فرمول ها و قوانین منطق

در طول درس مقدماتی در مبانی منطق ریاضی، ما ملاقات کردیم مفاهیم اساسیاین شاخه از ریاضیات، و در حال حاضر موضوع در حال دریافت ادامه طبیعی است. علاوه بر مطالب جدید نظری، یا بهتر است بگوییم نه حتی تئوری - اما آموزشی عمومی، کارهای عملی در انتظار ما است، و بنابراین اگر از یک موتور جستجو به این صفحه آمدید و/یا به مطالب آشنایی ندارید، لطفا لینک بالا را دنبال کنید. و از مقاله قبلی شروع کنید. علاوه بر این، برای تمرین به 5 مورد نیاز خواهیم داشت جداول حقیقت عملیات منطقیکه من به شدت توصیه می شود با دست بازنویسی.

به یاد نداشته باشید، آن را چاپ نکنید، بلکه دوباره آن را درک کنید و با دست خود روی کاغذ بازنویسی کنید - به طوری که آنها در مقابل چشمان شما قرار گیرند:

– جدول NOT
- جدول I
- یا جدول؛
- جدول مفاهیم؛
- جدول معادل.

این خیلی مهمه. در اصل، شماره گذاری آنها راحت خواهد بود "جدول 1"، "جدول 2" و غیره، اما من بارها بر نقص این رویکرد تأکید کرده ام - همانطور که می گویند در یک منبع جدول اول خواهد بود و در منبع دیگر - صد و یکم. بنابراین، ما از نام های "طبیعی" استفاده خواهیم کرد. بیا ادامه بدهیم:

در واقع، شما از قبل با مفهوم فرمول منطقی آشنا هستید. من به شما یک استاندارد می دهم، اما کاملاً شوخ تعریف: فرمول هاجبرهای گزاره ای نامیده می شوند:

1) هرگونه اظهارات ابتدایی (ساده)؛

2) اگر و فرمول هستند، پس فرمول ها نیز عبارت های فرم هستند
.

هیچ فرمول دیگری وجود ندارد.

به طور خاص، فرمول هر عملیات منطقی است، مانند ضرب منطقی. به نکته دوم توجه کنید - اجازه می دهد بازگشتیراهی برای "ایجاد" یک فرمول خودسرانه طولانی. از آنجا که - فرمول ها، سپس - همچنین یک فرمول. از آنجا که و فرمول هستند، پس - همچنین یک فرمول و غیره هر جمله ابتدایی (باز هم طبق تعریف)می تواند بیش از یک بار در فرمول گنجانده شود.

فرمول نهبه عنوان مثال، یک نماد است - و در اینجا یک قیاس آشکار با "زباله جبری" وجود دارد، که از آن مشخص نیست که آیا اعداد باید اضافه شوند یا ضرب شوند.

فرمول منطقی را می توان چنین تصور کرد عملکرد منطقی. بیایید همان پیوند را به شکل تابعی بنویسیم:

گزاره های ابتدایی در این مورد نیز نقش آرگومان ها (متغیرهای مستقل) را بازی می کنند که در منطق کلاسیک می توانند 2 معنی به خود بگیرند: درست است، واقعییا دروغ. در زیر، برای راحتی، من گاهی اوقات عبارات ساده را می نامم متغیرها.

همانطور که قبلاً اعلام شد، جدولی که یک فرمول منطقی (تابع) را توصیف می کند، فراخوانی می شود. جدول درستی. لطفا - یک عکس آشنا:

اصل تشکیل جدول صدق به شرح زیر است: "در ورودی" باید لیست کنید تمام ترکیبات ممکنحقایق و دروغ‌ها، که می‌توانند گزاره‌های ابتدایی (استدلال‌ها) داشته باشند. در این مورد، فرمول شامل دو عبارت است و به راحتی می توان فهمید که چهار ترکیب از این قبیل وجود دارد. "در خروجی" مقادیر منطقی مربوط به کل فرمول (تابع) را دریافت می کنیم.

باید گفت که "خروج" در اینجا "در یک مرحله" بود، اما در حالت کلی فرمول منطقی پیچیده تر است. و در چنین "موارد دشوار" باید رعایت کنید ترتیب اجرای عملیات منطقی:

- نفی ابتدا انجام می شود.
- ثانیا - ربط؛
– سپس – تفکیک؛
- سپس دلالت؛
– و در نهایت هم ارزی کمترین اولویت را دارد.

بنابراین، برای مثال، ورودی به این معنی است که ابتدا باید ضرب منطقی و سپس جمع منطقی انجام دهید: . درست مانند جبر "معمولی" - "اول ضرب می کنیم و سپس جمع می کنیم."

ترتیب اقدامات را می توان به روش معمول تغییر داد - با براکت:
- در اینجا، اول از همه، تفکیک انجام می شود و تنها پس از آن یک عملیات "قوی تر" انجام می شود.

احتمالاً همه می فهمند، اما در هر صورت، آتش نشان: و این دو متفاوتفرمول ها! (چه به صورت رسمی و چه ماهوی)

بیایید یک جدول حقیقت برای فرمول ایجاد کنیم. این فرمول شامل دو عبارت ابتدایی است و "در ورودی" باید تمام ترکیب های ممکن از یک ها و صفرها را فهرست کنیم. برای جلوگیری از سردرگمی و مغایرت، ما موافقت خواهیم کرد که ترکیبات را فهرست کنیم دقیقا به همین ترتیب (که من در واقع از همان ابتدا از آن استفاده می کنم):

این فرمول شامل دو عملیات منطقی است که با توجه به اولویت آنها، ابتدا باید انجام دهید نفیبیانیه. خوب، بیایید ستون "pe" را رد کنیم - یک ها را به صفر و صفرها را به یک تبدیل می کنیم:

در مرحله دوم به ستون ها نگاه می کنیم و روی آنها اعمال می کنیم یا عملیات. با کمی نگاه کردن به آینده، می گویم که تفکیک جابجایی است (و همینطور هستند)، و بنابراین ستون ها را می توان به ترتیب معمول - از چپ به راست - تجزیه و تحلیل کرد. هنگام انجام جمع منطقی، استفاده از استدلال کاربردی زیر راحت است: "اگر دو صفر وجود داشته باشد، یک صفر قرار می دهیم، اگر حداقل یک صفر باشد، یک می گذاریم.":

جدول حقیقت ساخته شده است. حال بیایید مفهوم قدیمی خوب را به یاد بیاوریم:

... با دقت ، با دقت ... نگاهی به کل ستون ها .... در جبر گزاره ای به این فرمول ها گفته می شود معادلیا همسان:

(سه خط افقی نماد هویت هستند)

در قسمت 1 درس قول دادم که از طریق عملیات منطقی پایه دلالت را بیان کنم و تحقق وعده دیری نپایید! کسانی که مایلند می توانند معنای معناداری را در دلالت قرار دهند (به عنوان مثال، "اگر باران می بارد، بیرون مرطوب است")و به طور مستقل عبارت معادل را تجزیه و تحلیل کنید.

فرمول بندی کنیم تعریف کلی: دو فرمول نامیده می شوند معادل (یکسان)اگر قبول کنند همان مقادیربرای هر مجموعه ای از مقادیر موجود در این فرمول های متغیر (گزاره های ابتدایی). همچنین گفته می شود که "فرمول ها در صورتی معادل هستند که جداول صدق آنها منطبق باشد"، اما من این عبارت را خیلی دوست ندارم.

تمرین 1

یک جدول حقیقت برای فرمول ایجاد کنید و مطمئن شوید که هویتی که با آن آشنا هستید درست است.

اجازه دهید دستور حل مشکل را یک بار دیگر تکرار کنیم:

1) از آنجایی که فرمول شامل دو متغیر است، در مجموع 4 مجموعه صفر و یک وجود خواهد داشت. آنها را به ترتیب مشخص شده در بالا می نویسیم.

2) مفاهیم «ضعیف‌تر» از حروف ربط هستند، اما در پرانتز قرار می‌گیرند. ما ستون را پر می کنیم و استفاده از استدلال کاربردی زیر راحت است: "اگر یک صفر از یک دنبال شود، آنگاه ما صفر را قرار می دهیم، در همه موارد دیگر - یک". بعد، ستون را برای مفهوم پر می کنیم و در همان زمان، توجه- ستون ها باید "از راست به چپ" تجزیه و تحلیل شوند!

3) و در مرحله پایانی ستون پایانی را پر کنید. و در اینجا راحت است که به این شکل فکر کنید: "اگر دو واحد در ستون ها وجود داشته باشد، ما یک را قرار می دهیم، در همه موارد دیگر - صفر".

