فضای برداری خطی و ویژگی های بدیهی آن. فضای خطی (بردار).

اجازه دهید P یک میدان باشد. عناصر a, b, ... О آرتماس می گیریم اسکالرها.

تعریف 1.کلاس Vاشیاء (عناصر) , , , ... ماهیت دلخواه نامیده می شوند فضای برداری روی فیلد P، و عناصر کلاس V نامیده می شوند بردارها، اگر V تحت عمل "+" و عملیات ضرب در اسکالر از P بسته شود (یعنی برای هر، ОV + О V;"aО Р aОV)، و شرایط زیر وجود دارد:

ج 1: جبر - گروه آبلیان;

A 2: برای هر a، bОР، برای هر OV، a(b)=(ab) یک قانون انجمنی تعمیم یافته است.

A 3: برای هر a، bОР، برای هر ОV، (a+b)= a+ b;

A 4: برای هر a از P، برای هر، از V، a(+)=a+a (قوانین توزیعی تعمیم یافته).

A 5: برای هر یک از V، 1 = برآورده می شود، جایی که 1 واحد میدان P است - خاصیت واحد بودن.

عناصر میدان را اسکالر P و عناصر مجموعه V را بردار می نامیم.

اظهار نظر.ضرب یک بردار در یک اسکالر یک عملیات باینری در مجموعه V نیست، زیرا یک P´V®V نگاشت است.

بیایید به نمونه هایی از فضاهای برداری نگاه کنیم.

مثال 1.فضای برداری صفر (صفر بعدی) - فضای V 0 =() - متشکل از یک بردار صفر.

و برای هر aОР a=. اجازه دهید رضایتمندی بدیهیات فضای برداری را بررسی کنیم.

توجه داشته باشید که یک فضای برداری صفر اساساً به فیلد P بستگی دارد. بنابراین، فضاهای صفر بعدی روی میدان اعداد گویا و روی میدان اعداد حقیقی متفاوت در نظر گرفته می‌شوند، اگرچه از یک بردار صفر تشکیل شده‌اند.

مثال 2.فیلد P خود یک فضای برداری بر روی فیلد P است. اجازه دهید V=P. اجازه دهید رضایتمندی بدیهیات فضای برداری را بررسی کنیم. از آنجایی که P یک میدان است، P یک گروه آبلی افزایشی است و A 1 برقرار است. به دلیل رضایت پذیری ضرب در P، A2 برآورده می شود. بدیهیات A 3 و A 4 به دلیل امکان سنجی در P توزیع ضرب با توجه به جمع برآورده می شوند. از آنجایی که یک عنصر واحد 1 در فیلد P وجود دارد، خاصیت واحدی A 5 برآورده می شود. بنابراین، میدان P یک فضای برداری بر روی میدان P است.

مثال 3.فضای برداری n بعدی حسابی.

اجازه دهید P یک میدان باشد. مجموعه V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n) را در نظر بگیرید. اجازه دهید بر روی مجموعه V عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک اسکالر را طبق قوانین زیر معرفی کنیم:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ... , a n +bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 ,… , aa n) (2)

عناصر مجموعه V فراخوانی خواهند شد بردارهای n بعدی. دو بردار n بعدی اگر مولفه های متناظر آنها (مختصات) مساوی باشند گفته می شود. اجازه دهید نشان دهیم که V یک فضای برداری بر روی میدان P است. از تعریف عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک اسکالر، نتیجه می شود که V تحت این عملیات بسته است. از آنجایی که افزودن عناصر V به جمع عناصر میدان P کاهش می یابد و P یک گروه آبلی افزایشی است، پس V یک گروه آبلی افزایشی است. علاوه بر این، =، که در آن 0 صفر میدان P است، -= (-a 1، -a 2، ...، -a n). بنابراین، A 1 راضی است. از آنجایی که ضرب یک عنصر از V در یک عنصر از P به ضرب عناصر میدان P کاهش می یابد، پس:

A 2 به دلیل ارتباط ضرب در P برآورده می شود.

A 3 و A 4 به دلیل توزیعی بودن ضرب با توجه به جمع P ارضا می شوند.

A 5 برآورده می شود، زیرا 1 Î P یک عنصر خنثی نسبت به ضرب در P است.

تعریف 2.مجموعه V= P n با عملیات تعریف شده با فرمول های (1) و (2) یک فضای برداری n بعدی حسابی بر روی فیلد P نامیده می شود.

فضای برداری (خطی) مجموعه ای از بردارها (عناصر) با مولفه های واقعی است که در آن عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک عدد تعریف می شود و بدیهیات (خواص) خاصی را برآورده می کند.

1) x+در=در+ایکس(تبدیل پذیری اضافه)؛

2)(ایکس+در)+z=ایکس+(y+z) (تداعی جمع);

3) بردار صفر وجود دارد 0 (یا بردار تهی) که شرط را برآورده می کند ایکس+ 0 =ایکس:برای هر بردار ایکس;

4) برای هر بردار ایکسیک بردار مخالف وجود دارد دربه طوری که ایکس+در = 0 ,

5) 1 x=ایکس،

6) آ(bx)=(ab)ایکس(تداعی ضرب)؛

7) (آ+ب)ایکس=آه+bx(ویژگی توزیعی نسبت به عامل عددی)؛

8) آ(ایکس+در)=آه+ay(ویژگی توزیعی نسبت به ضریب بردار).

یک فضای خطی (بردار) V(P) روی یک میدان P یک مجموعه V غیر خالی است. عناصر مجموعه V را بردار و عناصر میدان P را اسکالر می نامند.

