ارزش‌های به‌دست‌آمده از تجربه به دلایل مختلف ناگزیر حاوی خطا هستند. در این میان، باید بین خطاهای سیستماتیک و تصادفی تمایز قائل شد. خطاهای سیستماتیک به دلایلی ایجاد می شوند که به روشی بسیار خاص عمل می کنند و همیشه می توانند کاملاً دقیق حذف یا در نظر گرفته شوند. خطاهای تصادفی به دلیل تعداد بسیار زیادی از علل فردی ایجاد می شوند که نمی توانند به طور دقیق محاسبه شوند و در هر اندازه گیری به روش های مختلف عمل کنند. این خطاها را نمی توان به طور کامل حذف کرد. آنها را فقط می توان به طور متوسط ​​در نظر گرفت، که برای آن لازم است قوانین حاکم بر خطاهای تصادفی را بدانید.

مقدار اندازه گیری شده را با A و خطای تصادفی اندازه گیری را با x نشان می دهیم. از آنجایی که خطای x می تواند هر مقداری را بگیرد، یک متغیر تصادفی پیوسته است که کاملاً با قانون توزیع آن مشخص می شود.

ساده ترین و دقیق ترین واقعیت منعکس کننده (در اکثریت قریب به اتفاق موارد) به اصطلاح است قانون توزیع خطای عادی:

این قانون توزیع را می توان از مقدمات نظری مختلف به دست آورد، به ویژه از این شرط که محتمل ترین مقدار یک کمیت مجهول که برای آن مجموعه ای از مقادیر با همان درجه دقت با اندازه گیری مستقیم به دست می آید، میانگین حسابی است. این ارزش ها مقدار 2 نامیده می شود پراکندگیاز این قانون عادی

میانگین

تعیین پراکندگی از داده های تجربی. اگر برای هر مقدار A، n مقدار a i با اندازه گیری مستقیم با همان درجه دقت به دست آید و اگر خطاهای مقدار A تابع قانون توزیع نرمال باشد، محتمل ترین مقدار A خواهد بود. میانگین:

الف - میانگین حسابی،

a i - مقدار اندازه گیری شده در مرحله i.

انحراف مقدار مشاهده شده (برای هر مشاهده) a i مقدار A از میانگین حسابی: a i - a.

برای تعیین واریانس قانون توزیع خطای نرمال در این مورد، از فرمول استفاده کنید:

2- پراکندگی
الف - میانگین حسابی
n - تعداد اندازه گیری های پارامتر،

انحراف معیار

انحراف معیارانحراف مطلق مقادیر اندازه گیری شده را نشان می دهد میانگین حسابی. مطابق با فرمول اندازه گیری دقت یک ترکیب خطی میانگین مربعات خطامیانگین حسابی با فرمول تعیین می شود:

، جایی که

الف - میانگین حسابی
n - تعداد اندازه گیری های پارامتر،
a i - مقدار اندازه گیری شده در مرحله i.

ضریب تغییرات

ضریب تغییراتاندازه گیری نسبی انحراف مقادیر اندازه گیری شده را مشخص می کند میانگین حسابی:

، جایی که

V - ضریب تغییرات،
- انحراف معیار،
الف - میانگین حسابی

هر چه ارزش بالاتر باشد ضریب تغییر، پراکندگی نسبتاً بیشتر و یکنواختی مقادیر مورد مطالعه کمتر است. اگر ضریب تغییراتکمتر از 10 درصد، آنگاه تغییرپذیری سری تغییرات ناچیز، از 10 درصد تا 20 درصد متوسط، بیش از 20 درصد و کمتر از 33 درصد معنی دار در نظر گرفته می شود و اگر ضریب تغییراتبیش از 33٪، این نشان دهنده ناهمگونی اطلاعات و نیاز به حذف بزرگترین و کوچکترین مقادیر است.