و در نهایت جدول حقیقت را بررسی می کنیم معادل سازی .

معادلات اساسی جبر گزاره ای

ما به تازگی با دو نفر از آنها آشنا شده ایم، اما موضوع البته محدود به آنها نیست. تعداد زیادی هویت وجود دارد که من مهمترین و مشهورترین آنها را ذکر می کنم:

جابجایی ربط و جابجایی منفصل

جابجایی- این قابل تعویض است:

قوانین آشنا از کلاس اول: "محصول (مجموع) با تنظیم مجدد عوامل (افزودن) تغییر نمی کند". اما علیرغم ماهیت ابتدایی ظاهری این ویژگی، همیشه درست نیست، به ویژه غیر قابل تعویض است. ضرب ماتریس (به طور کلی، آنها را نمی توان دوباره مرتب کرد)، آ حاصلضرب برداری بردارها- ضد جابجایی (بازآرایی بردارها مستلزم تغییر علامت است).

و علاوه بر این، در اینجا دوباره می خواهم بر فرمالیسم منطق ریاضی تأکید کنم. بنابراین، برای مثال، عبارات "دانش آموز امتحان را پس داد و نوشید"و "دانش آموز نوشید و امتحان داد"از نظر محتوایی متفاوت است، اما از دیدگاه حقیقت صوری قابل تشخیص نیست. ... هر کدام از ما چنین دانش آموزانی را می شناسیم و بنا به دلایل اخلاقی نام خاصی را بیان نمی کنیم =)

تداعی ضرب و جمع منطقی

یا، اگر "به سبک مدرسه" - یک ویژگی هماهنگ کننده:

خواص توزیعی

لطفاً توجه داشته باشید که در مورد دوم، صحبت در مورد "باز کردن پرانتز" نادرست خواهد بود؛ به یک معنا، این یک "تخیلی" است - پس از همه، آنها را می توان به طور کلی حذف کرد: ضرب یک عملیات قوی تر است.

و باز هم، این ویژگی های به ظاهر "پیش پا افتاده" به طور کلی برآورده نمی شوند سیستم های جبری، و علاوه بر این، نیاز به اثبات دارد (که به زودی در مورد آن صحبت خواهیم کرد). به هر حال، قانون توزیع دوم حتی در جبر "معمولی" ما معتبر نیست. و در واقع:

قانون عدم توانایی

لاتین چیکار کنم...

فقط چند اصل از یک روان سالم: "من و من من هستم"، "من یا من نیز من هستم" =)

و در اینجا چندین هویت مشابه وجود دارد:

...هوم، یه جورایی گیر کردم... پس ممکنه فردا با دکترا بیدار بشم =)

قانون نفی مضاعف

خوب، در اینجا یک مثال با زبان روسی خود را نشان می دهد - همه به خوبی می دانند که دو ذره "نه" به معنای "بله" است. و به منظور تقویت مفهوم عاطفی انکار، اغلب از سه "نه" استفاده می شود:
- حتی با یک مدرک کوچک هم کار کرد!

قوانین جذب

- "پسری بود؟" =)

در هویت درست، پرانتز را می توان حذف کرد.

قوانین دی مورگان

بیایید فرض کنیم که معلم سختگیر (اسمش رو هم میدونی :))امتحان می دهد اگر - دانش آموز به سوال اول پاسخ داد و – دانش آموز به سوال دوم پاسخ داد. سپس یک بیانیه که می گوید دانشجو نهامتحان را پشت سر گذاشت، معادل عبارت خواهد بود - دانشجو نهبه سوال 1 پاسخ داد یابه سوال دوم.

همانطور که در بالا ذکر شد، هم ارزی ها مشمول اثبات هستند که معمولاً با استفاده از جداول صدق انجام می شود. در واقع، ما قبلاً معادل‌های بیان‌کننده دلالت و معادل‌سازی را اثبات کرده‌ایم، و اکنون زمان آن است که تکنیک حل این مشکل را تجمیع کنیم.

بیایید هویت را ثابت کنیم. از آنجایی که شامل یک عبارت واحد است، تنها دو گزینه ممکن در ورودی وجود دارد: یک یا صفر. بعد، یک ستون واحد اختصاص می دهیم و به آنها اعمال می کنیم قانون من:

در نتیجه خروجی فرمولی است که صدق آن با صدق عبارت منطبق است. هم ارزی ثابت شده است.

بله، این اثبات ابتدایی است (و برخی می گویند "احمق")، اما یک معلم ریاضی معمولی روحش را برای او می لرزاند. بنابراین، با چنین چیزهای ساده ای نیز نباید با تحقیر برخورد کرد.

حال اجازه دهید برای مثال اعتبار قانون دو مورگان را بررسی کنیم.

ابتدا بیایید یک جدول حقیقت برای سمت چپ ایجاد کنیم. از آنجایی که تفکیک در پرانتز است، ابتدا آن را انجام می دهیم و پس از آن ستون را نفی می کنیم:

بعد، بیایید یک جدول حقیقت برای سمت راست ایجاد کنیم. در اینجا نیز همه چیز شفاف است - اول از همه، ما نفی های "قوی تر" را انجام می دهیم، سپس آنها را روی ستون ها اعمال می کنیم. قانون من:

نتایج منطبق بودند، بنابراین هویت ثابت شد.

هر معادلی را می توان در فرم نشان داد یکسان با فرمول واقعی. این به آن معنا است برای هر مجموعه اولیه صفر و یک«خروجی» کاملاً یکی است. و یک توضیح بسیار ساده برای این وجود دارد: از آنجایی که جداول صدق بر هم منطبق هستند، پس مسلماً آنها معادل هستند. اجازه دهید، برای مثال، سمت چپ و راست هویت تازه اثبات شده دو مورگان را با هم ارزی به هم وصل کنیم:

یا به طور فشرده تر:

وظیفه 2

معادل های زیر را ثابت کنید:

ب)

یک راه حل کوتاه در پایان درس. تنبل نباشیم! سعی کنید نه تنها جداول حقیقت ایجاد کنید، بلکه سعی کنید به وضوحنتیجه گیری را تدوین کنید همانطور که اخیراً اشاره کردم، غفلت از چیزهای ساده می تواند بسیار بسیار گران باشد!

در ادامه با قوانین منطق آشنا می شویم!

بله، کاملاً درست است - ما در حال حاضر سخت با آنها کار می کنیم:

درست است، واقعیدر ، تماس گرفت یکسان با فرمول واقعییا قانون منطق.

با توجه به انتقال توجیه شده قبلی از هم ارزی به یک فرمول یکسان درست، همه هویت های ذکر شده در بالا قوانین منطق را نشان می دهند.

فرمولی که ارزش دارد دروغدر هر مجموعه ای از مقادیر متغیرهای موجود در آن، تماس گرفت فرمول یکسان نادرستیا تناقض.

نمونه ای مشخص از یک تناقض از یونانیان باستان:
- هیچ گزاره ای نمی تواند همزمان درست و نادرست باشد.

اثبات بی اهمیت است:

"خروجی" فقط شامل صفر است، بنابراین فرمول واقعاً است یکسان نادرست.

با این حال، هر تناقضی نیز قانون منطق است، به ویژه:

پرداختن به چنین موضوع گسترده ای در یک مقاله غیرممکن است، و بنابراین من خود را به چند قانون دیگر محدود می کنم:

قانون وسط حذف شده

- در منطق کلاسیک، هر جمله ای درست یا نادرست است و گزینه سومی وجود ندارد. "بودن یا نبودن" - این سوال است.

خودتان یک علامت حقیقت بنویسید و مطمئن شوید که هست عینا درست استفرمول.

قانون تضاد

این قانون زمانی که ماهیت را مورد بحث قرار دادیم به طور فعال مورد بحث قرار گرفت شرط لازم، ما به یاد داریم: "اگر هوا هنگام بارندگی بیرون مرطوب باشد، پس از آن نتیجه می شود که اگر بیرون خشک است، قطعا باران نباریده است.".

از این قانون نیز بر می آید که اگر عادلانه باشد سر راست قضیه، سپس عبارتی که گاهی اوقات نامیده می شود مقابلقضیه

اگر درست باشد معکوسقضیه، پس به موجب قانون تضاد، قضیه نیز معتبر است، برعکس برعکس:

و دوباره به مثال های معنادار خود بازگردیم: برای بیانیه ها - عدد بر 4 بخش پذیر است، عدد بر 2 بخش پذیر استنمایشگاه سر راستو مقابلقضایا، اما نادرست معکوسو برعکس برعکسقضایا برای صورت بندی «بزرگسالان» قضیه فیثاغورث، هر 4 «جهت» درست است.

