اشکال هندسی متقارن. مستطیل، الماس و مربع

دو شکل با توجه به هر نقطه O در فضا متقارن نامیده می شوند اگر هر نقطه A از یک شکل در شکل دیگر با نقطه A که روی خط مستقیم OA در طرف دیگر نقطه O قرار دارد در فاصله ای برابر با فاصله برابر باشد. نقطه A از نقطه O (شکل 114). نقطه O نامیده می شود مرکز تقارنارقام

ما قبلاً نمونه‌ای از این شکل‌های متقارن را در فضا دیده‌ایم (§ 53)، زمانی که با ادامه لبه‌ها و وجوه یک زاویه چند وجهی فراتر از راس، یک زاویه چند وجهی متقارن با زاویه داده شده به دست آوردیم. پاره ها و زوایای مربوطه که دو شکل متقارن را تشکیل می دهند با یکدیگر مساوی هستند. با این وجود، شکل ها را به عنوان یک کل نمی توان برابر نامید: آنها را نمی توان با یکدیگر ترکیب کرد، زیرا ترتیب قطعات در یک شکل با شکل دیگر متفاوت است، همانطور که در مثال زوایای متقارن چند وجهی دیدیم.

در برخی موارد می توان ارقام متقارن را با هم ترکیب کرد، اما قسمت های نامتجانس آنها با هم مطابقت دارند. برای مثال، بیایید یک زاویه سه وجهی راست (شکل 115) با راس در نقطه O و لبه های OX، OY، OZ را در نظر بگیریم.

اجازه دهید یک زاویه متقارن OXYZ برای آن بسازیم. زاویه OXYZ را می توان با OXYZ ترکیب کرد تا لبه OX با OY منطبق شود و لبه OY با OX منطبق شود. اگر لبه های مربوطه OX را با OX و OY را با OY ترکیب کنیم، لبه های OZ و OZ در جهت مخالف قرار می گیرند.

اگر ارقام متقارن با هم یک جسم هندسی را تشکیل دهند، به این جسم هندسی مرکز تقارن گفته می شود. بنابراین، اگر جسم معینی دارای یک مرکز تقارن باشد، آنگاه هر نقطه متعلق به این جسم با یک نقطه متقارن مطابقت دارد، همچنین متعلق به این جسم است. از آنهایی که بررسی کردیم اجسام هندسییک مرکز تقارن داشته باشید، به عنوان مثال:

1. متوازیالسطوح،
2. منشوری که در قاعده خود یک چندضلعی منظم با تعداد اضلاع زوج دارد.

یک چهار وجهی منظم مرکز تقارن ندارد.

تقارن نسبت به هواپیما

دو شکل مکانی نسبت به صفحه P متقارن نامیده می شوند اگر هر نقطه A در یک شکل با نقطه A در دیگری مطابقت داشته باشد و قطعه AA عمود بر صفحه P باشد و در نقطه تقاطع با آن به نصف تقسیم شود. سطح.

قضیه. هر دو بخش متناظر در دو شکل متقارن با یکدیگر برابر هستند.

اجازه دهید دو شکل متقارن نسبت به صفحه P داده شود. اجازه دهید دو نقطه A و B از شکل اول را انتخاب کنیم، بگذارید A و B نقاط متناظر شکل دوم باشند (شکل 116، شکل ها در شکل نشان داده نشده اند. نقاشی).

بگذارید C بیشتر نقطه تقاطع قطعه AA با صفحه P باشد، D نقطه تقاطع قطعه BB با همان صفحه باشد. با اتصال نقاط C و D با یک پاره خط مستقیم، دو چهار ضلعی ABDC و ABDC به دست می آوریم. از آنجایی که AC = AC، BD = BD و

∠ACD = ∠ACD، ∠BDC = ∠BDC، به عنوان زوایای قائمه، پس این چهار ضلعی برابر هستند (که به راحتی می توانیم با برهم نهی آنها را تأیید کنیم). بنابراین، AB = AB. مستقیماً از این قضیه برمی‌آید که صفحه متناظر و زوایای دو وجهی دو شکل که نسبت به صفحه متقارن هستند با یکدیگر برابر هستند. با این وجود، ترکیب این دو شکل با یکدیگر غیرممکن است تا اجزای متناظر آنها با هم ترکیب شوند، زیرا ترتیب اجزا در یک شکل برعکس آن چیزی است که در شکل دیگر وجود دارد. ساده ترین مثال از دو شکل متقارن نسبت به یک صفحه عبارتند از: هر جسم و انعکاس آن در یک آینه مسطح. هر شکلی با تصویر آینه ای خود نسبت به صفحه آینه متقارن است.

اگر بتوان هر جسم هندسی را به دو قسمت متقارن نسبت به صفحه معینی تقسیم کرد، آن صفحه را صفحه تقارن این جسم می نامند.

اجسام هندسی با صفحه تقارن در طبیعت و در زندگی روزمره بسیار رایج هستند. بدن انسان و حیوان دارای یک صفحه تقارن است که آن را به دو قسمت راست و چپ تقسیم می کند.

این مثال به ویژه روشن می کند که ارقام متقارن را نمی توان ترکیب کرد. بنابراین، دست راست و چپ متقارن است، اما نمی توان آنها را با هم ترکیب کرد، که حداقل از این واقعیت می توان فهمید که یک دستکش نمی تواند برای هر دو دست راست و چپ قرار گیرد. تعداد زیادی از وسایل خانه دارای یک صفحه تقارن هستند: یک صندلی، یک میز ناهارخوری، یک کتابخانه، یک مبل و غیره. .

معمولاً وقتی جسمی را در نظر می گیریم که دارای صفحه تقارن است، سعی می کنیم در رابطه با آن موقعیتی بگیریم که صفحه تقارن بدن ما یا حداقل سر ما با صفحه تقارن خود جسم منطبق شود. در این حالت، شکل متقارن جسم به ویژه قابل توجه می شود.

تقارن حول محور. محور تقارن مرتبه دوم.

از این تعریف بلافاصله نتیجه می شود که اگر دو جسم هندسی متقارن حول هر محوری با صفحه ای عمود بر این محور قطع شوند، در این بخش دو شکل مسطح به دست می آید که متقارن در مورد نقطه تقاطع صفحه با محور هستند. تقارن اجسام

از اینجا به راحتی می توان نتیجه گرفت که دو جسم متقارن حول یک محور را می توان با چرخاندن یکی از آنها 180 درجه حول محور تقارن با یکدیگر ترکیب کرد. در واقع، اجازه دهید تمام صفحات ممکن را عمود بر محور تقارن تصور کنیم.

هر صفحه ای از این دست که هر دو جسم را قطع می کند دارای اشکال متقارن نسبت به نقطه ای است که صفحه با محور تقارن اجسام برخورد می کند. اگر هواپیمای برش را مجبور کنید به خودی خود بلغزد و آن را حول محور تقارن بدنه 180 درجه بچرخانید، اولین شکل با شکل دوم مطابقت دارد.

این برای هر هواپیمای برشی صادق است. چرخش تمام بخش‌های بدن به میزان 180 درجه معادل چرخش کل بدن به میزان 180 درجه حول محور تقارن است. اینجاست که اعتبار بیانیه ما به دست می آید.

اگر پس از چرخش یک شکل فضایی حول یک خط مستقیم به اندازه 180 درجه، با خودش منطبق شود، آنگاه گفته می‌شود که این شکل به عنوان محور تقارن مرتبه دوم آن خط مستقیم است.

