ایجاد استقلال مسیر ادغام و محاسبه. شرایط استقلال یک انتگرال منحنی از مسیر ادغام در صفحه

انتگرال منحنی را در نظر بگیرید

در امتداد برخی از منحنی صفحه L که نقاط اتصال M و N را به هم متصل می کنند، فرض می کنیم که توابع دارای مشتقات جزئی پیوسته در منطقه D هستند. اجازه دهید دریابیم که در چه شرایطی انتگرال منحنی خطی نوشته شده به شکل منحنی L بستگی ندارد. ، اما فقط به موقعیت نقاط اولیه و نهایی M و N بستگی دارد.

اجازه دهید دو منحنی اختیاری MPN و MQN را در نظر بگیریم که در ناحیه D در نظر گرفته شده و نقاط اتصال M و N را به هم متصل می‌کنند (شکل 351). اجازه دهید

سپس بر اساس ویژگی های 1 و 2 انتگرال های منحنی (§ 1) داریم

یعنی انتگرال خط روی یک حلقه بسته

در آخرین فرمول، انتگرال خط روی یک کانتور بسته L متشکل از منحنی ها گرفته می شود. این کانتور L به وضوح می تواند دلخواه در نظر گرفته شود.

بنابراین، از شرطی که برای هر دو نقطه M و N، انتگرال خط به شکل منحنی متصل کننده آنها بستگی ندارد، بلکه فقط به موقعیت این نقاط بستگی دارد، نتیجه می شود که انتگرال خط در امتداد هر کانتور بسته برابر است. به صفر

نتیجه معکوس نیز درست است: اگر یک انتگرال منحنی بر روی هر کانتور بسته برابر با صفر باشد، این انتگرال منحنی به شکل منحنی متصل کننده هر دو نقطه بستگی ندارد، بلکه فقط به موقعیت این نقاط بستگی دارد. در واقع، تساوی (2) بر برابری (1) دلالت دارد.

در مثال 4 از § 2 انتگرال منحنی به آن بستگی ندارد مسیرهای ادغامدر مثال 3 انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی دارد، زیرا در این مثال انتگرال روی یک کانتور بسته برابر با صفر نیست، بلکه مساحت محدود شده توسط کانتور مورد نظر را نشان می دهد. در مثال های 1 و 2، انتگرال های خط نیز به مسیر ادغام بستگی دارند.

این سوال به طور طبیعی مطرح می شود: برای اینکه انتگرال منحنی در امتداد هر کانتور بسته برابر با صفر باشد، توابع باید چه شرایطی را برآورده کنند. پاسخ به این سوال با قضیه زیر ارائه می شود:

قضیه. اجازه دهید توابع همراه با مشتقات جزئی آنها در تمام نقاط دامنه D پیوسته باشند. سپس، برای اینکه انتگرال منحنی بر روی هر کانتور بسته L که در ناحیه D قرار دارد برابر با صفر باشد، یعنی به طوری که

تحقق برابری لازم و کافی است

در تمام گرمای منطقه

اثبات اجازه دهید یک کانتور بسته دلخواه L را در دامنه D در نظر بگیریم و فرمول گرین را برای آن بنویسیم:

اگر شرط (3) برآورده شد، پس انتگرال دوگانه، ایستاده در سمت چپ، به طور یکسان برابر با صفر است و بنابراین،

بدین ترتیب کفایت شرط (3) ثابت می شود.

حال اجازه دهید ضرورت این شرط را ثابت کنیم، یعنی ثابت کنیم که اگر برابری (2) برای هر منحنی بسته L در دامنه D برآورده شود، در هر نقطه از این دامنه شرط (3) نیز برآورده می شود.

برعکس، فرض کنیم که برابری (2) برآورده شده است، یعنی.

و شرط (3) برآورده نمی شود، یعنی.

