ 1 ، ب 1 ] × [ ج، د].

حال باید بررسی کنیم که جبر به دست آمده یک حلقه است، یعنی بدیهیات (Z1) – (Z6).

اجازه دهید، برای مثال، جابجایی جمع، یعنی اصل موضوع (Z2) را بررسی کنیم. ما داریم

[ج، د] + [الف، ب] = = [a+c، b+d] = [الف، ب] + [ج، د].

جابجایی جمع برای اعداد صحیح از جابجایی جمع برای اعداد طبیعی به دست می آید که قبلاً شناخته شده در نظر گرفته می شود.

بدیهیات (Z1)، (Z5)، (Z6) به طور مشابه بررسی می شوند.

نقش صفر توسط جفت بازی می شود. اجازه دهید آن را با علامت گذاری کنیم 0 . واقعا،

[الف، ب] + 0 = [الف، ب] + = [a+ 1,b+ 1] = [الف، ب].

سرانجام، -[ الف، ب] = [ب، الف]. واقعا،

[الف، ب] + [ب، الف] = [a+b، b+a] = = 0 .

حالا بدیهیات پسوند را بررسی می کنیم. باید در نظر داشت که در حلقه ساخته شده هیچ اعداد طبیعی وجود ندارد، زیرا عناصر حلقه کلاس هایی از جفت اعداد طبیعی هستند. بنابراین، ما نیاز داریم که یک زیر جبر هم شکل برای semiring اعداد طبیعی پیدا کنیم. اینجا دوباره ایده یک زوج [ الف، ب] چگونه در مورد تفاوت الف – ب. عدد طبیعی nرا می توان به عنوان تفاوت دو طبیعی نشان داد، برای مثال، به صورت زیر: n = (n+ 1) – 1. از این رو پیشنهاد ایجاد مکاتبات مطرح می شود f: ن ® زطبق قاعده

f(n) = [n + 1, 1].

این مکاتبات تزریقی است:

f(n) = f(متر) Þ [ n + 1, 1]= [متر+ 1، 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (متر+ 1) Þ n = m.

در نتیجه، ما یک مکاتبه یک به یک بین داریم نو برخی از زیر مجموعه ها ز، که با آن نشان می دهیم N*. بیایید بررسی کنیم که عملیات را ذخیره می کند:

f(n) + f(متر) = [n + 1, 1]+ [متر + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + متر+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(متر) = [n+ 1، 1]× [ متر + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [نانومتر+ 1, 1] = f(نانومتر).

این ثابت می کند که N*شکل می گیرد زبا توجه به عملیات جمع و ضرب یک هم شکل زیر جبر ن

بیایید جفت را نشان دهیم [ n+ 1، 1] از N* n، از طریق n الف، ب] ما داریم

[الف، ب] = [آ + 1, 1] + = [آ + 1, 1] – [ب + 1, 1] = آ – ب .

این در نهایت ایده یک زوج را ثابت می کند [ الف، ب] به عنوان تفاوت اعداد طبیعی. در همان زمان، مشخص شد که هر عنصر از مجموعه ساخته شده زبه عنوان تفاوت دو طبیعی نشان داده می شود. این به تأیید اصل حداقلی کمک می کند.

اجازه دهید M –زیرمجموعه ز, حاوی N*و همراه با هر عنصر آو بتفاوت آنها الف – ب. بگذارید در این مورد ثابت کنیم M =ز. در واقع، هر عنصر از زبه عنوان اختلاف دو عدد طبیعی نشان داده می شود که بر اساس شرط به آن تعلق دارند مهمراه با تفاوت هایش

ز

قضیه 2.نظریه بدیهی اعداد صحیح مقوله ای است.

اثبات اجازه دهید ثابت کنیم که هر دو مدلی که تمام بدیهیات این نظریه بر اساس آنها برآورده شود، هم شکل هستند.

اجازه دهید á ز 1، +، ×، ن 1 ñ و á ز 2، +، ×، ن 2 – دو مدل از نظریه ما. به طور دقیق، عملیات در آنها باید با نمادهای مختلف نشان داده شود. ما از این الزام دور خواهیم شد تا محاسبات را به هم نریزیم: هر بار مشخص است که از چه عملیاتی صحبت می کنیم. عناصر متعلق به مدل های مورد بررسی با شاخص های 1 یا 2 مربوطه ارائه خواهند شد.

ما قصد داریم یک نگاشت ایزومورفیک را از مدل اول تا مدل دوم تعریف کنیم. زیرا ن 1 و ن 2 semirings از اعداد طبیعی هستند، سپس یک نقشه برداری هم شکل j از اولین semiring به دوم وجود دارد. بیایید نقشه برداری را تعریف کنیم f: ز 1® ز 2. هر عدد صحیح ایکس 1 Î ز 1 به عنوان تفاوت دو طبیعی نشان داده می شود:
ایکس 1 =a 1 - ب 1 . ما معتقدیم

f (ایکس 1) = j( آ 1) – j( ب 1).

این را ثابت کنیم f- ایزومورفیسم نگاشت به درستی تعریف شده است: if ایکس 1 = در 1 کجا y 1 = ج 1 – د 1، سپس

آ 1 - ب 1 = ج 1 – د 1 Þ آ 1 +d 1 = ب 1 + ج 1 Þ j( آ 1 +d 1) = j( ب 1 + ج 1) Þ

Þ j( آ 1) + j( د 1) = j( ب 1) + j( ج 1) Þ j( آ 1) – j( ب 1) = j( ج 1) – j( د 1) Þ f(ایکس 1) =f (y 1).

نتیجه می شود که f –نقشه برداری یک به یک ز 1 اینچ ز 2. اما برای هر کسی ایکس 2 از ز 2 می توانید عناصر طبیعی را پیدا کنید آ 2 و ب 2 طوری که ایکس 2 =a 2 - ب 2. از آنجایی که j یک ایزومورفیسم است، این عناصر دارای تصاویر معکوس هستند آ 1 و ب 1 . به معنای، ایکس 2 = j( آ 1) – j( ب 1) =
= f (آ 1 - ب 1) و برای هر عنصر از ز 2 یک نمونه اولیه است. از این رو مکاتبات fیک به یک. بیایید بررسی کنیم که عملیات را ذخیره می کند.

اگر ایکس 1 =a 1 - ب 1 , y 1 = ج 1 - د 1، سپس

ایکس 1 + y 1 = (آ 1 + ج 1) – (ب 1 +د 1),

f(ایکس 1 + y 1) = j( آ 1 + ج 1) – j( ب 1 +د 1) =j( آ 1) + j( ج 1) – j( ب 1) – j( د 1) =

J( آ 1) – j( ب 1) + j( ج 1)– j( د 1) =f(ایکس 1) + f(y 1).

به طور مشابه، تأیید می شود که ضرب حفظ می شود. این ثابت می کند که fایزومورفیسم است و قضیه ثابت شده است.

تمرینات

1. ثابت کنید که هر حلقه ای که شامل سیستمی از اعداد طبیعی باشد شامل حلقه ای از اعداد صحیح نیز می شود.

2. ثابت کنید که هر حلقه جابجایی مرتب شده با هویت با حلقه اعداد صحیح هم شکل است.

3. ثابت کنید که هر حلقه مرتب با یک و بدون مقسوم علیه صفر دارای تنها یک حلقه فرعی هم شکل با حلقه اعداد صحیح است.

4. ثابت کنید که حلقه ماتریس‌های مرتبه دوم در میدان اعداد حقیقی حاوی بی‌نهایت حلقه‌های فرعی هم‌شکل نسبت به حلقه اعداد صحیح است.

میدان اعداد گویا

تعریف و ساخت یک سیستم اعداد گویا به همان روشی انجام می شود که برای سیستم اعداد صحیح انجام می شود.

تعریف.سیستم اعداد گویا یک میدان حداقلی است که بسط حلقه اعداد صحیح است.

مطابق با این تعریف، ساختار بدیهی زیر را از سیستم اعداد گویا بدست می آوریم.

اصطلاحات اولیه:

س- مجموعه ای از اعداد گویا؛

0، 1 - ثابت ها؛

+، × – عملیات باینری روشن است س;

ز- زیرمجموعه س، مجموعه ای از اعداد صحیح؛

Å، Ä – عملیات باینری در ز.

بدیهیات:

من. بدیهیات میدانی.

(Q1) آ+ (b+c) = (a+b) + ج.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" آ) آ + 0 = آ.

(Q4) (" آ)($(–آ)) آ + (–آ) = 0.

(Q5) آ× ( ب× ج) = (آ× ب) × ج.

(Q6) آ× b = b× آ.

(Q7) آ× 1 = آ.

(س8) (" آ¹ 0)($ آ –1) آ × آ –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× ج.