نام "محور تقارن مرتبه دوم" با این واقعیت توضیح داده می شود که در طول یک چرخش کامل حول این محور، بدن در فرآیند چرخش، دو بار موقعیتی منطبق با حالت اصلی (از جمله محور اصلی) می گیرد. نمونه هایی از اجسام هندسی که دارای محور تقارن مرتبه دوم هستند عبارتند از:

1) هرم منظم با تعداد زوج وجه جانبی. محور تقارن آن ارتفاع آن است.

2) متوازی الاضلاع مستطیلی؛ دارای سه محور تقارن است: خطوط مستقیمی که مرکز وجوه مخالف آن را به هم متصل می کند.

3) منشور منظم با تعداد زوج وجه های جانبی. محور تقارن آن هر خط مستقیمی است که مرکز هر جفت وجه متضاد خود (وجه های جانبی و دو پایه منشور) را به هم متصل می کند. اگر تعداد وجوه جانبی منشور 2 باشد ک، آنگاه تعداد چنین محورهای تقارن خواهد بود ک+ 1. علاوه بر این، محور تقارن برای چنین منشوری، هر خط مستقیمی است که نقاط میانی لبه های طرف مقابل خود را به هم متصل می کند. منشور دارای چنین محورهایی از تقارن A است.

پس عدد صحیح 2 است کمنشور وجهی 2 دارد کمحورهای +1، تقارن.

وابستگی بین انواع مختلف تقارن در فضا.

قضیه. اگر شکل F با شکل F نسبت به صفحه P متقارن باشد و در عین حال با شکل F نسبت به نقطه O که در صفحه P قرار دارد متقارن باشد، شکل F و F نسبت به محور متقارن هستند. عبور از نقطه O و عمود بر صفحه P .

بیایید یک نقطه A از شکل F را در نظر بگیریم (شکل 118). این مربوط به نقطه A از شکل F و نقطه A از شکل F است (شکل های F، F و F خود در نقاشی نشان داده نشده اند).

فرض کنید B نقطه تقاطع قطعه AA با صفحه P باشد. اجازه دهید صفحه ای را از نقاط A، A و O ترسیم کنیم. این صفحه عمود بر صفحه P خواهد بود، زیرا از خط AA عمود بر این صفحه می گذرد. . در صفحه AAO یک خط مستقیم OH عمود بر OB رسم می کنیم. این خط مستقیم OH نیز عمود بر صفحه P خواهد بود. سپس، C نقطه تقاطع خطوط AA و OH باشد.

در مثلث AAA" پاره BO وسط اضلاع AA و AA را به هم متصل می کند، بنابراین BO || AA"، اما VO⊥OH، که به معنای AA"⊥OH است. علاوه بر این، از آنجایی که O نقطه وسط سمت AA است، و CO || AA، سپس AC = A"C. از اینجا نتیجه می گیریم که نقاط A و A" نسبت به محور OH متقارن هستند. این امر در مورد سایر نقاط شکل نیز صادق است. به این معنی که قضیه ما ثابت شده است. از این قضیه بلافاصله نتیجه می شود که دو شکل که هستند متقارن نسبت به صفحه را نمی توان ترکیب کرد تا قسمت های متناظر آنها با هم ترکیب شوند در واقع شکل F با چرخش حول محور OH 180 درجه با F ترکیب می شود. اما شکل های F و F را نمی توان به صورت متقارن نسبت به نقطه ترکیب کرد، بنابراین، شکل های F و F را نیز نمی توان ترکیب کرد.

محورهای تقارن مرتبه بالاتر

شکلی که دارای یک محور تقارن است، پس از چرخش حول محور تقارن در یک زاویه 180 درجه با خود هم تراز می شود. اما مواردی امکان پذیر است که شکل پس از چرخش حول یک محور خاص با زاویه کمتر از 180 درجه با موقعیت اصلی خود هماهنگ شود. بنابراین، اگر جسمی یک چرخش کامل حول این محور انجام دهد، در طول فرآیند چرخش چندین بار با موقعیت اصلی خود هماهنگ می شود. به چنین محور چرخشی، محور تقارن مرتبه بالاتر و تعداد موقعیت‌های جسمی که با حالت اولیه منطبق است، ترتیب محور تقارن نامیده می‌شود. این محور ممکن است با محور تقارن مرتبه دوم منطبق نباشد. بنابراین، یک هرم مثلثی منتظم دارای یک محور تقارن مرتبه دوم نیست، اما ارتفاع آن به عنوان یک محور تقارن مرتبه سوم برای آن عمل می کند. در واقع پس از چرخش این هرم به دور ارتفاع با زاویه 120 درجه، با خود همسو می شود (شکل 119).

هنگامی که هرم به دور یک ارتفاع می‌چرخد، می‌تواند سه موقعیت منطبق با موقعیت اصلی، از جمله موقعیت اصلی را اشغال کند. به راحتی می توان متوجه شد که هر محور تقارن مرتبه زوج در همان زمان یک محور تقارن مرتبه دوم است.

نمونه هایی از محورهای تقارن مرتبه بالاتر:

1) صحیح n- هرم کربنی دارای یک محور تقارن است n- مرتبه این محور ارتفاع هرم است.

2) صحیح n- یک منشور کربن دارای یک محور تقارن است n- مرتبه این محور یک خط مستقیم است که مرکز پایه های منشور را به هم متصل می کند.

تقارن مکعب.

مکعب دارای نه صفحه تقارن است: شش صفحه مورب و سه صفحه که از وسط هر چهار یال موازی آن عبور می کنند.

مکعب دارای 9 محور تقارن مرتبه دوم است: شش خط مستقیم که نقاط میانی لبه های مخالف آن را به هم وصل می کند و سه خط مستقیم که مراکز وجوه مخالف را به هم متصل می کند (شکل 120).

این آخرین خطوط مستقیم، محورهای تقارن مرتبه چهارم هستند. علاوه بر این، مکعب دارای چهار محور تقارن مرتبه سوم است که قطرهای آن هستند. در واقع، مورب مکعب AG (شکل 120) آشکارا به طور مساوی به لبه های AB، AD و AE متمایل است و این لبه ها به یک اندازه متمایل به یکدیگر هستند. اگر نقاط B، D و E را به هم وصل کنیم، یک هرم مثلثی منظم ADBE به دست می‌آید که مورب مکعب AG به عنوان ارتفاع آن عمل می‌کند. هنگامی که این هرم با چرخش حول ارتفاع با خودش هم تراز می شود، کل مکعب با موقعیت اصلی خود همسو می شود. همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، مکعب هیچ محور تقارن دیگری ندارد. بیایید ببینیم که چگونه یک مکعب را می توان با خودش ترکیب کرد. چرخش حول محور تقارن معمولی یک موقعیت از مکعب را می دهد، متفاوت از موقعیت اصلی، که در آن مکعب به عنوان یک کل با خودش هم تراز است.

چرخش حول یک محور مرتبه سوم دو موقعیت را ایجاد می کند و چرخش حول محور مرتبه چهارم سه موقعیت را ایجاد می کند. از آنجایی که مکعب دارای شش محور مرتبه دوم است (اینها محورهای تقارن معمولی هستند)، چهار محور از مرتبه سوم و سه محور از مرتبه چهارم، 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 موقعیت مکعب وجود دارد. متفاوت از نمونه اصلی، که در آن با خودتان ترکیب می شود.

به راحتی می توان مستقیماً تأیید کرد که همه این موقعیت ها با یکدیگر و همچنین با موقعیت اولیه مکعب متفاوت هستند. آنها همراه با موقعیت شروع، 24 روش برای ترکیب مکعب با خود می سازند.

