01.02.2022

مکانیک نظری. استاتیک

شرایط لازم و کافی برای تعادل هر سیستم نیروها با برابری ها بیان می شود (به بند 13 مراجعه کنید). اما بردارهای R و تنها زمانی برابر هستند که نیروهای عامل طبق فرمول (49) و (50) شرایط را برآورده کنند:

بنابراین، برای تعادل یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع پیش بینی های همه نیروها بر روی هر یک از سه محور مختصات و مجموع گشتاورهای آنها نسبت به این محورها برابر با صفر باشد.

معادلات (51) به طور همزمان شرایط تعادل را بیان می کنند جامد، تحت تأثیر هر سیستم فضایی نیروها.

اگر علاوه بر نیروها، زن و شوهری نیز بر بدن که با لحظه آن مشخص شده است، عمل کند، شکل سه شرط اول (51) تغییر نمی کند (مجموع برآمدگی نیروهای زوج). در هر محوری برابر با صفر است) و سه شرط آخر به شکل زیر خواهد بود:

مورد نیروهای موازی. در حالتی که تمام نیروهای وارد بر جسم موازی یکدیگر باشند، می توانید محورهای مختصات را طوری انتخاب کنید که محور با نیروها موازی شود (شکل 96). سپس پیش بینی هر یک از نیروهای روی محور و گشتاورهای آنها نسبت به محور z برابر با صفر خواهد بود و سیستم (51) سه حالت تعادل را ایجاد می کند:

سپس برابری های باقی مانده به هویت های فرم تبدیل می شوند

در نتیجه، برای تعادل یک سیستم فضایی از نیروهای موازی، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی‌های همه نیروها بر محور موازی نیروها و مجموع گشتاورهای آنها نسبت به دو محور مختصات دیگر برابر باشد. صفر

حل مسئله. روش حل مسائل در اینجا مانند سیستم هواپیما باقی می ماند. پس از برقراری تعادل جسم (شیء) مورد نظر، لازم است تمام نیروهای خارجی وارد بر آن (هم اتصالات داده شده و هم واکنشی) را به تصویر بکشیم و شرایطی را برای تعادل این نیروها ترسیم کنیم. از معادلات به دست آمده مقادیر مورد نیاز تعیین می شود.

برای بدست آوردن بیشتر سیستم های سادهدر معادلات، توصیه می شود محورها را طوری ترسیم کنید که نیروهای مجهول بیشتری را قطع کنند یا بر آنها عمود باشند (مگر اینکه این امر محاسبات پیش بینی ها و گشتاور نیروها را به طور غیر ضروری پیچیده کند).

یک عنصر جدید در ترکیب معادلات، محاسبه گشتاور نیروها در مورد محورهای مختصات است.

در مواردی که از ترسیم کلی به سختی می توان دید که گشتاور نیروی معین نسبت به هر محوری چقدر است، توصیه می شود در یک نقشه کمکی، پرتاب جسم مورد نظر (همراه با نیرو) را بر روی یک صفحه به تصویر بکشید. عمود بر این محور.

در مواردی که هنگام محاسبه لحظه، مشکلاتی در تعیین پرتاب نیرو به صفحه مربوطه یا بازوی این برجستگی ایجاد می شود، توصیه می شود نیرو را به دو جزء متقابل عمود بر هم تجزیه کنید (که یکی از آنها موازی با مقداری مختصات است. محور)، و سپس از قضیه Varignon استفاده کنید (به وظیفه 36 مراجعه کنید). علاوه بر این، می توانید با استفاده از فرمول (47)، مانند مسئله 37، گشتاورها را به صورت تحلیلی محاسبه کنید.

مسئله 39. روی صفحه مستطیلی با اضلاع a و b بار وجود دارد. مرکز ثقل دال همراه با بار در نقطه D با مختصات قرار دارد (شکل 97). یکی از کارگران دال را در گوشه A نگه می دارد. در چه نقاط B و E دو کارگر دیگر باید دال را نگه دارند تا نیروهای اعمال شده توسط هر یک از کسانی که دال را نگه می دارند برابر باشد.

راه حل. ما تعادل یک صفحه را در نظر می گیریم که جسمی آزاد است که تحت تأثیر چهار نیروی موازی در تعادل است که در آن P نیروی گرانش است. شرایط تعادل (53) را برای این نیروها با در نظر گرفتن صفحه افقی و ترسیم محورها همانطور که در شکل نشان داده شده است ترسیم می کنیم. 97. دریافت می کنیم:

با توجه به شرایط مسئله، باید وجود داشته باشد سپس از آخرین معادله با جایگزینی این مقدار P به دو معادله اول، در نهایت خواهیم یافت

این راه حل زمانی امکان پذیر است که چه زمانی و چه زمانی باشد، زمانی که نقطه D در مرکز صفحه باشد،

مسئله 40. روی یک محور افقی که در یاتاقان های A و B قرار دارد (شکل 98)، یک قرقره به شعاع سانتی متر و یک درام به شعاع عمود بر محور شفت نصب شده است. شفت توسط یک تسمه پیچیده شده در اطراف یک قرقره به چرخش هدایت می شود. در همان زمان، باری که به یک طناب بسته شده است، که روی درام پیچیده شده است، به طور یکنواخت بلند می شود. با بی توجهی به وزن شفت، درام و قرقره، در صورتی که مشخص شود دو برابر کشش شاخه رانده است، واکنش بلبرینگ A و B و کشش شاخه محرک تسمه را تعیین کنید. داده شده: سانتی متر، سانتی متر،

راه حل. در مسئله مورد بررسی، با چرخش یکنواخت شفت، نیروهای وارد بر آن شرایط تعادل (51) را برآورده می کند (این در § 136 ثابت خواهد شد). بیایید محورهای مختصات را ترسیم کنیم (شکل 98) و نیروهای وارد بر محور را به تصویر بکشیم: کشش F طناب، مدول برابر با P، کشش تسمه و اجزای واکنش های یاتاقان.

برای جمع آوری شرایط تعادل (51) ابتدا مقادیر پیش بینی تمام نیروها بر روی محورهای مختصات و گشتاورهای آنها نسبت به این محورها را محاسبه و وارد جدول می کنیم.

