راه حل اساسی معادله گرما. رسانایی گرمایی

معادله هدایت حرارتی در یک محیط همگن، همانطور که دیدیم، شکل دارد

ضریب هدایت حرارتی داخلی، c ظرفیت گرمایی ماده و چگالی است. علاوه بر رابطه (1)، باید شرایط اولیه را نیز در نظر داشت که توزیع دمای اولیه و در را نشان می دهد

اگر بدن توسط یک سطح (S) محدود شود، در این سطح نیز شرایط محدود کننده ای خواهیم داشت که بسته به شرایط فیزیکی می تواند متفاوت باشد. به عنوان مثال، سطح (S) را می توان در دمای معینی نگهداری کرد که می تواند در طول زمان تغییر کند. در این حالت، شرط حد به تعیین تابع U در سطح (S) کاهش می یابد و این عملکرد داده شدههمچنین ممکن است به زمان t بستگی داشته باشد. اگر دمای سطح ثابت نباشد، اما تشعشع در آن وجود داشته باشد محیطبا توجه به دما، پس طبق قانون نیوتن، اگرچه دور از دقت است، جریان گرما از سطح (S) متناسب با اختلاف دمای بین فضای اطراف و سطح بدن (S) است. این یک شرط حدی از فرم را می دهد

که در آن ضریب تناسب h ضریب هدایت حرارتی خارجی نامیده می شود.

در صورت انتشار گرما در جسمی با ابعاد خطی، یعنی در یک میله همگن که آن را در امتداد محور قرار می دهیم، به جای رابطه (1)، معادله را خواهیم داشت.

با این شکل از معادله، البته تبادل حرارت بین سطح میله و فضای اطراف در نظر گرفته نمی شود.

معادله (S) را می توان از رابطه (1) نیز به دست آورد، با فرض اینکه U مستقل از . شرایط اولیه در مورد میله

مطالعه هر پدیده فیزیکی به ایجاد رابطه بین کمیت های مشخص کننده این پدیده ختم می شود. برای فرآیندهای فیزیکی پیچیده که در آنها کمیت های تعیین کننده می توانند به طور قابل توجهی در مکان و زمان متفاوت باشند، ایجاد رابطه بین این کمیت ها بسیار دشوار است. در چنین مواردی از روش های فیزیک ریاضی استفاده می شود که شامل محدود کردن بازه زمانی و در نظر گرفتن حجم اولیه مشخص از کل فضا است. این اجازه می دهد تا در حجم انتخاب شده و دوره زمانی معین، از تغییرات در مقادیر مشخص کننده فرآیند غفلت شود و وابستگی به طور قابل توجهی ساده شود.

حجم ابتدایی به این ترتیب انتخاب شده است dVو یک دوره ابتدایی زمانی dτکه در آن فرآیند در نظر گرفته می‌شود، از دیدگاه ریاضی، کمیت‌های بی‌نهایت کوچک و از دیدگاه فیزیکی - کمیت‌ها هنوز به اندازه‌ای بزرگ هستند که در محدوده خود، محیط را می‌توان پیوسته در نظر گرفت و از ساختار گسسته‌اش غفلت کرد. وابستگی به دست آمده از این طریق معادله دیفرانسیل کلی فرآیند است. با ادغام معادلات دیفرانسیل، می توان یک رابطه تحلیلی بین کمیت ها برای کل منطقه ادغام و کل دوره زمانی مورد بررسی به دست آورد.

برای حل مسائل مربوط به یافتن میدان دما، لازم است یک معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی داشته باشیم.

بیایید مفروضات زیر را بیان کنیم:

بدن همگن و همسانگرد است.

پارامترهای فیزیکی ثابت هستند.

تغییر شکل حجم مورد بررسی مرتبط با تغییر دما در مقایسه با خود حجم بسیار ناچیز است.

منابع داخلی گرما در بدن به طور مساوی توزیع می شود.

استخراج معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی را بر اساس قانون بقای انرژی استوار می کنیم که به صورت زیر فرموله می کنیم:

مقدار گرماdQ، وارد حجم ابتدایی شدdVاز بیرون در زمانdτبه دلیل هدایت حرارتی و همچنین از منابع داخلی، برابر با تغییر انرژی داخلی یا آنتالپی ماده موجود در حجم اولیه است.

جایی که dQ 1 - مقدار گرمای وارد شده به حجم اولیه dVتوسط هدایت حرارتی در طول زمان dτ;

dQ 2 – مقدار حرارتی که در طول زمان dτدر حجم ابتدایی منتشر شد dVاز منابع داخلی؛

dQ- تغییر در انرژی درونی (فرایند ایزوکوریک) یا آنتالپی یک ماده (فرایند ایزوباریک) موجود در حجم اولیه dVدر حین dτ.

