نوسانات سیستم های غیر خطی ارتعاشات صوتی غیرخطی

پچنکین A.A. پارادایم و ایدئولوژی: تجربه بازسازی فلسفی تاریخ نظریه نوسانات غیرخطی // فلسفه علم. جلد 7: شکل گیری پارادایم علوم طبیعی مدرن - M.: , 2001

A.A.Pechenkin

پارادایم و ایدئولوژی: تجربه بازسازی فلسفی تاریخ نظریه

نوسانات غیر خطی*

اظهارات مقدماتی

برای نشان دادن مفاهیم معرفی شده "در حال کار"، اجازه دهید تعدادی قطعه از تاریخچه تئوری نوسانات غیرخطی را در نظر بگیریم. ما اصطلاح «نظریه نوسانات غیرخطی» را در مفهوم جامعه‌شناختی کوهنی به کار می‌بریم. این فقط یک سیستم قیاسی (یا تلاشی برای فرمول بندی) نیست، بلکه یک پدیده اجتماعی است - ایده هایی که در اواخر دهه 20 توسعه یافتند. قرن بیستم و در دهه 30. جامعه دانشمندان که معمولاً مدرسه L.I. ماندلشتام نامیده می شود. تئوری نوسانات غیرخطی در نظر گرفته شده به این ترتیب جایگزین نظریه غیرخطی نوسانات الکتریکی فیزیکدان هلندی و مهندس رادیو B. Van der Pol شد، که او قبلاً در اوایل دهه 20 روی آن کار می کرد. در سال 1927، L.I. Mandelstam وظیفه ای را برای دانشجوی فارغ التحصیل خود A.A. Andronov تعیین کرد که منجر به یک سری کارهای اساسی شد که با مشارکت دو دانشجوی فارغ التحصیل دیگر L.I. Mandelstam - A.A. Vitt و S.E. Khaikin انجام شد. در همان زمان، L.I. Mandelstam نه تنها ایجاد نظریه نوسانات غیرخطی را آغاز کرد، بلکه به همراه دوست و نویسنده همکار خود N.D. Papaleksi در توسعه این نظریه مشارکت داشتند. برخی دیگر از دانشجویان L.I. ماندلشتام، کارمندان N.D. Papaleksi، دانشجویان و کارمندان A.A. Andronov، که در سال 1931 از مسکو به گورکی نقل مکان کردند (اکنون - نیژنی نووگورود، مدرسه خود را در آنجا تأسیس کرد که می توان آن را شاخه ای از مکتب ماندلشتام دانست.

تئوری نوسانات غیرخطی بلافاصله در خارج از کشور به رسمیت شناخته نشد. به رسمیت شناختن کامل آن در سالهای پس از جنگ، زمانی که N. Minorsky کتاب خود را نوشت و در آن نتایج اصلی مدرسه L.I. Mandelstam را ارائه کرد، به رسمیت شناخته شد. در سال 1949، ترجمه انگلیسی کتاب "نظریه نوسانات" توسط A.A. Andronov، A.A. Witt و S.E. Khaikin که در سال 1937 در اتحاد جماهیر شوروی منتشر شد، منتشر شد (از زمانی که ویت دستگیر شد، نام او از عنوان این کتاب حذف شد). ، کتابی که محتوا و برنامه اصلی تئوری نوسانات غیرخطی را ارائه می دهد (در هر حال این همان چیزی است که ماندلشتام در مقدمه این کتاب می گوید). در سال 1966 ترجمه انگلیسی چاپ دوم این کتاب (1959) که توسط شاگرد آندرونوف N.A. Zheleztsov تهیه شده بود منتشر شد. متعاقباً، روی تئوری نوسانات غیرخطی که در جریان کلی انتشارات در مورد دینامیک غیرخطی حل شده است، کار کنید.

این مقاله قصد دارد نشان دهد که نه تنها پارادایم، بلکه ایدئولوژی نیز شکل‌گیری و توسعه نظریه نوسانات غیرخطی را هدایت کرد و این ایدئولوژی بود که به مفاهیم غیر پیش پا افتاده منجر شد که در دهه 70 مشخص شد. در زمینه منافع هم افزایی - نظریه خود سازماندهی. در پاراگراف بعدی

ما در مورد پارادایم صحبت خواهیم کرد که در آن نظریه نوسانات غیرخطی شکل گرفت. در پاراگراف سوم به این پارادایم «در عمل» نگاه خواهیم کرد، یعنی. اجازه دهید تعدادی از دستاوردهای تئوری نوسانات غیرخطی (دهه 30) را مورد بحث قرار دهیم، که در مسیر چیزی که تی کوهن آن را «حل معما» می نامد، به دست آمده است. در پاراگراف چهارم، ایدئولوژی نوسانات غیرخطی تشریح خواهد شد و نحوه "کارکرد" آن فراتر از مرزهای مسائلی که در پارادایم حل شده اند، ردیابی خواهد شد.

پارادایم نظریه نوسانات غیرخطی

همانطور که در بالا ذکر شد، نظریه نوسانات غیرخطی جایگزین شد نظریه غیر خطینوسانات الکتریکی واندر پول دومی به نوبه خود از نظر ژنتیکی با توسعه تئوری یک دستگاه رادیویی - یک ژنراتور لوله مرتبط است. در این دستگاه، که مانند هر دستگاه واقعی، با "اصطکاک" کار می کند (یعنی یک سیستم غیر محافظه کار است)، نوسانات بدون میرایی ایجاد می شود. البته این بدان معناست که سیستم حاوی منبع انرژی است (یا انرژی از بیرون وارد سیستم می شود). با این حال، ما در مورد نوسانات اجباری صحبت نمی کنیم. ژنراتور لوله خود نوسانات بدون میرا ایجاد می کند. این یک سیستم خودمختار است (معادلات دیفرانسیل چنین سیستم هایی به صراحت شامل زمان نمی شود)، یعنی. سیستمی با منبع انرژی غیر تناوبی نوسانات بدون میرا به دلیل طراحی خاص ژنراتور لوله ایجاد می شود که علاوه بر مدار نوسانی، تقویت کننده (لوله الکترونی) متصل به مدار نوسانی را شامل می شود. بازخورد.

با باز گذاشتن پرسش از پارادایم نظریه ون در پل، به شرح پارادایمی می پردازیم که در آثار ماندلشتام، آندرونوف و همکارانشان در اواخر دهه 20 پدیدار شد. ما "عناصر ماتریس انضباطی" را که توسط کوهن در ضمیمه 1969 فهرست شده است دنبال خواهیم کرد. به کتاب «ساختار انقلاب های علمی» او.

کوهن به عنوان اولین عنصر به «تعمیمات نمادین» اشاره می کند - فرمول های ریاضی بیان کننده قوانین علمی جهانی. در فیزیک مدرن اینها عمدتا معادلات دیفرانسیل هستند. «تعمیم‌های نمادین» باید به اندازه کافی گنجایش داشته باشد تا تدوین وظایف خاص با «رمزگشایی» این «تعمیم‌ها» انجام شود.

ون در پل عمدتاً از معادله ای که اکنون نام او را نشان می دهد، کار می کند، که اصل عملکرد یک نوسان ساز لوله ساده را توصیف می کند:

d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)

اینجا ایکس- مختصات تعمیم یافته (در مورد ژنراتور لوله - قدرت جریان)، تیزمان است و عنصر غیرخطی 2x2 dx/dt است عملکرد یک تقویت کننده (لوله الکترونی) را بیان می کند.

در آثار آندرونوف و سایر نمایندگان مکتب ماندلشتام، یک معادله دیفرانسیل به یک "تعمیم نمادین" تبدیل می شود که در رابطه با آن معادله واندرپل است. مورد خاص. این معادله زیر است:

d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)

جایی که x و t،مانند قبل، مختصات و زمان تعمیم یافته، δ ضریب میرایی است، ω فرکانس طبیعی است، یعنی. فرکانس چرخه ای فرآیند که در غیاب اصطکاک و نیروی خارجی رخ می دهد، f(x، dx/dt) - یک تابع غیر خطی که عملکرد یک منبع انرژی موجود در یک سیستم کنترل را توصیف می کند که نوسانات مداوم را فراهم می کند. معادله (2) را می توان هر بار به روش خاص خود برای مسائل مختلف غیرخطی مهندسی رادیو و مکانیک نوشت - برای توصیف یک ژنراتور لوله، یک ساعت، یک آونگ اصطکاکی (به اصطلاح آونگ فرود، که یک آونگ معمولی است که با آن نصب شده است. اصطکاک روی شافتی که با سرعت ثابت می چرخد) و غیره.

در وهله دوم پس از «تعمیمات نمادین» برای کوهن، «نسخه‌های پذیرفته‌شده عمومی» مانند «گرما نشان‌دهنده انرژی جنبشی بخش‌هایی است که بدن را می‌سازند». برای ماندلشتام، آندرونوف، همکاران و شاگردان آنها، چنین دستورالعملی در درجه اول به شرح زیر بود: "ساخت یک پرتره فازی از سیستم نوسانی - مسیر آن در صفحه فاز (که در آن محورهای مختصات x، dx/dt هستند)." معادله (2)، به طور کلی، نمی تواند یکپارچه شود و در توابع ابتدایی قابل حل نیست. ون در پل، برای حل معادله (1)، از روش تقریبی که او اختراع کرد استفاده کرد - روش تغییرات آهسته دامنه ها (م توسط او به عنوان یک پارامتر کوچک تفسیر شد). ساخت پرتره فاز نیز می تواند به عنوان یکپارچگی در نظر گرفته شود. از آنجایی که پرتره فاز از قوانین سختگیرانه نظریه معادلات دیفرانسیل تبعیت می کند، ساخت پرتره فاز یک راه حل دقیق برای معادله دیفرانسیل ارائه می دهد. از آنجایی که پرتره فاز خود اطلاعات کمی در مورد دامنه، فاز و فرکانس نوسانات ندارد، این راه حل کیفی است. از این رو اصطلاح رایج در حلقه آندرونوف «ادغام کیفی» است.

ون در پل در سال 1926 به مشکل ساخت یک پرتره فاز نزدیک شد. او با استفاده از روش ایزوکلاین خطوط خطوطی را ترسیم کرد که بعدها پرتره فاز معادله (1) نامیده شد. اما "پرتره فاز" او موضوع نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل نبود که توسط A. Poincaré در دهه های آخر قرن 19 ارائه شد. بیشتر یک تصویر بود، یک تصویر گرافیکی.

پرتره های فاز معادلات (1) و (2) توسط آندرونوف در آثارش در سال های 1928-1929 ساخته شد که اساس پایان نامه دکترای او شد. آندرونوف نشان داد که نوسانات بدون میرا که در یک نوسان ساز لوله، ساعت و غیره رخ می دهد. (او آنها را خود نوسان نامید)، در صفحه فاز به شکل چرخه های حدی پوانکاره - منحنی های بسته که همه منحنی های مجاور به طور مجانبی به آنها نزدیک می شوند، به تصویر کشیده می شوند. یک چرخه حدی یک نقطه منفرد را احاطه کرده است که نمادی از حالت تعادل است. در کارهای بعدی، آندرونوف فرآیندهای گذرا - موارد تحریک "سخت" و "نرم" نوسانات در یک ژنراتور لوله را بررسی کرد و تصاویر هندسی آنها را در صفحه فاز یافت.