حداقل در یک نقطه به عنوان مثال، اجازه دهید در یک نقطه ما نابرابری را داشته باشیم

از آنجایی که سمت چپ نابرابری حاوی یک تابع پیوسته است، در تمام نقاط دامنه به اندازه کافی کوچک D که حاوی نقطه است، مثبت و بزرگتر از یک عدد معین خواهد بود. بیایید انتگرال دوگانه را در این ناحیه از تفاوت در نظر بگیریم. معنای مثبتی خواهد داشت. واقعا،

اما طبق فرمول گرین، سمت چپ آخرین نابرابری برابر با انتگرال منحنی در امتداد مرز منطقه است که برابر با صفر است. در نتیجه، آخرین نابرابری با شرط (2) تناقض دارد و بنابراین، این فرض که حداقل در یک نقطه با صفر متفاوت است، نادرست است. از اینجا

نتیجه می شود که

در تمام نقاط این منطقه

بنابراین، قضیه کاملاً ثابت می شود.

در § 9 فصل. XIII ثابت شد که تحقق شرط معادل این واقعیت است که عبارت دیفرانسیل کل یک تابع است، یعنی.

اما در این مورد بردار

یک گرادیان تابعی وجود دارد که گرادیان آن برابر با بردارپتانسیل این بردار نامیده می شود. اجازه دهید ثابت کنیم که در این مورد انتگرال منحنی

برای هر منحنی L نقاط اتصال M و N، (M) برابر است با تفاوت بین مقادیر تابع و در این نقاط:

اثبات اگر هست دیفرانسیل کاملتابع سپس انتگرال منحنی شکل می گیرد

برای محاسبه این انتگرال، معادلات پارامتری منحنی L را که نقاط اتصال M و را به هم متصل می کند، می نویسیم

انتگرال به انتگرال معین زیر کاهش می یابد:

عبارت داخل پرانتز تابعی است که مشتق کامل تابع بنابراین است

همانطور که می بینیم، انتگرال خط دیفرانسیل کل به شکل منحنی که ادغام در طول آن انجام می شود، بستگی ندارد.

یک عبارت مشابه برای یک انتگرال منحنی بر روی یک منحنی فضا صادق است (به بند 7 زیر مراجعه کنید).

اظهار نظر. گاهی اوقات لازم است انتگرال های منحنی در طول قوس L برخی از تابع ها در نظر گرفته شوند

یک منطقه به سادگی متصل نامیده می شود اگر مرز آن یک مجموعه متصل باشد. منطقه ای n متصل نامیده می شود اگر مرز آن به n مجموعه متصل تقسیم شود.

اظهار نظر. فرمول گرین برای مناطق چند برابر متصل نیز صادق است.

برای اینکه انتگرال (A, B – هر نقطه از D) به مسیر ادغام (بلکه فقط به نقاط اولیه و نهایی A, B) وابسته نباشد، لازم و کافی است که در امتداد هر منحنی بسته (در امتداد هر کانتور) در D انتگرال برابر با صفر = 0 بود

برهان (ضرورت). اجازه دهید (4) مستقل از مسیر ادغام باشد. یک کانتور دلخواه C را که در ناحیه D قرار دارد در نظر بگیرید و دو نقطه دلخواه A، B را در این کانتور انتخاب کنید. سپس منحنی C را می توان به عنوان اتحاد دو منحنی AB=G2، AB=G1، C=Г - 1 + G2 نشان داد.

قضیه 1. برای اینکه یک انتگرال منحنی مستقل از مسیر انتگرال در D باشد، لازم و کافی است که

در منطقه D. کفایت. اگر این درست باشد، فرمول گرین برای هر کانتور C خواهد بود از آنجایی که عبارت مورد نیاز توسط لم دنبال می شود. ضرورت. با لم برای هر کانتور = 0. سپس با فرمول گرین برای ناحیه D محدود به این کانتور = 0. با قضیه مقدار میانگین = mD یا = = 0. با عبور از حد، کانتور را به یک نقطه منقبض می کنیم، آن را در این نقطه به دست می آوریم.