میانگین انحراف خطی

یکی از شاخص های دامنه و شدت تغییرات است میانگین انحراف خطی(مدول انحراف متوسط) از میانگین حسابی. میانگین انحراف خطیبا فرمول محاسبه می شود:

، جایی که

_
الف - انحراف خطی متوسط،
الف - میانگین حسابی
n - تعداد اندازه گیری های پارامتر،
a i - مقدار اندازه گیری شده در مرحله i.

برای بررسی انطباق مقادیر مورد مطالعه با قانون توزیع نرمال از رابطه استفاده می شود نشانگر عدم تقارنبه اشتباه و نگرش او نشانگر کشیدگیبه اشتباهش

نشانگر عدم تقارن

نشانگر عدم تقارن(A) و خطای آن (m a) با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

، جایی که

الف - نشانگر عدم تقارن،
- انحراف معیار،
الف - میانگین حسابی
n - تعداد اندازه گیری های پارامتر،
a i - مقدار اندازه گیری شده در مرحله i.

نشانگر کورتوز

نشانگر کورتوز(E) و خطای آن (m e) با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

، جایی که

18. انحراف معیار، روش محاسبه، مقدار.

یک روش تقریبی برای ارزیابی تغییرپذیری یک سری تغییرات، تعیین حد و دامنه است، اما مقادیر متغیر در سری در نظر گرفته نمی‌شود. معیار اصلی پذیرفته شده برای تغییرپذیری یک مشخصه کمی در یک سری تغییرات است انحراف معیار (σ - سیگما). هر چه انحراف معیار بزرگتر باشد، درجه نوسان این سری بیشتر است.

روش محاسبه انحراف معیار شامل مراحل زیر است:

1. میانگین حسابی (M) را بیابید.

2. انحراف گزینه های فردی را از میانگین حسابی (d=V-M) تعیین کنید. در آمار پزشکی، انحراف از میانگین به عنوان d (انحراف) تعیین می شود. مجموع همه انحرافات صفر است.

3. مربع هر انحراف d 2.

4. مربع انحرافات را در فرکانس های مربوطه ضرب کنید d 2 *p.

5. مجموع حاصل از  (d 2 *p) را بیابید.

6. انحراف معیار را با استفاده از فرمول محاسبه کنید:

وقتی n بزرگتر از 30 باشد، یا زمانی که n کمتر یا مساوی 30 باشد که n تعداد همه گزینه ها است.

مقدار انحراف استاندارد:

1. انحراف استاندارد گسترش متغیر را نسبت به مقدار متوسط ​​مشخص می کند (یعنی تغییرپذیری سری تغییرات). هر چه سیگما بزرگتر باشد، درجه تنوع این سری بالاتر است.

2. انحراف معیار برای ارزیابی مقایسه ای درجه مطابقت میانگین حسابی با سری تغییراتی که برای آن محاسبه شده است استفاده می شود.

تغییرات پدیده های جرمی از قانون توزیع نرمال پیروی می کنند. منحنی نشان دهنده این توزیع شبیه یک منحنی متقارن زنگی شکل (منحنی گاوسی) است. بر اساس تئوری احتمال، در پدیده هایی که از قانون توزیع نرمال پیروی می کنند، یک رابطه ریاضی دقیق بین مقادیر میانگین حسابی و انحراف معیار وجود دارد. توزیع نظری یک نوع در یک سری تغییرات همگن از قانون سه سیگما تبعیت می کند.

اگر در یک سیستم مختصات مستطیلی، مقادیر یک مشخصه کمی (متغیرها) روی محور آبسیسا رسم شود و فراوانی وقوع یک متغیر در یک سری تغییرات بر روی محور مختصات رسم شود، آنگاه انواع بزرگتر و کوچکتر نشان داده می شود. مقادیر به طور مساوی در دو طرف میانگین حسابی قرار دارند.

