آوردن سیستم به ساده ترین شکل مواردی از کاهش یک سیستم هواپیمای نیروها به ساده ترین شکل

قضیه اساسی استاتیک.یک سیستم دلخواه از نیروها که بر روی یک جسم صلب وارد می شود را می توان با یک سیستم معادل متشکل از یک نیرو و یک جفت نیرو جایگزین کرد. نیرو برابر بردار اصلی سیستم نیرو است و در نقطه ای از بدن که به طور دلخواه انتخاب شده است (مرکز کاهش) اعمال می شود، ممان زوج برابر با ممان اصلی سیستم نیرو نسبت به این نقطه است.

بردار اصلی سیستم نیرو:

.

لحظه اصلی سیستم نیروها نسبت به مرکز O:

توسط پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات تعیین می شود:

, , ,

.

موارد زیر برای آوردن یک سیستم نیرو به مرکز امکان پذیر است:

سیستم نیروها به یک نتیجه تقلیل می یابد. خط عمل حاصل از مرکز کاهش می گذرد.

یک سیستم نیرو به یک جفت نیرو تقلیل می یابد.

3. , , - سیستم نیروها برآیندی دارد که از مرکز کاهش عبور نمی کند. خط عمل آن توسط معادلات تعیین می شود

4. , , - سیستم نیروها به یک پیچ دینامیکی (نیرو و یک جفت در یک صفحه عمود بر نیرو) کاهش می یابد.

لحظه چند نیروی پروانه دینامیک

.

محور پیچ دینامیکی با معادلات تعیین می شود

5. , - یک سیستم متعادل از نیروها.

مثال 1.4.1. سیستم نیروها (شکل 1.4.1) را به ساده ترین شکل خود بیاورید، اگر اف 1 = 5 N، اف 2 = 15 نیوتن، اف 3 = 10 نیوتن، اف 4 = 3 N، آ= 2 متر

1. برای مرکز کاهش، مبدا مختصات - نقطه را انتخاب کنید O(شکل 1.4.2) و زوایای a و b را که موقعیت نیرو را تعیین می کند را نشان دهید.

2. پیش بینی های بردار اصلی را روی محورهای مختصات بیابید:

,

,

.

ن.

3. پیش بینی های لحظه اصلی را نسبت به نقطه محاسبه کنید در بارهدر محور مختصات:

,

,

,

نیوتن متر، Nm، Nm،

4. مقدار حاصل ضرب اسکالر بردار اصلی و ممان اصلی را بیابید

از آنجایی که سیستم نیروها به پیچ دینامیکی سمت راست آورده می شود. بردار ممان یک جفت ملخ دینامیکی و بردار اصلی در جهت منطبق هستند.

5. معادله محور پروانه دینامیکی به شکل زیر است:

یا با در نظر گرفتن مقادیر یافت شده:

برای ساخت محور پروانه دینامیک، نقاطی را پیدا می کنیم آو بتقاطع های آن با صفحات مختصات اکسیو اویز،به ترتیب

-0.203 متر 1.063 متر

6. اجازه دهید گشتاور یک جفت نیروی یک پروانه دینامیکی را تعیین کنیم

نیوتن متر

7. با مختصات نقاط آو ببیایید محور پیچ دینامیک را به تصویر بکشیم (شکل 1.4.3). در یک نقطه دلخواه در این محور، نیرویی برابر با بردار اصلی و بردار ممان جفت نشان می‌دهیم.

مشکل 1.4.1. آیا سیستم حاصل از نیروهای که بردار اصلی و لحظه اصلی نسبت به مرکز در باره .

پاسخ: بله.

مشکل 1.4.2. آیا سیستم حاصل از نیروهایی که بردار اصلی و ممان اصلی نسبت به مرکز است در باره .

پاسخ: خیر

مشکل 1.4.3. فاصله از مرکز کاهش را تعیین کنید در بارهدره عمل سیستم نیروها (شکل 1.4.4)، اگر بردار اصلی آن آر= 15 نیوتن و ممان اصلی M O= 30 نیوتن متر

جواب: 2 متر

مشکل 1.4.4. با در نظر گرفتن نقطه مرجع به عنوان مرکز کاهش، زاویه بین بردار اصلی و ممان اصلی سیستم نیرو را که در شکل 1.4.5 نشان داده شده است، تعیین کنید. O، اگر اف 1 = اف 2 = 2 N، گشتاور چند نیرو م 1 = 3 نیوتن متر، OA= 1.5 متر

پاسخ: α = 0º.

مشکل 1.4.5. با در نظر گرفتن نقطه مرجع به عنوان مرکز کاهش، زاویه بین بردار اصلی و ممان اصلی سیستم نیروها را که در شکل 1.4.6 نشان داده شده است، تعیین کنید. در باره، اگر اف 1 = اف 2 = اف 3 = 10 نیوتن، آ= 3 متر

پاسخ: α = 135 درجه

مشکل 1.4.6. بردار اصلی و ممان اصلی سیستم نیروهای نشان داده شده در شکل 1.4.7 را بیابید، اگر اف 1 = اف 2 = اف 3 = 7 N، a OA = OB = سیستم عامل= 2 متر نقطه را به عنوان مرکز کاهش در نظر بگیرید در باره.

پاسخ: آر = 0, M O= 17.146 نیوتن متر.

برنج. 1.4.6	برنج. 1.4.7

مشکل 1.4.7. اگر سیستم نیروهای اعمال شده بر رئوس متوازی الاضلاع (شکل 1.4.8) را به ساده ترین شکل خود بیاورید. اف 1 = 16 نیوتن، اف 2 = 12 نیوتن، اف 3 = 20 نیوتن، آ = با= 2.4 متر، ب= 1.8 متر

م= 48 نیوتن متر

مشکل 1.4.8. اگر سیستم نیروهای اعمال شده بر رئوس مکعب (شکل 1.4.9) را به ساده ترین شکل خود بیاورید، اگر اف 1 = 15 نیوتن، اف 2 = 40 نیوتن، اف 3 = 25 نیوتن،
اف 4 = اف 5 = 20 نیوتن، آ= 1.5 متر

پاسخ: سیستم نیروها با یک لحظه به یک جفت نیرو تقلیل می یابد م= 63.65 نیوتن متر

مشکل 1.4.9. همانطور که در شکل نشان داده شده است، سیستمی از نیروهای اعمال شده به یک هرم چهار گوش منظم را بیاورید. 1.4.10، به ساده ترین شکل، اگر اف 1 = اف 2 = اف 3 = اف 4 = 1 N، اف 5 = 2.83 نیوتن، AB = مانند= 2 متر

پاسخ : سیستم نیروها متعادل است.

برنج. 1.4.8	برنج. 1.4.9
برنج. 1.4.10	برنج. 1.4.11

مشکل 1.4.10.اگر سیستم نیروهای اعمال شده بر رئوس یک متوازی الاضلاع مستطیلی (شکل 1.4.11) را به ساده ترین شکل خود بیاورید، اگر اف 1 = اف 5 = 10 نیوتن، اف 3 = 40 نیوتن، اف 4 = 15 نیوتن، اف 2 = 9 N، آ= 2.4 متر، ب= 3.2 متر، ج= 1 متر

جواب: نظام نیروها به نتیجه تقلیل می یابد آر= 32 N که خط عمل آن موازی با محور است اوهو از نقطه عبور می کند آ (0,9; 0; 0).

