ممان اینرسی در حین انتقال موازی محورها. تغییر گشتاورهای اینرسی در حین ترجمه موازی محورهای مختصات فرمول های تبدیل محورها

محورهایی که از مرکز ثقل یک شکل صفحه عبور می کنند، محورهای مرکزی نامیده می شوند.
ممان اینرسی حول محور مرکزی را ممان اینرسی مرکزی می گویند.

قضیه

ممان اینرسی در مورد هر محوری برابر است با مجموع گشتاور اینرسی در مورد محور مرکزی به موازات محور داده شده و حاصل ضرب مساحت شکل و مربع فاصله بین محورها.

برای اثبات این قضیه، یک شکل صفحه دلخواه را در نظر بگیرید که مساحت آن برابر است آ ، مرکز ثقل در نقطه قرار دارد با ، و گشتاور مرکزی اینرسی حول محور ایکس اراده من x .
بیایید ممان اینرسی شکل را نسبت به یک محور مشخص محاسبه کنیم x 1 ، موازی با محور مرکزی و با فاصله از آن فاصله دارد آ (برنج).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

با تجزیه و تحلیل فرمول به دست آمده، متذکر می شویم که عبارت اول، گشتاور محوری اینرسی نسبت به محور مرکزی است، جمله دوم، گشتاور ساکن مساحت این شکل نسبت به محور مرکزی است (از این رو، برابر است با صفر)، و جمله سوم پس از ادغام را می توان به عنوان یک محصول نشان داد a 2 A ، یعنی در نتیجه فرمول را دریافت می کنیم:

I x1 = I x + a 2 A- قضیه ثابت شده است.

بر اساس قضیه می توان نتیجه گرفت که از یک سری از محورهای موازی، گشتاور محوری اینرسی یک شکل صاف نسبت به محور مرکزی کوچکترین خواهد بود. .

محورهای اصلی و گشتاورهای اصلی اینرسی

اجازه دهید شکل مسطحی را تصور کنیم که گشتاورهای اینرسی آن نسبت به محورهای مختصات من x و من y ، و گشتاور قطبی اینرسی نسبت به مبدا برابر است با من ρ . همانطور که قبلا مشخص شد،

I x + I y = I ρ.

اگر محورهای مختصات در صفحه خود حول مبدا مختصات بچرخند، گشتاور قطبی اینرسی بدون تغییر باقی می‌ماند و گشتاورهای محوری تغییر می‌کنند، در حالی که مجموع آنها ثابت می‌ماند. از آنجایی که مجموع متغیرها ثابت است، یکی از آنها کاهش و دیگری افزایش می یابد و بالعکس.
در نتیجه، در یک موقعیت مشخص از محورها، یکی از گشتاورهای محوری به حداکثر مقدار و دیگری به حداقل می رسد.

محورهایی که گشتاورهای اینرسی در مورد آنها دارای حداقل و حداکثر مقدار، محورهای اصلی اینرسی نامیده می شوند.
ممان اینرسی حول محور اصلی را ممان اینرسی اصلی می گویند.

اگر محور اصلی از مرکز ثقل یک شکل عبور کند، آن را محور مرکزی اصلی و ممان اینرسی حول چنین محوری را گشتاور مرکزی اصلی اینرسی می نامند.
می‌توان نتیجه گرفت که اگر شکلی با هر محوری متقارن باشد، این محور همیشه یکی از محورهای مرکزی اصلی اینرسی این شکل خواهد بود.

ممان اینرسی گریز از مرکز

ممان گریز از مرکز اینرسی یک شکل مسطح مجموع حاصل از نواحی ابتدایی گرفته شده در کل منطقه و فاصله تا دو محور متقابل عمود بر یکدیگر است:

I xy = Σ xy dA,

جایی که ایکس , y - فواصل از سایت dA به محورها ایکس و y .
ممان گریز از مرکز اینرسی می تواند مثبت، منفی یا صفر باشد.