مشخص شده است که با توزیع نرمال صفت:

68.3 درصد از مقادیر گزینه در محدوده M1 است

95.5 درصد از مقادیر گزینه در محدوده M2 است

99.7 درصد از مقادیر گزینه در محدوده M3 است

3. انحراف استاندارد به شما امکان می دهد مقادیر نرمال را برای پارامترهای بالینی و بیولوژیکی ایجاد کنید. در پزشکی، فاصله M1 معمولاً به عنوان محدوده طبیعی برای پدیده مورد مطالعه در نظر گرفته می شود. انحراف مقدار تخمینی از میانگین حسابی بیش از 1 نشان دهنده انحراف پارامتر مورد مطالعه از هنجار است.

4. در پزشکی، قانون سه سیگما در اطفال برای ارزیابی فردی سطح استفاده می شود رشد فیزیکیکودکان (روش انحراف سیگما)، برای توسعه استانداردهای لباس کودکان

5. انحراف معیار برای مشخص کردن درجه تنوع مشخصه مورد مطالعه و محاسبه خطای میانگین حسابی ضروری است.

مقدار انحراف استاندارد معمولاً برای مقایسه تغییرپذیری سری های هم نوع استفاده می شود. اگر دو سری با ویژگی های متفاوت (قد و وزن، میانگین مدت درمان و مرگ و میر بیمارستانی و غیره) مقایسه شوند، مقایسه مستقیم اندازه های سیگما غیرممکن است. , زیرا انحراف استاندارد یک مقدار نامگذاری شده است که در اعداد مطلق بیان می شود. در این موارد استفاده کنید ضریب تغییرات (Cv)، که یک مقدار نسبی است: نسبت درصد انحراف معیار به میانگین حسابی.

ضریب تغییرات با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

هر چه ضریب تغییرات بیشتر باشد , تنوع این سری بیشتر است. اعتقاد بر این است که ضریب تغییرات بیش از 30 درصد نشان دهنده ناهمگنی کیفی جمعیت است.

انحراف معیار(مترادف: انحراف معیار, انحراف معیار, انحراف مربع; اصطلاحات مرتبط: انحراف معیار, گسترش استاندارد) - در تئوری احتمالات و آمار، رایج ترین شاخص پراکندگی مقادیر یک متغیر تصادفی نسبت به انتظارات ریاضی آن است. با آرایه های محدود نمونه مقادیر، به جای انتظار ریاضی، از میانگین حسابی مجموعه نمونه ها استفاده می شود.

یوتیوب دایره المعارفی

• 1 / 5

  انحراف استاندارد در واحدهای اندازه گیری خود متغیر تصادفی اندازه گیری می شود و هنگام محاسبه خطای استاندارد میانگین حسابی، هنگام ساخت فواصل اطمینان، هنگام آزمون آماری فرضیه ها، هنگام اندازه گیری رابطه خطی بین متغیرهای تصادفی استفاده می شود. به عنوان جذر واریانس یک متغیر تصادفی تعریف می شود.

  انحراف معیار:

  s = n n - 1 σ 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n (x i - x ¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\راست)^(2)));)
  • توجه: اغلب اوقات اختلافاتی در نام MSD (Root Mean Square Deviation) و STD (انحراف استاندارد) با فرمول آنها وجود دارد. به عنوان مثال، در ماژول numPy زبان برنامه نویسی پایتون، تابع std() به عنوان "انحراف استاندارد" توصیف می شود، در حالی که فرمول انحراف استاندارد (تقسیم بر ریشه نمونه) را منعکس می کند. در اکسل، تابع STANDARDEVAL() متفاوت است (تقسیم بر ریشه n-1).

  انحراف معیار(تخمین انحراف معیار یک متغیر تصادفی ایکسنسبت به انتظارات ریاضی آن بر اساس برآورد بی طرفانه از واریانس آن) s (\displaystyle s):

  σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\راست) ^(2))))

  جایی که σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2))- پراکندگی؛ x i (\displaystyle x_(i)) - منعنصر انتخاب؛ n (\displaystyle n)- اندازهی نمونه؛ - میانگین حسابی نمونه:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n)).)

  لازم به ذکر است که هر دو برآورد مغرضانه هستند. در حالت کلی، ایجاد یک تخمین بی طرفانه غیرممکن است. با این حال، برآورد بر اساس برآورد واریانس بی طرفانه سازگار است.