قضیه 2. برای اینکه انتگرال منحنی (4) مستقل از مسیر انتگرال در D باشد، لازم و کافی است که عبارت انتگرال Pdx+Qdy دیفرانسیل کل تابع u در حوزه D باشد. du = Pdx+Qdy. کفایت. بگذار برآورده شود، سپس ضرورت. بگذارید انتگرال مستقل از مسیر ادغام باشد. یک نقطه A0 را در دامنه D ثابت می کنیم و تابع u(A) = u(x,y)= را تعریف می کنیم

در این مورد

XO (xO). بنابراین، یک مشتق =P وجود دارد. به طور مشابه، بررسی می شود که =Q. بر اساس فرضیات ساخته شده، تابع u به طور پیوسته قابل تمایز است و du = Pdx+Qdy.

32-33. تعریف انتگرال های منحنی از نوع 1 و 2

انتگرال منحنی روی طول قوس (نوع اول)

اجازه دهید تابع f(x,y) در نقاط قوس AB یک منحنی صاف K تعریف و پیوسته باشد. به طور دلخواه قوس را به n قوس ابتدایی با نقاط t0 تقسیم کنید..tn بگذارید lk طول k خاص باشد. قوس اجازه دهید یک نقطه دلخواه N(k,k) روی هر کمان ابتدایی بگیریم و این نقطه را در نقطه مربوطه ضرب کنیم. طول قوس از سه مجموع انتگرال تشکیل می شود:

1 =f(k،k)lk 2 = Р(k,k)хk 3 = Q(k،k)yk، که در آن хk = x k -x k -1، yk = y k -y k -1

انتگرال منحنی نوع اول در طول کمان حد مجموع انتگرال 1 نامیده می شود، مشروط بر اینکه max(lk)  0

اگر حد مجموع انتگرال 2 یا 3 در   0 باشد، این حد نامیده می شود. انتگرال منحنی از نوع دوم، یک تابع P(x,y) یا Q(x,y) در امتداد منحنی l = AB و نشان داده می شود:
یا

میزان:
+
مرسوم است که آن را یک انتگرال منحنی خطی عمومی از نوع دوم می نامیم و آن را با نماد نشان می دهیم:
در این حالت، توابع f(x,y)، P(x,y)، Q(x,y) در امتداد منحنی l = AB انتگرال پذیر نامیده می شوند. منحنی l به خودی خود یک کانتور نامیده می شود یا با انتگرال A نقطه اولیه، B نقطه انتگرال نهایی، dl دیفرانسیل طول قوس است، بنابراین انتگرال منحنی از نوع اول نامیده می شود. یک انتگرال منحنی روی یک قوس منحنی، و از نوع دوم - روی یک تابع..

از تعریف انتگرال‌های منحنی چنین برمی‌آید که انتگرال‌های نوع اول به جهتی که منحنی l از A و B یا از B و A اجرا می‌شود، بستگی ندارد. انتگرال منحنی از نوع اول در امتداد AB:

برای انتگرال های منحنی از نوع دوم، تغییر در جهت منحنی منجر به تغییر علامت می شود:

در صورتی که l یک منحنی بسته باشد، یعنی نقطه B با نقطه A منطبق باشد، از دو جهت ممکن برای عبور از کانتور بسته، l جهت مثبت نامیده می شود که در آن ناحیه واقع در داخل کانتور به سمت چپ باقی می ماند. توجه به؟؟؟ ایجاد یک گرد، یعنی جهت حرکت در خلاف جهت عقربه های ساعت است. جهت مخالف پیمایش منفی نامیده می شود. انتگرال منحنی AB در امتداد یک خط بسته l که در جهت مثبت عبور می کند با نماد نشان داده می شود:

برای یک منحنی فضایی، یک انتگرال از نوع اول به طور مشابه معرفی شده است:

و سه انتگرال از نوع دوم:

مجموع سه انتگرال آخر نامیده می شود. انتگرال منحنی کلی از نوع 2.

برخی از کاربردهای انتگرال های منحنی از نوع اول.

1. انتگرال
- طول قوس AB

2. معنای مکانیکی انتگرال از نوع اول.