مشکل 1.4.11.اگر سیستم نیروهای اعمال شده بر رئوس یک متوازی الاضلاع مستطیلی (شکل 1.4.12) را به ساده ترین شکل خود بیاورید. اف 1 = اف 3 = 3 N، اف 2 = اف 6 = 6 N، اف 4 = اف 5 = 9 N، آ= 3 متر، ب= 2 متر، ج= 1 متر

پاسخ : سیستم نیروها متعادل است.

مسئله 1.4.12.اگر سیستم نیروهای اعمال شده بر رئوس یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل (شکل 1.4.13) را به ساده ترین شکل خود بیاورید، اگر اف 1 = اف 4 =اف 5 = 50 نیوتن، اف 2 = 120 نیوتن، اف 3 = 30 نیوتن، آ= 4 متر، ب= 3 متر، ج= 5 متر

آر= 80 نیوتن که خط عمل آن موازی با محور است اوهو از نقطه عبور می کند آ (0,0,10).

مسئله 1.4.13.سیستم نیروهای اعمال شده بر رئوس مکعب (شکل 1.4.14) را به ساده ترین شکل خود بیاورید، اگر آ= 1 متر، اف 1 = 866 نیوتن، اف 2 = اف 3 = اف 4 = اف 5 = 500 N. هنگام تصمیم گیری برای پذیرش .

پاسخ: سیستم به نتیجه تقلیل می یابد آر= 7.07 نیوتن.

برنج. 1.4.12	برنج. 1.4.13
برنج. 1.4.14	برنج. 1.4.15

مسئله 1.4.14.اگر سیستم نیروهای وارد شده به یک هرم مثلثی منظم (شکل 1.4.15) را به ساده ترین شکل خود بیاورید. اف 1 = اف 2 = اف 3 = اف 4 = اف 5 = اف 6 = 1 N، AB = مانند= 2 متر

پاسخ: سیستم نیروها به یک پیچ دینامیکی با آر= 1.41 نیوتن و م= 1.73 نیوتن متر، محور پیچ قدرت از بالا عبور می کند اسعمود بر قاعده هرم.

مسئله 1.4.15.وزن دکل رادیویی با پایه جی= 140 کیلو نیوتن. نیروی کشش آنتن به دکل اعمال می شود اف= 20 کیلو نیوتن و نیروهای فشار باد حاصل پ= 50 کیلونیوتن؛ هر دو نیرو افقی هستند و در صفحات عمود بر یکدیگر قرار دارند (شکل 1.4.16). واکنش حاصل از خاکی که پایه دکل در آن گذاشته شده است را تعیین کنید.

پاسخ: یک سیستم توزیع شده از نیروهای واکنش زمین با نیرویی معادل 150 کیلو نیوتن و یک جفت با ممان 60 کیلونیوتن بر متر به پروانه دینامیکی سمت چپ رانده می شود. معادله محور مارپیچ مرکزی شکل دارد

.

مرکز گرانش

مرکز ثقل جسم جامد مرکز نیروهای ثقل موازی ذرات یک جسم معین است.

,

برای تعیین موقعیت مرکز ثقل اجسام همگن، روش تقارن، روش تقسیم به اجسام با شکل ساده با موقعیت مشخص مراکز ثقل، و همچنین روش جرم های منفی (خطوط، مناطق) ، حجم) استفاده می شود.

مثال 1.5.1.مختصات مرکز ثقل یک خرپا تخت (شکل 1.5.1)، متشکل از میله های همگن با وزن خطی یکسان را تعیین کنید.

1. بیایید روش پارتیشن بندی را اعمال کنیم، یعنی خرپا را مجموعه ای از هفت میله تصور کنیم.

2. مختصات مرکز ثقل خرپا را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

; ,

که در آن , , طول و مختصات مرکز ثقل میله با عدد هستند .

طول و مختصات مراکز ثقل میله ها:

سپس ,

مثال 1.5.2.دیوار انتهایی آشیانه (شکل 1.5.2) به شکل نیم دایره است 1 شعاع با درگاه مستطیل شکل 2 ارتفاع و عرض مختصات مرکز ثقل دیوار را تعیین کنید.

1. روش های تقارن و نواحی منفی را با در نظر گرفتن یک نیم دایره اعمال می کنیم 1 و برش مستطیلی 2 .

2. مختصات مرکز ثقل دیوار را پیدا کنید.

چون محور اوهمحور تقارن است، سپس مختصات

مختصات مرکز ثقل صفحه با فرمول تعیین می شود

جایی که , , , مساحت ها و مختصات مراکز ثقل شکل ها هستند 1 و 2 .

مساحت ها و مختصات مراکز ثقل شکل ها:

وظایف 1.5.1 - 1.5.4.مختصات مراکز ثقل خرپاهای مسطح (شکل 1.5.3 - 1.5.6)، متشکل از میله های همگن با وزن خطی یکسان را تعیین کنید.

پاسخ به مسائل 1.5.1 - 1.5.4:

برنج. 1.5.3	برنج. 1.5.4
برنج. 1.5.5	برنج. 1.5.6
برنج. 1.5.7	برنج. 1.5.8

مسائل 1.5.5 – 1.5.7.مختصات مراکز ثقل خطوط مرکب همگن را تعیین کنید (شکل 1.5.7 – 1.5.9).

پاسخ به مسائل 1.5.5 - 1.5.7:

برنج. 1.5.9	برنج. 1.5.10
برنج. 1.5.11	برنج. 1.5.12

مشکل 1.5.8. یک سیم همگن که در زاویه قائم خم شده است روی یک نخ آویزان شده است (شکل 1.5.10). رابطه بین طول بخش ها را پیدا کنید آگهیو A.E.، که در آن منطقه A.E.در وضعیت افقی قرار دارد. AB = 0,3 ل 1 .

مشکل 1.5.9. مختصات مرکز ثقل یک سیم همگن را تعیین کنید (شکل 1.5.11)، اگر آ= 3 متر، ب= 2 متر، ج= 1.5 متر

پاسخ: xC= 1.69 متر، yC= 1.38 متر، z C= 1.33 متر.

مشکل 1.5.10. یک کانتور بسته همگن که یک نیم دایره را محدود می کند بر روی یک نخ معلق است (شکل 1.5.12). زاویه α بین افقی و قطر نیم دایره را تعیین کنید.

پاسخ: α = 68.74 درجه.

مسائل 1.5.11 – 1.5.14. مختصات مراکز ثقل شکل های مسطح همگن را تعیین کنید (شکل 1.5.13 – 1.5.16).

پاسخ به مسائل 1.5.11 – 1.5.14:

برنج. 1.5.13	برنج. 1.5.14
برنج. 1.5.15	برنج. 1.5.16
برنج. 1.5.17	برنج. 1.5.18

مسئله 1.5.15. تکیه گاه ژورنال بلبرینگ قسمتی است متشکل از تکیه گاه به شکل موازی و یک کلید به شکل مکعب (شکل 1.5.17). مختصات مرکز ثقل پایه را تعیین کنید. ابعاد بر حسب میلی متر نشان داده شده است.

پاسخ:

مسئله 1.5.16. ژورنال یک یاتاقان کشویی بخشی است متشکل از یک تکیه گاه موازی و استوانه ای شکل (شکل 1.5.18). مختصات مرکز ثقل محور را تعیین کنید. ابعاد بر حسب میلی متر نشان داده شده است.