اکنون شرایط تعادل را ایجاد می کنیم (51). از آنجایی که دریافت می کنیم:

از معادلات (III) و (IV) بلافاصله با در نظر گرفتن اینکه

با جایگزینی مقادیر یافت شده به معادلات باقی مانده، متوجه می شویم؛

و در نهایت

مسئله 41. یک پوشش مستطیلی با وزنه ای که با عمود زاویه ایجاد می کند، در نقطه B توسط یک یاتاقان استوانه ای بر روی محور افقی AB و در نقطه A توسط یک یاتاقان با یک توقف ثابت می شود (شکل 99). درب توسط طناب DE در حالت تعادل نگه داشته می شود و توسط طنابی که روی بلوک O با وزنه ای در انتهای آن پرتاب می شود (خط KO موازی با AB) به عقب کشیده می شود. داده شده: کشش طناب DE و واکنش های یاتاقان های A و B را تعیین کنید.

راه حل. تعادل درب را در نظر بگیرید. بیایید محورهای مختصات را ترسیم کنیم که از نقطه B شروع می شود (در این حالت، نیروی T محورها را قطع می کند، که شکل معادلات گشتاور را ساده می کند).

سپس تمام نیروهای داده شده و واکنش های واکنشی را که روی پوشش اعمال می شود به تصویر می کشیم: نیروی گرانش P اعمال شده در مرکز ثقل C پوشش، نیروی Q برابر با بزرگی Q، واکنش T طناب و واکنش بلبرینگ A و B (شکل 99؛ بردار M k در خط نقطه نشان داده شده است که به این کار مربوط نیست). برای ترسیم شرایط تعادل، یک زاویه معرفی می کنیم و محاسبه ممان برخی نیروها را در شکل کمکی توضیح داده ایم. 100، الف، ب.

در شکل 100، و نما به صورت طرح ریزی شده بر روی صفحه از انتهای مثبت محور نشان داده می شود

این رسم به محاسبه گشتاورهای نیروهای P و T نسبت به محور کمک می کند، مشاهده می شود که برآمدگی این نیروها بر روی صفحه (صفحه عمود بر) با خود نیروها و بازوی نیروی P نسبت به آن برابر است. نقطه B برابر است با؛ شانه نیروی T نسبت به این نقطه برابر است

در شکل شکل 100، b نمایی را به صورت طرح ریزی شده بر روی صفحه از انتهای مثبت محور y نشان می دهد.

این رسم (همراه با شکل 100، a) به محاسبه گشتاورهای نیروهای P و نسبت به محور y کمک می کند. نشان می دهد که پیش بینی این نیروها بر روی صفحه با خود نیروها برابر است و بازوی نیروی P نسبت به نقطه B برابر با بازوی نیروی Q نسبت به این نقطه برابر است با یا همانطور که می توان دیده شده از شکل 100، الف.

با تدوين شرايط تعادل (51) با در نظر گرفتن توضيحات انجام شده و با فرض هم زمان به دست مي آيد:

(من)

با توجه به آنچه از معادلات (I)، (IV)، (V)، (VI) می‌یابیم:

با جایگزینی این مقادیر به معادلات (II) و (III)، به دست می‌آییم:

سرانجام،

مسئله 42. مسئله 41 را برای حالتی حل کنید که درب علاوه بر این توسط یک جفت واقع در صفحه خود با یک لحظه چرخش جفت جهت خلاف جهت عقربه‌های ساعت (هنگامی که به درپوش از بالا نگاه می‌کنید) عمل می‌کند.

راه حل. علاوه بر نیروهای وارد بر درپوش (نگاه کنید به شکل 99)، ما ممان M جفت را به عنوان بردار عمود بر درپوش ترسیم می کنیم و در هر نقطه اعمال می کنیم، به عنوان مثال در نقطه A. پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات: . سپس با ترکیب شرایط تعادل (52) متوجه می‌شویم که معادلات (I) - (IV) مانند مسئله قبلی باقی می‌مانند و دو معادله آخر به شکل زیر هستند:

توجه داشته باشید که همان نتیجه را می توان بدون ایجاد معادله به شکل (52) به دست آورد، اما با نشان دادن جفت به عنوان دو نیروی جهت دار، به عنوان مثال، در امتداد خطوط AB و KO (در این حالت، مدول نیروها خواهد بود. برابر) و سپس با استفاده از شرایط تعادل معمول.

با حل معادلات (I) - (IV)، (V)، (VI)، نتایجی مشابه آنچه در مسئله 41 به دست آمده است خواهیم یافت، با این تفاوت که همه فرمول ها شامل . در نهایت می رسیم:

مسئله 43. میله افقی AB توسط یک لولا کروی شکل A به دیوار متصل می شود و توسط بادبندهای KE و CD که در شکل نشان داده شده است در موقعیتی عمود بر دیوار نگه داشته می شود. 101، الف. یک بار با وزنه از انتهای B میله معلق است. در صورتی که وزن میله نادیده گرفته شود، واکنش لولا A و کشش سیم های گای را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید تعادل میله را در نظر بگیریم. با نیروی P و واکنش‌ها بر آن اثر می‌شود. اجازه دهید محورهای مختصات را ترسیم کرده و شرایط تعادل را ترسیم کنیم (51). برای یافتن برجستگی ها و لحظه های نیرو، اجازه دهید آن را به اجزاء تجزیه کنیم. سپس، بر اساس قضیه واریگنون، از آن زمان

محاسبه گشتاور نیروها نسبت به محور توسط یک نقشه کمکی توضیح داده شده است (شکل 101، b)، که نمای بر روی یک صفحه را نشان می دهد.

روش‌هایی برای حل مسائل تعادلی با یک سیستم فضایی اختیاری نیروها در نظر گرفته شده‌اند. مثالی از حل مسئله تعادل صفحه ای که توسط میله ها در فضای سه بعدی پشتیبانی می شود آورده شده است. نشان داده شده است که چگونه می توان با انتخاب محورها هنگام ترسیم معادلات تعادل، راه حل مسئله را ساده کرد.

محتوا

روش حل مسائل تعادل با یک سیستم فضایی دلخواه نیروها

برای حل مشکل تعادل یک جسم صلب با یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، باید یک سیستم مختصات مستطیلی انتخاب کرد و نسبت به آن معادلات تعادل را ترسیم کرد.

معادلات تعادل برای یک سیستم دلخواه نیروهای توزیع شده در فضای سه بعدی دو معادله برداری است:
مجموع بردار نیروهای وارد بر جسم صفر است
(1) ;
مجموع بردار گشتاور نیروها نسبت به مبدا برابر با صفر است
(2) .