اگر f(x,y) = (x,y) چگالی خطی کمان ماده باشد، جرم آن:

3. مختصات مرکز جرم قوس ماده:

4. ممان اینرسی یک قوس در صفحه اکسی نسبت به مبدأ مختصات و محورهای چرخش ox, oy:

5. معنای هندسی انتگرال از نوع 1

اجازه دهید تابع z = f(x,y) - دارای بعد طول f(x,y)>=0 در تمام نقاط قوس ماده واقع در صفحه اکسی باشد، سپس:

، که در آن S مساحت سطح استوانه ای است، گربه از عمود بر صفحه اوخا در شرق تشکیل شده است. در نقاط M(x,y) منحنی AB.

برخی از کاربردهای انتگرال های منحنی از نوع دوم.

محاسبه مساحت منطقه مسطح D با مرز L

2. کار زور. بگذارید یک نقطه مادی تحت تأثیر یک نیرو در امتداد یک منحنی مسطح پیوسته BC حرکت کند و از B به C حرکت کند، کار این نیرو به صورت زیر است:

سخنرانی 4

موضوع: فرمول گرین شرایط استقلال یک انتگرال منحنی از مسیر ادغام.

فرمول گرین

فرمول گرین یک ارتباط بین یک انتگرال منحنی بر روی یک کانتور بسته Г در یک صفحه و یک انتگرال دوتایی بر روی یک منطقه محدود شده توسط یک کانتور مشخص برقرار می کند.

انتگرال خط روی یک کانتور بسته Г با نماد نشان داده می شود. کانتور بسته Г در نقطه ای از B این کانتور شروع می شود و در نقطه B به پایان می رسد. انتگرال کانتور بسته به انتخاب نقطه B بستگی ندارد.

تعریف 1. دور زدن کانتور Г در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که هنگام دور زدن کانتور Г، ناحیه D در سمت چپ باقی بماند. G + - مدار G در جهت مثبت دور می زند، G - - مدار در جهت منفی دور می زند، یعنی. در جهت مخالف

.

به همین ترتیب ثابت می شود که:

از برابری های (1) و (2) به دست می آوریم:

از این رو،

فرمول گرین تحت فرضیات ساخته شده ثابت شده است.

یادداشت 1. اگر مرز Г ناحیه D در بیش از دو نقطه با چند خط مستقیم موازی با محور 0X یا 0Y قطع شود، فرمول گرین معتبر می‌ماند. علاوه بر این، فرمول گرین برای مناطق متصل به n نیز معتبر است.

شرایط استقلال یک انتگرال منحنی از مسیر ادغام در صفحه.

در این قسمت شرایطی را خواهیم یافت که در آن انتگرال منحنی به مسیر انتگرال بستگی ندارد، بلکه به نقطه شروع و پایان انتگرال بستگی دارد.

قضیه 1. به منظور انتگرال منحنی به مسیر ادغام در یک دامنه متصل ساده بستگی ندارد، لازم و کافی است که این انتگرال گرفته شده بر روی هر کانتور صاف تکه ای بسته در این دامنه برابر با صفر باشد.

برهان: ضرورت.داده شده: به مسیر ادغام بستگی ندارد. لازم است ثابت شود که انتگرال منحنی بر روی هر کانتور صاف تکه ای بسته برابر با صفر است.

اجازه دهید یک کانتور بسته تکه‌ای صاف Г در حوزه D در نظر گرفته شود.

، یعنی

کفایت. داده شده: انتگرال منحنی در امتداد هر کانتور صاف تکه ای بسته برابر با صفر است.

ما باید ثابت کنیم که انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد.

یک انتگرال منحنی را بر روی دو خطوط صاف تکه تکه در نظر بگیرید که نقاط B و C را به هم متصل می کنند. با توجه به شرایط:

آن ها منحنی

انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد.

قضیه 2.بگذارید آنها با مشتقات جزئی در یک دامنه D به سادگی پیوسته باشند. برای اینکه انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام باشد، لازم و کافی است که هویت در دامنه D ارضا شود.

