مجموعه یک مفهوم اساسی در ریاضیات است و بنابراین از طریق دیگران تعریف نمی شود.

معمولاً یک مجموعه به عنوان مجموعه ای از اشیاء درک می شود که توسط یک ویژگی مشترک متحد شده اند. بنابراین، ما می توانیم در مورد بسیاری از دانش آموزان در یک گروه، بسیاری از حروف الفبای روسی و غیره صحبت کنیم. در زندگی روزمره به جای کلمه مجموعه از کلمات مجموعه، مجموعه، گروه و ... استفاده می شود. مجموعه ها معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده می شوند: آ, که در, با, ..., ز.

برای مجموعه های عددی در ریاضیات، نمادهای ویژه ای اتخاذ می شود:

ن- مجموعه ای از اعداد طبیعی؛

ن 0 – مجموعه ای از اعداد صحیح غیر منفی؛

ز- مجموعه ای از اعداد صحیح؛

س- مجموعه ای از اعداد گویا؛

آر- مجموعه ای از اعداد واقعی

به اشیایی که یک مجموعه از آنها تشکیل می شود، عناصر آن می گویند. به عنوان مثال شهریور عنصری از مجموعه ماه های سال است، عدد 5 عنصری از مجموعه اعداد طبیعی است. عناصر یک مجموعه معمولا با حروف کوچک الفبای لاتین مشخص می شوند. عناصر یک مجموعه می توانند مجموعه باشند. این را می توان در مورد بسیاری از گروه ها در موسسه گفت. عناصر این مجموعه گروه هایی هستند که به نوبه خود مجموعه ای از دانش آموزان هستند.

ارتباط بین یک مجموعه و عنصر آن با استفاده از کلمه "تعلق" بیان می شود. بیانیه «عنصر آمتعلق به مجموعه است آ" به این صورت نوشته شده است: آ  آ، و این مدخل را می توان متفاوت خواند: آ- عنصر مجموعه آ"، "یک دسته از آحاوی یک عنصر آ" بیانیه «عنصر آمتعلق به مجموعه نیست آ" به این صورت نوشته شده است: آ  آ(در غیر این صورت: " آعنصری از مجموعه نیست آ"، "یک دسته از آحاوی عنصر نیست آ»).

اگر در گفتار روزمره کلمه "مجموعه" با تعداد زیادی از اشیاء همراه باشد ، در ریاضیات این مورد نیاز نیست. یک مجموعه می تواند شامل یک عنصر باشد یا حاوی هیچ عنصری نباشد.

مجموعه ای که شامل یک عنصر واحد نباشد خالی نامیده می شود و با علامت  نشان داده می شود. فقط یک مجموعه خالی وجود دارد. نمونه هایی از یک مجموعه خالی مجموعه افراد روی خورشید هستند، مجموعه ریشه های طبیعی معادله ایکس+ 8 = 0.

مجموعه ها می توانند متناهی یا بی نهایت باشند.

یک مجموعه در صورت وجود محدود نامیده می شود عدد طبیعی پ، به طوری که تمام عناصر مجموعه را می توان از 1 تا شماره گذاری کرد پ. در غیر این صورت مجموعه نامحدود نامیده می شود. یک مثال از یک مجموعه متناهی مجموعه ارقام است و یک مثال از یک مجموعه نامتناهی مجموعه اعداد طبیعی است.

§ 2. روش های تعریف مجموعه ها

اگر بتوان در مورد هر شیئی گفت که متعلق به این مجموعه است یا نه، مجموعه داده شده در نظر گرفته می شود.

یک مجموعه را می توان با فهرست کردن تمام عناصر آن تعریف کرد. رکورد با= (الف، ب، ج، د) یعنی مجموعه باشامل عناصر a، b، c، d است.

هر عنصر فقط یک بار در مجموعه ظاهر می شود. به عنوان مثال، بسیاری از حروف مختلف در کلمه "ریاضیات" به این صورت نوشته می شود: (m, a, t, e, i, k).

این روش برای مجموعه های محدودی که تعداد کمی از عناصر را شامل می شوند قابل استفاده است.

گاهی اوقات با استفاده از این روش می توانید یک مجموعه بی نهایت را تعیین کنید. به عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی را می توان به صورت زیر نشان داد: ن= (1، 2، 3، 4، ...). این روش ضبط تنها زمانی امکان پذیر است که از قسمت ضبط شده مجموعه مشخص شود که چه چیزی در زیر بیضی پنهان شده است.

راه دیگر برای تعریف مجموعه ها به شرح زیر است: ویژگی مشخصه عناصر آن را نشان دهید. ویژگی مشخصه خاصیتی است که هر عنصر متعلق به یک مجموعه دارای آن است و هیچ عنصری که به آن تعلق ندارد ندارد.

اتفاق می افتد که یک مجموعه را می توان با نشان دادن ویژگی های مشخصه متفاوت عناصر آن تعریف کرد. به عنوان مثال، مجموعه اعداد دو رقمی قابل تقسیم بر 11 و مجموعه اعداد طبیعی صد اول که با دو رقم یکسان نوشته شده اند، دارای عناصر یکسانی هستند.

با این روش تعیین می توان یک مجموعه را به این صورت نوشت: ابتدا نام عنصر را در براکت های فرفری بنویسید، سپس یک خط عمودی بکشید و پس از آن ویژگی هایی که عناصر این مجموعه دارند را یادداشت کنید. مثلا خیلی ها آاعداد طبیعی کمتر از 5 به صورت زیر نوشته می شوند: آ = {ایکس ایکسن, ایکس < 5}.

از انواع بسیار متنوع مجموعه هااز علاقه خاص به اصطلاح هستند مجموعه های اعداد، یعنی مجموعه هایی که عناصر آنها اعداد هستند. واضح است که برای کار راحت با آنها باید بتوانید آنها را یادداشت کنید. این مقاله را با نشانه گذاری و اصول نوشتن مجموعه های عددی آغاز خواهیم کرد. در مرحله بعد، بیایید ببینیم که چگونه مجموعه های عددی روی یک خط مختصات نشان داده می شوند.

پیمایش صفحه.

نوشتن مجموعه های عددی

بیایید با نماد پذیرفته شده شروع کنیم. همانطور که می دانید برای نشان دادن مجموعه ها از حروف بزرگ الفبای لاتین استفاده می شود. مجموعه اعداد مانند مورد خاصمجموعه ها نیز مشخص می شوند. به عنوان مثال، می توان در مورد مجموعه اعداد A، H، W و غیره صحبت کرد. مجموعه اعداد طبیعی، صحیح، گویا، واقعی، مختلط و غیره از اهمیت ویژه ای برخوردارند؛ نمادهای خود را برای آنها به کار گرفته شده است:

• N - مجموعه ای از تمام اعداد طبیعی؛
• Z - مجموعه ای از اعداد صحیح؛
• Q - مجموعه ای از اعداد گویا.
• J - مجموعه ای از اعداد غیر منطقی.
• R - مجموعه ای از اعداد واقعی.
• C مجموعه اعداد مختلط است.

از اینجا واضح است که شما نباید مجموعه ای را که مثلاً از دو عدد 5 و 7 تشکیل شده است به عنوان Q نشان دهید، این نام گمراه کننده خواهد بود، زیرا حرف Q معمولاً مجموعه ای از همه اعداد گویا را نشان می دهد. برای نشان دادن مجموعه عددی مشخص شده، بهتر است از یک حرف "خنثی" دیگر مانند A استفاده کنید.

از آنجایی که ما در مورد علامت گذاری صحبت می کنیم، اجازه دهید در اینجا نماد یک مجموعه خالی، یعنی مجموعه ای که حاوی عناصر نیست را نیز به یاد بیاوریم. با علامت ∅ نشان داده می شود.

اجازه دهید تعیین اینکه آیا یک عنصر به یک مجموعه تعلق دارد یا نه را به یاد بیاوریم. برای این کار از علائم ∈ - متعلق و ∉ - تعلق ندارد استفاده کنید. به عنوان مثال، نماد 5∈N به این معنی است که عدد 5 متعلق به مجموعه اعداد طبیعی است و 5.7∉Z - کسر اعشاری 5.7 به مجموعه اعداد صحیح تعلق ندارد.