ممان گریز از مرکز اینرسی در فرمول های تعیین موقعیت محورهای اصلی مقاطع نامتقارن گنجانده شده است.
جداول پروفایل استاندارد حاوی یک مشخصه به نام شعاع چرخش بخش ، با فرمول های زیر محاسبه می شود:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (از این پس علامت"√"- علامت ریشه)

جایی که من x، من y - گشتاورهای محوری اینرسی بخش نسبت به محورهای مرکزی. آ - سطح مقطع
این مشخصه هندسی در مطالعه کشش یا فشار خارج از مرکز و همچنین خمش طولی استفاده می شود.

تغییر شکل پیچشی

مفاهیم اولیه در مورد پیچش پیچ خوردگی تیر گرد.

پیچ خوردگی نوعی تغییر شکل است که در آن تنها یک گشتاور در هر مقطع تیر اتفاق می افتد، یعنی ضریب نیرویی که باعث حرکت دایره ای مقطع نسبت به محور عمود بر این مقطع می شود یا از چنین حرکتی جلوگیری می کند. به عبارت دیگر، اگر یک جفت نیرو به یک تیر مستقیم در صفحات عمود بر محور آن وارد شود، تغییر شکل های پیچشی رخ می دهد.
ممان های این جفت نیروها را چرخش یا چرخش می گویند. گشتاور با نشان داده می شود تی .
این تعریف به طور معمول عوامل نیروی تغییر شکل پیچشی را به عوامل خارجی (پیچشی، گشتاور) تقسیم می کند. تی ) و داخلی (گشتاور M cr ).

در ماشین‌ها و مکانیزم‌ها، محورهای گرد یا لوله‌ای اغلب در معرض پیچش قرار می‌گیرند، بنابراین محاسبات استحکام و استحکام اغلب برای چنین واحدها و قطعاتی انجام می‌شود.

پیچش یک محور استوانه ای مدور را در نظر بگیرید.
شافت استوانه ای لاستیکی را تصور کنید که در آن یکی از انتهای آن به طور محکم ثابت شده است و روی سطح آن شبکه ای از خطوط طولی و دایره های عرضی وجود دارد. چند نیرو به انتهای آزاد شفت، عمود بر محور این شفت وارد می کنیم، یعنی آن را در امتداد محور می پیچیم. اگر خطوط شبکه روی سطح شفت را به دقت بررسی کنید، متوجه خواهید شد که:
- محور شفت که محور پیچشی نامیده می شود مستقیم باقی می ماند.
- قطر دایره ها ثابت می ماند و فاصله بین دایره های مجاور تغییر نمی کند.
- خطوط طولی روی شفت به خطوط مارپیچ تبدیل می شوند.

از اینجا می توان نتیجه گرفت که وقتی یک تیر استوانه ای گرد (شفت) پیچ خورده است، فرضیه مقاطع مسطح معتبر است و همچنین می توان فرض کرد که شعاع دایره ها در هنگام تغییر شکل مستقیم می مانند (از آنجایی که قطر آنها تغییر نکرده است). و از آنجایی که نیروهای طولی در مقاطع شفت وجود ندارد، فاصله بین آنها حفظ می شود.

در نتیجه، تغییر شکل پیچشی یک شفت گرد شامل چرخش مقاطع عرضی نسبت به یکدیگر حول محور پیچشی است و زوایای چرخش آنها مستقیماً با فواصل از بخش ثابت متناسب است - هر مقطعی از انتهای ثابت دورتر باشد. از شفت، زاویه بیشتر نسبت به محور شافتی که می‌پیچد.
برای هر بخش از شفت، زاویه چرخش برابر است با زاویه پیچش قسمتی از شفت محصور بین این بخش و مهر و موم (انتهای ثابت).