پاسخ: , ,

مسئله 1.5.17. یک جسم همگن که سطح مقطع آن در شکل 1.5.19 نشان داده شده است، از یک نیمکره، یک قسمت استوانه ای و یک مخروط مدور تشکیل شده است. مختصات مرکز ثقل بدن را تعیین کنید. ابعاد بر حسب میلی متر نشان داده شده است.

پاسخ: ، ،

مسئله 1.5.18. لوله تفنگ تانک به شکل یک مخروط کوتاه به طول است (شکل 1.5.20). قطر بیرونی لوله در نقطه اتصال به بریچ تفنگ قطر خارجدر یک بخش مربوط به دهانه سوراخ لوله، کالیبر تفنگ د= 100 میلی متر مختصات مرکز ثقل تنه را تعیین کنید.

پاسخ:

مسئله 1.5.19. مختصات مرکز ثقل جسم همگن متشکل از دو متوازی الاضلاع مستطیل شکل را تعیین کنید (شکل 1.5.21). متوازی الاضلاع پایینی دارای بریدگی به شکل یک چهارم استوانه با شعاع پایه است آر= 10 سانتی متر ابعاد در تصویر بر حسب سانتی متر می باشد.

پاسخ: xC= 17.1 سانتی متر، yC= 20.99 سانتی متر، z C= 7.84 سانتی متر

مسئله 1.5.20. مختصات مرکز ثقل یک جسم همگن (شکل 1.5.22)، متشکل از یک منشور مثلثی و یک متوازی الاضلاع با یک برش را تعیین کنید. ابعاد در تصویر بر حسب سانتی متر می باشد.

برنج. 1.5.19	برنج. 1.5.20
برنج. 1.5.21	برنج. 1.5.22

پاسخ: xC= 20.14 سانتی متر، yC= 35.14 سانتی متر، z C= 5 سانتی متر

بخش 2. سینماتیک

سینماتیک یک نقطه

سه روش تحلیلی برای تعیین حرکت یک نقطه وجود دارد: برداری، مختصات و طبیعی.

با روش برداری، بردار شعاع یک نقطه متحرک به صورت تابعی از زمان مشخص می شود. بردارهای سرعت و شتاب یک نقطه به ترتیب برابر با مشتقات بار اول و دوم بردار شعاع هستند:

, .

رابطه بین بردار شعاع و مختصات دکارتی یک نقطه با برابری بیان می شود: ، که در آن ، ، بردارهای واحد محورهای مختصات هستند.

با روش مختصات، قانون حرکت یک نقطه در سیستم مختصات دکارتی با تعیین سه تابع به دست می آید: , , . پیش بینی های سرعت و شتاب بر روی محورهای مختصات و همچنین مدول های سرعت و شتاب یک نقطه با فرمول های زیر تعیین می شوند:

, , , ,

در روش طبیعی، مسیر یک نقطه و قانون حرکت نقطه در امتداد مسیر مشخص می‌شود، که در آن مختصات منحنی در امتداد یک قوس از نقطه ثابتی در مسیر اندازه‌گیری می‌شود. مقدار جبری سرعت با فرمول تعیین می شود و شتاب یک نقطه برابر است با مجموع هندسی شتاب های مماسی و عادی، یعنی. , , , , – شعاع انحنای مسیر در یک نقطه معین.

مثال 2.1.1.پرتابه طبق معادلات در یک صفحه عمودی حرکت می کند (x، y- در متر، تی- در ج). پیدا کردن:

- معادله مسیر؛

- سرعت و شتاب در لحظه اولیه؛

- ارتفاع و برد آتش؛

- شعاع انحنا در نقاط اولیه و بالاترین مسیر.

1. معادلات مسیر پرتابه را بدون احتساب پارامتر بدست آوریم تیاز معادلات حرکت

.

مسیر یک پرتابه بخشی از سهمی است (شکل 2.1.1) که دارای نقاط محدود کننده است: نقطه اولیه با مختصات ایکس = 0, در= 0 و نهایی، که برای آن ایکس = L(محدوده پرواز) در = 0.

2. برد پرتابه را با جایگزینی تعیین کنید در= 0 به معادله مسیر. از کجا پیداش کنیم؟ L= 24000 متر

3. سرعت و شتاب پرتابه را با استفاده از برجستگی های روی محورهای مختصات پیدا می کنیم:

در لحظه اولیه زمان v 0 = 500 متر بر ثانیه، آ= 10 متر بر ثانیه 2.

4. برای تعیین ارتفاع پرواز پرتابه، بیایید زمان را پیدا کنیم تی 1 پرواز تا این نقطه در بالاترین نقطه، طرح ریزی سرعت بر روی محور yبرابر با صفر (شکل 2.1.1)، ، جایی که تی 1 = 40 ثانیه جایگزین کردن تی 1 به عبارت مختصات در، مقدار ارتفاع را بدست می آوریم ن= 8000 متر

5. شعاع انحنای مسیر

، جایی که .

متر متر

مثال 2.1.2.در مکانیزم میل لغزنده (شکل 2.1.2) میل لنگ 1 با ثابت می چرخد سرعت زاویهایراد/ثانیه معادلات حرکت، مسیر و سرعت نقطه میانی را پیدا کنید مشاتون 2 ، اگر OA = AB= 80 سانتی متر

1. معادلات حرکت یک نقطه را بنویسیم مبه شکل مختصات (شکل 2.1.3)

2. معادله مسیر را با حذف زمان بدست می آوریم تیاز معادله حرکت:

مسیر نقطه ای م– یک بیضی با مرکز در مبدا و نیم محورهای 120 سانتی متر و 40 سانتی متر.

3. سرعت نقطه با پیش بینی های روی محورهای مختصات تعیین می شود

وظیفه 2.1.1.با توجه به معادلات حرکت یک نقطه، معادله مسیر حرکت آن را به صورت مختصات پیدا کنید.

معادله حرکت	پاسخ

وظیفه 2.1.2.معادله مسیر را به صورت مختصات و قانون حرکت یک نقطه در طول مسیر را در صورتی که معادلات حرکت آن در مختصات دکارتی داده شده باشد، بیابید. برای مبدا مختصات قوس سموقعیت اولیه نقطه را بپذیرید.

معادله حرکت	پاسخ
	, ;
	;
	;
	;

وظیفه 2.1.3.حرکت یک نقطه با معادلات، ( – بر حسب سانتی متر، – بر حسب s) به دست می آید. معادله مسیر نقطه را به صورت مختصات، سرعت و شتاب، شتاب مماسی و نرمال نقطه و همچنین شعاع انحنای مسیر در زمان s را بیابید. مسیر نقطه و بردارهای سرعت و شتاب پیدا شده را در نقشه رسم کنید. ، – بر حسب سانتی متر، اگر و زمانی که زاویه بیشترین است.

پاسخ 1) ; 2) , , ; , , .

قضیه (درباره انتقال موازینیرو در هر نقطه).نیروی وارد شده به ATT، بدون تغییر اثری که بر بدن اعمال می کند، می تواند به موازات خود به هر نقطه ای از ATT منتقل شود، با اضافه کردن یک جفت نیرو با گشتاور برابر با لحظه نیروی منتقل شده نسبت به نقطه. جایی که منتقل می شود.

اثباتاجازه دهید در A.T.T.زور عمل می کند اف،در یک نقطه اعمال شود آ.طبق اصل 2 استاتیک، در هر نقطه از بدن می توانیم یک سیستم متعادل از نیروها را اعمال کنیم F, F",برای مثال در یک نقطه که در(شکل 4.1).