  مطابق با GOST R 8.736-2011، انحراف استاندارد با استفاده از فرمول دوم این بخش محاسبه می شود. لطفا نتایج را بررسی کنید.

  قانون سه سیگما

  قانون سه سیگما (3 σ (\displaystyle 3\sigma)) - تقریباً تمام مقادیر یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی در بازه قرار دارند (x ¯ − 3 σ ؛ x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \راست)). دقیق تر - با احتمال تقریباً 0.9973، مقدار یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی در بازه مشخص شده قرار دارد (به شرطی که مقدار x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))درست است، و در نتیجه پردازش نمونه به دست نیامده است).

  اگر ارزش واقعی x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))ناشناخته است، پس نباید استفاده کنید σ (\displaystyle \sigma)، آ س. بنابراین، قانون سه سیگما به قانون سه تبدیل می شود س .

  تفسیر مقدار انحراف استاندارد

  یک مقدار انحراف استاندارد بزرگتر نشان دهنده گسترش بیشتر مقادیر در مجموعه ارائه شده با مقدار متوسط ​​مجموعه است. بر این اساس یک مقدار کوچکتر نشان می دهد که مقادیر موجود در مجموعه حول مقدار متوسط ​​گروه بندی می شوند.

  مثلا ما سه تا داریم مجموعه های عددی: (0، 0، 14، 14)، (0، 6، 8، 14) و (6، 6، 8، 8). هر سه مجموعه دارای مقادیر میانگین برابر با 7 و انحرافات استاندارد به ترتیب برابر با 7، 5 و 1 هستند. ست اول بیشترین تعداد را دارد پراهمیتانحراف استاندارد - مقادیر درون مجموعه از مقدار متوسط ​​بسیار متفاوت است.

  در یک مفهوم کلی، انحراف معیار را می توان معیاری برای عدم قطعیت در نظر گرفت. به عنوان مثال، در فیزیک، از انحراف معیار برای تعیین خطای یک سری اندازه گیری های متوالی مقداری استفاده می شود. این مقدار برای تعیین معقول بودن پدیده مورد مطالعه در مقایسه با مقدار پیش‌بینی‌شده توسط تئوری بسیار مهم است: اگر مقدار میانگین اندازه‌گیری‌ها با مقادیر پیش‌بینی‌شده توسط تئوری تفاوت زیادی داشته باشد (انحراف معیار بزرگ)، سپس مقادیر به دست آمده یا روش به دست آوردن آنها باید دوباره بررسی شود. با ریسک پرتفوی شناسایی شده است.

  اقلیم

  فرض کنید دو شهر با میانگین حداکثر دمای روزانه یکسان هستند، اما یکی در ساحل و دیگری در دشت واقع شده است. مشخص است که شهرهایی که در ساحل قرار دارند، دارای حداکثر دمای متفاوتی در طول روز هستند که کمتر از شهرهای واقع در داخل کشور است. بنابراین، انحراف معیار حداکثر دمای روزانه برای یک شهر ساحلی کمتر از شهر دوم خواهد بود، با وجود اینکه میانگین این مقدار یکسان است، که در عمل به این معنی است که احتمال حداکثر دمای هوا در هر روز معینی از سال متفاوت از میانگین مقدار، برای شهری واقع در داخل کشور بیشتر خواهد بود.

  ورزش

  بیایید فرض کنیم چندین وجود دارد تیم های فوتبالکه با توجه به مجموعه ای از پارامترها ارزیابی می شوند، به عنوان مثال، تعداد گل های زده و دریافت شده، موقعیت های گلزنی و غیره. به احتمال زیاد بهترین تیم در این گروه برای تعداد بیشتری از ارزش های بهتری خواهد داشت. مولفه های. هر چه انحراف معیار تیم برای هر یک از پارامترهای ارائه شده کمتر باشد، نتیجه تیم قابل پیش بینی تر است؛ چنین تیم هایی متعادل هستند. از سوی دیگر، تیمی با انحراف استاندارد زیاد به سختی می‌توان نتیجه را پیش‌بینی کرد، که به نوبه خود با عدم تعادل توضیح داده می‌شود، مثلاً یک دفاع قوی اما یک حمله ضعیف.