و همچنین اجازه دهید نمادی را که برای گنجاندن یک مجموعه در مجموعه دیگر اتخاذ شده است، به یاد بیاوریم. واضح است که تمام عناصر مجموعه N در مجموعه Z گنجانده شده است، بنابراین مجموعه عددی N در Z گنجانده شده است، این به عنوان N⊂Z نشان داده می شود. همچنین می توانید از علامت Z⊃N استفاده کنید، به این معنی که مجموعه تمام اعداد صحیح Z شامل مجموعه N می شود. روابط شامل نشده و شامل نشده به ترتیب با ⊄ و نشان داده می شوند. از علائم شمول غیر دقیق به صورت ⊆ و ⊇ نیز استفاده می شود که به ترتیب به معنای شامل یا منطبق و شامل یا منطبق است.

ما در مورد علامت گذاری صحبت کردیم، اجازه دهید به توضیح مجموعه های عددی برویم. در این مورد، ما فقط به موارد اصلی که بیشتر در عمل استفاده می شوند، می پردازیم.

بیایید با مجموعه های عددی حاوی تعداد محدود و کم عنصر شروع کنیم. توصیف مجموعه های عددی متشکل از تعداد محدودی از عناصر با فهرست کردن همه عناصر آنها راحت است. تمام عناصر اعداد با کاما از هم جدا شده و در ضمیمه شده اند که با کلی همخوانی دارد قوانینی برای توصیف مجموعه ها. برای مثال، مجموعه ای متشکل از سه عدد 0، 0.25- و 4/7 را می توان به صورت (0، 0.25-، 4/7) توصیف کرد.

گاهی اوقات، زمانی که تعداد عناصر یک مجموعه عددی بسیار زیاد است، اما عناصر از الگوی خاصی تبعیت می کنند، از یک بیضی برای توصیف استفاده می شود. به عنوان مثال، مجموعه تمام اعداد فرد از 3 تا 99 را می توان به صورت (3، 5، 7، ...، 99) نوشت.

بنابراین ما به آرامی به توصیف مجموعه های عددی نزدیک شدیم که تعداد عناصر آنها بی نهایت است. گاهی اوقات می توان آنها را با استفاده از تمام بیضی های یکسان توصیف کرد. به عنوان مثال، بیایید مجموعه تمام اعداد طبیعی را توصیف کنیم: N=(1, 2. 3,…) .

آنها همچنین از توصیف مجموعه های عددی با نشان دادن ویژگی های عناصر آن استفاده می کنند. در این مورد از علامت (x| خواص) استفاده می شود. به عنوان مثال، نماد (n| 8·n+3، n∈N) مجموعه اعداد طبیعی را مشخص می کند که با تقسیم بر 8، باقیمانده 3 باقی می ماند. همین مجموعه را می توان به صورت (11،19، 27، ...) توصیف کرد.

در موارد خاص، مجموعه های عددی با تعداد نامتناهی عنصر، مجموعه های شناخته شده N، Z، R و غیره هستند. یا فواصل عددی اساساً مجموعه های عددی به صورت نمایش داده می شوند اتحاد. اتصالبازه های عددی منفرد و مجموعه های عددی تشکیل دهنده آنها با تعداد محدودی از عناصر (که در بالا در مورد آنها صحبت کردیم).

بیایید یک مثال نشان دهیم. اجازه دهید مجموعه اعداد شامل اعداد -10، -9، -8.56، 0، همه اعداد بخش [-5، -1،3] و اعداد خط اعداد باز (7، +∞) باشد. با توجه به تعریف اتحاد مجموعه ها، مجموعه عددی مشخص شده را می توان به صورت نوشتاری کرد {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . این نماد در واقع به معنای مجموعه ای است که شامل تمام عناصر مجموعه ها (-10، -9، -8.56، 0)، [-5، -1.3] و (7، +∞) است.

به همین ترتیب، با ترکیب فواصل اعداد مختلف و مجموعه اعداد جداگانه، هر مجموعه عددی (شامل اعداد واقعی) را می توان توصیف کرد. در اینجا مشخص می شود که چرا انواع بازه های عددی مانند بازه، نیمه بازه، قطعه، پرتو عددی باز و پرتو عددی معرفی شده اند: همه آنها، همراه با نمادهای مجموعه ای از اعداد مجزا، توصیف هر مجموعه عددی را از طریق امکان پذیر می کنند. اتحادیه آنها

لطفا توجه داشته باشید که هنگام نوشتن یک مجموعه اعداد، اعداد تشکیل دهنده و فواصل عددی آن به ترتیب صعودی مرتب می شوند. این یک شرط ضروری نیست، اما مطلوب است، زیرا یک مجموعه عددی مرتب شده آسان‌تر قابل تصور و ترسیم در یک خط مختصات است. همچنین توجه داشته باشید که چنین رکوردهایی از فواصل عددی با عناصر مشترک استفاده نمی کنند، زیرا چنین رکوردهایی را می توان با ترکیب فواصل عددی بدون عناصر مشترک جایگزین کرد. به عنوان مثال، اتحاد مجموعه های عددی با عناصر مشترک [-10, 0] و (-5, 3) نیمه بازه [-10, 3) است. همین امر در مورد اتحاد بازه‌های عددی با اعداد مرزی یکسان نیز صدق می‌کند، برای مثال، اتحادیه (3, 5]∪(5, 7] یک مجموعه است (3, 7]، زمانی که یاد گرفتیم به طور جداگانه به این موضوع خواهیم پرداخت. محل تلاقی و اتحاد مجموعه های عددی را پیدا کنید

نمایش مجموعه اعداد در یک خط مختصات

در عمل، استفاده از تصاویر هندسی مجموعه های عددی - تصاویر آنها روشن است. مثلاً وقتی حل نابرابری ها، که در آن لازم است ODZ را در نظر بگیریم، لازم است مجموعه های عددی را به تصویر بکشیم تا تقاطع و/یا اتحاد آنها را پیدا کنیم. بنابراین درک خوبی از تمام تفاوت های ظریف نمایش مجموعه های عددی در یک خط مختصات مفید خواهد بود.

مشخص است که بین نقاط خط مختصات و اعداد حقیقی مطابقت یک به یک وجود دارد، به این معنی که خط مختصات خود یک مدل هندسی از مجموعه تمام اعداد حقیقی R است. بنابراین، برای به تصویر کشیدن مجموعه تمام اعداد واقعی، باید یک خط مختصات با سایه در تمام طول آن رسم کنید:

و اغلب آنها حتی مبدا و بخش واحد را نشان نمی دهند:

حالا بیایید در مورد تصویر مجموعه های عددی صحبت کنیم که تعداد محدودی از اعداد منفرد را نشان می دهند. به عنوان مثال، بیایید مجموعه اعداد (-2، -0.5، 1.2) را به تصویر بکشیم. تصویر هندسی این مجموعه، متشکل از سه عدد -2، -0.5 و 1.2، سه نقطه از خط مختصات با مختصات مربوطه خواهد بود:

توجه داشته باشید که معمولاً برای اهداف عملی نیازی به انجام دقیق ترسیم نیست. اغلب یک نقشه شماتیک کافی است، که به این معنی است که نیازی به حفظ مقیاس نیست؛ در این مورد، فقط حفظ موقعیت نسبی نقاط نسبت به یکدیگر مهم است: هر نقطه با مختصات کوچکتر باید نسبت به یکدیگر باشد. سمت چپ نقطه ای با مختصات بزرگتر نقشه قبلی به صورت شماتیک به این صورت خواهد بود:

به طور جداگانه از انواع مجموعه های عددی، فواصل عددی (فاصله ها، نیم بازه ها، پرتوها و ...) متمایز می شوند که نمایانگر تصاویر هندسی آنهاست؛ در قسمت به تفصیل آنها را بررسی کردیم. ما اینجا خودمان را تکرار نمی کنیم.