قانون قیاس

همچنین یک کلاسیک از این ژانر: "همه بلوط ها درخت هستند، همه درختان گیاه هستند، بنابراین همه بلوط ها گیاه هستند.".

خوب، در اینجا دوباره می خواهم به فرمالیسم منطق ریاضی توجه کنم: اگر معلم سخت گیر ما فکر می کند که دانش آموز خاصی یک درخت بلوط است، پس از دیدگاه رسمی این دانش آموز مطمئناً یک گیاه است =) ... اگرچه، اگر شما در مورد آن فکر کنید، پس شاید از دیدگاه غیر رسمی نیز = )

بیایید یک جدول حقیقت برای فرمول ایجاد کنیم. مطابق با اولویت عملیات منطقی، ما به الگوریتم زیر پایبند هستیم:

1) مفاهیم و . به طور کلی، شما می توانید بلافاصله مفهوم سوم را انجام دهید، اما راحت تر است (و قابل قبول!)کمی بعد آن را بفهمید؛

2) برای ستون ها اعمال شود قانون من;

3) اکنون اجرا می کنیم.

4) و در مرحله آخر مفهوم را به ستون ها اعمال می کنیم و .

با انگشت اشاره و وسط خود این روند را کنترل کنید :))


از ستون آخر، فکر می کنم همه چیز بدون اظهار نظر روشن است:
، چیزی بود که باید ثابت می شد.

وظیفه 3

دریابید که آیا فرمول زیر یک قانون منطق است یا خیر:

یک راه حل کوتاه در پایان درس. اوه، و من تقریباً فراموش کردم - بیایید موافقت کنیم که مجموعه های اصلی صفر و یک را دقیقاً به همان ترتیبی که هنگام اثبات قانون قیاس وجود دارد فهرست کنیم. البته، می توان خطوط را دوباره مرتب کرد، اما این مقایسه با راه حل من را بسیار دشوار می کند.

تبدیل فرمول های منطقی

علاوه بر هدف "منطقی" آنها، معادل ها به طور گسترده ای برای تبدیل و ساده سازی فرمول ها استفاده می شوند. به طور کلی، یک بخش از هویت را می توان با دیگری مبادله کرد. بنابراین، به عنوان مثال، اگر در یک فرمول منطقی به قطعه ای برخورد کردید، طبق قانون ناتوانی، به جای آن می توانید (و باید) به سادگی بنویسید. اگر می بینید، پس با توجه به قانون جذب، نماد را ساده کنید. و غیره.

علاوه بر این، یک چیز مهم دیگر وجود دارد: هویت ها نه تنها برای گزاره های ابتدایی، بلکه برای فرمول های دلخواه نیز معتبر هستند. مثلا:

، جایی که - هر (هر چقدر که دوست دارید پیچیده است)فرمول ها.

اجازه دهید، برای مثال، مفهوم پیچیده را تغییر دهیم (هویت اول):

در مرحله بعد، قانون "مختلط" دو مورگان را در براکت اعمال می کنیم و به دلیل اولویت عملیات، این قانون است که در آن :

پرانتز را می توان حذف کرد، زیرا در داخل یک پیوند "قوی تر" وجود دارد:

خوب، با جابجایی به طور کلی همه چیز ساده است - شما حتی نیازی به تعیین چیزی ندارید ... چیزی در مورد قانون قیاس در روح من فرو رفته است :))

بنابراین، قانون را می توان به شکل پیچیده تری بازنویسی کرد:

زنجیره منطقی «با بلوط، درخت، گیاه» را با صدای بلند بگویید و متوجه خواهید شد که با تنظیم مجدد مفاهیم، ​​معنای ماهوی قانون به هیچ وجه تغییر نکرده است. با این تفاوت که جمله بندی اصیل تر شده است.

به عنوان یک تمرین، بیایید فرمول را ساده کنیم.

از کجا شروع کنیم؟ اول از همه، ترتیب اعمال را درک کنید: در اینجا نفی به کل پرانتز اعمال می شود، که با یک ربط "کمی ضعیف تر" به عبارت "چسبیده شده است". اساساً ما محصول منطقی دو عامل را پیش روی خود داریم: . از بین دو عملیات باقیمانده، implication کمترین اولویت را دارد و بنابراین کل فرمول ساختار زیر را دارد: .

به طور معمول، اولین گام (های) خلاص شدن از برابری و دلالت است (اگر آنها هستند)و فرمول را به سه عملیات منطقی اصلی کاهش دهید. چه می توانم بگویم... منطقی.

(1) ما از هویت استفاده می کنیم . و در مورد ما.

این معمولا با "نمایش" با براکت دنبال می شود. ابتدا کل راه حل، سپس نظرات. برای جلوگیری از "کره و کره"، از نمادهای برابری "عادی" استفاده خواهم کرد:

(2) قانون دی مورگان را در براکت های بیرونی اعمال می کنیم، جایی که .

1.3.1. بیانیه
1.3.2. عملیات منطقی
1.3.3. ساخت جداول حقیقت برای بیان منطقی
1.3.4. ویژگی های عملیات منطقی
1.3.5. حل مشکلات منطقی
1.3.6. عناصر منطقی

1. مطالب ارائه شده برای پاراگراف موجود در پیوست الکترونیکی کتاب درسی را بخوانید. آیا ارائه مکمل اطلاعات مندرج در متن پاراگراف است؟

2. توضیح دهید که چرا جملات زیر گزاره نیستند.
1) این خانه چه رنگی است؟
2) عدد X از یک تجاوز نمی کند.
3) 4X+3.
4) از پنجره به بیرون نگاه کنید.
5) آب گوجه فرنگی بنوشید!
6) این موضوع خسته کننده است.
7) ریکی مارتین محبوب ترین خواننده است.
8) آیا به تئاتر رفته اید؟

3. یک مثال از گزاره های درست و نادرست را از زیست شناسی، جغرافیا، علوم کامپیوتر، تاریخ، ریاضیات، ادبیات بیاورید.

4. در عبارات زیر عبارات ساده را برجسته کنید و هر یک از آنها را با یک حرف مشخص کنید. هر عبارت مرکب را با استفاده از حروف و علائم عملیات منطقی بنویسید.
1) عدد 376 زوج و سه رقمی است.
2) در زمستان، کودکان به اسکیت روی یخ یا اسکی می روند.
3) سال نوما در ویلا یا در میدان سرخ ملاقات خواهیم کرد.
4) اینکه خورشید به دور زمین حرکت می کند درست نیست.
5) زمین به شکل یک توپ است که از فضا آبی به نظر می رسد.
6) در خلال درس ریاضی، دانش‌آموزان دبیرستانی به سؤالات معلم پاسخ دادند و کار مستقلی نیز نوشتند.

5. نفی عبارات زیر را بسازید.

6. اجازه دهید A = "آنیا درس های ریاضی را دوست دارد" و B = "آنیا درس های شیمی را دوست دارد." فرمول های زیر را به زبان معمولی بیان کنید:

7. بخش معینی از اینترنت از 1000 سایت تشکیل شده است. سرور جستجو به طور خودکار جدولی از کلمات کلیدی را برای سایت های این بخش جمع آوری کرد. این قطعه آن است:

8. جداول صدق را برای عبارات منطقی زیر بسازید:

9. با استفاده از جداول صدق، اثبات قوانین منطقی مورد بحث در پاراگراف را ارائه دهید.

10. سه عدد در سیستم اعداد اعشاری آورده شده است: A=23، B=19، C=26. A، B و C را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید و عملیات منطقی بیتی (A v B) و C را انجام دهید. پاسخ را در سیستم اعداد اعشاری بدهید.

11. معانی عبارات را بیابید:

12. مقدار عبارت منطقی (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. اجازه دهید A = "حرف اول نام صدادار است"، B = "حرف چهارم نام یک صامت است." مقدار عبارت منطقی A v B را برای نام های زیر بیابید:
1) ELENA 2) VADIM 3) ANTON 4) FEDOR
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. پرونده جان، براون و اسمیت در حال بررسی است. معلوم است که یکی از آنها گنج را پیدا کرده و پنهان کرده است. در جریان تحقیقات، هر یک از مظنونان دو اظهار نظر کردند:
اسمیت: «من این کار را نکردم. براون این کار را کرد."
جان: براون مقصر نیست. اسمیت این کار را کرد."
براون: «من این کار را نکردم. جان این کار را نکرد."
دادگاه متوجه شد که یکی از آنها دو بار دروغ گفته، دیگری دو بار راست گفته، سومی یک بار دروغ گفته و یک بار راست گفته است. کدام مظنون باید تبرئه شود؟
پاسخ: اسمیت و جان.