II. بدیهیات پسوند.

(س10) ب ز, Å, Ä, 0, 1ñ – حلقه اعداد طبیعی.

(Q11) ز Í س.

(س12) (" الف، بÎ ز) a + b = aÅ ب.

(س13) (" الف، بÎ ز) آ× b = aÄ ب.

III. بدیهیات حداقلی.

(Q14) مÍ س, زÍ م, ("الف، بÎ م)(ب ¹ 0 ® آ× ب-1 О م)Þ م = س.

عدد آ× ب–1 را ضریب اعداد می گویند آو ب، نشان داده شده است آ/بیا .

قضیه 1.هر عدد گویا را می توان به عنوان ضریب دو عدد صحیح نشان داد.

اثبات اجازه دهید م- مجموعه ای از اعداد گویا که می توانند به صورت ضریب دو عدد صحیح نمایش داده شوند. اگر n- پس کل n = n/1 متعلق است ماز این رو، زÍ م. اگر الف، بÎ م، آن a = k/l، b = m/nجایی که k، l، m، nÎ ز. از این رو، آ/ب=
= (kn) / (lm)Î م. بر اساس اصل (Q14) م= س، و قضیه ثابت می شود.

قضیه 2.میدان اعداد گویا را می توان به صورت خطی و دقیق و به روشی منحصر به فرد مرتب کرد. ترتیب در حوزه اعداد گویا ارشمیدسی است و در حلقه اعداد صحیح ادامه می دهد.

اثبات اجازه دهید با نشان دادن س+ مجموعه ای از اعداد قابل نمایش به صورت کسری، که در آن kl> 0. به راحتی می توان فهمید که این شرط به نوع کسری که عدد را نشان می دهد بستگی ندارد.

بیایید آن را بررسی کنیم س + – بخش مثبت میدان س. از آنجایی که برای یک عدد صحیح klسه مورد ممکن است: kl = 0, klÎ ن, –kl Î ن، سپس برای a = یکی از سه احتمال را بدست می آوریم: a = 0، aО س+ , –aО س + . علاوه بر این، اگر a = ، b = متعلق است س+ پس kl > 0, دقیقه> 0. سپس a + b = و ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. بنابراین a + bО س + . می توان به روشی مشابه تأیید کرد که abО س + . بدین ترتیب، س + - بخش مثبت میدان س.

اجازه دهید س++ - بخش مثبتی از این زمینه. ما داریم

l =.l 2 О س ++ .

از اینجا نÍ س++. با قضیه 2.3.4، معکوس اعداد طبیعی نیز به آن تعلق دارند س++. سپس س + Í س++. به موجب قضیه 2.3.6 س + =س++. بنابراین، دستورات تعریف شده توسط قسمت های مثبت نیز منطبق هستند س+ و س ++ .

زیرا ز + = نÍ س+ ، سپس ترتیب است سبه ترتیب ادامه می دهد ز.

حالا اجازه دهید a => 0، b => 0. از آنجا که ترتیب در حلقه اعداد صحیح ارشمیدسی، پس برای مثبت knو میلی لیترچیزی طبیعی وجود دارد بابه طوری که با× kn>میلی لیتر. از اینجا با a = با> = ب. یعنی ترتیب در زمینه اعداد گویا ارشمیدسی است.

تمرینات

1. ثابت کنید که میدان اعداد گویا متراکم است، یعنی برای هر اعداد گویا آ < بمنطقی وجود دارد rبه طوری که آ < r < ب.

2. ثابت کنید که معادله ایکس 2 = 2 هیچ راه حلی ندارد س.

3. ثابت کنید که مجموعه سشمردنی.

قضیه 3.نظریه بدیهی اعداد گویا سازگار است.

اثبات سازگاری نظریه بدیهی اعداد گویا به همان روشی که برای اعداد صحیح ثابت می شود. برای انجام این کار، مدلی ساخته می شود که بر اساس آن تمام بدیهیات نظریه برآورده می شود.

به عنوان پایه ما مجموعه را در نظر می گیریم

ز´ ز* = {(الف، ب)ï الف، بÎ ز, ب ¹ 0}.

عناصر این مجموعه جفت هستند ( الف، ب) اعداد صحیح با چنین جفتی ما ضریب اعداد صحیح را خواهیم فهمید آ/ب. مطابق با این، ویژگی های جفت ها را تنظیم می کنیم.

اجازه دهید در مجموعه معرفی کنیم ز´ ز*رابطه برابری:

(الف، ب) = (ج، د) Û آگهی = قبل از میلاد.

توجه می کنیم که این یک رابطه هم ارزی است و حق دارد که آن را برابری نامیده شود. مجموعه فاکتورها ز´ ز*با توجه به این رابطه برابری که با آن نشان می دهیم س. عناصر آن را اعداد گویا می نامیم. یک کلاس حاوی یک جفت ( الف، ب، با [ الف، ب].

اجازه دهید در مجموعه ساخته شده معرفی کنیم سعملیات جمع و ضرب این به ما کمک می کند تا عنصر [ الف، ب] به عنوان خصوصی آ/ب. مطابق با این، ما طبق تعریف فرض می کنیم:

[الف، ب] + [ج، د] = [ad+bc، bd];

[الف، ب] × [ ج، د] = [ac، bd].

ما صحت تعاریف این عملیات را بررسی می کنیم، یعنی اینکه نتایج به انتخاب عناصر بستگی ندارد آو ب، تعریف جفت [ الف، ب]. این کار به همان روشی انجام می شود که در اثبات قضیه 3.2.1 انجام می شود.

نقش صفر توسط جفت بازی می شود. اجازه دهید آن را با علامت گذاری کنیم 0 . واقعا،

[الف، ب] + 0 = [الف، ب] + = [a× 1+0× ب، ب× 1] = [الف، ب].

مخالف [ الف، ب] جفت است –[ الف، ب] = [–الف، ب]. واقعا،

[الف، ب] + [–الف، ب]= [ab – ab, bb] = = 0 .

واحد جفت = است 1 . معکوس به جفت [ الف، ب] - جفت [ ب، الف].

حالا بدیهیات پسوند را بررسی می کنیم. بیایید مکاتبه برقرار کنیم
f: ز ® سطبق قاعده

f(n) = [n, 1].

ما بررسی می کنیم که این یک مکاتبه یک به یک بین است زو برخی از زیر مجموعه ها س، که با آن نشان می دهیم ز*. ما بیشتر بررسی می‌کنیم که عملکردها را حفظ می‌کند، به این معنی که یک هم‌شکلی بین آن برقرار می‌کند زو زیر حلقه ز* V س. این بدان معنی است که بدیهیات پسوند تأیید شده است.

بیایید جفت را نشان دهیم [ n، 1] از ز*، مربوط به یک عدد طبیعی است n، از طریق n . سپس برای یک جفت دلخواه [ الف، ب] ما داریم

[الف، ب] = [آ، 1] × = [ آ، 1] / [ب 1] = آ /ب .

این ایده یک جفت [ الف، ب] به عنوان ضریب اعداد صحیح. در همان زمان، مشخص شد که هر عنصر از مجموعه ساخته شده سبه عنوان ضریب دو عدد صحیح نشان داده می شود. این به تأیید اصل حداقلی کمک می کند. تأیید مطابق قضیه 3.2.1 انجام می شود.

بنابراین، برای سیستم ساخته شده سهمه بدیهیات نظریه اعداد صحیح برآورده شده است، یعنی ما یک مدل از این نظریه ساخته ایم. قضیه ثابت شده است.

قضیه 4.نظریه بدیهی اعداد گویا مقوله ای است.

اثبات مشابه قضیه 3.2.2 است.

قضیه 5.یک فیلد مرتب شده ارشمیدسی، بسط میدان اعداد گویا است.

اثبات یک تمرین است.

قضیه 6.اجازه دهید اف- میدان سفارشی ارشمیدسی، آ > بجایی که الف، بÎ اف. یک عدد گویا Î وجود دارد افبه طوری که آ > > ب.

اثبات اجازه دهید آ > ب³ 0. سپس الف – ب> 0 و ( الف – ب) –1 > 0. طبیعی وجود دارد تیبه طوری که متر×1 > ( الف – ب) –1، از کجا متر –1 < الف – ب £ آ. علاوه بر این، یک طبیعی وجود دارد کبه طوری که ک× متر-1³ آ. اجازه دهید ککوچکترین عددی است که این نابرابری برای آن وجود دارد. زیرا ک> 1، سپس می توانیم قرار دهیم k = n + 1, n Î ن. که در آن
(n+ 1)× متر-1³ آ, n× متر –1 < آ. اگر n× متر– 1 پوند ب، آن آ = ب + (الف – ب) > b+m-1³ n× متر –1 + متر –1 =
= (n+ 1)× متر-1. تناقض. به معنای، آ >n× متر –1 > ب.