فردریش V.A. 1

Dementieva V.V. 1

1 موسسه آموزشی بودجه شهرداری "متوسطه مدرسه جامعشماره 6، الکساندروفسک، منطقه پرم

متن اثر بدون تصویر و فرمول درج شده است.
نسخه کاملکار در برگه "فایل های کاری" در قالب PDF موجود است

معرفی

«در مقابل یک تخته سیاه ایستاده و روی آن نقاشی می کشی

شکل های مختلف گچ،

ناگهان این فکر به من دست داد:

چرا تقارن برای چشم خوشایند است؟

تقارن چیست؟

این یک احساس ذاتی است، من به خودم پاسخ دادم.

لوگاریتم. تولستوی

در کتاب درسی ریاضیات کلاس 6، نویسنده S. M. Nikolsky، در صفحات 132 - 133، بخش مسائل اضافی برای فصل شماره 3، وظایفی برای مطالعه ارقام روی صفحه وجود دارد که با توجه به یک خط مستقیم متقارن هستند. من به این موضوع علاقه مند بودم، تصمیم گرفتم وظایف را تکمیل کنم و این موضوع را با جزئیات بیشتری مطالعه کنم.

موضوع مطالعه تقارن است.

موضوع مطالعه تقارن به عنوان یک قانون اساسی جهان است.

کدام فرضیه را آزمایش خواهم کرد:

من معتقدم که تقارن محوری نه تنها یک مفهوم ریاضی و هندسی است و فقط برای حل مسائل مربوطه استفاده می شود، بلکه اساس هماهنگی، زیبایی، تعادل و ثبات است. اصل تقارن تقریباً در همه علوم و در زندگی روزمره ما به کار می رود و یکی از قوانین "سنگ بنا" است که جهان به عنوان یک کل بر آن استوار است.

مرتبط بودن موضوع

مفهوم تقارن در کل تاریخ چند صد ساله خلاقیت بشر جریان دارد. این در حال حاضر در منشاء توسعه یافت می شود. امروزه، احتمالاً یافتن شخصی که تصوری از تقارن نداشته باشد، دشوار است. دنیایی که در آن زندگی می کنیم مملو از تقارن خانه ها، خیابان ها، آفریده های طبیعت و انسان است. ما به معنای واقعی کلمه در هر مرحله با تقارن مواجه می شویم: در فناوری، هنر، علم.

بنابراین شناخت و درک تقارن در جهان پیرامون امری ضروری و ضروری است که در آینده برای مطالعه سایر رشته های علمی مفید خواهد بود. این موضوع مربوط به موضوع انتخابی من است.

هدف و وظایف

هدف کار:دریابید که تقارن چه نقشی در زندگی روزمره انسان، در طبیعت، معماری، زندگی روزمره، موسیقی و سایر علوم دارد.

برای رسیدن به هدفم باید کارهای زیر را انجام دهم:

1. اطلاعات، ادبیات و عکس های لازم را بیابید. با استفاده از منابع در دسترس من: کتاب های درسی، دایره المعارف ها یا سایر رسانه های مرتبط با موضوع مورد نظر، بیشترین مقدار داده های لازم برای کار خود را ایجاد کنید.

2. دادن مفهوم کلیدر مورد تقارن، انواع تقارن و تاریخچه پیدایش اصطلاح.

3. برای تایید فرضیه خود، کاردستی بسازید و با این اشکال که دارای تقارن هستند و نامتقارن نیستند، آزمایشی انجام دهید.

4. نتایج مشاهدات را در تحقیقات خود نشان داده و ارائه دهید.

برای بخش عملی کار تحقیقاتیمن باید کارهای زیر را انجام دهم که برای آن یک برنامه کاری تهیه کرده ام:

1. با دستان خود صنایع دستی با ویژگی های مشخص ایجاد کنید - مدل های متقارن و غیر متقارن، ترکیب، با استفاده از کاغذ رنگی، مقوا، قیچی، قلم نمدی، چسب و غیره.

2. آزمایشی را با صنایع دستی من با دو گزینه برای تقارن انجام دهید.

3. نتایج به دست آمده را با تهیه جدول تحقیق، تجزیه و تحلیل و نظام مند کنید.

4. برای ادغام بصری و جالب دانش به دست آمده، با استفاده از برنامه "Paint 3 D"، نقاشی هایی را برای وضوح ایجاد کنید، و همچنین تصاویر را با وظایف بکشید - برای تکمیل طراحی یک نیمه متقارن (شروع با نقاشی های ساده و پایان دادن به پیچیده) و ترکیب آنها، ایجاد یک کتاب الکترونیکی.

روش های پژوهش:

1. تجزیه و تحلیل مقالات و تمام اطلاعات در مورد تقارن.

2. مدل سازی کامپیوتری (پردازش عکس با استفاده از ویرایشگر گرافیکی).

3. تعمیم و نظام مند سازی داده های به دست آمده.

بخش اصلی.

تقارن محوری و مفهوم کمال

از زمان های قدیم، انسان در مورد زیبایی ایده هایی را توسعه داده و سعی در درک معنای کمال داشته است. همه آفریده های طبیعت زیبا هستند. مردم در نوع خود زیبا هستند، حیوانات و گیاهان شگفت انگیز هستند. دیدن یک سنگ قیمتی یا یک کریستال نمک چشم را خوشحال می کند؛ تحسین نکردن دانه های برف یا پروانه دشوار است. اما چرا این اتفاق می افتد؟ به نظر ما ظاهر اجسامی درست و کامل است که نیمه راست و چپ آنها یکسان به نظر می رسند.

ظاهراً اهالی هنر اولین کسانی بودند که به اصل زیبایی فکر کردند.

این مفهوم ابتدا توسط هنرمندان، فیلسوفان و ریاضیدانان اثبات شد یونان باستان. مجسمه سازان باستانی که ساختار را مطالعه کردند بدن انسان، در قرن 5 قبل از میلاد. مفهوم "تقارن" شروع به استفاده کرد. این کلمه ریشه یونانی دارد و به معنای هماهنگی، تناسب و تشابه در چینش اجزای تشکیل دهنده است. افلاطون متفکر و فیلسوف یونان باستان استدلال می کرد که تنها چیزی که متقارن و متناسب باشد می تواند زیبا باشد.

در واقع، آن پدیده ها و اشکال متناسب و کامل «چشم را خشنود می کند». ما آنها را درست می گوییم.

انواع تقارن

در هندسه و ریاضیات سه نوع تقارن در نظر گرفته می شود: تقارن محوری (نسبت به خط مستقیم)، مرکزی (نسبت به یک نقطه) و تقارن آینه ای (نسبت به یک صفحه).

تقارن محوری به عنوان یک مفهوم ریاضی

نقاط نسبت به یک خط معین (محور تقارن) متقارن هستند اگر روی خطی عمود بر این خط و در همان فاصله از محور تقارن قرار گیرند.

یک شکل با توجه به یک خط مستقیم متقارن در نظر گرفته می شود اگر برای هر نقطه از شکل مورد نظر، یک نقطه متقارن برای آن نسبت به یک خط معین نیز روی این شکل قرار گیرد. خط مستقیم در این حالت محور تقارن شکل است.

ارقامی که متقارن با یک خط مستقیم هستند با هم برابرند. اگر یک شکل هندسی با تقارن محوری مشخص شود، تعریف نقاط آینه را می توان با خم کردن آن در امتداد محور و قرار دادن نیمه های مساوی "رو به رو" تجسم کرد. نقاط مورد نظر همدیگر را لمس خواهند کرد.

نمونه هایی از یک محور تقارن: نیمساز یک زاویه توسعه نیافته مثلث متساوی الساقین، هر خط مستقیمی که از مرکز یک دایره کشیده شده است، و غیره. اگر یک شکل هندسی با تقارن محوری مشخص شود، تعریف نقاط آینه را می توان با خم کردن آن در امتداد محور و قرار دادن نیمه های مساوی "رو به رو" تجسم کرد. نقاط مورد نظر همدیگر را لمس خواهند کرد.