ساده ترین خواص

1. فضای برداری یک گروه آبلی است (گروهی که در آن عملیات گروهی جابجایی است. عملیات گروهی در گروه های آبلی معمولاً «افزودن» نامیده می شود و با علامت + نشان داده می شود).

2. عنصر خنثی تنها عنصری است که از خصوصیات گروهی برای هر .

3. برای هر یک، عنصر مقابل تنها عنصری است که از ویژگی های گروه به دست می آید.

4. (–1) x = – x برای هر x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) برای هر α є P و x є V.

اصطلاح a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) ترکیب خطی بردارها نامیده می شود e 1، e 2،...، e nبا شانس a 1، a 2,...، a n .اگر حداقل یکی از ضرایب باشد، ترکیب خطی (1) غیر بی اهمیت نامیده می شود a 1، a 2،...، a nمتفاوت از صفر بردارها e 1، e 2،...، e nاگر یک ترکیب غیر پیش پا افتاده (1) وجود داشته باشد که یک بردار صفر است، وابسته خطی نامیده می شوند. در غیر این صورت (یعنی اگر فقط ترکیبی ناچیز از بردارها باشد e 1، e 2،...، e nبرابر بردار صفر) بردارها e 1، e 2،...، e nمستقل خطی نامیده می شوند.

بعد فضا حداکثر تعداد بردارهای LZ موجود در آن است.

فضای برداری n بعدی نامیده می شود (یا دارای "بعد است n"), اگر وجود داشته باشد nعناصر مستقل خطی e 1، e 2،...، e n،و هر n+ 1 عناصر به صورت خطی وابسته هستند (شرایط تعمیم یافته B). فضای برداریاگر در آن برای هر طبیعی نامحدود نامیده می شود nوجود دارد nبردارهای مستقل خطی هر nبردارهای n بعدی مستقل خطی فضای برداریاساس این فضا را تشکیل می دهد. اگر e 1، e 2،...، e n- اساس فضای برداری، سپس هر بردار ایکساین فضا را می توان به صورت منحصر به فرد به عنوان یک ترکیب خطی از بردارهای پایه نشان داد: ایکس=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
در عین حال اعداد a 1، a 2، ...، a nمختصات برداری نامیده می شوند ایکسدر این مبنا

بردار(یا خطی) فضا- یک ساختار ریاضی که مجموعه ای از عناصر به نام بردار است که برای آنها عملیات جمع با یکدیگر و ضرب در یک عدد تعریف شده است - اسکالر.

1) X+y=y+x ( جابجایی جمع)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( انجمن اضافه)

3) یک عنصر 0єV وجود دارد که x+0=x است

4) برای هر x єV یک عنصر وجود دارد - x єV به طوری که x+(-x)=0؟ بردار نامیده می شود، مقابلبردار x.

5) α(βx)= (αβ)x ( ارتباط ضرب در یک اسکالر)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) بردارهای آزاد در فضای R 3

2) ماتریس های بعد nxm

3) مجموعه همه چند جمله ای هایی که درجه آنها از n تجاوز نمی کند

4) نمونه هایی از فضای خطی عبارتند از:

5) - فضای اعداد حقیقی.

6) - مجموعه ای از بردارهای هندسی در هواپیما.

7) - فضای ماتریس های با ابعاد ثابت.

8) - فضای محلول های همگن سیستم های خطیو غیره.

تعاریف اساسی

بردار N بعدی دنباله ای از n عدد نامیده می شود. این اعداد نامیده می شوند مختصاتبردار تعداد مختصات برداری n نامیده می شود بعد، ابعاد، اندازهبردار

شما فقط می توانید بردارهایی با همان ابعاد اضافه کنید

بردارها برابر هستند، در صورتی که ابعاد یکسانی داشته باشند و مختصات متناظر آنها برابر باشد.

هر بردار n بعدی A می تواند باشد ضرب در هر عددλ، و تمام مختصات آن در این عدد ضرب می شود:
λA=(λ*a1، λ*a2،...، λ*an)

دو بردار با ابعاد یکسان را می توان اضافه کرد و مختصات متناظر آنها را اضافه کرد:

ترکیب خطی بردارها چیست؟

ترکیب خطی بردارهای a1,a2,…,anیک عبارت از فرم نامیده می شود:

جایی که a1,a2,…,an- اعداد دلخواه

به چه بردارهایی وابسته خطی (مستقل) می گویند؟

بردارهای غیر صفر a1,a2,…,anنامیده می شوند وابسته خطی، اگر یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از این بردارها برابر با بردار صفر باشد:

بردارهای غیر صفر a1,a2,…,anنامیده می شوند مستقل خطی، مگر اینکه یک ترکیب خطی بی اهمیت از این بردارها برابر بردار صفر باشد.

نمونه هایی از بردارهای مستقل خطی

مسئله وابستگی خطی بردارها چگونه حل می شود؟

قضیه 1. برای اینکه سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته باشد، لازم و کافی است که حداقل یکی از آنها به صورت ترکیبی خطی از بقیه نمایش داده شود.

قضیه 2.در فضای n بعدی، هر سیستمی که بیش از n بردار داشته باشد به صورت خطی وابسته است.

قضیه 3اگر تعیین کننده متشکل از مختصات بردار غیر صفر باشد، سیستم بردارها مستقل خطی است. اگر این قضایا به سوال وابستگی یا استقلال خطی بردارها پاسخ ندهند، باید سیستم معادلات را حل کرد یا رتبه سیستم بردارها را تعیین کرد.

رابطه بین مختصات دو بردار وابسته خطی چیست؟

دو بردار وابسته خطی را مثال بزنید

: وقتی چنین عددی وجود داشته باشد، بردار و خطی است که برابری برقرار است:
.