تمرینات

4. ثابت کنید که هر میدانی که شامل حلقه اعداد صحیح باشد شامل میدان اعداد گویا نیز می شود.

5. ثابت کنید که هر میدان مرتب شده حداقل با میدان اعداد گویا هم شکل است.

اعداد واقعی

هنگام ساختن نظریه بدیهی اعداد طبیعی، اصطلاحات اولیه "عنصر" یا "عدد" (که در متن این کتابچه راهنمای ما می توانیم مترادف آنها در نظر بگیریم) و "مجموعه"، روابط اصلی: "تعلق" (عنصر) خواهد بود. متعلق به مجموعه)، "برابری" و " پیگیری"، نشان دهنده / است (خوانده می شود "عدد یک ضربه به دنبال عدد a است"، به عنوان مثال، یک دو با یک سه، یعنی 2 / = 3، عدد 10 به دنبال عدد 11 است، یعنی، 10 / = 11 و غیره).

مجموعه اعداد طبیعی(سری های طبیعی، اعداد صحیح مثبت) مجموعه ای از N با رابطه "follow after" معرفی شده است که در آن 4 اصل زیر برآورده می شود:

الف 1. در مجموعه N عنصری به نام وجود دارد واحد، که از هیچ عدد دیگری پیروی نمی کند.

الف 2. برای هر عنصر از سری طبیعی، تنها یک عنصر در کنار آن وجود دارد.

الف 3. هر عنصر N حداکثر از یک عنصر از سری طبیعی پیروی می کند.

الف 4.( اصل استقرااگر زیرمجموعه M از مجموعه N شامل یک باشد و همچنین همراه با هر یک از عناصر آن a، عنصر زیر a / را نیز داشته باشد، M با N منطبق است.

همین بدیهیات را می توان به طور خلاصه با استفاده از نمادهای ریاضی نوشت:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

اگر عنصر b به دنبال عنصر a باشد (b = a /)، آنگاه خواهیم گفت که عنصر a مقدم بر عنصر b است (یا قبل از b). این سیستم بدیهیات نامیده می شود سیستم های بدیهی Peano(از آنجایی که در قرن 19 توسط ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پیانو معرفی شد). این تنها یکی از مجموعه های ممکن بدیهیات است که به ما امکان می دهد مجموعه اعداد طبیعی را تعریف کنیم. رویکردهای معادل دیگری نیز وجود دارد.

ساده ترین خواص اعداد طبیعی

ملک 1. اگر عناصر متفاوت باشند، آنهایی که از آنها پیروی می کنند متفاوت هستند، یعنی

a  b => a /  b / .

اثباتبا تناقض انجام می شود: فرض کنید a / = b /، سپس (با A 3) a = b، که با شرایط قضیه در تضاد است.

ملک 2. اگر عناصر متفاوت باشند، عناصر قبل از آنها (در صورت وجود) متفاوت هستند، یعنی

a /  b / => a  b.

اثبات: فرض کنید a = b، پس با توجه به A 2، a / = b / داریم که با شرایط قضیه در تضاد است.

ملک 3. هیچ عدد طبیعی با عدد بعدی برابر نیست.

اثبات: اجازه دهید مجموعه M را که از اعداد طبیعی تشکیل شده است را در نظر بگیریم این شرایطانجام

M = (a  N | a  a / ).

ما اثبات را بر اساس اصل استقرا انجام خواهیم داد. طبق تعریف مجموعه M، زیر مجموعه ای از مجموعه اعداد طبیعی است. 1M بعدی، چون یکی از هیچ عدد طبیعی (A 1) پیروی نمی کند، به این معنی که برای a = 1 نیز داریم: 1  1 / . اکنون فرض می کنیم که مقداری a در بالا، بر اساس استفاده از بدیهیات استقراء، می توان نتیجه گرفت که M = N، یعنی قضیه ما برای همه اعداد طبیعی صادق است.

قضیه 4. برای هر عدد طبیعی غیر از 1، یک عدد قبل از آن وجود دارد.

اثبات: مجموعه را در نظر بگیرید

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

این M زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد طبیعی است، یکی به وضوح متعلق به این مجموعه است. بخش دوم این مجموعه عناصری است که برای آنها پیشینیان وجود دارد، بنابراین، اگر a  M، a / نیز متعلق به M است (بخش دوم آن، زیرا a / یک سلف دارد - این a است). بنابراین، بر اساس اصل استقرا، M با مجموعه همه اعداد طبیعی منطبق است، به این معنی که همه اعداد طبیعی یا 1 هستند یا آنهایی که یک عنصر قبلی برای آنها وجود دارد. قضیه ثابت شده است.

سازگاری نظریه بدیهی اعداد طبیعی

به عنوان یک مدل شهودی از مجموعه اعداد طبیعی، می‌توان مجموعه‌هایی از خطوط را در نظر گرفت: عدد 1 مطابق با |، عدد 2 || و غیره خواهد بود، یعنی سری طبیعی به شکل زیر خواهد بود:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

این ردیف از خطوط می توانند به عنوان مدلی از اعداد طبیعی عمل کنند، اگر از "نسبت دادن یک خط به یک عدد" به عنوان رابطه "دنبال کردن بعد" استفاده شود. اعتبار همه بدیهیات به طور شهودی آشکار است. البته این مدل کاملا منطقی نیست. برای ساختن یک مدل دقیق، باید یک نظریه بدیهی واضح دیگر داشته باشید. اما همانطور که در بالا ذکر شد، چنین نظریه ای در اختیار نداریم. بنابراین، یا مجبوریم به شهود تکیه کنیم یا به روش مدل ها متوسل نشویم، بلکه به این واقعیت اشاره کنیم که بیش از 6 هزار سال است که در طی آن مطالعه اعداد طبیعی انجام شده است، هیچ تناقضی با این بدیهیات کشف شده است.

استقلال سیستم بدیهیات Peano

برای اثبات استقلال اصل اول کافی است مدلی بسازیم که در آن اصل A 1 نادرست و بدیهیات A 2, A 3, A 4 درست باشند. اجازه دهید اعداد 1، 2، 3 را به عنوان عبارت های اولیه (عناصر) در نظر بگیریم، و رابطه "دنبال" را با روابط تعریف کنیم: 1 / = 2، 2 / = 3، 3 / = 1.

هیچ عنصری در این مدل وجود ندارد که از هیچ چیز دیگری پیروی نکند (اصل 1 نادرست است)، اما همه بدیهیات دیگر برآورده می شوند. بنابراین، اصل اول به بقیه بستگی ندارد.

اصل دوم از دو بخش تشکیل شده است - وجود و یکتایی. استقلال این اصل (از نظر وجود) را می توان با مدلی از دو عدد (1، 2) با رابطه "دنبال" که توسط یک رابطه واحد تعریف شده است نشان داد: 1 / = 2:

برای دو نفر، عنصر بعدی وجود ندارد، اما بدیهیات A 1، A 3، A 4 درست هستند.

استقلال این اصل، از نظر منحصر به فرد بودن، با مدلی نشان داده می شود که در آن مجموعه N مجموعه تمام اعداد طبیعی معمولی و همچنین انواع کلمات (مجموعه هایی از حروف که لزوماً معنی ندارند) ساخته شده خواهد بود. تا حروف الفبای لاتین (بعد از حرف z حرف بعدی aa خواهد بود، سپس ab ... az، سپس ba ...؛ تمام کلمات ممکن دو حرفی، که آخرین آنها zz است، به دنبال آن خواهد بود. کلمه aaa و غیره). ما رابطه "دنبال کردن" را همانطور که در شکل نشان داده شده معرفی می کنیم:

در اینجا بدیهیات A 1، A 3، A 4 نیز صادق است، اما 1 بلافاصله با دو عنصر 2 و a دنبال می شود. بنابراین، اصل 2 به سایرین بستگی ندارد.

استقلال Axiom 3 با این مدل نشان داده شده است:

که در آن A 1، A 2، A 4 درست است، اما عدد 2 هم از عدد 4 و هم از عدد 1 پیروی می کند.