اجازه دهید Oxyz سیستم مختصاتی باشد که ما انتخاب کرده ایم. با طرح معادلات (1) و (2) روی محور این سیستم، شش معادله به دست می آید:
مجموع پیش بینی نیروها روی محور xyz برابر با صفر است
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
مجموع گشتاورهای نیروها نسبت به محورهای مختصات برابر با صفر است
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
در اینجا فرض می‌کنیم که n نیرو بر روی بدنه وارد می‌شود، از جمله نیروهای واکنش تکیه‌گاه‌ها.

اجازه دهید نیروی خودسرانه، با اجزاء، به بدن در نقطه اعمال می شود. سپس گشتاورهای این نیرو نسبت به محورهای مختصات با فرمول تعیین می شود:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

بنابراین، روش حل مسئله تعادل با یک سیستم فضایی اختیاری نیروها به شرح زیر است.

تکیه گاه ها را دور می اندازیم و با نیروهای واکنش جایگزین می کنیم. اگر تکیه گاه یک میله یا نخ باشد، نیروی واکنش در امتداد میله یا نخ هدایت می شود.
ما سیستم مختصات مستطیلی Oxyz را انتخاب می کنیم.
ما پیش بینی بردارهای نیرو را بر روی محورهای مختصات، و نقاط کاربرد آنها، پیدا می کنیم. نقطه اعمال نیرو را می توان در امتداد یک خط مستقیم که از طریق بردار نیرو کشیده شده است حرکت داد. چنین حرکتی ارزش لحظه ها را تغییر نمی دهد. بنابراین، ما راحت ترین نقاط اعمال نیرو را برای محاسبه انتخاب می کنیم.
ما سه معادله تعادل برای نیروها (1.x،y،z) می سازیم.
برای هر نیرو با استفاده از فرمول های (3.x,y,z) پیش بینی گشتاورهای نیرو روی محورهای مختصات را می یابیم.
ما سه معادله تعادل برای گشتاور نیروها (2.x,y,z) می سازیم.
اگر تعداد متغیرها از تعداد معادلات بیشتر باشد، آنگاه مسئله از نظر استاتیکی نامشخص است. با استفاده از روش های ثابت نمی توان آن را حل کرد. استفاده از روش های مقاومت مصالح ضروری است.
معادلات حاصل را حل می کنیم.

محاسبات خود را ساده کنید

در برخی موارد، اگر به جای معادله (2)، از شرط تعادل معادل استفاده کنیم، می توان محاسبات را ساده کرد.
مجموع گشتاورهای نیروهای حول یک محور دلخواه AA′ برابر با صفر است:
(4) .

یعنی می توانید چندین محور اضافی را انتخاب کنید که با محورهای مختصات منطبق نیستند. و با توجه به این محورها معادلات (4) را بنویسید.

مثالی از حل مسئله در مورد تعادل یک سیستم فضایی اختیاری نیروها

تعادل دال، در فضای سه بعدی، توسط سیستمی از میله ها حفظ می شود.

واکنش های میله هایی را که از یک صفحه افقی نازک همگن در فضای سه بعدی حمایت می کنند، بیابید. سیستم بستن میله در شکل نشان داده شده است. دال توسط: گرانش G; و نیروی P اعمال شده در نقطه A که در امتداد سمت AB قرار دارد.

داده شده:
G= 28 کیلونیوتن; P= 35 کیلو نیوتن; a = 7.5 متر; b = 6.0 متر; c = 3.5 متر.

راه حل مشکل

ابتدا این مشکل را به روشی استاندارد که برای یک سیستم فضایی اختیاری نیروها قابل استفاده است، حل خواهیم کرد. و سپس به دلیل انتخاب محورها هنگام ترسیم معادلات تعادل، راه حل ساده تری را بر اساس هندسه خاص سیستم به دست خواهیم آورد.

حل مشکل به روش استاندارد

اگرچه این روش ما را به محاسبات نسبتاً دست و پا گیر می کند، اما برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها قابل استفاده است و می تواند در محاسبات رایانه ای استفاده شود.

بیایید اتصالات را کنار بگذاریم و آنها را با نیروهای واکنش جایگزین کنیم. اتصالات در اینجا میله های 1-6 هستند. در عوض، نیروهایی را معرفی می کنیم که در امتداد میله ها قرار دارند. جهت نیروها را به صورت تصادفی انتخاب می کنیم. اگر جهت هیچ نیرویی را حدس نزنیم برای آن مقدار منفی می گیریم.

یک سیستم مختصات Oxyz با مبدا در نقطه O رسم می کنیم.

ما پیش بینی نیروها را بر روی محورهای مختصات پیدا می کنیم.

برای قدرت داریم:
.
در اینجا α 1 - زاویه بین LQ و BQ. از مثلث قائم الزاویه LQB:
متر;
;
.

نیروها و موازی با محور z هستند. اجزای آنها:
;
;
.

برای قدرت پیدا می کنیم:
.
در اینجا α 3 - زاویه بین QT و DT. از مثلث قائم الزاویه QTD:
متر;
;
.

برای قدرت:
.
در اینجا α 5 - زاویه بین LO و LA. از مثلث قائم الزاویه LOA:
متر;
;
.

این نیرو به صورت مورب بر روی یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل هدایت می شود. دارای پیش بینی های زیر در محورهای مختصات است:
.
در اینجا کسینوس جهت AQ مورب آمده است:
متر;
;
;
.

نقاط اعمال نیروها را انتخاب می کنیم. بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که می توان آنها را در امتداد خطوط کشیده شده از طریق بردارهای نیرو حرکت داد. بنابراین، به عنوان نقطه اعمال نیرو، می توانید هر نقطه از خط مستقیم TD را بگیرید. بیایید نقطه T را در نظر بگیریم، زیرا مختصات x و z برای آن برابر با صفر هستند:
.
به همین ترتیب نقاط اعمال نیروهای باقی مانده را انتخاب می کنیم.

در نتیجه، مقادیر زیر از مولفه های نیرو و نقاط اعمال آنها را به دست می آوریم:
; (نقطه B)؛
; (نقطه Q)؛
; (نقطه T)؛
; (نقطه O)؛
; (نقطه A)؛
; (نقطه A)؛
; (نقطه A)؛
; (نقطه K).