برنج. 4.1

اجازه دهید F" = F.سپس سیستم حاصل از سه نیرو را می توان سیستمی متشکل از نیرو در نظر گرفت اف"و یک جفت نیرو اضافه شده است F، Fبا لحظه تی = mB (F). ?

اجازه دهید دو قضیه دیگر را ارائه کنیم که ممکن است در حل مسائل مفید باشند. اولی است اویلر - قضیه سوموف.

قضیه.یک سیستم فضایی دلخواه از نیروهایی که بر ATT عمل می کنند را می توان به دو نیرو تقلیل داد (تقاطع نیروها)، که یکی از آنها در یک نقطه انتخابی خودسرانه A از TT اعمال می شود.

دومین - قضیه وارینیون برای یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها،که یک مورد خاص از قضیه اویلر-سوموف است.

قضیه.یک سیستم هواپیمای دلخواه از نیروها معادل سیستمی از دو نیرو است که در این صفحه قرار دارد.

? آوردن یک سیستم نیروها به یک قضیه مرکز (قضیه بنیادی استاتیک).عمل هر سیستم دلخواه نیرو بر روی ATT معادل عمل در نقطه دلخواه A از این بردار اصلی ATT است. 1 F این سیستم نیروها و یک جفت نیرو با ممان MA که برابر با ممان اصلی سیستم نیروها نسبت به مرکز کاهش A 2 است.

اثباتاجازه دهید در A.T.T.یک سیستم اختیاری از نیروها عمل می کند F(_n.بیایید یک نقطه را خودسرانه انتخاب کنیم آجسم به عنوان مرکز کاهش (شکل 4.2) و تمام نیروها را طبق قضیه انتقال موازی نیرو به این نقطه منتقل کنید.

برنج. 4.2.به قضیه بنیادی استاتیک: تقلیل به ساده ترین شکل یک سیستم اختیاری نیروها

با چنین انتقالی در نقطه آدو گروه از بردارها اعمال خواهد شد:

1) بردارهای نیرو F(_n = Fx_nو 2) بردارهای گشتاورهای اضافه شده #و LO b,1 = m A (F\_„). SSS Fx"_nمی تواند با نتیجه جایگزین شود اف = ^Fj،و یک سیستم از جفت معادل یک جفت با یک لحظه است

m l = !

در مورد خاص مکان همه نیروها در یک صفحه - سیستم مسطح نیروها - سیستم نیروها به بردار اصلی و ممان اصلی اسکالر کاهش می یابد (از آنجایی که جهت بردار ممان اصلی مشخص است، عمود بر صفحه محل نیروها است).

زور اف،برابر با مجموع هندسی / برداری تمام نیروهای سیستم نامیده می شود بردار اصلیسیستم های نیروها

لحظه M A،برابر با مجموع هندسی/بردار گشتاورهای تمام نیروها نسبت به مرکز آ،تماس گرفت نکته اصلیسیستم های نیروها

بنابراین، عمل مکانیکی هر سیستم فضایی نیرو بر روی ATT با دو پارامتر تعمیم یافته مشخص می شود:

• 1 برای تعریف بردار اصلی و ممان اصلی یک سیستم نیروها، در ادامه این فصل ببینید.
• 2 در همان زمان افبه انتخاب مرکز بستگی ندارد L(به عبارت دیگر، بردار اصلی سیستم نیرو یک تغییر ناپذیر از سیستم نیرو است) و مقادیر M Aدر حالت کلی، به موقعیت مرکز کاهش بستگی دارد (به عبارت دیگر، لحظه اصلی سیستم نیروها تغییر ناپذیر سیستم نیروها نیست).

رامی: بردار اصلی و لحظه اصلی. تعیین این مقادیر را می توان با ساخت هندسی یا با محاسبات عددی با استفاده از فرمول های زیر انجام داد:

اگر نیاز به پیدا کردن زاویه دارید، کسینوس جهت بردارهای اصلی محاسبه می شود:

? موارد خاص کاهش سیستم های نیرو

این موارد به طور رسمی با برابری صفر مقادیر بردارهای اصلی سیستم نیرو همراه است.

من مورد.کاهش یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها:

• 1) F=در باره، M L - 0 - سیستم نیروها در حالت تعادل است.
• 2) F-در باره، M A F M A،
• 3) FFدر باره، M A - 0 - سیستم نیروها به یک بردار اصلی کاهش می یابد (در مرکز کاهش اعمال می شود آ)،که در این صورت نیروی حاصل است;
• 4) اف افدر باره، M A F 0 - سیستم نیروها به یک نیرو کاهش می یابد - بردار اصلی سیستم نیروهای اعمال شده در نقطه که در(شکل 4.3)، که در این مورد نیروی حاصل است.

برنج. 4.3.

در شکل فاصله 4.3 LW = د،که بازوی نیرو است، از شرط محاسبه می شود M A - Fد

مورد دومآوردن یک سیستم فضایی دلخواه از نیروها:

• 1)F= در باره، M A= 0 - سیستم نیروها در تعادل است.
• 2) F=در باره، M Aاف 0 - سیستم نیروها با یک لحظه به یک جفت کاهش می یابد M A،که ارزش آن به انتخاب مرکز کاهش بستگی ندارد.
• 3) FFدر باره، M A = 0 - سیستم نیروها به یک نتیجه کاهش می یابد اف
• 4) Gf اوه، M Aاف 0:
  • آ) اف آ.M A -سیستم نیروها به یک نتیجه کاهش می یابد که در نقطه اعمال می شود که دربه طوری که LW = د = M.J.F.(شکل 4.3 را ببینید).
  • ب) F M A -سیستم نیروها (شکل 4.4) در این مورد نامیده می شود پیچ دینامیک / قدرت،یا به سادگی دینامخط مستقیمی که بردار اصلی در امتداد آن هدایت می شود نامیده می شود محور پویایی یا محور مرکزی سیستم نیروها.

برنج. 4.4.

تحت تأثیر چنین سیستم نیروها، بدن آزاد یک حرکت پیچی انجام می دهد. با یک تکلیف تحلیلی، محور دینام از قطب عبور می کند آ،دارای معادلات:

جایی که - پارامتر پویاییداشتن ابعاد طول

در واقع، اجازه دهید M 0= ^Г(#;. x/s) - لحظه اصلی سیستم نیروها F iبا نتیجه F(X,U، Z)= نسبت به مرکز در بارهو M A= ^(i، x/D - لحظه اصلی همان سیستم نیروها هنگامی که به مرکز آورده می شود آ(شکل 4.5، آ).از آنجایی که /*، = OA+من پس M L = M 0 -OAایکس^F i= M 0 -OAایکس اف.شرط خطی برای بردار اصلی و لحظه اصلی برای یک نقطه آبه صورت زیر نوشته شده است: pF = M A،جایی که آر- یک پارامتر پیچ که دارای بعد طول است. از کجا تهیه کنیم؟

و با معادل سازی ضرایب بردارهای واحد در سمت چپ و راست، معادله مورد نظر را برای محور مرکزی دینام بدست می آوریم.

برنج. 4.5،آ.برای استخراج معادله محور مرکزی پویایی

ج) اگر بردار اصلی و ممان اصلی بین خود یک زاویه φ متفاوت از صفر و l/2 تشکیل دهند، آنگاه سیستم نیروها به پویایی تقلیل می یابد. F، M pکه محور آن از نقطه عبور می کند که دربه طوری که AB=MJF(برنج. 4.5 ، ب).