برای اثبات استقلال اصل استقرا، از مجموعه N، متشکل از تمام اعداد طبیعی و همچنین سه حرف (a, b, c) استفاده می کنیم. رابطه زیر در این مدل را می توان به شکل زیر معرفی کرد:

در اینجا برای اعداد طبیعی از رابطه فالو معمولی استفاده می شود و برای حروف رابطه فالو با فرمول های زیر تعریف می شود: a / = b، b / = c، c / = a. واضح است که 1 از هیچ عدد طبیعی پیروی نمی کند، برای هر کدام یک بعدی وجود دارد و فقط یکی، هر عنصر حداکثر یک عنصر را دنبال می کند. با این حال، اگر مجموعه ای M را متشکل از اعداد طبیعی معمولی در نظر بگیریم، آنگاه این زیرمجموعه ای از این مجموعه شامل یک و همچنین عنصر بعدی برای هر عنصر از M خواهد بود. با این حال، این زیر مجموعه با کل مدل زیر منطبق نخواهد شد. در نظر گرفتن، زیرا شامل حروف a، b، c نخواهد بود. بنابراین، بدیهیات استقرا در این مدل ارضا نمی شود، و بنابراین، بدیهیات استقرا به بدیهیات دیگر بستگی ندارد.

نظریه بدیهی اعداد طبیعی است طبقه بندی شده(کامل به معنای مضیق).

 (n /) =( (n)) / .

اصل استقرای کامل ریاضی.

قضیه استقرا.اجازه دهید برخی گزاره P(n) برای همه اعداد طبیعی فرموله شود، و بگذارید a) P(1) درست باشد، ب) از این واقعیت که P(k) درست است، نتیجه می شود که P(k /) نیز صادق است. سپس عبارت P(n) برای همه اعداد طبیعی صادق است.

برای اثبات این موضوع، اجازه دهید یک مجموعه M از اعداد طبیعی n (M  N) را معرفی کنیم که گزاره P(n) برای آنها صادق است. بیایید از اصل A 4 استفاده کنیم، یعنی سعی خواهیم کرد ثابت کنیم که:

1. k  M => k /  M.

اگر موفق شدیم، طبق اصل A 4، می‌توان نتیجه گرفت که M = N، یعنی P(n) برای همه اعداد طبیعی صادق است.

1) با توجه به شرط الف قضیه، P(1) صادق است، بنابراین، 1  M.

2) اگر مقداری k  M، آنگاه (با ساخت M) P(k) درست است. طبق شرط b) قضیه، این مستلزم صدق P(k /) است که به معنای k /  M است.

بنابراین، با اصل استقرا (A 4) M = N، به این معنی که P(n) برای همه اعداد طبیعی صادق است.

بنابراین، بدیهیات استقراء به ما اجازه می دهد تا روشی برای اثبات قضایای «از طریق استقراء» ایجاد کنیم. این روش در اثبات قضایای اساسی حساب در مورد اعداد طبیعی نقش اساسی دارد. از موارد زیر تشکیل شده است:

1) اعتبار بیانیه بررسی می شودn=1 (پایه القایی) ,

2) اعتبار این عبارت برای فرض شده استn= ک، جایی کهک- عدد طبیعی دلخواه(فرضیه استقرایی) ، و با در نظر گرفتن این فرض، اعتبار بیانیه برای اثبات می شودn= ک / (مرحله القاء ).

اثبات مبتنی بر یک الگوریتم معین، اثبات نامیده می شود توسط استقراء ریاضی .

وظایف برای راه حل مستقل

شماره 1.1. دریابید که کدام یک از سیستم های فهرست شده بدیهیات Peano را برآورده می کند (آنها مدل هایی از مجموعه اعداد طبیعی هستند)، مشخص کنید که کدام بدیهیات راضی هستند و کدامیک راضی نیستند.

الف) N =(3، 4، 5...)، n / = n + 1;

ب) N =(n  6، n  ن), n / = n + 1;

ج) N =(n – 2، n ز), n / = n + 1;

د) N =(n – 2، n  ز), n / = n + 2;

ه) اعداد طبیعی فرد، n / = n +1;

f) اعداد طبیعی فرد، n / = n +2;

ز) اعداد طبیعی با نسبت n / = n + 2.

h) N =(1، 2، 3)، 1 / ​​= 3، 2 / = 3، 3 / = 2;

i) N =(1، 2، 3، 4، 5)، 1 / ​​= 2، 2 / = 3، 3 / = 4، 4 / = 5، 5 / = 1.

ی) اعداد طبیعی، مضرب 3 با نسبت n / = n + 3

ک) اعداد طبیعی زوج با نسبت n / = n + 2

م) اعداد صحیح،
.

این توصیه ها برای دانشجویان دانشگاه های آموزشی در نظر گرفته شده است که رشته "جبر و نظریه اعداد" را مطالعه می کنند. در این رشته مطابق با استاندارد دولتیدر ترم 6 بخش "سیستم های عددی" مطالعه می شود. این توصیه ها مطالبی را در مورد ساخت بدیهی سیستم های اعداد طبیعی (سیستم بدیهیات Peano)، سیستم های اعداد صحیح و اعداد گویا ارائه می دهند. این بدیهیات به ما این امکان را می دهد که بهتر بفهمیم یک عدد چیست که یکی از مفاهیم اساسی درس ریاضی مدرسه است. برای جذب بهتر مطالب، مسائل مربوط به موضوعات مرتبط آورده شده است. در پایان توصیه ها پاسخ ها، دستورالعمل ها و راه حل هایی برای مشکلات وجود دارد.

داور: دکترای علوم تربیتی، پروفسور. دالینگر V.A.

ج) موژان ن.ن.

امضا برای انتشار - 98/10/22

1. اعداد طبیعی.

1.1 سیستم بدیهی Peano و ساده ترین پیامدها.

مفاهیم اولیه در نظریه بدیهی Peano عبارتند از مجموعه N (که ما آن را مجموعه اعداد طبیعی می نامیم)، عدد ویژه صفر (0) از آن، و رابطه دودویی "به دنبال" N، نشان داده شده S(a) (یا) آ()).
بدیهیات:
1. ((a(N) a"(0 (عدد طبیعی 0 وجود دارد که از هیچ عددی پیروی نمی کند.)
2. a=b (a"=b" (برای هر عدد طبیعی a یک عدد طبیعی a" به دنبال آن وجود دارد و فقط یک عدد.)
3. a"=b" (a=b (هر عدد طبیعی حداکثر یک عدد را دنبال می کند.)
4. (اصول القایی) اگر مجموعه M(N و M دو شرط را برآورده کند:
الف) 0 (M;
ب) ((a(N) a(M® a"(M، سپس M=N.
در اصطلاح عملکردی، این بدان معنی است که نگاشت S:N®N تزریقی است. از اصل 1 چنین برمی‌آید که نگاشت S:N®N فرارو نیست. اصل 4 مبنای اثبات گزاره ها "با روش استقرای ریاضی" است.
اجازه دهید به برخی از خصوصیات اعداد طبیعی که مستقیماً از بدیهیات ناشی می شوند توجه کنیم.
خاصیت 1. هر عدد طبیعی a(0 به دنبال یک و تنها یک عدد است.
اثبات فرض کنید M مجموعه ای از اعداد طبیعی حاوی صفر و تمام آن اعداد طبیعی را که هر کدام از آنها به دنبال اعدادی هستند را نشان می دهد. کافی است نشان دهیم که M=N، یکتایی از اصل 3 ناشی می شود. اجازه دهید اصل استقرا 4 را اعمال کنیم:
الف) 0 (M - با ساخت مجموعه M;
ب) اگر a(M، a"(M، زیرا a" به دنبال a است.
این به این معنی است که با اصل 4، M=N.
خاصیت 2. اگر a(b، سپس a"(b).
این خاصیت با استفاده از اصل 3 با تناقض اثبات می شود. خاصیت 3 زیر به روشی مشابه با استفاده از اصل 2 ثابت می شود.
خاصیت 3. اگر a"(b)، سپس a(b.
خاصیت 4. ((a(N)a(a). (هیچ عدد طبیعی به دنبال خودش نمی آید.)
اثبات فرض کنید M=(x (x(N, x(x")). کافی است نشان دهیم که M=N. زیرا طبق اصل 1 ((x(N)x"(0، سپس به طور خاص 0"(0 و بنابراین، شرط A) اصل 4 0(M - برآورده می شود. اگر x(M، یعنی x(x)، پس با خاصیت 2 x"((x)"، که به این معنی است که شرط B) x (M ® x"(M. اما پس از آن، طبق اصل 4، M=N.
اجازه دهید ( برخی از ویژگی های اعداد طبیعی باشد. این واقعیت که یک عدد a دارای خاصیت ((، ((a)) می باشد.
وظیفه 1.1.1. ثابت کنید که اصل 4 از تعریف مجموعه اعداد طبیعی معادل عبارت زیر است: برای هر خاصیت (, if ((0) and then.
وظیفه 1.1.2. در یک مجموعه سه عنصری A=(a,b,c)، عملیات یکنواخت ( به صورت زیر تعریف می شود: a(=c, b(=c, c(=a. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه درست است. A با عملیات (?
وظیفه 1.1.3. فرض کنید A=(a) یک مجموعه تک تنی باشد، a(=a. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه A با عمل (؟
وظیفه 1.1.4. در مجموعه N یک عملیات یکنواخت را با فرض هر یک تعریف می کنیم. دریابید که آیا عبارات بدیهیات Peano که بر حسب عملیات فرموله شده اند در N درست خواهند بود یا خیر.
مشکل 1.1.5. بگذار باشد. ثابت کنید که A تحت عمل بسته است (. صحت بدیهیات Peano را در مجموعه A با عمل (.
مسئله 1.1.6. بگذار باشد، . اجازه دهید یک عملیات یکنواخت را در تنظیمات A تعریف کنیم. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه A با عملیات درست است؟

1.2. سازگاری و طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano.

