تعیین اینکه هیچ محدودیتی برای یک تابع وجود ندارد. محدودیت توالی و عملکرد

فرمول بندی قضایای اصلی و خواص حد یک تابع آورده شده است. تعاریف حد محدود و نامتناهی در نقاط محدود و در بینهایت (دو طرفه و یک طرفه) با توجه به کوشی و هاینه ارائه شده است. خواص حسابی در نظر گرفته می شود. قضایای مربوط به نابرابری ها; معیار همگرایی کوشی؛ حد یک تابع پیچیده؛ خواص توابع بی نهایت کوچک، بی نهایت بزرگ و یکنواخت. تعریف تابع داده شده است.

تعریف دوم از نظر کوشی

در اینجا a و x 0 همچنین می تواند اعداد متناهی یا نقاطی در بی نهایت باشد. با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول می توان این تعریف را به صورت زیر نوشت:
.

اگر همسایگی چپ یا راست نقطه پایانی را به عنوان یک مجموعه در نظر بگیریم، تعریف حد کوشی در سمت چپ یا راست به دست می‌آید.

قضیه
تعاریف کوشی و هاینه از حد یک تابع معادل هستند.
اثبات

محله های قابل اجرا از نقاط

سپس در واقع تعریف کوشی به معنای زیر است.
برای هر اعداد مثبت، اعداد وجود دارد، به طوری که برای تمام x های متعلق به همسایگی سوراخ شده نقطه:، مقادیر تابع متعلق به همسایگی نقطه a:،
جایی که ، .

کار با این تعریف چندان راحت نیست، زیرا محله ها با استفاده از چهار عدد تعریف می شوند. اما می توان آن را با معرفی محله هایی با انتهای مساوی ساده کرد. یعنی می توانید قرار دهید، . سپس به تعریفی دست خواهیم یافت که در اثبات قضایا استفاده از آن آسانتر است. علاوه بر این، معادل تعریفی است که در آن از محله های دلخواه استفاده می شود. اثبات این واقعیت در بخش «هم ارزی تعاریف کوشی از حد یک تابع» ارائه شده است.

سپس می توانیم یک تعریف واحد از حد یک تابع در نقاط محدود و بی نهایت دور ارائه دهیم:
.
اینجا برای نقاط پایانی
; ;
.
هر همسایگی از نقاط در بی نهایت سوراخ می شود:
; ; .

محدودیت های محدود تابع در نقاط پایانی

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد یک تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

محدودیت های یک طرفه
حد چپ در یک نقطه (محدودیت سمت چپ):
.
حد راست در یک نقطه (محدودیت سمت راست):
.
حد چپ و راست اغلب به صورت زیر مشخص می شوند:
; .

محدودیت های محدود یک تابع در نقاط بی نهایت

محدودیت ها در نقاط بی نهایت به روشی مشابه تعیین می شوند.
.
.
.

محدودیت های عملکرد نامحدود

همچنین می توانید تعاریفی از حد نامتناهی نشانه های معین برابر با و ارائه کنید:
.
.

خواص و قضایای حد یک تابع

ما همچنین فرض می کنیم که توابع مورد بررسی در همسایگی سوراخ شده مربوط به نقطه تعریف می شوند که یک عدد محدود یا یکی از نمادها است: . همچنین می تواند یک نقطه حد یک طرفه باشد، یعنی فرم یا . محله برای حد دو طرفه دو طرفه و برای حد یک طرفه یک طرفه است.

خواص اساسی

اگر مقادیر تابع f (ایکس)تعداد محدودی از نقاط x را تغییر دهید (یا نامشخص کنید). 1، x 2، x 3، ... x n، آنگاه این تغییر بر وجود و مقدار حد تابع در نقطه دلخواه x تأثیری نخواهد داشت 0 .

اگر حد محدودی وجود داشته باشد، آنگاه یک همسایگی سوراخ شده از نقطه x وجود دارد 0 ، که بر روی آن تابع f (ایکس)محدود:
.

اجازه دهید تابع در نقطه x باشد 0 حد غیر صفر محدود:
.
سپس، برای هر عدد c از بازه، چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0 برای چی،
، اگر ؛
، اگر .

اگر در برخی از محله های سوراخ شده نقطه، , یک ثابت باشد، پس .

اگر حدود محدودی وجود داشته باشد و روی برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه x وجود داشته باشد 0
,
که .

اگر، و در برخی از محله های نقطه
,
که .
به ویژه، اگر در برخی از محله های یک نقطه
,
سپس اگر، سپس و ;
اگر ، پس و .

اگر در محله سوراخ شده نقطه x 0 :
,
و حدهای مساوی متناهی (یا نامتناهی از یک علامت معین) وجود دارد:
، آن
.

اثبات خواص اصلی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های اساسی حد یک تابع."

اجازه دهید توابع و در برخی از محله های سوراخ شده از نقطه تعریف شوند. و بگذارید محدودیت های محدودی وجود داشته باشد:
و .
و C یک ثابت باشد، یعنی یک عدد معین. سپس
;
;
;
، اگر .