و فقط باید روی تصویر مجموعه های عددی که اتحادیه ای از چندین بازه عددی و مجموعه ای متشکل از اعداد جداگانه هستند، بمانیم. در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد: با توجه به معنای اتحاد در این موارد، در خط مختصات لازم است تمام اجزای مجموعه یک مجموعه عددی معین را به تصویر بکشیم. به عنوان مثال، اجازه دهید تصویری از مجموعه اعداد را نشان دهیم (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

و اجازه دهید در موارد نسبتاً معمولی صحبت کنیم که مجموعه عددی نشان داده شده کل مجموعه اعداد واقعی را به استثنای یک یا چند نقطه نشان می دهد. چنین مجموعه‌هایی اغلب با شرایطی مانند x≠5 یا x≠−1، x≠2، x≠3.7 و غیره مشخص می‌شوند. در این موارد، از نظر هندسی، کل خط مختصات را به استثنای نقاط مربوطه نشان می دهند. به عبارت دیگر، این نقاط باید از خط مختصات "بیرون" شوند. آنها به صورت دایره هایی با مرکز خالی به تصویر کشیده شده اند. برای وضوح، اجازه دهید یک مجموعه عددی مربوط به شرایط را به تصویر بکشیم (این مجموعه اساسا وجود دارد):

خلاصه کنید. در حالت ایده‌آل، اطلاعات پاراگراف‌های قبلی باید همان نمای ضبط و تصویر مجموعه‌های عددی را با نمای فواصل عددی منفرد تشکیل دهند: ضبط یک مجموعه عددی باید بلافاصله تصویر خود را در خط مختصات نشان دهد، و از تصویر در ادامه خط مختصات ما باید آماده باشیم تا مجموعه عددی مربوطه را از طریق اتحاد بازه‌ها و مجموعه‌های متشکل از اعداد مجزا به راحتی توصیف کنیم.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس نهم. در 2 ساعت. قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ سیزدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. شابک 978-5-346-01752-3.

در اینجا، آنچه مطرح می‌شود، دقیقاً همان چیزی است که ما تاکنون اساساً کنار گذاشته‌ایم، یعنی این که چگونه روابط نظم موجود در مجموعه‌هایی با همان اصل بودن، این مجموعه‌ها را متمایز می‌کند. به هر حال، آن نگاشت‌های یک به یک از کلی‌ترین شکلی که ما تاکنون فرض کرده‌ایم، همه این روابط را نقض می‌کنند - فقط نگاشت یک مربع بر روی یک قطعه را به خاطر بسپارید! من می خواهم به ویژه بر اهمیت این بخش دوم از دکترین مجموعه ها تأکید کنم. به هر حال، این آموزش نمی تواند هدف خود را حذف با معرفی موارد جدید و بیشتر داشته باشد مفاهیم کلیآن تفاوت هایی که مدت هاست در ریاضیات استفاده می شود. بلکه برعکس، این آموزه می‌تواند و باید به کمک مفاهیم کلی، این تفاوت‌ها را در عمیق‌ترین جوهره خود بشناسد.

انواع ترتیبی مجموعه های قابل شمارش.

اکنون هدف ما این است که با مثال‌های معروف، مفهوم چیدمان‌های ممکن مختلف عناصر یک مجموعه را به ترتیبی خاص نشان دهیم. اگر با مجموعه های قابل شمارش شروع کنیم، سه مورد را به طور کامل می شناسیم نمونه های مختلفچیدمان عناصر در چنین مجموعه‌هایی، آنقدر متفاوت از یکدیگر که برابری ماهیت‌های آنها، همان‌طور که دیدیم، قضیه‌ای خاص و در هیچ مورد بدیهی نبود. اینها مجموعه های زیر هستند:

1) مجموعه اعداد طبیعی؛

2) مجموعه همه اعداد صحیح (منفی و مثبت).

3) مجموعه همه اعداد گویا و مجموعه همه اعداد جبری.

چیدمان عناصر در هر سه مجموعه دارای یک ویژگی مشترک است که به دلیل آن نظم خطی در مجموعه نامیده می شود. این خاصیت به این صورت است: از هر دو عنصر، یکی همیشه مقدم بر دیگری است، یعنی به صورت جبری بیان می شود، همیشه مشخص می شود که کدام عنصر کوچکتر و کدام بزرگتر است، و در ادامه اگر از سه عنصر a,b,c عنصر a قبل از عنصر b، و عنصر b قبل از عنصر c، سپس a همیشه قبل از عنصر c (اگر، پس

اما، از سوی دیگر، در مثال های در نظر گرفته شده، چنین تفاوت های مشخصه ای وجود دارد: در مجموعه اول یک عنصر اول (صفر) وجود دارد که مقدم بر سایرین است، اما عنصر آخری وجود ندارد که پس از بقیه باشد. مجموعه دوم نه عنصر اول و نه آخرین عنصر را دارد. اما هر دوی این مجموعه‌ها این وجه مشترک دارند، اینکه هر عنصر بلافاصله با نزدیک‌ترین عنصر مشخصی دنبال می‌شود، و هر عنصر بلافاصله بعد از یک عنصر دیگر مشخص می‌شود.

در مقابل، مجموعه سوم همیشه، همانطور که در بالا دیدیم، بین هر دو عنصر بی‌نهایت عناصر دیگر دارد. ما چنین ویژگی یک مجموعه را با عبارت «مجموعه همه جا متراکم» نشان دادیم، به طوری که، به ویژه، در میان تمام اعداد گویا یا جبری که بین a و b قرار دارند، جدا از خود این اعداد، نه کوچکترین و نه بزرگترین وجود دارد. عدد. بنابراین، نحوه چیدمان عناصر در این سه مجموعه، یعنی انواع ترتیبی آنها، با یکدیگر متفاوت است، اگرچه خود مجموعه ها دارای ویژگی های یکسانی هستند. می توان با این - و این در واقع توسط نمایندگان تئوری مجموعه ها انجام می شود - با سؤال همه انواع ترتیبی به طور کلی ممکن مجموعه های قابل شمارش ارتباط برقرار کرد.

تداوم پیوستگی. اجازه دهید اکنون به بررسی مجموعه های توان پیوسته بپردازیم. در اینجا ما مجموعه ای را می شناسیم که دارای نظم خطی در آن است، یعنی پیوستار همه اعداد حقیقی. اما در کنار آن، در موارد دوبعدی و چند بعدی، نمونه‌هایی از مجموعه‌ها با چیدمان عناصر متفاوت از آنچه که «خطی» نامیده‌ایم، داریم. بنابراین، در مورد یک مجموعه، برای تعیین موقعیت نسبی دو نقطه، نه یک، بلکه به دو رابطه از نوع نابرابری ها نیاز است.

در اینجا بسیار مهم است که مفهوم تداوم یک پیوستار تک بعدی را تحلیل کنیم. کشف این که این مفهوم واقعاً فقط بر اساس ویژگی های ساده نظم ذاتی یک مجموعه است، اولین امتیاز قابل توجه دکترین مجموعه ها در توضیح مفاهیم اساسی ریاضی است، یعنی معلوم می شود که تمام ویژگی های ساقه پیوسته از این واقعیت که دومی یک مجموعه منظم خطی با دو ویژگی زیر است:

1. اگر مجموعه را به هر دو قسمت A، B تقسیم کنیم، اما به گونه ای که هر عنصر متعلق به هر یک از این قسمت ها باشد و تمام عناصر موجود در قسمت A مقدم بر همه عناصر قسمت B باشند، در این صورت یا A آخرین عنصر را دارد یا B اولین عنصر را دارد.

با یادآوری تعریف ددکیند از اعداد غیر منطقی، می‌توانیم این ویژگی را به این صورت بیان کنیم: هر «بخش» در مجموعه ما توسط یکی از عناصر آن تولید می‌شود.

2. بین هر دو عنصر از یک مجموعه، بی نهایت عناصر دیگر وجود دارد.

این خاصیت دوم نه تنها توسط پیوستار بلکه در مجموعه قابل شمارش همه اعداد گویا نیز وجود دارد. ویژگی اول نشان دهنده تفاوت معنی داری بین این مجموعه های مرتب شده است. هر مجموعه منظم خطی که هر دوی این ویژگی ها را داشته باشد، در نظریه مجموعه ها پیوسته نامیده می شود، به این دلیل که برای آن در واقع می توان تمام قضایایی را که برای یک پیوستار به دلیل پیوستگی آن برقرار است، اثبات کرد.

همچنین می‌خواهم به این نکته اشاره کنم که این ویژگی‌های تداوم نیز می‌توانند تا حدودی متفاوت فرموله شوند، یعنی بر اساس سری به اصطلاح "پایه" کانتور. سری اصلی آنچنان دنباله ای قابل شمارش از عناصر یک مجموعه معین است که در خود مجموعه یا یا برخی از عناصر a از مجموعه را عنصر حدی سری اصلی می نامند اگر - در حالت اول - در سری اصلی همیشه وجود داشته باشد. عناصر بزرگتر از هر عنصری که در مجموعه داده شده تا a قرار دارد، اما هیچ عنصری وجود ندارد، bblpih حداقل یک عنصر بعد از عنصر حد در حالت دوم به طور مشابه تعیین می شود. اگر مجموعه ای این ویژگی را داشته باشد که هر سری اساسی که در ترکیب آن گنجانده شده است با یک عنصر حدی مطابقت داشته باشد، آن مجموعه بسته نامیده می شود؛ اگر برعکس، هر عنصر مجموعه، عنصر حدی برخی از سری های پایه جدا شده از آن باشد، سپس مجموعه متراکم نامیده می شود. پیوستگی مجموعه هایی که قدرت پیوستگی دارند اساساً در ترکیب هر دوی این ویژگی ها است.