سیستمی از بدیهیات در صورتی سازگار نامیده می شود که از بدیهیات آن نتوان قضیه T و نفی آن را اثبات کرد. نظریه قوانین دنیای واقعی را منعکس نمی کند، بنابراین، سازگاری سیستم بدیهیات یک الزام کاملاً ضروری است.
اگر قضیه T و نفی های آن (T) در یک نظریه بدیهی یافت نشد، این بدان معنا نیست که سیستم بدیهیات سازگار است، چنین نظریه هایی ممکن است در آینده ظاهر شوند. بنابراین، سازگاری سیستم بدیهیات باید ثابت شود. متداول ترین راه برای اثبات سازگاری روش تفسیر است، بر این اساس که اگر تفسیری از نظام بدیهیات در یک نظریه آشکارا سازگار S وجود داشته باشد، خود سیستم بدیهیات سازگار است. در واقع، اگر سیستم بدیهیات ناسازگار بود سپس قضایای T و (T) در آن قابل اثبات خواهند بود، اما در این صورت این قضایا در تفسیر آن معتبر خواهند بود و این با قوام نظریه S در تضاد است.
تفاسیر مختلفی را می توان برای سیستم بدیهی Peano ساخت. نظریه مجموعه ها به ویژه در تفاسیر غنی است. به یکی از این تفاسیر اشاره می کنیم. مجموعه های (، (()، ((())، (((()))،... را اعداد طبیعی در نظر می گیریم؛ صفر را یک عدد خاص در نظر می گیریم (. رابطه "دنبال" خواهد بود. به این صورت تفسیر شود: مجموعه M با مجموعه (M) دنبال می شود که تنها عنصر آن خود M است. بنابراین، ("=(()، (()"=((())) و غیره بدیهیات 1-4 را می توان به راحتی تأیید کرد. با این حال، اثربخشی چنین تفسیری اندک است: نشان می دهد که سیستم بدیهیات Peano در صورتی سازگار است که نظریه مجموعه ها سازگار باشد. اما اثبات سازگاری سیستم بدیهیات نظریه مجموعه ها حتی دشوارتر است. قانع‌کننده‌ترین تفسیر از سیستم بدیهی Peano، حساب بصری است، که سازگاری آن توسط قرن‌ها تجربه توسعه آن تأیید شده است.
یک سیستم منسجم از بدیهیات در صورتی مستقل نامیده می شود که هر یک از اصول این سیستم را نتوان به عنوان یک قضیه بر اساس بدیهیات دیگر اثبات کرد. برای اثبات اینکه اصل موضوع (به دیگر بدیهیات سیستم بستگی ندارد
(1، (2، ...، (n، ((1)
برای اثبات سازگاری سیستم بدیهیات کافی است
(1، (2، ...، (n، (((2)
در واقع، اگر (بر اساس بدیهیات باقیمانده سیستم (1) ثابت شود، سیستم (2) متناقض خواهد بود، زیرا در آن قضیه (و بدیهیات ((.
پس برای اثبات استقلال بدیهیات (از دیگر بدیهیات نظام (1) کافی است که تفسیری از نظام بدیهیات (2) بسازیم.
استقلال سیستم بدیهیات یک الزام اختیاری است. گاهی اوقات، به منظور اجتناب از اثبات قضایای «دشوار»، سیستمی از بدیهیات عمداً اضافی (وابسته) ساخته می‌شود. با این حال، بدیهیات "اضافی" مطالعه نقش بدیهیات در نظریه و همچنین درونی را دشوار می کند. ارتباطات منطقیبین شاخه های مختلف نظریه علاوه بر این، ساختن تفاسیر برای سیستم‌های وابسته بدیهیات بسیار دشوارتر از تفسیرهای مستقل است. پس از همه، ما باید اعتبار بدیهیات "اضافی" را بررسی کنیم. به این دلایل، موضوع وابستگی بین بدیهیات از زمان های قدیم اهمیت فوق العاده ای داشته است. در یک زمان، تلاش هایی برای اثبات فرض 5 در بدیهیات اقلیدس "حداکثر یک خط وجود دارد که از نقطه A موازی با خط عبور می کند (" یک قضیه است (یعنی بستگی به بدیهیات باقی مانده دارد) و منجر به کشف لوباچفسکی شد. هندسه.
اگر هر گزاره A از یک نظریه معین را بتوان اثبات کرد یا ابطال کرد، یک سیستم منسجم از نظر قیاسی کامل نامیده می شود، یعنی یا A یا (A قضیه این نظریه است. اگر گزاره ای وجود داشته باشد که نه قابل اثبات است و نه قابل رد، آنگاه نظام بدیهیات را به طور قیاسی ناقص می گویند، کامل بودن قیاسی نیز شرط اجباری نیست، به عنوان مثال، سیستم بدیهیات نظریه گروه، نظریه حلقه، نظریه میدان ناقص هستند؛ زیرا گروه ها، حلقه ها، میدان ها هم محدود و هم نامتناهی هستند. بنابراین در این نظریه‌ها نمی‌توان این گزاره را اثبات یا رد کرد: «یک گروه (حلقه، میدان) دارای تعداد محدودی از عناصر است».
لازم به ذکر است که در بسیاری از نظریه‌های بدیهی (یعنی در نظریه‌های غیررسمی)، مجموعه گزاره‌ها را نمی‌توان به طور دقیق تعریف کرد و بنابراین نمی‌توان کامل بودن قیاسی نظام بدیهیات چنین نظریه‌ای را اثبات کرد. یکی دیگر از حس های کامل بودن، طبقه بندی نامیده می شود. یک سیستم بدیهیات را در صورتی طبقه بندی می گویند که هر دو تفسیر آن هم شکل باشد، یعنی چنین مطابقت یک به یک بین مجموعه اشیاء اولیه یک و تفسیر دیگر وجود داشته باشد که تحت همه روابط اولیه حفظ شود. دسته بندی نیز یک شرط اختیاری است. به عنوان مثال، سیستم بدیهیات نظریه گروه مقوله ای نیست. این از این واقعیت ناشی می شود که یک گروه محدود نمی تواند به یک گروه نامتناهی هم شکل باشد. با این حال، هنگام بدیهی سازی نظریه هر سیستم عددی، طبقه بندی الزامی است. برای مثال، ماهیت طبقه‌بندی سیستم بدیهیات که اعداد طبیعی را تعریف می‌کنند به این معنی است که تا هم‌مورفیسم، تنها یک سری طبیعی وجود دارد.
اجازه دهید ماهیت طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano را ثابت کنیم. فرض کنید (N1, s1, 01) و (N2, s2, 02) هر دو تفسیر از سیستم بدیهیات Peano باشند. لازم است یک نگاشت دوطرفه (یک به یک) f:N1®N2 نشان داده شود که شرایط زیر برای آن برآورده شود:
الف) f(s1(x)=s2(f(x)) برای هر x از N1;
ب) f(01)=02
اگر هر دو عملیات یکنواخت s1 و s2 با اول یکسان نشان داده شوند، شرط a) به شکل بازنویسی می شود.
الف) f(x()=f(x)(.
اجازه دهید یک رابطه دودویی f را در مجموعه N1(N2) با شرایط زیر تعریف کنیم:
1) 01f02;
2) اگر xfy، سپس x(fy(.
اجازه دهید مطمئن شویم که این رابطه یک نقشه برداری از N1 به N2 است، یعنی برای هر x از N1
(((y(N2) xfy (1)
اجازه دهید M1 مجموعه ای از تمام عناصر x از N1 را نشان دهد که شرط (1) برای آنها برقرار است. سپس
الف) 01 (M1 به دلیل 1)؛
ب) x(M1 ® x((M1 به موجب 2) و خواص 1 بند 1.
از اینجا، طبق اصل 4، نتیجه می گیریم که M1=N1، و این بدان معناست که رابطه f نگاشت N1 به N2 است. علاوه بر این، از 1) نتیجه می شود که f(01)=02. شرط 2) به این شکل نوشته می شود: اگر f(x)=y، آنگاه f(x()=y(. نتیجه می شود که f(x()=f(x)() بنابراین، برای نمایش f شرط a ) و ب) راضی هستند.باید ثابت کنیم که نگاشت f دوگانه است.
اجازه دهید مجموعه ای از آن عناصر از N2 را با M2 نشان دهیم، که هر کدام تصویر یک و تنها یک عنصر از N1 در زیر نگاشت f است.
از آنجایی که f(01)=02، پس 02 یک تصویر است. علاوه بر این، اگر x(N2 و x(01) باشد، با خاصیت 1 مورد 1 x برخی از عناصر c را از N1 دنبال می کند و سپس f(x)=f(c()=f(c)((02. این به معنای 02 است. تصویر تنها عنصر 01 است، یعنی 02(M2.
اجازه دهید y(M2 و y=f(x)، که در آن x تنها تصویر معکوس عنصر y است. سپس، با شرط a) y(=f(x)(=f(x())، یعنی، y(تصویر عنصر x است (. فرض کنید c هر تصویر معکوس عنصر y(، یعنی f(c)=y(. از آنجایی که y((02، پس c(01 و برای c قبلی عنصری که آن را با d نشان می‌دهیم، سپس y(=f(c)=f(d()=f(d)() از آنجا با اصل 3 y=f(d) اما از آنجایی که y(M2، پس d= x، از آنجا c=d(=x(. ما ثابت کردیم که اگر y تصویر یک عنصر منحصر به فرد است، پس y(تصویر یک عنصر منحصر به فرد است، یعنی y(M2 ® y((M2. هر دو شرایط اصل 4 برآورده می شود و بنابراین M2=N2 که اثبات طبقه بندی را کامل می کند.
تمام ریاضیات پیش از یونان ماهیتی تجربی داشتند. عناصر منفرد این نظریه در انبوه روش های تجربی برای حل مسائل عملی غرق شدند. یونانیان این مطالب تجربی را در معرض پردازش منطقی قرار دادند و سعی کردند بین اطلاعات تجربی مختلف ارتباط پیدا کنند. از این نظر فیثاغورث و مکتب او (قرن پنجم قبل از میلاد) نقش عمده ای در هندسه داشتند. ایده های روش بدیهی به وضوح در آثار ارسطو (قرن چهارم قبل از میلاد) شنیده می شد. با این حال، اجرای عملیاین ایده ها توسط اقلیدس در عناصر خود (قرن سوم قبل از میلاد) اجرا شد.