اگر پس از آن.

اثبات خواص حسابی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های حسابی حد یک تابع".

معیار کوشی برای وجود حد یک تابع

قضیه
به منظور تابعی که بر روی برخی از همسایگی های سوراخ شده یک محدود یا در نقطه بینهایت x تعریف شده است 0 ، در این نقطه حد محدودی داشت، لازم و کافی است که برای هر ε > 0 چنین محله سوراخ شده ای از نقطه x وجود داشت 0 ، که برای هر نقطه و از این همسایگی، نابرابری زیر برقرار است:
.

حد یک تابع پیچیده

قضیه حد تابع مختلط
اجازه دهید تابع یک حد داشته باشد و یک محله سوراخ شده از یک نقطه را بر روی یک محله سوراخ شده از یک نقطه ترسیم کنید. اجازه دهید تابع در این محله تعریف شود و محدودیتی در آن وجود داشته باشد.
در اینجا نکات نهایی یا بی نهایت دور وجود دارد: . محله ها و حدود مربوط به آنها می تواند دو طرفه یا یک طرفه باشد.
سپس حدی از یک تابع مختلط وجود دارد و برابر است با:
.

قضیه حدی یک تابع مختلط زمانی اعمال می شود که تابع در نقطه ای تعریف نشده باشد یا مقداری متفاوت از حد داشته باشد. برای اعمال این قضیه، باید یک همسایگی سوراخ شده از نقطه ای وجود داشته باشد که مجموعه مقادیر تابع حاوی نقطه نباشد:
.

اگر تابع در نقطه پیوسته باشد، علامت حد را می توان به آرگومان تابع پیوسته اعمال کرد:
.
در زیر یک قضیه مربوط به این مورد است.

قضیه حد تابع پیوسته یک تابع
اجازه دهید حدی از تابع g وجود داشته باشد (ایکس)به صورت x → x 0 ، و برابر با t است 0 :
.
اینجا نقطه x است 0 می تواند متناهی یا بی نهایت دور باشد: .
و تابع f را بگذارید (t)پیوسته در نقطه t 0 .
سپس حدی از تابع مختلط f وجود دارد (g(x))، و برابر با f است (t 0):
.

اثبات قضایا در صفحه آورده شده است
"محدودیت و تداوم یک تابع پیچیده".

توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ

توابع بی نهایت کوچک

تعریف
به یک تابع می گویند اگر بی نهایت کوچک باشد
.

جمع، تفاوت و محصولتعداد محدودی از توابع بینهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

محصول یک تابع محدود شدهدر برخی از محله های سوراخ شده نقطه، به یک بی نهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

برای اینکه یک تابع حد محدودی داشته باشد کافی و لازم است که
,
کجا - بی نهایت عملکرد کوچکدر .

"خواص توابع بی نهایت کوچک".

توابع بی نهایت بزرگ

تعریف
به یک تابع می گویند بی نهایت بزرگ اگر
.

مجموع یا تفاوت یک تابع محدود، در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه، و یک تابع بی نهایت بزرگ در بی نهایت است. عملکرد عالیدر .

اگر تابع برای بی نهایت بزرگ باشد و تابع در محله سوراخ شده نقطه محدود شود،
.

اگر تابع، در یک محله سوراخ شده از نقطه، نابرابری را برآورده کند:
,
و تابع بی نهایت کوچک است در:
، و (در برخی از محله های سوراخ شده نقطه)، سپس
.

شواهد خواص در بخش ارائه شده است
"خواص توابع بی نهایت بزرگ".

رابطه بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

از دو ویژگی قبلی ارتباط بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک به دست می آید.

اگر تابعی در بی نهایت بزرگ باشد، تابع در بی نهایت کوچک است.

اگر تابعی برای و بی نهایت کوچک باشد، آنگاه تابع برای بی نهایت بزرگ است.

رابطه بین یک تابع بی نهایت کوچک و یک تابع بی نهایت بزرگ را می توان به صورت نمادین بیان کرد:
, .

اگر یک تابع بینهایت کوچک علامت معینی داشته باشد، یعنی مثبت (یا منفی) در محله سوراخ شده نقطه باشد، این واقعیت را می توان به صورت زیر بیان کرد:
.
به همین ترتیب، اگر یک تابع بی‌نهایت بزرگ علامت مشخصی داشته باشد، می‌نویسند:
.

سپس ارتباط نمادین بین توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ را می توان با روابط زیر تکمیل کرد:
, ,
, .

فرمول های اضافی مربوط به نمادهای بی نهایت را می توان در صفحه یافت
"نقاط در بی نهایت و خواص آنها."

حدود توابع یکنواخت

تعریف
تابعی که روی مجموعه ای از اعداد حقیقی X تعریف شده است فراخوانی می شود به شدت افزایش می یابد، اگر برای همه به گونه ای باشد که نابرابری زیر برقرار باشد:
.
بر این اساس، برای به شدت در حال کاهش استتابع نابرابری زیر برقرار است:
.
برای بدون کاهش:
.
برای غیر افزایشی:
.