برنج. 4.5،بمکان دلخواه بردار اصلی سیستم نیرو و ممان اصلی

همانطور که می بینیم، عناصر پویایی بردار اصلی هستند افسیستم های نیرو و پویایی لحظه ای آقای M Aبه جهت بردار اصلی، یعنی. = M A soBf.

از کجا تهیه کنیم؟

اصلی متغیرهای ثابت 1سیستم های نیرو بردار اصلی هستند ری لحظه پویایی،برابر با فرافکنی لحظه اصلی است M Aبه جهت بردار اصلی. برای وکتور افاین گفته آشکار است. برای لحظه پویایی می توان به این نکته اشاره کرد M A = M 1( + M ± ,جایی که M A F= M l(F+ M L F,یا M A F = M p F.

از آنجایی که بردار /’ ثابت است، نتیجه می شود که تابش ممان اصلی بر روی جهت آن نیز ثابت است.

? شرایط تعادل

بر اساس ویژگی های هندسی، سیستم های نیرو به انواع زیر تقسیم می شوند:

• 1) سیستم نیروهای همگرا،آن ها نیروهایی که خطوط عمل آنها در یک نقطه قطع می شود.
• 2) خودسرانه سیستم مسطح نیروها،آن ها نیروهایی که خطوط عمل آنها در یک صفحه قرار دارد.
• 3)سیستم نیروی موازی- مسطح و فضایی، یعنی. نیروهایی که خطوط عمل آنها موازی است.
• 4) خودسرانه سیستم فضایی نیروها

اگر علاوه بر یک سیستم نیرو، یک سیستم گشتاور نیز بر روی LTT اثر بگذارد، آنگاه هر لحظه از این سیستم را می توان به عنوان یک جفت نیرو نشان داد و بنابراین، سیستم گشتاور را به یک سیستم نیرو تقلیل داد.

شرط اصلی برای تعادل استاتیکی(به صورت برداری):

برای تعادل L TT تحت تأثیر سیستم فضایی نیروها، لازم و کافی است که بردار اصلی و ممان اصلی این سیستم نیروها نسبت به هر مرکز کاهش برابر با صفر 1 باشد:

با طرح این دو معادله برداری بر روی محورهای مختصات انتخاب شده CO،شش معادله اسکالر یا شکل تحلیلی شرایط تعادل:

بدین ترتیب، برای اینکه ATT تحت تأثیر یک سیستم فضایی نیروها در تعادل باشد، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی های همه نیروها بر روی هر یک از سه محور مختصات و مجموع گشتاورهای همه نیروها نسبت به این محورها باشد. برابر با صفر هستند.

همین شرایط را می توان به شکل هندسی فرموله کرد:برای اینکه ATT تحت تأثیر سیستم فضایی نیروها در تعادل باشد، لازم و کافی است که چند ضلعی نیرو و چندضلعی ممان بسته باشند.

شرایط تعادل بیان شده در شکل تحلیلی (4.1a) اغلب نیز نامیده می شود معادلات تعادلاگر تعداد مجهولات از تعداد معادلات تعادلی بیشتر شود، مشکل اینجاست از نظر استاتیکی نامشخصهمانطور که می بینیم، در حالت کلی، مشکل تعادل بدن می تواند شش کمیت ناشناخته داشته باشد.

نصیحت!برای به دست آوردن ساده ترین معادلات تعادل (که هر کدام حاوی حداقل تعداد مجهول است) می توانید محورهای مختصات را عمود بر بیشترین تعداد نیروهای مجهول رسم کنید و نقاطی را در محل تلاقی خطوط عمل بیشترین تعداد نیروهای مجهول را به عنوان مرکز کاهش انتخاب کنید.

• ? موارد خاص شرایط تعادل
• 1. سیستم نیروهای همگرا با مرکز نیروها در یک نقطه آ.شرط تعادل برای آن به صورت برداری به یک معادله کاهش می یابد

1a. سیستم فضایی نیروهای همگرا. معادلات تعادل برای چنین سیستمی در شکل تحلیلی به شکل زیر خواهد بود:

16. سیستم هواپیمای نیروهای همگرا. معادلات تعادل برای چنین سیستمی به صورت تحلیلی، با فرض قرار گرفتن نیروها در صفحه موازی با صفحه اوه،شکل خواهد گرفت:

2. سیستم هواپیمای نیروها با نیروهای مستقر در هواپیما اوهو:

برای اطمینان ایستا در این مورد، تعداد مجهولات نباید بیش از سه باشد. همین معادلات را می‌توان به شکل‌های تحلیلی معادل دیگر ارائه داد:

خط کجاست آفتابعمود بر محور نیست اوه

شکل دیگری از شرایط تعادل:

جایی که الف، ب، جروی یک خط مستقیم دراز نکشید و متعلق به هواپیما باشید اوه

3. سیستم های موازیاستحکام - قدرت:

پشت. سیستم های موازی نیروها در فضا، با در نظر گرفتن قرار گرفتن آنها به موازات محور OU.سپس، از شش معادله (4.1a)، اولین، سوم و ششم یکسان خواهند شد (صرف نظر از اینکه آیا این سیستمنیروها در تعادل هستند یا نه):

36. سیستم های موازی نیروها روی یک هواپیما، با در نظر گرفتن قرار گرفتن آنها در یک صفحه اوهوموازی با محور OU:

یا به شکل دیگری:

4. برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، شرایط تعادل قبلاً در این فصل نشان داده شده است - این شرط اصلی برای تعادل استاتیک است (4.1).

مثال 1 ( آوردن سیستم نیروها به ساده ترین شکل).بردار اصلی را تعیین کنید R*و نکته اصلی M 0سیستم نیروهای داده شده R x، R 2، R 2، R 4نسبت به مرکز در بارهو مشخص کنید که این سیستم به چه ساده ترین شکل می تواند کاهش یابد. ابعاد متوازی الاضلاع (شکل 4.6)، و همچنین مدول ها و جهت نیروها در جدول نشان داده شده است.

هنگام تکمیل کار باید موارد زیر را انجام دهید:

• 1) یک سیستم معین از نیروها را با ساختن یک متوازی الاضلاع به مقیاس، نشان دادن زاویه به تصویر بکشید. xOyدر نقاشی برابر با 135 درجه؛ کاهش ابعاد محوری اوهبرابر 1:2 بگیرید.
• 2) با انتخاب یک سیستم از محورهای مختصات، ماژول و جهت بردار اصلی یک سیستم معین نیرو را از پیش بینی آن بر روی محورهای مختصات تعیین کنید و به تصویر بکشید. R*روی نقاشی؛

برنج. 4.6. مثال 1: متوازی الاضلاع اصلی

• 3) لحظه اصلی یک سیستم معین از نیروها را نسبت به مرکز محاسبه کنید در بارهبا توجه به پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات و تصویر M 0روی نقاشی؛
• 4) کوچکترین گشتاور اصلی یک سیستم معین از نیروها را محاسبه کنید.
• 5) بر اساس نتایج محاسبات بردار اصلی و کوچکترین ممان اصلی M*مشخص کنید که سیستم نیروها به چه ساده‌ترین شکل کاهش یافته است. در این مورد، شما باید موارد زیر را انجام دهید:
  • الف) اگر یک سیستم معین از نیروها به یک جفت نیرو کاهش یابد، با اعمال آن بر نقطه، ممان این جفت را نشان دهید. در باره؛
• 6) اگر یک سیستم معین از نیروها به نتیجه کاهش یابد، سپس معادلات خط عمل حاصل را بیابید، نقاط تقاطع صفحات مختصات را با این خط تعیین کنید و آن را در نقشه به تصویر بکشید.
• ج) اگر یک سیستم معین از نیروها به یک داین (پیچ قدرت) کاهش یابد، سپس معادلات محور مرکزی را پیدا کنید، نقاط تلاقی صفحات مختصات را با این محور مشخص کنید و /?* و M* را در نقشه به تصویر بکشید. .