برای بدست آوردن معادله، حجم ابتدایی را به شکل مکعب با اضلاع در نظر بگیرید dx, دو, dz (شکل 1.2. را ببینید). مکعب طوری قرار گرفته است که لبه های آن موازی با صفحات مختصات مربوطه باشد. مقدار حرارتی که در زمان به وجوه یک حجم ابتدایی وارد می شود dτدر جهت محورها ایکس, y, z بر این اساس نشان دهید dQ ایکس , dQ y , dQ z .

مقدار گرمایی که از وجوه مخالف در جهات یکسان خارج می شود، بر این اساس مشخص می شود dQ ایکس + dx , dQ y + دو , dQ z + dz .

مقدار گرمای وارد شده به لبه dxdyدر جهت محور ایکسدر حین dτ، است:

جایی که q ایکس- پیش بینی چگالی شار حرارتی بر روی جهت نرمال به وجه مشخص شده. بر این اساس، مقدار گرمای خارج شده از وجه مقابل به صورت زیر خواهد بود:

تفاوت بین مقدار گرمای وارد شده به یک حجم اولیه و مقدار گرمای حذف شده از آن نشان دهنده گرما است:

تابع qدر بازه در نظر گرفته شده پیوسته است dx و می توان آن را در یک سری تیلور گسترش داد:

اگر خودمان را به دو جمله اول سری محدود کنیم، معادله به شکل زیر نوشته می شود:

به روشی مشابه، می توانید میزان گرمای وارد شده به حجم را در جهت دو محور مختصات دیگر پیدا کنید. y و z.

مقدار گرما dQعرضه شده در نتیجه هدایت حرارتی به حجم مورد نظر، برابر با:

عبارت دوم را با نشان دادن مقدار گرمای آزاد شده توسط منابع داخلی در واحد حجم محیط در واحد زمان تعریف می کنیم. q vو بیایید آن را صدا کنیم قدرت منابع حرارتی داخلی[W/m3]، سپس:

جزء سوم در معادله ما بسته به ماهیت TD فرآیند تغییر سیستم پیدا می شود.

هنگام در نظر گرفتن یک فرآیند ایزوکوریک، تمام گرمای عرضه شده به یک حجم اولیه به تغییر انرژی داخلی ماده موجود در این حجم می‌رود، یعنی. dQ= dU.

اگر انرژی داخلی را در واحد حجم در نظر بگیریم تو= f(تی, v) ، سپس می توانیم بنویسیم:

، J/m 3

J/kg

جایی که ج v – ظرفیت گرمایی ایزوکوریک یا واحدهای حجم یا واحدهای جرم، [J/m 3];

ρ – چگالی، [kg/m3].

بیایید عبارات حاصل را جمع آوری کنیم:

عبارت حاصل این است معادله انرژی دیفرانسیل برای فرآیند انتقال حرارت ایزوکوریک.

معادله یک فرآیند ایزوباریک نیز به طور مشابه مشتق شده است. تمام گرمای وارد شده به حجم به تغییر آنتالپی ماده موجود در حجم می رود.

نسبت حاصل شده است معادله انرژی دیفرانسیل برای یک فرآیند ایزوباریک

در جامدات انتقال حرارت طبق قانون فوریه اتفاق می افتد
، مقدار ظرفیت گرمایی را می توان گرفت
. به یاد بیاوریم که طرح بردار چگالی شار حرارتی بر روی محورهای مختصات با عبارات تعیین می شود:

آخرین عبارت معادله حرارت دیفرانسیل نامیده می شود. ارتباطی بین تغییرات زمانی و مکانی دما در هر نقطه ای از بدن که فرآیند هدایت حرارتی در آن رخ می دهد برقرار می کند.

کلی ترین معادله دیفرانسیل جزئی برای هدایت گرما به همین شکل است، اما در آن کمیت ها وجود دارد ρ ,  , باتابع زمان و مکان هستند. این معادله تعداد زیادی از مسائل مربوط به هدایت گرما را توصیف می کند. اگر گرما را بگیرید پارامترهای فیزیکیثابت است، سپس معادله ساده تر خواهد بود:

بیایید نشان دهیم
، سپس:

عامل تناسب آ[m2/s] ضریب انتشار حرارتی نامیده می شود و یک پارامتر فیزیکی ماده است. این برای فرآیندهای حرارتی غیر ثابت ضروری است، سرعت تغییر دما را مشخص می کند. اگر ضریب هدایت حرارتی توانایی اجسام برای هدایت گرما را مشخص می کند، ضریب انتشار حرارتی معیاری از خواص اینرسی حرارتی بدن است. به عنوان مثال، مایعات و گازها اینرسی حرارتی بیشتری دارند و بنابراین ضریب انتشار حرارتی پایینی دارند، در حالی که فلزات، برعکس، اینرسی حرارتی پایینی دارند.