15. آلیوشا، بوریا و گریشا یک ظرف قدیمی در زمین پیدا کردند. با بررسی این یافته شگفت انگیز، هر کدام دو فرض را مطرح کردند:
1) آلیوشا: "این ظرف یونانی است و در قرن پنجم ساخته شده است."
2) بوریا: "این ظرف فنیقی است و در قرن سوم ساخته شده است."
3) گریشا: این ظرف یونانی نیست و در قرن چهارم ساخته شده است.
معلم تاریخ به بچه ها گفت که هر کدام از آنها فقط در یکی از دو فرض درست می گویند. کشتی در کجا و در چه قرنی ساخته شد؟
پاسخ: ظرف فنیقی ساخته شده در قرن پنجم.

16. دریابید که برای هر مجموعه سیگنال ممکن در ورودی ها چه سیگنالی باید در خروجی مدار الکترونیکی باشد. جدولی از نحوه کار مدار تهیه کنید. کدام عبارت منطقی مدار را توصیف می کند؟

کلید واژه ها:

• جبر منطق
• بیانیه
• عملیات منطقی
• پیوستگی
• تفکیک
• نفی
• بیان منطقی
• جدول درستی
• قوانین منطق

1.3.1. بیانیه

جبر در معنای وسیع کلمه، علم عملیات کلی، شبیه به جمع و ضرب است که می تواند بر روی انواع مختلفی از اشیاء ریاضی انجام شود. شما بسیاری از اشیاء ریاضی (اعداد صحیح و گویا، چند جمله ای ها، بردارها، مجموعه ها) را در یک دوره جبر مدرسه مطالعه می کنید، جایی که با شاخه هایی از ریاضیات مانند جبر اعداد، جبر چند جمله ای ها، جبر مجموعه ها و غیره آشنا می شوید.

برای علوم کامپیوتر، شاخه ای از ریاضیات به نام جبر منطقی مهم است. موضوعات جبر منطق گزاره ها هستند.

به عنوان مثال، در مورد جملات "دانشمند بزرگ روسی M.V. Lomonosov در سال 1711 به دنیا آمد" و "دو به اضافه شش برابر است با هشت" به طور قطع می توان گفت که آنها درست هستند. جمله "گنجشک ها در زمستان به خواب زمستانی می روند" نادرست است. بنابراین این جملات بیانیه هستند.

به عنوان مثال، جمله «این جمله نادرست است» یک گزاره نیست زیرا بدون به دست آوردن تناقض نمی توان گفت که درست یا نادرست است. در واقع، اگر بپذیریم که جمله صادق است، این با آنچه گفته شد منافات دارد. اگر بپذیریم که جمله نادرست است، نتیجه آن درست است.

در مورد جمله "گرافیک کامپیوتری جالب ترین مبحث درس علوم کامپیوتر مدارس" نیز نمی توان به طور صریح گفت که آیا درست است یا نادرست. خودت فکر کن چرا

به عنوان مثال، جملاتی مانند: «تکلیف خود را بنویسید»، «چگونه به کتابخانه برسیم؟»، «چه کسی پیش ما آمده است؟» عبارت نیستند. "

نمونه هایی از گزاره ها می تواند باشد:

1. "Na فلز است" (گزاره درست)؛
2. "قانون دوم نیوتن با فرمول F=m a بیان می شود" (گزاره درست).
3. "محیط مستطیل با طول ضلع a u b برابر با b است" (گزاره نادرست).

عبارات عددی گزاره نیستند، اما از دو عبارت عددی می‌توانید با اتصال آنها با علامت‌های مساوی یا نامساوی، یک جمله بسازید. مثلا:

1. "34-5 = 2 4" (گزاره درست)؛
2. «II4-VI > VIII» (گزاره نادرست).

برابری ها و نابرابری های حاوی متغیرها نیز گزاره نیستند. به عنوان مثال، جمله "X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

توجیه درستی یا نادرستی گزاره ها بر اساس علومی است که آنها به آن تعلق دارند. جبر منطق از محتوای معنایی گزاره ها انتزاع می شود. او فقط به درستی یا نادرستی یک جمله داده شده علاقه دارد. در جبر منطقی، گزاره ها با حروف مشخص می شوند و متغیرهای منطقی نامیده می شوند. علاوه بر این، اگر عبارت درست باشد، مقدار متغیر منطقی مربوطه با یک (A = 1) و اگر نادرست باشد - با صفر (B = 0) نشان داده می شود. 0 و 1 که مقادیر متغیرهای بولی را نشان می دهند، مقادیر بولی نامیده می شوند.

جبر منطق با کار کردن با متغیرهای منطقی، که فقط می تواند برابر با 0 یا 1 باشد، به شما امکان می دهد پردازش اطلاعات را به عملیات با داده های باینری کاهش دهید. این دستگاه جبر منطقی است که اساس را تشکیل می دهد دستگاه های کامپیوتریذخیره سازی و پردازش اطلاعات در بسیاری از زمینه های دیگر علوم کامپیوتر با عناصر جبر منطقی مواجه خواهید شد.

1.3.2. عملیات منطقی

عبارات می توانند ساده یا پیچیده باشند. یک دستور ساده نامیده می شود اگر هیچ بخشی از آن خود یک دستور نباشد. عبارات پیچیده ( مرکب ) از حالت های ساده با استفاده از عملیات منطقی ساخته می شوند.

بیایید عملیات منطقی اساسی تعریف شده بر روی عبارات را در نظر بگیریم. همه آنها با اتصالات مورد استفاده در زبان طبیعی مطابقت دارند.

پیوستگی

دو عبارت را در نظر بگیرید: الف = "بنیانگذار جبر منطق جورج بول است"، ب = "تحقیق کلود شانون امکان اعمال جبر منطق را در فناوری رایانه" بدیهی است که گزاره جدید «بنیانگذار جبر منطق جورج بول است و تحقیقات کلود شانون امکان اعمال جبر منطق را در فناوری رایانه فراهم کرد» تنها در صورتی درست است که هر دو گزاره اصلی همزمان درست باشند.

برای نوشتن یک حرف ربط از علائم زیر استفاده می شود: , , И, &. به عنوان مثال: A B، A B، A AND B، A&B.

پیوند را می توان به صورت جدولی توصیف کرد که به آن جدول صدق می گویند:

جدول صدق تمام مقادیر ممکن عبارات اصلی (ستون های A و B) را فهرست می کند و اعداد باینری مربوطه معمولاً به ترتیب صعودی مرتب می شوند: 00، 01، 10، 11. آخرین ستون نتیجه عملیات منطقی را ثبت می کند. برای عملوندهای مربوطه

در غیر این صورت، پیوند را ضرب منطقی می گویند. به این فکر کنید که چرا.

تفکیک

دو جمله را در نظر بگیرید: A = "ایده استفاده از نمادهای ریاضی در منطق متعلق به گوتفرید ویلهلم لایب نیتس است"، B = "لایب نیتس بنیانگذار حساب دودویی است." بدیهی است که گزاره جدید "ایده استفاده از نمادگرایی ریاضی در منطق متعلق به گوتفرید ویلهلم لایبنیتس یا لایبنیتس بنیانگذار حساب باینری است" تنها در صورتی نادرست است که هر دو گزاره اصلی همزمان نادرست باشند.

به طور مستقل درستی یا نادرستی سه گزاره در نظر گرفته شده را تعیین کنید.

برای نوشتن یک تفکیک از علائم زیر استفاده می شود: v، |، OR، +. به عنوان مثال: AvB، A|B، A OR B، A+B.

تفکیک با جدول صدق زیر تعریف می شود:

در غیر این صورت، تفکیک جمع منطقی نامیده می شود. به این فکر کنید که چرا.

وارونگی

برای نوشتن وارونگی از علائم زیر استفاده می شود: NOT، ¬، ‾. به عنوان مثال: NOT، ¬، ‾.

وارونگی با جدول حقیقت زیر تعیین می شود:

وارونگی در غیر این صورت نفی منطقی نامیده می شود.

نفی عبارت "من در خانه کامپیوتر دارم" عبارت "این درست نیست که من در خانه کامپیوتر دارم" یا که در زبان روسی هم همینطور است، "من در خانه کامپیوتر ندارم" خواهد بود. نفی عبارت "من چینی بلد نیستم" عبارت "این درست نیست که من چینی بلد نیستم" یا، که در روسی هم همین است، "من چینی می دانم" خواهد بود. نفی عبارت «همه پسران پایه نهم دانش آموز ممتاز هستند» عبارت است از «اینکه همه پسران پایه نهم دانش آموزان ممتاز هستند درست نیست» به عبارت دیگر «همه پسران پایه نهم ممتاز نیستند». دانش آموزان."