"ادغام کیفی" شامل تجزیه و تحلیل پایداری نوسانات است. آندرونوف نشان داد که خود نوسانات با چرخه های حد پوانکاره پایدار مطابقت دارد. در این مورد، دو نوع پایداری قابل توجه است: پایداری لیاپانوف و پایداری ساختاری (زبری) سیستم نوسانی. ثبات لیاپانوف به معنای ثبات با توجه به تغییرات کوچک است شرایط اولیه. اصطلاح "بی ادبی" سیستم پویا" توسط آندرونوف قبلاً در اولین آثار خود در مورد چرخه های حد معرفی شد. با این حال، فرمول صحیح این مفهوم توسط او به همراه L.S. Pontryagin در سال 1937 انجام شد. سیستمی راف نامیده می شود که پرتره فاز آن با توجه به تغییرات کوچک در معادله دیفرانسیل توصیف کننده این سیستم پایدار است. برای فرمول بندی دقیق تر «بی ادبی»، باید معادله (2) را در آن بازنویسی کنیم فرم زیر:

d 2 x/dt 2 +ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)

که در آن تابع غیرخطی f(x, dx/dt) نشان دهنده نه تنها منبع انرژی غیر تناوبی، بلکه یک عامل میرایی است (دلیلی برای این وجود دارد، زیرا اصطکاک می تواند غیر خطی باشد). یک حرکت ناهموار حرکتی خواهد بود که نسبت به تغییرات کوچک در سمت راست معادله (3) پایدار باشد.

با هدایت تئوری پایداری که توسط A.M. Lyapunov در آغاز قرن بیستم ایجاد شد، آندرونوف به همراه A.A. Witt نشان دادند که با توجه به ناهمواری سیستم، توانای مشخصه لیاپانوف را می توان برای قضاوت در مورد پایداری چرخه حدی استفاده کرد. بنابراین، وجود خود نوسانات.

تنظیم خودکار آندرونوف نوشت که در این سالها بود که مشکل ثبات جنبش ها را که توسط ماندلشتام در سال 1927 برای او مطرح شد حل کرد.

با استفاده از روش برازش، پرتره فاز با ترسیم یک راه حل جستجو نمی شود معادله خطینوع (2) از تکه‌های راه‌حل تا معادلات خطی که بخش‌های جداگانه این راه‌حل را تقریب می‌کنند و راه‌حل‌های خطی «دوختن» بر اساس الزام تداوم راه‌حل به یک معادله غیرخطی. در این مورد، ثابت ادغام راه حل خطی، مربوط به قطعه خطی بعدی، با "تطبیق" این بخش با قسمت قبلی پیدا می شود: مقادیر اولیه که این بخش را مشخص می کند باید با مقادیر نهایی مشخص کننده بخش قبلی مطابقت داشته باشد.

طرح پرتره فازی که روش برازش ارائه می دهد، به شدت به مقادیر اولیه ای بستگی دارد که در آن راه حل معادله خطی اول به دست آمده است، در یک کلام، به شرایطی که تحت آن "مناسب" شروع شد. با استفاده از روش نقشه برداری نقطه، می توان تا حدی بر این عیب غلبه کرد: محدوده مقادیر اولیه ممکن را می توان در نظر گرفت. به هر حال، روش برازش به شخص اجازه می‌دهد تا ماهیت پرتره فاز مشکل حل شده را قضاوت کند و ویژگی‌های کمی این پرتره را ارزیابی کند. به نظر می رسد که دری را به فضای فازی باز می کند که در آن باید طبق قوانین دیگر حرکت کرد - نه بر اساس قوانین مشاهدات و قوانین تجربی، بلکه طبق قوانین یک نظریه دقیق ریاضی - نظریه کیفی دیفرانسیل. معادلات

روش تقریبی دیگری در بالا ذکر شد - روش تغییرات آهسته دامنه، که توسط van der Pol توسعه یافته است. این روش همچنین برای ملاحظات اکتشافی در مورد پرتره فاز استفاده شد. در سال 1930، آندرونوف و ویت با استفاده از روش تغییرات آهسته دامنه، پدیده "گرفتن" را که در یک سیستم غیرخود مختار رخ می دهد (بر خلاف معادلات (1) و (2) که سیستم های خودمختار را توصیف می کنند، در معادلات بررسی کردند. برای سیستم های غیر خودگردان اصطلاحی وجود دارد که نیروی خارجی دوره ای را در نظر می گیرد)*. در همان زمان تصویری از این دریافت کردند

* برای سیستم های غیرخودکار، "ضربه ها" معمولی هستند، نوساناتی که با دو فرکانس مشخص می شوند (فرکانس ω - به معادله (2) و فرکانس نیروی خارجی مراجعه کنید). "گرفتن" را همگام سازی اجباری می نامند: با تغییر فرکانس نیروی خارجی، مشاهده می کنیم که در مقدار معینی از این پارامتر، نوسانات همگن با این فرکانس ایجاد می شود.

پدیده ها در فضای فازی، به عنوان مثال. تغییر در پرتره فاز یک سیستم خود نوسان با تغییر در فرکانس نیروی خارجی را ردیابی کرد.

روش تغییرات آهسته دامنه ها شامل جایگزینی معادله (1) با معادلات ساده تر "کوتاه شده" است که حل معادله اولیه برای مقادیر کوچک پارامتر μ تقریبی است. کتاب اندرونوف، ویت و خایکین رابطه بین پرتره های فاز معادله اصلی و پرتره فاز "معادلات کوتاه شده" را توضیح می دهد. سیستم مختصات معادله اصلی که در صفحه فاز معادلات "کوتاه شده" قرار گرفته است، در جهت عقربه های ساعت می چرخد. سرعت زاویهای، برابر با 1. چرخه های حد معادله اصلی با دایره های حالت های تعادل در پرتره فاز معادلات "کوتاه شده" مطابقت دارد، و مارپیچ های پیچ در پیچ بر روی چرخه های حدی مطابق با مسیرهای مستقیم در این پرتره فاز کمکی هستند.

البته، این تناظرها تنها به یک پرتره فاز حدسی معادله اصلی منجر می شود. با این حال، این فرض در زمینه یک نظریه ریاضی دقیق - نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل - وارد می شود. بنابراین، جایگاه بالاتری در ساختار فیزیک به دست می آورد. همه نظریه های فیزیک حدسی هستند. با این حال، در میان آنها سیستم های مفهومی بسته ای وجود دارد که با مفاهیم و قوانین سختگیرانه عمل می کنند. این دقت توسط دستگاه ریاضی دقیقی که در آن فرموله شده اند به آنها داده می شود. به لطف نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل، چنین نظریه ای به نظریه نوسانات غیرخطی تبدیل می شود.

آندرونوف قبلاً در اولین آثار خود در مورد چرخه های حد پوانکاره از دیگری استفاده کرد روش مجانبی– روش پارامتر کوچکی که پوانکاره در «روش‌های جدید مکانیک سماوی» معرفی کرده است (این روش را روش پوانکاره نیز می‌گویند). در دهه 1930 وی با همکاری ویت این روش را در حوزه ای فراتر از محدوده مطالعاتی که بر اساس نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل انجام شده بود، به کار برد.

پس از مقایسه مدل‌های «هستی‌شناختی» و «ابتکاری»، ما قبلاً به عنصر سوم ماتریس «انضباطی» کوهن یعنی مقادیر پرداخته‌ایم. ویژگی مکتب ماندلشتام بنیادگرایی بود - به نظریه‌های فیزیکی عمومی ترجیح داده شد تا مدل‌های «مولد». هم خود آندرونوف و هم ماندلشتام کار آندرونوف را در مورد چرخه های حدی پوانکاره به عنوان اساسی در نظریه نوسانات غیرخطی تفسیر کردند. آنها معتقد بودند که به لطف این کار، نظریه نوسانات غیرخطی به دست آمد

یک دستگاه ریاضی دقیق و در نتیجه در وضعیت خود به یک نظریه اساسی (مانند مکانیک، الکترودینامیک و غیره) نزدیک شده است. ون در پل که نظریه نوسانات الکتریکی را توسعه داد و تحقیقات خود را همزمان با ماندلشتام و آندرونوف منتشر کرد، نه تنها از روش های تقریبی استفاده کرد، بلکه اهمیت اساسی این روش ها را اعلام کرد. ماندلشتام و آندرونوف، ضمن ادای احترام به اثربخشی روش‌های ون در پل، خاطرنشان کردند که او نظریه‌ای «کافی» برای موضوع مورد بررسی ایجاد نکرده و منجر به پیش‌بینی‌های کیفی گسترده‌ای می‌شود.

ماندلشتام در مقدمه خود بر کتاب آندرونوف، ویت و خایکین، بر اهمیت مفهومی این اثر تأکید کرد. این نه تنها روش هایی را که غیرخطی بودن را در قالب تصحیح محاسبات خطی در نظر می گیرند، بررسی کرد، بلکه زبان خاصی از فیزیک غیرخطی را نیز ایجاد کرد. ماندلشتام پیش بینی کرد: «در ناحیه پیچیده نوسانات غیرخطی، ویژگی خاص آنها مفاهیم کلیمفاد و روش هایی که توسط یک فیزیکدان به کار گرفته می شود آشنا و آشکار می شود، به او امکان می دهد مجموعه پیچیده ای از پدیده ها را درک کند و یک سلاح اکتشافی قدرتمند برای تحقیقات جدید فراهم می کند.»... یک فیزیکدان علاقه مند به مشکلات مدرنتردید، اکنون باید در پیشرفت در این مسیر مشارکت کند.»

این بدان معنا نیست که ماندلشتام، آندرونوف، همکاران و دانشجویان آنها روش های تقریبی را دست کم گرفتند. برعکس، تقریباً همه آثار آنها مربوط به دهه 30 بود. مرتبط با استفاده از روش های تقریبی. ترجیح داده شده به روش های دقیق نوعی ایده نظارتی بود. ارائه مطالب در کتاب های درسی و مقالات مروری را تعیین کرد. علاوه بر این، این ترجیح کار بر روی اثبات روش تقریبی دامنه‌های آهسته متغیر را تحریک کرد (L.I. Mandelstam and N.D. Papaleksi, 1935). و در نهایت (و این شاید مهمترین چیز باشد)، با قرار دادن نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل در خط مقدم، آندرونوف با همکاری تعدادی از همکاران و شاگردان خود، نظریه ای را در مورد تکامل پرتره فاز یک سیستم توسعه داد. زمانی اتفاق می افتد که پارامتری از سیستم تغییر کند. این توسعه با مطالعه فوق الذکر در مورد تحریک "نرم" و "سخت" یک نوسان ساز لوله آغاز شد و منجر به غنی شدن نظریه نوسانات غیرخطی با مفاهیم "تغییر پایداری" و نقاط انشعاب شد.

یک نوع روش مجانبی، نوعی اصل مطابقت.» ماندلشتام گفت. با این حال، متعاقباً او نه تنها کار شاگردانش را که از روش پارامتر کوچک استفاده می‌کردند تأیید کرد، بلکه خود او به همراه N.D. Papaleksi این روش را در مقاله‌ای درباره پدیده رزونانس نوع دوم (1934-1935) به کار بردند. اندرونوف و ویت از روش پارامتر کوچک برای محاسبه سیستمی با دو درجه آزادی استفاده کردند. آنها خودشان خاطرنشان کردند که این سیستم هنوز آنقدر پیچیده است که از دیدگاه نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل قابل بررسی نیست. با این وجود، با هدایت مقیاس ارزش‌هایی که در مدرسه ماندلشتام پذیرفته شد، G.S. Gorelik، یکی از آخرین دانشجویان فارغ‌التحصیل ماندلشتام و همکار آندرونوف، نوشت که «روش پارامتر کوچک جایگاهی کاملاً ثانویه را در آثار او (آندرونوف) اشغال می‌کند. نکته اصلی در آنها کاربرد در مطالعه نوسانات غیرخطی نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل و روش های توپولوژیکی مرتبط است."