نتیجه این است که یک تابع کاملاً افزایشی نیز غیر کاهشی است. یک تابع کاملاً کاهشی نیز غیرافزاینده است.

تابع فراخوانی می شود یکنواخت، اگر غیر کاهشی یا غیر افزایشی باشد.

قضیه
اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد.
اگر در بالا با عدد M محدود شود: یک حد محدود وجود دارد. اگر از بالا محدود نشده است، پس .
اگر از پایین با عدد m محدود شود: آنگاه یک حد محدود وجود دارد. اگر از پایین محدود نمی شود، پس .

اگر نقاط a و b در بی نهایت باشند، در عبارات علائم حد به این معنی است که .
این قضیه را می توان فشرده تر فرموله کرد.

اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد. سپس در نقاط a و b محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

یک قضیه مشابه برای یک تابع غیر افزایشی.

اجازه دهید تابع در بازه زمانی که . سپس محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

اثبات قضیه در صفحه ارائه شده است
"حدود توابع یکنواخت".

تعریف یک تابع

تابع y = f (ایکس)قانون (قانونی) است که طبق آن هر عنصر x از مجموعه X با یک و تنها یک عنصر y از مجموعه Y مرتبط است.

عنصر x ∈ Xتماس گرفت آرگومان تابعیا متغیر مستقل.
عنصر y ∈ Yتماس گرفت مقدار تابعیا متغیر وابسته.

مجموعه X نامیده می شود دامنه تابع.
مجموعه ای از عناصر y ∈ Y، که دارای پیش تصویر در مجموعه X هستند، نامیده می شود ناحیه یا مجموعه ای از مقادیر تابع.

تابع واقعی نامیده می شود محدود از بالا (از پایین)، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که نابرابری برای همه برقرار باشد:
.
تابع عدد نامیده می شود محدود، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای همه:
.

لبه بالایییا حد بالایی دقیقیک تابع واقعی به کوچکترین عددی گفته می شود که محدوده مقادیر آن را از بالا محدود می کند. یعنی این یک عدد s است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن بیشتر از s′ است: .
کران بالای یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

به ترتیب لبه پایینیا حد پایینی دقیقیک تابع واقعی به بزرگترین عددی گفته می شود که دامنه مقادیر آن را از پایین محدود می کند. یعنی این یک عدد i است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن کمتر از i است: .
infimum یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

منابع:
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.

محدودیت ها برای همه دانش آموزان ریاضی دردسرهای زیادی ایجاد می کند. برای حل یک محدودیت، گاهی اوقات باید از ترفندهای زیادی استفاده کنید و از بین انواع روش های حل، دقیقاً روشی را انتخاب کنید که برای یک مثال خاص مناسب است.

در این مقاله ما به شما کمک نمی‌کنیم محدودیت‌های توانایی‌های خود را درک کنید یا محدودیت‌های کنترل را درک کنید، اما سعی می‌کنیم به این سوال پاسخ دهیم: چگونه محدودیت‌ها را درک کنیم. ریاضیات بالاتر? درک با تجربه به دست می آید، بنابراین در عین حال چندین مثال مفصل از حل حدود را با توضیحات ارائه خواهیم کرد.

مفهوم حد در ریاضیات

سؤال اول این است: این حد چیست و حد چیست؟ ما می توانیم در مورد محدودیت های دنباله های عددی و توابع صحبت کنیم. ما به مفهوم حد یک تابع علاقه مندیم، زیرا این همان چیزی است که دانش آموزان اغلب با آن مواجه می شوند. اما ابتدا کلی ترین تعریف از حد:

فرض کنید مقداری متغیر وجود دارد. اگر این مقدار در فرآیند تغییر به طور نامحدود به عدد خاصی نزدیک شود آ ، آن آ - حد این مقدار

برای تابعی که در یک بازه مشخص تعریف شده است f(x)=y چنین عددی حد نامیده می شود آ ، که تابع زمانی که به آن تمایل دارد ایکس ، به یک نقطه خاص تمایل دارد آ . نقطه آ متعلق به بازه ای است که تابع در آن تعریف می شود.

دست و پا گیر به نظر می رسد، اما بسیار ساده نوشته شده است:

لیم- از انگلیسی حد- حد.

یک توضیح هندسی نیز برای تعیین حد وجود دارد، اما در اینجا ما به تئوری نمی پردازیم، زیرا ما بیشتر به جنبه عملی موضوع علاقه داریم تا جنبه نظری. وقتی این را می گوییم ایکس به مقداری تمایل دارد، این بدان معناست که متغیر مقدار یک عدد را نمی گیرد، بلکه به آن بی نهایت نزدیک می شود.

بیایید یک مثال خاص بزنیم. وظیفه یافتن حد است.