بنابراین، هنگام ساختن نفی به یک جمله ساده، یا از عبارت «درست نیست که...» استفاده می شود، یا نفی به یک محمول ساخته می شود، سپس ذره «نه» به فعل مربوطه اضافه می شود.

هر عبارت پیچیده ای را می توان به عنوان یک عبارت منطقی نوشت - عبارتی حاوی متغیرهای منطقی، علائم عملگر منطقی و پرانتز. عملیات منطقی در یک عبارت منطقی به ترتیب زیر انجام می شود: وارونگی، ربط، تفکیک. می توانید ترتیب عملیات را با استفاده از پرانتز تغییر دهید.

مثال 1. اجازه دهید A = "کلمه "کروز" در صفحه وب ظاهر شود، B = "کلمه "نبرد کشتی" در صفحه وب ظاهر شود." ما بخش خاصی از اینترنت را شامل 5000000 صفحه وب در نظر می گیریم. در آن عبارت A برای 4800 صفحه، عبارت B برای 4500 صفحه و عبارت A v B برای 7000 صفحه صادق است. در این مورد عبارات و عبارات زیر برای چند صفحه وب صادق خواهد بود؟

الف) نه (A OR B)؛

ج) کلمه "cruiser" در صفحه وب ظاهر می شود، اما کلمه "Battleship" ظاهر نمی شود.

راه حل. اجازه دهید مجموعه تمام صفحات وب بخش اینترنت در نظر گرفته شده را به صورت دایره ای ترسیم کنیم که در داخل آن دو دایره قرار می دهیم: یکی از آنها با مجموعه صفحات وب که در آن عبارت A درست است، دومی - جایی که عبارت B است مطابقت دارد. درست است (شکل 1.3).

برنج. 1.3.
نمایش گرافیکی چندین صفحه وب

بیایید مجموعه صفحات وب را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم که عبارات و عبارات a) - c) برای آنها درست است (شکل 1.4)

برنج. 1.4.
نمایش گرافیکی مجموعه ای از صفحات وب که عبارات و عبارات a) - c) برای آنها درست است

نمودارهای ساخته شده به ما کمک می کند تا به سؤالات موجود در کار پاسخ دهیم.

عبارت A OR B برای 7000 صفحه وب صادق است و در کل 5000000 صفحه وجود دارد بنابراین عبارت A OR B برای 4993000 صفحه وب نادرست است. به عبارت دیگر، برای 4،993،000 صفحه وب، عبارت NOT (A OR B) درست است.

عبارت A v B برای آن دسته از صفحات وب که در آنها A (4800) درست است، و همچنین برای آن دسته از صفحات وب که B (4500) درست است، صادق است. اگر همه صفحات وب متفاوت بودند، عبارت A v B برای 9300 (4800 + 4500) صفحه وب صادق است. اما با توجه به شرایط، تنها 7000 صفحه وب وجود دارد که به این معنی است که در 2300 (9300 - 7000) صفحه وب هر دو کلمه به طور همزمان ظاهر می شوند. بنابراین، عبارت A & B برای 2300 صفحه وب صادق است.

برای اینکه بفهمید عبارت A در چند صفحه وب درست است و در عین حال عبارت B نادرست است، 2300 را از 4800 کم کنید. بنابراین، عبارت "کلمه رزمناو" در صفحه وب ظاهر می شود و کلمه "نبرد کشتی" وجود ندارد. ظاهر می شود» در 2500 صفحه وب درست است.

عبارت منطقی مربوط به عبارت در نظر گرفته شده را بنویسید.

وب سایت مرکز فدرال اطلاعات و منابع آموزشی (http://fcoir.edu.ru/) حاوی ماژول اطلاعاتی "بیانیه. جملات ساده و پیچیده عملیات منطقی پایه». آشنایی با این منبع به شما این امکان را می دهد که درک خود را از موضوعی که مطالعه می کنید گسترش دهید.

1.3.3. ساخت جداول صدق برای عبارات منطقی

برای یک عبارت منطقی، می‌توانید یک جدول صدق بسازید که نشان می‌دهد این عبارت برای همه مجموعه‌ای از مقادیر متغیرهای موجود در آن چه مقادیری را می‌گیرد. برای ایجاد جدول حقیقت باید:

1. count n - تعداد متغیرها در عبارت.
2. تعداد کل عملیات منطقی در یک عبارت را بشمارید.
3. توالی عملیات منطقی را با در نظر گرفتن پرانتزها و اولویت ها ایجاد کنید.
4. تعیین تعداد ستون ها در جدول: تعداد متغیرها + تعداد عملیات.
5. هدر جدول را شامل متغیرها و عملیات مطابق با ترتیب تعیین شده در بند 3 پر کنید.
6. تعیین تعداد ردیف های جدول (بدون احتساب سرفصل جدول) m = 2n.
7. مجموعه ای از متغیرهای ورودی را بنویسید، با در نظر گرفتن این واقعیت که آنها یک سری کامل از اعداد باینری n بیتی را از 0 تا 2 n - 1 نشان می دهند.
8. جدول را ستون به ستون پر کنید و عملیات منطقی را مطابق با دنباله تعیین شده انجام دهید.

بیایید یک جدول صدق برای عبارت منطقی A v A & B بسازیم. این جدول شامل دو متغیر، دو عملیات است و ابتدا ربط و سپس تفکیک انجام می شود. جدول در مجموع دارای چهار ستون خواهد بود:

مجموعه‌ای از متغیرهای ورودی اعداد صحیح از O تا 3 هستند که در کد دو رقمی دو رقمی ارائه شده‌اند: 00، 01، 10، 11. جدول صدق کامل شده به نظر می‌رسد:

توجه داشته باشید که آخرین ستون (نتیجه) همان ستون A است در این حالت عبارت منطقی A v A & B معادل عبارت منطقی A گفته می شود.

1.3.4. ویژگی های عملیات منطقی

بیایید ویژگی های اساسی (قوانین) جبر منطق را در نظر بگیریم.

قوانین جبر منطقی را می توان با استفاده از جداول صدق اثبات کرد.

اجازه دهید قانون توزیع را برای جمع منطقی اثبات کنیم:

A v (B & C) = (A V B) & (A v C).

انطباق ستون های مربوط به عبارات منطقی در سمت چپ و راست برابری، اعتبار قانون توزیع را برای جمع منطقی ثابت می کند.

مثال 2. بیایید ارزش یک عبارت منطقی را پیدا کنیم برای عدد X = 0.

راه حل. وقتی X = 0 عبارت منطقی زیر را به دست می آوریم: . از آنجایی که عبارات منطقی 0 هستند< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. حل مسائل منطقی

بیایید به چندین روش برای حل مشکلات منطقی نگاه کنیم.

مشکل 1. کولیا، واسیا و سریوژا در تابستان به دیدار مادربزرگ خود می رفتند. یک روز یکی از پسرها به طور تصادفی گلدان مورد علاقه مادربزرگش را شکست. هنگامی که از آنها پرسیده شد که چه کسی گلدان را شکست، آنها پاسخ های زیر را دادند:

Seryozha: 1) من آن را نشکنم. 2) واسیا آن را نشکست.

واسیا: 3) سریوژا آن را نشکست. 4) کولیا گلدان را شکست.

کولیا: 5) من آن را نشکستم. 6) سریوژا گلدان را شکست.

مادربزرگ می‌دانست که یکی از نوه‌هایش هر دو بار راست گفته است. دومی، بیایید او را جوکر بنامیم، هر دو بار دروغ گفت. سوم، بیایید او را یک حیله گر بنامیم، یک بار حقیقت را گفت و بار دیگر - دروغ. راستگو، شوخی و حیله گر را نام ببرید. کدام نوه گلدان را شکست؟

راه حل.بگذارید K = "Kolya یک گلدان را شکست"، B = "Vasya یک گلدان را شکست، C = "Seryozha یک گلدان را شکست". بیایید یک جدول حقیقت ایجاد کنیم که با آن اظهارات هر پسر 1 را ارائه کنیم.

1 با در نظر گرفتن این واقعیت که گلدان توسط یک نوه شکسته شده است، می توان نه کل جدول، بلکه فقط قطعه آن را که شامل مجموعه های زیر از متغیرهای ورودی است ایجاد کرد: 001، 010، 100.