اگر منابع حرارتی داخلی وجود داشته باشد و میدان دما ثابت باشد، معادله پواسون را بدست می آوریم:

در نهایت، با هدایت حرارتی ثابت و عدم وجود منابع حرارتی داخلی، معادله لاپلاس را به دست می‌آوریم:

شرایط منحصر به فرد برای هدایت حرارتی.

از آنجایی که معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی از قوانین عمومی فیزیک گرفته شده است، طبقه کاملی از پدیده ها را توصیف می کند. برای حل آن باید شرایط مرزی یا شرایط عدم ابهام را تعیین کرد.

شرایط منحصر به فرد عبارتند از:

شرایط هندسی - شکل و اندازه بدن را مشخص می کند.

شرایط فیزیکی - مشخص کردن مشخصات فیزیکیمحیط و بدن؛

شرایط اولیه (موقت) - توصیف توزیع دما در بدن در لحظه اولیه زمان، هنگام مطالعه فرآیندهای غیر ثابت تنظیم می شود.

شرایط مرزی - تعامل بدن مورد نظر با محیط را مشخص می کند.

شرایط مرزی را می توان به روش های مختلفی مشخص کرد.

شرایط مرزی از نوع اول. توزیع دما در سطح بدن برای هر لحظه از زمان مشخص می شود:

تی ج = f(ایکس, y, z, τ )

جایی که تی ج- دمای سطح بدن؛

ایکس, y, z- مختصات سطح بدن

در مورد خاصی که درجه حرارت روی سطح در کل زمان فرآیندهای انتقال حرارت ثابت است، معادله ساده شده است:

تی ج = پایان

شرایط مرزی از نوع دوم. مقادیر جریان گرما برای هر نقطه از سطح بدن و در هر نقطه از زمان تنظیم می شود. از نظر تحلیلی به نظر می رسد:

q ج = f(ایکس, y, z, τ )

در ساده ترین حالت، چگالی شار حرارتی روی سطح بدن ثابت می ماند. این مورد زمانی اتفاق می افتد که محصولات فلزی در کوره های با دمای بالا گرم می شوند.

شرایط مرزی از نوع سوم. در این حالت دمای محیط تنظیم می شود تی چهارشنبهو قانون تبادل حرارت بین سطح بدن و محیط. قانون نیوتن ریچمن برای توصیف فرآیند انتقال حرارت استفاده می شود. بر اساس این قانون، مقدار حرارتی که واحد سطح بدن در واحد زمان می دهد یا دریافت می کند، متناسب با اختلاف دما بین سطح بدن و محیط است:

جایی که α ضریب تناسب که ضریب انتقال حرارت نامیده می شود [W/(m2 ·K)]، شدت انتقال حرارت را مشخص می کند. از نظر عددی برابر با مقدار گرمایی است که واحد سطح بدن در واحد زمان با اختلاف دمایی برابر با یک درجه می دهد. بر اساس قانون بقای انرژی، مقدار گرمایی که به محیط آزاد می شود باید برابر با گرمایی باشد که در اثر هدایت حرارتی از قسمت های داخلی بدن تامین می شود، یعنی:

آخرین معادله یک شرط مرزی از نوع سوم است.

مشکلات فنی پیچیده تری وجود دارد که هیچ یک از شرایط ذکر شده را نمی توان مشخص کرد و سپس مشکل باید با استفاده از روش صرف حل شود. هنگام حل چنین مشکلی، شرایط برابری دما و جریان گرما در دو طرف رابط باید رعایت شود. به طور کلی می توان شرایط مزدوج را نوشت:

راه حل مشکل مزدوج شامل یافتن میدان های دما در دو طرف رابط است.

فرمول‌هایی برای محاسبه میدان دما و جریان گرما در مسائل خاص هدایت حرارتی ثابت و غیر ثابت بر اساس یک توصیف ریاضی (مدل ریاضی) فرآیند به‌دست می‌آیند. این مدل بر اساس یک معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی است که با استفاده از قانون اول ترمودینامیک برای اجسامی که کار نمی کنند و قانون هدایت حرارتی فوریه به دست آمده است. معادله دیفرانسیل یک فرآیند فیزیکی معمولاً تحت مفروضات خاصی استخراج می شود که فرآیند را ساده می کند. بنابراین، معادله به دست آمده یک کلاس از فرآیندها را فقط در مفروضات پذیرفته شده توصیف می کند. هر کار خاص با شرایط مربوط به عدم ابهام توصیف می شود. بنابراین، توصیف ریاضی فرآیند هدایت گرما شامل معادله دیفرانسیل رسانش گرما و شرایط منحصر به فرد است.