برای حل این مثال، مقدار را جایگزین می کنیم x=3 به یک تابع ما گرفتیم:

به هر حال، اگر به عملیات پایه روی ماتریس ها علاقه دارید، مقاله جداگانه ای در این زمینه بخوانید.

در مثال ها ایکس می تواند به هر ارزشی گرایش داشته باشد. می تواند هر عدد یا بی نهایت باشد. در اینجا یک مثال زمانی است ایکس به بی نهایت تمایل دارد:

بطور شهودی، هرچه عدد در مخرج بزرگتر باشد، مقدار تابع کوچکتر خواهد بود. بنابراین، با رشد نامحدود ایکس معنی 1/x کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود.

همانطور که می بینید، برای حل محدودیت، فقط باید مقدار مورد نظر را در تابع جایگزین کنید ایکس . با این حال، این ساده ترین مورد است. غالباً یافتن محدودیت چندان واضح نیست. در محدوده ها عدم قطعیت هایی از نوع وجود دارد 0/0 یا بی نهایت / بی نهایت . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ توسل به ترفندها!

عدم قطعیت های درون

عدم قطعیت شکل بی نهایت/بی نهایت

بگذارید یک محدودیت وجود داشته باشد:

اگر بخواهیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم، هم در صورت و هم در مخرج بی نهایت می گیریم. به طور کلی، شایان ذکر است که عنصر خاصی از هنر در حل چنین عدم قطعیت هایی وجود دارد: باید توجه داشته باشید که چگونه می توانید عملکرد را به گونه ای تغییر دهید که عدم قطعیت از بین برود. در مورد ما، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم ایکس در مقطع ارشد چه اتفاقی خواهد افتاد؟

از مثالی که قبلاً در بالا توضیح داده شد، می دانیم که عبارات حاوی x در مخرج به صفر تمایل دارند. سپس راه حل حد این است:

برای حل عدم قطعیت نوع بی نهایت / بی نهایتصورت و مخرج را بر تقسیم کنید ایکسبه بالاترین درجه

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است هر نوع کاری

نوع دیگری از عدم قطعیت: 0/0

مثل همیشه، جایگزینی مقادیر در تابع x=-1 می دهد 0 در صورت و مخرج کمی دقیق تر نگاه کنید متوجه می شوید که ما یک معادله درجه دوم در صورتگر داریم. بیایید ریشه ها را پیدا کنیم و بنویسیم:

کم کنیم و بگیریم:

بنابراین، اگر با عدم قطعیت نوع مواجه هستید 0/0 - صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای آسان‌تر کردن حل مثال‌ها، جدولی با محدودیت‌های برخی از توابع ارائه می‌کنیم:

حکومت L'Hopital در داخل

راه قدرتمند دیگری برای از بین بردن هر دو نوع عدم قطعیت. ماهیت روش چیست؟

در صورت عدم قطعیت در حد، مشتق صورت و مخرج را بگیرید تا عدم قطعیت از بین برود.

قانون L'Hopital به این صورت است:

نکته مهم : حدی که در آن مشتقات صورت و مخرج به جای مصدر و مخرج قرار می گیرند باید وجود داشته باشد.

و اکنون - یک مثال واقعی:

عدم قطعیت معمولی وجود دارد 0/0 . بیایید مشتقات صورت و مخرج را در نظر بگیریم:

Voila، عدم قطعیت به سرعت و با ظرافت حل می شود.

امیدواریم بتوانید این اطلاعات را در عمل به کار ببرید و پاسخ سوال «چگونه محدودیت ها را در ریاضیات بالاتر حل کنیم» بیابید. اگر نیاز به محاسبه حد یک دنباله یا حد یک تابع در یک نقطه دارید، و مطلقاً زمانی برای این کار وجود ندارد، برای یک راه حل سریع و دقیق با یک سرویس دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید.

تابع %%f(x)%% را که حداقل در برخی از محله‌های سوراخ شده تعریف شده در نظر بگیرید %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% از نقطه %%a \in \overline(\ mathbb(R))%% خط عددی توسعه یافته.

مفهوم حد کوشی

عدد %%A \in \mathbb(R)%% فراخوانی می شود محدودیت عملکرد%%f(x)%% در نقطه %%a \in \mathbb(R)%% (یا در %%x%% تمایل به %%a \in \mathbb(R)%%)، اگر، چه هر چه عدد مثبت %%\varepsilon%% باشد، یک عدد مثبت %%\delta%% وجود دارد به طوری که برای همه نقاط در محل سوراخ شده %%\delta%% نقطه %%a%% مقادیر تابع وجود دارد. متعلق به %%\varepsilon %%-همسایگی نقطه %%A%%، یا

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \فلش راست چپ \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

این تعریف را تعریف %%\varepsilon%% و %%\delta%% می نامند که توسط ریاضیدان فرانسوی آگوستین کوشی ارائه شد و از ابتدای قرن نوزدهم تا به امروز مورد استفاده قرار گرفت زیرا از دقت و دقت ریاضی لازم برخوردار است.