  استفاده از انحراف معیار پارامترهای تیم، پیش بینی نتیجه مسابقه بین دو تیم، ارزیابی نقاط قوت و طرف های ضعیفدستورات، و در نتیجه روش های مبارزه انتخاب شده است.

  جذر واریانس را انحراف معیار از میانگین می گویند که به صورت زیر محاسبه می شود:

  یک تبدیل جبری ابتدایی فرمول انحراف معیار آن را به شکل زیر هدایت می کند:

  این فرمول اغلب در عمل محاسبه راحت تر است.

  انحراف استاندارد، درست مانند میانگین انحراف خطی، نشان می دهد که مقادیر مشخص یک مشخصه به طور متوسط ​​چقدر از مقدار متوسط ​​خود انحراف دارند. انحراف معیار همیشه بیشتر از میانگین انحراف خطی است. رابطه زیر بین آنها وجود دارد:

  با دانستن این نسبت، می توانید از شاخص های شناخته شده برای تعیین مجهول استفاده کنید، به عنوان مثال، اما (من a را محاسبه کنید و بالعکس انحراف استاندارد اندازه مطلق تغییرپذیری یک مشخصه را اندازه گیری می کند و در همان واحدهای اندازه گیری مقادیر مشخصه (روبل، تن، سال و غیره) بیان می شود. این یک معیار مطلق برای تنوع است.

  برای علائم جایگزین، برای مثال حضور یا عدم حضور آموزش عالیفرمول های بیمه، پراکندگی و انحراف معیار به شرح زیر است:

  اجازه دهید محاسبه انحراف معیار را با توجه به داده های یک سری گسسته نشان دهیم که توزیع دانشجویان در یکی از دانشکده های دانشگاه را بر اساس سن مشخص می کند (جدول 6.2).

  جدول 6.2.

  

  نتایج محاسبات کمکی در ستون های 2-5 جدول آورده شده است. 6.2.

  میانگین سنی یک دانش آموز، سال، با فرمول میانگین حسابی وزنی (ستون 2) تعیین می شود:

  

  مجذور انحرافات سن فردی دانش آموز از میانگین در ستون های 3-4 آمده است و حاصل ضرب انحرافات مجذور و فرکانس های مربوطه در ستون 5 آمده است.

  با استفاده از فرمول (6.2) واریانس سن، سال دانش آموزان را پیدا می کنیم:

  

  سپس o = l/3.43 1.85 *oda، i.e. هر مقدار خاص از سن دانش آموز 1.85 سال از میانگین انحراف دارد.

  ضریب تغییرات

  در مقدار مطلق خود، انحراف معیار نه تنها به درجه تنوع مشخصه بستگی دارد، بلکه به سطوح مطلق گزینه ها و میانگین نیز بستگی دارد. بنابراین، مقایسه مستقیم انحراف استاندارد سری تغییرات با سطوح میانگین مختلف غیرممکن است. برای اینکه بتوانید چنین مقایسه ای انجام دهید، باید پیدا کنید وزن مخصوصمیانگین انحراف (خطی یا درجه دوم) در میانگین حسابی که به صورت درصد بیان می شود، یعنی. محاسبه معیارهای نسبی تنوع

  ضریب تغییرات خطی با فرمول محاسبه می شود

  ضریب تغییرات با فرمول زیر تعیین می شود:

  در ضرایب تغییرات، نه تنها غیرقابل مقایسه بودن مربوط به واحدهای مختلف اندازه گیری مشخصه مورد مطالعه حذف می شود، بلکه عدم مقایسه ای که به دلیل تفاوت در مقدار میانگین های حسابی ایجاد می شود نیز حذف می شود. علاوه بر این، شاخص های تنوع، همگنی جمعیت را مشخص می کند. اگر ضریب تغییرات از 33% تجاوز نکند، جمعیت همگن در نظر گرفته می شود.

