اجازه دهید یک فیلد برداری مسطح داده شود. در ادامه فرض می کنیم که توابع P و Q به همراه مشتقات آنها در برخی از ناحیه O از صفحه پیوسته هستند.

اجازه دهید دو نقطه دلخواه را در منطقه G در نظر بگیریم. این نقاط را می توان با خطوط مختلفی که در ناحیه ای که مقادیر در امتداد آن قرار دارند به هم متصل شوند. انتگرال منحنیبه طور کلی، متفاوت است.

بنابراین، برای مثال، انتگرال منحنی را در نظر بگیرید

و دو نقطه بیایید این انتگرال را اولاً در امتداد خط مستقیم اتصال نقاط A و B و ثانیاً در امتداد قوس سهمی که همین نقاط را به هم وصل می کند محاسبه کنیم. با اعمال قوانین برای محاسبه انتگرال منحنی، متوجه می شویم

الف) در امتداد بخش

ب) در امتداد قوس سهمی:

بنابراین، می بینیم که مقادیر انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی دارد، یعنی به نوع خط اتصال نقاط A و B بستگی دارد. در مقابل، همانطور که به راحتی قابل بررسی است، انتگرال منحنی در امتداد همان خطوطی که نقاط را به هم وصل می کنند، مقدار یکسانی برابر با .

مثال‌های تحلیل‌شده نشان می‌دهند که انتگرال‌های منحنی محاسبه‌شده در مسیرهای مختلف که دو نقطه داده شده را به هم متصل می‌کنند، در برخی موارد با یکدیگر متفاوت هستند و در موارد دیگر مقدار یکسانی را به خود می‌گیرند.

فرض کنید A و B دو نقطه دلخواه از یک منطقه G باشند. منحنی های مختلفی را در منطقه G و نقاط اتصال A و B را در نظر بگیرید.

اگر انتگرال خط در امتداد هر یک از این مسیرها مقدار یکسانی داشته باشد، گفته می شود که مستقل از مسیر ادغام است.

دو قضیه بعدی شرایطی را ارائه می دهند که تحت آن انتگرال خط مستقل از مسیر انتگرال گیری است.

قضیه 1. برای اینکه یک انتگرال منحنی در برخی از حوزه G مستقل از مسیر انتگرال باشد، لازم و کافی است که انتگرال بر روی هر کانتور بسته ای که در این حوزه قرار دارد برابر با صفر باشد.

اثبات کفایت.

اجازه دهید انتگرال روی هر کانتور بسته ترسیم شده در ناحیه G برابر با صفر باشد. اجازه دهید نشان دهیم که این انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد. در واقع، اجازه دهید A و B دو نقطه متعلق به منطقه G باشند. اجازه دهید این نقاط را با دو منحنی متفاوت و دلخواه انتخاب شده در منطقه G به هم وصل کنیم (شکل 257).

اجازه دهید نشان دهیم که کمان ها یک کانتور بسته را تشکیل می دهند.با در نظر گرفتن ویژگی های انتگرال های منحنی، به دست می آوریم.

زیرا . اما طبق شرط، مانند یک انتگرال حلقه بسته است.

بنابراین، یا بنابراین، انتگرال خط به مسیر ادغام بستگی ندارد.

ضرورت. بگذارید انتگرال منحنی در حوزه G مستقل از مسیر انتگرال گیری باشد. اجازه دهید نشان دهیم که انتگرال روی هر کانتور بسته ای که در این ناحیه قرار دارد برابر با صفر است. در واقع، اجازه دهید یک کانتور بسته دلخواه را در ناحیه G در نظر بگیریم و دو نقطه دلخواه A و B را روی آن در نظر بگیریم (شکل 257 را ببینید). سپس

زیرا طبق شرط . بنابراین، انتگرال روی هر کانتور بسته L که در ناحیه G قرار دارد برابر با صفر است.

قضیه زیر شرایط مناسبی را برای استفاده عملی ارائه می دهد که تحت آن انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد.

قضیه 2.

برای اینکه یک انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام در یک دامنه ساده متصل باشد، لازم و کافی است که شرط در هر نقطه از این دامنه برقرار باشد.

اثبات کفایت. اجازه دهید در دامنه نشان دهیم که انتگرال منحنی بر روی هر کانتور بسته L که در دامنه G قرار دارد برابر با صفر است. اجازه دهید یک ناحیه a را در نظر بگیریم که با یک کانتور L محدود شده است. به دلیل ماهیت ساده متصل منطقه G، منطقه a کاملاً به این ناحیه تعلق دارد. بر اساس فرمول Ostrogradsky-Green، به ویژه، در سایت بنابراین و بنابراین، . بنابراین، انتگرال بر روی هر کانتور بسته L در منطقه G برابر با صفر است. بر اساس قضیه 1، نتیجه می گیریم که انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد.