گوشه ( برنج. 1) چرخش انتهای آزاد محور (بخش انتهایی) را زاویه کامل پیچش تیر استوانه ای (شفت) می گویند.
زاویه پیچ نسبی φ 0 نسبت زاویه پیچش نامیده می شود φ 1 به فاصله l 1 از یک بخش داده شده به جاسازی (بخش ثابت).
اگر تیر استوانه ای (شفت) بلند باشد ل دارای مقطع ثابت است و با یک گشتاور پیچشی در انتهای آزاد بارگذاری می شود (یعنی از یک مقطع هندسی همگن تشکیل شده است)، سپس عبارت زیر درست است:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = ثابت - مقدار ثابت است.

اگر در نظر بگیریم لایه ی نازکروی سطح میله استوانه ای لاستیکی فوق ( برنج. 1، توسط یک سلول شبکه محدود شده است cdef ، سپس توجه می کنیم که این سلول در هنگام تغییر شکل تاب می یابد و طرف آن که از قسمت ثابت فاصله دارد، به سمت پیچش پرتو تغییر می کند و موقعیت را اشغال می کند. cde 1 f 1 .

لازم به ذکر است که تصویر مشابهی در هنگام تغییر شکل برشی مشاهده می شود، فقط در این حالت سطح به دلیل حرکت انتقالی مقاطع نسبت به یکدیگر تغییر شکل می دهد و نه به دلیل حرکت چرخشی مانند تغییر شکل پیچشی. بر این اساس می‌توان نتیجه گرفت که در حین پیچش در مقاطع عرضی، تنها نیروهای داخلی مماسی (تنش‌ها) بوجود می‌آیند که گشتاور را تشکیل می‌دهند.

بنابراین، گشتاور، گشتاور حاصل نسبت به محور پرتو نیروهای مماسی داخلی است که در مقطع عمل می‌کنند.

اگر محورها مرکزی باشند، محورهای لحظه ای به شکل زیر خواهند بود:

15.وابستگی بین ممان اینرسی هنگام چرخش محورها:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

اگر انتقال از سیستم مختصات قدیمی به سیستم جدید در خلاف جهت عقربه‌های ساعت اتفاق بیفتد، زاویه a>0. J y 1 + J x 1 = J y + J x

مقادیر شدید (حداکثر و حداقل) گشتاورهای اینرسی نامیده می شود لحظات اصلی اینرسی. محورهایی که گشتاورهای اینرسی محوری در مورد آنها دارای مقادیر شدید هستند نامیده می شوند محورهای اصلی اینرسی. محورهای اصلی اینرسی بر یکدیگر عمود هستند. گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی در مورد محورهای اصلی = 0، یعنی. محورهای اصلی اینرسی - محورهایی که لنگر گریز از مرکز اینرسی = 0 در مورد آنها. زاویه تعیین کننده موقعیت محورهای اصلی: ، اگر 0 > 0 Þ محورها در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخند. محور ماکزیمم همیشه با محورهایی که ممان اینرسی مقدار بیشتری نسبت به آنها دارد، زاویه کمتری ایجاد می کند. محورهای اصلی که از مرکز ثقل عبور می کنند نامیده می شوند محورهای مرکزی اصلی اینرسی. لحظات اینرسی در مورد این محورها:

J max + J min = J x + J y . ممان گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورهای مرکزی اصلی اینرسی برابر با 0 است. اگر ممان اینرسی اصلی مشخص باشد، فرمول های انتقال به محورهای چرخانده شده عبارتند از:

J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

هدف نهایی از محاسبه مشخصات هندسی مقطع، تعیین ممان های مرکزی اصلی اینرسی و موقعیت محورهای اصلی اینرسی مرکزی است. شعاع اینرسی - ; J x =F×i x 2، J y =F×i y 2.