در طول راه، می خواهم در اینجا به شما یادآوری کنم که وقتی در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال صحبت می کنیم، در مورد یک پیوستار دیگر نیز صحبت کردیم - پیوستار.

ورونز، که از پیوستار معمولی از طریق افزودن مقادیر بی‌نهایت کوچک ناشی می‌شود. اگرچه از این طریق یک مجموعه منظم خطی نیز به دست می آید، با این وجود، این پیوستار، البته، نوع آرایش کاملاً متفاوتی با پیوستار معمول دارد؛ این قضیه که هر سری پایه دارای یک عنصر حدی است، دیگر در اینجا کاربرد ندارد.

1.1. مفاهیم و تعاریف اساسی نظریه مجموعه ها

هر مفهومی از ریاضیات گسسته را می توان با استفاده از مفهوم مجموعه تعریف کرد که یکی از مفاهیم اساسی است و اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی G. Cantor فرموله شد.

زیر زیادبه عنوان هر مجموعه ای از اشیاء تعریف شده و قابل تمایز درک می شود که به عنوان یک کل واحد تصور می شود.

می توان در مورد مجموعه ای از صندلی ها در یک اتاق، افراد ساکن در شهر ورونژ، دانش آموزان در یک گروه، مجموعه ای از اعداد طبیعی، حروف الفبا، حالت های سیستم و غیره صحبت کرد. در عین حال، می توان در مورد یک مجموعه تنها زمانی که عناصر مجموعه بین خودشان قابل تشخیص باشند. به عنوان مثال، شما نمی توانید در مورد تعداد زیادی قطره در یک لیوان آب صحبت کنید، زیرا غیرممکن است که به وضوح و واضح هر قطره را مشخص کنید.

اشیاء مجزا که یک مجموعه را تشکیل می دهند، عناصر مجموعه نامیده می شوند. بنابراین، عدد 3 عنصری از مجموعه اعداد طبیعی است و حرف b عنصری از مجموعه حروف الفبای روسی است.

نام کلی یک مجموعه یک جفت بریس فرفری ( ) است که در داخل آن عناصر مجموعه ذکر شده است. از حروف بزرگ مختلف برای نشان دادن مجموعه های خاص استفاده می شود آ, اس, ایکس... یا حروف بزرگ با زیرنویس آ 1 , آ 2. برای نشان دادن عناصر یک مجموعه در نمای کلیاز حروف کوچک مختلف استفاده کنید آ, س, ایکس... یا حروف کوچک با زیرنویس آ 1 , آ 2 ...

برای نشان دادن آن عنصر آ اس، از نماد عضویت مجموعه О استفاده می شود. رکورد آÎ اسبه این معنی است که عنصر آمتعلق به مجموعه است اس، و ورودی ایکسÏ اسبه این معنی است که عنصر ایکسمتعلق به مجموعه نیست اس. با ضبط ایکس 1 , ایکس 2 ,... ...,x nÎ اسبه عنوان مخفف برای نوشتن استفاده می شود ایکس 1 Î اس, ایکس 2 Î اس,..., x nÎ اس.

به عنوان یک قاعده، همه عناصر یک مجموعه متمایز فرض می شوند. مجموعه ای با عناصر تکرار شونده را چند مجموعه می گویند. چند مجموعه ها نقش مهمی در ترکیبات دارند. در ادامه مجموعه هایی با عناصر مختلف را در نظر خواهیم گرفت.

برای مجموعه های عددی از نماد زیر استفاده می کنیم:

- مجموعه ای از اعداد طبیعی، به عنوان مثال.

- مجموعه ای از اعداد صحیح، یعنی. = (0، ± 1، ± 2، ...)؛

– مجموعه ای از اعداد گویا، =( / \ , О ; ¹ 0);

- مجموعه ای از اعداد واقعی؛

- مجموعه ای از اعداد مختلط

مجموعه ها می توانند متناهی و بی نهایت باشند. به مجموعه ای محدود گفته می شود که تعداد عناصر آن متناهی باشد، یعنی اگر عدد طبیعی وجود داشته باشد n، که تعداد عناصر مجموعه است. مجموعه نامیده می شود بی پایان، اگر شامل بی نهایت عنصر باشد. تعداد عناصر یک مجموعه محدود نامیده می شود قدرتو = نشان داده می شود n، در صورت تنظیم ایکسشامل nعناصر.

یک مفهوم مهم در نظریه مجموعه ها، مفهوم مجموعه خالی است. یک مجموعه خالیمجموعه ای است که شامل یک عنصر واحد نیست. یک مجموعه خالی با نماد نشان داده می شود به عنوان مثال:

{ایکسÎ آر | ایکس 2 -ایکس+1=0}=

مفهوم مجموعه خالی نقش بسیار مهمی در تعریف مجموعه ها با استفاده از توضیحات دارد. بنابراین، بدون مفهوم مجموعه خالی، نمی‌توانیم در مورد مجموعه اعضای عالی یک گروه یا مجموعه ریشه‌های واقعی یک معادله درجه دوم صحبت کنیم، بدون اینکه ابتدا مطمئن شویم که آیا اعضای عالی در یک گروه وجود دارد یا خیر. معادله ریشه واقعی دارد معرفی یک مجموعه خالی به شما این امکان را می دهد که با آرامش کامل با دانش آموزان ممتاز در یک گروه بدون نگرانی در مورد اینکه آیا دانش آموزان ممتاز در گروه مورد نظر وجود دارد یا خیر، کار کنید. ما یک مجموعه خالی را به صورت مشروط به عنوان یک مجموعه محدود طبقه بندی می کنیم.

مجموعه ای که شامل تمام عناصر مورد نظر است نامیده می شود جهانییا کائناتو تعیین شده است U.

به منظور کار با مجموعه های خاص، باید بتوانید آنها را تعریف کنید. دو راه برای تعریف مجموعه ها وجود دارد: شمارش و توصیف. تعیین یک مجموعه با شمارش با برشمردن تمام عناصر تشکیل دهنده مجموعه مطابقت دارد. بنابراین، مجموعه دانش‌آموزان ممتاز در یک گروه را می‌توان با فهرست کردن دانش‌آموزان ممتاز، به عنوان مثال (ایوانف، پتروف، سیدوروف) مشخص کرد. برای کوتاه کردن ورودی ایکس={ایکس 1 , ایکس 2 , ...,x n) گاهی اوقات شاخص های زیادی معرفی می شود من={1, 2,..., n) و بنویس ایکس={x i}, منÎ من. این روش هنگام در نظر گرفتن مجموعه های محدود حاوی تعداد کمی از عناصر راحت است، اما گاهی اوقات می توان از آن برای تعیین مجموعه های بی نهایت نیز استفاده کرد، به عنوان مثال (2، 4، 6، 8...). طبیعتاً چنین نمادی در صورتی قابل اجرا است که کاملاً واضح باشد که منظور از بیضی چیست.

روش توصیفی برای تعیین یک مجموعه، نشان دادن است خاصیت مشخصه، که همه عناصر مجموعه دارای آن هستند. این از علامت گذاری استفاده می کند

ایکس={ایکس | ایکسدارایی است س(ایکس)}.

عبارت داخل پرانتز می گوید: مجموعه همه عناصر ایکس، که دارای ملک هستند س(ایکس). بنابراین، اگر م- مجموعه ای از دانش آموزان در یک گروه، سپس یک مجموعه آدانش آموزان ممتاز این گروه در فرم نوشته خواهند شد آ={ایکسÎ م | ایکس- دانش آموز ممتاز گروه)،

که به شرح زیر است: مجموعه آاز عناصر تشکیل شده است ایکسمجموعه ها م، داشتن این خاصیت که ایکسشاگرد ممتاز گروه است.

در مواردی که هیچ شکی وجود ندارد که عناصر از کدام مجموعه گرفته شده است ایکس، نشانه وابستگی ایکسزیاد مشما مجبور نیستید آن را انجام دهید. در عین حال، بسیاری از آدر فرم نوشته خواهد شد

الف=( ایکس | ایکس- دانش آموز ممتاز گروه).