ما معادلات تعادلی را برای نیروها می سازیم. مجموع پیش بینی نیروها بر روی محورهای مختصات برابر با صفر است.

;

;

.

پیش بینی گشتاورهای نیروها بر روی محورهای مختصات را پیدا می کنیم.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

ما معادلات تعادلی را برای لحظه های نیرو می سازیم. مجموع گشتاورهای نیروها در مورد محورهای مختصات برابر با صفر است.

;

;

;

بنابراین، ما سیستم معادلات زیر را به دست آوردیم:
(P1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(P4) ;
(P5) ;
(P6) .

در این سیستم شش معادله و شش مجهول وجود دارد. سپس می توانید مقادیر عددی را در اینجا جایگزین کنید و با استفاده از یک برنامه ریاضی برای محاسبه یک سیستم معادلات خطی، راه حلی برای سیستم به دست آورید.

اما برای این مشکل می توانید بدون استفاده از بودجه راه حلی پیدا کنید فناوری رایانه.

یک راه موثر برای حل یک مشکل

ما از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که معادلات تعادل را می توان به بیش از یک روش تشکیل داد. شما می توانید به طور دلخواه سیستم مختصات و محورهایی را که گشتاورها با آنها محاسبه می شوند انتخاب کنید. گاهی به دلیل انتخاب محورها می توان معادلاتی را به دست آورد که با سادگی بیشتری حل شوند.

اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که در حالت تعادل، مجموع گشتاورهای نیروهای حول هر محوری صفر است. بیایید محور AD را در نظر بگیریم. مجموع گشتاورهای نیروهای حول این محور صفر است:
(P7) .
در مرحله بعد، توجه می کنیم که همه نیروها به جز این محور را قطع می کنند. بنابراین ممان آنها برابر با صفر است. فقط یک نیرو از محور AD عبور نمی کند. همچنین موازی با این محور نیست. بنابراین برای اینکه معادله (A7) برآورده شود، N را مجبور کنید 1 باید برابر با صفر باشد:
ن 1 = 0 .

حال بیایید محور AQ را در نظر بگیریم. مجموع گشتاورهای نیروها نسبت به آن صفر است:
(P8) .
این محور توسط تمام نیروها به جز . از آنجایی که نیرو با این محور موازی نیست، برای برآوردن رابطه (A8) لازم است که
ن 3 = 0 .

حال محور AB را در نظر می گیریم. مجموع گشتاورهای نیروها نسبت به آن صفر است:
(P9) .
از این محور همه نیروها عبور می کنند به جز , و . اما N 3 = 0 . از همین رو
.
گشتاور نیرو نسبت به محور برابر است با حاصل ضرب بازوی نیرو در بزرگی برآمدگی نیرو بر روی صفحه عمود بر محور. شانه برابر است با حداقل فاصله بین محور و خط مستقیم کشیده شده از طریق بردار نیرو. اگر پیچش در جهت مثبت رخ دهد، گشتاور مثبت است. اگر منفی است، پس منفی است. سپس
.
از اینجا
kN.

نیروهای باقیمانده را از معادلات (A1)، (A2) و (A3) خواهیم یافت. از معادله (A2):
ن 6 = 0 .
از معادلات (A1) و (A3):
kN;
kN

بنابراین برای حل مسئله به روش دوم، از معادلات تعادلی زیر استفاده کردیم:
;
;
;
;
;
.
در نتیجه، از محاسبات دست و پا گیر مرتبط با محاسبه گشتاور نیروها نسبت به محورهای مختصات اجتناب کردیم و به دست آمدیم. سیستم خطیمعادلات با یک ماتریس مورب از ضرایب، که بلافاصله حل شد.

ن 1 = 0 ; ن 2 = 14.0 کیلو نیوتن; ن 3 = 0 ; ن 4 = -2.3 کیلو نیوتن; ن 5 = 38.6 کیلونیوتن; ن 6 = 0 ;

علامت منفی نشان می دهد که نیروی N 4 در جهت مخالف آنچه در شکل نشان داده شده است.

مورد چنین موازنه ای از نیروها با دو حالت تعادل مطابقت دارد

M= Mo= 0, R* = 0.

برجسته کردن ماژول ها مو و بردار اصلی R* سیستم در نظر گرفته شده توسط فرمول تعیین می شود

Mo= (M x 2 + M y 2 + + M z 2) 1/2 ; R*= (X 2 + Y 2 + Z 2) 1/2.

آنها فقط در شرایط زیر به صفر می رسند:

M x = 0، M y = 0، M z = 0، X=0، Y=0، Z=0،

که با شش معادله اساسی تعادل نیروها که بطور دلخواه در فضا قرار گرفته اند مطابقت دارد

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

سه معادله سیستم (5-17) در سمت چپ نامیده می شوند معادلات گشتاور نیروها نسبت به محورهای مختصات، و سه مورد سمت راست معادلات پیش بینی نیروها بر روی محورها هستند.

با استفاده از این فرمول ها می توان معادله گشتاور را به صورت نمایش داد

å (y i Z i - z i Y i)=0; å(z i Х i - x i Z i)=0 ; å(x i Y i - y i X i)=0 .(5-18)

جایی که x i، y i، z i- مختصات نقاط اعمال نیروی P. Y i، Z i، X i -پیش بینی این نیرو بر روی محورهای مختصاتی که می توانند هر جهتی داشته باشند.

سیستم های دیگری از شش معادله تعادل نیروها وجود دارد که به طور دلخواه در فضا قرار دارند.

کاهش سیستم نیروها به نیروی حاصل.

اگر بردار اصلی سیستم نیرو R*برابر با صفر نیست، بلکه لحظه اصلی است مویا برابر با صفر یا عمود بر بردار اصلی است، سپس سیستم داده شده از نیروها به نیروی حاصل کاهش می یابد.

2 مورد احتمالی وجود دارد.

مورد 1.

اجازه دهید R*¹ 0; مو = 0 . در این حالت نیروها به نتیجه ای منتهی می شوند که خط عمل آن از مرکز کاهش O می گذرد و نیرو R* جایگزین یک سیستم معین از نیروها می شود، یعنی. حاصل آن است.

مورد 2.

R*¹0; ماه¹ 0 و مو ⊥ R*. (شکل 5.15).