و در نهایت، مؤلفه چهارم "ماتریس انضباطی" نمونه هایی است که بر اساس آنها فرمول بندی و حل مسائل تمرین می شود، مثال هایی که نشان می دهد چگونه "تعمیم های نمادین" را مشخص کنید و "نسخه ها" را برای آنها اعمال کنید، چگونه "مدل های اکتشافی" به شما اجازه می دهند. یک "مدل هستی شناختی" بسازید. همانطور که در بالا ذکر شد، نظریه نوسانات غیرخطی در ابتدا به عنوان تئوری یک دستگاه مهندسی رادیویی ساده - یک نوسانگر لوله توسعه یافت. این دستگاه به عنوان یک "نمونه مشترک" عمل کرد که بر اساس آن مفهوم خود نوسانی و استفاده از چرخه های حد پوانکاره برای توصیف خود نوسانات در کتاب های درسی توضیح داده شد. ماندلشتام در سخنرانی‌های خود درباره نوسانات مثال دیگری می‌آورد - آونگ فرود؛ در کتاب آندرونوف، ویت و خایکین، یک ژنراتور لوله‌ای در مجاورت ساعت قرار دارد.

پارادایم "در محل کار"

برای توضیح نقشی که پارادایم در توسعه نظریه نوسانات غیرخطی ایفا کرد، اجازه دهید نحوه حل دو مسئله را در نظر بگیریم: مسئله نوسانات در مولتی ویبراتور آبراهام و بلوخ (سیستمی که حاوی اندوکتانس های قابل توجهی نیست) و مسئله از نوسانات یک سیم ویولن اولین مشکل (1930) منجر به شکل گیری دکترین نوسانات آرامش شد، نوسانات شدیدا غیر سینوسی متشکل از حرکات سریع و آهسته. دومی (1936) به معنای پیشرفت در زمینه سیستم های توزیع شده و محیط های پیوسته بود. در اولین آثار خود، آغاز شد

کاربرد آندرونوو از چرخه های حد پوانکاره، ماندلشتام، همکاران و شاگردانش به طور انحصاری با سیستم های توده ای سر و کار داشتند که نوسانات آنها حرکات فضایی هستند - نوسانات یک آونگ، حرکات بار الکتریکی. اگرچه پارامترهایی که رفتار چنین سیستم‌هایی را تعیین می‌کنند - جرم آونگ، اندوکتانس و ظرفیت در مدار نوسانی - عملاً نقطه‌ای نیستند، اما در مناطق فضایی خودشان توزیع شده‌اند، می‌توان از این غیر نقطه‌ای بودن انتزاع کرد. سیستم های توده ای با معادلات دیفرانسیل معمولی توصیف می شوند، در حالی که سیستم های توزیع شده با معادلات دیفرانسیل جزئی توصیف می شوند.

خود آندرونوف شرح زیر را از این داستان ارائه کرد: «در سال 1929، همانطور که بعداً مشاهده خواهد شد، به معنایی بسیار صریح، بر این دیدگاه ایستاده‌ام که تصویر ریاضی نوسانات بدون کاهش یا خود نوسانات، چرخه حد پوانکاره من به سیستم های مختلف نگاه می کنم و در همه جا به دنبال چرخه های حد هستم. با این حال، من مدار مولتی ویبراتور ایده آل آبراهام-بلوخ را انتخاب می کنم که فقط حاوی ظرفیت است، اما نوسانات خود را نشان می دهد. من معادلات دیفرانسیل دینامیک را می نویسم، به دنبال یک چرخه می گردم، اما بدون نتیجه. علاوه بر این، من توانستم ثابت کنم که معادلات دیفرانسیل مورد بررسی نمی توانند چرخه حدی داشته باشند. به جای چرخه، یک منحنی خاص پیدا کردم که نشان می دهد سرعت فاز بی نهایت می شود. وجود چنین منحنی اجازه نمی دهد که حرکت نقطه نشان دهنده به طور واضح مشخص شود. یک پارادوکس به نظر می رسد: خود نوسانی به معنای چرخه است، هیچ چرخه ای وجود ندارد، اما سیستم

خود نوسانات را انجام می دهد. با این پارادوکس به ماندلشتام رسیدم که بلافاصله فهمید که چه خبر است. پس از بحث، او نتیجه گرفت: «اگر ثابت شود که هیچ چرخه‌ای وجود ندارد، این یک چیزی است. از آنجایی که سیستم در حال نوسان است، یا ایده آل سازی شما نامعتبر است یا نمی دانید چگونه با آن کار کنید." او افزود که به لنینگراد می رود و سعی می کند در آنجا به این پارادوکس فکر کند. او پس از بازگشت از لنینگراد چنین گفت: "من و N.D. Papaleksi فکر می کنیم که می توانیم با ایده آل سازی شما کار کنیم و یک راه حل دوره ای پیدا کنیم که از نظر فیزیکی جالب باشد. اما این راه حل به راه حل های مستمری که شما به دنبال آن هستید تعلق نخواهد گرفت. این یک راه حل ناپیوسته خواهد بود، یعنی. حرکت متناظر نقطه نشان دهنده پرش های آنی ایجاد می کند. ما فکر می کنیم که اگر این فرضیه اضافی را ارائه کنیم که با این تغییرات انرژی ذخیره شده در خازن ها به طور مداوم تغییر می کند، می توان یک راه حل دوره ای پیدا کرد. به زودی من به همراه ویت سعی در اجرای این ایده های ماندلشتام کردم. با غلبه بر برخی مشکلات محاسباتی، ما یک راه حل دوره ای ناپیوسته پیدا کردیم."

بنابراین، مشکل مولتی ویبراتور آبراهام-بلوخ توسط آندرونوف در دو مرحله حل شد.

آندرونوف با دقت نشان داد که این سیستم معادلات "هیچ جواب دوره ای پیوسته ای را نمی پذیرد." در همان زمان، مسائل پارادایمیک به او می‌گفتند که سیستم خود نوسانی است، یعنی. حرکت تناوبی پیوسته انجام می دهد.

II. پس از بحث و گفتگو با ماندلشتام، آندرونوف با همکاری ویت، «پازل» را حل کرد. او با حفظ همان آرمان‌سازی، «فرضیه جهشی» را که ماندلشتام و پاپالکسی به او پیشنهاد کردند، پذیرفت. این فرضیه، که شامل این واقعیت است که ولتاژهای خازن ها پیوسته هستند، به ما اجازه می دهد تا مسیر فاز معادلات مولتی ویبراتور را تا سیکل حدی در فضای فاز چهار بعدی "تکمیل" کنیم. نقطه نشان دهنده با رسیدن به یک مقدار بحرانی (نرخ تغییر ولتاژ در شبکه به بی نهایت تبدیل می شود)، به نقطه منحنی تعیین شده توسط شرایط پیوستگی نشان داده شده پرش می کند و سپس دوباره در امتداد مسیر فاز اینها حرکت می کند. معادلات،

به بی نهایت تبدیل می شود)، به نقطه ای از منحنی که با شرایط مشخص شده پیوستگی تعیین می شود، پرش می کند و سپس دوباره در امتداد مسیر فاز این معادلات حرکت می کند.

مشکل ارتعاشات سیم ویولن توسط ویت حل شد که در سال 1934 مقاله ای در مورد "سیستم های خود نوسان توزیع شده" منتشر کرد. اما در این اثر، همانطور که خود ویت تصریح می‌کند، با روش‌های تقریبی بسیار خام عمل کرد. اولاً او سیستم های غیرخطی را ضعیف غیرخطی می داند که این فرصت را به او می دهد تا از روش پارامتر کوچک استفاده کند و در ساده ترین نسخه آن که فقط اولین جمله سری در توان های پارامتر μ در نظر گرفته شده است. دوم، ویت فرض می‌کند که قضیه پایداری لیاپانوف، که برای سیستم‌های متمرکز معتبر است، برای سیستم‌های توزیع‌شده نیز صادق است.

ویت در مقاله خود در مورد ارتعاشات سیم ویولن، قبلاً در چارچوب نظریه ارتعاشات غیرخطی کار می کند. از نظر ریاضی، این مسئله در قالب یک سیستم معادلات دیفرانسیل جزئی فرموله شده است: معادله موج و معادلات بیان کننده شرایط مرزی- یکی از آنها غیر خطی است. برای تقلیل مسئله به شکلی مطابق با "تعمیم نمادین" (1)-(2)، ویت از روش نگاشت نقطه استفاده می کند (به بالا مراجعه کنید). به عبارت دیگر، از معادلات دیفرانسیل جزئی، او یک "معادله تابعی" به دست آورد که مطابق با روش نگاشت نقطه ای، مسائل مربوط به معادلات دیفرانسیل معمولی به آن کاهش می یابد. ویت می نویسد: «برای به دست آوردن روابط جهانی، از کمیت های بدون بعد استفاده خواهیم کرد. – موقعیت نقطه روی رشته را با مقدار y=x/l اندازه گیری می کنیم، جایی که ایکس– فاصله نقطه در نظر گرفته شده رشته از انتهای ثابت، / – طول نیمی از رشته، زمان را با نسبت τ=tc/l=4t/T اندازه گیری می کنیم. , جایی که با -سرعت انتشار ارتعاشات در رشته، تی –زمان، T - دوره تن بنیادی ارتعاشات آزاد. اجازه دهید با نشان دادن تونسبت v/l، که در آن v جابجایی رشته است. به گفته دالامبر:

u=φ 1 (τ-у)+φ 2 (τ+у) (a)

برای y=0: u=0 و بنابراین، ъ=0 (برای τ> 0) (ب)

ϕ(τ+ Τ )=ψ(ϕ(τ))

با مقادیر اولیه ϕ(t)=ϕ 0 (τ)، 0<τ<Τ.

او این معادله را مطالعه کرد که نگاشت نقطه ای را با استفاده از تکرار تعریف می کند. وی در عین حال مفهوم توالی ثابت را مطرح کرد؛ نمونه‌هایی از این توالی‌ها توالی‌هایی هستند که در آن همه اعضا دنباله‌های یکسان و تناوبی هستند. او همچنین مفهوم یک دنباله پایدار کونیگز را معرفی کرد. قیاس با چرخه های حدی زمانی به وجود می آید که این توالی ها بر روی نمودارهای لمری رسم شوند (نمودار تابع ψ(φ(τ)) در مختصات دکارتی ϕ(τ)=х و ϕ(τ+Т)=ψ).

ویت نمونه ای از یک سیستم غیرخطی توزیع شده بسیار ساده را در نظر گرفت: غیرخطی بودن او در نقطه تماس بین کمان و ریسمان متمرکز بود. تحقیقات سیستماتیک در مورد نوسانات غیرخطی سیستم های توزیع شده بعداً در دهه 50 آغاز شد. و دیگر نه در چارچوب «پارادایم خود نوسان‌ها»، بلکه در چارچوب «ایدئولوژی خود نوسان‌ها» انجام شد.