راه حل. 1. تعیین بردار اصلی یک سیستم معین از نیروها.سیستم نیروی مشخص شده در شکل نشان داده شده است. 4.7.

برنج. 4.7. به عنوان مثال 1: سیستم اعمال شده از نیروها که ما در ابتدا تعیین می کنیم

در این مورد، cos a = 0.6 و sin a = 0.8.

پیش بینی بردار اصلی روی محورهای مختصات:

ماژول بردار اصلی کسینوس جهت:

مطابق با داده های اولیه، به دست می آوریم X= 10.6 نیوتن، Y= 10.0 نیوتن؛ Z= -12.8 N; R* = 19.4 نیوتن; cos (R, i) = 0.547، cos (R, j) = 0.515، cos (R, k) == -0,660.

بردار اصلی در شکل نشان داده شده است. 4.8.

برنج. 4.8.

2. تعیین ممان اصلی یک سیستم معین از نیروها نسبت به مرکز O.

ممان های اصلی یک سیستم معین از نیروها نسبت به محورهای مختصات:

ماژول هایلایت:

کسینوس جهت:

در نتیجه محاسبات داریم: M x= -200 نیوتن سانتی متر؛ م= 384 نیوتن سانتی متر؛ م،= -200 نیوتن سانتی متر؛ cos (M 0, i) = -0.419; cos (M 0 ,j)= 0.805; cos (M 0 , K) - - -0,419.

نکته اصلی در شکل نشان داده شده است. 4.8.

3. محاسبه کوچکترین گشتاور اصلی یک سیستم معین از نیروها:

با استفاده از این فرمول دریافت می کنیم: LG = 221 N cm.

4. از آنجایی که R* Ф 0 و L/* * 0، سپس سیستم داده شده از نیروها به یک دینا (پیچ قدرت) کاهش می یابد.

معادله محور مرکزی:

از این سه معادله، تنها دو معادله مستقل هستند. با جایگزینی مقادیر عددی یافت شده مقادیر به دو تا از این معادله ها، متوجه می شویم:

مقادیر مختصات نقاط تقاطع محور مرکزی صفحات مختصات که با استفاده از این معادلات تعیین می شود، در جدول آورده شده است.

محور مرکزی سیستم در شکل نشان داده شده است. 4.8.

توجه داشته باشید. اگر نیروها به یک نتیجه کاهش یابد، به عنوان مثال. R* f 0 و م"= 0، سپس معادلات خط عمل حاصل:

جایی که X، Y، Z -پیش بینی نیروی حاصل بر روی محورهای مختصات. M x، M y، M. -گشتاورهای اصلی یک سیستم معین از نیروها نسبت به محورهای مختصات. از این سه معادله، تنها دو معادله مستقل هستند.

• نامتغیر کمیتی است که به انتخاب سیستم مختصات بستگی ندارد و بنابراین تحت تبدیل های مختلف سیستم مختصات ثابت می ماند. در این حالت، این مقادیر ثابت می مانند انتخابات مختلفمرکز اعتیاد
• این شرایط برای تعادل ATT در صورتی که در لحظه اولیه زمان در چارچوب مرجع اینرسی انتخاب شده در حالت سکون بوده کافی خواهد بود. به طور معمول، در عمل مهندسی، CO متصل به زمین به عنوان چنین سیستمی انتخاب می شود.

همانطور که در بالا ثابت شد، یک سیستم دلخواه از نیروها، که به طور دلخواه در فضا قرار دارند، می توانند به یک نیروی منفرد برابر با بردار اصلی سیستم کاهش یافته و در یک مرکز کاهش دلخواه اعمال شوند. در باره، و یک جفت با گشتاور برابر با ممان اصلی سیستم نسبت به همان مرکز. بنابراین، در آینده سیستم دلخواهنیروها را می توان با مجموعه ای معادل از دو بردار جایگزین کرد - نیرو و گشتاور اعمال شده در یک نقطه در باره. هنگام تغییر موقعیت مرکز کاهش در بارهبردار اصلی قدر و جهت را حفظ خواهد کرد، اما لحظه اصلی تغییر خواهد کرد. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر بردار اصلی غیر صفر و باشد عمود بر ممان اصلی است، سپس سیستم نیروها به یک نیرو کاهش می یابد که در این صورت آن را برآیند می نامیم (شکل 8). لحظه اصلی را می توان با یک جفت نیرو (،) با یک شانه نشان داد، سپس نیروها و بردار اصلی یک سیستم دو را تشکیل می دهند.

نیروهایی معادل صفر که می توان آنها را کنار گذاشت. یک نیروی باقی می ماند که در امتداد یک خط مستقیم موازی با خط اصلی عمل می کند

شکل 8 به بردار و عبور از فاصله

ساعت= از صفحه تشکیل شده توسط بردارها و . مورد در نظر گرفته شده نشان می دهد که اگر از همان ابتدا مرکز کاهش را روی خط مستقیم انتخاب کنیم L،سپس سیستم نیروها بلافاصله به نتیجه می رسد، لحظه اصلی برابر با صفر خواهد بود. حال ثابت خواهیم کرد که اگر بردار اصلی غیر صفر و عمود بر لحظه اصلی نباشد، چنین نقطه ای را می توان به عنوان مرکز کاهش انتخاب کرد. در باره* که ممان اصلی نسبت به این نقطه و بردار اصلی روی یک خط مستقیم قرار خواهند گرفت. برای اثبات این موضوع، اجازه دهید لحظه را به دو جزء تجزیه کنیم - یکی در امتداد بردار اصلی و دیگری عمود بر بردار اصلی. بنابراین، جفت نیرو به دو جفت با گشتاور تجزیه می شود: و، و صفحه جفت اول عمود بر بردار است، سپس صفحه جفت دوم، عمود بر بردار (شکل 9) حاوی بردار است. ترکیب یک زوج با یک گشتاور و یک نیرو، سیستمی از نیروها را تشکیل می دهد که می توان آن را به یک نیرو کاهش داد (شکل 8) که از نقطه O * عبور می کند. بنابراین (شکل 9)، ترکیب بردار اصلی و لحظه اصلی در نقطه در بارهبه نیرویی که از یک نقطه می گذرد کاهش می یابد در باره*، و یک جفت با یک لحظه موازی با این خط، که چیزی بود که باید ثابت می شد. ترکیب یک نیرو و یک زوج که صفحه آنها عمود بر خط عمل نیرو است، پویایی نامیده می شود (شکل 10). یک جفت نیرو را می توان با دو نیروی ( , ) با قدر مساوی که در شکل 10 نشان داده شده است نشان داد. اما با جمع دو نیرو و , مجموع آنها و نیروی باقی مانده را بدست می آوریم که از آن نتیجه می شود (شکل 10). ) که ترکیب بردار اصلی و لحظه اصلی در نقطه است در باره، می توان به دو نیروی غیر متقاطع تقلیل داد و .

اجازه دهید برخی از موارد کاهش یک سیستم نیرو را در نظر بگیریم.