اجازه دهید استخراج معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی را تحت مفروضات زیر در نظر بگیریم:

• الف) بدن همگن و ناهمسانگرد است.
• ب) ضریب هدایت حرارتی به دما بستگی دارد.
• ج) تغییر شکل حجم مورد بررسی مرتبط با تغییر دما در مقایسه با خود حجم بسیار کم است.
• د) در داخل بدن منابع گرمای داخلی به طور مساوی توزیع شده است q v = f(x، y، z، t) = const;
• ه) هیچ حرکتی از ذرات درشت بدن نسبت به یکدیگر وجود ندارد (همرفت).

در بدنه ای با ویژگی های پذیرفته شده، حجم ابتدایی را به شکل موازی با لبه ها انتخاب می کنیم. dx، dy، dz،قطعاً در یک سیستم مختصات متعامد جهت گیری شده است (شکل 14.1). مطابق با قانون اول ترمودینامیک برای اجسامی که کار نمی کنند، تغییر در انرژی داخلی است dUمواد در حجم اختصاص داده شده در طول زمان dxبرابر با مقدار گرمای ارائه شده است

برنج. 14.1.

به دلیل هدایت حرارتی به حجم تبدیل می شود dQx، و گرمای آزاد شده توسط منابع داخلی dQ 2"

از ترمودینامیک مشخص شده است که تغییر در انرژی داخلی یک ماده در حجم dV در حین dx برابر است

جایی که dG = ص dV- جرم ماده؛ p - چگالی؛ با - ظرفیت گرمایی جرم ویژه (برای سیالات تراکم پذیر c = c v (ظرفیت حرارتی ایزوکوریک)).

مقدار انرژی آزاد شده توسط منابع داخلی است

جایی که q v - چگالی حجمی منابع حرارتی داخلی، W/m 3.

جریان گرمایی وارد شده به حجم را با توجه به جهت محورهای مختصات به سه جزء تقسیم می کنیم: از طریق چهره های مخالف گرما وجود خواهد داشت

بر این اساس از نظر مقدار حذف شود تفاوت بین مقدار گرمای عرضه شده و گرمای حذف شده معادل تغییر انرژی داخلی ناشی از هدایت حرارتی است. dQ v بیایید این مقدار را به عنوان مجموع اجزا در امتداد محورهای مختصات تصور کنیم:

سپس در جهت محور x داریم

زیرا -

چگالی جریان گرما در گوان های مخالف.

تابع q x+dxدر بازه در نظر گرفته شده پیوسته است dxو می توان آن را در یک سری تیلور گسترش داد:

با محدود کردن خود به دو ترم اول سری و جایگزینی با (14.6)، به دست می آوریم

به روشی مشابه دریافت می کنیم:

پس از جایگزینی (14.8)-(14.10) به (14.4) داریم

با جایگزینی (14.2)، (14.3) و (14.11) به (14.1)، یک معادله دیفرانسیل برای انتقال حرارت توسط هدایت حرارتی، با در نظر گرفتن منابع داخلی به دست می آوریم:

طبق قانون هدایت حرارتی فوریه، ما عباراتی را برای پیش بینی ها روی محورهای مختصات چگالی شار حرارتی می نویسیم:

جایی که X x، X y، X z- ضرایب هدایت حرارتی در جهت محورهای مختصات (جسم ناهمسانگرد).

با جایگزینی این عبارات به (14.12)، دریافت می کنیم

معادله (14.13) معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی اجسام ناهمسانگرد با خواص فیزیکی مستقل از دما نامیده می شود.

اگر قبول کنیم X = const، و بدن همسانگرد است، معادله رسانش گرما شکل می گیرد

اینجا آ = X/(متوسط)، m 2 /s، - ضریب انتشار حرارتی،

که پارامتر فیزیکی یک ماده است که میزان تغییر دما را در طی فرآیندهای گرمایش یا سرمایش مشخص می کند. اجسام ساخته شده از ماده ای با ضریب نفوذ حرارتی بالا، همه چیزهای دیگر برابر هستند، سریعتر گرم و سرد می شوند.

در یک سیستم مختصات استوانه‌ای، معادله حرارتی دیفرانسیل برای یک جسم همسانگرد با خواص فیزیکی ثابت شکل دارد.

جایی که g، z،Ф - به ترتیب مختصات شعاعی، محوری و زاویه ای.

معادلات (14.13)، (14.14) و (14.15) فرآیند رسانش گرما را در بسیار توصیف می کنند. نمای کلی. وظایف خاص متفاوت است شرایط عدم ابهام، یعنی شرح ویژگی های فرآیند مورد بررسی

شرایط عدم ابهام بر اساس مفاهیم فیزیکی هدایت حرارتی، ما می توانیم عوامل موثر بر فرآیند را شناسایی کنیم: خواص فیزیکی ماده. اندازه و شکل بدن؛ توزیع دمای اولیه؛ شرایط تبادل حرارت در سطح (مرز) بدن. بنابراین، شرایط منحصر به فرد به فیزیکی، هندسی، اولیه و مرزی (لبه) تقسیم می شود.