پس از رساندن سیستم نیروها به مرکز O، نیرو به دست می آید R* ، در این مرکز اعمال می شود و برابر با بردار اصلی نیروها و یک جفت نیرو است که ممان آن م برابر با لحظه اصلی مو تمام نیروهای نسبت به مرکز کاهش، و مو ⊥ R*.

نقاط قوت این زوج را انتخاب کنیم R' و آر مدول برابر با بردار اصلی است R* ، یعنی R= R' = R *. سپس اهرم این جفت باید برابر با OK = = در نظر گرفته شود M O/آر * اجازه دهید صفحه I را از نقطه O، عمود بر ممان جفت نیرو رسم کنیم م . چند نیرو R' , آر باید در این هواپیما باشد بیایید این جفت را طوری مرتب کنیم که یکی از نیروهای جفت باشد R' در نقطه O اعمال شد و در مقابل نیرو قرار گرفت آر * . اجازه دهید در صفحه I در نقطه O عمود بر خط عمل نیرو را بازیابی کنیم آر * و در نقطه K در فاصله OK= M O/آر * از نقطه O نیروی جفت دوم را اعمال می کنیم آر .

قطعه OK را در جهتی از نقطه O قرار می دهیم که با نگاه به بردار ممان M، جفت را می بینیم که تمایل دارد صفحه خود را در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخاند. سپس قدرت R* و R' ، اعمال شده در نقطه O، متعادل خواهد شد، و نیرو آرجفت های اعمال شده در نقطه K جایگزین سیستم داده شده از نیروها خواهند شد. حاصل آن خواهد بود. خط مستقیم منطبق با خط عمل این نیرو، خط عمل نیروی حاصل است. برنج. 5.15 تفاوت بین نیروی حاصل را نشان می دهد آر و زور R* ، با آوردن نیروها به مرکز O بدست می آید.

نتیجه آر یک سیستم از نیروهای اعمال شده در نقطه K، با داشتن یک خط عمل معین، معادل یک سیستم معین از نیروها است، یعنی. جایگزین این سیستم می شود.

قدرت R* در نقطه O یک سیستم معین از نیروها را فقط در رابطه با یک جفت نیرو با یک لحظه جایگزین می کند M= Mo .

استحکام - قدرت R* می تواند در هر نقطه از بدن که نیرو به آن وارد شود اعمال شود. فقط بزرگی و جهت گشتاور اصلی به موقعیت نقطه بستگی دارد مو .

قضیه واریگنون. گشتاور نیروی حاصل حول هر نقطه برابر است با مجموع هندسی گشتاورهای نیروهای مؤلفه حول این نقطه و ممان نیروی حاصل حول هر محوری برابر است با مجموع جبری گشتاورهای نیروهای مؤلفه در اطراف این محور

یک سیستم فضایی اختیاری از نیروها، مانند یک سیستم مسطح، را می توان به یک مرکز آورد در بارهو با یک نیروی حاصل و یک زوج با یک لحظه جایگزین کنید. استدلال به گونه ای که برای تعادل این نظام قوا لازم و کافی است که در عین حال وجود داشته باشد. آر= 0 و م o = 0. اما بردارها و فقط زمانی می توانند ناپدید شوند که تمام پیش بینی های آنها روی محورهای مختصات برابر با صفر باشد، یعنی زمانی که آر x = آر y = آر z = 0 و م x = م y = م z = 0 یا زمانی که نیروهای عامل شرایط را برآورده کنند

Σ X i = 0; Σ M x(P i) = 0;

Σ Y من = 0; Σ M y(P i) = 0;

Σ Z i = 0; Σ Mz(P i) = 0.

بنابراین، برای تعادل یک سیستم فضایی نیروها، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی های تمام نیروهای سیستم بر روی هر یک از محورهای مختصات، و همچنین مجموع گشتاورهای همه نیروهای سیستم باشد. نسبت به هر یک از این محورها برابر با صفر است.

در موارد خاص یک سیستم نیروهای همگرا یا موازی، این معادلات به صورت خطی وابسته خواهند بود و تنها سه معادله از شش معادله مستقل خطی خواهند بود.

به عنوان مثال، معادلات تعادل برای یک سیستم از نیروها، موازی با محور اوز، دارای فرم:

Σ Z i = 0;

Σ M x(P i) = 0;

Σ M y(P i) = 0.

مشکلات تعادل بدن تحت تأثیر سیستم فضایی نیروها.

اصل حل مسائل در این بخش مانند سیستم هواپیمای نیروها باقی می ماند. با برقراری تعادل که کدام جسم در نظر گرفته می شود، با واکنش های خود جایگزین اتصالات تحمیل شده به بدن می شوند و با آزاد دانستن آن شرایط را برای تعادل این جسم ایجاد می کنند. از معادلات به دست آمده مقادیر مورد نیاز تعیین می شود.

برای به دست آوردن سیستم های معادلات ساده تر، توصیه می شود محورها را طوری ترسیم کنید که نیروهای مجهول بیشتری را قطع کنند یا بر آنها عمود باشند (مگر اینکه این امر محاسبات پیش بینی ها و گشتاورهای نیروهای دیگر را بی جهت پیچیده کند).

یک عنصر جدید در ترکیب معادلات، محاسبه گشتاور نیروها در مورد محورهای مختصات است.

در مواردی که هنگام محاسبه لنگر، در تعیین پرتاب نیرو بر روی صفحه مربوطه یا بازوی این برجستگی مشکلاتی ایجاد می شود، توصیه می شود نیرو را به دو جزء متقابل عمود بر هم تجزیه کنید (که یکی موازی با برخی مختصات است. محور)، و سپس از قضیه Varignon استفاده کنید.

مثال 5.قاب AB(شکل 45) توسط یک لولا در تعادل نگه داشته می شود آو میله آفتاب. در لبه قاب وزن کشی بار وجود دارد آر. اجازه دهید واکنش های لولا و نیروی موجود در میله را تعیین کنیم.

شکل 45

تعادل قاب را همراه با بار در نظر می گیریم.

ما یک نمودار محاسبه می سازیم، قاب را به عنوان یک جسم آزاد نشان می دهیم و تمام نیروهای وارد بر آن را نشان می دهیم: واکنش اتصالات و وزن بار. آر. این نیروها سیستمی از نیروها را تشکیل می دهند که به طور دلخواه در هواپیما قرار گرفته اند.