شکل ها می توانند چندین محور تقارن داشته باشند:

· محور تقارن یک زاویه، خط مستقیمی است که نیمساز آن روی آن قرار دارد.

· محور تقارن دایره و دایره هر خط مستقیمی است که از قطر آنها بگذرد.

یک مثلث متساوی الساقین دارای یک محور تقارن است، یک مثلث متساوی الاضلاع دارای سه محور تقارن است.

· یک مستطیل دارای 2 محور تقارن، یک مربع دارای 4 و یک لوزی دارای 2 محور تقارن است.

محور تقارن یک خط فرضی است که جسم را به قسمت های متقارن تقسیم می کند. برای وضوح در نقاشی من نشان داده شده است.

ارقامی هستند که یک محور تقارن ندارند. چنین اشکالی شامل متوازی الاضلاع، متفاوت از مستطیل و لوزی، و مثلث مقیاسی است.

تقارن محوری در طبیعت

طبیعت عاقل و خردمند است، بنابراین تقریباً تمام مخلوقات آن ساختاری هماهنگ دارند. این هم در مورد موجودات زنده و هم در مورد اشیای بی جان صدق می کند.

مشاهده دقیق نشان می دهد که اساس زیبایی بسیاری از اشکال ایجاد شده توسط طبیعت، تقارن است. برگ ها، گل ها و میوه ها دارای تقارن مشخص هستند. تقارن آینه ای، شعاعی، مرکزی، محوری آنها آشکار است. تا حد زیادی به دلیل پدیده گرانش است.

اشکال هندسی کریستال ها با سطوح صاف آنها یک پدیده طبیعی شگفت انگیز است. با این حال، تقارن فیزیکی واقعی یک کریستال چندان در آن آشکار نمی شود ظاهر، چه مقدار ماده کریستالی در ساختار داخلی وجود دارد.

تقارن محوری در قلمرو حیوانات

تقارن در جهان موجودات زنده در چینش منظم اجزای یکسان بدن نسبت به مرکز یا محور آشکار می شود. تقارن محوری در طبیعت بیشتر دیده می شود. این نه تنها ساختار کلی ارگانیسم، بلکه امکانات توسعه بعدی آن را نیز تعیین می کند. هر گونه جانوری رنگ مشخصی دارد. اگر الگویی در رنگ آمیزی ظاهر شود، به عنوان یک قاعده، از هر دو طرف کپی می شود.

تقارن محوری و انسان

اگر به هر موجود زنده ای نگاه کنید، تقارن ساختار بدن بلافاصله نظر شما را جلب می کند. انسان: دو دست، دو پا، دو چشم، دو گوش و غیره.

این بدان معنی است که یک خط مشخص وجود دارد که در امتداد آن می توان حیوانات و افراد را از نظر بصری به دو نیمه یکسان "تقسیم" کرد، یعنی ساختار هندسی آنها بر اساس تقارن محوری است.

همانطور که از مثال‌های بالا پیداست، طبیعت هر موجود زنده‌ای را نه به‌طور آشفته و بی‌معنا، بلکه بر اساس قوانین عمومی نظم جهانی خلق می‌کند، زیرا هیچ چیز در کیهان هدفی صرفاً زیبایی‌شناختی و تزئینی ندارد. این به دلیل ضرورت طبیعی است.

البته طبیعت به ندرت با دقت ریاضی مشخص می شود، اما شباهت عناصر یک موجود زنده هنوز هم چشمگیر است.

تقارن در معماری

از قدیم الایام، معماران به خوبی از تناسب و تقارن ریاضی آگاه بودند و از آنها در ساخت سازه های معماری استفاده می کردند. به عنوان مثال، معماری کلیساها و کلیساهای ارتدکس روسی در روسیه: کرملین، کلیسای جامع مسیح منجی در مسکو، کازان و کلیسای جامع سنت اسحاق در سنت پترزبورگ و غیره.

و همچنین سایر جاذبه های معروف جهان که بسیاری از آنها در تمام کشورهای جهان هستند، هنوز هم می توانیم ببینیم: اهرام مصر، لوور، تاج محل، کلیسای جامع کلن و غیره. همانطور که می بینیم همه آنها دارای تقارن هستند.

تقارن در موسیقی

من در یک آموزشگاه موسیقی درس می خوانم و یافتن نمونه هایی از تقارن در این زمینه برایم جالب بود. نه تنها آلات موسیقی تقارن آشکاری دارند، بلکه قطعاتی نیز دارند آثار موسیقیبه ترتیب خاصی مطابق با موسیقی و نیت آهنگساز صدا کنید.

مثلا reprise - (تجدید فرانسوی، از reprendre - به تجدید). تکرار یک موضوع یا گروهی از موضوعات پس از مرحله توسعه (آنها) یا ارائه مطالب موضوعی جدید.

همچنین اصل موسیقایی ریتم شامل تکرار یک بعدی در زمان در فواصل مساوی است.

تقارن در تکنولوژی

ما در شرایطی زندگی می کنیم که به سرعت در حال تغییر و با تکنولوژی بالا است، جامعه اطلاعاتیو ما به این فکر نمی کنیم که چرا برخی از اشیا و پدیده های اطراف ما حس زیبایی را بیدار می کنند، در حالی که برخی دیگر این کار را نمی کنند. ما متوجه آنها نمی شویم، حتی به خواص آنها فکر نمی کنیم.

اما در کنار این، این وسایل، قطعات، مکانیزم ها، واحدهای فنی و مکانیکی، اگر تقارن رعایت نشود، یا بهتر است بگوییم، یک محور خاص، در مکانیک این مرکز ثقل است، اصلاً نمی توانند درست کار کنند و کار کنند.

تعادل در مرکز، در این مورد، اجباری است نیاز فنی، رعایت آن به شدت توسط GOST یا TU تنظیم می شود و باید رعایت شود.

تقارن و اجرام فضایی

اما، شاید مرموزترین اشیایی که از زمان های قدیم ذهن بسیاری را نگران کرده است، اشیاء فضایی باشند. که دارای تقارن هستند - خورشید، ماه، سیارات.

این زنجیره را می توان ادامه داد، اما اکنون ما در مورد یک چیز واحد صحبت می کنیم: این که تقارن محوری قانون اساسی جهان است، اساس زیبایی، هماهنگی و تناسب و در رابطه آن با ریاضیات است.

بخش عملی

پس از یافتن اطلاعات لازم و مطالعه ادبیات، به صحت فرضیه خود متقاعد شدم و به این نتیجه رسیدم که از نظر یک فرد، عدم تقارن اغلب با بی نظمی یا حقارت همراه است. از این رو، در بیشتر آفریده های دست انسان، تقارن و هماهنگی را می توان به عنوان یک نیاز ضروری و الزامی ردیابی کرد.

این به وضوح در نقاشی من قابل مشاهده است که خوکی را با قسمت های نامتناسب بدنش به تصویر می کشد که بلافاصله نظر را جلب می کند!

و فقط بعد از اینکه کمی دیگر به او نگاه کنید او را ناز می دانید؟

علیرغم اینکه این موضوع شناخته شده و به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته است، تمامی این داده ها به طور جداگانه در هر رشته در نظر گرفته می شود. من به داده های تعمیم یافته ای برخورد نکرده ام که از اصل تقارن استفاده شود و بسیاری از علوم دیگر و رابطه آنها با ریاضیات بر آن استوار است.

بنابراین، تصمیم گرفتم با استفاده از ساده ترین و در دسترس ترین روش برای خود، گفته خود را ثابت کنم. این راه حل، من معتقدم، انجام آزمایشی با آزمایش است.

