طرح ریزی متعامد نقطه m بر روی یک خط مستقیم. طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم، مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم

با این ماشین حساب آنلاینشما می توانید طرح ریزی یک نقطه را بر روی یک خط پیدا کنید. داده شده راه حل دقیقبا توضیحات برای محاسبه تابش یک نقطه بر روی یک خط مستقیم، بعد را تنظیم کنید (اگر خط مستقیم روی صفحه در نظر گرفته شود 2، اگر خط مستقیم در فضا در نظر گرفته شود، 3)، مختصات نقطه و عناصر معادله را وارد کنید. در سلول ها و روی دکمه "حل" کلیک کنید.

×

هشدار

همه سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود داده هااعداد به صورت اعداد صحیح (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به شکل a/b وارد شود که a و b (b>0) اعداد صحیح یا اعشاری هستند. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط - نظریه، مثال ها و راه حل ها

بیایید این مشکل را در فضاهای دو بعدی و سه بعدی در نظر بگیریم.

1. بگذارید یک نقطه در فضای دو بعدی داده شود م 0 (ایکس 0 , y 0) و مستقیم L:

الگوریتم برای یافتن طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط Lشامل مراحل زیر است:

• یک خط مستقیم بسازید L 1 عبور از نقطه م 0 و عمود بر خط L,
• محل تلاقی خطوط را پیدا کنید Lو L 1 (نقطه م 1)

معادله خطی که از یک نقطه می گذرد م 0 (ایکس 0 , y 0) دارای فرم زیر است:

بیایید پرانتزها را باز کنیم

(5)

بیایید مقادیر را جایگزین کنیم ایکسو yدر 4):

جایی که ایکس 1 =mt"+ایکس", y 1 =pt"+y".

مثال 1. طرح ریزی یک نقطه را پیدا کنید م 0 (1، 3) مستقیم

آن ها متر=4, پ=5. از معادله خط مستقیم (6) مشخص است که از نقطه عبور می کند م" (ایکس", y")=(2، −3) (تأیید این امر آسان است - با جایگزینی این مقادیر به (6) هویت 0=0 را به دست می آوریم، یعنی. ایکس"=2, y"=-3. بیایید مقادیر را جایگزین کنیم m، p، x 0 , y 0 ,x، y"ساعت 5"):

2. بگذارید یک نقطه در فضای سه بعدی داده شود م 0 (ایکس 0 , y 0 , z 0) و مستقیم L:

پیدا کردن طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط Lشامل مراحل زیر است:

• هواپیما بساز α ، از نقطه عبور می کند م 0 و عمود بر خط L,
• تقاطع هواپیما را پیدا کنید α و مستقیم L(نقطه م 1)

معادله صفحه ای که از یک نقطه می گذرد م 0 (ایکس 0 , y 0 , z 0) دارای فرم زیر است:

بیایید پرانتزها را باز کنیم

بیایید مقادیر را جایگزین کنیم ایکسو yساعت 9):

طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم کاملاً ساده است، و هنگام انجام عملیات خاص، تقریب صفر به عنوان طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مماس محاسبه می شود. این را در نظر بگیرید مورد خاصوظیفه مشترک

بگذارید یک خط مستقیم داده شود

و دوره فرض می کنیم که بردار خط w دارای طول دلخواه است. یک خط مستقیم از نقطه ای می گذرد که پارامتر t برابر با صفر است و جهت بردار w را دارد. شما باید طرح ریزی یک نقطه را بر روی یک خط مستقیم پیدا کنید. این مشکل تنها یک راه حل دارد. بیایید یک بردار از نقطه به نقطه دیگر بسازیم و حاصل ضرب اسکالر این بردار و بردار خط w را محاسبه کنیم. در شکل 4.5.1 بردار جهت خط w، نقطه شروع آن Co و طرح ریزی را نشان می دهد. نقطه داده شده اگر این حاصل ضرب اسکالر را بر طول بردار w تقسیم کنیم، طول طرح بردار را روی یک خط مستقیم به دست می آوریم.

برنج. 4.5.1. طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم

اگر این حاصل ضرب اسکالر را بر مجذور طول بردار w تقسیم کنیم، طول طرح بردار بر روی خط مستقیم را بر حسب واحد طول بردار w بدست می آوریم، یعنی پارامتر t را برای آن بدست می آوریم. طرح نقطه بر روی خط مستقیم

بنابراین، پارامتر طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم و بردار شعاع طرح ریزی. با استفاده از فرمول ها محاسبه می شود

(4.5.3)

اگر طول بردار w برابر با یک باشد، در (4.5.2) نیازی به تقسیم بر فاصله نیست. فاصله یک نقطه تا طرح ریزی آن بر روی یک خط مستقیم را می توان بدون محاسبه طرح نقطه، اما با استفاده از فرمول تعیین کرد.