ترکیب همسایگی های مختلف نقطه %%a%% از فرم %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ text(U) _\delta (-\infty)، \text(U)_\delta (+\infty)، \text(U)_\delta^+ (a)، \text(U)_\delta^ - (الف) %% با محیط اطراف %%\text(U)_\varepsilon (A)، \text(U)_\varepsilon (\infty)، \text(U)_\varepsilon (+\infty)، \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%، 24 تعریف از حد کوشی دریافت می کنیم.

معنای هندسی

معنای هندسی حد یک تابع

بیایید بفهمیم که معنای هندسی حد یک تابع در یک نقطه چیست. بیایید یک نمودار از تابع %%y = f(x)%% بسازیم و نقاط %%x = a%% و %%y = A%% را روی آن علامت گذاری کنیم.

حد تابع %%y = f(x)%% در نقطه %%x \تا a%% وجود دارد و برابر A است اگر برای هر %%\varepsilon%% همسایگی نقطه %%A%% می توان چنین %%\ delta%% همسایگی نقطه %%a%% را مشخص کرد، به طوری که برای هر %%x%% از این %%\delta%% همسایگی مقدار %%f(x)% % در %%\varepsilon%%%%%A%% خواهد بود.

توجه داشته باشید که با تعریف حد یک تابع طبق کوشی، برای وجود یک حد در %%x \تا a%%، فرقی نمی‌کند که تابع در نقطه %%a% چه مقداری می‌گیرد. در مواردی که تابع %%x = a%% تعریف نشده باشد یا مقداری غیر از %%A%% بگیرد، می‌توان مثال‌هایی ارائه داد. با این حال، حد ممکن است %%A%%.

تعیین حد هاینه

عنصر %%A \in \overline(\mathbb(R))%% حد تابع %%f(x)%% در %% x \ به a، a \in \overline(\mathbb( R))%%، اگر برای هر دنباله %%\(x_n\) \تا %% از دامنه تعریف، دنباله مقادیر متناظر %%\big\(f(x_n)\big\)% % به %%A%% گرایش دارد.

تعریف حد مطابق با هاینه برای استفاده زمانی مناسب است که در مورد وجود حد یک تابع در یک نقطه معین تردید ایجاد شود. اگر امکان ساخت حداقل یک دنباله %%\(x_n\)%% با محدودیت در نقطه %%a%% وجود داشته باشد به طوری که دنباله %%\big\(f(x_n)\big\)%% هیچ محدودیتی ندارد، پس می توانیم نتیجه بگیریم که تابع %%f(x)%% در این نقطه هیچ محدودیتی ندارد. اگر برای دو مختلفدنباله های %%\(x"_n\)%% و %%\(x""_n\)%% دارای یکسانمحدودیت %%a%%, دنباله‌های %%\big\(f(x"_n)\big\)%% و %%\big\(f(x""_n)\big\)%% دارند مختلفمحدود می کند، پس در این مورد نیز هیچ محدودیتی برای تابع %%f(x)%% وجود ندارد.

مثال

اجازه دهید %%f(x) = \sin(1/x)%%. بیایید بررسی کنیم که آیا محدودیت این تابع در نقطه %%a = 0%% وجود دارد یا خیر.

اجازه دهید ابتدا یک دنباله $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) را انتخاب کنیم که به این نقطه همگرا می شود. $$

واضح است که %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% و %%\lim (x_n) = 0%%. سپس %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% و %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 ٪٪.

سپس دنباله ای بگیرید که به همان نقطه همگرا می شود $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

که %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% و %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%.به طور مشابه برای دنباله $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1 ) \pi) \راست\)، $$

همچنین همگرا به نقطه %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

هر سه دنباله نتایج متفاوتی دادند که با شرط تعریف هاینه در تضاد است. این تابع در نقطه %%x = 0% هیچ محدودیتی ندارد.

قضیه

تعاریف کوشی و هاینه از حد معادل هستند.

اجازه دهید تابع y = ƒ (x) در نزدیکی نقطه x o تعریف شود، به جز، شاید، خود نقطه x o.

اجازه دهید دو تعریف معادل از حد یک تابع در یک نقطه را فرموله کنیم.

تعریف 1 (به "زبان توالی" یا به گفته هاینه).

عدد A حد تابع y=ƒ(x) در کوره x 0 (یا در x® x o)، اگر برای هر دنباله ای باشد نامیده می شود. ارزش های قابل قبولآرگومان های x n، n є N (x n ¹ x 0)، با همگرا شدن به x، دنباله ای از مقادیر متناظر تابع ƒ(xn)، n є N، به عدد A همگرا می شود.

در این مورد می نویسند
یا ƒ(x)->A در x→x o. معنای هندسی حد یک تابع: به این معنی است که برای تمام نقاط x که به اندازه کافی به نقطه xo نزدیک هستند، مقادیر مربوط به تابع به اندازه دلخواه با عدد A متفاوت است.

تعریف 2 (به «زبان ε» یا به گفته کوشی).