برهان: کفایت.داده شده: . ما باید ثابت کنیم که به مسیر ادغام بستگی ندارد. برای انجام این کار، اثبات آن کافی است برابر با صفر در امتداد هر کانتور صاف تکه ای بسته است. طبق فرمول گرین داریم:

ضرورت.با توجه به قضیه 1، انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد. اثبات آن لازم است

تعریف. یک منطقه G از فضای سه بعدی به صورت سطحی به سادگی متصل می شود. اگر هر کانتور بسته ای که در این ناحیه قرار دارد را بتوان با سطحی که کاملاً در ناحیه G قرار دارد کشیده شود. فضای داخلی یک چنبره یا یک فضای سه بعدی که در آن یک خط مستثنی شده است، به طور سطحی مناطق به سادگی متصل نیستند. اجازه دهید یک میدان برداری پیوسته در یک دامنه G به طور ساده متصل شود. سپس قضیه زیر برقرار است. قضیه 9. برای اینکه انتگرال منحنی در میدان بردار a به مسیر انتگرال بستگی نداشته باشد، بلکه فقط به نقاط ابتدایی و پایانی مسیر (A و B) وابسته باشد، لازم و کافی است که گردش بردار a در امتداد هر کانتور بسته L واقع در ناحیه G برابر با صفر بود. 4 ضرورت. فرض کنید که t-egral به مسیر ادغام بستگی ندارد. اجازه دهید نشان دهیم که در امتداد هر خط بسته L برابر با صفر است. بیایید یک کانتور بسته دلخواه L را در میدان بردار a در نظر بگیریم و نقاط دلخواه A و B را روی آن بگیریم (شکل 35). طبق شرط، ما مسیرهای مختلفی برای اتصال نقاط A و B داریم که دقیقاً کانتور بسته L انتخاب شده از آن ها است. اجازه دهید برای هر کانتور بسته L. نشان دهیم که در این مورد انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد. اجازه دهید دو نقطه A و B را در قسمت بردار a بگیریم، آنها را با خطوط دلخواه L1 و L2 به هم وصل کنیم و نشان دهیم که برای سادگی، خود را به حالتی محدود می کنیم که خطوط L1 و L2 همدیگر را قطع نکنند. در این مورد، اتحاد یک کانتور بسته ساده L را تشکیل می دهد (شکل 36). با شرط و با خاصیت افزایشی. استقلال انتگرال منحنی از مسیر انتگرال گیری میدان پتانسیل محاسبه انتگرال منحنی در میدان پتانسیل محاسبه پتانسیل در مختصات دکارتی بنابراین، اینجاست که اعتبار برابری (2) دنبال می شود. قضیه 9 شرایط لازم و کافی را برای استقلال انتگرال منحنی از شکل مسیر بیان می کند، اما تأیید این شرایط دشوار است. اجازه دهید یک معیار مؤثرتر ارائه دهیم. قضیه 10. برای اینکه انتگرال منحنی مستقل از مسیر انتگرال گیری L باشد، لازم و کافی است که میدان برداری غیر چرخشی باشد، در اینجا فرض می شود که مختصات بردار a(M) مشتقات جزئی پیوسته ای از مرتبه اول و دامنه تعریف بردار a(M) M) به طور سطحی به سادگی متصل می شود. اظهار نظر. به موجب قضیه 9، استقلال انتگرال منحنی از مسیر انتگرال گیری، معادل برابری صفر گردش بردار a در امتداد هر کانتور بسته است. ما از این شرایط در اثبات قضیه استفاده می کنیم. ضرورت. اجازه دهید انتگرال منحنی مستقل از شکل مسیر باشد، یا همان چیزی است که گردش بردار a در امتداد هر کانتور بسته L برابر با صفر باشد. سپس، یعنی در هر نقطه از میدان، طرح بردار rot a به هر جهتی برابر با صفر است. این بدان معنی است که بردار rot a خود در تمام نقاط میدان برابر با صفر است. کفایت شرط (3) از فرمول استوکس به دست می آید، زیرا اگر rot a = 0 باشد، گردش بردار در امتداد هر کانتور