موارد خاص.

طرح ریزی یک نقطه بر روی منحنی های تحلیلی را نیز می توان بدون استفاده از روش های عددی یافت. به عنوان مثال، برای یافتن برجستگی یک نقطه بر روی یک مقطع مخروطی، باید نقطه پیش بینی شده را به سیستم مختصات محلی مقطع مخروطی تبدیل کنید، این نقطه را بر روی صفحه قسمت مخروطی پروج کنید و پارامتر این دو را پیدا کنید. -طرح بعدی یک نقطه داده شده

مورد کلی

اجازه دهید لازم باشد که تمام پیش بینی های یک نقطه را بر روی یک خط منحنی پیدا کنیم. هر نقطه از منحنی معادله را برآورده می کند

(4.5.5)

این معادله حاوی یک کمیت مجهول است - پارامتر t. همانطور که قبلا ذکر شد، راه حل این مشکل را به دو مرحله تقسیم می کنیم. در مرحله اول، تقریب صفر پارامترهای پیش بینی نقطه را روی منحنی تعیین می کنیم و در مرحله دوم مقادیر دقیق پارامترهای منحنی را که پیش بینی های نقطه داده شده را بر روی منحنی تعیین می کنند، خواهیم یافت. خط منحنی با

این مقاله ابتدا طرح ریزی یک نقطه را بر روی یک خط مستقیم (روی یک محور) تعریف می کند و یک ترسیم توضیحی ارائه می دهد. در ادامه، روش یافتن مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم را در سیستم مختصات مستطیلی معرفی شده در یک صفحه و در فضای سه بعدی مورد بحث قرار می دهیم و راه حل هایی برای مثال ها با توضیحات مفصل نشان داده شده است.

پیمایش صفحه.

طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط - تعریف.

از آنجایی که همه چیز اشکال هندسیاز نقاط تشکیل شده است، و طرح ریزی یک شکل مجموعه ای از پیش بینی تمام نقاط این شکل است، سپس برای طرح ریزی یک شکل بر روی یک خط مستقیم، باید بتوانید نقاط این شکل را بر روی یک خط مستقیم مشخص کنید.

پس پرتاب یک نقطه روی یک خط به چه چیزی گفته می شود؟

تعریف.

طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط- این یا خود نقطه است، اگر روی یک خط معین قرار داشته باشد، یا پایه یک عمود از این نقطه به یک خط معین کاهش یافته است.

در شکل زیر، نقطه H 1 برآمدگی نقطه M 1 روی خط a است و نقطه M 2 طرح نقطه M 2 خود بر روی خط a است، زیرا M 2 روی خط a قرار دارد.

این تعریف از طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم هم برای مورد روی یک صفحه و هم برای مورد در فضای سه بعدی معتبر است.

در یک صفحه، برای ایجاد طرح ریزی از نقطه M 1 روی خط a، باید خط b را ترسیم کنید که از نقطه M 1 می گذرد و بر خط a عمود است. سپس نقطه تلاقی خطوط a و b برآمدگی نقطه M 1 روی خط a است.

در فضای سه بعدی، طرح نقطه M 1 بر روی خط a، نقطه تلاقی خط a و صفحه ای است که از نقطه M 1 عمود بر خط a عبور می کند.

یافتن مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم - نظریه و مثال ها.

بیایید با یافتن مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط شروع کنیم، زمانی که نقطه و خط پیش بینی شده در سیستم مختصات Oxy مستطیلی روی صفحه مشخص شده است. پس از این، نشان خواهیم داد که چگونه مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی یافت می شود.

مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم در یک صفحه.

اجازه دهید Oxy روی صفحه ثابت باشد، یک نقطه و یک خط مستقیم a داده شود، و لازم است مختصات طرح نقطه M 1 بر روی خط مستقیم a تعیین شود.

بیایید این مشکل را حل کنیم.

بیایید یک خط مستقیم b را از نقطه M 1، عمود بر خط مستقیم a رسم کنیم و نقطه تلاقی خطوط مستقیم a و b را به عنوان H 1 تعیین کنیم. سپس H 1 طرح نقطه M 1 بر روی خط مستقیم a است.

از ساختار فوق به طور منطقی نتیجه می شود الگوریتمی که به شما امکان می دهد مختصات طرح ریزی یک نقطه را بر روی یک خط مستقیم پیدا کنید:

بیایید در هنگام حل مثال به یافتن مختصات طرح ریزی یک نقطه روی یک خط مستقیم نگاه کنیم.