شرایط فیزیکیپارامترهای فیزیکی ماده مشخص شده است X, S, r و توزیع منابع داخلی.

شرایط هندسیشکل و ابعاد خطی بدنه ای که فرآیند در آن انجام می شود مشخص شده است.

شرایط اولیهتوزیع دما در بدن در لحظه اولیه مشخص شده است تی= /(x، y، z) در t = 0. شرایط اولیههنگام در نظر گرفتن فرآیندهای غیر ثابت مهم هستند.

بسته به ماهیت تبادل حرارت در مرز بدن، شرایط مرزی (لبه) به چهار نوع تقسیم می شود.

شرایط مرزی از نوع اول.توزیع دما را روی سطح تنظیم می کند tnدر طی فرایند

در یک مورد خاص، دمای سطح می تواند ثابت بماند (/n = const).

شرایط مرزی نوع اول رخ می دهد، به عنوان مثال، در هنگام گرمایش تماسی در فرآیندهای چسباندن تخته سه لا، فشار دادن تخته های نئوپان و تخته های فیبر و غیره.

شرایط مرزی از نوع دوم.توزیع مقادیر چگالی شار حرارتی بر روی سطح بدن در طول فرآیند مشخص شده است

در یک مورد خاص، شار گرما روی سطح می تواند ثابت بماند (

شرایط مرزی از نوع سوممربوط به انتقال حرارت همرفتی روی سطح است. در این شرایط، دمای مایعی که بدنه در آن قرار دارد، باید تنظیم شود، Г l = /(t)، و ضریب انتقال حرارت oc. در حالت کلی، ضریب انتقال حرارت یک مقدار متغیر است، بنابراین قانون تغییر آن a =/(t) باید مشخص شود. در دسترس مورد خاص: / w = const; a = ثابت

شرایط مرزی از نوع چهارمشرایط تبادل حرارت بین اجسام با ضرایب هدایت حرارتی متفاوت را در زمانی که در تماس ایده آل هستند، هنگامی که گرما توسط هدایت حرارتی منتقل می شود و گرما در امتداد جریان می یابد، مشخص کنید. طرف های مختلفسطوح تماس برابر هستند:

مفروضات فیزیکی پذیرفته شده، معادله حاصل از این مفروضات، و شرایط منحصر به فرد بودن، یک توصیف تحلیلی (مدل ریاضی) از فرآیندهای هدایت گرما را تشکیل می دهند. موفقیت استفاده از مدل به دست آمده برای حل یک مشکل خاص به این بستگی دارد که مفروضات پذیرفته شده و شرایط عدم ابهام چقدر با شرایط واقعی مناسب هستند.

معادلات (14.14) و (14.15) را می توان به طور کاملاً ساده تحلیلی برای یک رژیم حرارتی ثابت یک بعدی حل کرد. راه حل ها در زیر مورد بحث قرار می گیرند. روش های عددی تقریبی برای فرآیندهای ثابت دو بعدی و سه بعدی استفاده می شود.

برای حل معادلات (14.13) - (14.15) در شرایط حرارتی ناپایدار، تعدادی از روش‌ها استفاده می‌شود که به تفصیل در مقالات تخصصی مورد بحث قرار گرفته‌اند. روش های تحلیلی دقیق و تقریبی، روش های عددی و ... شناخته شده است.

حل عددی معادله گرما عمدتاً با روش تفاضل محدود انجام می شود. انتخاب یک یا روش دیگر راه حل بستگی به شرایط مشکل دارد. در نتیجه حل با روش های تحلیلی، فرمول هایی به دست می آید که برای حل طیفی از مسائل مهندسی در شرایط مناسب قابل استفاده است. روش های عددی به دست آوردن میدان دما را ممکن می سازد t=f(x, y, z,ر) به صورت مجموعه ای از مقادیر گسسته دما در نقاط مختلف در زمان های ثابت برای یک کار خاص. بنابراین، استفاده از روش های تحلیلی ارجح است، اما این همیشه برای مسائل چند بعدی و شرایط مرزی پیچیده امکان پذیر نیست.

حل معادله حرارت دیفرانسیل تحت تأثیر یک منبع متمرکز آنی در یک محیط نامحدود نامیده می شود. تصمیم اساسی.