تعریف مبنای فضای خطی

مجموعه ای از n عنصر مستقل خطی در فضایی به ابعاد n را اساس این فضا می نامند.

تعیین ابعاد فضای خطی

تعریف 3.1.فضای خطی آراگر حاوی n بعدی باشد nعناصر مستقل خطی و هر ( n+1) عناصر از قبل به صورت خطی وابسته هستند. در این مورد شماره nبعد فضا نامیده می شود آر.

بعد فضا با علامت کم نشان داده می شود.

تعریف 3.2.فضای خطی آراگر دارای تعدادی عنصر مستقل خطی باشد، نامحدود نامیده می شود.

قضیه 3.4.فضای خطی را بگذارید آردارای مبنایی متشکل از nعناصر. سپس بعد آرمساوی با n(کم نور R=n).

مفهوم فضای n بعدی

فضای خطی V در صورتی فضای n بعدی نامیده می شود که دارای سیستمی از n عنصر مستقل خطی باشد و هر n+1 عنصر به صورت خطی وابسته باشد.

فرمول های اتصال بردارهای پایه های قدیمی و جدید

VECTOR SPACE، یک فضای خطی بر روی میدان K، یک گروه آبلی E است که به صورت افزودنی نوشته شده است، که در آن ضرب عناصر توسط اسکالرها تعریف شده است، یعنی نقشه برداری

K × E → E: (λ، x) → λx،

ارضای بدیهیات زیر (x، y ∈ E، λ، μ، 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy،

2) (λ + μ)x = λx + μx،

3) (λμ)x = λ(μx)،

4) 1 ⋅ x = x.

ویژگی های مهم زیر فضای برداری (0 ∈ E) از بدیهیات 1)-4 پیروی می کنند:

5) λ ⋅ 0 = 0،

6) 0 ⋅ x = 0،

عناصر V. ص به نام. نقاط VP یا بردارها و عناصر فیلد K اسکالر هستند.

بیشترین کاربرد در ریاضیات و کاربردها در فیلد ℂ اعداد مختلط یا بر روی فیلد ℝ اعداد حقیقی انجام می شود. آنها نامیده می شوند به ترتیب v. p. پیچیده یا v. p. واقعی.

بدیهیات v. p. جبری خاصی را نشان می دهد. ویژگی های بسیاری از کلاس های توابع که اغلب در تجزیه و تحلیل با آنها مواجه می شوند. از نمونه های فضاهای عمودی، اساسی ترین و قدیمی ترین فضاهای اقلیدسی n بعدی هستند. نمونه‌های تقریباً به همان اندازه مهم، فضاهای تابع بسیاری هستند: فضای توابع پیوسته، فضای توابع قابل اندازه‌گیری، فضای توابع قابل جمع‌بندی، فضای توابع تحلیلی. توابع، فضای توابع با تنوع محدود.

مفهوم V. p است مورد خاصمفهوم یک ماژول روی یک حلقه، یعنی v. p. یک ماژول واحد بر روی یک میدان است. یک ماژول واحد بر روی یک میدان چوله غیر تعویضی نیز نامیده می شود. فضای برداری روی بدن؛ تئوری چنین شکل موج هایی از بسیاری جهات پیچیده تر از نظریه شکل موج های روی یک میدان است.

یکی از مسائل مهم مرتبط با فضاهای برداری، بررسی هندسه فضاهای برداری است، یعنی بررسی خطوط در فضاهای برداری، مجموعه های مسطح و محدب در فضاهای برداری، زیرفضاهای فضاهای برداری و پایه ها در فضاهای برداری. . پ.

زیرفضای برداری یا به سادگی زیرفضای V. p. E بر روی فیلد K نامیده می شود. یک زیر مجموعه F ⊂ E تحت اعمال جمع و ضرب توسط یک اسکالر بسته می شود. یک فضای فرعی که جدا از فضای حاوی آن در نظر گرفته می‌شود، فضایی است روی همان فیلد.

خط مستقیمی که از دو نقطه x و y B. p. E می گذرد نامیده می شود. مجموعه ای از عناصر z ∈ E به شکل z = λx + (1 - λ)y، λ ∈ K. مجموعه ای G ∈ E نامیده می شود. یک مجموعه مسطح اگر همراه با هر دو نقطه حاوی خطی باشد که از این نقاط می گذرد. هر مجموعه مسطح از یک زیرفضای خاص با استفاده از یک شیفت ( انتقال موازی): G = x + F; این بدان معنی است که هر عنصر z ∈ G را می توان به صورت منحصر به فرد به شکل z = x + y، y ∈ F نشان داد و این برابری یک مطابقت یک به یک بین F و G را فراهم می کند.

مجموعه همه جابجایی ها F x = x + F یک زیرفضای داده شده F یک فضای V را روی K تشکیل می دهد که فراخوانی می شود. فضای عامل E/F، اگر عملیات را به صورت زیر تعریف کنیم:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx، λ ∈ K.

فرض کنید M = (x α) α∈A یک مجموعه دلخواه از بردارها از E باشد. ترکیب خطی بردارهای x α ∈ E نامیده می شود. بردار x که با فرمول تعریف شده است

x = ∑ α λ α x α، λ α ∈ K،

که در آن فقط تعداد محدودی از ضرایب غیر صفر هستند. مجموعه تمام ترکیبات خطی بردارهای یک مجموعه معین M کوچکترین زیرفضای حاوی M است و نامیده می شود. دهانه خطی مجموعه M. ترکیب خطی نامیده می شود. اگر همه ضرایب λα برابر با صفر باشند، بی اهمیت است. مجموعه M نامیده می شود. یک مجموعه مستقل خطی اگر همه ترکیبات خطی غیر اساسی از بردارهای M غیر صفر باشند.