مثال.

در یک صفحه نسبت به سیستم مختصات مستطیلی Oxy، یک نقطه و یک خط مستقیم a داده شده است که با معادله کلی خط مستقیم شکل مطابقت دارد.

راه حل.

ما معادله خط مستقیم a را از شرط می دانیم، بنابراین می توانیم به مرحله دوم الگوریتم برویم.

معادله خط مستقیم b را بدست می آوریم که از نقطه M 1 می گذرد و بر خط مستقیم a عمود است. برای انجام این کار، به مختصات بردار جهت خط b نیاز داریم، از آنجایی که خط b عمود بر خط a است، پس بردار عادی خط a بردار جهت خط b است. بدیهی است که بردار معمولی خط یک بردار با مختصات است، بنابراین، بردار جهت خط b بردار است. اکنون می توانیم معادله متعارف خط b را بنویسیم، زیرا مختصات نقطه ای را که از آن عبور می کند و مختصات بردار جهت آن را می دانیم: .

باقی مانده است که مختصات نقطه تقاطع خطوط a و b را پیدا کنیم که مختصات مورد نظر طرح نقطه M 1 را روی خط a می دهد. برای این کار ابتدا از معادلات متعارف خط b به معادله کلی آن حرکت می کنیم: . حال بیایید از معادلات عمومی خطوط a و b یک سیستم معادلات بسازیم و پس از آن جواب آن را پیدا کنیم (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

بنابراین، طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مختصات دارد

پاسخ:

مثال.

سه نقطه در یک صفحه در سیستم مختصات مستطیلی Oxy داده شده است. مختصات طرح نقطه M 1 را روی خط AB بیابید.

راه حل.

برای یافتن مختصات طرح نقطه M 1 روی خط AB طبق الگوریتم به دست آمده عمل می کنیم.

بیایید معادله خط مستقیمی را که از دو نقطه داده شده می گذرد بنویسیم و:
.

حال می‌توانیم از معادله متعارف به‌دست‌آمده خط مستقیم AB به معادله کلی خط مستقیم AB برویم و حل را با قیاس با مثال قبلی ادامه دهیم. اما بیایید به روش دیگری برای یافتن معادله خط b که از نقطه M 1 عمود بر خط AB می گذرد نگاه کنیم.

از معادله متعارف خط مستقیم AB معادله خط مستقیم با شیب را به دست می آوریم: . ضریب زاویه ای خط مستقیم AB برابر است با و ضریب زاویه ای خط مستقیم b که بر خط مستقیم AB عمود است برابر است با (شرط عمود بودن خطوط مستقیم را ببینید). سپس معادله یک خط مستقیم b که از نقطه ای می گذرد و دارای ضریب زاویه ای است به شکل .

برای تعیین مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی خط مستقیم AB، باید سیستم معادلات را حل کنیم. :

پاسخ:

بیایید نگاهی جداگانه به یافتن مختصات طرح یک نقطه بر روی خطوط مختصات Ox و Oy و همچنین در خطوط موازی با آنها بیندازیم.

بدیهی است که طرح یک نقطه بر روی خط مختصات Ox که مطابق با یک معادله کلی ناقص خط فرم است، یک نقطه با مختصات است. به طور مشابه، طرح ریزی یک نقطه بر روی خط مختصات Oy دارای مختصاتی است.

هر خط مستقیم موازی با محور abscissa را می توان با یک معادله کلی ناقص شکل به دست داد ، و خط مستقیم موازی با محور مختصات معادله ای از فرم است . پیش بینی یک نقطه بر روی خطوط و نقاط با مختصات و، به ترتیب.

مثال.

پیش بینی های نقطه روی خط مختصات Oy و روی خط چه مختصاتی دارند.

راه حل.

طرح ریزی یک نقطه بر روی خط مستقیم Oy نقطه با مختصات است.

بیایید معادله خط را دوباره بنویسیم. اکنون به وضوح قابل مشاهده است که طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم دارای مختصاتی است.

پاسخ:

و .

مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط در فضای سه بعدی.

اکنون به سراغ یافتن مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم نسبت به سیستم مختصات مستطیلی Oxyz می رویم که در فضای سه بعدی معرفی شده است.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضا ثابت شود، یک نقطه ، خط مستقیم a و باید مختصات طرح نقطه M 1 را روی خط مستقیم a پیدا کنید.

بیایید این مشکل را حل کنیم.