در حال حاضر، سه شکل از نظریه های بدیهی را می توان تشخیص داد.
1). بدیهیات معنادار، که تا اواسط قرن گذشته تنها بود.
2). بدیهیات نیمه رسمی که در ربع آخر قرن گذشته به وجود آمد.
3). بدیهیات رسمی (یا رسمی) که تاریخ تولد آن را می توان 1904 در نظر گرفت، زمانی که دی. هیلبرت برنامه معروف خود را در مورد اصول اساسی ریاضیات رسمی منتشر کرد.
هر صورت جدید، شکل قبلی را انکار نمی کند، بلکه توسعه و شفاف سازی آن است، به طوری که میزان سختگیری هر صورت جدید از شکل قبلی بالاتر است.
بدیهیات فشرده با این واقعیت مشخص می شود که مفاهیم اولیه حتی قبل از اینکه بدیهیات فرموله شوند به طور شهودی معنای واضحی دارند. بنابراین، در عناصر اقلیدس، یک نقطه دقیقاً به معنای چیزی است که ما به طور شهودی با این مفهوم درک می کنیم. در این مورد از زبان معمولی و منطق شهودی معمولی استفاده می شود که قدمت آن به ارسطو می رسد.
نظریه های بدیهی نیمه رسمی نیز از زبان معمولی و منطق شهودی استفاده می کنند. با این حال، بر خلاف بدیهیات معنادار، مفاهیم اصلی هیچ معنای شهودی ندارند؛ آنها فقط با بدیهیات مشخص می شوند. این سختگیری را افزایش می دهد، زیرا شهود تا حدی با سختگیری تداخل دارد. علاوه بر این، کلیت اکتسابی است زیرا هر قضیه ای که در چنین نظریه ای ثابت شود در هر تفسیری معتبر خواهد بود. نمونه ای از یک نظریه بدیهی نیمه رسمی، نظریه هیلبرت است که در کتاب او "مبانی هندسه" (1899) ارائه شده است. نمونه هایی از نظریه های نیمه رسمی نیز نظریه حلقه ها و تعدادی دیگر از نظریه های ارائه شده در یک دوره جبر است.
نمونه ای از یک نظریه رسمی، حساب گزاره ای است که در دوره ای در منطق ریاضی مطالعه شده است. برخلاف بدیهیات ماهوی و نیمه رسمی، نظریه رسمی شده از زبان نمادین خاصی استفاده می کند. یعنی الفبای نظریه داده شده است، یعنی مجموعه خاصی از نمادها که همان نقش حروف را در زبان معمولی ایفا می کنند. هر دنباله متناهی از نویسه ها عبارت یا کلمه نامیده می شود. در بین عبارات، یک کلاس از فرمول ها متمایز می شود، و یک معیار دقیق نشان داده شده است که به هر عبارت اجازه می دهد تا بفهمد آیا یک فرمول است یا خیر. فرمول ها مانند جملات در زبان معمولی نقش دارند. برخی از فرمول ها بدیهیات اعلام شده اند. علاوه بر این، قوانین استنتاج منطقی نیز مشخص شده است. هر یک از این قوانین به این معنی است که یک فرمول خاص مستقیماً از مجموعه خاصی از فرمول ها ناشی می شود. خود اثبات قضیه یک زنجیره متناهی از فرمول ها است که در آن آخرین فرمول خود قضیه است و هر فرمول یا یک اصل است یا یک قضیه قبلاً اثبات شده یا مستقیماً از فرمول های قبلی زنجیره مطابق یکی از آنها پیروی می کند. قواعد استنباط بنابراین، مطلقاً در مورد سختی مدرک وجود ندارد: یا یک زنجیره معین مدرک است یا نیست؛ هیچ مدرک مشکوکی وجود ندارد. در این راستا، بدیهیات رسمی در سؤالات ظریف به ویژه اثبات نظریه های ریاضی استفاده می شود، زمانی که منطق شهودی معمولی می تواند به نتیجه گیری های اشتباه منجر شود، که عمدتاً به دلیل نادرستی ها و ابهامات زبان عادی ما رخ می دهد.
از آنجایی که در یک نظریه رسمی شده می توان در مورد هر عبارت گفت که آیا آن یک فرمول است، بنابراین مجموعه جملات یک نظریه رسمی شده را می توان قطعی دانست. در این زمینه، اصولاً می توان بدون توسل به تفسیر، مسئله اثبات تمامیت قیاسی و نیز اثبات قوام را مطرح کرد. در تعدادی از موارد ساده می توان به این امر دست یافت. برای مثال، قوام حساب گزاره ای بدون تفسیر ثابت می شود.
در نظریه های غیررسمی، بسیاری از گزاره ها به وضوح تعریف نشده اند، بنابراین طرح مسئله اثبات سازگاری بدون توسل به تفاسیر بیهوده است. همین امر در مورد اثبات کامل بودن قیاسی نیز صدق می کند. با این حال، اگر با پیشنهادی از یک نظریه غیررسمی مواجه شد که نه می‌توان آن را اثبات کرد و نه رد کرد، آنگاه این نظریه به‌طور قیاسی آشکارا ناقص است.
روش بدیهی نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک نیز از دیرباز مورد استفاده قرار گرفته است. اولین تلاش ها در این جهت توسط ارسطو انجام شد، اما روش بدیهی کاربرد واقعی خود را در فیزیک تنها در آثار نیوتن در مورد مکانیک دریافت کرد.
در ارتباط با روند سریع ریاضی‌سازی علوم، فرآیند بدیهی‌سازی نیز وجود دارد. در حال حاضر، روش بدیهی حتی در برخی از زمینه های زیست شناسی، به عنوان مثال، در ژنتیک استفاده می شود.
با این وجود، امکانات روش بدیهی بی حد و حصر نیست.
اول از همه، ما متذکر می شویم که حتی در نظریه های رسمی نیز نمی توان به طور کامل از شهود اجتناب کرد. خود نظریه رسمی شده بدون تفسیر معنایی ندارد. بنابراین، تعدادی سؤال در مورد رابطه بین یک نظریه رسمی و تفسیر آن مطرح می شود. علاوه بر این، مانند نظریه های رسمی، سؤالاتی در مورد سازگاری، استقلال و کامل بودن سیستم بدیهیات مطرح می شود. مجموع تمام این سؤالات محتوای نظریه دیگری را تشکیل می دهد که فرانظریه یک نظریه رسمی شده نامیده می شود. بر خلاف یک نظریه رسمی، زبان فرانظریه زبان عادی روزمره است و استدلال منطقی با قواعد منطق شهودی معمولی انجام می شود. بنابراین، شهود، به طور کامل از نظریه رسمی شده، در فرانظریه خود ظاهر می شود.
اما این نقطه ضعف اصلی روش بدیهی نیست. ما قبلاً به برنامه دی. هیلبرت اشاره کردیم که اساس روش بدیهی رسمی شده را قرار داد. ایده اصلی هیلبرت بیان ریاضیات کلاسیک به عنوان یک نظریه بدیهی رسمی و سپس اثبات سازگاری آن بود. با این حال، این برنامه در نکات اصلی خود آرمان‌شهری بود. در سال 1931، کی. گودل، ریاضیدان اتریشی، قضایای معروف خود را اثبات کرد، که از آنها نتیجه گرفت که هر دو مسئله اصلی مطرح شده توسط هیلبرت غیرممکن است. او با استفاده از روش کدگذاری خود، موفق شد برخی مفروضات درست را از فرانظریه با استفاده از فرمول های حساب رسمی بیان کند و ثابت کند که این فرمول ها در حساب رسمی قابل استنتاج نیستند. بنابراین، محاسبات رسمی شده از نظر قیاسی ناقص بود. از نتایج گودل نتیجه گرفت که اگر این فرمول غیرقابل اثبات در تعداد بدیهیات گنجانده شود، فرمول غیرقابل اثبات دیگری وجود خواهد داشت که گزاره‌ای درست را بیان می‌کند. همه اینها بدان معنی بود که نه تنها تمام ریاضیات، بلکه حتی حساب - ساده ترین بخش آن - نمی توانند کاملاً رسمی شوند. به طور خاص، گودل فرمولی مطابق با جمله "حساب رسمی شده سازگار است" ساخت و نشان داد که این فرمول نیز قابل مشتق نیست. این واقعیت به این معنی است که قوام حساب رسمی را نمی توان در خود حساب ثابت کرد. البته می‌توان نظریه رسمی‌سازی شده قوی‌تری ساخت و از ابزار آن برای اثبات سازگاری حساب رسمی‌شده استفاده کرد، اما پس از آن سؤال دشوارتری در مورد سازگاری این نظریه جدید مطرح می‌شود.
نتایج گودل بیانگر محدودیت های روش بدیهی است. و با این حال، مطلقاً هیچ مبنایی برای نتیجه گیری های بدبینانه در نظریه دانش وجود ندارد که حقایق ناشناخته وجود دارد. اینکه حقایق حسابی وجود دارد که در حساب رسمی قابل اثبات نیست، به معنای وجود حقایق ناشناخته نیست و به معنای محدود بودن تفکر انسان نیست. این فقط به این معنی است که امکانات تفکر ما محدود به رویه های کاملاً رسمی نیست و بشریت هنوز اصول اثبات جدیدی را کشف و ابداع نکرده است.