هر مجموعه مستقل خطی در یک مجموعه حداکثر خطی مستقل M0 وجود دارد، یعنی در مجموعه ای که پس از افزودن هر عنصر از E به آن مستقل خطی نیست.

هر عنصر x ∈ E را می توان به صورت منحصر به فرد به صورت ترکیب خطی از عناصر یک مجموعه خطی حداکثر مستقل نشان داد:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

در این راستا حداکثر مجموعه مستقل خطی نامیده می شود. اساس V. p. (مبنای جبری). همه پایه های یک VP معین دارای کاردینالیته یکسانی هستند، به اصطلاح. بعد V. p. اگر این توان محدود باشد، فضا نامیده می شود. متناهی V. p. در غیر این صورت نامیده می شود بی بعدی V. p.

میدان K را می توان به عنوان یک فضای عمودی یک بعدی بر روی میدان K در نظر گرفت. اساس این مورد V. از یک عنصر تشکیل شده است. می تواند هر عنصری غیر از صفر باشد. یک بردار با ابعاد محدود با پایه n عنصر نامیده می شود. فضای n بعدی

در نظریه مجموعه های محدب واقعی و مختلط، نظریه مجموعه های محدب نقش مهمی ایفا می کند. مجموعه M در یک V.p واقعی نامیده می شود. یک مجموعه محدب است اگر همراه با هر دو نقطه از آن x، y، قطعه tx + (1 - t)y، t ∈ نیز متعلق به M باشد.

جایگاه بزرگی در نظریه فضاهای عمودی توسط نظریه تابع های خطی در فضاهای عمودی و نظریه دوگانگی مربوط به آن اشغال شده است. فرض کنید E یک CV روی فیلد K باشد. تابع خطی روی E فراخوانی می شود. نگاشت افزودنی و همگن f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y)، f(λx) = λf(x).

مجموعه E* همه تابع های خطی در E یک جای خالی بر روی فیلد K با توجه به عملیات تشکیل می دهد.

(f 1 + f 2) (x) = f 1 (x) + f 2 (x)، (λf) (x) = λf(x)، x ∈ E، X ∈ K، f 1، f 2، f ∈ E*.

این V.p نامیده می شود. فضای مزدوج (یا دوگانه) (به E). تعدادی از نظریه های هندسی با مفهوم فضای مزدوج مرتبط هستند. مقررات. اجازه دهید D ⊂ E (به ترتیب Г ⊂ E*)؛ نابود کننده مجموعه D یا مکمل متعامد مجموعه D (به ترتیب مجموعه Г) نامیده می شود. یک دسته از

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 برای همه x ∈ D)

(به ترتیب Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 برای همه f ∈ Г)); در اینجا D ⊥ و Г ⊥ به ترتیب زیرفضاهای فضاهای E* و E هستند.اگر f یک عنصر غیر صفر از E* باشد، آنگاه (f) حداکثر زیرفضای خطی مناسب E است که نامیده می شود. گاهی اوقات فرافضا؛ تغییر چنین فضای فرعی نامیده می شود. هایپرپلان در E; هر هایپرپلین فرمی دارد

(x: f(x) = λ)، که در آن f ≠ 0، f ∈ E*، λ ∈ K.

اگر F زیرفضای یک B. p. E باشد، آنگاه ایزومورفیسم های طبیعی بین F* و

E*/F ⊥ و بین (E/F)* و F ⊥ .

زیر مجموعه Г ⊂ E* فراخوانی می شود یک زیرمجموعه کل بر روی E اگر نابودگر آن فقط حاوی عنصر صفر باشد: Г ⊥ = (0).

هر مجموعه مستقل خطی (x α) α∈A ⊂ E را می توان با یک مجموعه مزدوج (f α) α∈A ⊂ E*، یعنی. چنین مجموعه ای که f α (x β) = δ αβ (نماد کرونکر) برای همه α، β ∈ A. مجموعه جفت ها (x α، f α) نامیده می شود. با سیستم دو طرفه اگر مجموعه (x α) مبنایی در E باشد، آنگاه (f α) کاملاً بیش از E است.

جایگاه قابل توجهی در نظریه تبدیل های خطی توسط نظریه تبدیل های خطی تبدیلات خطی اشغال شده است.بگذارید E 1 و E 2 دو تبدیل خطی در یک میدان یکسان باشند. تبدیل E 1 در V. p. E 2 (یا عملگر خطی از E 1 تا E 2)، نامیده می شود. نگاشت افزودنی و همگن فضای E 1 تا E 2:

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x، y ∈ E 1.

یک مورد خاص از این مفهوم یک تابع خطی یا یک عملگر خطی از E 1 تا K است. یک نگاشت خطی، برای مثال، نگاشت طبیعی یک B. p. E بر روی فضای ضریب E/F است که به هر عنصر x ∈ E یک مجموعه مسطح F x ∈ E / F. مجموعه ℒ(E 1, E 2) همه عملگرهای خطی T: E 1 → E 2 با توجه به عملیات یک V. p را تشکیل می دهد.

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1، T 2، T∈ ℒ(E 1، E 2).

دو مورد V. E 1 و E 2 نامیده می شوند. اگر یک عملگر خطی ("ایزومورفیسم") وجود داشته باشد که یک تناظر یک به یک بین عناصر آنها انجام می دهد، نسبت به موارد مشابه هم شکل هستند. E 1 و E 2 ایزومورف هستند اگر و فقط در صورتی که پایه های آنها کاردینالیته یکسانی داشته باشند.