ایدئولوژی تئوری نوسانات غیرخطی

ایدئولوژی تئوری نوسانات غیرخطی، اول از همه، مفهوم خود نوسانات است که همانطور که در بالا ذکر شد توسط آندرونوف در مقالات 1928-1929 معرفی شد. در واقع، ون در پل به خود نوسانات نیز می پردازد و نوسانات بدون میرا در یک نوسان ساز لوله ای را توصیف می کند، اما اصطلاح خاصی برای آنها معرفی نکرده است. آندرونوف نه تنها یک اصطلاح خاص را معرفی کرد، بلکه با اتصال خود نوسانات با چرخه های حدی در صفحه فاز، به این پدیده عمق نظری داد. و قبل از آندرونوف، مهندسان رادیو و فیزیکدانان رادیویی می دانستند که یک ژنراتور لوله ای با نوسانات بدون میرا مشخص می شود که با دامنه خاص آنها مشخص می شود، مستقل از شرایط تحریک این نوسانات. با این حال آندرونوف این مفهوم را نظری کرد. او نشان داد،

که پایداری نوسانات خود را می توان به معنای ریاضی درک کرد و به عنوان پایداری لیاپانوف و ناهمواری سیستم نوسانی توضیح داده می شود.

مفهوم خود نوسانات پس از اولین کنفرانس سراسری در مورد نوسانات (1931) که توسط مکتب L.I. ماندلستام برگزار شد، شروع به کسب اعتبار کرد. نوسانات خود محور این کنفرانس بود. در یکی از مقالات سال 1936 می خوانیم که "در حال حاضر یک نظریه ریاضی دقیق و از نظر فیزیکی کافی در مورد طبقه وسیعی از پدیده های خود نوسانی وجود دارد که ثمربخشی خود را در تعداد زیادی از مطالعات ثابت کرده است." G.S. Gorelik در کتاب درسی خود که رویکردش به روش پارامتر کوچک در بالا مورد بحث قرار گرفت، می نویسد: "پدیده خود نوسانات... در طبیعت در هر مرحله رخ می دهد." یکی از بررسی‌ها می‌گوید: «دانشمندان شوروی اساساً زمینه جدیدی از علم را در مورد نوسانات ایجاد کردند - حوزه خود نوسانات، که در حال حاضر با تحقیقات و نتایج جدید پر می‌شود.»

در سال های پس از جنگ، کتاب هایی که به طور خاص به نوسانات خود اختصاص داده شده بودند ظاهر شدند. در سال 1944، کتابی از K.F. Teodorchik، که در سال 1939 این پست را بر عهده گرفت، منتشر شد. و در مورد. رئیس دپارتمان نوسانات که توسط L.I. Mandelstam تأسیس شد. این کتاب «سیستم‌های خود نوسانی» نام داشت و در سه نسخه منتشر شد. کتاب "نوسانات خود" اثر A.A. Kharkevich، متخصص برجسته مشکلات کنترل خودکار نیز سه ویرایش را پشت سر گذاشته است. پیشگفتار این کتاب که «بدون یک فرمول ریاضی واحد در متن اصلی» نوشته شده است، بیانگر «اهمیت گسترده خود نوسانات نه تنها برای فناوری، بلکه برای علوم طبیعی به طور کلی» است.

ایدئولوژی همراه با پارادایم به وجود می آید؛ همچنین می توان گفت که پارادایم حامل ایدئولوژی خاصی است. با این حال، ایدئولوژی فراتر از پارادایم گسترش می یابد. در بالا، چهار جزء پارادایم‌ها را طبق کوهن مشخص کردیم: «تعمیم‌های نمادین» (معمولاً این معادلات دیفرانسیل هستند)، «نسخه‌ها» (معمولاً اینها روش‌هایی برای حل معادلات دیفرانسیل هستند)، مقادیری که سلسله مراتبی را بین نسخه‌ها ایجاد می‌کنند، و مشترک. مثال‌ها، مشکلات نسبتاً ساده‌ای که به ما امکان می‌دهد توضیح دهیم که چگونه «نسخه‌ها» کاربرد «تعمیم‌های نمادین» را تضمین می‌کنند. هر دو "تعمیم نمادین" و "نسخه" مشروط به قوانین خاصی هستند (مثلاً قوانین ریاضی). ایدئولوژی واژه ها و اصطلاحاتی است که معانی آنها با استفاده از مثال ها (قیاس ها و تصاویر) توضیح داده می شود. استفاده از این کلمات و عبارات با شهود هدایت می شود. البته هر جامعه علمی شهود خاص خود را دارد. اما شهود

می تواند فراتر از قوانین باشد و حتی مشکلاتی را ایجاد کند که نیاز به تجدید نظر در قوانین دارد. معانی کلمات و عبارات می تواند توسعه یابد و چیزی را شکل دهد که L. Wittgenstein آن را "شباهت های خانوادگی" می نامد. به عنوان مثال، معنای کلمه "بازی" که ویتگنشتاین به عنوان یک الگو از آن استفاده می کند، مثال هایی مانند شطرنج، بازی یک نفره، رقص گرد را می دهد. معنای کلمه "خود نوسانی" را می توان در مجموعه ای از تصاویر توسعه داد، که با یک ژنراتور لوله، یک آونگ فرود و یک ساعت مکانیکی شروع می شود و شامل یک سیم ویولن برانگیخته شده توسط یک کمان، ستارگان با درخشندگی متغیر (قیفاووس)، یک قلب و یک "ساعت بیولوژیکی". اگر به گزاره‌ای مانند «مشروط شدن توسط ویژگی‌های خود سیستم و نه با شرایط اولیه» روی بیاوریم، این سری با اشیایی مانند امواج خودکار و ساختارهای اتلافی دوباره پر می‌شود.

یکی از نشانه های مهم کاربرد ایدئولوژیک یک مفهوم، فرسایش محتوای آن است. به نظر می رسد این مفهوم فراتر از محدوده خود است. در اصل، این بدان معنی است که مشابه این مفهوم فرموله می شود، مفاهیم جدیدی تحت همان اصطلاح به وجود می آیند، و مفاهیمی که به وضوح تعریف نشده اند.

اولین چنین آستانه ای که مفهوم خود نوسانات از آن عبور کرد، آستانه بین خود نوسانات و نوسانات اجباری بود. «در ارتباط با کشف اصول جدید برای ایجاد نوسانات خود و توسعه موارد شناخته شده، مفهوم خود نوسانات پس از جنگ جهانی دوم به طور قابل توجهی گسترش یافت. به طور خاص، نوسانات خود نه تنها شامل نوسانات بدون میرا شد که انرژی آنها از یک منبع ثابت گرفته می شود، بلکه نوساناتی را نیز شامل می شود که توسط انرژی یک فرآیند نوسانی به اندازه کافی قوی که از بیرون برانگیخته می شود پشتیبانی می شود. چنین نوساناتی را می توان با تغییر پارامترهای سیستم، مثلاً تضعیف یا جداسازی، کاملاً خاموش کرد.

ادامه این روند فرسایش، تکرار این مفهوم در قالب آنالوگ های زبانی است. در رابطه با خود نوسانات، این ظهور مفاهیم autowave و autostructure بود. اولین مورد توسط R.V. Khokhlov در بررسی پایان نامه دکتری A.M. Zhabotinsky در مورد واکنش های شیمیایی نوسانی (1972) معرفی شد. منظور خوخلوف این بود که ژابوتینسکی نه تنها خود نوسانات شیمیایی، بلکه فرآیندهای موجی مشابه را نیز توصیف می کند که از نظر حاکمیت آنها مشابه است - استقلال از شرایط اولیه و تا حدی مرزی و قابلیت تعریف توسط پارامترهای سیستم.

مفهوم ساختارهای خودکار در مقاله مشترک دو نویسنده که خود را با مکتب ماندلشتام می شناسند - A.V. Gaponov-Grekhov (یک دانشجوی فارغ التحصیل سابق آندرونوف) و M.I. Rabinovich ظاهر می شود. خودساختار به عنوان یک نظم مکانی یا زمانی پایدار درک می شود که در یک سیستم توزیع شده با غیرخطی بودن به وضوح بیان شده و دور از حالت تعادل قرار دارد. یکی از ویژگی های خودسازه ها دوباره استقلال نسبی آنها از شرایط اولیه و مرزی است.

به راحتی می توان دریافت که هنگام فرمول بندی مفاهیمی مانند امواج خودکار و اتوساختارها، نه تنها از هر تعریفی از خود نوسانات استفاده می شود، بلکه از اشکال زبانی ذاتی این تعاریف استفاده می شود. این اشکال زبانی نه فقط شهود یک چرخه حدی را که توسط تعاریف خود نوسانی حمل می شود، بلکه به طور کلی شهود یک جاذبه را منتقل می کند.

مقاله Gaponov-Grekhov و Rabinovich که در آن "اتوساختارها" معرفی شدند، در بالا ذکر شد. در مصاحبه ای که با نویسنده این سطور (22/05/1992) انجام شد، در پاسخ به این سوال: «آیا می توان گفت که «ایدئولوژی خود نوسانی» برای شما ضروری است؟ - M.I. Rabinovich گفت: "بله، قطعا. در واقع، این حتی در مورد کلمه نیست. فقط خود نوسانی، مانند امواج خودکار که R.V. Khokhlov اختراع کرد. او خود امواج را مطرح نکرد، بلکه یک کلمه، یک چرخش عبارت بسیار موفق... اما، می دانید، یک کلمه بسیار موفق. من تقریباً در تمام عمرم با سیستم های غیرتعادلی اتلاف غیر خطی کار کرده ام. ممکن است چهارشنبه ها باشد. به عنوان یک قاعده، من روی مشکلات موج یا تلاطم کار می کنم، اما همیشه در آنجا اتلاف وجود دارد. من سیستم های همیلتونی دارم، سیستم های بدون اصطکاک، بدون اتلاف، همیشه یک مورد محدود کننده. من همیشه بیشتر به سیستم هایی با جاذبه علاقه مند بوده ام، که در آنها در t→∞ همیشه چیزی برقرار است: هرج و مرج، بنابراین هرج و مرج، نوسانات دوره ای، بنابراین نوسانات دوره ای، ساختارهای تصادفی - به خاطر خدا. از این نظر، برای من، ساختارها و هرج و مرج پویا به سادگی انواع مختلفی از جاذبه‌ها هستند که در طول تکامل رفتار سیستم، با تمایل به بی‌نهایت ایجاد می‌شوند. من همیشه به سیستم‌هایی علاقه‌مند بوده‌ام که در آنها چیزی برقرار است، که در آن چیزی عینی، مستقل از شرایط اولیه وجود داشته باشد.»

بنابراین، M.I. Rabinovich نه چندان مجذوب مفهوم خود نوسانات، بلکه با ایده حاکمیت موجود در آن است که شهود یک جذب کننده را حمل می کند.

نتیجه

هنگام صلاحیت فلسفی یک نظریه علمی، معمولاً بر قابلیت‌های توصیفی یا ابزارهای توضیحی آن تأکید می‌شود. در این مقاله هر دو فرضیه دانش نظری مورد توجه قرار گرفته است. پارادایم راهنمایی برای حل مسائل و ساختن توضیحات و پیش بینی های علمی است. ایدئولوژی یک زبان، یک دستگاه توصیف علمی است که معمولاً از محدودیت منابع توضیحی فراتر می رود.

یادداشت

کان تی. ساختار انقلاب های علمی / ترجمه. از انگلیسی I.Z. Naletova. اد. S.R. Mikulinsky و L.A. Markova. م، 1975. ص 70.