  طبق جدول. 6.2 و نتایج محاسبات به دست آمده در بالا، ضریب تغییرات، % را طبق فرمول (6.3) تعیین می کنیم:

  

  اگر ضریب تغییرات بیش از 33٪ باشد، این نشان دهنده ناهمگونی جمعیت مورد مطالعه است. مقدار به دست آمده در مورد ما نشان می دهد که جمعیت دانش آموزان بر اساس سن از نظر ترکیب همگن هستند. بنابراین، یک کارکرد مهم تعمیم شاخص‌های تغییرات، ارزیابی قابلیت اطمینان میانگین‌ها است. کمتر c1، a2 و V، هر چه مجموعه پدیده های حاصل از همگن تر باشد و میانگین حاصله قابل اطمینان تر باشد. با توجه به "قانون سه سیگما" در نظر گرفته شده توسط آمار ریاضی، در سری های معمولی توزیع شده یا نزدیک به آنها، انحراف از میانگین حسابی بیش از ± 3st در 997 مورد از 1000 رخ می دهد. بنابراین، دانستن ایکس و a، می توانید یک ایده اولیه کلی از سری تغییرات بدست آورید. اگر مثلاً میانگین حق الزحمهکارمند در شرکت 25000 روبل بود و a برابر با 100 روبل است، سپس با احتمال نزدیک به قطعیت می توان استدلال کرد که دستمزد کارکنان شرکت در محدوده (25000 ± 3 x 100) در نوسان است، یعنی. از 24700 تا 25300 روبل.

  یکی از ابزارهای اصلی تحلیل آماری، محاسبه انحراف معیار است. این شاخص به شما امکان می دهد انحراف معیار را برای یک نمونه یا برای یک جامعه تخمین بزنید. بیایید نحوه استفاده از فرمول انحراف استاندارد در اکسل را بیاموزیم.

  بیایید بلافاصله تعیین کنیم که انحراف معیار چیست و فرمول آن چگونه است. این کمیت جذر میانگین حسابی مجذورات اختلاف بین تمام کمیت های سری و میانگین حسابی آنها است. یک نام یکسان برای این شاخص وجود دارد - انحراف استاندارد. هر دو نام کاملاً معادل هستند.

  اما، به طور طبیعی، در اکسل کاربر مجبور نیست این را محاسبه کند، زیرا برنامه همه چیز را برای او انجام می دهد. بیایید نحوه محاسبه انحراف معیار در اکسل را بیاموزیم.

  محاسبه در اکسل

  شما می توانید مقدار مشخص شده در اکسل را با استفاده از دو تابع خاص محاسبه کنید STDEV.V(بر اساس جامعه نمونه) و STDEV.G(بر اساس جمعیت عمومی). اصل عملکرد آنها کاملاً یکسان است، اما می توان آنها را به سه روش فراخوانی کرد که در ادامه به آنها خواهیم پرداخت.

  روش 1: Function Wizard

  
  

  

  روش 2: برگه فرمول ها

  
  

  

  روش 3: وارد کردن فرمول به صورت دستی

  همچنین راهی وجود دارد که به هیچ وجه نیازی به فراخوانی پنجره آرگومان ها نخواهید داشت. برای این کار باید فرمول را به صورت دستی وارد کنید.

  
  

  

  همانطور که می بینید، مکانیسم محاسبه انحراف معیار در اکسل بسیار ساده است. کاربر فقط باید اعداد را از جمعیت یا ارجاع به سلول های حاوی آنها وارد کند. تمام محاسبات توسط خود برنامه انجام می شود. درک اینکه شاخص محاسبه شده چیست و چگونه می توان نتایج محاسباتی را در عمل اعمال کرد بسیار دشوارتر است. اما درک این موضوع بیشتر به حوزه آمار مربوط می شود تا یادگیری کار با نرم افزار.