توصیه می شود معادلاتی به گونه ای ایجاد شود که هر کدام دارای یک نیروی مجهول باشند.

در مشکل ما این نکته است آ، جایی که مجهولات و ضمیمه می شوند; نقطه با، جایی که خطوط عمل نیروهای ناشناخته تلاقی می کنند. نقطه D– نقطه تلاقی خطوط عمل نیروها و. بیایید یک معادله برای طرح نیروها بر روی محور ایجاد کنیم در(در هر محور ایکسطراحی آن غیرممکن است، زیرا عمود بر خط است AC).

و قبل از تشکیل معادلات، اجازه دهید یک نکته مفید دیگر را بیان کنیم. اگر در نمودار طراحی نیرویی وجود داشته باشد که به گونه ای باشد که بازوی آن به راحتی قابل تشخیص نباشد، در هنگام تعیین لحظه، توصیه می شود ابتدا بردار این نیرو را به دو بردار با جهت گیری راحت تر تجزیه کنید. در این مسئله ما نیرو را به دو قسمت تجزیه می کنیم: و (شکل 37) به طوری که ماژول های آنها

بیایید معادلات را بسازیم:

از معادله دوم پیدا می کنیم

از سومی

و از اول

پس چگونه اتفاق افتاد اس<0, то стержень آفتابفشرده خواهد شد.

مثال 6.توزین قفسه مستطیلی آربه صورت افقی توسط دو میله نگه داشته شده است SEو سی دی، در یک نقطه به دیوار متصل می شود E. میله هایی با طول مساوی AB=2 آ,EO= آ. اجازه دهید نیروهای موجود در میله ها و واکنش حلقه ها را تعیین کنیم آو که در.

شکل 46

تعادل صفحه را در نظر بگیرید. ما یک نمودار طراحی می سازیم (شکل 46). واکنش های حلقه معمولاً با دو نیروی عمود بر محور حلقه نشان داده می شوند: .

نیروها سیستمی از نیروها را تشکیل می دهند که خودسرانه در فضا قرار گرفته اند. ما می توانیم 6 معادله ایجاد کنیم. شش نفر ناشناس هم هستند.

باید به این فکر کنید که چه معادلاتی ایجاد کنید. مطلوب است که ساده تر باشند و مجهولات کمتری داشته باشند.

بیایید معادلات زیر را بسازیم:

از رابطه (1) به دست می آید: S 1 = S 2. سپس از (4): .

از (3): Y A =Y B و طبق (5)، . این به معنای از معادله (6) است، زیرا S 1 = S 2، به دنبال Z A = Z B است. سپس مطابق (2) Z A =Z B =P/4.

از مثلثی که در آن، آن را دنبال می کند ,

بنابراین Y A =Y B =0.25P، Z A =Z B 0.25P.

برای بررسی راه حل، می توانید معادله دیگری ایجاد کنید و ببینید که آیا با مقادیر واکنش یافت شده راضی است یا خیر:

مشکل به درستی حل شد.

سوالات خودآزمایی

به چه سازه ای خرپا می گویند؟

اجزای اصلی یک مزرعه را نام ببرید.

کدام میله خرپا را صفر می نامند؟

لم هایی که نوار صفر خرپا را تعیین می کنند را بیان کنید.

ماهیت روش برش گره چیست؟

بر اساس چه ملاحظاتی، بدون محاسبات، می توان میله های خرپاهای فضایی را که در یک بار معین، نیروها برابر با صفر است، تعیین کرد؟

ماهیت روش ریتر چیست؟

رابطه بین واکنش سطح نرمال و نیروی فشار عادی چیست؟

نیروی اصطکاک چیست؟

قانون آمونتون کولن را بنویسید.

قانون اساسی اصطکاک را فرموله کنید. ضریب اصطکاک، زاویه اصطکاک چقدر است و مقدار آنها به چه چیزی بستگی دارد؟

تیر در تعادل است و بر روی یک دیوار صاف عمودی و یک کف افقی ناهموار قرار دارد. مرکز ثقل پرتو در وسط آن است. آیا می توان جهت پاسخ جنسی کلی را تعیین کرد؟

ابعاد ضریب اصطکاک لغزشی را نام ببرید.

نیروی اصطکاک لغزشی نهایی چیست؟

چه چیزی مخروط اصطکاک را مشخص می کند؟

علت پیدایش ممان اصطکاک غلتشی را نام ببرید.

ابعاد ضریب اصطکاک نورد چیست؟

نمونه هایی از وسایلی که در آنها اصطکاک چرخشی رخ می دهد، بیاورید.

تفاوت بین نیروی چسبندگی و نیروی اصطکاک چیست؟

مخروط کلاچ چیست؟

جهت های احتمالی واکنش یک سطح ناهموار چیست؟

ناحیه تعادل چیست و شرایط تعادل برای نیروهای وارده به بلوکی که بر روی دو سطح ناهموار قرار دارد چگونه است؟

لحظه نیروی در یک نقطه چقدر است؟ ابعاد این کمیت چقدر است؟

چگونه می توان مدول ممان یک نیرو را نسبت به یک نقطه محاسبه کرد؟

یک قضیه در مورد گشتاور سیستم برآیند نیروهای همگرا فرموله کنید.

لحظه نیرو حول یک محور چقدر است؟

فرمولی بنویسید که گشتاور یک نیرو به یک نقطه را با گشتاور همان نیرو حول محوری که از این نقطه می گذرد وصل می کند.

گشتاور نیروی حول محور چگونه تعیین می شود؟

چرا هنگام تعیین گشتاور نیرو حول محور، باید نیرو را به صفحه ای عمود بر محور بتاباند؟

محور چگونه باید قرار گیرد تا گشتاور نیروی معین نسبت به این محور برابر با صفر باشد؟

فرمول هایی برای محاسبه گشتاورهای نیرو در مورد محورهای مختصات ارائه دهید.

جهت بردار گشتاور نیرو نسبت به نقطه چیست؟

ممان یک نیرو نسبت به یک نقطه در یک صفحه چگونه تعیین می شود؟

چه ناحیه ای می تواند مقدار عددی گشتاور نیرو را نسبت به یک نقطه معین تعیین کند؟

آیا زمانی که نیرویی در امتداد خط عمل آن نیرو منتقل می شود، گشتاور یک نیرو در نقطه معین تغییر می کند؟

در چه حالتی گشتاور نیرو در یک نقطه معین برابر با صفر است؟

مکان هندسی نقاطی را در فضایی که گشتاورهای یک نیروی معین نسبت به آنها هستند را تعیین کنید:

الف) از نظر هندسی برابر است.