بر اساس اطلاعاتی که مادربزرگ در مورد نوه‌هایش می‌داند، باید به دنبال ردیف‌هایی در جدول بگردید که به ترتیب شامل سه ترکیب از مقادیر هستند: 00، 11، 01 (یا 10). دو ردیف از این قبیل در جدول وجود دارد (آنها با علامت های چک مشخص شده اند). به گفته دومی آنها، گلدان توسط کولیا و واسیا شکسته شده است که با این شرط مغایرت دارد. طبق اولین سطر پیدا شده، سریوژا گلدان را شکست و معلوم شد که او حیله گر است. معلوم شد که واسیا جوکر است. نام نوه راستگو کولیا است.

مشکل 2. آلا، ولیا، سیما و داشا در مسابقات ژیمناستیک شرکت می کنند. طرفداران پیشنهاداتی در مورد برندگان احتمالی ارائه کردند:

1. سیما اول می شود ولیا دوم می شود.
2. سیما دوم، داشا سوم می شود.
3. آلا دوم، داشا چهارم خواهد شد.

در پایان مسابقه مشخص شد که در هر یک از مفروضات فقط یکی از گزاره ها درست است و دیگری نادرست است. اگر هر کدام از دختران در مکان‌های مختلف قرار گرفتند، چه جایگاهی در مسابقه گرفتند؟

راه حل. بیایید به چند جمله ساده نگاه کنیم:

ج 1 = «سیما مقام اول را کسب کرد»؛

B 2 = "والیا مقام دوم را کسب کرد"؛

ج 2 = «سیما مقام دوم را کسب کرد»؛

D 3 = "داشا مقام سوم را کسب کرد"؛

A 2 = "Alla مقام دوم را کسب کرد";

D 4 = "داشا مقام چهارم را کسب کرد."

از آنجایی که در هر یک از سه فرض، یکی از گزاره ها درست و دیگری نادرست است، می توان به این نتیجه رسید:

1. C 1 + B 2 = 1، C 1 B 2 = 0;
2. C 2 + D 3 = 1، C 2 D 3 = 0;
3. A 2 + D 4 = 1، A 2 D 4 = 0.

محصول منطقی عبارات درست درست خواهد بود:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

بر اساس قانون توزیع، سمت چپ این عبارت را تبدیل می کنیم:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

عبارت C 1 C 2 یعنی سیما هر دو مقام اول و دوم را به دست آورده است. با توجه به شرایط مشکل، این گفته نادرست است. جمله B 2 C 2 نیز نادرست است. با در نظر گرفتن قانون عملیات با ثابت 0، می نویسیم:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

دگرگونی بیشتر سمت چپ این برابری و حذف عبارات آشکارا نادرست به دست می‌دهد:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

از آخرین تساوی نتیجه می شود که C 1 = 1، D 3 = 1، A 2 = 1. این بدان معنی است که سیما مقام اول را به خود اختصاص داد، اللا دوم شد، داشا سوم شد. در نتیجه، ولیا مقام چهارم را به خود اختصاص داد.

می توانید با روش های دیگر حل مسائل منطقی آشنا شوید و همچنین در المپیادهای اینترنتی و مسابقات حل آنها در وب سایت "ریاضیات برای دانش آموزان" (http://www.kenqyry.com/) شرکت کنید.

در وب سایت http://www.kaser.com/ می توانید نسخه آزمایشی یک پازل منطقی بسیار مفید شرلوک را دانلود کنید که مهارت های منطقی و استدلالی را توسعه می دهد.

1.3.6. عناصر منطقی

جبر منطق شاخه ای از ریاضیات است که نقش مهمی در طراحی دارد دستگاه های اتوماتیک، توسعه سخت افزار و نرم افزار فناوری اطلاعات و ارتباطات.

شما قبلاً می دانید که هر اطلاعاتی را می توان به شکل مجزا - به عنوان مجموعه ای ثابت از مقادیر فردی - نشان داد. دستگاه هایی که چنین مقادیری (سیگنال ها) را پردازش می کنند گسسته نامیده می شوند. مبدل گسسته ای که پس از پردازش سیگنال های باینری، مقدار یکی از عملیات منطقی را تولید می کند، عنصر منطقی نامیده می شود.

در شکل 1.5 داده شده است نمادها(مدار) عناصر منطقی که ضرب منطقی، جمع منطقی و وارونگی را پیاده سازی می کنند.

شکل 1.5.
عناصر منطقی

عنصر منطقی AND (پیوند دهنده) عملیات ضرب منطقی را اجرا می کند (شکل 1.5، a). یک واحد در خروجی این عنصر تنها زمانی ظاهر می شود که در همه ورودی ها واحد وجود داشته باشد.

عنصر منطقی OR (جداکننده) عملیات جمع منطقی را اجرا می کند (شکل 1.5، b). اگر حداقل یک ورودی یکی باشد، خروجی عنصر نیز یک خواهد بود.

عنصر منطقی NOT (اینورتر) عملیات نفی را اجرا می کند (شکل 1.5، ج). اگر ورودی عنصر O باشد، خروجی 1 است و بالعکس.

دستگاه های رایانه ای که عملیات را روی اعداد باینری انجام می دهند و سلول هایی که داده ها را ذخیره می کنند، مدارهای الکترونیکی متشکل از عناصر منطقی منفرد هستند. این مسائل در درس علوم کامپیوتر پایه های 10-11 با جزئیات بیشتری پوشش داده خواهد شد.

مثال 3. بیایید مدار الکترونیکی را تجزیه و تحلیل کنیم، یعنی دریابیم که برای هر مجموعه سیگنال ممکن در ورودی ها چه سیگنالی باید در خروجی باشد.

راه حل. ما تمام ترکیب های ممکن سیگنال ها را در ورودی های A تا B وارد جدول حقیقت خواهیم کرد. بیایید تبدیل هر جفت سیگنال را هنگام عبور از عناصر منطقی ردیابی کنیم و نتیجه را در جدول بنویسیم. جدول حقیقت تکمیل شده مدار الکترونیکی مورد بررسی را به طور کامل توصیف می کند.

یک جدول حقیقت نیز می تواند با استفاده از یک عبارت منطقی مربوط به یک مدار الکترونیکی ساخته شود. آخرین عنصر منطقی در مدار مورد بررسی، ربط است. سیگنال ها را از ورودی L و از اینورتر دریافت می کند. به نوبه خود، اینورتر سیگنالی را از ورودی B دریافت می کند.

درک کامل تری از عناصر منطقی و مدارهای الکترونیکیکار با شبیه ساز منطق به شما کمک می کند (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm).

مهم ترین

گفتار جمله ای به هر زبانی است که می توان محتوای آن را صریح یا نادرست تشخیص داد.

عملیات منطقی پایه تعریف شده بر روی گزاره ها: وارونگی، ربط، تفکیک.

جداول حقیقت برای عملیات منطقی پایه:

هنگام ارزیابی عبارات بولی، ابتدا مراحل داخل پرانتز انجام می شود. اولویت اجرای عملیات منطقی:

سوالات و وظایف

درس علوم کامپیوتر برای دانش آموزان پایه دهم طراحی شده است مدرسه راهنماییکه برنامه درسی آن شامل بخش «جبر منطق» است. این موضوع برای دانش آموزان بسیار دشوار است، بنابراین من به عنوان یک معلم می خواستم آنها را به مطالعه قوانین منطق، ساده سازی عبارات منطقی و نزدیک شدن به حل مسائل منطقی با علاقه علاقه مند کنم. در شکل معمول، دادن درس در این موضوع خسته کننده و دردسرساز است و برخی از تعاریف همیشه برای بچه ها واضح نیست. در ارتباط با فراهم کردن فضای اطلاعاتی، من این فرصت را داشتم که دروس خود را در پوسته "یادگیری" پست کنم. دانش آموزان با ثبت نام در آن می توانند در اوقات فراغت خود در این دوره شرکت کنند و مطالبی را که در کلاس مشخص نشده است دوباره مطالعه کنند. برخی از دانش‌آموزان که به دلیل بیماری دروس را از دست داده‌اند، در خانه یا مدرسه درس‌های از دست رفته را جبران می‌کنند و همیشه برای درس بعدی آماده هستند. این شکل از آموزش برای بسیاری از کودکان بسیار مناسب است و قوانینی که برای آنها غیرقابل درک بود اکنون به صورت رایانه ای بسیار آسان تر و سریع تر یاد می گیرند. من یکی از این درس های علوم کامپیوتر را ارائه می دهم که به صورت یکپارچه با فناوری اطلاعات و ارتباطات برگزار می شود.

طرح درس

1. توضیح مطالب جدید با استفاده از کامپیوتر – 25 دقیقه.
2. مفاهیم و تعاریف اولیه ارسال شده در "یادگیری" - 10 دقیقه.
3. مواد برای افراد کنجکاو - 5 دقیقه.
4. مشق شب- 5 دقیقه.