بسته L برابر است با صفر: روتور یک میدان مسطح برابر است که به ما امکان می دهد فرمول بندی کنیم. قضیه زیر برای یک میدان مسطح قضیه 11. برای اینکه یک انتگرال منحنی در یک میدان صفحه ساده متصل مستقل از شکل خط L باشد، لازم است و کافی است که این رابطه در کل منطقه مورد بررسی یکسان باشد. اگر دامنه به سادگی متصل نباشد، تحقق شرط، به طور کلی، استقلال انتگرال منحنی را از شکل خط تضمین نمی کند. مثال. اجازه دهید انتگرال را در نظر بگیرید واضح است که انتگرال در نقطه 0(0,0) معنی ندارد. بنابراین، اجازه دهید این نکته را حذف کنیم. در بقیه صفحه (این دیگر یک منطقه به سادگی متصل نخواهد بود!) مختصات بردار a پیوسته هستند، مشتقات جزئی پیوسته دارند و انتگرال (6) را در امتداد یک منحنی بسته L در نظر بگیرید - دایره ای به شعاع R با یک مرکز در مبدا مختصات: سپس اختلاف گردش از صفر نشان می دهد که انتگرال (6) به شکل مسیر انتگرال بستگی دارد. §10. تعریف میدان بالقوه میدان بردار a(M) در صورت وجود پتانسیل نامیده می شود تابع اسکالر u(M) به طوری که در این حالت تابع u(M) پتانسیل میدان نامیده می شود. سطوح تراز آن را سطوح هم پتانسیل می نامند. سپس رابطه (1) معادل سه برابری اسکالر زیر است: توجه داشته باشید که پتانسیل میدان تا یک جمله ثابت تعیین می شود: بنابراین اگر یک عدد ثابت باشد. مثال 1. میدان بردار شعاع r پتانسیل است، زیرا به یاد می‌آوریم که پتانسیل میدان بردار شعاع پتانسیل است. مثال 2. میدان برداری پتانسیل است. اجازه دهید تابع به گونه ای باشد که پیدا شود. سپس و از کجا به معنی - پتانسیل میدان. قضیه 12. برای اینکه یک بردار a بالقوه باشد، لازم و کافی است که غیر چرخشی باشد، یعنی روتور آن در تمام نقاط میدان برابر با صفر باشد. در این حالت، تداوم تمام مشتقات جزئی مختصات بردار a و سطح اتصال به سادگی ناحیه ای که بردار a در آن داده شده است را فرض می کنیم. ضرورت. ضرورت شرط (2) با محاسبه مستقیم ثابت می شود: اگر میدان بالقوه باشد، یعنی به دلیل استقلال مشتقات مخلوط از ترتیب تمایز. کفایت. بگذارید میدان برداری غیر چرخشی باشد (2). برای اثبات پتانسیل این میدان، اجازه دهید پتانسیل آن را u(M) بسازیم. از شرط (2) نتیجه می شود که انتگرال منحنی به شکل خط L بستگی ندارد، بلکه فقط به نقطه شروع و پایان آن بستگی دارد. نقطه شروع را ثابت می کنیم و نقطه پایانی Mu, z) تغییر می کند. سپس انتگرال (3) تابعی از نقطه خواهد بود. اجازه دهید این تابع را با u(M) نشان دهیم و ثابت کنیم که در موارد زیر انتگرال (3) را می نویسیم که فقط نقطه شروع و پایان مسیر انتگرال را نشان می دهد. تساوی معادل سه برابری اسکالر است. استقلال انتگرال منحنی از مسیر انتگرال گیری میدان پتانسیل محاسبه انتگرال منحنی در میدان پتانسیل محاسبه پتانسیل در مختصات دکارتی اجازه دهید اولین آنها را ثابت کنیم، تساوی دوم و سوم به روشی مشابه ثابت می شوند. با تعریف مشتق جزئی، نقطه ای نزدیک به نقطه در نظر بگیرید، از آنجایی که تابع u(M) با رابطه (4) تعیین می شود، که در آن انتگرال منحنی به مسیر انتگرال گیری بستگی ندارد، مسیر انتگرال را همانطور که نشان داده شد انتخاب می کنیم. در شکل 37. سپس از اینجا آخرین انتگرال از بخش خط مول MM گرفته می شود. محور موازی اوه در این بخش، می‌توانیم مختصات