برای اینکه به وضوح ثابت کنم که مدل‌های نامتقارن پایدار نیستند، الزامات و مهارت‌های حیاتی لازم را ندارند و برای تأیید فرضیه‌ام، باید صنایع دستی، نقاشی‌ها و ترکیب‌بندی‌ها را ایجاد کنم:

گزینه 1 - متقارن در مورد محور.

گزینه 2 - با نقض آشکار تقارن.

از آنجایی که معتقدم چنین عدم تعادلی در نمونه های زیر به وضوح قابل مشاهده خواهد بود، که برای آن صنایع دستی اریگامی (هواپیما و قورباغه) را از کاغذ رنگی ایجاد کردم. برای خلوص آزمایش، آنها از همان کاغذ رنگی ساخته شدند و در شرایط یکسان مورد آزمایش قرار گرفتند. و ترکیب "فانوس دریایی"، که در آن فانوس دریایی خالی ساخته شده است بطری پلاستیکی، با کاغذ رنگی پوشانده شده است. برای تزیین ترکیب، از مجسمه‌های انسان اسباب‌بازی، مدل‌های قایق بادبانی و قایق، سنگ‌های تزئینی و برای تقلید از نور از عنصری با باتری استفاده کردم که می‌درخشد.

من با این کاردستی‌ها آزمایش‌هایی انجام دادم، همه شاخص‌ها را ثبت کردم و آنها را در جدول وارد کردم (کلیه شاخص ها در پیوست شماره 1، ص 18 - 21 قابل مشاهده است).

تمام صنایع دستی با رعایت مقررات ایمنی ساخته شده است (پیوست شماره 2 ص 21)

من تمام داده های دریافتی را تجزیه و تحلیل کردم و این چیزی است که به آن رسیدم.

تجزیه و تحلیل داده های دریافتی

آزمایش شماره 1

آزمایش- پرش بلند قورباغه ها، اندازه گیری این فاصله.

قورباغه سبز (متقارن) به آرامی از مسافت بیشتری می پرد، اما قورباغه قرمز (غیر متقارن) هرگز مستقیم نمی پرید، همیشه با چرخش یا تلنگر به پهلو، فاصله 2 تا 3 برابر کمتر.

بنابراین، می توان نتیجه گرفت که چنین حیوانی نمی تواند به سرعت شکار کند یا برعکس، فرار کند، به طور موثر غذا به دست آورد، که شانس زنده ماندن را کاهش می دهد، این ثابت می کند که در طبیعت همه چیز متعادل، متناسب، صحیح - متقارن است. .

آزمایش شماره 2

نوع آزمون- پرتاب هواپیما به پرواز و اندازه گیری فاصله طول پرواز.

هواپیمای شماره 1 "صورتی" (متقارن) 10 بار، 8 بار صاف و مستقیم، تا حداکثر طول خود (یعنی تمام طول اتاق من) و مسیر پرواز هواپیمای شماره 2 "نارنجی" (غیر متقارن) پرواز می کند. ) از 10 بار - هرگز مستقیم پرواز نکرد، همیشه با چرخش یا تلنگر، در فاصله کوتاه‌تری. یعنی اگر یک هواپیمای واقعی بود نمی توانست به نرمی در مسیر درست پرواز کند. چنین پروازی برای انسان (و همچنین برای پرندگان) و اتومبیل ها و سایر موارد بسیار ناخوشایند یا حتی خطرناک است. وسايل نقليهحرکت، نمی تواند سوار، شنا و غیره شود. در جهت مورد نیاز

آزمایش شماره 3

نوع آزمون -بررسی پایداری ساختمان مایاک هنگامی که زاویه شیب سازه نسبت به سطح کاهش می یابد.

1. پس از ایجاد ترکیب "Mayak"، من آن را مستقیما نصب کردم، یعنی. عمود بر (در زاویه 90 0) نسبت به دیواره های سازه به سطح. این طرحدر سطح می ایستد، المان نوری نصب شده و شکل انسان را تحمل می کند.

2. برای انجام بیشتر آزمایش، باید پایه برج را در زوایای 10 0 ترسیم کنم.

پس از آن زاویه ای برابر با 10 0 از پایه برش دادم.

در زاویه 80 0، ساختمان به صورت کج می ایستد، تاب می خورد، اما می تواند بار اضافی را تحمل کند.

3. با قطع 10 0 دیگر، زاویه شیب 70 0 گرفتم که در آن کل ساختار من فرو می ریزد.

این تجربه ثابت می کند که سنت تثبیت شده تاریخی ساختن در زوایای قائم و حفظ تقارن ساختمان خود شرط لازم برای ساخت و ساز پایدار، قابل اعتماد و بهره برداری از ساختمان ها و سازه های معماری است.

برای مثال واضحتقارن محوری و اثبات این جمله که شخص هر گونه اشیاء اطراف خود، تصاویر حیوانات و غیره را درک می کند. فقط به صورت متقارن، یعنی وقتی هر دو طرف، "نیمه ها" یکسان، مساوی هستند، یک کتاب رنگ آمیزی الکترونیکی ایجاد کردم که قابل چاپ است و یک کتاب رنگ آمیزی کودکان را می سازد. این راهنما به همه کسانی که می خواهند موضوع را بهتر درک کنند کمک می کند تا اوقات فراغت خود را جالب و با لذت بگذرانند (صفحه عنواننشان داده شده در این شکل، سایر شکل ها در پیوست شماره 3 صفحات 21 -24 قرار دارند.

آزمایشاتی که من انجام دادم ثابت می کند که تقارن نه تنها یک مفهوم ریاضی و هندسی است، بلکه یک کره، محیط زندگی ما، یک نیاز فنی خاص و همچنین شرط لازم برای بقا به طور کلی، هم برای مردم و هم برای حیوانات است. تقارن همه را با هم جمع می کند و بسیار فراتر از علم معمولی است!

نتیجه

نتیجه گیری:

متوجه شدم که تقارن یکی از مولفه های اصلی در زندگی روزمره انسان است، در وسایل خانه، معماری، تکنولوژی، طبیعت، موسیقی، علم و غیره.

نتیجه:

من اطلاعات لازم را پیدا کردم، فرضیه خود را اثبات کردم، آزمایش کردم و آن را تایید کردم. من کاردستی‌ها، ترکیب‌بندی‌ها، نقاشی‌ها و یک کتاب رنگ‌آمیزی الکترونیکی ایجاد کردم تا آزمایش را به صورت بصری انجام دهم.

من متوجه شدم که تمام قوانین طبیعت - بیولوژیکی، شیمیایی، ژنتیکی، نجومی - با تقارن مرتبط هستند. عملاً، هر چیزی که ما را احاطه کرده است، که توسط انسان خلق شده است، تابع اصول تقارن مشترک برای همه ما است، زیرا آنها یک سیستم رشک برانگیز دارند. بنابراین، تعادل، هویت به عنوان یک اصل دارای دامنه جهانی است.

آیا می توان گفت که تقارن یک قانون اساسی است که قوانین اساسی علم بر آن استوار است؟ شاید آره.

متفکران بزرگ بشر سعی کردند این راز را درک کنند. امروز ما نیز درگیر حل این معما هستیم.

یکی از ریاضیدانان معروف هرمان ویل می نویسد: «تقارن ایده ای است که از طریق آن انسان برای قرن ها سعی در درک و ایجاد نظم، زیبایی و کمال داشته است».

شاید ما راز ایجاد زیبایی، کمال یا حتی ایجاد قوانین اساسی جهان را یافته ایم؟ شاید تقارن باشد؟

برنامه های کاربردی

جدول آزمون پیوست شماره 1:

پیوست شماره 2

هنگام ساخت صنایع دستی من، اقدامات احتیاطی رعایت شد، یعنی:

قیچی یا چاقو باید به خوبی تیز و تنظیم شود.