در اینجا چند نمونه از تعریف مجموعه ها با استفاده از روش توصیف آورده شده است: ( ایکس | ایکس– زوج) – مجموعه ای از اعداد زوج؛

{ایکس | ایکس 2 –1=0) – مجموعه (+1، –1).

اجازه دهید ز - مجموعه ای از اعداد صحیح سپس ( ایکسÎ ز | 0<ایکس 7 پوند) مجموعه (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7) است.

مجموعه اعداد فرد را می توان به صورت ( ایکس| ایکس=2ک+1 برای برخی کÎ ز}.

روش تعریف یک مجموعه با استفاده از ویژگی ها مملو از خطرات است، زیرا ویژگی های مشخص شده "نادرست" می تواند منجر به تناقض شود. بیایید یکی از معمول ترین پارادوکس ها را ارائه کنیم - پارادوکس راسل. مجموعه همه مجموعه هایی را که عناصر خودشان نیستند در نظر بگیرید: . اجازه دهید اکنون بپرسیم که آیا مجموعه بهعنصر شما؟ اگر بهÎ به، سپس ویژگی تعیین کننده مجموعه باید برآورده شود به، یعنی بهÏ به، که منجر به تناقض می شود. اگر بهÏ به، سپس، از آنجایی که ویژگی تعریف می کند به، به این نتیجه می رسیم که بهÎ به، و این با این فرض در تضاد است. بنابراین، هر ویژگی به یک تعریف معنادار از یک مجموعه منجر نمی شود.

علاوه بر این، مجموعه را می توان با استفاده از یک تابع مشخصه مشخص کرد که مقادیر آن نشان می دهد که آیا (بله یا خیر) ایکسعنصر مجموعه ایکس :

توجه داشته باشید که برای هر عنصر = 0; = 1.

مثال. اجازه دهید در جهان U={a,b,c,d,e) مجموعه ای تعریف شده است ایکس={a,c,d)، سپس

برای مجموعه های دلخواه ایکسو Yدو نوع رابطه قابل تعریف است - رابطه برابری و رابطه شمول.

دو مجموعه اگر عناصر یکسانی داشته باشند برابر در نظر گرفته می شوند. عنوان پذیرفته شده ایکس=Y، اگر ایکسو Yبرابر هستند و ایکس Y- در غیر این صورت.

دیدن آن برای هر مجموعه ای آسان است ایکس, Y, زروابط معتبر است

از تعریف برابری مجموعه ها چنین بر می آید که ترتیب عناصر در یک مجموعه بی اهمیت است. بنابراین، برای مثال، مجموعه های (3، 4، 5، 6) و (4، 5، 6، 3) یک مجموعه را نشان می دهند.

اگر هر عنصر از مجموعه ایکسیک عنصر از مجموعه است Y، سپس آنها می گویند ایکسگنجانده شده است Yو نشان می دهد:

در این مورد می گویند که مجموعه ایکساست زیرمجموعهمجموعه ها Y. به خصوص ایکسو Yممکن است منطبق باشد، بنابراین به آن رابطه نیز می گویند گنجاندن غیر دقیقاجازه دهید به برخی از ویژگی های زیر مجموعه که از تعریف آن برمی آید توجه کنیم:

اگر و، پس آنها می گویند ایکسوجود دارد زیر مجموعه مناسب Yو نشان می دهد، رابطه بین مجموعه ها در این حالت رابطه نامیده می شود گنجاندن غیر دقیقبرای رابطه شمول دقیق درست است

شامل یک زیر مجموعه نیست ایکسبه انبوه Yبا X نشان داده شده است. چنین مجموعه ای نامیده می شود خانواده چند نفرهیا بولیمجموعه ها ایکسو تعیین شده است پ(ایکس) از آنجایی که در هر مجموعه ای گنجانده شده است، پس .

مثال. اجازه دهید . سپس

انبوهی. عملیات روی مجموعه ها
نمایش مجموعه ها قدرت مجموعه

من به شما خوش آمد می گویم به اولین درس جبر عالی که در آستانه پنجمین سالگرد تأسیس سایت ظاهر شد، پس از اینکه قبلاً بیش از 150 مقاله در مورد ریاضیات ایجاد کرده بودم و مطالبم شروع به جمع آوری در یک دوره تکمیل شده کرد. با این حال ، امیدوارم دیر نشده باشم - از این گذشته ، بسیاری از دانش آموزان فقط برای امتحانات دولتی شروع به کاوش در سخنرانی می کنند =)

یک دوره دانشگاهی ویشمت به طور سنتی بر سه پایه استوار است:

- تجزیه و تحلیل ریاضی (محدودیت ها, مشتقاتو غیره.)

– و در نهایت، فصل سال تحصیلی 2015/16 با دروس آغاز می شود جبر برای آدمک ها, عناصر منطق ریاضی، که در آن به تجزیه و تحلیل مبانی بخش می پردازیم و همچنین با مفاهیم پایه ریاضی و نمادهای رایج آشنا می شویم. باید بگویم که در مقالات دیگر من زیاد از "squiggles" استفاده نمی کنم ، با این حال، این فقط یک سبک است و، البته، آنها باید در هر شرایطی شناسایی شوند =). به خوانندگان تازه وارد اعلام می کنم که درس های من تمرین محور است و مطالب زیر با این روحیه ارائه خواهد شد. برای اطلاعات کاملتر و آکادمیک به ادبیات آموزشی مراجعه فرمایید. برو:

یک دسته از. نمونه هایی از مجموعه ها

مجموعه یک مفهوم اساسی نه تنها از ریاضیات، بلکه برای کل دنیای اطراف است. هر شیئی را همین الان در دست بگیرید. در اینجا شما مجموعه ای متشکل از یک عنصر دارید.

به معنای وسیع، مجموعه مجموعه ای از اشیاء (عناصر) است که به عنوان یک کل واحد درک می شوند(با توجه به ویژگی ها، معیارها یا شرایط خاص). علاوه بر این، اینها فقط اشیاء مادی نیستند، بلکه حروف، اعداد، قضایا، افکار، احساسات و غیره نیز هستند.

مجموعه ها معمولا با حروف بزرگ نشان داده می شوند (اختیاری، با زیرنویس ها: و غیره)، و عناصر آن به صورت پرانتز نوشته شده است، به عنوان مثال:

- بسیاری از حروف الفبای روسی؛
- مجموعه ای از اعداد طبیعی؛

خوب، وقت آن است که کمی همدیگر را بشناسیم:
- تعداد زیادی از دانش آموزان در ردیف 1

... از دیدن چهره های جدی و متمرکز شما خوشحالم =)

مجموعه ها هستند نهایی(متشکل از تعداد محدودی از عناصر)، و یک مجموعه یک مثال است بي نهايتانبوهی علاوه بر این، به اصطلاح مجموعه تهی:

- مجموعه ای که در آن یک عنصر وجود ندارد.

مثال برای شما به خوبی شناخته شده است - مجموعه در امتحان اغلب خالی است =)

عضویت یک عنصر در یک مجموعه با نماد نشان داده می شود، به عنوان مثال:

- حرف "be" متعلق به بسیاری از حروف الفبای روسی است.
- حرف "بتا" نهمتعلق به بسیاری از حروف الفبای روسی است.
- عدد 5 متعلق به مجموعه اعداد طبیعی است.
- اما عدد 5.5 دیگر وجود ندارد.
- ولدمار در ردیف جلو نمی نشیند (و علاوه بر این، به جمعیت یا =) تعلق ندارد).

در جبر انتزاعی و نه چندان زیاد، عناصر یک مجموعه با حروف کوچک لاتین مشخص می شوند و بر این اساس، واقعیت مالکیت به سبک زیر رسمیت می یابد:

- عنصر متعلق به مجموعه است.

مجموعه های فوق نوشته شده است انتقال مستقیمعناصر، اما این تنها راه نیست. تعریف بسیاری از مجموعه ها با استفاده از برخی راحت است امضا کردن (ها)، که ذاتی است تمام عناصر آن. مثلا:

- مجموعه تمام اعداد طبیعی کمتر از صد.

یاد آوردن: یک چوب عمودی بلند فعل "که"، "چنین که" را بیان می کند. اغلب به جای آن از دو نقطه استفاده می شود: - اجازه دهید ورودی را به طور رسمی تر بخوانیم: "مجموعه عناصر متعلق به مجموعه اعداد طبیعی، به طوری که » . آفرین!