ب) مدول برابر است.

مقدار عددی و علامت لحظه نیرو نسبت به محور چگونه تعیین می شود؟

در چه شرایطی ممان نیرو حول محور برابر با صفر است؟

در کدام جهت نیروی وارد شده به یک نقطه معین، گشتاور آن نسبت به یک محور معین بیشتر است؟

چه رابطه ای بین گشتاور نیرو حول یک نقطه و گشتاور همان نیرو نسبت به محوری که از این نقطه عبور می کند وجود دارد؟

در چه شرایطی مدول گشتاور نیرو نسبت به نقطه ای برابر با ممان همان نیرو نسبت به محوری است که از این نقطه می گذرد؟

عبارات تحلیلی برای لحظه های نیرو در مورد محورهای مختصات چیست؟

ممان های اصلی یک سیستم نیروها که به طور دلخواه در فضا نسبت به یک نقطه و نسبت به محوری که از این نقطه می گذرد قرار دارند چیست؟ چه رابطه ای بین آنها وجود دارد؟

ممان اصلی سیستمی از نیروها که در یک صفحه نسبت به هر نقطه از این صفحه قرار دارند چقدر است؟

لحظه اصلی نیروهای تشکیل دهنده جفت نسبت به هر نقطه از فضا چقدر است؟

ممان اصلی یک سیستم نیرو نسبت به یک قطب معین چقدر است؟

لم انتقال نیروی موازی چگونه فرموله می شود؟

یک قضیه در مورد آوردن یک سیستم دلخواه از نیروها به بردار اصلی و ممان اصلی فرموله کنید.

فرمول‌هایی را برای محاسبه پیش‌بینی ممان اصلی بر روی محورهای مختصات بنویسید.

یک نمایش برداری از شرایط تعادل برای یک سیستم دلخواه نیرو ارائه دهید.

شرایط تعادل را برای یک سیستم دلخواه نیرو در برآمدگی روی محورهای مختصات مستطیلی بنویسید.

چند معادله تعادل اسکالر مستقل را می توان برای سیستم فضایی نیروهای موازی نوشت؟

معادلات تعادل را برای یک سیستم هواپیما دلخواه نیروها بنویسید.

در چه شرایطی سه نیروی غیر موازی به یک جسم صلب وارد تعادل می شوند؟

شرایط تعادل برای سه نیروی موازی اعمال شده به جسم صلب چیست؟

موارد احتمالی آوردن نیروهای مستقر و موازی خودسرانه در فضا چیست؟

اگر بدانیم که گشتاور اصلی این نیروها نسبت به نقاط مختلف فضا، سیستم نیروها را به چه ساده‌ترین شکل می‌توان کاهش داد:

الف) مقدار یکسانی با صفر دارد.

ب) برابر با صفر؛

ج) دارای مقادیر مختلف و عمود بر بردار اصلی است.

د) مقادیر متفاوتی دارد و عمود بر بردار اصلی نیست.

شرایط و معادلات تعادل یک سیستم فضایی نیروهای همگرا، موازی و خودسرانه چیست و چه تفاوتی با شرایط و معادلات تعادل نیروهای یکسان در یک صفحه دارند؟

چه معادلاتی و چه تعداد از آنها را می توان برای یک سیستم فضایی متعادل از نیروهای همگرا تشکیل داد؟

سیستم معادلات تعادل سیستم فضایی نیروها را بنویسید؟

شرایط هندسی و تحلیلی برای کاهش یک سیستم فضایی نیروها به نتیجه چیست؟

یک قضیه در مورد گشتاور سیستم فضایی حاصل از نیروها نسبت به یک نقطه و یک محور فرموله کنید.

معادلات خط عمل حاصل را بنویسید.

به کدام خط مستقیم در فضا، محور مرکزی سیستم نیروها گفته می شود؟

معادلات محور مرکزی سیستم نیرو را استخراج کنید؟

نشان دهید که دو نیروی عبوری را می توان به یک پیچ نیرو هدایت کرد.

چه فرمولی برای محاسبه کوچکترین گشتاور اصلی یک سیستم معین از نیروها استفاده می شود؟

فرمول های محاسبه بردار اصلی سیستم فضایی نیروهای همگرا را بنویسید؟

فرمول های محاسبه بردار اصلی سیستم فضایی نیروهای مستقر دلخواه را بنویسید؟

فرمول محاسبه ممان اصلی سیستم فضایی نیروها را بنویسید؟

وابستگی ممان اصلی سیستم نیروها در فضا به فاصله مرکز کاهش تا محور مرکزی این سیستم نیروها چقدر است؟

نسبت به کدام نقاط در فضا، گشتاورهای اصلی یک سیستم معین از نیروها دارای قدر هستند و با بردار اصلی زاویه یکسانی دارند؟

گشتاورهای اصلی سیستم نیروها نسبت به چه نقاطی در فضا از نظر هندسی با یکدیگر برابرند؟

متغیرهای سیستم نیرو چیست؟

نیروهای مشخص شده به جسم صلب با یک یا دو نقطه ثابت که در حال سکون است، چه شرایطی را برآورده می کند؟

آیا سیستم صفحه ای از نیروها در تعادل وجود خواهد داشت که مجموع جبری گشتاورهای حدود سه نقطه واقع در یک خط مستقیم برابر با صفر باشد؟

اجازه دهید برای یک سیستم هواپیمای نیروها مجموع گشتاورهای حدود دو نقطه برابر با صفر باشد. تحت چه شرایط اضافی سیستم در تعادل خواهد بود؟

شرایط لازم و کافی برای تعادل سیستم صفحه ای از نیروهای موازی را فرموله کنید.