1. سیستم مسطح نیروها. برای قطعیت، بگذارید همه نیروها در صفحه باشند OXY. سپس در کلی ترین حالت

بردار اصلی صفر نیست، لحظه اصلی صفر نیست، حاصل ضرب نقطه آنها صفر است، در واقع

بنابراین، بردار اصلی عمود بر ممان اصلی است: سیستم صفحه نیروها به حاصل کاهش می یابد.

2. سیستم نیروهای موازی. برای قطعیت، بگذارید همه نیروها موازی با محور باشند OZ. سپس در کلی ترین حالت

در اینجا نیز بردار اصلی برابر با صفر نیست، ممان اصلی برابر با صفر نیست و حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است، در واقع

بنابراین، در این مورد، بردار اصلی عمود بر ممان اصلی است: سیستم نیروهای موازی به حاصل کاهش می یابد. در حالت خاص، اگر برابر با صفر باشد، بردار اصلی نیروها برابر با صفر است و سیستم نیروها به یک جفت نیرو کاهش می یابد که بردار ممان آن در صفحه است. OXY. حال اجازه دهید موارد در نظر گرفته شده را نظام مند کنیم. بیایید به یاد بیاوریم: یک سیستم فضایی دلخواه از نیروها اعمال می شود بدن جامد، از نظر استاتیکی معادل نیرویی برابر با بردار اصلی اعمال شده در نقطه دلخواه بدن (مرکز کاهش) و یک جفت نیرو با گشتاوری برابر با ممان اصلی سیستم نیروها نسبت به مرکز مشخص شده است. کاهش.

بیایید چند مورد خاص از قضیه قبل را در نظر بگیریم.

1. اگر برای یک سیستم معین، R = 0، M 0 = 0، آنگاه در حالت تعادل است.

2. اگر برای یک سیستم معین از نیروها R = 0، M 0  0، آنگاه با یک گشتاور M 0 = m 0 (F i) به یک جفت کاهش می یابد. در این مورد، مقدار M 0 به انتخاب مرکز O بستگی ندارد.

3. اگر برای یک سیستم معین R 0 را مجبور کند، آنگاه به یک نتیجه کاهش می یابد، و اگر R 0 و M 0 = 0، آنگاه سیستم با یک نیرو جایگزین می شود، یعنی. R حاصل از مرکز O عبور می کند. اگر R  0 و M 0  0 باشد، آنگاه سیستم با یک نیرویی که از نقطه مشخصی C عبور می کند، جایگزین می شود و OC = d(OCR) و d = |M 0 |/R.

بنابراین، یک سیستم مسطح از نیروها، اگر در تعادل نباشد، یا به یک نتیجه کاهش می‌یابد (وقتی R 0) یا به یک جفت (وقتی R = 0).

مثال 2. نیروهای اعمال شده به دیسک:

(شکل 3.16) این سیستم نیروها را به ساده ترین شکل خود می آورد.

راه حل: سیستم مختصات Oxy را انتخاب کنید. بیایید نقطه O را به عنوان مرکز کاهش انتخاب کنیم. بردار اصلی R:

R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; برنج. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0. بنابراین R = 0.

لحظه اصلی سیستم M 0:

M 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0، که در آن a شعاع دیسک است.

پاسخ: R = 0; M 0 = 0; بدن در تعادل است

سیستم نیروهای F 1, F 2, F 3 را که در شکل نشان داده شده است به ساده ترین شکل خود بیاورید (شکل 3.17). نیروهای F 1 و F 2 به اضلاع مخالف و نیروی F 3 در امتداد مورب مستطیل ABCD هدایت می شود که ضلع AD آن برابر با a است. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

راه حل: محورهای مختصات را همانطور که در شکل نشان داده شده است هدایت کنید. بیایید پیش بینی همه نیروها روی محورهای مختصات را تعیین کنیم:

قدر بردار اصلی R برابر است با:
;
.

کسینوس جهت خواهد بود:
;
.

از این رو: (x,R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

در باره اجازه دهید گشتاور اصلی سیستم نیروها را نسبت به مرکز کاهش A تعیین کنیم. سپس

m A = m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

با توجه به اینکه m A (F 1) = m A (F 3) = 0، از آنجایی که جهت نیروها از نقطه A می گذرد، پس

m A = m A (F 2) = F * a.

بنابراین، سیستم نیروها به یک نیروی R و یک جفت نیرو با یک گشتاور m A جهت خلاف جهت عقربه های ساعت کاهش می یابد (شکل 3.18).

پاسخ: R = 2F; (x,^R) = 150 0 ; (y,^ R) = 60 0 ; m A = F * a.

سوالاتی برای خودکنترلی

لحظه نیرو در مورد مرکز چقدر است؟

چند نیرو چیست؟

آوردن یک سیستم هواپیمای دلخواه از نیروها به یک مرکز معین؟

جمع نیروهای موازی؟

ادبیات: ، ، .

سخنرانی 4. شرایط تعادل برای یک سیستم هواپیما دلخواه نیروها

شکل اصلی شرایط تعادل.برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع پیش بینی های همه نیروها در هر یک از دو محور مختصات و مجموع گشتاورهای آنها نسبت به هر مرکز واقع در صفحه عمل نیروها برابر با صفر هستند:

F ix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

شکل دوم شرایط تعادل:برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع گشتاورهای همه این نیروها نسبت به هر دو مرکز A و B و مجموع برآمدگی آنها بر محور Ox عمود بر خط AB نباشد. برابر با صفر هستند:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; F ix = 0.

شکل سوم شرایط تعادل (معادله سه لحظه ای):برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع تمام این نیروها نسبت به هر سه مرکز A، B، C، که روی یک خط مستقیم قرار ندارند، برابر با صفر باشد:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

پ مثال 1. واکنش های تعبیه شده یک تیر کنسول را تحت تأثیر یک بار توزیع شده یکنواخت، یک نیروی متمرکز و دو جفت نیرو تعیین کنید (شکل 4.1). شدت بار = 3*10 4 نیوتن بر متر؛ F = 4 * 10 4 H; m 1 = 2 * 10 4 H * m; m 2 = 3 * 10 4 H * m. BN = 3 متر؛ NC = 3 متر؛ CA = 4 متر.

آر راه حل:

با توجه به اصل رهایی از اتصالات، ما اتصالات را با واکنش های مربوطه جایگزین می کنیم. با تعبیه صلب در دیوار، یک نیروی واکنش R A با جهت نامعلوم و یک گشتاور نامعلوم m A بوجود می آید (شکل 4.2). بیایید بار توزیع شده را با نیروی متمرکز Q معادل اعمال شده در نقطه K (VK = 1.5 متر) جایگزین کنیم. اجازه دهید سیستم مختصات VCU را انتخاب کنیم و شرایط تعادل تیر را به شکل اصلی ترسیم کنیم:

پیش بینی نیروها بر روی محور X: - Fcos45 0 - R Ax = 0 (1)

پیش بینی نیروها روی محور Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

مجموع لحظات: m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)

نیروی F را در نقطه C به دو جزء عمود بر یکدیگر F” و F’ تجزیه می کنیم. نیروی F’ لحظه ای نسبت به نقطه A ایجاد نمی کند، زیرا خط عمل نیرو از نقطه A می گذرد. ​​مدول نیرو F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

با جایگزینی مقادیر عددی به معادلات (1)، (2) و (3)، به دست می‌آییم:

در یک سیستم معین از سه معادله، سه مجهول وجود دارد، بنابراین سیستم یک راه حل دارد و فقط یک راه حل منحصر به فرد.