بیایید صفحه ای بسازیم که از نقطه M 1 عمود بر خط a عبور کند. طرح نقطه M 1 بر روی خط a نقطه تلاقی خط a و صفحه است. بنابراین، ما دریافت می کنیم الگوریتمی که به شما امکان می دهد مختصات طرح ریزی یک نقطه را پیدا کنید به خط مستقیم a:

بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال.

در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz، یک نقطه و یک خط a داده می شود و خط a با معادلات متعارف خط در فضای شکل تعیین می شود. . مختصات طرح نقطه M 1 را روی خط مستقیم a بیابید.

راه حل.

برای تعیین مختصات طرح نقطه M 1 روی خط مستقیم a از الگوریتم حاصل استفاده می کنیم.

معادلات خط a بلافاصله از روی شرط برای ما شناخته می شوند، بنابراین اجازه دهید به مرحله دوم برویم.

معادله صفحه را به دست می آوریم که بر خط a عمود است و از نقطه عبور می کند. برای این کار باید مختصات بردار معمولی هواپیما را بدانیم. بیایید آنها را پیدا کنیم. از معادلات متعارف خط a مختصات بردار جهت این خط قابل مشاهده است: . بردار جهت خط a بردار نرمال صفحه است که بر خط a عمود است. به این معنا که، بردار معمولی هواپیما است. سپس معادله صفحه ای که از نقطه عبور می کند و بردار معمولی دارد ، دارای فرم است.

باقی مانده است که مختصات نقطه تقاطع خط مستقیم a و صفحه را پیدا کنیم - آنها مختصات مورد نظر طرح نقطه بر روی خط مستقیم a هستند. ما دو راه برای پیدا کردن آنها نشان خواهیم داد.

راه اول

از معادلات متعارف خط a معادلات دو صفحه متقاطع را بدست می آوریم که خط a را تعریف می کنند:

مختصات نقطه تقاطع خط و هواپیماها با حل سیستم بدست می آوریم معادلات خطینوع . اعمال کنید (اگر روش دیگری را برای حل سیستم های معادلات خطی ترجیح می دهید، از آن استفاده کنید):

بنابراین، نقطه دارای مختصات، طرح نقطه M 1 بر روی خط مستقیم a است.

راه دوم

دانستن معادلات متعارفخط مستقیم a، به راحتی می توان معادلات پارامتریک آن یک خط مستقیم را در فضا نوشت: . اجازه دهید صفحات شکل را در معادله جایگزین کنیم به جای x، y و z، آنها را از طریق یک پارامتر بیان کنید:

اکنون می توانیم مختصات مورد نیاز نقطه تقاطع خط مستقیم a و صفحه را با استفاده از معادلات پارامتری خط مستقیم a محاسبه کنیم:

1-12. طرح ریزی یک نقطه بر روی یک صفحه یا خط

فرمول بندی مشکل.مختصات طرح ریزی P" نقطه P(^PiURChzp) را روی صفحه Ax + By -\- Cz-\- D = O پیدا کنید،

طرح راه حل. طرح ریزی P" نقطه P بر روی صفحه، قاعده عمودی است که از نقطه P به این صفحه کاهش یافته است.

1. معادلات خط مستقیمی را که از نقطه P عمود بر صفحه داده شده عبور می کند، می سازیم. برای انجام این کار، بردار نرمال صفحه را به عنوان بردار هدایت کننده خط مستقیم می گیریم: a = n = = (A, B, C). سپس معادلات متعارف خط دارای فرم هستند

X = At-\- xp، y = Bt-\-yp، Z =z Ct-\- Zp.

3. با جایگزینی x^y^z در معادله صفحه و حل آن برای t، مقدار پارامتر t = را پیدا می کنیم که تقاطع خط و صفحه در آن رخ می دهد.

4. مقدار پیدا شده ^o را در معادلات پارامتری خط مستقیم قرار می دهیم و مختصات مورد نظر نقطه را بدست می آوریم. R".

اظهار نظر. مشکل یافتن مختصات طرح ریزی یک نقطه بر روی یک خط مستقیم نیز به روشی مشابه حل می شود.

مثال. مختصات طرح P " نقطه P (1،2، -1) را بر روی صفحه Зж - 2/4-22 پیدا کنید: - 4 = 0.

1. معادلات خط مستقیمی را که از نقطه P عمود بر صفحه داده شده عبور می کند، می سازیم. برای انجام این کار، بردار نرمال صفحه را به عنوان بردار هدایت کننده خط مستقیم می گیریم: a = n =

3. با جایگزین کردن این عبارات به جای x^y و z در معادله صفحه، مقدار پارامتر ^ را پیدا می کنیم که در آن تقاطع خط و صفحه رخ می دهد:

3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = О => به = 2.