منبع نقطه ای آنی

برای یک جسم نامتناهی که در مبدأ آن یک منبع نقطه ای آنی وجود دارد، حل معادله حرارت دیفرانسیل به صورت زیر است:

که در آن T دمای نقطه c است مختصات x,y,z; Q مقدار گرمای آزاد شده در لحظه t = 0 در مبدا است. t زمان سپری شده از زمان ورود گرما است. R فاصله از مبدا مختصات، جایی که منبع عمل می کند، تا نقطه مورد نظر (شعاع - بردار) است. معادله (4) یک راه حل اساسی برای معادله گرما تحت عمل یک منبع نقطه ای آنی در یک جسم بینهایت است.

در هر لحظه تی؟ 0، دمای خود منبع (R = 0) با صفر متفاوت است و با گذشت زمان طبق قانون t -3/2 کاهش می یابد و بالاتر از دمای سایر نقاط بدن باقی می ماند. همراه با فاصله از منبع، دما طبق قانون توزیع نرمال exp(-R 2/4at) کاهش می یابد. سطوح همدما کره هایی هستند که در مرکز منبع قرار دارند و میدان دما در یک زمان معین فقط به شعاع بستگی دارد. در لحظه اولیه زمان (t = 0)، دما تعریف نشده است (T = ?)، که با طرح یک منبع متمرکز همراه است، که در آن یک حجم بینهایت کوچک در لحظه اولیه زمان حاوی مقدار متناهی گرما است. س

بر اساس حل یک جسم نامتناهی (4)، می توان معادله میدان دما را برای طرح بدنه نیمه نامتناهی استخراج کرد، که برای توصیف فرآیندهای حرارتی در محصولات عظیم استفاده می شود. اجازه دهید یک منبع نقطه ای آنی D در یک جسم نیمه نامتناهی که با سطح S - S محدود شده است عمل کند (شکل 4). برای اجسام عظیم، جریان گرما در داخل به طور قابل توجهی بیشتر از جریان انتقال حرارت از سطح است. بنابراین، سطح یک جسم نیمه نامتناهی را می توان یک مرز آدیاباتیک در نظر گرفت که برای آن (به بخش 1.4 مراجعه کنید)

بیایید ناحیه نیمه نامتناهی z > 0 را با اضافه کردن منطقه z به بی نهایت گسترش دهیم< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

مرز همدما ( شرایط مرزینوع اول) T S = 0، اما در این مورد T = T D - T F. باید تاکید کرد که منبع گرمایش نمی تواند روی یک سطح همدما عمل کند.

نمایش گرافیکی میدان دما (6) مستلزم درک روشنی از موقعیت فضایی سطحی است که توزیع دما روی آن ترسیم شده است. در سیستم مختصات دکارتی (x، y، z)، بخش‌های کنترل یک جسم نیمه نامتناهی تحت تأثیر یک منبع نقطه‌ای، صفحات xy، xz و yz هستند (شکل 5، a). برای یک جسم نیمه نامتناهی، سطوح همدما نیمکره هستند (دما به شعاع بستگی دارد - بردار R). در صفحه xy، ایزوترم ها مانند قسمتی از سطح توسط یک صفحه هستند

z=const، دایره‌ها هستند و در صفحات دیگر نیم دایره هستند (شکل 5، ب). میدان دمایی یک منبع نقطه ای آنی در زمان های مختلف در شکل 1 نشان داده شده است. (6) (نگاه کنید به P 1.1.). در شکل، دما از نظر گرافیکی به مقدار T=1000K| محدود شده است.

دما در هر نقطه خارج از منبع ابتدا افزایش می یابد و سپس کاهش می یابد (شکل 1.3). لحظه موفقیت حداکثر مقداردما در یک نقطه مشخص را می توان از شرایط پیدا کرد

با تمایز عبارت (6) با توجه به زمان، فرمولی برای تعیین زمانی که دما حداکثر است به دست می آوریم.

حداکثر دمای نقاط یک جسم نیمه نامتناهی تحت تأثیر یک منبع نقطه ای با فاصله R3 کاهش می یابد.

در زیر چندین مسئله را برای تعیین میدان‌های دما برای شرایط هندسی و فیزیکی نسبتاً ساده در نظر خواهیم گرفت که به حل‌های تحلیلی اجازه می‌دهد که از نظر شکل ساده باشند و در عین حال یک تصویر مفید از فرآیندهای فیزیکی مشخصه مرتبط با انتقال حرارت در یک جامد ارائه دهند.

در مقادیر ثابت ضریب هدایت حرارتی توان انتشار حرارت حجمی، آخرین معادله را می توان دو بار ادغام کرد.