فرض کنید T یک عملگر خطی باشد که E 1 تا E 2 را نگاشت می کند. عملگر خطی مزدوج یا عملگر خطی دوگانه با توجه به T نامیده می شود. عملگر خطی T* از E* 2 تا E* 1 که با تساوی تعریف می شود

(T*φ)x = φ(Tx) برای همه x ∈ E 1، φ ∈ E* 2.

روابط T* -1 (0) = ⊥، T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ برقرار است، که به این معنی است که T* یک هم شکلی است اگر و فقط اگر T یک هم شکل باشد.

نظریه نگاشتهای دوخطی و نگاشتهای چندخطی فضاهای عمودی ارتباط تنگاتنگی با نظریه نگاشتهای خطی فضاهای عمودی دارد.

گروه مهمی از مسائل در تئوری نگاشت های خطی از مسائل ادامه نگاشت های خطی تشکیل می شود. فرض کنید F یک فضای فرعی از V. p. E 1 باشد، E 2 یک فضای خطی روی همان میدان E 1 باشد، و T 0 یک نگاشت خطی از F به E 2 باشد. لازم است پسوند T نقشه T 0 را که در کل E 1 تعریف شده و یک نقشه خطی از E 1 تا E 2 است، پیدا کنید. چنین ادامه ای همیشه وجود دارد، اما محدودیت های اضافی در توابع (مرتبط با ساختارهای اضافی در VP، به عنوان مثال، توپولوژی یا روابط نظم) می تواند مشکل را غیر قابل حل کند. مثال هایی از حل مسئله ادامه، قضیه هان-باناخ و قضایای تداوم تابع های مثبت در فضاهای دارای مخروط است.

بخش مهمی از تئوری عملیات مجازی، نظریه عملیات بر روی بردارها است، یعنی روش هایی برای ساخت بردارهای جدید با استفاده از بردارهای شناخته شده. نمونه هایی از این عملیات، عملیات معروف گرفتن یک زیرفضا و تشکیل یک فضای ضریب از یک زیرفضا است. عملیات مهم دیگر ساخت یک مجموع مستقیم، یک محصول مستقیم و یک حاصلضرب تانسور یک VP است.

فرض کنید (E α ) α∈I یک خانواده از فضاهای متغیر بر روی میدان K باشد. مجموعه E - حاصلضرب مجموعه های E α - را می توان با معرفی عملیات به خانواده ای از فضاهای عمودی روی میدان K تبدیل کرد.

(x α) + (y α) = (x α + y α)؛ λ(xα) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

دریافت V. p. E تماس گرفت. حاصلضرب مستقیم V. p. E α و با P α∈I E α نشان داده می شود. زیرفضای یک V. p. E، متشکل از همه آن مجموعه‌ها (x α) که برای هر یک از آنها مجموعه (α: x α ≠ 0) متناهی است، نامیده می‌شود. مجموع مستقیم V. p. E α و با Σ α E α یا Σ α + E α نشان داده می شود. برای تعداد محدودی از اصطلاحات، این تعاریف منطبق هستند. در این مورد از نماد زیر استفاده می شود:

فرض کنید E 1، E 2 دو موقعیت V در میدان K باشد. E" 1، E" 2 کل زیرفضاهای V. p. E* 1، E* 2، و E 1 □ E 2 -B هستند. n. که اساس آن مجموع تمام عناصر فضای E 1 × E 2 است. هر عنصر x □ y ∈ E 1 □ E 2 با یک تابع دوخطی b = T(x, y) در E" 1 × E 2 مطابق فرمول b(f, g) = f(x)g(y) مرتبط است. ), f ∈ E " 1 , g ∈ E " 2. این نگاشت بردارهای پایه x □ y ∈ E 1 □ E 2 را می توان به یک نگاشت خطی T B. p. E 1 □ E 2 تا B. p گسترش داد. از همه تابع‌های دوخطی در E" 1 × E" 2. اجازه دهید E 0 = T -1 (0). 1 □ E 2)/E 0؛ تصویر عنصر x □ y با x ○ y نشان داده می شود. فضای برداری E 1 ○ E 2 با فضای برداری تابع های دوخطی در E 1 × E 2 هم شکل است (محصول تانسور را ببینید فضاهای برداری).

متن: بوربکی ن.، جبر. ساختارهای جبری جبر خطی و چند خطی، ترانس. از فرانسوی، م.، 1962; Raikov D. A.، فضاهای برداری، M.، 1962; روز M. M.، فضاهای خطی نرمال شده، ترانس. از انگلیسی، M., 1961; ، ادوارد آر.، تحلیل عملکردی، ترجمه. از انگلیسی، M., 1969; Halmos P.، فضاهای برداری با ابعاد محدود، ترانس. از انگلیسی، M., 1963; گلازمن I.M.، Lyubich Yu.I.، تجزیه و تحلیل خطی بعد محدود در مسائل، M.، 1969.

M.I. Kadets.

منابع:

1. دایره المعارف ریاضی. T. 1 (A - D). اد. هیئت مدیره: I. M. Vinogradov (ویراستار ارشد) [و دیگران] - M.، "Soviet Encyclopedia"، 1977، 1152 stb. از illus

مطالب از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد

بردار(یا خطی) فضا- یک ساختار ریاضی که مجموعه ای از عناصر به نام بردار است که برای آنها عملیات جمع با یکدیگر و ضرب در یک عدد تعریف شده است - اسکالر. این عملیات تابع هشت اصل هستند. اسکالرها می توانند عناصر فیلد عددی واقعی، مختلط یا هر قسمت دیگری باشند. یک مورد خاص از چنین فضایی، فضای معمول اقلیدسی سه بعدی است که از بردارهای آن، به عنوان مثال، برای نمایش نیروهای فیزیکی استفاده می شود. لازم به ذکر است که یک بردار به عنوان عنصری از فضای برداری لزوماً نباید در قالب یک قطعه جهت دار مشخص شود. تعمیم مفهوم "بردار" به عنصری از فضای برداری با هر ماهیتی نه تنها باعث سردرگمی اصطلاحات نمی شود، بلکه درک یا حتی پیش بینی تعدادی از نتایج معتبر برای فضاهای با طبیعت دلخواه را ممکن می سازد.