عدد A حد تابع در نقطه x o (یا در x→x o) نامیده می شود اگر برای هر ε مثبت عدد δ مثبت وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x¹ x o که نابرابری را ارضا می کنند |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

معنی هندسی حد تابع:

اگر برای هر همسایگی ε نقطه A یک همسایگی δ از نقطه x وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x1 xo از این همسایگی δ، مقادیر مربوط به تابع ƒ(x) در همسایگی ε باشد. نقطه A. به عبارت دیگر، نقاط نمودار تابع y = ƒ(x) درون نواری با عرض 2ε قرار دارند که با خطوط مستقیم y=A+ ε، y=A-ε محدود شده است (شکل 110 را ببینید). بدیهی است که مقدار δ به انتخاب ε بستگی دارد، بنابراین δ=δ(ε) می نویسیم.

<< Пример 16.1

ثابت کنیم که

راه حل: یک ε>0 دلخواه را در نظر بگیرید، δ=δ(ε)>0 را پیدا کنید به طوری که برای همه x که نابرابری را ارضا می کنند |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

با گرفتن δ=ε/2، می بینیم که برای همه x نابرابری |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. محدودیت های یک طرفه

در تعریف حد یک تابع، در نظر گرفته می شود که x به هر شکلی به x 0 تمایل دارد: کمتر از x 0 (در سمت چپ x 0)، بزرگتر از x o (در سمت راست x o)، یا در اطراف نوسان داشته باشد. نقطه x 0.

مواردی وجود دارد که روش تقریب آرگومان x به x o به طور قابل توجهی بر مقدار حد تابع تأثیر می گذارد. از این رو مفاهیم حدود یک طرفه معرفی می شوند.

عدد A 1 حد تابع y=ƒ(x) در سمت چپ در نقطه x o نامیده می شود اگر برای هر عدد ε>0 عدد δ=δ(ε)> 0 وجود داشته باشد به طوری که در x є (x 0 -δ;x o)، نابرابری |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 یا به طور مختصر: ƒ(x o- 0) = A 1 (نماد دیریکله) (به شکل 111 مراجعه کنید).

حد تابع در سمت راست به طور مشابه آن را با استفاده از نمادها می نویسیم:

به طور خلاصه، حد سمت راست با ƒ(x o +0)=A نشان داده می شود.

حد چپ و راست یک تابع را حدهای یک طرفه می گویند. بدیهی است که اگر وجود داشته باشد، هر دو حد یک طرفه وجود دارد و A = A 1 = A 2.

برعکس نیز صادق است: اگر هر دو حد ƒ(x 0 -0) و ƒ(x 0 +0) وجود داشته باشند و با هم برابر باشند، یک حد وجود دارد و A = ƒ(x 0 -0).

اگر A 1 ¹ A 2، پس این کلیسای کوچک وجود ندارد.

16.3. حد تابع در x ® ∞

اجازه دهید تابع y=ƒ(x) در بازه (-∞;∞) تعریف شود. عدد A نامیده می شود محدودیت عملکردƒ(x) در x→ ∞ ، اگر برای هر عدد مثبت ε یک عدد M=M()> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای همه x که نابرابری |x|>M را برآورده می کنند، نابرابری |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

معنای هندسی این تعریف به شرح زیر است: برای "ε>0 $ M>0، که برای x є(-∞; -M) یا x є(M; +∞) مقادیر مربوط به تابع ƒ( x) در همسایگی ε نقطه A قرار می گیرند، یعنی نقاط نمودار در نواری به عرض 2ε قرار دارند که توسط خطوط مستقیم y=A+ε و y=A-ε محدود شده است (شکل 112 را ببینید). .

16.4. تابع بی نهایت بزرگ (b.b.f.)

تابع y=ƒ(x) بی نهایت بزرگ نامیده می شود برای x→x 0 اگر برای هر عدد M> 0 عدد δ=δ(M)> 0 وجود داشته باشد که برای تمام x هایی که نابرابری 0 را برآورده می کنند.<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>م.

برای مثال تابع y=1/(x-2) b.b.f است. برای x-> 2.

اگر ƒ(x) به صورت x→x o به بی نهایت تمایل داشته باشد و فقط مقادیر مثبت بگیرد، آنگاه می نویسند.

اگر فقط مقادیر منفی باشد، پس

تابع y=ƒ(x)، تعریف شده در کل خط عددی، بی نهایت بزرگ نامیده می شودبه صورت x→∞، اگر برای هر عدد M>0 عددی N=N(M)>0 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x هایی که نابرابری |x|>N را برآورده می کنند، نابرابری |ƒ(x)|>M برقرار است. کوتاه:

برای مثال y=2x دارای b.b.f است. به صورت x→∞.

توجه داشته باشید که اگر آرگومان x با گرایش به بی نهایت فقط مقادیر طبیعی یعنی xєN را بگیرد، b.b.f مربوطه. به دنباله ای بی نهایت بزرگ تبدیل می شود. به عنوان مثال، دنباله v n =n 2 +1، n є N، یک دنباله بی نهایت بزرگ است. بدیهی است که هر B.b.f. در همسایگی نقطه x o در این همسایگی نامحدود است. عکس آن درست نیست: یک تابع نامحدود ممکن است b.b.f نباشد. (مثلا y=xsinx.)