(75)

ثابت های یکپارچه سازی را می توان از شرایط مرزی پیدا کرد. برای مثال، اگر دمای انتهای میله روی . سپس از (75) داریم

از اینجا ثابت های یکپارچگی و . راه حل تحت شرایط مرزی مشخص شده شکل خواهد گرفت

از آخرین فرمول مشخص است که در غیاب منابع گرما. دما در میله به صورت خطی از یک مقدار مرزی به مقدار دیگر متفاوت است

اجازه دهید اکنون ترکیب دیگری از شرایط مرزی را در نظر بگیریم. اجازه دهید یک منبع خارجی یک شار حرارتی در انتهای سمت چپ میله ایجاد کند. در انتهای سمت راست میله ما شرایط قبلی را حفظ می کنیم، بنابراین داریم

با بیان این شرایط با استفاده از انتگرال عمومی (75)، سیستمی با توجه به ثابت های ادغام بدست می آوریم

با یافتن ثابت های مجهول از سیستم به دست آمده، یک راه حل به شکل به دست می آوریم

همانند مثال قبل، در صورت عدم وجود منابع حرارتی داخلی، توزیع دما در طول میله خطی خواهد بود

در این حالت دمای انتهای سمت چپ میله که منبع گرمای خارجی در آن قرار دارد برابر با .

به عنوان مثال بعدی، اجازه دهید توزیع دمای ثابت در امتداد شعاع را در یک استوانه دایره ای بلند جامد پیدا کنیم (شکل 39). در این حالت، استفاده از یک سیستم مختصات استوانه ای کار را به طور قابل توجهی ساده می کند. در مورد استوانه ای با نسبت طول به شعاع زیاد و توزیع ثابت

ادغام آخرین معادله دو بار (در ثابت) به دست می دهد

شرط تقارن برای توزیع دما در محور سیلندر () می دهد

از کجا تهیه کنیم؟

آخرین شرط زمانی برآورده می شود که . اجازه دهید دمای سطح سیلندر () مشخص شود. سپس می توانیم ثابت دوم انتگرال را از معادله پیدا کنیم

از اینجا راه حل را به شکل نهایی آن پیدا کرده و می نویسیم

به عنوان یک مثال عددی از کاربرد نتیجه به‌دست‌آمده، اجازه دهید توزیع دما را در پلاسما یک تخلیه قوس استوانه‌ای با شعاع میلی‌متر در نظر بگیریم. مرز کانال تخلیه به عنوان منطقه ای تشکیل می شود که فرآیندهای یونیزاسیون متوقف می شود. ما در بالا دیدیم که یونیزاسیون قابل توجه گاز در حین گرمایش در K متوقف می شود. بنابراین، مقدار داده شده را می توان به عنوان مرز K در نظر گرفت. ما چگالی توان حجمی انتشار گرما را در پلاسمای تخلیه از قانون ژول-لنز پیدا می کنیم، که در آن σ - هدایت الکتریکی پلاسما، E- شدت میدان الکتریکی در کانال تخلیه. مقادیر مشخصه برای تخلیه قوس 1/اهم متر، V/m است. رسانایی گرمایی پلاسمای قوس بیشتر از گاز خنثی است؛ در دماهای حدود 10000 کلوین، مقدار آن را می توان برابر با . بنابراین پارامتر . توزیع دما در امتداد شعاع در شکل نشان داده شده است. 39. در این حالت دما در محور دبی () 8000 K خواهد بود.

در مثال بعدی میدان حرارتی را در نظر خواهیم گرفت که دارای تقارن کروی است. چنین شرایطی به‌ویژه اگر یک منبع گرمای کوچک در یک آرایه بزرگ قرار داشته باشد، به‌عنوان مثال، یک خطای قوس متقابل در سیم‌پیچ یک ماشین الکتریکی بزرگ به وجود می‌آید. در این حالت، با ترکیب مرکز سیستم مختصات کروی با منبع گرما، می‌توان معادله گرمای ثابت (64) را به شکل زیر در آورد:

با ادغام این معادله دو بار، متوجه می شویم

سپس انتگرال معادله گرما ساده می شود

برای محاسبه ثابت های ادغام، ابتدا از این شرط در نقاطی با فاصله بی نهایت از محل تخلیه استفاده می کنیم، جایی که C دمای محیط است. از آخرین عبارتی که می یابیم . برای تعیین ثابت، فرض می کنیم که انرژی حرارتی آزاد شده در تخلیه به طور یکنواخت روی سطح یک حفره کروی به شعاع توزیع می شود. بنابراین، شار حرارتی در مرز حفره خواهد بود

از آنجا که ، سپس از دو معادله آخر داریم

و تصمیم نهایی

در این حالت، دما در مرز حفره (mm) در W/mK K خواهد بود (شکل 40).