باید در محل یا جعبه ای خاص و مطمئن نگهداری شود.

هنگام استفاده از قیچی (چاقو) نمی توانید حواس شما پرت شود، باید تا حد امکان مراقب و منظم باشید.

هنگام عبور قیچی (چاقو)، آن را از تیغه های بسته (لبه) بگیرید.

قیچی (چاقو) را با تیغه های بسته (لبه) در سمت راست قرار دهید.

هنگام برش، تیغه باریک قیچی (نوک چاقو) باید در پایین باشد.

پس از استفاده از چسب دست های خود را بشویید.

پیوست شماره 3

کتاب رنگ آمیزی الکترونیکی

تقارن-

این بدان معنی است که یک قسمت از یک شی شبیه به دیگری است.

تقارن محوری تقارن در مورد یک خط مستقیم (خط) است.

محور تقارن یک خط فرضی است که جسم را به قسمت های متقارن تقسیم می کند. برای وضوح در تصاویر نشان داده شده است.

در این کتاب باید نقشه ها را با اتصال نقطه ها کامل کنید.

سپس می توانید چیزی را که به دست آورده اید رنگ کنید.

سعی کنید این نقشه ها را کامل کنید:

قلب

مثلث خانه

برگ ستاره

درخت کریسمس موش

سگقفل کردن

بهعلاوه بر تقارن محوری، تقارن در مورد یک نقطه نیز وجود دارد.

این توپ متقارن است

و نوع دیگر تقارن، تقارن آینه ای است.

تقارن آینه-

این تقارن در مورد هواپیما است. مثلا در مورد آینه.

تقارن است -

کتاب های استفاده شده

2. هرمان ویل "تقارن" (انتشارات "ناوکا"، دفتر تحریریه اصلی ادبیات فیزیکی و ریاضی، مسکو 1968)

4. نقاشی ها و عکس های من.

5. کتابچه راهنمای مهندسی مکانیک، جلد 1، (انتشارات علمی و فنی دولتی ادبیات مهندسی مکانیک، مسکو 1960)

6. عکس ها و نقاشی ها از اینترنت.

اهداف:

• آموزشی:
  • ارائه ایده ای از تقارن؛
  • معرفی انواع اصلی تقارن در صفحه و فضا؛
  • مهارت های قوی در ساختن اشکال متقارن ایجاد کنید.
  • با معرفی ویژگی های مرتبط با تقارن، درک خود را از چهره های معروف گسترش دهید.
  • امکان استفاده از تقارن در حل مسائل مختلف را نشان دهد.
  • تثبیت دانش به دست آمده؛
• آموزش عمومی:
  • به خودتان بیاموزید که چگونه خود را برای کار آماده کنید.
  • بیاموزید که چگونه خود و همسایه میز خود را کنترل کنید.
  • به ارزیابی خود و همسایه میز خود بیاموزید.
• در حال توسعه:
  • تشدید فعالیت مستقل؛
  • توسعه دهد فعالیت شناختی;
  • یاد بگیرید که اطلاعات دریافت شده را خلاصه و نظام مند کنید.
• آموزشی:
  • ایجاد "حس شانه" در دانش آموزان.
  • پرورش مهارت های ارتباطی؛
  • القای فرهنگ ارتباط

در طول کلاس ها

جلوی هر نفر یک قیچی و یک برگه کاغذ قرار دارد.

تمرین 1(3 دقیقه).

- بیایید یک ورق کاغذ برداریم، آن را تکه تکه کرده و تعدادی شکل را برش دهیم. حالا بیایید ورق را باز کنیم و به خط چین نگاه کنیم.

سوال:این خط چه عملکردی دارد؟

پاسخ پیشنهادی:این خط شکل را به نصف تقسیم می کند.

سوال:همه نقاط شکل روی دو نیمه به دست آمده چگونه قرار دارند؟

پاسخ پیشنهادی:تمام نقاط نیمه ها در فاصله مساوی از خط چین و در یک سطح قرار دارند.

- این بدان معنی است که خط چین شکل را به دو نیم تقسیم می کند به طوری که 1 نیمه یک کپی از 2 نیمه است، یعنی. این خط ساده نیست، ویژگی قابل توجهی دارد (تمام نقاط نسبت به آن در یک فاصله قرار دارند)، این خط یک محور تقارن است.

وظیفه 2 (2 دقیقه).

- یک دانه برف را جدا کنید، محور تقارن را پیدا کنید، آن را مشخص کنید.

وظیفه 3 (5 دقیقه).

- یک دایره در دفترچه خود بکشید.

سوال:تعیین کنید که محور تقارن چگونه می رود؟

پاسخ پیشنهادی:متفاوت.

سوال:بنابراین یک دایره چند محور تقارن دارد؟

پاسخ پیشنهادی:بسیاری از.

- درست است، یک دایره دارای محورهای تقارن زیادی است. یک شکل به همان اندازه قابل توجه یک توپ است (شکل فضایی)

سوال:چه اشکال دیگری بیش از یک محور تقارن دارند؟

پاسخ پیشنهادی:مثلث های مربع، مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع.

- شکل های سه بعدی را در نظر بگیرید: مکعب، هرم، مخروط، استوانه و غیره. این شکل ها دارای یک محور تقارن نیز هستند، مشخص کنید مربع، مستطیل، مثلث متساوی الاضلاع و شکل های سه بعدی پیشنهادی چند محور تقارن دارند؟

من نیمی از فیگورهای پلاستیکی را بین دانش آموزان توزیع می کنم.

وظیفه 4 (3 دقیقه).

– با استفاده از اطلاعات دریافتی، قسمت گم شده شکل را تکمیل کنید.

توجه داشته باشید: شکل می تواند هم مسطح و هم سه بعدی باشد. مهم است که دانش آموزان تعیین کنند که محور تقارن چگونه اجرا می شود و عنصر گم شده را تکمیل می کند. صحت کار توسط همسایه پشت میز تعیین می شود و ارزیابی می کند که کار چقدر درست انجام شده است.

یک خط (بسته، باز، با خود تقاطع، بدون خود تقاطع) از توری به همان رنگ روی دسکتاپ کشیده شده است.

وظیفه 5 (کار گروهی 5 دقیقه).

– محور تقارن را به صورت بصری مشخص کنید و نسبت به آن قسمت دوم را از توری با رنگ متفاوت کامل کنید.

صحت کار انجام شده توسط خود دانش آموزان تعیین می شود.

عناصر نقاشی به دانش آموزان ارائه می شود

وظیفه 6 (2 دقیقه).

– قسمت های متقارن این نقشه ها را بیابید.

برای ادغام مطالب تحت پوشش، کارهای زیر را پیشنهاد می کنم که برای 15 دقیقه برنامه ریزی شده اند:

همه عناصر مساوی مثلث KOR و KOM را نام ببرید. این مثلث ها چه نوع مثلثی هستند؟

2. چند مثلث متساوی الساقین در دفتر خود با پایه مشترک 6 سانتی متر بکشید.

3-قسمت AB را رسم کنید. یک پاره خط AB را عمود بر آن و از نقطه وسط آن بسازید. نقاط C و D را روی آن علامت بزنید تا ACBD چهار ضلعی نسبت به خط مستقیم AB متقارن باشد.