این مجموعه را می توان با شمارش مستقیم نیز نوشت:

نمونه های بیشتر:
- و اگر تعداد زیادی دانش آموز در ردیف 1 وجود داشته باشد، چنین ورودی بسیار راحت تر از فهرست کردن مستقیم آنها است.

- مجموعه ای از اعداد متعلق به بخش. لطفا توجه داشته باشید که این به معنای چندگانه است معتبرشماره (در ادامه بیشتر در مورد آنها)، لیستی که دیگر با کاما جدا شده اند امکان پذیر نیست.

لازم به ذکر است که لازم نیست عناصر یک مجموعه "همگن" یا از نظر منطقی به هم مرتبط باشند. یک کیسه بزرگ بردارید و به طور تصادفی وسایل مختلف را در آن قرار دهید. هیچ الگوی در این وجود ندارد، اما، با این وجود، ما در مورد موضوعات مختلفی صحبت می کنیم. به بیان تصویری، یک مجموعه یک "بسته" جداگانه است که در آن "به اراده سرنوشت" مجموعه خاصی از اشیاء به پایان می رسد.

زیر مجموعه ها

تقریباً همه چیز از نام خود مشخص است: یک مجموعه است زیرمجموعهاگر هر عنصر مجموعه به مجموعه تعلق داشته باشد. به عبارت دیگر، مجموعه در مجموعه موجود است:

به یک نماد آیکون می گویند شمول.

بیایید به مثال برگردیم که در آن این مجموعه ای از حروف الفبای روسی است. اجازه دهید با - مجموعه حروف صدادار آن را نشان دهیم. سپس:

همچنین می‌توانید زیرمجموعه‌ای از حروف همخوان و به طور کلی، یک زیرمجموعه دلخواه متشکل از هر تعداد حروف سیریلیک تصادفی (یا غیرتصادفی) انتخاب کنید. به طور خاص، هر حرف سیریلیک زیرمجموعه ای از مجموعه است.

به راحتی می توان روابط بین زیر مجموعه ها را با استفاده از یک نمودار هندسی معمولی به نام نشان داد حلقه های اویلر.

مجموعه دانشجویان در ردیف 1، مجموعه دانشجویان در گروه و مجموعه دانشجویان دانشگاه باشد. سپس رابطه شمول را می توان به صورت زیر نشان داد:

مجموعه دانشجویان دانشگاه دیگری باید به صورت دایره ای به تصویر کشیده شود که دایره بیرونی را قطع نمی کند. بسیاری از دانش آموزان کشور - دایره ای که شامل هر دوی این حلقه ها و غیره است.

هنگام در نظر گرفتن مجموعه های عددی، نمونه ای معمولی از گنجاندن را می بینیم. اجازه دهید مطالب مدرسه را که در هنگام مطالعه ریاضیات عالی به خاطر داشته باشید، تکرار کنیم:

مجموعه اعداد

همانطور که می دانید، از نظر تاریخی اولین اعداد طبیعی که برای شمارش اشیاء مادی (مردم، مرغ، گوسفند، سکه و غیره) در نظر گرفته شده بودند، ظاهر شدند. این مجموعه قبلاً در مقاله با آن مواجه شده است، تنها چیزی که اکنون در حال تغییر کمی نام آن است. واقعیت این است که مجموعه های عددی معمولاً با حروف پررنگ، سبک یا ضخیم مشخص می شوند. من ترجیح می دهم از فونت پررنگ استفاده کنم:

گاهی اوقات صفر در مجموعه اعداد طبیعی گنجانده می شود.

اگر همان اعداد با علامت مخالف و صفر را به مجموعه اضافه کنیم، به دست می آید مجموعه ای از اعداد صحیح:

مبتکران و افراد تنبل عناصر آن را با نمادها یادداشت می کنند "بعلاوه منها":))

کاملاً واضح است که مجموعه اعداد طبیعی زیر مجموعه ای از مجموعه اعداد صحیح است:
– از آنجایی که هر عنصر مجموعه به مجموعه تعلق دارد. بنابراین، هر عدد طبیعی را می توان با خیال راحت یک عدد صحیح نامید.

نام مجموعه نیز "گفتگو" است: اعداد کامل - یعنی بدون کسر.

و از آنجایی که آنها اعداد صحیح هستند، اجازه دهید بلافاصله علائم مهم تقسیم پذیری آنها بر 2، 3، 4، 5 و 10 را به یاد بیاوریم، که تقریباً هر روز در محاسبات عملی مورد نیاز است:

یک عدد صحیح بدون باقیمانده بر 2 بخش پذیر است، اگر به 0، 2، 4، 6 یا 8 ختم شود (یعنی هر عدد زوج). به عنوان مثال اعداد:
400، -1502، -24، 66996، 818 - بدون باقیمانده بر 2 بخش پذیر است.

و بیایید بلافاصله به علامت "مرتبط" نگاه کنیم: یک عدد صحیح بر 4 بخش پذیر است، اگر عددی از دو رقم آخر آن تشکیل شده باشد (به ترتیب ظاهر شدنشان)قابل تقسیم بر 4

400 - بخش پذیر بر 4 (از آنجایی که 00 (صفر) بر 4 بخش پذیر است);
-1502 - بر 4 بخش پذیر نیست (از آنجایی که 02 (دو) بر 4 بخش پذیر نیست);
-24 البته بر 4 بخش پذیر است.
66996 - بخش پذیر بر 4 (از آنجایی که 96 بر 4 بخش پذیر است);
818 - بر 4 بخش پذیر نیست (از آنجایی که 18 بر 4 بخش پذیر نیست).

خودتان یک دلیل ساده برای این واقعیت انجام دهید.

تقسیم بر 3 کمی دشوارتر است: یک عدد صحیح بدون باقیمانده اگر بر 3 بخش پذیر است مجموع ارقام موجود در آنقابل تقسیم بر 3

بیایید بررسی کنیم که آیا عدد 27901 بر 3 بخش پذیر است یا خیر. برای این کار، ارقام آن را جمع کنید:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - بر 3 بخش پذیر نیست
نتیجه گیری: 27901 بر 3 بخش پذیر نیست.

بیایید ارقام -825432 را جمع کنیم:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - قابل تقسیم بر 3
نتیجه گیری: عدد -825432 بر 3 بخش پذیر است

عدد صحیح بخش پذیر بر 5، اگر با پنج یا صفر تمام شود:
775، -2390 - قابل تقسیم بر 5

عدد صحیح بخش پذیر بر 10اگر به صفر ختم شود:
798400 - بخش پذیر بر 10 (و بدیهی است 100). خوب، همه احتمالاً به یاد دارند که برای تقسیم بر 10، فقط باید یک صفر را حذف کنید: 79840

همچنین نشانه هایی از تقسیم پذیری بر 6، 8، 9، 11 و غیره وجود دارد، اما عملاً هیچ استفاده عملی از آنها وجود ندارد =)

لازم به ذکر است که علائم ذکر شده (به ظاهر بسیار ساده) کاملاً ثابت شده است نظریه اعداد. این بخش از جبر به طور کلی بسیار جالب است، اما قضایای آن ... درست مانند یک اجرای مدرن چینی است =) و این برای ولدمار در آخرین میز کافی بود ... اما اشکالی ندارد، به زودی ما فیزیکی حیات بخشی انجام خواهیم داد. تمرینات =)

مجموعه عددی بعدی است مجموعه اعداد گویا:
– یعنی هر عدد گویا را می توان به صورت کسری با یک عدد صحیح نشان داد صورت کسرو طبیعی مخرج.

بدیهی است که مجموعه اعداد صحیح است زیرمجموعهمجموعه اعداد گویا:

در واقع، هر عدد صحیح را می توان به عنوان یک کسر گویا نشان داد، برای مثال: و غیره. بنابراین، یک عدد صحیح را کاملاً می توان یک عدد گویا نامید.

یکی از ویژگی های "شناسایی" یک عدد گویا این واقعیت است که هنگام تقسیم صورت بر مخرج، نتیجه یکی از این موارد است.
- عدد صحیح،

یا
– نهاییاعشاری،

یا
- بی پایان تناوبیاعشاری (بازپخش ممکن است بلافاصله شروع نشود).