1.3.جمع اعداد طبیعی

عملیات جمع و ضرب اعداد طبیعی توسط سیستم بدیهی Peano فرض نشده است؛ ما این عملیات را تعریف خواهیم کرد.
تعریف. جمع اعداد طبیعی یک عملیات جبری باینری + روی مجموعه N است که دارای ویژگی های زیر است:
1s. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
این سوال مطرح می شود: آیا چنین عملیاتی وجود دارد و اگر چنین است، آیا تنها آن است؟
قضیه. فقط یک عدد جمع اعداد طبیعی وجود دارد.
اثبات یک عملیات جبری باینری روی مجموعه N نگاشت (:N(N®N) است. لازم است ثابت شود که یک نگاشت منحصر به فرد وجود دارد (:N(N®N) با خواص: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). اگر برای هر عدد طبیعی x وجود یک نقشه برداری را ثابت کنیم fx:N®N با ویژگی های 1() fx(0)=x؛ 2() fx(y()=fx(y)()، سپس تابع ((x,y)، که با برابری ((x) تعریف شده است ,y) (fx(y)، شرایط 1) و 2 را برآورده می کند.
در مجموعه N، رابطه باینری fx را با شرایط تعریف می کنیم:
الف) 0fxx؛
ب) اگر yfxz، پس y(fxz(.
اجازه دهید مطمئن شویم که این رابطه یک نگاشت از N به N است، یعنی برای هر y از N
(((z(N) yfxz (1)
فرض کنید M مجموعه اعداد طبیعی y را نشان دهد که شرط (1) برای آنها برقرار است. سپس از شرط a) نتیجه می شود که 0(M، و از شرط b) و خاصیت 1 بند 1 نتیجه می شود که اگر y(M، پس y((M. از اینجا، بر اساس اصل 4، نتیجه می گیریم که M = N، و این بدان معنی است که رابطه fx یک نگاشت از N به N است. برای این نگاشت شرایط زیر وجود دارد:
1() fx(0)=x - به دلیل a);
2() fx((y)=fx(y() - به موجب b).
بنابراین، وجود اضافه ثابت می شود.
بیایید بی نظیر بودن را ثابت کنیم. فرض کنید + و ( هر دو عملیات جبری باینری در مجموعه N با خصوصیات 1c و 2c باشند. باید ثابت کنیم که
((x,y(N) x+y=x(y
اجازه دهید یک عدد دلخواه x را ثابت کنیم و با S مجموعه ای از اعداد طبیعی y را که برابری آنها
x+y=x(y (2)
انجام. از آنجایی که طبق 1c x+0=x و x(0=x، پس
الف) 0 (S
اکنون y(S، یعنی برابری (2) برآورده شده است. چون x+y(=(x+y)(، x(y(=(x(y)(و x+y=x(y)) سپس با اصل 2 x+y(=x(y(، یعنی شرط برآورده شده است
ب) y(S ® y((S.
از این رو، طبق اصل 4، S=N که اثبات قضیه را کامل می کند.
اجازه دهید برخی از خواص جمع را اثبات کنیم.
1. عدد 0 یک عنصر خنثی جمع است، یعنی a+0=0+a=a برای هر عدد طبیعی a.
اثبات برابری a+0=a از شرط 1c به دست می آید. بیایید برابری 0+a=a را ثابت کنیم.
بیایید مجموعه تمام اعدادی را که برای آنها وجود دارد را با M نشان دهیم. بدیهی است که 0+0=0 و بنابراین 0(M. اجازه دهید a(M، یعنی 0+a=a. سپس 0+a(=(0+a)(=a(و بنابراین، a((M) این یعنی M=N که باید ثابت شود.
بعد ما به یک لم نیاز داریم.
لما a(+b=(a+b)(.
اثبات فرض کنید M مجموعه تمام اعداد طبیعی b باشد که برابری a(+b=(a+b) برای هر مقدار a درست است. سپس:
A) 0(M، زیرا a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. در واقع، از این واقعیت که b(M و 2c، ما داریم
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
یعنی b((M. این یعنی M=N که باید ثابت شود.
2. جمع اعداد طبیعی جابجایی است.
اثبات فرض کنید M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a) برای اثبات M=N کافی است. داریم:
الف) 0 (M - به دلیل خاصیت 1.
ب) a(M ® a((M. در واقع، با استفاده از لم و این واقعیت که a(M، به دست می آوریم:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
این به معنی a((M، و با اصل 4 M=N است.
3. جمع تداعی کننده است.
اثبات اجازه دهید
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
لازم است ثابت شود که M=N. از آنجایی که (a+b)+0=a+b و a+(b+0)=a+b، پس 0(M. بگذارید c(M، یعنی (a+b)+c=a+(b+c) . سپس
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
این به معنای c((M و با اصل 4 M=N است.
4. a+1=a(، که در آن 1=0(.
اثبات a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. اگر b(0، آنگاه ((a(N)a+b(a.
اثبات فرض کنید M=(a(a(N(a+b(a). از آنجایی که 0+b=b(0، سپس 0(M. به علاوه، اگر a(M، یعنی a+b(a)، سپس توسط ویژگی 2 مورد 1 (a+b)((a(یا a(+b(a(. بنابراین a((M و M=N.
6. اگر b(0، پس ((a(N)a+b(0.
اثبات اگر a=0، آنگاه 0+b=b(0، اما اگر a(0 و a=c(، آنگاه a+b=c(+b=(c+b)(0. بنابراین، در هر صورت a + b(0.
7. (قانون تریکوتومی جمع). برای هر اعداد طبیعی a و b، یک و تنها یکی از سه رابطه درست است:
1) a=b;
2) b=a+u، که در آن u(0;
3) a=b+v، جایی که v(0.
اثبات اجازه دهید یک عدد دلخواه a را ثابت کنیم و مجموعه تمام اعداد طبیعی b را که حداقل یکی از روابط 1)، 2، 3) برای آنها برقرار است را با M نشان دهیم. لازم است ثابت شود که M=N. بگذارید b=0. سپس اگر a=0 باشد، رابطه 1 درست است، و اگر a(0، رابطه 3 درست است)، زیرا a=0+a. بنابراین 0 (M.
اکنون فرض می کنیم که b(M، یعنی برای انتخاب a، یکی از روابط 1)، 2، 3) برآورده می شود. اگر a=b، آنگاه b(=a(=a+1، یعنی برای b(رابطه 2 برقرار است. اگر b=a+u، آنگاه b(=a+u(، یعنی برای b( رابطه 2) اگر a=b+v، دو حالت ممکن است: v=1 و v(1. اگر v=1، آنگاه a=b+v=b»، یعنی برای b» روابط 1 هستند. راضی است). برای b" رابطه 3 برآورده می شود). 3 راضی است. بیایید مطمئن شویم که هیچ دو مورد از آنها نمی توانند به طور همزمان انجام شوند. در واقع: اگر روابط 1) و 2) راضی بودند، آنها b=b+u خواهند داشت، که در آن u(0، و این با ویژگی در تضاد است. 5. عدم امکان ارضای 1) و 3. در نهایت، اگر روابط 2) و 3) ارضا شوند، a=(a+u)+v = a+ +(u+v) خواهیم داشت و این غیر ممکن به دلیل خواص 5 و 6. خاصیت 7 کاملا ثابت شده است.
وظیفه 1.3.1. اجازه دهید 1(=2، 2(=3، 3(=4، 4(=5، 5(=6، 6(=7، 7(=8، 8(=9). ثابت کنید که 3+5=8، 2+4=6.