- ایده های اولیه ما در مورد فرم به دوران بسیار دور از عصر حجر باستان - پارینه سنگی باز می گردد. برای صدها هزار سال از این دوره، مردم در غارها، در شرایط کمی متفاوت از زندگی حیوانات زندگی می کردند. مردم ابزارهایی برای شکار و ماهیگیری می ساختند، زبانی را برای برقراری ارتباط با یکدیگر توسعه می دادند و در اواخر دوران پارینه سنگی وجود خود را با خلق آثار هنری، مجسمه ها و نقاشی هایی که حس قابل توجهی از فرم را آشکار می کند، زینت بخشیدند.
زمانی که از جمع آوری ساده غذا به تولید فعال آن، از شکار و ماهیگیری به کشاورزی گذر کرد، بشریت وارد عصر حجر جدید شد، عصر نوسنگی.
انسان عصر نوسنگی حسی عمیق از فرم هندسی داشت. آتش زدن و رنگ آمیزی ظروف سفالی، ساخت حصیر نی، سبد، پارچه، و بعداً پردازش فلز، ایده هایی را در مورد اشکال مسطح و فضایی ایجاد کرد. زیور آلات نوسنگی چشم نواز بود و برابری و تقارن را آشکار می کرد.
- تقارن در کجای طبیعت رخ می دهد؟

پاسخ پیشنهادی:بال پروانه ها، سوسک ها، برگ درختان...

– تقارن در معماری نیز قابل مشاهده است. هنگام ساخت ساختمان ها، سازندگان به شدت به تقارن پایبند هستند.

به همین دلیل است که ساختمان ها بسیار زیبا می شوند. همچنین نمونه ای از تقارن انسان و حیوان است.

مشق شب:

1. با زیور خودتان بیایید، آن را روی یک برگه A4 بکشید (می توانید آن را به شکل فرش بکشید).
2. پروانه ها را بکشید، توجه داشته باشید که در کجا عناصر تقارن وجود دارد.

زندگی مردم مملو از تقارن است. راحت، زیبا است و نیازی به ابداع استانداردهای جدید نیست. اما واقعاً چیست و آیا آن طور که معمولاً تصور می شود در طبیعت زیبا است؟

تقارن

از زمان های قدیم، مردم به دنبال سازماندهی جهان پیرامون خود بوده اند. بنابراین، برخی چیزها زیبا تلقی می شوند و برخی دیگر چندان زیاد نیستند. از نظر زیبایی شناسی، نسبت های طلایی و نقره ای جذاب و البته تقارن در نظر گرفته می شوند. این اصطلاح ریشه یونانی دارد و در لغت به معنای «تناسب» است. البته بر این اساس نه تنها از تصادف صحبت می کنیم، بلکه بر برخی موارد دیگر نیز صحبت می کنیم. در یک مفهوم کلی، تقارن ویژگی یک شی است که در نتیجه تشکیلات خاص، نتیجه برابر با داده اصلی باشد. هم در طبیعت زنده و بی جان و هم در اشیاء ساخته شده توسط انسان یافت می شود.

اول از همه، اصطلاح "تقارن" در هندسه استفاده می شود، اما در بسیاری از زمینه های علمی کاربرد دارد و معنای آن به طور کلی بدون تغییر باقی می ماند. این پدیده اغلب اتفاق می افتد و جالب تلقی می شود، زیرا چندین نوع آن و همچنین عناصر متفاوت است. استفاده از تقارن نیز جالب است، زیرا نه تنها در طبیعت، بلکه در نقش های روی پارچه، حاشیه ساختمان ها و بسیاری دیگر از اشیاء ساخته دست بشر نیز یافت می شود. ارزش آن را دارد که این پدیده را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم، زیرا بسیار جذاب است.

استفاده از این اصطلاح در سایر زمینه های علمی

در ادامه تقارن از نظر هندسه مورد توجه قرار خواهد گرفت، اما شایان ذکر است که این کلمه فقط در اینجا به کار نمی رود. زیست شناسی، ویروس شناسی، شیمی، فیزیک، کریستالوگرافی - همه اینها یک لیست ناقص از مناطقی است که در آن این پدیده از زوایای مختلف و تحت شرایط مختلف مورد مطالعه قرار می گیرد. به عنوان مثال، طبقه بندی بستگی به این دارد که این اصطلاح به چه علمی اشاره دارد. بنابراین، تقسیم بندی به انواع بسیار متفاوت است، اگرچه برخی از انواع اساسی، شاید بدون تغییر باقی بمانند.

طبقه بندی

چندین نوع اصلی تقارن وجود دارد که سه مورد از رایج ترین آنها هستند:

علاوه بر این، انواع زیر نیز در هندسه متمایز می شوند؛ آنها بسیار کمتر رایج هستند، اما کمتر جالب نیستند:

• کشویی؛
• چرخشی؛
• نقطه؛
• ترقی خواه؛
• پیچ؛
• فراکتال
• و غیره.

در زیست شناسی، همه گونه ها کمی متفاوت خوانده می شوند، اگرچه در اصل ممکن است یکسان باشند. تقسیم به گروه های معین بر اساس حضور یا عدم حضور و همچنین کمیت عناصر معین مانند مراکز، سطوح و محورهای تقارن صورت می گیرد. آنها باید جداگانه و با جزئیات بیشتر در نظر گرفته شوند.

عناصر اساسی

این پدیده دارای ویژگی های خاصی است که یکی از آنها لزوما وجود دارد. عناصر به اصطلاح اساسی شامل صفحات، مراکز و محورهای تقارن است. با توجه به وجود، نبود و کمیت آنها است که نوع آن مشخص می شود.

مرکز تقارن نقطه ای در داخل یک شکل یا کریستال است که در آن خطوطی که به صورت جفت از همه اضلاع به موازات یکدیگر به هم متصل می شوند، همگرا می شوند. البته همیشه وجود ندارد. اگر طرفهایی وجود داشته باشد که هیچ جفت موازی با آنها وجود نداشته باشد، چنین نقطه ای را نمی توان یافت، زیرا وجود ندارد. با توجه به تعریف، بدیهی است که مرکز تقارن آن چیزی است که از طریق آن می توان یک شکل را بر خود منعکس کرد. به عنوان مثال، یک دایره و یک نقطه در وسط آن خواهد بود. این عنصر معمولاً به عنوان C تعیین می شود.

صفحه تقارن، البته، خیالی است، اما دقیقاً آن است که شکل را به دو قسمت مساوی با یکدیگر تقسیم می کند. می تواند از یک یا چند طرف عبور کند، موازی با آن باشد یا آنها را تقسیم کند. برای یک شکل، چندین هواپیما می توانند همزمان وجود داشته باشند. این عناصر معمولاً به عنوان P تعیین می شوند.

اما شاید رایج ترین آن چیزی باشد که "محور تقارن" نامیده می شود. این یک پدیده رایج است که هم در هندسه و هم در طبیعت دیده می شود. و جای بررسی جداگانه دارد.

محورها

اغلب عنصری که در رابطه با آن می توان یک شکل را متقارن نامید، عنصری است

به عنوان مثال می توان به متساوی الساقین اشاره کرد و در حالت اول، یک محور عمودی از تقارن وجود خواهد داشت که در دو طرف آن وجوه مساوی وجود دارد و در حالت دوم، خطوط هر زاویه را قطع می کنند و با تمام نیمسازها، میانه ها و ارتفاعات منطبق می شوند. مثلث های معمولی این را ندارند.

به هر حال، مجموع تمام عناصر فوق در بلورشناسی و استریومتری درجه تقارن نامیده می شود. این شاخص به تعداد محورها، هواپیماها و مراکز بستگی دارد.

نمونه هایی در هندسه

به طور متعارف، ما می توانیم کل مجموعه اشیاء مورد مطالعه توسط ریاضیدانان را به اشکالی تقسیم کنیم که دارای محور تقارن هستند و آنهایی که دارای محور تقارن نیستند. همه دایره ها، بیضی ها و همچنین برخی موارد خاص به طور خودکار در دسته اول قرار می گیرند، در حالی که بقیه در گروه دوم قرار می گیرند.