از تقسیم لذت ببرید و سعی کنید این عمل را تا حد امکان کمتر انجام دهید! در مقاله سازمانی ریاضیات عالی برای آدمک هاو در درس های دیگر این مانترا را بارها تکرار کرده ام، تکرار می کنم و تکرار خواهم کرد:

در ریاضیات بالاتر، ما سعی می کنیم همه عملیات را در کسرهای معمولی (مناسب و نامناسب) انجام دهیم.

موافق باشید که برخورد با کسری بسیار راحت تر از عدد اعشاری 0.375 است (بدون ذکر کسرهای بی نهایت).

بیایید ادامه دهیم. علاوه بر اعداد گویا، اعداد غیر منطقی زیادی وجود دارد که هر کدام را می توان به صورت نامتناهی نشان داد. غیر دوره ایکسر اعشاری به عبارت دیگر، هیچ الگوی در "دم نامتناهی" اعداد غیر منطقی وجود ندارد:
("سال تولد لئو تولستوی" دو بار)
و غیره.

اطلاعات زیادی در مورد ثابت های معروف "pi" و "e" وجود دارد، بنابراین من در مورد آنها صحبت نمی کنم.

ترکیب اعداد گویا و غیر منطقی تشکیل می شود مجموعه ای از اعداد واقعی:

- آیکون انجمن هامجموعه ها

تفسیر هندسی یک مجموعه برای شما آشنا است - این خط اعداد است:


هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه مشخص در خط اعداد است و بالعکس - هر نقطه در خط اعداد لزوماً با یک عدد واقعی مشخص مطابقت دارد. در اصل، من اکنون فرموله کرده ام خاصیت تداوماعداد واقعی، که اگرچه بدیهی به نظر می رسد، اما در دوره تحلیل ریاضی کاملاً ثابت شده است.

خط اعداد نیز با یک بازه بی نهایت نشان داده می شود و نماد یا نماد معادل نماد این واقعیت است که به مجموعه اعداد واقعی تعلق دارد. (یا به سادگی "x" یک عدد واقعی است).

با جاسازی ها همه چیز شفاف است: مجموعه اعداد گویا است زیرمجموعهمجموعه اعداد واقعی:
بنابراین، هر عدد گویا را می توان با خیال راحت یک عدد واقعی نامید.

بسیاری از اعداد غیر منطقی نیز هستند زیرمجموعهاعداد واقعی:

در عین حال زیر مجموعه ها و متقاطع نشوند- یعنی یک عدد غیر منطقی را نمی توان به عنوان کسری گویا نشان داد.

آیا سیستم اعداد دیگری وجود دارد؟ وجود داشته باشد! این مثلاً اعداد مختلط، که توصیه می کنم در روزها یا حتی ساعات آینده به معنای واقعی کلمه با آن آشنا شوید.

در این بین، به مطالعه عملیات روی مجموعه ها می پردازیم که روح آن قبلاً در انتهای این بخش تحقق یافته است:

اقدامات روی مجموعه ها نمودارهای ون

نمودارهای ون (مشابه دایره های اویلر) نمایشی شماتیک از کنش ها با مجموعه ها هستند. مجدداً به شما هشدار می دهم که همه عملیات را در نظر نخواهم گرفت:

1) تقاطع وو با نماد نشان داده می شود

محل تلاقی مجموعه ها مجموعه ای است که هر عنصر آن به آن تعلق دارد وزیاد، وبه بسیاری به طور کلی، تقاطع بخش مشترک مجموعه ها است:

بنابراین، برای مثال، برای مجموعه ها:

اگر مجموعه ها عناصر یکسانی نداشته باشند، محل تقاطع آنها خالی است. ما فقط هنگام در نظر گرفتن مجموعه های عددی با این مثال روبرو شدیم:

مجموعه اعداد گویا و غیرمنطقی را می توان به صورت شماتیک با دو دایره مجزا نشان داد.

عملیات تقاطع همچنین برای تعداد بیشتری از مجموعه ها قابل استفاده است؛ به ویژه، ویکی پدیا یک مجموعه خوب دارد. نمونه ای از تلاقی مجموعه حروف سه الفبا.

2) یک انجمنمجموعه ها با یک اتصال منطقی مشخص می شوند یاو با نماد نشان داده می شود

اتحاد مجموعه ها مجموعه ای است که هر عنصر آن به مجموعه تعلق دارد یابه خیلی ها:

بیایید اتحاد مجموعه ها را بنویسیم:
- به طور تقریبی، در اینجا باید تمام عناصر مجموعه ها و، و همان عناصر را فهرست کنید (در این حالت واحد در محل تقاطع مجموعه ها قرار دارد)باید یک بار مشخص شود

اما مجموعه ها، البته، ممکن است مانند اعداد گویا و غیر منطقی، تلاقی نداشته باشند:

در این حالت می توانید دو دایره سایه دار غیر متقاطع بکشید.

عملیات اتحاد همچنین برای تعداد بیشتری از مجموعه ها قابل استفاده است، به عنوان مثال، اگر، سپس:

در این حالت لازم نیست اعداد به ترتیب صعودی مرتب شوند. (من این کار را صرفا به دلایل زیبایی شناختی انجام دادم). بدون هیچ مقدمه ای، نتیجه را می توان به صورت زیر نوشت:

3) با تفاوت وبه مجموعه تعلق ندارد:

این تفاوت به صورت زیر خوانده می شود: "الف بدون وجود". و شما می توانید دقیقاً به همین روش استدلال کنید: مجموعه ها را در نظر بگیرید. برای نوشتن تفاوت، باید تمام عناصر موجود در مجموعه را از مجموعه "دور" کنید:

مثال با مجموعه اعداد:
- در اینجا همه اعداد طبیعی از مجموعه اعداد صحیح حذف می شوند و خود ورودی به این صورت است: "مجموعه ای از اعداد صحیح بدون مجموعه ای از اعداد طبیعی."

آینه شده: تفاوتمجموعه ها و مجموعه ای نامیده می شوند که هر عنصر آن به مجموعه تعلق دارد وبه مجموعه تعلق ندارد:

برای همین مجموعه ها
- آنچه در مجموعه است از مجموعه "بیرون انداخته می شود".

اما این تفاوت خالی است: . و در واقع، اگر اعداد صحیح را از مجموعه اعداد طبیعی حذف کنید، در واقع چیزی باقی نمی ماند :)

علاوه بر این، گاهی اوقات مورد توجه قرار می گیرد متقارنتفاوت، که هر دو "هلال" را متحد می کند:
- به عبارت دیگر، این "همه چیز است به جز تقاطع مجموعه ها".

4) محصول دکارتی (مستقیم).مجموعه می شود و مجموعه نامیده می شود هر کس سفارش داده شدهجفت در کدام عنصر، و عنصر

بیایید حاصل ضرب دکارتی مجموعه ها را بنویسیم:
– شمارش جفت ها با استفاده از الگوریتم زیر راحت است: «ابتدا، هر عنصر مجموعه را به ترتیب به عنصر اول مجموعه متصل می کنیم، سپس هر عنصر مجموعه را به عنصر دوم مجموعه متصل می کنیم، سپس آن را متصل می کنیم. هر عنصر از مجموعه به عنصر سوم مجموعه ":

آینه شده: ضرب دکارتیمجموعه ها و مجموعه همه نامیده می شود سفارش داده شدهجفت هایی که در آن در مثال ما:
- در اینجا طرح ضبط مشابه است: ابتدا تمام عناصر مجموعه را به ترتیب به "منهای یک" اضافه می کنیم، سپس به "de" همان عناصر را اضافه می کنیم:

اما این صرفاً برای راحتی است - در هر دو مورد، جفت ها را می توان به هر ترتیبی فهرست کرد - مهم است که در اینجا یادداشت کنید همهجفت های ممکن

و اکنون نکته برجسته برنامه: محصول دکارتی چیزی بیش از مجموعه نکات بومی ما نیست سیستم مختصات دکارتی .

ورزشبرای خود تثبیت مواد:

انجام عملیات اگر:

یک دسته از توصیف آن با فهرست کردن عناصر آن راحت است.

و یک چیز کوچک با فواصل اعداد واقعی:

به شما یادآوری کنم که براکت به معنای شمولاعداد به فاصله، و دور یک - آن است عدم شمولیعنی «منهای یک» متعلق به مجموعه است و «سه» نهمتعلق به مجموعه است. سعی کنید بفهمید حاصلضرب دکارتی این مجموعه ها چیست. اگر مشکلی دارید، نقاشی را دنبال کنید ;)

یک راه حل کوتاه برای مسئله در پایان درس.