به عنوان اولین نمونه از این گروه، میدان حرارتی را در سطح مقطع سیم گرد با کانال خنک کننده در نظر می گیریم (شکل 41، آ). سیم های با کانال های خنک کننده در سیم پیچ های قدرتمند استفاده می شود ماشین های الکتریکیو سیم پیچ برای تولید میدان های مغناطیسی قوی. این دستگاه ها با جریان طولانی مدت جریان با دامنه صدها و حتی هزاران آمپر مشخص می شوند. به عنوان مثال، مایعی مانند آب یا گاز (هیدروژن، هوا) پمپ می شود که استخراج انرژی حرارتی از سطح داخلی کانال و خنک شدن سیم را به طور کلی تضمین می کند. در این مورد، ما با خنک کردن همرفتی اجباری سطح کانال سروکار داریم که می‌توانیم از شرط مرزی نوع سوم (67) که در بالا توجیه شده است استفاده کنیم. اگر محور سیستم مختصات استوانه ای با محور سیم هم تراز باشد، دما فقط به مختصات شعاعی بستگی دارد. ما انتگرال کلی معادله گرمای ثابت را برای این مورد قبلاً به دست آوردیم

چگالی توان حجمی انتشار گرما از قانون ژول-لنز بدست می آید: j- چگالی جریان، σ - رسانایی الکتریکی،

جایی که آر- شعاع بخش سیم، آ- شعاع کانال خنک کننده سیم از بیرون توسط لایه های عایق احاطه شده است که در مقایسه با هادی، رسانایی حرارتی نسبتا کمی دارد. بنابراین، به عنوان اولین تقریب، فرض می کنیم که سطح بیرونی سیم عایق حرارتی است، یعنی جریان گرما روی آن.

در سطح کانال خنک کننده، جریان گرما با شرایط نوع سوم تعیین می شود

جایی که ضریب انتقال حرارت است، دمای جریان خنک کننده است. علامت منفی در سمت راست به این دلیل گرفته می شود که سطح عادی به سطح داخلی کانال در جهت مخالف محور هدایت می شود.

با جایگزینی عبارت برای دما (76) در اولین شرط مرزی نوشته شده، به دست می آوریم

جایی که . شرط مرزی دوم می دهد

از کجا پیداش کنیم

در همان زمان، از (76)

با مقایسه دو عبارت آخر، متوجه می شویم

پس از جایگزینی ثابت های یافت شده به حل کلی (76) و تبدیل ها، به دست می آوریم

دما در مرزهای سطح مقطع سیم از محلول حاصل با استفاده از فرمول ها محاسبه می شود.

توزیع دما در امتداد شعاع مقطع برای یک سیم با کانال خنک کننده با پارامترهای: A، W/mK، 1/اهم m, o C, mm, cm در شکل نشان داده شده است. 41، ب.

از شکل 41، بنتیجه این است که در سطح مقطع سیم تغییر دما نسبتاً کوچک است در مقایسه با مقدار متوسط ​​آن، که با هدایت حرارتی بالا توضیح داده می شود. λ و ابعاد مقطع سیم نسبتاً کوچک.

بیایید توزیع دما را در امتداد سیم در حضور یک تماس معیوب محاسبه کنیم. مثال قبلی نشان داد که حتی در شدیدترین شرایط، تغییر دما در سطح مقطع سیم بسیار ناچیز است. بنابراین، برای محاسبات ما، می توانیم به عنوان تقریب اول، فرض کنیم که توزیع دما در سطح مقطع سیم یکنواخت است. توزیع گرما در طول سیم بستگی به توزیع مقاومت الکتریکی در طول سیم دارد که دور از تماس یکنواخت است و با نزدیک شدن به آن افزایش می یابد. اجازه دهید محور سیستم مختصات دکارتی را با محور سیم، و مبدا مختصات را با مرکز ناحیه تماس تراز کنیم (شکل 42). به عنوان مدلی برای توزیع مقاومت در امتداد سیم، توزیع مقاومت خطی زیر را در نظر می گیریم

جایی که، پارامتری است که اندازه خطی منطقه تماس را مشخص می کند. توان تولید گرما در واحد طول سیم است. با محاسبه در واحد حجم، توان آزادسازی حرارت برابر است با

جایی که اس- مقطع سیم سیم با همرفت طبیعی از سطح خود خنک می شود. شار حرارتی همرفتی در واحد طول سیم است

جایی که α - ضریب انتقال حرارت، - دمای محیط، پ- محیط سطح مقطع سیم. انتقال حرارت به محیط در واحد حجم هادی خواهد بود

توزیع دمای ثابت در طول سیم از معادله هدایت حرارتی تبعیت می کند

برای تبدیل های بیشتر معادله حاصل، اجازه دهید ضریب هدایت حرارتی ثابت را در امتداد سیم بگیریم، عبارات به دست آمده در بالا را جایگزین و و همچنین به عنوان تابع مورد نظر به جای تیبیایید بگیریم:

ما به یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی می رسیم

حل معادله حاصل را به صورت مجموع جواب کلی معادله همگن جستجو خواهیم کرد.

و یک راه حل خاص به شکل سمت راست

.