1. توضیح مطالب جدید

قوانین منطق رسمی

ساده ترین و ضروری ترین پیوندهای واقعی بین افکار در قوانین اساسی منطق رسمی بیان می شود. اینها قوانین هویت، عدم تناقض، استثناء میانه، دلیل کافی است.

این قوانین اساسی هستند زیرا در منطق نقش مهمی را ایفا می کنند و کلی ترین هستند. آنها به شما اجازه می دهند عبارات منطقی را ساده کنید و نتیجه گیری و اثبات کنید. سه قانون اول از قوانین فوق توسط ارسطو شناسایی و فرموله شد و قانون دلیل کافی توسط G. Leibniz.

قانون هویت: در فرآیند استدلال معین، هر مفهوم و قضاوتی باید با خودش یکسان باشد.

قانون عدم تناقض: محال است که یک چشم در یک زمان ذاتی یک چیز باشد و نباشد. یعنی تایید و انکار همزمان چیزی غیر ممکن است.

قانون وسط منتفی: از دو گزاره متضاد، یکی صادق و دیگری نادرست و سومی داده نشده است.

قانون دلیل کافی: هر فکر واقعی باید به اندازه کافی توجیه شود.

آخرین قانون می گوید که اثبات چیزی مستلزم اثبات دقیق و فقط افکار واقعی است. افکار نادرست قابل اثبات نیست. یک ضرب المثل لاتین خوب وجود دارد: "اشتباه کردن برای همه افراد عادی است، اما اصرار بر اشتباه فقط برای یک احمق رایج است." هیچ فرمولی برای این قانون وجود ندارد، زیرا فقط ماهیت ماهوی دارد. قضاوت های واقعی، مطالب واقعی، داده های آماری، قوانین علم، بدیهیات، قضایای اثبات شده می توانند به عنوان استدلال هایی برای تأیید یک فکر واقعی استفاده شوند.

قوانین جبر گزاره ای

جبر گزاره ای (جبر منطق) بخشی از منطق ریاضی است که به مطالعه عملیات منطقی روی گزاره ها و قوانین تبدیل جملات پیچیده می پردازد.

هنگام حل بسیاری از مسائل منطقی، اغلب لازم است فرمول های به دست آمده از طریق رسمی کردن شرایط آنها ساده شود. ساده سازی فرمول ها در جبر گزاره ای بر اساس تبدیل های معادل بر اساس قوانین منطقی اساسی انجام می شود.

قوانین جبر گزاره ای (جبر منطق) توتولوژی هستند.

گاهی به این قوانین قضیه می گویند.

در جبر گزاره ای، قوانین منطقی به صورت برابری فرمول های معادل بیان می شوند. در بین قوانین، آنهایی که دارای یک متغیر هستند برجسته هستند.

چهار قانون اول زیر قوانین اساسی جبر گزاره ای هستند.

قانون هویت:

هر مفهوم و قضاوتی با خودش یکسان است.

قانون هویت به این معناست که در فرآیند استدلال نمی توان یک فکر را با یک فکر دیگر، یک مفهوم را با مفهوم دیگر جایگزین کرد. در صورت نقض این قانون، احتمال خطاهای منطقی وجود دارد.

مثلا استدلال آنها به درستی می گویند که زبان شما را به کیف می برد، اما من دیروز زبان دودی خریدم، یعنی اکنون می توانم با خیال راحت به کیف بروم.نادرست است، زیرا کلمه اول و دوم "زبان" به معنای مفاهیم مختلف است.

در استدلال: حرکت جاودانه است. پیاده روی تا مدرسه حرکت است. بنابراین، رفتن به مدرسه برای همیشه استکلمه "حرکت" در دو معنای مختلف (اولی - در معنای فلسفی - به عنوان یک ویژگی ماده، دوم - به معنای روزمره - به عنوان عمل حرکت در فضا) استفاده می شود که منجر به نتیجه گیری نادرست می شود.

قانون عدم تناقض:

یک گزاره و نفی آن نمی توانند همزمان صادق باشند. یعنی اگر بیانیه آ- درست است، پس نفی آن نه Aباید نادرست باشد (و بالعکس). آن وقت کار آنها همیشه دروغ خواهد بود.

این برابری است که اغلب هنگام ساده سازی عبارات پیچیده منطقی استفاده می شود.

گاهی اوقات این قانون به صورت زیر تنظیم می شود: دو گزاره متناقض نمی توانند همزمان درست باشند. مصادیق عدم رعایت قانون عدم مغایرت:

1. در مریخ حیات وجود دارد و در مریخ حیاتی وجود ندارد.

2. علیا از دبیرستان فارغ التحصیل شد و در کلاس دهم است.

قانون وسط حذف شده:

در همان لحظه از زمان، یک عبارت می تواند درست یا نادرست باشد، گزینه سومی وجود ندارد. درست است یا آ،یا نه A.مصادیق اجرای قانون وسط مستثنی شده:

1. عدد 12345 یا زوج است یا فرد، گزینه سومی وجود ندارد.

2. شرکت با زیان یا سربه سر کار می کند.

3. این مایع ممکن است اسید باشد یا نباشد.

قانون میانه حذف شده قانونی نیست که توسط همه منطق دانان به عنوان یک قانون جهانی منطق به رسمیت شناخته شده است. این قانون در جایی اعمال می‌شود که شناخت با وضعیتی سفت و سخت سروکار دارد: «یا - یا»، «درست-نادرست». در جایی که عدم قطعیت رخ می دهد (مثلاً در استدلال درباره آینده)، قانون میانه حذف شده اغلب نمی تواند اعمال شود.

به عبارت زیر توجه کنید: این جمله نادرست است.نمی تواند درست باشد زیرا بیان می کند که نادرست است. اما نمی تواند نادرست باشد، زیرا در این صورت درست خواهد بود. این گزاره نه درست است و نه نادرست، و بنابراین قانون وسط حذف شده را نقض می کند.

پارادوکس(پارادوکسوهای یونانی - غیر منتظره، عجیب) در این مثال به دلیل این واقعیت است که جمله به خود اشاره دارد. یکی دیگر از پارادوکس های معروف، مشکل آرایشگاه است: در یک شهر، یک آرایشگر موهای همه ساکنان را کوتاه می کند، به جز کسانی که موهای خود را کوتاه می کنند. چه کسی موهای آرایشگر را کوتاه می کند؟در منطق، به دلیل صوری بودن آن، نمی توان شکل چنین اظهار خود ارجاعی را به دست آورد. این یک بار دیگر این ایده را تأیید می کند که با کمک جبر منطق نمی توان همه افکار و استدلال های ممکن را بیان کرد. اجازه دهید نشان دهیم که چگونه می توان بر اساس تعریف معادل گزاره ای، قوانین باقیمانده جبر گزاره ای را به دست آورد.

به عنوان مثال، بیایید تعیین کنیم که چه چیزی معادل است (معادل با) آ(دوبار نه آ،یعنی نفی نفی آ).برای انجام این کار، بیایید یک جدول حقیقت بسازیم:

با تعریف هم ارزی، باید ستونی را پیدا کنیم که مقادیر آن با مقادیر ستون منطبق باشد. آ.این ستون خواهد بود آ.

بنابراین ما می توانیم فرمول بندی کنیم قانون دوتاییموارد منفی:

اگر یک عبارت را دو بار نفی کنید، نتیجه عبارت اصلی است. به عنوان مثال، بیانیه آ= ماتروسکین- گربهمعادل بیانیه است الف = اینکه ماتروسکین گربه نیست درست نیست.

به روشی مشابه می توان قوانین زیر را استخراج و تأیید کرد:

خواص ثابت ها:

قوانین ناتوانی:

مهم نیست چند بار تکرار کنیم: تلویزیون روشن است یا تلویزیون روشن است یا تلویزیون روشن است...معنای بیانیه تغییر نخواهد کرد. مشابه از تکرار بیرون گرم است بیرون گرم...یک درجه گرمتر نمی شود.

قوانین جابجایی:

A v B = B v A

A & B = B & A

عملوندها آو که دردر عملیات، تفکیک و ربط را می توان با هم عوض کرد.

قوانین انجمنی:

A v(B v C) = (A v B) v C;

الف و (ب و ج) = (الف و ب) و ج.

اگر عبارت فقط از عملیات تفکیک یا فقط عملیات ربط استفاده می کند، می توانید از پرانتز صرف نظر کنید یا آنها را خودسرانه مرتب کنید.