ضرورت. اجازه دهید انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام در یک حوزه Q باشد. اجازه دهید نشان دهیم که در تمام نقاط حوزه

اجازه دهید برعکس را فرض کنیم، یعنی در نقطه ای از منطقه اجازه دهید، برای قطعیت، . با توجه به فرض تداوم مشتقات جزئی، تفاوت نیز تابعی پیوسته خواهد بود. در نتیجه، در اطراف یک نقطه، می توان یک دایره a (که در ناحیه G قرار دارد) را توصیف کرد، که در همه نقاط آن، مانند نقطه، تفاوت مثبت خواهد بود. اجازه دهید فرمول Ostrogradsky-Green را روی دایره اعمال کنیم.

فرمول Ostrogradsky-Green

این فرمول یک ارتباط بین انتگرال منحنی بر روی یک کانتور بسته C و انتگرال دوگانهبیش از منطقه محدود شده توسط این کانتور.

تعریف 1. ناحیه D را اگر بتوان به تعداد محدودی از نواحی نوع اول و مستقل از آن به تعداد محدودی از نواحی نوع دوم تقسیم کرد، منطقه ساده نامیده می شود.

قضیه 1. اجازه دهید توابع P(x,y) و Q(x,y) در یک حوزه ساده تعریف شده و همراه با مشتقات جزئی خود پیوسته باشند و

سپس فرمول پابرجاست

که در آن C خط بسته ناحیه D است.

این فرمول Ostrogradsky-Green است.

شرایط استقلال یک انتگرال منحنی از مسیر ادغام

تعریف 1. به یک منطقه مربع بسته D گفته می شود که به سادگی متصل می شود اگر هر منحنی بسته l D را بتوان به طور پیوسته به یک نقطه تغییر شکل داد تا همه نقاط این منحنی به منطقه D تعلق داشته باشند (منطقه بدون "سوراخ" - D 1) ، اگر چنین تغییر شکلی غیرممکن باشد، آن منطقه را ضرب متصل می نامند (با "سوراخ" - D 2).

تعریف 2. اگر مقدار یک انتگرال منحنی در امتداد منحنی AB به نوع منحنی اتصال نقاط A و B بستگی نداشته باشد، در این صورت گفته می‌شود که این انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام است:

قضیه 1. اجازه دهید توابع پیوسته P(x,y) و Q(x,y) در یک دامنه D بسته که به سادگی متصل شوند، همراه با مشتقات جزئی آنها تعریف شوند. سپس 4 شرط زیر معادل هستند:

1) انتگرال منحنی روی یک حلقه بسته

که در آن C هر حلقه بسته در D است.

2) انتگرال منحنی روی یک حلقه بسته به مسیر ادغام در منطقه D بستگی ندارد، یعنی.

3) شکل دیفرانسیل P(x,y)dx + Q(x,y)dy است دیفرانسیل کاملبرخی از تابع F در دامنه D، به عنوان مثال، یک تابع F وجود دارد به طوری که (x,y) D برابری برقرار است

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) برای تمام نقاط (x,y) D شرط زیر برآورده می شود:

بیایید آن را با استفاده از نمودار ثابت کنیم.

بیایید ثابت کنیم که از.

اجازه دهید 1 داده شود)، i.e. = 0 توسط ویژگی 2 §1، که = 0 (با ویژگی 1 §1) .

بیایید ثابت کنیم که از.

داده می شود که cr.int. به مسیر ادغام بستگی ندارد، بلکه فقط به انتخاب آغاز و پایان مسیر بستگی دارد

تابع را در نظر بگیرید

اجازه دهید نشان دهیم که شکل دیفرانسیل P(x,y)dx + Q(x,y)dy دیفرانسیل کامل تابع F(x,y) است. ، چی

بیایید رشد خصوصی را تنظیم کنیم

x F (x,y)= F(x + x, y) -F (x,y)= = == =

(با ویژگی 3 از § 1، BB* Oy) = = P (c,y)x (با قضیه مقدار میانگین، c -const)، که در آن x

(به دلیل تداوم تابع P). فرمول (5) را به دست آوردیم. فرمول (6) نیز به همین ترتیب بدست می آید.

بیایید ثابت کنیم که از.