4. با جایگزینی مقدار یافت شده به = 2 در معادلات پارامتری خط مستقیم، w0 = 7، yo = O، ^o = 1 به دست می آوریم.

بنابراین، نقطه تلاقی خط و صفحه و در نتیجه طرح نقطه P بر روی صفحه دارای مختصاتی است (7،0،1).

پاسخ. Projection P" دارای مختصات (7،0،1) است.

پاسخ ها. 1.(2.3/2.2). 2. (-3/2،-3/2،-1/2). 3. (2،-1/2،-3/2). 4. (-1/2،1،1). 5. (1،-1/2،-1/2). 6. (3/2،-1/2،0). 7. (1/2،-1،-1/2). 8. (1/2،-1/2،1/2). 9. (1/2،-1/2،1/2). 10. (1.1/2.0).

1.13. تقارن در مورد یک خط مستقیم یا صفحه

فرمول بندی مشکل.مختصات نقطه Q متقارن را بیابید

طرح راه حل. نقطه مورد نیاز Q روی خطی عمود بر نقطه داده شده قرار دارد و آن را در نقطه P قطع می کند. از آنجایی که نقطه P قطعه PQ را به نصف تقسیم می کند، مختصات خط آهن، ضربان و ZQ نقطه Q از شرایط تعیین می شود.

طرح P" آن بر روی یک خط داده شده است.

1. بیایید طرح نقطه را پیدا کنیم P به این خط مستقیم، یعنی. نقطه P "(مشکل 1.12 را ببینید). برای انجام این کار:

الف) برای صفحه ای که از نقطه P عمود بر خط داده شده می گذرد معادله ای ایجاد می کنیم. به عنوان بردار نرمال n این صفحه، می توانیم بردار جهت این خط مستقیم را بگیریم، یعنی. n = a = (l^m^n). ما گرفتیم

1(x - Xp) + t(y - UR) -f n(z - zp) = 0;

ب) مختصات نقطه تقاطع P این صفحه را با خط داده شده پیدا کنیم برای این کار معادلات خط را به صورت پارامتریک می نویسیم.

X = N-\- jo، y = mt-\-yo، Z = nt-\- ZQ.

با جایگزینی x^y^z به معادله صفحه و حل آن برای t، مقدار پارامتر t = را پیدا می کنیم که در آن تقاطع خط و صفحه رخ می دهد.

ج) مقدار پیدا شده to را جایگزین معادلات پارامتری خط مستقیم می کنیم و مختصات مورد نظر نقطه P را به دست می آوریم.

2. مختصات نقطه Q، متقارن با نقطه P نسبت به یک خط معین، از شرایط (1) تعیین می شود. ما گرفتیم

XQ = 2хр/ - Хр، yq = 2ur" - ur، ZQ = 22;р/ - zp.

اظهار نظر. مشکل یافتن مختصات یک نقطه متقارن با یک نقطه داده شده نسبت به یک صفحه به روشی مشابه حل می شود.

مثال. مختصات نقطه Q متقارن با نقطه P(2, -1,2) را نسبت به خط مستقیم پیدا کنید.

X - 1 _ y __ Z -\-1

راه حل.

1. بیایید طرح نقطه را پیدا کنیم P به این خط مستقیم، یعنی. نقطه P. برای انجام این کار:

الف) برای صفحه ای که از نقطه P عمود بر خط داده شده می گذرد معادله ای ایجاد می کنیم. به عنوان بردار نرمال n این صفحه، می توانیم بردار جهت این خط مستقیم را بگیریم: n = a = (1,0,-2). سپس

با جایگزینی این عبارات به جای x، y و z در معادله صفحه، مقدار پارامتر t را پیدا می کنیم که در آن تقاطع خط و صفحه رخ می دهد: to = -1;

ج) با جایگزینی مقدار یافت شده به = -1 در معادلات پارامتری خط مستقیم، به دست می آوریم

zhr/ = O، g/r/ = O، zpr = 1.

بنابراین، نقطه تلاقی خط و صفحه و در نتیجه طرح نقطه P بر روی خط P است (0،0،1).

2. مختصات نقطه Q، متقارن با نقطه P نسبت به یک خط معین، از شرایط (1) تعیین می شود:

XQ = 2xr" - Hr = -2،

VQ = 2ur/ - 2/r = 1،

ZQ = 2zpf - zp = 0.

پاسخ. نقطه Q دارای مختصات (-2،1،0) است.

شرایط وظایف. مختصات یک نقطه متقارن با نقطه P را نسبت به یک خط مستقیم مشخص پیدا کنید.