فضاهای برداری موضوع جبر خطی هستند. یکی از ویژگی های اصلی یک فضای برداری ابعاد آن است. بعد نشان دهنده حداکثر تعداد عناصر مستقل خطی فضا است، یعنی توسل به یک توصیف هندسی خشن، تعداد جهت هایی که نمی توان از طریق یکدیگر تنها از طریق عملیات جمع و ضرب توسط یک اسکالر بیان کرد. فضای برداری را می توان با ساختارهای اضافی، مانند یک هنجار یا یک محصول درونی، وقف کرد. چنین فضاهایی به طور طبیعی در تحلیل ریاضی، عمدتاً به شکل فضاهای تابع بی‌بعدی ظاهر می‌شوند. انگلیسی) که در آن توابع . بسیاری از مسائل آنالیز مستلزم یافتن این هستند که آیا دنباله ای از بردارها به یک بردار معین همگرا می شوند یا خیر. در نظر گرفتن چنین سوالاتی در فضاهای برداری با ساختار اضافی، در اکثر موارد توپولوژی مناسب امکان پذیر است که به ما اجازه می دهد مفاهیم مجاورت و پیوستگی را تعریف کنیم. چنین فضاهای برداری توپولوژیکی، به ویژه فضاهای Banach و Hilbert، امکان مطالعه عمیق تر را فراهم می کند.

جبر خطی علاوه بر بردارها، تانسورهای رتبه بالاتر را نیز مطالعه می کند (یک اسکالر تانسور رتبه 0 در نظر گرفته می شود، یک بردار تانسور رتبه 1 در نظر گرفته می شود).

اولین آثاری که معرفی مفهوم فضای برداری را پیش بینی کردند به قرن هفدهم بازمی گردد. در آن زمان بود که هندسه تحلیلی، دکترین ماتریس ها، سیستم های معادلات خطی و بردارهای اقلیدسی شروع به توسعه کردند.

تعریف

خطی، یا فضای برداری $V\backslash چپ\; (F\backslash راست)$بر فراز میدان $اف$- این چهار عدد سفارش داده شده است $(V,F,+,\backslash cdot)$، جایی که

• $V$- مجموعه ای غیر خالی از عناصر با ماهیت دلخواه که نامیده می شوند بردارها;
• $اف$- (جبری) میدانی که عناصر آن نامیده می شود اسکالرها;
• عملیات تعریف شده است علاوه بر اینبردارها $V\backslash \; بار\; V\backslash \; تا\; V$، که هر جفت عنصر را به هم مرتبط می کند $\backslash mathbf(x)،\; \backslash mathbf(y)$مجموعه ها $V$ $V$آنها را صدا کرد میزانو تعیین شده است $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• عملیات تعریف شده است ضرب بردارها در اسکالرها $F\backslash \; بار\; V\backslash \; تا\; V$، مطابق با هر عنصر $\backslash لامبدا$زمینه های $اف$و هر عنصر $\backslash mathbf(x)$مجموعه ها $V$تنها عنصر مجموعه $V$، نشان داده شده است $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$یا $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

فضاهای برداری که روی یک مجموعه از عناصر تعریف شده اند، اما در زمینه های مختلف، فضاهای برداری متفاوتی خواهند بود (مثلاً مجموعه ای از جفت اعداد واقعی $\backslash mathbb(R)^2$می تواند یک فضای برداری دو بعدی بر روی میدان اعداد حقیقی یا یک بعدی - بر روی میدان اعداد مختلط باشد.

ساده ترین خواص

1. فضای برداری یک گروه آبلی است که در حال جمع است.
2. عنصر خنثی $\backslash mathbf(0)\; \backslash در\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$برای هرکس $\backslash mathbf(x)\; \backslash در\; V$.
4. برای هرکس $\backslash mathbf(x)\; \backslash در\; V$عنصر مخالف $-\backslash mathbf(x)\backslash در\; V$تنها چیزی است که از ویژگی های گروه به دست می آید.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$برای هرکس $\backslash mathbf(x)\; \backslash در\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$برای هرچی $\backslash \; آلفا\; \backslash \; در\; F$و $\backslash mathbf(x)\; \backslash در\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$برای هرکس $\backslash \; آلفا\; \backslash \; در\; F$.

تعاریف و ویژگی های مرتبط

فضای فرعی

تعریف جبری: زیرفضای خطییا زیرفضای برداری- زیر مجموعه غیر خالی $ک$فضای خطی $V$به طوری که $ک$خود یک فضای خطی با توجه به مواردی است که در آن تعریف شده است $V$عملیات جمع و ضرب در یک اسکالر. مجموعه تمام فضاهای فرعی معمولاً به صورت نشان داده می شود $\backslash mathrm(Lat)(V)$. برای اینکه یک زیرمجموعه یک زیرفضا باشد لازم و کافی است که

1. برای هر بردار $\backslash mathbf(x)\backslash \; در\; K$، بردار $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$نیز تعلق داشت $ک$، برای هرچی $\backslash alpha\backslash \; در\; F$;
2. برای همه بردارها $\backslash mathbf(x)،\; \backslash mathbf(y)\; \backslash در\; K$، بردار $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$نیز تعلق داشت $ک$.