مینورسکی ن.مقدمه ای بر مکانیک غیرخطی. میشیگان: جی دبلیو ادواردز، 1947.

Andronov A.A., Chaikin S.E.نظریه نوسانات. پرینستون: دانشگاه پرینستون چاپ، 1949.

ون در پل بی. در مورد نوسانات آرامش // فیلوس. Mag. سر. 7.جلد 2، 1926. ص 978-992.

آندرونوف A.A.چرخه های حد پوانکاره و نظریه نوسانات // کنگره چهارم فیزیکدانان روسی. M., N.-Novgorod, Kazan, Saratov (5-16 اوت 1928). فهرست گزارش های ارائه شده در کنگره با خلاصه ای از مطالب آنها. M.-L., 1928. ص 23-24; اونم همینطوره. Les cycles limites de Poincaré et la théorie des oscillations autoentrenues // C.r. آکادمی علمی. پاریس. T. 189, 1929. ص 559–561. تجدید چاپ: آندرونوف A.A.مجموعه tr. M., 1956. S. 32-33, 41-43.

Andronov A.A.، Vitt A.A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Archiv fuer Elektrotechnik. Bd. 24، 1930. S. 99–110. تجدید چاپ: گورلیک G.S.نوسانات و امواج. م. L.: GTTI، 1950. ص 105.

کریلوف N.N.راه های توسعه تئوری نوسانات غیر خطی در اتحاد جماهیر شوروی بیش از 50 سال // مهندسی رادیو. 1969. T. 24، شماره 5. ص 10.

خارکویچ A.A.خود نوسانات. م.، 1950. ص 5.

کاپلان آ.خود نوسانات (منتشر نشده است). 1979. ص 5.

Gaponov-Grekhov A.V.، Rabinovich M.I.. L.I. ماندلشتام و نظریه مدرن نوسانات و امواج غیرخطی // پیشرفت در علوم فیزیکی. T. 128, 1979. صفحات 579-624.

نوسانات فیزیکی سیستم‌هایی که توسط سیستم‌های غیرخطی معادلات دیفرانسیل معمولی توصیف می‌شوند که شامل عبارت‌های حداقل درجه 2 در اجزای بردار - یک تابع برداری از زمان - یک پارامتر کوچک (یا و) است. تعمیم‌های احتمالی با در نظر گرفتن سیستم‌های ناپیوسته، تأثیرات با ویژگی‌های ناپیوسته (مثلاً پسماند)، تأثیرات تأخیری و تصادفی، معادلات عملگر یکپارچه-دیفرانسیل و دیفرانسیل، سیستم‌های نوسانی با پارامترهای توزیع شده که توسط معادلات دیفرانسیل جزئی توصیف شده‌اند، مرتبط هستند. به عنوان استفاده از روش های کنترل بهینه سیستم های نوسانی غیرخطی. وظایف عمومی اصلی N.K.: یافتن موقعیت های تعادلی، رژیم های ثابت، به ویژه موارد دوره ای. حرکات، خود نوسانات و مطالعه پایداری آنها، مشکلات هماهنگ سازی و تثبیت N. K. همه فیزیکی. سیستم ها، به طور دقیق، غیر خطی هستند. یکی از بارزترین ویژگی های NC ها نقض اصل برهم نهی نوسانات است: نتیجه هر یک از تأثیرات در حضور دیگری متفاوت از عدم وجود تأثیر دیگر است. سیستم های شبه خطی - سیستم های (1) در. روش اصلی تحقیق روش پارامتر کوچک است. اول از همه، این روش پوانکاره لیندستد برای تعیین تناوب است. راه حل های سیستم های شبه خطی، تحلیلی در یک پارامتر برای مقادیر به اندازه کافی کوچک، یا به صورت سری در توان (به فصل نهم مراجعه کنید)، یا به صورت سری در توان و - اضافات به مقادیر اولیه مولفه های برداری (به فصل سوم مراجعه کنید). برای توسعه بیشتر این روش، به عنوان مثال، در - را ببینید. یکی دیگر از روش های پارامتر کوچک، روش میانگین گیری است. در همان زمان، روش‌های جدید نیز به مطالعه سیستم‌های شبه خطی نفوذ کردند: مجانبی. روش ها (نگاه کنید به، )، روش توابع K (نگاه کنید به)، بر اساس نتایج اساسی A. M. Lyapunov - N. G. Chetaev، و غیره. اساساً سیستم های غیر خطی، که در آنها هیچ پارامتر کوچک از پیش تجویز شده وجود ندارد. برای سیستم های لیاپانوف که در آن و در بین مقادیر ویژه ماتریس مضربی از ریشه وجود ندارد - تحلیلی. تابع برداری x، بسط با شرایط حداقل مرتبه دوم شروع می شود و یک انتگرال اول تحلیلی از یک فرم خاص وجود دارد. راه حل هایی به شکل یک سری به توان یک ثابت دلخواه c (که می توان مقدار اولیه یکی از دو متغیر بحرانی را برای آن در نظر گرفت). برای سیستم‌های نزدیک به سیستم‌های لیاپانوف که همان شکل (2) تحلیلی است. تابع برداری و یک پارامتر کوچک، پیوسته و تناوبی در t، روشی برای تعیین تناوب نیز پیشنهاد شده است. تصمیمات (به فصل هشتم مراجعه کنید). سیستم هایی از نوع لیاپانوف (2) که در آنها ماتریس دارای l صفر مقادیر ویژه با مقسوم علیه های ابتدایی ساده است، دو - مقادیر ویژه کاملاً تخیلی و فاقد مقادیر ویژه مضرب - مانند (2) است. به سیستم های لیاپانوف کاهش می یابد (به IV.2 مراجعه کنید). N.K نیز در سیستم های لیاپانوف و به اصطلاح مورد مطالعه قرار گرفتند. سیستم های لیاپانوف با میرایی، و همچنین مشکل کلی پمپاژ انرژی به آنها را حل کرد (به فصل های I، III، IV مراجعه کنید). اجازه دهید یک سیستم خودمختار اساساً غیرخطی به شکل جردن قسمت خطی آن کاهش یابد که در آن بردار، بر اساس فرض، حداقل یک جزء غیر صفر دارد. ، به ترتیب برابر با صفر یا یک هستند، در غیاب یا وجود مقسوم علیه های ابتدایی پیچیده ماتریس قسمت خطی، - ضرایب. مجموعه مقادیر یک بردار با مولفه های صحیح به شرح زیر است: سپس یک تبدیل نرمال کننده وجود دارد: (3) به شکل نرمال معادلات دیفرانسیل منجر می شود.
و اگر چه. بنابراین، شکل نرمال (5) فقط شامل عبارات رزونانسی است، یعنی ضرایب فقط برای ضرایبی که معادله تشدید برای آنها برآورده شده است، می تواند متفاوت از صفر باشد، که نقش مهمی در نظریه نوسان دارد. همگرایی و واگرایی تبدیل نرمال سازی (4) مورد مطالعه قرار گرفته است (به بخش I، فصل های II، III مراجعه کنید). محاسبه ضرایب (با استفاده از تقارن آنها) داده شده است (نگاه کنید به § 5.3). در تعدادی از مسائل مربوط به شکل غیرخطی سیستم‌های خودمختار اساساً غیرخطی، روش اشکال معمولی مؤثر بوده است (به فصل‌های VI-VIII مراجعه کنید). در میان روش‌های دیگر برای مطالعه سیستم‌های اساساً غیرخطی، از روش نگاشت نقطه استفاده می‌شود (نگاه کنید به)، استروبوسکونیکی. روش و عملکردی- تحلیلی. مواد و روش ها. روشهای کیفی معادلات دیفرانسیل غیرخطی نقطه شروع در اینجا مطالعه شکل منحنیهای انتگرالی معادلات دیفرانسیل غیرخطی معمولی است که توسط A. Poincare انجام شده است (N. Poincare، نگاه کنید). برنامه های کاربردی برای مشکلات N.K که توسط سیستم های خودمختار مرتبه دوم توصیف شده است، ببینید. سوالات وجود تناوب بررسی شده است. راه حل ها و پایداری آنها در سیستم های بزرگ برای چند بعدی. معادلات غیر تناوبی تقریباً تناوبی در نظر گرفته شده است.کاربردهای تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی با یک پارامتر کوچک برای مشتقات معین در مسائل آرامش معادلات غیرخطی، نگاه کنید به. جنبه های مهم N. k. و lit. مقالات تئوری اغتشاش، نظریه نوسان را ببینید. متن: Poincaré A., Izbr. آثار، ترانس. از فرانسه، ج 1، م.، 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Theory of Oscillations, 2nd ed., M., 1959; Bulgakov B.V., Oscillations, M., 1954; Malkin I.G., Some مشکلات نظریه نوسانات غیر خطی, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. آثار، ج 1، ک.، 1969; [b] Bogolyubov N.N.، Mitropolsky Yu.A.، روشهای مجانبی در نظریه نوسانات غیرخطی، ویرایش چهارم، M-، 1974; Kamenkov G.V., Izbr. آثار، ج 1-2، م.، 1971-1972; Lyapunov A. M.، مجموعه. soch., ج 2, M.-L., 195B, p. 7-263; Starzhinsky V.M.، روشهای کاربردی نوسانات غیرخطی، M.، 1977; برونو A.D.، "Tr. Moscow Mathematical Society"، 1971، ج 25، ص. 119-262; 1972، ج 26، ص. 199-239; Neimark Yu. I., Method of point mappings in theory of nonlinear noscillations, M., 1972; Minorsky N.، مقدمه ای بر مکانیک غیر خطی، Ann Arbor، 1947; Krasnoselsky M. A.، Burd V. Sh.، Kolesov Yu. S.، نوسانات تقریباً دوره ای غیر خطی، M.، 1970; Poincaré A.، در منحنی های تعیین شده توسط معادلات دیفرانسیل، ترانس. از فرانسوی، M. -L.، 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Introduction to theory of nonlinear oscillations, M., 1976; Plise V.A.، مسائل غیر محلی نظریه نوسانات، M. -L., 1964; Mishchenko E. F.، Rozov N. X.، معادلات دیفرانسیل با یک پارامتر کوچک و نوسانات آرامش، M.، 1975. V. M. Starzhinsky.