1.4. ضرب اعداد طبیعی.

1.5. نظم سیستم اعداد طبیعی.

1.6. ترتیب کامل سیستم اعداد طبیعی.

1.7. اصل القاء.

1.8. تفریق و تقسیم اعداد طبیعی.

1.10. سیستم اعداد طبیعی به عنوان یک مجموعه گسسته کاملاً مرتب.

2. اعداد صحیح و گویا.

2.2. وجود سیستمی از اعداد کامل.

2.3. منحصر به فرد بودن سیستم اعداد کامل.

2.4. تعریف و ویژگی های سیستم اعداد گویا.

2.5. وجود سیستمی از اعداد گویا.

2.6. منحصر به فرد بودن سیستم اعداد گویا.

پاسخ ها، دستورالعمل ها، راه حل ها.

ادبیات

سیستم عدد صحیح

به یاد داشته باشید که سری طبیعی برای فهرست کردن اشیاء ظاهر شد. اما اگر بخواهیم برخی از اعمال را با اشیا انجام دهیم، به عملیات حسابی روی اعداد نیاز خواهیم داشت. یعنی اگر بخواهیم سیب ها را روی هم بچینیم یا کیک را تقسیم کنیم، باید این اعمال را به زبان اعداد ترجمه کنیم.

لطفا توجه داشته باشید که برای معرفی عملیات + و * به زبان اعداد طبیعی، لازم است بدیهیاتی را اضافه کنید که ویژگی های این عملیات را مشخص می کند. اما پس از آن مجموعه اعداد طبیعی خود نیز هستند در حال گسترش.

بیایید ببینیم که چگونه مجموعه اعداد طبیعی منبسط می شود. ساده ترین عملیاتیکی از اولین موارد مورد نیاز اضافه بود. اگر بخواهیم عمل جمع را تعریف کنیم، باید معکوس - تفریق آن را تعریف کنیم. در واقع، اگر بدانیم نتیجه جمع مثلاً 5 و 2 چه خواهد شد، باید بتوانیم مسائلی مانند: چه چیزی را به 4 اضافه کنیم تا 11 حاصل شود. یعنی مسائل مربوط به جمع قطعاً حل خواهد شد. نیاز به توانایی انجام عمل معکوس - تفریق. اما اگر با جمع اعداد طبیعی دوباره یک عدد طبیعی بدست آید، پس از تفریق اعداد طبیعی نتیجه ای حاصل می شود که در N نمی گنجد. اعداد دیگری لازم بود. با قیاس با تفریق قابل درک یک عدد کوچکتر از یک عدد بزرگتر، قانون تفریق عدد بزرگتر از عدد کوچکتر معرفی شد - اینگونه است که اعداد صحیح منفی ظاهر می شوند.

با تکمیل سری طبیعی با عملیات + و - به مجموعه اعداد صحیح می رسیم.

Z=N+عملیات(+-)

سیستم اعداد گویا به عنوان یک زبان حسابی

بیایید اکنون پیچیده ترین عمل بعدی را در نظر بگیریم - ضرب. در اصل، این اضافه مکرر است. و حاصل ضرب اعداد صحیح یک عدد صحیح باقی می ماند.

اما عمل معکوس ضرب، تقسیم است. اما همیشه بهترین نتیجه را نمی دهد. و دوباره با یک دوراهی روبرو هستیم - یا قبول کنیم که نتیجه تقسیم ممکن است "وجود نداشته باشد" یا به اعدادی از نوع جدیدی برسیم. اینگونه بود که اعداد گویا ظاهر شدند.

بیایید سیستمی از اعداد صحیح را در نظر بگیریم و آن را با بدیهیاتی تکمیل کنیم که عملیات ضرب و تقسیم را تعریف می کنند. ما سیستمی از اعداد گویا را بدست می آوریم.

Q=Z+عملیات(*/)

بنابراین، زبان اعداد گویا به ما امکان تولید را می دهد تمام عملیات های حسابیبیش از اعداد زبان اعداد طبیعی برای این کار کافی نبود.

اجازه دهید یک تعریف بدیهی از سیستم اعداد گویا ارائه دهیم.

تعریف. مجموعه Q را مجموعه ای از اعداد گویا و عناصر آن را اعداد گویا می نامند، در صورتی که مجموعه شرایط زیر که اصل اعداد گویا نامیده می شود رعایت شود:

بدیهیات عملیات جمع. برای هر جفت سفارش داده شده x، yعناصر از سبرخی از عناصر تعریف شده است x+y OQ، جمع نامیده می شود ایکسو در. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

1. (وجود صفر) یک عنصر 0 (صفر) وجود دارد که برای هر ایکسÎQ

ایکس+0=0+ایکس=ایکس.

2. برای هر عنصر ایکسО Q یک عنصر وجود دارد - ایکسО Q (مقابل ایکس) به طوری که

ایکس+ (-ایکس) = (-ایکس) + ایکس = 0.

3. (Cututativity) برای هر x، yО Q

4. (Associativity) برای هر x,y,zO Q

x + (y + z) = (x + y) + z

بدیهیات عملیات ضرب.

برای هر جفت سفارش داده شده x، yعناصر از Q برخی از عناصر تعریف شده است xyО Q، محصول نامیده می شود ایکسو تودر این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

5. (وجود عنصر واحد) عنصر 1 О Q وجود دارد به طوری که برای هر ایکسО Q

ایکس . 1 = 1. x = x

6. برای هر عنصر ایکسО Q, ( ایکس≠ 0) یک عنصر معکوس وجود دارد ایکس-1 ≠0 طوری که

ایکس. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asociativity) برای هر x، y، zО Q

ایکس . (y . z) = (x . y) . z

8. (Cututativity) برای هر x، yО Q

اصل ارتباط بین جمع و ضرب.

9. (توزیع) برای هر x، y، zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

بدیهیات نظم.

هر دو عنصر x، y،О Q وارد یک رابطه مقایسه ≤ شوید. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

10. (ایکس≤در) L ( در≤ایکس) ó x=y

11. (ایکس≤y) L ( y≤ z) => ایکس≤z

12. برای هر کسی x، yО Q یا x< у, либо у < x .

نگرش< называется строгим неравенством,

رابطه = برابری عناصر از Q نامیده می شود.

اصل ارتباط بین جمع و ترتیب.

13. برای هر x، y، z ОQ، (x £ y) Þ x+z £ y+z

اصل ارتباط بین ضرب و ترتیب.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

اصل موضوع تداوم ارشمیدس.

15. برای هر a > b > 0، m О N و n О Q وجود دارد به طوری که m³ 1، n< b и a= mb+n.

*****************************************

بنابراین، سیستم اعداد گویا زبان حساب است.

با این حال، این زبان برای حل مسائل محاسباتی عملی کافی نیست.