نقطه لحظه چیست؟

چه معادلاتی (و چند معادله) برای یک سیستم هواپیمای دلخواه متوازن از نیروها می توان تشکیل داد؟

چه معادلاتی و چه تعداد از آنها را می توان برای یک سیستم فضایی متعادل از نیروهای موازی تشکیل داد؟

چه معادلات و چه تعداد از آنها را می توان برای یک سیستم فضایی دلخواه متوازن از نیروها جمع آوری کرد؟

چگونه طرحی برای حل مسائل استاتیکی در موازنه نیروها تدوین می شود؟

همانطور که در بند 4.4 توضیح داده شد، شرایط لازم و کافی برای تعادل یک سیستم فضایی نیروهای اعمال شده به یک جسم صلب را می توان به صورت سه معادله برآمدگی (4.16) و سه لحظه (4.17) نوشت:

, , . (7.14)

اگر جسم کاملاً ثابت باشد، نیروهای وارد بر آن در حالت تعادل هستند و معادلات (7.13) و (7.14) برای تعیین واکنش های حمایتی عمل می کنند. البته ممکن است مواردی وجود داشته باشد که این معادلات برای تعیین واکنش های حمایتی کافی نباشد. ما چنین سیستم هایی از نظر استاتیکی نامعین را در نظر نخواهیم گرفت.

برای یک سیستم فضایی از نیروهای موازی، معادلات تعادل به شکل (§ 4.4[‡]) است:

, , . (7.15)

حال اجازه دهید مواردی را در نظر بگیریم که بدن فقط تا حدی ثابت است، یعنی. اتصالاتی که به بدن تحمیل می شود، تعادل بدن را تضمین نمی کند. چهار مورد خاص را می توان نشان داد.

1. یک جسم جامد یک نقطه ثابت دارد. به عبارت دیگر با استفاده از یک اتصال کروی کامل به یک نقطه ثابت متصل می شود.

اجازه دهید مبدا سیستم مختصات ثابت را در این نقطه قرار دهیم. عمل اتصال در یک نقطه آبیایید آن را با یک واکنش جایگزین کنیم. از آنجایی که اندازه و جهت آن ناشناخته است، آن را به صورت سه جزء مجهول ارائه خواهیم کرد، , , که به ترتیب در امتداد محورها , , , هدایت شده اند.

معادلات تعادل (7.13) و (7.14) در این حالت به شکل زیر نوشته می شود:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) . (7.16)

سه معادله آخر شامل اجزای واکنش نیستند، زیرا خط عمل این نیرو از نقطه عبور می کند آ. در نتیجه، این معادلات روابط بین نیروهای فعال لازم برای تعادل جسم را ایجاد می کند و از سه معادله اول می توان برای تعیین اجزای واکنش استفاده کرد.

بدین ترتیب، شرط تعادل جسم صلب که دارای یک نقطه ثابت است، برابری با صفر هر یک از مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهای فعال سیستم نسبت به سه محور متقاطع در یک نقطه ثابت از بدن است. .

2. بدن دو نقطه ثابت دارد. به عنوان مثال، اگر با استفاده از لولا به دو نقطه ثابت متصل شود، این اتفاق خواهد افتاد.

اجازه دهید مبدا مختصات را در نقطه انتخاب کنیم آو محور را در امتداد خط عبور از نقاط هدایت کنید آو که در. اجازه دهید عمل پیوندها را با واکنش ها جایگزین کنیم و اجزای واکنش را در امتداد محورهای مختصات هدایت کنیم. اجازه دهید فاصله بین نقاط را مشخص کنیم آو که دراز طریق آ; سپس معادلات تعادل (7.13) و (7.14) به شکل زیر نوشته می شود:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) . (7.17)

آخرین معادله شامل نیروهای واکنش نیست و ارتباط بین نیروهای فعال لازم برای تعادل بدن را برقرار می کند. از این رو، شرط تعادل جسم صلب که دارای دو نقطه ثابت است، برابری با صفر مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهای فعال اعمال شده بر جسم نسبت به محور عبوری از نقاط ثابت است. . پنج معادله اول برای تعیین مولفه های مجهول واکنش های , , , , , استفاده می شود.

توجه داشته باشید که اجزا و نمی توان به طور جداگانه تعیین کرد. از معادله سوم، فقط مجموع + تعیین می شود و بنابراین، مشکل در رابطه با هر یک از این مجهولات برای یک جسم صلب از نظر استاتیکی نامشخص است. با این حال، اگر در نقطه که دراگر یک لولا کروی، بلکه استوانه ای (یعنی بلبرینگ) وجود نداشته باشد، که با لغزش طولی بدنه در امتداد محور چرخش تداخل نداشته باشد، مشکل از نظر استاتیکی قابل تعریف می شود.

بدنه دارای یک محور چرخش ثابت است که می تواند بدون اصطکاک در امتداد آن بلغزد.این بدان معنی است که در نقاط آو که درلولاهای استوانه ای (بلبرینگ) وجود دارد و اجزای واکنش آنها در امتداد محور چرخش برابر با صفر است. در نتیجه، معادلات تعادل به شکل زیر خواهد بود:

1) ,

2) ,

4) ,

5) ,

6) . (7.18)

دو مورد از معادلات (7.18)، یعنی سوم و ششم، محدودیت هایی را بر سیستم نیروهای فعال اعمال می کنند و معادلات باقی مانده برای تعیین واکنش ها هستند.

بدن در سه نقطه روی یک سطح صاف قرار دارد و نقاط تکیه گاه روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند. اجازه دهید این نقاط را با علامت گذاری کنیم آ, که درو باو سازگار با هواپیما ABCهواپیمای مختصات آهو. با جایگزینی عمل اتصالات با واکنش های عمودی، شرایط تعادل (7.14) را به شکل زیر می نویسیم:

3) ,

4) ,

5) ,

6) . (7.19)

معادلات سوم - پنجم می تواند برای تعیین واکنش های مجهول استفاده شود و معادلات اول، دوم و ششم بیانگر شرایط اتصال نیروهای فعال و ضروری برای تعادل بدن است. البته برای حفظ تعادل بدن باید شرایط زیر رعایت شود: از آنجایی که در نقاط پشتیبانی تنها واکنش هایی در جهت پذیرفته شده در بالا می تواند رخ دهد.

اگر جسم در بیش از سه نقطه روی یک صفحه افقی قرار گیرد، مشکل از نظر استاتیکی غیرقابل تعیین می شود، زیرا در این حالت به تعداد نقاط واکنش وجود خواهد داشت و تنها سه معادله برای تعیین واکنش ها باقی می ماند.

مشکل 7.3.بردار اصلی و ممان اصلی سیستم نیروها را که در شکل نشان داده شده است بیابید. نیروها به رئوس مکعب اعمال می شود و در امتداد لبه های آن هدایت می شوند و , . طول لبه مکعب است آ.