فرمول داده شده است

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

بدیهی است = P(x,y). سپس

با توجه به شرایط قضیه، ضلع های سمت راست تساوی (7) و (8) توابع پیوسته هستند، سپس با قضیه تساوی مشتقات مختلط، اضلاع سمت چپ نیز برابر می شوند، یعنی: که

بگذارید از 41 مورد ثابت کنیم.

اجازه دهید هر کانتور بسته ای را از ناحیه D انتخاب کنیم که منطقه D 1 را محدود می کند.

توابع P و Q شرایط Ostrogradsky-Green را برآورده می کنند:

بر اساس تساوی (4)، در سمت چپ (9) انتگرال برابر با 0 است، به این معنی که سمت راست تساوی نیز برابر است با

نکته 1. قضیه 1 را می توان در قالب سه قضیه مستقل فرموله کرد

قضیه 1*. برای اینکه یک دامنه مربعی ساده متصل D یک int منحنی داشته باشد. به مسیر ادغام بستگی نداشت تا شرط (.1) برآورده شود، i.e.

قضیه 2*. برای اینکه یک دامنه مربعی ساده متصل D یک int منحنی داشته باشد. به مسیر ادغام بستگی ندارد بنابراین شرط (3) برآورده می شود:

شکل دیفرانسیل P(x,y)dx + Q(x,y)dy دیفرانسیل کل برخی از تابع F در دامنه D است.

قضیه 3*. برای اینکه یک دامنه مربعی ساده متصل D یک int منحنی داشته باشد. به مسیر ادغام بستگی نداشت تا شرط (4) برآورده شود:

نکته 2. در قضیه 2*، دامنه D نیز می تواند ضرب شود.

سخنرانی 4

موضوع: فرمول گرین شرایط استقلال یک انتگرال منحنی از مسیر ادغام.

فرمول گرین

فرمول گرین یک ارتباط بین یک انتگرال منحنی بر روی یک کانتور بسته Г در یک صفحه و یک انتگرال دوتایی بر روی یک منطقه محدود شده توسط یک کانتور مشخص برقرار می کند.

انتگرال خط روی یک کانتور بسته Г با نماد نشان داده می شود. کانتور بسته Г در نقطه ای از B این کانتور شروع می شود و در نقطه B به پایان می رسد. انتگرال کانتور بسته به انتخاب نقطه B بستگی ندارد.

تعریف 1. دور زدن کانتور Г در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که هنگام دور زدن کانتور Г، ناحیه D در سمت چپ باقی بماند. G + - مدار G در جهت مثبت دور می زند، G - - مدار در جهت منفی دور می زند، یعنی. در جهت مخالف

.

به همین ترتیب ثابت می شود که:

از برابری های (1) و (2) به دست می آوریم:

از این رو،

فرمول گرین تحت فرضیات ساخته شده ثابت شده است.

یادداشت 1. اگر مرز Г ناحیه D در بیش از دو نقطه با چند خط مستقیم موازی با محور 0X یا 0Y قطع شود، فرمول گرین معتبر می‌ماند. علاوه بر این، فرمول گرین برای مناطق متصل به n نیز معتبر است.

شرایط استقلال یک انتگرال منحنی از مسیر ادغام در صفحه.

در این قسمت شرایطی را خواهیم یافت که در آن انتگرال منحنی به مسیر انتگرال بستگی ندارد، بلکه به نقطه شروع و پایان انتگرال بستگی دارد.

قضیه 1. به منظور انتگرال منحنی به مسیر ادغام در یک دامنه متصل ساده بستگی ندارد، لازم و کافی است که این انتگرال گرفته شده بر روی هر کانتور صاف تکه ای بسته در این دامنه برابر با صفر باشد.

برهان: ضرورت.داده شده: به مسیر ادغام بستگی ندارد. لازم است ثابت شود که انتگرال منحنی بر روی هر کانتور صاف تکه ای بسته برابر با صفر است.

اجازه دهید یک کانتور بسته تکه‌ای صاف Г در حوزه D در نظر گرفته شود.

، یعنی

کفایت. داده شده: انتگرال منحنی در امتداد هر کانتور صاف تکه ای بسته برابر با صفر است.

ما باید ثابت کنیم که انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد.

یک انتگرال منحنی را بر روی دو خطوط صاف تکه تکه در نظر بگیرید که نقاط B و C را به هم متصل می کنند. با توجه به شرایط:

آن ها منحنی

انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد.