مشاهده ارزش نوسانات غیر خطیدر سایر لغت نامه ها

نوسانات میانگین درآمد به علاوه- کارایی میانگین واریانس مدلی برای تشکیل یک سبد اوراق بهادار بهینه برای سرمایه گذاران، بر اساس نتیجه گیری هری مارکوویتز که
فرد در حال سرمایه گذاری
........
فرهنگ لغت اقتصادی

زیان سرمایه، از دست دادن سرمایه به دلیل نوسانات نرخ سود؛ از دست دادن سرمایه به دلیل- مقداری که سود حاصل از فروش دارایی های سرمایه ای کمتر از هزینه تحصیل آنها باشد. قبل از قانون اصلاحات مالیاتی 1986، 2 دلار .........
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات- MOVERGrowth یا
کاهش قیمت برای نوع خاصی از سهام یا قیمت ها در کل بازار در نتیجه شرایط مساعد یا نامطلوب و همچنین در نتیجه.........
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات در شرایط بازار- تغییرات در پارامترهای اقتصادی در طول زمان مرتبط با واقعیت های عینی اقتصاد بازار، از جمله تغییرات فصلی.
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات نرخ ارز
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات نرخ ارز (ارز، اوراق بهادار)- تغییرات در قیمت مبادله برای ارزها، با ارزش
کاغذ تحت تأثیر تغییر
تقاضا،
پیشنهادات و عوامل دیگر
فرهنگ لغت اقتصادی

حداکثر نوسان نرخ ارز- انگلیسی حداکثر نوسان قیمت حداکثر میزان نوسان در نرخ قرارداد در یک جهت یا دیگری در طول یک جلسه مبادله است که توسط قوانین بورس تعیین می شود.
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات در شرایط بازار- نوسانات بازار را ببینید. تاب خوردن؛ چرخه کسب و کار؛ چرخه نظری
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات فصلی- تغییرات فصلی کم و بیش منظم
نوسانات در فعالیت های تجاری ناشی از عوامل فصلی. مثلا،
حجم پول رد شده از حساب های بانکی در آذرماه معمولاً ........
فرهنگ لغت اقتصادی

اصل نوسان نرخ- اصل نوسان اصل انتخاب اوراق بهادار (اوراق قرضه یا سهام) بر اساس دامنه نوسانات در نرخ بازار آنها در طول دوره کامل اقتصادی. چرخه دامنه این گونه نوسانات.........
فرهنگ لغت اقتصادی

تغییرات فصلی- ارتقاء یا
کاهش سطح فعالیت اقتصادی، مقیاس فعالیت اقتصادی به دلیل تغییر فصل.
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات فصلی قیمت- قیمت ها بسته به زمان سال متفاوت است (
قیمت محصولات کشاورزی)، فصل (قیمت پوشاک و کفش).
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات معاملاتی- سهامی که قیمت آنها در معاملات اوراق بهادار گرد می شود.
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات؛ نوسانات؛ بی ثباتی؛ تغییر دادن- (1) تغییر در قیمت ها یا نرخ های بهره در جهت افزایش یا کاهش. اصطلاح "نوسان" می تواند به تغییرات کوچک و بزرگ در قیمت سهام اشاره کند.
فرهنگ لغت اقتصادی

حداکثر نوسان (نوسان قیمت/محدودیت تغییر)- حداکثر نوسان قیمت روزانه مجاز در برخی بازارها. رجوع کنید به: حد (محدود/محدود).
فرهنگ لغت اقتصادی

همسویی مجدد (مکانیسم نوسانات مشترک نرخ ارز / تجدید نظر در نرخ ارز)- فرآیند کاهش ارزش یک یا چند ارز موجود در سیستم پولی اروپا. نرخ تبدیل هر واحد پول اروپایی بر اساس نرخ مبادله ای تعیین می شود.
فرهنگ لغت اقتصادی

نوسانات نرخ ارز- تغییرات قیمت ارزها و اوراق بهادار تحت تأثیر تغییرات تقاضا، عرضه و سایر عوامل.
فرهنگ لغت حقوقی

تغییرات فصلی— - افزایش یا کاهش سطح فعالیت اقتصادی، مقیاس فعالیت اقتصادی به دلیل تغییر فصول سالانه.
فرهنگ لغت حقوقی

نوسانات هارمونیک- حرکت تناوبی، مانند حرکت آونگ، ارتعاشات اتمی یا نوسانات در یک مدار الکتریکی. یک جسم نوسانات هارمونیک بدون میرا را زمانی انجام می دهد که ........
فرهنگ دانشنامه علمی و فنی

نوسانات اجباری- تحت تأثیر تأثیرات تناوبی خارجی در سیستم به وجود می آیند (مثلاً نوسانات اجباری آونگ تحت تأثیر نیروی تناوبی، نوسانات اجباری.......

نوسانات هارمونیک- با تغییر کمیت نوسانی x (مثلاً انحراف آونگ از وضعیت تعادل، ولتاژ در مدار جریان متناوب و غیره) در زمان t طبق قانون مشخص می شوند:....... .
فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

نوسانات میرا شده- نوسانات طبیعی که دامنه A با زمان t طبق قانون نمایی A(t) = Аоexp (- ?t) کاهش می یابد (? - نشانگر تضعیف ناشی از اتلاف انرژی در اثر نیروهای ویسکوز.........
فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

نوسانات- حرکات (تغییر در حالت) با درجات مختلف تکرار. رایج ترین: 1) ارتعاشات مکانیکی: ارتعاشات آونگ، پل، کشتی........
فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

ارتعاشات شبکه کریستالی- ارتعاشات اتم ها یا یون هایی که یک کریستال را در اطراف موقعیت های تعادلی (گره های شبکه کریستالی) می سازند. دامنه ارتعاشات حرارتی شبکه کریستالی........
فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

نوسانات فرکانس فوق العاده بالا- نوسانات الکترومغناطیسی (مایکروویو) با فرکانس 3108 تا 31011 هرتز. در فیزیوتراپی برای گرم کردن موضعی سطح بافت های بدن استفاده می شود.
فرهنگ لغت بزرگ پزشکی

ارتعاشات اولتراسونیک- اولتراسوند را ببینید.
فرهنگ لغت بزرگ پزشکی

سیستم های غیر خطی- سیستم های نوسانی که در آنها فرآیندهایی اتفاق می افتد که با معادلات دیفرانسیل غیرخطی توصیف می شوند. خواص و ویژگی های سیستم های غیر خطی به حالت آنها بستگی دارد.
فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

نوسانات عادی- نوسانات هارمونیک طبیعی (آزاد) سیستم های خطی با پارامترهای ثابت، که در آنها هیچ اتلاف یا جریان ورودی از خارج وجود ندارد. هر کدوم عادیه.........
فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

نوسانات پلاسما- انواع مختلفی از نوسانات برانگیخته و منتشر شده در پلاسما. اینها شامل نوسانات آهسته یونهای سنگین نسبت به الکترونهای با نوسان سریع است........
فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

نوسانات ناپیوسته- نوسانات آرامش، که در آن فرآیند نوسانی دنباله ای از تغییرات آهسته (در مقایسه با دوره نوسان) در حالت است.
فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

تئوری نوسانات غیرخطی به طور فعال در 50 سال گذشته شروع به استفاده و توسعه کرده است. اهمیت اساسی در این فرضیه، به ویژه در مفهوم ارتعاشات خودکار، متعلق به دانشمند روسی است. M. Lyapunov و حامیانش که کارشان توانست لزوم استفاده از روش های غیرخطی را در حل مسائل پیچیده ثابت کند.

یادداشت 1

تئوری نوسانات غیرخطی (یا حرکت مکانیکی غیرخطی ذرات محیط) با هدف مطالعه حرکات نوسانی ناپایدار است که در فیزیک به شکل معادلات دیفرانسیل توصیف شده است.

این رشته از مکانیک درک دقیق تری از ویژگی های حرکت ارتعاشی سیستم های خودکار ارائه می دهد. در نتیجه، فرمول های خطی با ساده سازی فرمول های غیرخطی به دست می آیند. بنابراین، در نظر گرفتن چنین نوساناتی، این امکان را فراهم می کند که فقط نتایج خاصی در مورد خواص حرکات کوتاه مدت بدست آوریم، که فقط می تواند تقریبی باشد. با وجود این، تئوری ارتعاشات غیرخطی شامل اطلاعات مهمی در مورد راه حل های سیستماتیک است که فراتر از پایداری حالت پایدار ظاهر می شوند.

راههای آشکارسازی اثرات غیرخطی

فرآیندهای غیرخطی را می توان از طریق روش های مختلفی تولید کرد. یک مثال کلاسیک و واضح یک مارپیچ غیر خطی است که در آن نیروی بازگردان مستقیماً به کشش اولیه بستگی دارد. در مورد غیر خطی بودن موازی (همان نتیجه برای کشش و فشار)، فرمول حرکت ذرات در هر فضایی به شکل زیر است:

$\chi + 2 \gamma \chi + \alpha \chi + \بتا \chi^3 = f (t)$

اگر سیستم به طور دوره ای تحت تأثیر یک نیروی خارجی قرار گیرد، فرضیه کلاسیک فرض می کند که پاسخ نهایی نیز چرخه ای خواهد شد. تشدید یک پدیده غیرخطی در فرکانس پاسخ کم در مطابقت آن با چگالی عناصر مفهومی است. با حرکت ثابت نیروی محرکه، دامنه ای از فرکانس های مربوطه به وجود می آید که در آن مقادیر متفاوتی از جابجایی ذرات محتمل است.

راه حل های پیچیده دیگری مانند ارتعاشات فوق هارمونیک و ساب هارمونیک وجود دارد. اگر نیروی اتصال ظاهری جامع داشته باشد، دیگر نوسانات بیشتر می شوند. فرضیه رزونانس غیرخطی بر این فرض استوار است که تأثیر سیستماتیک شامل ایجاد یک پاسخ دوره ای است.

نوسانات خود تولید شده نشان دهنده دسته مهم دیگری از فرآیندهای غیرخطی هستند. اینها حرکات ارتعاشی هستند که در سیستم هایی بدون نیروها یا تأثیرات دوره ای خارجی شکل می گیرند.

پارادایم فرضیه نوسان غیرخطی

تئوری حرکات غیرخطی جایگزین قانون ارتعاشات الکتریکی واندرپل شد. دومی از نظر ژنتیکی با ایجاد اصول فرضیه یک دستگاه مهندسی رادیویی - توزیع کننده لوله - در ارتباط بود. در چنین ژنراتوری که با "اصطکاک" خاصی کار می کند (یعنی مفهومی غیر محافظه کارانه است)، حرکات نوسانی بدون میرا به تدریج ظاهر می شوند. این بدان معنی است که سیستم شامل یک منبع انرژی داخلی است (یا نیرو به طور سیستماتیک از خارج به سیستم عرضه می شود). با این حال، در این جنبه، ما در مورد ارتعاشات اجباری صحبت نمی کنیم. دستگاه لامپ به طور مستقل نوسانات خود برانگیخته چرخه ای ایجاد می کند.

چنین فرآیندهایی به دلیل طراحی جهانی ژنراتور، که علاوه بر تقویت کننده نوسانی، و مدار متصل به یک خط فیدبک شوک را شامل می شود، بوجود می آیند و عمل می کنند.

با حل نشدن مسئله پارادایم فرضیه واندرپل مذکور، می توان تقریباً مفهومی را که در آثار ماندلشتام، آندرونوف و پیروان آنها در اواخر دهه 20 مشاهده شد، توصیف کرد.

تبصره 2

اولین و اصلی ترین عنصر در آثار دانشمندان "تعمیم های نمادین" است - معادلات ریاضی که قوانین علمی جهانی را تعریف و توصیف می کند. در فیزیک مدرن، اینها عمدتاً فرمول های دیفرانسیل هستند.

Van der Pol اصولاً از معادلاتی پیروی می کند که اصل عملکرد یک توزیع کننده لوله ساده را توصیف می کند:

$\frac (d^2x)(dt^2) - \mu (1 – 2x^2) \frac (dx)(dt) = x = 0$

در اینجا $x$ یک پارامتر کلی است (در مورد یک ژنراتور، قدرت جریان و انرژی)، $t$ یک دوره زمانی مشخص است، و عنصر غیرخطی $\frac(x)(dt)$ عملکرد یک لوله خلاء

نقش مهمی در تاریخچه تئوری ارتعاشات غیرخطی با روش به اصطلاح برازش (که بعداً قانون تقریب ساختاری خطی نامیده شد) ایفا کرد.