نمایش مجموعه ها

نمایش دادنبسیاری به بسیاری است قانون، که بر اساس آن هر عنصر از مجموعه با یک عنصر (یا عناصر) از مجموعه مرتبط است. در صورتی که مکاتبه انجام شود تنهاعنصر، سپس این قانون نامیده می شود به وضوح تعریف شده استتابع یا فقط تابع.

یک تابع، همانطور که بسیاری از مردم می دانند، اغلب با یک حرف نشان داده می شود - آن را در مکاتبات قرار می دهد به هرعنصر دارای یک مقدار واحد متعلق به مجموعه است.

خوب، حالا من دوباره برای بسیاری از دانش آموزان ردیف اول مزاحم می شوم و 6 موضوع را برای انشا به آنها پیشنهاد می کنم (بسیاری):

نصب شده است (داوطلبانه یا اجباری =))این قانون به هر دانش آموز مجموعه یک موضوع واحد از انشا مجموعه را اختصاص می دهد.

... و احتمالاً حتی نمی توانید تصور کنید که نقش یک آرگومان تابع را بازی کنید =) =)

عناصر تشکیل دهنده مجموعه دامنهتوابع (که با علامت مشخص می شوند)، و عناصر مجموعه هستند دامنهتوابع (نشان داده شده با ).

نگاشت ساخته شده از مجموعه ها یک ویژگی بسیار مهم دارد: این است یک به یکیا دوطرفه(بیجکشن). در این مثال این به این معنی است که به هردانش آموز مطابقت دارد یکی منحصر به فردموضوع مقاله، و برگشت - برای هرموضوع انشا به یک دانش آموز اختصاص داده شده است.

با این حال، نباید فکر کرد که هر نقشه برداری دوطرفه است. اگر دانش آموز هفتم را به ردیف اول (به مجموعه) اضافه کنید، مکاتبات یک به یک ناپدید می شود - یا یکی از دانش آموزان بدون موضوع می ماند. (اصلا نمایشی وجود نخواهد داشت)، یا برخی از موضوعات به طور همزمان به دو دانش آموز می رسد. وضعیت مخالف: اگر موضوع هفتم به مجموعه اضافه شود، نقشه برداری یک به یک نیز از بین می رود - یکی از موضوعات بدون ادعا باقی می ماند.

دانشجویان عزیز ردیف اول، ناراحت نباشید - 20 نفر باقیمانده بعد از کلاس ها برای پاکسازی قلمرو دانشگاه از شاخ و برگ های پاییزی می روند. سرایدار بیست گلیک می دهد و پس از آن مکاتبات یک به یک بین قسمت اصلی گروه و جاروها برقرار می شود و ولدمار نیز زمان خواهد داشت تا به فروشگاه بدود =)). محدوده تعریف با تعریف خودش مطابقت دارد منحصر بفرد"y"، و بالعکس - برای هر مقدار "y" می توانیم بدون ابهام "x" را بازیابی کنیم. بنابراین یک تابع دوگانه است.

! در هر صورت، هرگونه سوء تفاهم احتمالی را برطرف خواهم کرد: احتیاط مداوم من در مورد دامنه تعریف تصادفی نیست! یک تابع ممکن است برای همه "X" ها تعریف نشده باشد، و علاوه بر این، ممکن است در این مورد نیز یک به یک باشد. مثال معمولی:

اما برای تابع درجه دوم چیزی مشابه مشاهده نمی شود، اولا:
- یعنی مقادیر مختلف "x" در نمایش داده شد یکسانبه معنی "ای"؛ و ثانیاً: اگر کسی مقدار تابع را محاسبه کند و به ما بگوید که ، معلوم نیست که آیا این "y" در یا در به دست آمده است؟ نیازی به گفتن نیست که در اینجا حتی ذره ای از ابهام متقابل وجود ندارد.

وظیفه 2: چشم انداز نمودارهای توابع ابتدایی پایهو توابع دوگانه را روی یک کاغذ بنویسید. چک لیست در پایان این درس.

قدرت مجموعه

شهود نشان می دهد که این اصطلاح اندازه یک مجموعه، یعنی تعداد عناصر آن را مشخص می کند. و شهود ما را فریب نمی دهد!

کاردینالیته یک مجموعه خالی صفر است.

کاردینالیته مجموعه شش است.

قدرت مجموعه حروف الفبای روسی سی و سه است.

و به طور کلی - قدرت هر نهایییک مجموعه برابر با تعداد عناصر یک مجموعه معین است.

...شاید همه به طور کامل درک نکنند که چیست نهاییمجموعه – اگر شروع به شمارش عناصر این مجموعه کنید، دیر یا زود شمارش به پایان می رسد. همانطور که می گویند، چینی ها در نهایت تمام می شوند.

البته مجموعه ها را می توان از نظر کاردینالیته مقایسه کرد و برابری آنها را به این معنا می گویند قدرت برابر. معادل به شرح زیر تعیین می شود:

اگر بتوان یک تناظر یک به یک بین آنها برقرار کرد، دو مجموعه دارای کاردینالیتی برابر هستند.

مجموعه دانش آموزان معادل مجموعه موضوعات انشا، مجموعه حروف الفبای روسی معادل هر مجموعه 33 عنصری و غیره است. دقت کنید دقیقا چی هر کسیمجموعه ای از 33 عنصر - در این مورد، فقط تعداد آنها مهم است. حروف الفبای روسی را می توان نه تنها با بسیاری از اعداد مقایسه کرد
1، 2، 3، ...، 32، 33، اما به طور کلی با یک گله 33 گاو.

وضعیت مجموعه های بی نهایت بسیار جالب تر است. بی نهایت ها هم فرق می کنند! ...سبز و قرمز کوچکترین مجموعه های بی نهایت هستند با احتسابانبوهی خیلی ساده، عناصر چنین مجموعه ای را می توان شماره گذاری کرد. مثال مرجع مجموعه ای از اعداد طبیعی است . بله - نامتناهی است، اما هر یک از عناصر آن، در اصل، یک عدد دارد.

نمونه های زیادی وجود دارد. به ویژه، مجموعه تمام اعداد طبیعی زوج قابل شمارش است. چگونه این را ثابت کنیم؟ شما باید مطابقت یک به یک آن را با مجموعه اعداد طبیعی برقرار کنید یا به سادگی عناصر را شماره گذاری کنید:

یک تناظر یک به یک برقرار شده است؛ بنابراین، مجموعه ها دارای کاردینالیته برابر هستند و مجموعه قابل شمارش است. به طرز متناقضی، از نظر قدرت، به تعداد اعداد طبیعی، اعداد زوج طبیعی وجود دارد!

مجموعه اعداد صحیح نیز قابل شمارش است. عناصر آن را می توان به عنوان مثال به صورت زیر شماره گذاری کرد:

علاوه بر این، مجموعه اعداد گویا نیز قابل شمارش است . از آنجایی که صورت یک عدد صحیح است (و همانطور که نشان داده شد، می توان آنها را شماره گذاری کرد)و مخرج یک عدد طبیعی است، دیر یا زود به هر کسری گویا می رسیم و عددی را به آن اختصاص می دهیم.

اما مجموعه اعداد واقعی از قبل موجود است غیر قابل شمارش، یعنی عناصر آن را نمی توان شماره گذاری کرد. این واقعیت اگرچه بدیهی است، اما در نظریه مجموعه ها به شدت ثابت شده است. کاردینالیته مجموعه اعداد حقیقی نیز نامیده می شود پیوستگی، و در مقایسه با مجموعه های قابل شمارش، این مجموعه "بی نهایت" است.

از آنجایی که بین مجموعه و خط عدد مطابقت یک به یک وجود دارد (بالا را ببین)، سپس مجموعه نقاط روی خط اعداد نیز می باشد غیر قابل شمارش. و علاوه بر این، تعداد نقاط یکسانی در هر دو بخش کیلومتر و میلی متری وجود دارد! مثال کلاسیک:


با چرخاندن پرتو در خلاف جهت عقربه‌های ساعت تا زمانی که با پرتو هماهنگ شود، یک تناظر یک به یک بین نقاط قسمت‌های آبی برقرار می‌کنیم. بنابراین، به تعداد نقاط روی سگمنت و !

این پارادوکس ظاهراً با معمای بی نهایت مرتبط است ... اما اکنون خودمان را با مشکلات جهان آزار نمی دهیم ، زیرا مرحله بعدی این است

وظیفه 2 توابع یک به یک در تصاویر درس