قضیه 2.بگذارید آنها با مشتقات جزئی در یک دامنه D به سادگی پیوسته باشند. به منظور انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد، لازم و کافی است که هویت در دامنه D باقی بماند

برهان: کفایت.داده شده: . اثبات آن لازم است به مسیر ادغام بستگی ندارد. برای انجام این کار، اثبات آن کافی است برابر با صفر در امتداد هر کانتور صاف تکه ای بسته است. طبق فرمول گرین داریم:

ضرورت.با توجه به قضیه 1، انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد. اثبات آن لازم است

نوع دوم از مسیر ادغام

یک انتگرال منحنی از نوع دوم را در نظر بگیرید، جایی که L منحنی اتصال نقاط M و N است. اجازه دهید توابع P(x, y) و Q(x, y) مشتقات جزئی پیوسته ای در برخی از حوزه های D داشته باشند که در آن منحنی L وجود دارد. اجازه دهید شرایطی را تعیین کنیم که تحت آن انتگرال منحنی مورد بررسی به شکل منحنی L بستگی ندارد، بلکه فقط به محل نقاط M و N بستگی دارد.

بیایید دو منحنی دلخواه MSN و MTN ترسیم کنیم که در ناحیه D قرار دارند و نقاط M و N را به هم متصل می کنند (شکل 14).

بیایید فرض کنیم که، یعنی،

که در آن L یک حلقه بسته است که از منحنی های MSN و NTM تشکیل شده است (از این رو، می توان آن را دلخواه در نظر گرفت). بنابراین، شرط استقلال یک انتگرال منحنی از نوع 2 از مسیر انتگرال گیری معادل با شرطی است که چنین انتگرالی بر روی هر کانتور بسته برابر با صفر باشد.

قضیه 5 (قضیه گرین). اجازه دهید توابع P(x, y) و Q(x, y) و مشتقات جزئی آنها در تمام نقاط برخی از دامنه D پیوسته باشند. سپس، برای اینکه هر کانتور بسته L که در دامنه D قرار دارد شرایط را برآورده کند

لازم و کافی است که = در تمام نقاط منطقه D.

اثبات

1) کفایت: شرط = برآورده شود. اجازه دهید یک کانتور بسته دلخواه L را در ناحیه D در نظر بگیریم که ناحیه S را محدود می کند و فرمول گرین را برای آن بنویسیم:

پس کفایت ثابت شده است.

2) ضرورت: فرض کنید شرط در هر نقطه از منطقه D برقرار است، اما حداقل یک نقطه از این منطقه وجود دارد که در آن -؟ 0. مثلاً در نقطه P(x0, y0) داریم: - > 0. از آنجایی که سمت چپ نابرابری دارای تابع پیوسته است، آیا مثبت و بزرگتر از مقداری خواهد بود؟ > 0 در یک منطقه کوچک D` حاوی نقطه P. در نتیجه،

از اینجا، با استفاده از فرمول گرین، آن را به دست می آوریم

که در آن L، کانتور محدود کننده منطقه D` است. این نتیجه با شرط تناقض دارد. در نتیجه، = در تمام نقاط منطقه D، چیزی است که باید ثابت شود.

نکته 1. به همین ترتیب، برای فضای سه بعدی نیز می توان ثابت کرد که شرایط لازم و کافی برای استقلال انتگرال منحنی وجود دارد.

از مسیر ادغام عبارتند از:

نکته 2. اگر شرایط (52) برآورده شود، عبارت Pdx + Qdy + Rdz دیفرانسیل کل تابع u است. این به ما امکان می دهد تا محاسبه یک انتگرال منحنی را برای تعیین تفاوت بین مقادیر در هر دو نقطه نهایی و اولیه کانتور ادغام کاهش دهیم.

در این مورد، تابع و را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

که در آن (x0، y0، z0) یک نقطه از منطقه D است، و C یک ثابت دلخواه است. در واقع، به راحتی می توان تأیید کرد که مشتقات جزئی تابع و با فرمول (53) برابر با P، Q و R هستند.

مثال 10.

انتگرال خط از نوع دوم را محاسبه کنید

در امتداد منحنی دلخواه نقاط اتصال (1، 1، 1) و (2، 3، 4).

اجازه دهید مطمئن شویم که شرایط (52) برآورده شده است:

بنابراین، تابع وجود دارد. اجازه دهید آن را با استفاده از فرمول (53)، با قرار دادن x0 = y0 = z0 = 0 پیدا کنیم. سپس

بنابراین، تابع تا یک مدت ثابت دلخواه تعیین می شود. بیایید C = 0 و سپس u = xyz را در نظر بگیریم. از این رو،