با این حال، اگر limƒ(x)=A برای x→x 0، که در آن A یک عدد محدود است، تابع ƒ(x) در مجاورت نقطه x o محدود می شود.

در واقع، از تعریف حد یک تابع نتیجه می شود که به صورت x→ x 0 شرط |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

نظریه حدود یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مسئله حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل حدود از انواع مختلف وجود دارد. ده ها تفاوت ظریف و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد این یا آن محدودیت را حل کنید. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما ابتدا یک پیشینه تاریخی مختصر. در قرن نوزدهم یک فرانسوی به نام آگوستین لوئی کوشی زندگی می کرد که تعاریف دقیقی برای بسیاری از مفاهیم ماتان ارائه کرد و پایه های آن را پی ریزی کرد. باید گفت که این ریاضیدان ارجمند در کابوس همه دانشجویان گروه های فیزیک و ریاضی بوده، هست و خواهد بود، چرا که تعداد زیادی قضایای آنالیز ریاضی را به اثبات رسانده و یکی از قضیه ها کشنده تر از دیگری است. در این زمینه، ما هنوز در نظر نخواهیم گرفت تعیین حد کوشی، اما بیایید سعی کنیم دو کار را انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. حل انواع اصلی محدودیت ها را بیاموزید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای یک قوری قابل درک باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و فقط یک مثال از چرایی مادربزرگ پشمالو ....

هر محدودیتی از سه قسمت تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد حد، در این مورد. ورودی به عنوان "X تمایل به یک دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "X" در عمل متغیرهای دیگری وجود دارد. در کارهای عملی، مکان یک می تواند مطلقاً هر عدد و همچنین بی نهایت باشد ().
3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود ضبط به این صورت می‌خواند: «حد تابعی که x تمایل به وحدت دارد».

بیایید به سوال مهم بعدی نگاه کنیم - عبارت "x" به چه معناست؟ تلاش می کندبه یک"؟ و حتی "تلاش" به چه معناست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، به اصطلاح، پویا. بیایید یک دنباله بسازیم: ابتدا، سپس،، ...، , ….
یعنی عبارت «x تلاش می کندبه یک" باید به صورت زیر درک شود: "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که به وحدت بی نهایت نزدیک و عملاً منطبق بر آن هستند.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید یکی را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

بنابراین، قانون اول: هنگامی که محدودیتی در نظر گرفته می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را به تابع متصل کنیم.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفته ایم، اما اینها در عمل هم اتفاق می افتد و نه به ندرت!

مثال با بی نهایت:

بیایید بفهمیم که چیست؟ این در صورتی است که بدون محدودیت افزایش یابد، یعنی: اول، بعد، بعد، سپس و غیره تا بی نهایت.

در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، پس تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، به جای "X"، بی نهایت را جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: وقتی تابع بدون محدودیت افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را برای خودتان تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین انواع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر در جایی شک دارید، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که سعی کنید دنباله , , را بسازید . اگر پس از آن ، ، .

! توجه داشته باشید: به بیان دقیق، این رویکرد برای ساخت دنباله های چند اعداد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با یک عدد بزرگ در بالا داده شود، یا حتی با یک میلیون: ، پس همه چیز یکسان است ، زیرا دیر یا زود "X" شروع به گرفتن چنین ارزش های غول پیکری می کند که یک میلیون در مقایسه یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید از موارد بالا به خاطر بسپارید و بفهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را در تابع جایگزین کنیم.

2) باید ساده ترین محدودیت ها را بفهمید و فوراً حل کنید، مانند ، ، و غیره.

علاوه بر این، حد دارای معنای هندسی بسیار خوبی است. برای درک بهتر موضوع توصیه می کنم مطالب آموزشی را مطالعه کنید نمودارها و خواص توابع ابتدایی. پس از خواندن این مقاله، نه تنها در نهایت متوجه خواهید شد که محدودیت چیست، بلکه با موارد جالبی که محدودیت یک تابع به طور کلی وجود ندارد!

در عمل متاسفانه هدایایی کم است. و بنابراین ما به بررسی محدودیت های پیچیده تر می رویم. به هر حال، در مورد این موضوع وجود دارد دوره فشردهدر قالب pdf، که مخصوصاً اگر زمان بسیار کمی برای تهیه داشته باشید مفید است. اما مواد سایت، البته، بدتر نیستند:

حال گروهی از حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.

مثال:

محاسبه حد

طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و لازم است برخی از تکنیک های راه حل را اعمال کنیم که اکنون آنها را بررسی می کنیم.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

توان پیشرو در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم:

بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به این صورت است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کرد.

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی اساساً در طراحی یک تصمیم مهم است؟

ابتدا، در صورت وجود عدم قطعیت را نشان می دهیم.

ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً ، در حد توصیه می شود علامت گذاری کنید که کجا می رود. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است:

بهتر است از یک مداد ساده برای یادداشت استفاده کنید.

البته، شما مجبور نیستید هیچ یک از اینها را انجام دهید، اما ممکن است معلم به کاستی های موجود در راه حل اشاره کند یا شروع به پرسیدن سؤالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداكثر مدرك در صورت‌حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
تکلیف کامل ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "X" در صورتگر: 2
حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

علامت گذاری به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بینهایت کوچک است.

بنابراین، با کشف عدم قطعیت گونه‌ها، ممکن است بتوانیم شماره نهایی، صفر یا بی نهایت.

محدودیت هایی با عدم قطعیت نوع و روش برای حل آنها

گروه بعدی از حدود تا حدودی شبیه به حدودی است که به تازگی در نظر گرفته شده است: صورت و مخرج حاوی چندجمله ای هستند، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت گرایش دارد. عدد محدود.

مثال 4

حل محدودیت
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را به کسر جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی: اگر صورت و مخرج دارای چند جمله ای باشند و شکل آن نامشخص باشد، آن را فاش کنید. شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شده اند، به صفحه مراجعه کنید فرمول ها و جداول ریاضیو مطالب آموزشی را بخوانید فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه. به هر حال، بهتر است آن را اغلب چاپ کنید، و اطلاعات بهتر از کاغذ جذب می شود.

پس بیایید حد خود را حل کنیم

صورت و مخرج را فاکتور بگیرید

برای فاکتور گرفتن عدد، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

ابتدا وجه تمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن: .

اگر تفکیک کننده بزرگ باشد، برای مثال 361، از یک ماشین حساب استفاده می کنیم، تابع استخراج ریشه مربع در ساده ترین ماشین حساب است.

! اگر ریشه به طور کامل استخراج نشود (عدد کسری با کاما به دست می آید) به احتمال بسیار زیاد ممیز اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود داشته است.

بعد ریشه ها را پیدا می کنیم:

بدین ترتیب:

همه. شمارنده فاکتوریزه شده است.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده سازی آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به صورت زیر خلاصه کرد:

حالا 1- را به عبارتی که زیر علامت حد باقی می ماند جایگزین می کنیم:

طبیعتاً در یک آزمون، آزمون یا امتحان، راه حل هرگز با این جزئیات نوشته نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 5

محاسبه حد

اول، نسخه "پایان" راه حل

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم.

صورت کسر:
مخرج:



,

در این مثال چه چیزی مهم است؟
اولاً شما باید درک خوبی از نحوه آشکار شدن شمارنده داشته باشید، ابتدا 2 را از پرانتز خارج کردیم و سپس از فرمول تفاوت مربع ها استفاده کردیم. این فرمولی است که باید بدانید و ببینید.

توصیه: اگر در یک محدودیت (تقریباً از هر نوع) امکان خارج کردن یک عدد از پرانتز وجود داشته باشد، ما همیشه این کار را انجام می دهیم.
علاوه بر این، توصیه می شود چنین اعدادی را فراتر از نماد حد منتقل کنید. برای چی؟ بله، فقط برای اینکه آنها مانعی نشوند. نکته اصلی این است که این اعداد را بعداً در طول حل از دست ندهید.

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله نهایی راه حل، من این دو را از آیکون حد و سپس منفی را حذف کردم.

! مهم
در طول حل، قطعه نوع اغلب رخ می دهد. این کسر را کاهش دهیدممنوع است . ابتدا باید علامت صورت یا مخرج را تغییر دهید (1- را خارج از پرانتز قرار دهید).
یعنی علامت منفی ظاهر می شود که در محاسبه حد به آن توجه می شود و اصلا نیازی به از دست دادن آن نیست.

به طور کلی، من متوجه شدم که اغلب در یافتن حدود از این نوع شما باید دو معادله درجه دوم را حل کنید، یعنی هم صورت و هم مخرج شامل سه جمله های درجه دوم هستند.

روش ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج

ما همچنان عدم قطعیت فرم را در نظر می گیریم

نوع بعدی محدودیت ها مشابه نوع قبلی است. تنها چیزی که علاوه بر چند جمله ای ها، ریشه ها را اضافه می کنیم.

مثال 6

حد را پیدا کنید

بیایید شروع به تصمیم گیری کنیم.

ابتدا سعی می کنیم 3 را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم
یک بار دیگر تکرار می کنم - این اولین کاری است که باید برای هر محدودیتی انجام دهید. این عمل معمولاً به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس انجام می شود.

عدم قطعیت فرم به دست آمده است که باید برطرف شود.

همانطور که احتمالا متوجه شدید، شمارنده ما حاوی تفاوت ریشه ها است. و در ریاضیات مرسوم است که در صورت امکان از ریشه خلاص شوند. برای چی؟ و زندگی بدون آنها آسان تر است.