در واقع، در آغاز سال 1927، ماندلشتام توانست با دقت بیشتری پایداری حرکات نوسانی به دست آمده بر اساس این اصل را تجزیه و تحلیل کند. روش برازش هنوز هم امروزه به طور گسترده در فرضیه نوسانات غیرخطی استفاده می شود.

ایدئولوژی تئوری فرآیندهای غیرخطی

ایدئولوژی فرضیه مورد بررسی، اول از همه، ویژگی های خود نوسانات را مشخص می کند.

مفاهیم این پدیده ها توسط L.V. آندرونوف در مقالات علمی 1928-1929. در واقع، ون در پل با ارتعاشات مکانیکی نیز سروکار داشت و حرکات نوسانی را در یک ژنراتور لوله ای توصیف می کرد، اما نمی توانست اصطلاح خاصی برای آنها تصور کند.

در آثار آندرونوف، «تعمیم نمادین» در نهایت تبدیل به یک معادله دیفرانسیل شد که در رابطه با آن فرمول ون در پل تنها یک مورد خاص است. نماد چنین معادلی به صورت زیر است:

$\frac (d^2x)(dt^2) + \frac (2dx)(dt + \omega^2 x) = f (\frac (x,dx)(dt))$

ایدئولوژی همراه با پارادایم ظاهر می شود، اما بسیار فراتر می رود. فرآیندهای ایدئولوژیک عبارت ها و کلماتی هستند که معانی آنها از طریق قیاس ها، مثال ها و مصادیق مشخص می شود. یکی از نشانه های اصلی استفاده از یک اصطلاح در ایدئولوژی، فرسایش خاصی از ماهیت آن است. این مفهوم معمولاً فراتر از مرزهای دامنه کاربرد خود است.

وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس

موسسه تحصیلی

دانشگاه ایالتی برست به نام A.S. پوشکین

دانشکده فیزیک

گروه روش تدریس فیزیک و OTD

کار دوره

نوسانات غیرخطی و همگام سازی نوسان

اجرا شده توسط دانشجوی گروه FI-51

پاشکویچ آ.یا.

مشاور علمی:

Ph.D. Sc.، دانشیار N.N. Vorsin

برست، 2012

معرفی

1.1 نوسانات خطی در حضور یک نیروی خارجی قطعی

2. ارتعاشات آزاد سیستم های محافظه کار با نیروهای بازگرداننده غیرخطی

2.1 نوسانات غیرخطی آزاد سیستم های با نیروی میرایی و بازگرداندن غیرخطی

2.2 انواع مختلف ویژگی 0

3. نوسانات بدون میر و آرامش

3.1 تحلیل کیفی معادله واندرپل

3.2 نوسانات غیر خطی همراه، گیرنده احیاکننده قفل فاز و اصل همگام سازی

3.3 معادلات اساسی

3.4 نوسانات با دتونینگ بزرگ

3.5 نوسانات دامنه ثابت ترکیبی

3.6 مشکلات الکتریکی منجر به معادله هیل

نتیجه

کتابشناسی - فهرست کتب

معرفی

تعجب آور نیست که یک فیزیکدان بتواند برای مسائل غیر خطی راه حل بیابد، زیرا بسیاری از پدیده هایی که در دنیای اطراف او رخ می دهند توسط وابستگی های غیرخطی کنترل می شوند. در روند توسعه علوم ریاضی، مشکلات تجزیه و تحلیل غیرخطی مانع از تدوین ایده هایی در مورد حرکات غیرخطی شد که امکان درک عمیق تر از چنین پدیده هایی را فراهم می کرد.

اگر به تاریخچه دستاوردهای علمی نگاهی بیندازیم، قابل توجه است که تلاش اصلی محققان تنها بر مطالعه سیستم های خطی و مفاهیم خطی متمرکز شده است. اگر در همان زمان نگاهی به دنیای اطراف خود بیندازید، به معنای واقعی کلمه در هر مرحله با پدیده هایی روبرو می شوید که ماهیت غیرخطی دارند. مفاهیم خطی تنها یک درک سطحی از بسیاری از آنچه در طبیعت رخ می دهد ارائه می دهد. برای واقعی‌تر کردن تحلیل، دستیابی به سطح بالاتر و سهولت بیشتر در درک و استفاده از نمایش‌های غیرخطی ضروری است.

در سال‌های اخیر، روش‌های تحلیل کامپیوتری توسعه یافته‌اند و در بسیاری از موارد اعتقاد بر این است که راه‌حل‌های به‌دست‌آمده می‌توانند درک بهتری از مظاهر غیرخطی ارائه کنند. به طور کلی، مشخص شده است که یک جستجوی ساده از راه‌حل‌های عددی تنها به درک کمی بیشتر از فرآیندهای غیرخطی نسبت به مشاهده خود طبیعت منجر می‌شود، و راه‌حل‌های «خرد کردن» برای یک مسئله غیرخطی خاص مانند آب‌وهوا. به نظر می رسد که درک ما بر اساس معادلات یا راه حل های آنها نیست، بلکه بر اساس مفاهیم اساسی و به خوبی آموخته شده است. به طور معمول، ما محیط خود را تنها زمانی درک می کنیم که بتوانیم آن را بر اساس مفاهیمی که به قدری ساده هستند که به خوبی درک شوند و آنقدر وسیع هستند که بتوانیم بدون اشاره به موقعیت خاصی با آنها کار کنیم، توصیف کنیم. فهرست چنین مفاهیمی گسترده است و شامل اصطلاحاتی مانند تشدید، پسماند، امواج، بازخورد، لایه های مرزی، آشفتگی، امواج ضربه ای، تغییر شکل، جبهه آب و هوا، ایمنی، تورم، افسردگی و غیره می شود. فرآیندها ماهیت غیرخطی دارند و ناتوانی ما در توصیف به زبان ریاضی دقیق پدیده‌های روزمره مانند جریان آب در ناودان یا چرخش دود سیگار تا حدی در عدم تمایل ما به فرو رفتن و درک ریاضیات غیرخطی است.

پدیده رزونانس، همانطور که شناخته شده است، اغلب در ماده زنده رخ می دهد. به دنبال وینر، Szent-Györgyi اهمیت رزونانس را برای ساختار ماهیچه ها پیشنهاد کرد. معلوم می شود که مواد با خواص تشدید قوی معمولاً توانایی استثنایی در ذخیره انرژی و اطلاعات دارند و بدون شک چنین تجمعی در عضله صورت می گیرد.

نوسانات غیرخطی، نوسانات غیرخطی تصادفی، و نوسانات غیرخطی جفت شده (همگام فاز) ماهیت پدیده ها در بسیاری از زمینه های علم و فناوری، مانند ارتباطات و انرژی را تشکیل می دهند. فرآیندهای ریتمیک در سیستم های بیولوژیکی و فیزیولوژیکی انجام می شود. بیوفیزیکدان، هواشناس، ژئوفیزیکدان، فیزیکدان هسته ای، زلزله شناس - همه آنها با نوسانات غیرخطی سر و کار دارند که اغلب به یک شکل یا حالت دیگر قفل فاز هستند. به عنوان مثال، یک مهندس قدرت با مشکل پایداری ماشین های سنکرون، یک مهندس ارتباطات با ناپایداری انتخاب یا همگام سازی زمان، یک فیزیولوژیست با کلونوس، یک متخصص مغز و اعصاب با آتاکسی، یک هواشناس با فراوانی نوسانات سر و کار دارد. فشار اتمسفر، یک متخصص قلب با نوسانات ناشی از کار قلب سر و کار دارد، یک زیست شناس - با نوسانات ناشی از دوره ساعت بیولوژیکی.

هدف اصلی پایان نامه در نظر گرفتن تعدادی از مشکلات در تئوری نوسانات غیرخطی مربوط به مفاهیم اساسی مانند گرفتن (یا همگام سازی)، ردیابی، دمدولاسیون و سیستم های ارتباطی منسجم فاز است. سعی خواهد شد یک نمای کلی از مسائل غیرخطی مورد علاقه عملی ارائه شود، که راه حل های آنها به شکل قابل دسترس نوشته شده است. این بررسی جامع نیست، اما شامل مثال‌هایی است که مفاهیم اساسی مورد نیاز برای درک ویژگی‌های غیرخطی سیستم‌های قفل‌شده فاز را نشان می‌دهد. مسئله وجود و منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌ها تنها به صورت سطحی مورد بررسی قرار می‌گیرد. تمرکز اصلی بر روی روش های دستیابی به راه حل است.

مطالب بررسی شده را می توان در سه موضوع اصلی دسته بندی کرد. مبحث اول شامل ارائه نتایج تئوری نوسانات خطی در سیستم هایی با یک درجه آزادی و دارای پارامترهای ثابت می باشد. این ماده به عنوان مرجع و برای مقایسه با نتایج به دست آمده از تئوری نوسانات غیر خطی استفاده می شود. مبحث دوم به سیستم های غیرخطی به راحتی ادغام می شود که تحت تأثیر نیروهای خارجی وابسته به زمان قرار نمی گیرند. در اینجا، با استفاده از دستگاه صفحه فاز، نوسانات آزاد سیستم‌های غیرخطی به تفصیل مورد بررسی قرار می‌گیرند. خلاصه ای از نظریه پوانکاره در مورد نقاط منفرد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ارائه شده است. سودمندی مفهوم نقطه منفرد با حل تعدادی از مسائل فیزیکی نشان داده شده است. در نهایت، مبحث سوم، نوسانات اجباری، خودپایدار (نوسانات خود) و نوسانات غیرخطی آرامش را پوشش می دهد. به طور خاص، کاربرد تئوری واندرپل برای مشکلات همگام سازی و ردیابی مورد بحث قرار خواهد گرفت و فصل با بحث در مورد معادله هیل به پایان می رسد.

1. ارتعاشات آزاد در سیستم های خطی

خلاصه کردن ویژگی های اصلی نوسانات خطی ارزشمند و جالب به نظر می رسد. چند دلیل برای انجام این کار در اینجا وجود دارد. یکی از وظایف اساسی ما مقایسه روش های خطی و غیرخطی برای مطالعه نوسانات است. علاوه بر این، استفاده از اصطلاحات مورد استفاده در مسائل خطی تا آنجا که ممکن است، به یک عمل تبدیل شده است. در نهایت، داشتن خلاصه ای از ایده ها و فرمول های اصلی تئوری خطی برای ارجاع آسان مفید است.

شاید ساده ترین مثال از یک مسئله نوسان خطی توسط یک مدار الکتریکی ساده متشکل از یک سلف متصل به صورت سری با یک خازن و یک مقاومت ارائه شود (شکل 1). آنالوگ مکانیکی نشان داده شده در شکل. 1، شامل یک جسم جرم متصل به فنری است که متناسب با جابجایی بدنه نیرویی ایجاد می کند (به نام نیروی بازگرداننده). برای این سیستم الکتریکی، با استفاده از قانون Kirchhoff، ما داریم

اگر فرض کنیم که جسمی در یک سیستم مکانیکی در محیطی حرکت می کند که مقاومتی متناسب با سرعت ایجاد می کند (اصطکاک چسبناک)، معادله حرکت برای ارتعاشات سیستم مکانیکی با رابطه به دست می آید.

به قیاس داریم که; ; و علاوه بر این، آنالوگ جابجایی است.