دو عبارت آخر معادل عبارت زیر است:

برای همه بردارها $\backslash mathbf(x)،\; \backslash mathbf(y)\; \backslash در\; K$، بردار $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$نیز تعلق داشت $ک$برای هرچی $\backslash آلفا،\; \backslash بتا\backslash در\; F$.

به طور خاص، فضای برداری متشکل از تنها یک بردار صفر، زیرفضای هر فضا است. هر فضا زیرفضای خودش است. فضاهای فرعی که با این دو منطبق نیستند نامیده می شوند خودیا غیر پیش پا افتاده.

ویژگی های زیر فضاها

• محل تلاقی هر خانواده ای از فضاهای فرعی دوباره یک زیرفضا است.
• مجموع فضاهای فرعی $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$به عنوان مجموعه ای شامل تمام مجموع عناصر ممکن تعریف می شود $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash در\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • مجموع یک خانواده محدود از زیرفضاها دوباره یک زیرفضا است.

ترکیبات خطی

جمع نهایی فرم

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

ترکیب خطی نامیده می شود:

اساس. بعد، ابعاد، اندازه

بردارها $\backslash mathbf(x)\_1،\; \backslash mathbf(x)\_2،\; \backslash ldots،\; \backslash mathbf(x)\_n$نامیده می شوند وابسته خطی، اگر یک ترکیب خطی غیر اساسی از آنها برابر با صفر وجود داشته باشد:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0)،\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash nq\; 0.$

در غیر این صورت این بردارها نامیده می شوند مستقل خطی.

این تعریف تعمیم زیر را امکان پذیر می کند: مجموعه ای بی نهایت از بردارها از $V$تماس گرفت وابسته خطی، اگر مقداری به صورت خطی وابسته باشد نهاییزیر مجموعه ای از آن و مستقل خطی، در صورت وجود هر یک از آن نهاییزیر مجموعه به صورت خطی مستقل است.

خواص پایه:

• هر $n$عناصر مستقل خطی $n$- فرم فضای بعدی اساساین فضا
• هر بردار $\backslash mathbf(x)\; \backslash در\; V$را می توان (به طور منحصر به فرد) به عنوان یک ترکیب خطی محدود از عناصر پایه نشان داد:

پوسته خطی

پوسته خطی $\backslash mathcal\; V(X)$زیر مجموعه ها $ایکس$فضای خطی $V$- تقاطع تمام فضاهای فرعی $V$حاوی $ایکس$.

دهانه خطی یک زیرفضا است $V$.

پوسته خطی نیز نامیده می شود فضای فرعی ایجاد شده است $ایکس$. همچنین گفته می شود که پوسته خطی $\backslash mathcal\; V(X)$- فضا، کشیده شده استیک دسته از $ایکس$.

پوسته خطی $\backslash mathcal\; V(X)$شامل تمام ترکیب های خطی ممکن از زیرسیستم های متناهی مختلف از عناصر است $ایکس$. به ویژه، اگر $ایکس$پس مجموعه ای محدود است $\backslash mathcal\; V(X)$از تمام ترکیبات خطی عناصر تشکیل شده است $ایکس$. بنابراین، بردار صفر همیشه به بدنه خطی تعلق دارد.

اگر $ایکس$یک مجموعه مستقل خطی است، سپس یک پایه است $\backslash mathcal\; V(X)$و از این طریق بعد آن را مشخص می کند.

مثال ها

• یک فضای خالی که تنها عنصر آن صفر است.
• فضای تمام توابع $X\; به\; F$با تکیه گاه محدود یک فضای برداری با ابعادی برابر با کاردینالیته تشکیل می دهد $ایکس$.
• میدان اعداد حقیقی را می توان به عنوان یک فضای برداری پیوسته-بعدی بر روی میدان اعداد گویا در نظر گرفت.
• هر میدانی فضایی تک بعدی بالای خودش است.

ساختارهای اضافی

همچنین ببینید

نظری در مورد مقاله فضای برداری بنویسید

یادداشت

ادبیات

• گلفاند I. M.سخنرانی در مورد جبر خطی. - پنجم - M.: Dobrosvet، MTsNMO، 1998. - 319 p. - شابک 5-7913-0015-8.
• گلفاند I. M.سخنرانی در مورد جبر خطی. ویرایش پنجم - M.: Dobrosvet، MTsNMO، 1998. - 320 p. - شابک 5-7913-0016-6.
• کوستریکین ای. آی.، مانین یو. آی.جبر خطی و هندسه. ویرایش دوم - م.: ناوکا، 1986. - 304 ص.
• کوستریکین A.I.مقدمه ای بر جبر. بخش دوم: جبر خطی. - 3. - M.: Nauka.، 2004. - 368 ص. - (کتاب درسی دانشگاه).
• مالتسف A. I.مبانی جبر خطی. - 3. - M.: Nauka، 1970. - 400 p.

• پستنیکوف ام. ام.جبر خطی (سخنرانی در مورد هندسه. ترم دوم). - دوم - M.: Nauka، 1986. - 400 p.
• استرنگ جی.جبر خطی و کاربردهای آن - م.: میر، 1980. - 454 ص.
• Ilyin V. A.، Poznyak E. G.جبر خطی. ویرایش 6 - م.: فیزمتلیت، 2010. - 280 ص. - شابک 978-5-9221-0481-4.
• هالموس پی.فضاهای برداری با ابعاد محدود. - م.: فیزمتگیز، 1963. - 263 ص.
• Faddeev D.K.سخنرانی در مورد جبر. - پنجم - سنت پترزبورگ. : Lan, 2007. - 416 p.
• شافارویچ I. R., Remizov A. O.جبر خطی و هندسه. - 1. - م.: فیزمتلیت، 2009. - 511 ص.
• شرایر او.، اسپرنر جی.مقدمه ای بر جبر خطی در ارائه هندسی = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (ترجمه از آلمانی). - M.–L.: ONTI، 1934. - 210 p.