4*10 4 *0.7 = R Ax R Ax = 2.8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0.7 + R Ay = 0 R Ay = 11.8*10 4 H

m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8.5 + 4*10 4 *2.8 = 0 m A = - 86.8*10 4 H*m

جواب: R Ax = 2.8*10 4 H; R Ay = 11.8 * 10 4 H; m A = - 86.8*10 4 H*m.

مثال 2. واکنش تکیه گاه های A، B، C و لولای D تیر مرکب را تعیین کنید (شکل 4.3).

q = 1.75 * 10 4 نیوتن بر متر؛ F = 6 * 10 4 H; P = 5 * 10 4 H.

راه حل: بر اساس اصل رهایی از اتصالات، واکنش های مناسب را جایگزین اتصالات می کنیم.

بار توزیع شده را با نیروی متمرکز Q = q*KA که در نقطه M اعمال می شود جایگزین می کنیم (AM = 2m). تعداد نیروهای واکنش ناشناخته: R Ax، R Ay، R B، R C و دو جفت مولفه نیروی واکنش در لولا D.

آر بیایید به طور جداگانه به واکنش های لولا D نگاه کنیم. برای انجام این کار، تیرهای AD و DE را جداگانه در نظر بگیرید (شکل 4.5a، 4.5b).

طبق قانون سوم نیوتن در لولا D، یک سیستم از نیروهای R Dx و R Dy بر روی تیر KD و سیستم مخالف نیروها بر روی تیر DE اعمال می شود: R' Dx و R' Dy، و مدول های نیروها به صورت جفت مساوی هستند، یعنی. R Dx = R Dx و R Dy = R Dy. اینها نیروهای داخلی پرتو مرکب هستند، بنابراین تعداد نیروهای واکنش ناشناخته شش است. برای تعیین آنها، ایجاد شش معادله مستقل از حالت های تعادل ضروری است. گزینه های زیر برای ترکیب معادلات حالت امکان پذیر است.

ما شرایط تعادل را برای کل سازه (3 معادله) و برای یک عنصر جداگانه از این ساختار ترسیم می کنیم: تیر KD یا تیر DE. هنگام تدوین معادلات تعادل برای کل سازه، نیروهای داخلی در نظر گرفته نمی شوند، زیرا پس از جمع، یکدیگر را خنثی می کنند.

معادلات شرایط تعادل برای کل سازه:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0

m A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC – P*AE = 0

معادلات شرایط تعادل برای عنصر DE:

R’ Dy، + R C – P*DE = 0

M D (F) = R C *DC – P*DE = 0

به این ترتیب شش معادله مستقل با شش مجهول جمع آوری می شود، بنابراین سیستم معادلات یک راه حل دارد و فقط یک راه حل منحصر به فرد. با حل سیستم معادلات، نیروهای واکنش مجهول را مشخص می کنیم.

موارد کاهش به ساده ترین شکل

آوردن به یک جفت

بگذارید در نتیجه رساندن نیروها به مرکز O، معلوم شود که بردار اصلی برابر با صفر است و ممان اصلی با صفر متفاوت است: . سپس، به موجب قضیه اساسی استاتیک، می توانیم بنویسیم

این بدان معناست که سیستم اصلی نیروها در این حالت معادل یک جفت نیرو با یک لحظه است.

لحظه زوج بستگی به این ندارد که در محاسبه لحظه زوج، کدام نقطه به عنوان مرکز لحظه انتخاب شود. در نتیجه، در این مورد، نکته اصلی نباید به انتخاب مرکز کاهش بستگی داشته باشد. اما این دقیقاً نتیجه ای است که رابطه به آن منتهی می شود

اتصال نقاط اصلی در مورد دو مرکز مختلف. هنگامی که جمله اضافی نیز برابر با صفر باشد، دریافت می کنیم

کاهش به حاصل

اکنون بردار اصلی برابر با صفر نیست و ممان اصلی برابر با صفر است: . به موجب قضیه اساسی استاتیک داریم

یعنی سیستم نیروها معادل یک نیرو است - بردار اصلی. در نتیجه، در این حالت، سیستم اصلی نیروها به یک برآیند تقلیل می یابد و این برآیند با بردار اصلی اعمال شده در مرکز کاهش منطبق است: .

سیستم نیروها در حالتی که بردار اصلی و ممان اصلی هر دو برابر صفر نیستند، اما متقابل عمود بر هم باشند، به یک نتیجه تقلیل می یابد: . اثبات با استفاده از توالی اقدامات زیر انجام می شود.

از طریق مرکز کاهش O یک صفحه عمود بر لحظه اصلی ترسیم می کنیم (شکل 50، a). در شکل، این صفحه با صفحه ترسیم ترکیب شده است و بردار اصلی در آن قرار دارد. در این صفحه ما یک جفت را با یک لحظه می سازیم و نیروهای آن جفت را برابر بردار اصلی انتخاب می کنیم. آنگاه اهرم جفت برابر خواهد شد. در مرحله بعد، جفت را در صفحه خود حرکت می دهیم تا یکی از نیروهای جفت در مرکز کاهش O در مقابل نیروی اصلی اعمال شود. نیروی دوم جفت در نقطه C، دور از مرکز O در جهت مورد نظر، تعیین شده توسط جهت، در فاصله OS برابر با بازوی جفت h اعمال می شود (شکل 50، b). اکنون نیروهای متعادل R و - اعمال شده در نقطه O را کنار می گذاریم، به یک نیروی اعمال شده در نقطه C می رسیم (شکل 50، c). به عنوان نتیجه این سیستم نیروها عمل خواهد کرد.

مشاهده می شود که نیروی واکنش همچنان با بردار اصلی برابر است، اما در نقطه کاربرد آن با بردار اصلی تفاوت دارد. اگر بردار اصلی در مرکز کاهش O اعمال شود، نتیجه در نقطه C است که موقعیت آن نیاز به تعریف خاصی دارد. روش هندسی یافتن نقطه C از ساختار انجام شده در بالا قابل مشاهده است.

برای لحظه حاصل نسبت به مرکز کاهش O، می‌توانیم بنویسیم (شکل 50 را ببینید):

یا با حذف مقادیر میانی:

اگر این برابری برداری را بر روی هر محوری که از نقطه O می گذرد، پیش بینی کنیم، تساوی مربوطه را در پیش بینی ها به دست می آوریم:

با یادآوری این نکته که تابش گشتاور نیرو نسبت به نقطه ای بر محوری که از این نقطه می گذرد، لحظه نیرو نسبت به محور است، این برابری را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

برابری‌های حاصل، قضیه واریگنون را در آن بیان می‌کنند نمای کلی(در درس 2 قضیه فقط برای نیروهای همگرا فرموله شد): اگر سیستمی از نیروها برآیند داشته باشد، گشتاور این برآیند (نسبت به یک نقطه، نسبت به یک محور) برابر است با مجموع گشتاورهای همه نیروهای داده شده - اجزاء (نسبت به همان نقطه، همان محور). واضح است که در مورد یک نقطه جمع لحظات بردار و در مورد یک محور جبری است.

کاهش به پویایی

دینامیا یا پیچ دینامیکی ترکیبی از یک جفت نیرو و نیرویی است که عمود بر صفحه عمل جفت قرار می گیرد. می توان نشان داد که در حالت کلی کاهش، زمانی که و عمود نباشد، سیستم اصلی نیروها معادل مقداری پویایی است.