برنج. 1.سیستم های الکتریکی و مکانیکی خطی

فعلاً با فرض نیروی خارجی و معرفی نماد

(1.2) را به فرم کاهش می دهیم

زیرا نوسانات تعیین شده توسط این معادله همگن خطی را نوسانات خطی آزاد می نامند. راه حل کلی معادله خطی با ضرایب ثابت ترکیبی خطی از دو تابع نمایی است:

جایی که و ثابت های دلخواه هستند که با شرایط اولیه تعیین می شوند، a و ریشه های معادله مشخصه هستند.

بنابراین، و توسط روابط داده می شود

اگر بخواهیم جواب (1.5) را به صورت واقعی ارائه کنیم، سه حالت را در نظر می گیریم که کمیت الف) واقعی، ب) صفر، ج) خیالی باشد. به راحتی می توان نشان داد که راه حل ها شکل می گیرند

کجا و واقعی هستند؛ و ثابت های دلخواه هستند که با تعیین مقادیر جابجایی (جریان) و سرعت در یک لحظه اولیه تعیین می شوند.

معادله (1.8 - a) در عمل اغلب به وجود می آید. همانطور که از (1.3) به راحتی قابل مشاهده است، این مورد در صورتی رخ می دهد که ضریب میرایی در مقایسه با آن کوچک باشد. معادله (1.8 - a) در این مورد چنین حرکت نوسانی را توصیف می کند که هر دو ماکزیمم و جابجایی متوالی رابطه را برآورده می کند.

نوسانات غیر خطی

نوسانات فیزیکی سیستم های توصیف شده توسط سیستم های غیر خطی معادلات دیفرانسیل معمولی

جایی که شامل شرایط حداقل درجه 2 در مولفه های برداری - تابع بردار زمان - پارامتر کوچک (یا و). تعمیم‌های احتمالی با در نظر گرفتن سیستم‌های ناپیوسته، تأثیرات با ویژگی‌های ناپیوسته (مثلاً پسماند)، تأثیرات تأخیری و تصادفی، معادلات عملگر یکپارچه-دیفرانسیل و دیفرانسیل، سیستم‌های نوسانی با پارامترهای توزیع شده که توسط معادلات دیفرانسیل جزئی توصیف شده‌اند، مرتبط هستند. به عنوان استفاده از روش های کنترل بهینه سیستم های نوسانی غیرخطی. وظایف عمومی اصلی N.K.: یافتن موقعیت های تعادلی، رژیم های ثابت، به ویژه موارد دوره ای. حرکات، خود نوسانات و بررسی پایداری آنها، مشکلات همگام سازی و تثبیت N.K.

تمام فیزیکی سیستم ها، به طور دقیق، غیر خطی هستند. یکی از بارزترین ویژگی های NC ها نقض اصل برهم نهی نوسانات است: نتیجه هر یک از تأثیرات در حضور دیگری متفاوت از عدم وجود تأثیر دیگر است.

سیستم های شبه خطی - سیستم های (1) برای . روش اصلی تحقیق است روش پارامتر کوچکاول از همه، این روش پوانکاره لیندستد برای تعیین تناوب است. راه حل های سیستم های شبه خطی که از نظر پارامتر برای مقادیر به اندازه کافی کوچک تحلیلی هستند، یا به صورت سری در توان (به فصل نهم مراجعه کنید)، یا به صورت سری در توان و - اضافه شدن به مقادیر اولیه اجزای بردار (به فصل III مراجعه کنید). برای توسعه بیشتر این روش، به عنوان مثال، در - را ببینید.

روش پارامتر کوچک دیگر روش است میانگین گیریدر همان زمان، روش‌های جدید نیز به مطالعه سیستم‌های شبه خطی نفوذ کردند: مجانبی. روش ها (نگاه کنید به،)، روش توابع K (نگاه کنید به)، بر اساس نتایج اساسی A. M. Lyapunov - N. G. Chetaeva و غیره.

اساساً سیستم های غیر خطی، که در آنها هیچ پارامتر کوچک از پیش تعیین شده ای وجود ندارد. برای سیستم های لیاپانوف

و در بین مقادیر ویژه ماتریس مضربی از ریشه وجود ندارد - تحلیلی تابع برداری ایکس،بسط با اصطلاحات حداقل مرتبه دوم شروع می شود، و یک نوع تحلیلی از نوع خاص وجود دارد؛ A. M. Lyapunov (به بند 42 مراجعه کنید) روشی را برای یافتن موارد دوره ای پیشنهاد کرد. راه حل هایی به شکل یک سری در توان های یک ثابت دلخواه c (که مقدار اولیه یکی از دو متغیر بحرانی را می توان برای آن گرفت یا می توان گرفت).

برای سیستم های نزدیک به سیستم های لیاپانوف،

که از همان شکل در (2)، - تحلیلی. تابع برداری و پارامتر کوچک، پیوسته و تناوبی در تی،روشی برای تعیین تناوب نیز پیشنهاد شده است. تصمیمات (به فصل هشتم مراجعه کنید). سیستم هایی از نوع لیاپانوف (2) که در آنها دارای l صفر مقادیر ویژه با مقسوم علیه های ابتدایی ساده، دو مقدار ویژه خیالی و بدون مقادیر ویژه مضرب است. - مانند (2) را می توان به سیستم های لیاپانوف تقلیل داد (به IV.2 مراجعه کنید). N.K نیز در سیستم های لیاپانوف و به اصطلاح مورد مطالعه قرار گرفتند. سیستم های لیاپانوف با میرایی، و همچنین مشکل کلی پمپاژ انرژی به آنها را حل کرد (به فصل های I، III، IV مراجعه کنید).

اجازه دهید اساساً غیرخطی به شکل جردن قسمت خطی آن کاهش یابد

جایی که بردار بر اساس فرض حداقل یک جزء غیر صفر دارد. ، به ترتیب برابر با صفر یا یک هستند، در غیاب یا وجود مقسوم علیه های ابتدایی پیچیده ماتریس قسمت خطی، - ضرایب. مقادیر یک بردار با مولفه های عدد صحیح به شرح زیر است:

سپس یک تبدیل عادی وجود دارد:

منتهی (3) به شکل عادی معادلات دیفرانسیل

و به گونه ای که اگر . بنابراین، (5) فقط حاوی ضرایب است، یعنی ضرایب فقط برای ضرایبی که معادله رزونانس برای آنها برآورده شده است می‌تواند با صفر متفاوت باشد.

نقش مهمی در تئوری نوسانات ایفا می کند. همگرایی و واگرایی تبدیل نرمال سازی (4) مورد مطالعه قرار گرفته است (به بخش I، فصل های II، III مراجعه کنید). محاسبه ضرایب (با استفاده از تقارن آنها) داده شده است (نگاه کنید به § 5.3). در تعدادی از مسائل مربوط به شکل غیرخطی سیستم‌های خودمختار اساساً غیرخطی، روش اشکال معمولی مؤثر بوده است (به فصل‌های VI-VIII مراجعه کنید).

در میان روش‌های دیگر برای مطالعه سیستم‌های اساساً غیرخطی، از روش نگاشت نقطه استفاده می‌شود (نگاه کنید به)، استروبوسکونیکی. روش و عملکردی- تحلیلی. مواد و روش ها.

روشهای کیفی معادلات دیفرانسیل غیرخطی نقطه شروع در اینجا مطالعه شکل منحنیهای انتگرالی معادلات دیفرانسیل غیرخطی معمولی است که توسط A. Poincare انجام شده است (N. Poincare، نگاه کنید). برنامه های کاربردی برای مشکلات N.K که توسط سیستم های خودمختار مرتبه دوم توصیف شده است، ببینید. سوالات وجود تناوب بررسی شده است. راه حل ها و پایداری آنها در سیستم های بزرگ برای چند بعدی. معادلات غیر تناوبی تقریباً تناوبی در نظر گرفته شده است.کاربردهای تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی با یک پارامتر کوچک برای مشتقات معین در مسائل آرامش معادلات غیرخطی، نگاه کنید به.

جنبه های مهم N. k. و lit. مقالات را ببینید اغتشاشات، نظریه نوسانات.

روشن شد: Poincaré A., Izbr. آثار، ترانس. از فرانسه، ج 1، م.، 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Theory of Oscillations, 2nd ed., M., 1959; Bulgakov B.V., Oscillations, M., 1954; Malkin I.G., Some مشکلات نظریه نوسانات غیر خطی, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. آثار، ج 1، ک.، 1969; [b] Bogolyubov N.N.، Mitropolsky Yu.A.، روشهای مجانبی در نظریه نوسانات غیرخطی، ویرایش چهارم، M-، 1974; Kamenkov G.V., Izbr. آثار، ج 1-2، م.، 1971-1972; Lyapunov A. M.، مجموعه. soch., ج 2, M.-L., 195B, p. 7-263; Starzhinsky V.M.، روشهای کاربردی نوسانات غیرخطی، M.، 1977; برونو A.D.، "Tr. Moscow Mathematical Society"، 1971، ج 25، ص. 119-262; 1972، ج 26، ص. 199-239; Neimark Yu. I., Method of point mappings in theory of nonlinear noscillations, M., 1972; Minorsky N.، مقدمه ای بر مکانیک غیر خطی، Ann Arbor، 1947; Krasnoselsky M. A.، Burd V. Sh.، Kolesov Yu. S.، نوسانات تقریباً دوره ای غیر خطی، M.، 1970; Poincaré A.، در منحنی های تعیین شده توسط معادلات دیفرانسیل، ترانس. از فرانسوی، M. -L.، 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Introduction to theory of nonlinear oscillations, M., 1976; Plise V.A., Nonlocal Problems of theory of oscillations, M. -L., 1964; میشچنکو E. F.، Rozov N. X.، معادلات دیفرانسیل با یک پارامتر کوچک و نوسانات آرامش، M.، 1975.

V. M. Starzhinsky.

دایره المعارف ریاضی. - م.: دایره المعارف شوروی. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

ببینید «نوسان‌های غیرخطی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

نوسانات غیر خطی- - [Ya.N.Luginsky، M.S.Fezi Zhilinskaya، Yu.S.Kabirov. فرهنگ لغت انگلیسی-روسی مهندسی برق و مهندسی قدرت، مسکو، 1999] موضوعات مهندسی برق، مفاهیم اساسی EN نوسانات غیر خطی ... راهنمای مترجم فنی

نوسانات غیر خطی- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. نوسانات غیر خطی؛ ارتعاشات غیر خطی vok. nichtlineare Schwingungen، f rus. نوسانات غیر خطی، n pranc. نوسانات غیر خطی، f … Fizikos terminų žodynas

اصطلاحی که گاهی به معنای نوسانات در سیستم های غیرخطی استفاده می شود (نگاه کنید به سیستم های غیر خطی) ... دایره المعارف بزرگ شوروی

نوسانات غیر خطی ارتعاشات غیرخطی تخصص ... ویکی پدیا

فرآیندهای نوسانی و سیستم های موجی که اصل برهم نهی را برآورده نمی کنند. نوسانات یا امواج غیرخطی به طور کلی با یکدیگر تعامل دارند و ویژگی های آنها (فرکانس، شکل ارتعاش، سرعت انتشار، نوع پروفیل... ... دایره المعارف فیزیکی

سیستم های نوسانی به شدت به فرآیندهایی که در آنها رخ می دهد بستگی دارد. نوسانات چنین سیستم هایی با معادلات غیر خطی توصیف می شوند. پدیده های غیر خطی: مکانیکی. سیستم هایی که مدول الاستیک اجسام به تغییر شکل دومی یا ضرایب بستگی دارد. اصطکاک...... دایره المعارف فیزیکی