همانطور که در مورد محور تقارن مثلث صحبت کردیم، این عنصر همیشه برای یک چهار ضلعی وجود ندارد. برای مربع، مستطیل، لوزی یا متوازی الاضلاع است، اما برای یک شکل نامنظم، بر این اساس، اینطور نیست. برای یک دایره، محور تقارن مجموعه خطوط مستقیمی است که از مرکز آن عبور می کنند.

علاوه بر این، توجه به فیگورهای سه بعدی از این منظر جالب است. علاوه بر همه چند ضلعی های منظم و توپ، برخی از مخروط ها و همچنین اهرام، متوازی الاضلاع و برخی دیگر، حداقل یک محور تقارن خواهند داشت. هر مورد باید جداگانه بررسی شود.

نمونه هایی در طبیعت

در زندگی به آن دوطرفه می گویند، بیشتر اتفاق می افتد
غالبا. هر شخص و بسیاری از حیوانات نمونه ای از این امر هستند. محوری شعاعی نامیده می شود و معمولاً در دنیای گیاهان بسیار کمتر یافت می شود. و با این حال وجود دارند. به عنوان مثال، ارزش این را دارد که به این فکر کنیم که یک ستاره چند محور تقارن دارد و آیا اصلاً دارای محورهای تقارن است؟ البته ما در مورد آن صحبت می کنیم موجودات دریاییو نه در مورد موضوع مطالعه منجمان. و پاسخ صحیح این خواهد بود: بستگی به تعداد پرتوهای ستاره دارد، مثلاً پنج، اگر پنج پر باشد.

علاوه بر این، تقارن شعاعی در بسیاری از گل ها مشاهده می شود: گل های مروارید، گل های ذرت، آفتابگردان و غیره. تعداد زیادی نمونه وجود دارد، آنها به معنای واقعی کلمه در همه جا هستند.

آریتمی

این اصطلاح اول از همه بیشتر به یاد پزشکی و قلب می‌افتد، اما در ابتدا معنای کمی متفاوت دارد. در این مورد، مترادف "عدم تقارن" خواهد بود، یعنی عدم وجود یا نقض نظم در یک شکل یا شکل دیگر. می توان آن را به عنوان یک تصادف یافت و گاهی اوقات می تواند به یک تکنیک فوق العاده تبدیل شود، به عنوان مثال در لباس یا معماری. به هر حال، ساختمان های متقارن زیاد هستند، اما آن معروف کمی کج شده است و اگرچه تنها نیست، اما معروف ترین نمونه است. معلوم است که این اتفاق به طور تصادفی رخ داده است، اما این جذابیت خاص خود را دارد.

علاوه بر این، بدیهی است که چهره و بدن افراد و حیوانات نیز کاملاً متقارن نیست. حتی مطالعاتی انجام شده است که نشان می‌دهد چهره‌های «صحیح» بی‌جان یا به سادگی غیرجذاب هستند. با این حال، درک تقارن و این پدیده به خودی خود شگفت انگیز است و هنوز به طور کامل مورد مطالعه قرار نگرفته است و بنابراین بسیار جالب است.

مثلثها.

§ 17. تقارن نسبتاً به راست راست.

1. ارقامی که با یکدیگر متقارن هستند.

بیایید روی یک ورق کاغذ با جوهر و با یک مداد خارج از آن - یک خط مستقیم دلخواه، شکلی بکشیم. سپس بدون اینکه اجازه دهیم جوهر خشک شود، ورق کاغذ را در امتداد این خط مستقیم خم می کنیم تا یک قسمت از ورق روی قسمت دیگر قرار گیرد. این بخش دیگر از ورق بنابراین نشانی از این شکل را ایجاد می کند.

اگر دوباره ورق کاغذ را صاف کنید، دو شکل روی آن وجود دارد که نامیده می شوند متقارننسبت به یک خط داده شده (شکل 128).

دو شکل با توجه به یک خط مستقیم متقارن نامیده می شوند اگر هنگام خم شدن صفحه رسم در امتداد این خط مستقیم، آنها هم تراز باشند.

خط مستقیمی که این ارقام نسبت به آن متقارن هستند، آنها نامیده می شود محور تقارن.

از تعریف اعداد متقارن چنین بر می آید که تمام اعداد متقارن با هم برابرند.

شما می توانید بدون استفاده از خمش صفحه، اما با کمک ساختار هندسی، ارقام متقارن را بدست آورید. اجازه دهید یک نقطه C متقارن با یک نقطه داده شده C نسبت به خط مستقیم AB لازم باشد. اجازه دهید از نقطه C یک عمود بریزیم.
CD به خط مستقیم AB و به عنوان ادامه آن قطعه DC" = DC را قرار می دهیم. اگر صفحه ترسیم را در امتداد AB خم کنیم، نقطه C با نقطه C همراستا می شود: نقاط C و C متقارن هستند (شکل 129). ).

فرض کنید اکنون باید یک قطعه C "D" بسازیم که متقارن با یک قطعه CD داده شده نسبت به خط مستقیم AB باشد. بیایید نقاط C و D را متقارن با نقاط C و D بسازیم. اگر صفحه ترسیم را در امتداد AB خم کنیم، نقاط C و D به ترتیب با نقاط C و D منطبق خواهند شد (رسم 130). CD و C "D" منطبق خواهند شد، آنها متقارن خواهند بود.

اکنون یک شکل متقارن با چند ضلعی داده شده ABCDE نسبت به محور تقارن MN بسازیم (شکل 131).

برای حل این مشکل، عمودهای A را رها می کنیم آ، که در ب، با با، دی دو E هبه محور تقارن MN. سپس بر روی امتداد این عمودها، پاره ها را رسم می کنیم
آ A" = A آ, ب B = B ب, با C" = Cs; د D"" =D دو ه E" = E ه.

چند ضلعی A"B"C"D"E" متقارن با چند ضلعی ABCDE خواهد بود. در واقع، اگر نقاشی را در امتداد یک خط مستقیم MN خم کنید، آنگاه رئوس مربوطه هر دو چند ضلعی تراز خواهند شد و بنابراین خود چند ضلعی ها هم تراز خواهند شد. ؛ این ثابت می کند که چند ضلعی های ABCDE و A" B"C"D"E" در مورد خط مستقیم MN متقارن هستند.

2. اشکال متشکل از قطعات متقارن.

اغلب یافت می شود اشکال هندسیکه با مقداری خط مستقیم به دو قسمت متقارن تقسیم می شوند. چنین ارقامی نامیده می شوند متقارن

بنابراین، برای مثال، یک زاویه یک شکل متقارن است، و نیمساز زاویه، محور تقارن آن است، زیرا هنگامی که در امتداد آن خم می شود، یک قسمت از زاویه با دیگری ترکیب می شود (شکل 132).

در یک دایره، محور تقارن قطر آن است، زیرا هنگام خم شدن در امتداد آن، یک نیم دایره با دیگری ترکیب می شود (شکل 133). اشکال در نقشه های 134، a، b دقیقاً متقارن هستند.

چهره های متقارن اغلب در طبیعت، ساخت و ساز و جواهرات یافت می شوند. تصاویر قرار داده شده در نقشه های 135 و 136 متقارن هستند.

لازم به ذکر است که تنها در برخی موارد می توان ارقام متقارن را به سادگی با حرکت در امتداد یک صفحه ترکیب کرد. برای ترکیب اشکال متقارن، به عنوان یک قاعده، لازم است یکی از آنها را با طرف مقابل بچرخانید.