گزیده ای که فضای برداری را مشخص می کند

پس از بازگشت از بررسی، کوتوزوف به همراه ژنرال اتریشی به دفتر او رفت و با تماس با آجودان، دستور داد برخی از اوراق مربوط به وضعیت نیروهای وارده و نامه های دریافتی از آرشیدوک فردیناند، که فرماندهی ارتش پیشرفته را بر عهده داشت، به او داده شود. . شاهزاده آندری بولکونسکی با مدارک مورد نیاز وارد دفتر فرمانده کل قوا شد. کوتوزوف و یکی از اعضای اتریشی Gofkriegsrat جلوی طرحی که روی میز گذاشته شده بود نشستند.
کوتوزوف در حالی که به بولکونسکی نگاه می کند، گفت: «آه...»، گویی با این کلمه آجودان را دعوت می کند تا منتظر بماند، و به گفت وگویی که به زبان فرانسوی آغاز کرده بود ادامه داد.
کوتوزوف با ظرافت بیان و لحن دلپذیری گفت: "من فقط یک چیز را می گویم ، ژنرال." واضح بود که کوتوزوف خودش از گوش دادن به خودش لذت می برد. ژنرال من فقط یک چیز را می گویم که اگر موضوع به میل شخصی من بستگی داشت، پس وصیت اعلیحضرت امپراتور فرانتس مدت ها پیش محقق می شد. من خیلی وقت پیش به آرشیدوک ملحق می شدم. و افتخار من را باور کنید که برای من شخصاً انتقال بالاترین فرماندهی ارتش به ژنرالی آگاهتر و ماهرتر از من که اتریش بسیار زیاد است و کنار گذاشتن این مسئولیت سنگین برای من مایه خوشحالی خواهد بود. اما شرایط از ما قوی تر است، ژنرال.
و کوتوزوف با حالتی لبخند زد که گویی می گوید: "شما کاملاً حق دارید که من را باور نکنید و حتی من اصلاً برایم مهم نیست که من را باور می کنید یا نه ، اما دلیلی ندارید که این را به من بگویید. و این تمام نکته است.»
ژنرال اتریشی ناراضی به نظر می رسید، اما نمی توانست با همان لحن به کوتوزوف پاسخ ندهد.
او با لحنی عبوس و خشم آلود و بر خلاف معنای تملق آمیز سخنانش گفت: «برعکس، مشارکت جنابعالی در امر مشترک برای اعلیحضرت بسیار ارزشمند است. اما ما بر این باوریم که کندی کنونی، سربازان شکوهمند روسیه و فرماندهان کل آنها را از امتیازهایی که در نبردها به درو کردن عادت کرده اند، محروم می کند.»
کوتوزوف بدون تغییر لبخندش تعظیم کرد.
و من بسیار متقاعد شده‌ام و بر اساس آخرین نامه‌ای که اعلیحضرت آرشیدوک فردیناند مرا با آن تجلیل کرد، فرض می‌کنم که نیروهای اتریشی، تحت فرماندهی دستیار ماهری مانند ژنرال ماک، اکنون یک پیروزی قاطع به دست آورده‌اند و دیگر نه. کوتوزوف گفت: به کمک ما نیاز دارید.
ژنرال اخم کرد. اگرچه هیچ خبر مثبتی در مورد شکست اتریشی ها وجود نداشت، اما شرایط بسیار زیادی وجود داشت که شایعات نامطلوب عمومی را تأیید می کرد. و بنابراین فرض کوتوزوف در مورد پیروزی اتریشی ها بسیار شبیه به تمسخر بود. اما کوتوزوف با ملایمت لبخند زد، همچنان با همان حالت، که گفت که او حق دارد این را فرض کند. در واقع، آخرین نامه ای که از ارتش مک دریافت کرد، او را از پیروزی و سودمندترین موقعیت استراتژیک ارتش آگاه کرد.
کوتوزوف و رو به شاهزاده آندری گفت: "این نامه را اینجا به من بدهید." - اگه لطف کنید ببینید - و کوتوزوف با لبخندی تمسخرآمیز در انتهای لبانش، به آلمانی برای ژنرال اتریشی قسمت زیر را از نامه ارشیدوک فردیناند خواند: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er. den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirtewoinesitet, en. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal verd, sobereit.” [ما نیروهای کاملاً متمرکز، حدود 70 هزار نفر داریم تا در صورت عبور از لخ، بتوانیم حمله کرده و دشمن را شکست دهیم. از آنجایی که ما از قبل مالک اولم هستیم، می‌توانیم از مزیت فرماندهی هر دو ساحل دانوب برخوردار باشیم، بنابراین، هر دقیقه، اگر دشمن از لخ نگذرد، از دانوب عبور کند، به سمت خط ارتباطی خود بشتابد و از زیر دانوب عبور کند. به دشمن، اگر تصمیم گرفت تمام قدرت خود را به دست یاران وفادار ما معطوف کند، از تحقق نیّت او جلوگیری کنید. به این ترتیب ما با خوشحالی منتظر زمانی خواهیم بود که امپراتوری ارتش روسیهکاملاً آماده خواهد شد و سپس با هم به راحتی این فرصت را پیدا خواهیم کرد تا برای دشمن سرنوشتی را که شایسته اوست آماده کنیم.]