x را به‌عنوان پارامتر در نظر بگیریم: با اعمال قضیه مقدار میانگین به انتگرال سمت راست (6)، جایی که مقدار £ بین آن محصور شده است، به دست می‌آید. از فرمول (7) چنین بر می آید که از آن زمان به دلیل تداوم تابع، به همین ترتیب، ثابت می شود که نتیجه. یک میدان برداری بالقوه است اگر و تنها در صورتی که انتگرال خط منحنی در آن به مسیر بستگی نداشته باشد. محاسبه یک انتگرال منحنی در یک میدان پتانسیل قضیه 13. انتگرال در یک میدان پتانسیل a(M) برابر است با تفاوت بین مقادیر میدان پتانسیل و (M) در نقاط نهایی و اولیه مسیر انتگرال گیری. قبلا ثابت شده بود که تابع یک پتانسیل میدانی است. در یک میدان بالقوه، انتفال منحنی به پوگا انتفال بستگی ندارد. بنابراین، با انتخاب مسیر نقطه M\ به نقطه M2 به طوری که از نقطه Afo عبور کند (شکل 38)، یا با تغییر جهت مسیر در اولین انتگرال سمت راست، از آنجایی که پتانسیل میدان است. تا یک جمله ثابت تعیین می شود، سپس هر پتانسیل از فیلدهای در نظر گرفته شده را می توان به شکلی که c یک ثابت است نوشت. با جایگزینی i-c در فرمول (10)، فرمول مورد نیاز برای یک پتانسیل دلخواه v(M) را به دست می آوریم. مثال 3. در مثال 1، نشان داده شد که پتانسیل میدان بردار شعاع r تابعی است که در آن فاصله از نقطه تا مبدا محاسبه پتانسیل در مختصات دکارتی اجازه دهید میدان پتانسیل داده شود. قبلاً نشان داده شده بود که تابع پتانسیل "(M) را می توان با استفاده از فرمول انتگرال (11) یافت که به راحتی به صورت زیر محاسبه می شود: نقطه شروع را ثابت کنید و وصل کنید. آن را با یک نقطه جریان به اندازه کافی نزدیک M(x, y,z) یک خط شکسته که پیوندهای آن موازی با محورهای مختصات هستند. در این مورد، در هر پیوند از چند خط، تنها یک مختصات تغییر می کند، که باعث می شود محاسبات به طور قابل توجهی ساده شود. در واقع روی قطعه M0M\ داریم: روی سگمنت. برنج. 39. در بخش. در نتیجه، پتانسیل برابر است با جایی که مختصات نقطه فعلی در بخش های خط شکسته است که در آن ادغام انجام می شود. مثال 4. ثابت کنید که میدان برداری k پتانسیل است و پتانسیل آن را بیابید. 4 بیایید بررسی کنیم که آیا میدان بردار a(Af) پتانسیل است یا خیر. با این مقدار روتور فیلد را محاسبه می کنیم. ما میدان پتانسیل است. با استفاده از فرمول (12) پتانسیل این میدان را پیدا می کنیم. اجازه دهید مبدا مختصات O را به عنوان نقطه شروع A/o در نظر بگیریم (این کار معمولاً در صورتی انجام می شود که فیلد a(M) در مبدا مختصات تعریف شده باشد). سپس So را دریافت می کنیم، جایی که c یک ثابت دلخواه است. پتانسیل این رشته را می توان از طریق دیگری نیز یافت. طبق تعریف، پتانسیل u(x، y، z) یک تابع اسکالر است که برای آن gradu = a. این برابری برداری معادل سه برابری اسکالر است: با ادغام (13) نسبت به x، به دست می‌آوریم که یک تابع متمایز دلخواه از og y و r کجاست. اجازه دهید با توجه به y تفکیک کنیم: استقلال انتگرال منحنی از مسیر یکپارچه سازی میدان پتانسیل محاسبه انتگرال منحنی در میدان پتانسیل محاسبه پتانسیل در مختصات دکارتی با ادغام (17) برای y، تابع z را پیدا می کنیم. با جایگزینی (18) به (16)، دریافت می کنیم. با افتراق آخرین تساوی no z و در نظر گرفتن رابطه (15)، معادله ای به دست می آوریم که کجا