قوانین توزیعی:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(توزیع تفکیک
نسبت به ربط)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(توزیع حرف ربط
در مورد تفکیک)

قانون توزیعی یک ربط نسبت به یک ربط مشابه قانون توزیعی در جبر است، اما قانون توزیعی یک ربط نسبت به یک ربط مشابه ندارد، فقط در منطق معتبر است. بنابراین اثبات آن ضروری است. اثبات به راحتی با استفاده از جدول حقیقت انجام می شود:

قوانین جذب:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

قوانین جذب را خودتان ثابت کنید.

قوانین دی مورگان:

فرمول بندی شفاهی قوانین دی مورگان:

قانون یادگاری:در سمت چپ هویت، عملیات نفی بر کل بیانیه قرار دارد. در سمت راست، به نظر می رسد که شکسته می شود و نفی بر روی هر یک از گزاره های ساده می ایستد، اما در همان زمان عملیات تغییر می کند: تفکیک به ربط و بالعکس.

نمونه هایی از اجرای قانون دی مورگان:

1) بیانیه اینکه من عربی یا چینی بلدم درست نیستمشابه یک بیانیه من نه عربی بلدم و نه چینی.

2) بیانیه این که درس را یاد گرفتم و در آن D گرفتم درست نیست.مشابه یک بیانیه یا درس را یاد نگرفتم یا D در آن نگرفتم.

جایگزینی عملیات ضمنی و هم ارزی

عملیات دلالت و هم ارزی گاهی جزو عملیات منطقی یک کامپیوتر یا مترجم خاص از یک زبان برنامه نویسی نیستند. با این حال، برای حل بسیاری از مشکلات این عملیات ضروری است. قوانینی برای جایگزینی این عملیات با توالی عملیات نفی، تفکیک و ربط وجود دارد.

بنابراین، عملیات را جایگزین کنید مفاهیمطبق قانون زیر امکان پذیر است:

برای تعویض عملیات معادل سازیدو قانون وجود دارد:

به راحتی می توان اعتبار این فرمول ها را با ساخت جداول صدق برای سمت راست و چپ هر دو هویت تأیید کرد.

آگاهی از قوانین جایگزینی عملیات استلزام و هم ارزی، به عنوان مثال، به ساخت صحیح نفی استلزام کمک می کند.

مثال زیر را در نظر بگیرید.

بگذارید بیانیه داده شود:

ه = این درست نیست که اگر در مسابقه برنده شوم جایزه می گیرم.

اجازه دهید آ= من برنده مسابقه خواهم شد

ب = من یک جایزه دریافت خواهم کرد.

از این رو، E = من در مسابقه برنده خواهم شد، اما جایزه ای دریافت نمی کنم.

قوانین زیر نیز مورد توجه است:

اعتبار آنها را می توان با استفاده از جداول صدق نیز اثبات کرد.

بیان آنها به زبان طبیعی جالب است.

به عنوان مثال، عبارت

اگر وینی پو عسل خورد، پس سیر شده است

یکسان با عبارت

اگر وینی پو سیر نباشد، پس عسل نخورده است.

ورزش:بر اساس این قوانین عبارات مثالی بیاورید.

2. مفاهیم و تعاریف اساسیدر پیوست 1

3. مواد برای کنجکاودر پیوست 2

4. تکالیف

1) قوانین منطق را با استفاده از دوره "جبر منطق" واقع در فضای اطلاعات (www.learning.9151394.ru) بیاموزید.

2) با ساختن جدول صدق، اثبات قوانین دی مورگان را در رایانه شخصی بررسی کنید.

برنامه های کاربردی

1. مفاهیم و تعاریف اساسی (پیوست 1).
2. مطالب برای کنجکاوها (پیوست 2).

ساخت جداول صدق برای عبارات منطقی

معاینه عملیات منطقی اساسی.

53. جدول پرس و جوها و تعداد صفحات یافت شده با استفاده از آنها را برای بخش خاصی از اینترنت نشان می دهد.

چند صفحه (در هزاران) برای عبارت CHOCOLATE پیدا می شود؟ با استفاده از حلقه های اویلر مشکل را حل کنید:

54. جدول پرس و جوها و تعداد صفحات یافت شده با استفاده از آنها را برای بخش خاصی از اینترنت نشان می دهد.

چند صفحه (در هزاران) برای درخواست ZUBR | تور؟با استفاده از حلقه های اویلر مشکل را حل کنید:

55. جدول پرس و جوها و تعداد صفحات یافت شده با استفاده از آنها را برای بخش خاصی از اینترنت نشان می دهد.

وظایف.

1. توضیح دهید که چرا جملات زیر گزاره نیستند.

1) این خانه چه رنگی است؟

2) عدد X از یک تجاوز نمی کند.

4) از پنجره به بیرون نگاه کنید.

5) آب گوجه فرنگی بنوشید!

6) این موضوع خسته کننده است.

7) ریکی مارتین محبوب ترین خواننده است.

8) آیا به تئاتر رفته اید؟

3. در عبارات زیر عبارات ساده را برجسته کنید و هر یک از آنها را با یک حرف مشخص کنید. هر عبارت مرکب را با استفاده از حروف و علائم عملیات منطقی بنویسید.

1) عدد 376 زوج و سه رقمی است.

2) در زمستان، کودکان به اسکیت روی یخ یا اسکی می روند.

3) سال نو را در ویلا یا در میدان سرخ جشن خواهیم گرفت.

4) اینکه خورشید به دور زمین حرکت می کند درست نیست.

5) زمین به شکل یک توپ است که از فضا آبی به نظر می رسد.

6) در خلال درس ریاضی، دانش‌آموزان دبیرستانی به سؤالات معلم پاسخ دادند و کار مستقلی نیز نوشتند.

4. نفی عبارات زیر را بسازید.

1) امروز اپرای "یوجین اونگین" در تئاتر اجرا می شود.

2) هر شکارچی می خواهد بداند قرقاول کجا نشسته است.

3) عدد 1 یک عدد اول است.

4) اعداد طبیعی که به O ختم می شوند اعداد اول نیستند.

5) اینکه عدد 3 مقسوم علیه عدد 198 نیست درست نیست.

6) کولیا تمام وظایف آزمون را حل کرد.

7) در هر مدرسه عده ای از دانش آموزان به ورزش علاقه دارند.

8) برخی از پستانداران در خشکی زندگی نمی کنند.

5. اجازه دهید A = " آنیا درس ریاضی را دوست دارد"، و B = " اما نهمن درس شیمی را دوست دارم." فرمول های زیر را به زبان معمولی بیان کنید:

6. مدارهای الکتریکی نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید:

آنها اتصالات موازی و سری سوئیچ هایی را که از درس فیزیک شما برای شما شناخته شده است را به تصویر می کشند. در حالت اول، هر دو کلید باید روشن شوند تا چراغ روشن شود. در حالت دوم کافی است یکی از سوئیچ ها روشن باشد. سعی کنید خودتان یک قیاس بین عناصر ایجاد کنید نمودارهای الکتریکیو اشیاء و عملیات جبر منطقی:

7. بخش معینی از اینترنت از 1000 سایت تشکیل شده است. سرور جستجو به طور خودکار جدولی از کلمات کلیدی را برای سایت های این بخش جمع آوری کرد. این قطعه آن است:

بنا به درخواست گربه ماهی و گوپی 0 سایت برای درخواست شما پیدا شد گربه ماهی و دم شمشیر- 20 سایت، و در صورت درخواست دم شمشیری و گوپی- 10 سایتبا درخواست چند سایت پیدا می شود؟ گربه ماهی | دم شمشیری | گوپی?
برای چند سایت در بخش مورد نظر، عبارت نادرست است؟"گربه ماهی - کلمه کلیدی سایت یا دم شمشیر -کلمه کلیدی سایت یا guppy - کلمه کلیدی سایت”؟
8. جداول صدق را برای عبارات منطقی زیر بسازید:

9. منطق مورد بحث در پاراگراف را ثابت کنید قوانین با استفاده از جداول حقیقت

سه عدد در سیستم اعداد اعشاری داده می شود: A = 23، B = 19، C = 26. A، B و C را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید و عملیات منطقی بیتی (A v B) و C را انجام دهید. پاسخ را در سیستم اعداد اعشاری
11. معانی عبارات را بیابید:
1) (1 v 1) v (1 v 0);
2) ((1 v 0) v 1) v 1);
3) (0 & 1) & 1;
4) 1 & (1 & 1) & 1;
5) ((1 v 0) & (1 & 1)) & (0 v 1);
6) ((1 و 1) v 0) & (0 v 1);
7) ((0 و 0) v 0) & (1 v 1);
8) (A v 1) v (B v 0);
9) ((1 & A) v (B & 0)) v 1;
10) 1 v A و 0.
12. مقدار یک عبارت بولی را پیدا کنید

برای مقادیر مشخص شده عدد X: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4