اگر J x و J y ممان های اصلی اینرسی باشند، آنگاه i x و i y - شعاع اینرسی اصلی. بیضی ساخته شده بر روی شعاع اصلی اینرسی مانند روی نیم محورها نامیده می شود بیضی اینرسی. با استفاده از بیضی اینرسی، می توانید به صورت گرافیکی شعاع اینرسی i x 1 را برای هر محور x 1 بیابید. برای این کار باید یک مماس بر بیضی موازی با محور x1 رسم کنید و فاصله این محور تا مماس را اندازه بگیرید. با دانستن شعاع اینرسی، می توانید ممان اینرسی مقطع را نسبت به محور x 1 پیدا کنید: . برای مقاطع با بیش از دو محور تقارن (به عنوان مثال: دایره، مربع، حلقه و غیره)، گشتاورهای محوری اینرسی در مورد تمام محورهای مرکزی برابر است، J xy = 0، بیضی اینرسی به دایره اینرسی تبدیل می شود. .

داده شده: گشتاورهای اینرسی شکل نسبت به محورهای z، y. فاصله بین این محورها و محورهای موازی z 1, y 1 – a, b.

تعیین کنید: گشتاورهای اینرسی را در مورد محورهای z 1، y 1 (شکل 4.7).

مختصات هر نقطه در سیستم جدید z 1 Oy 1 را می توان بر حسب مختصات در سیستم قدیمی به صورت زیر بیان کرد:

z 1 = z + b، y 1 = y + a.

ما این مقادیر را در فرمول های (4.6) و (4.8) جایگزین می کنیم و ترم به ترم ادغام می کنیم:

مطابق با فرمول های (4.1) و (4.6)، به دست می آوریم

,

, (4.13)

اگر داده های اولیه محور zCy مرکزی باشد، گشتاورهای ساکن S z و

S y برابر با صفر و فرمول (4.13) ساده شده است:

,

, (4.14)

.

مثال: گشتاور محوری اینرسی مستطیل را نسبت به محور z 1 که از پایه می گذرد تعیین کنید (شکل 4.6، a). طبق فرمول (4.14)

4.4. وابستگی بین گشتاورهای اینرسی هنگام چرخش محورها

داده شده: گشتاورهای اینرسی یک شکل دلخواه نسبت به محورهای مختصات z, y. زاویه چرخش این محورها α (شکل 4.8). زاویه چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت را مثبت در نظر می گیریم.

تعیین: گشتاورهای اینرسی شکل نسبت به z 1, y 1.

مختصات یک ناحیه ابتدایی دلخواه dF در محورهای جدید از طریق مختصات سیستم قبلی محورها به صورت زیر بیان می شود:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α،

y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

بیایید این مقادیر را با (4.6) و (4.8) جایگزین کنیم و ترم به ترم ادغام کنیم:

,

,

با در نظر گرفتن فرمول های (4.6) و (4.8)، در نهایت می یابیم:

. (4.16)

با اضافه کردن فرمول های (4.15)، دریافت می کنیم: (4.17)

بدین ترتیب، هنگامی که محورها می چرخند، مجموع گشتاورهای محوری اینرسی ثابت می ماند. در این صورت هر کدام مطابق با فرمول های (4.15) تغییر می کنند. واضح است که در برخی از موقعیت ها از محورها، ممان اینرسی دارای مقادیر شدید خواهد بود: یکی از آنها بزرگترین و دیگری کوچکترین خواهد بود.

4.5. محورهای اصلی و گشتاورهای اصلی اینرسی

محورهای مرکزی اصلی، ممان اینرسی گریز از مرکز که در مورد آن صفر است، بیشترین اهمیت عملی را دارند. چنین محورهایی را با حروف u، υ نشان خواهیم داد. در نتیجه، Juυ = 0. سیستم مختصات دلخواه اولیه z, y باید با چنان زاویه α 0 بچرخد که گشتاور گریز از مرکز اینرسی برابر با صفر شود. با معادل سازی (4.16) به صفر می رسیم

. (4.18)

به نظر می رسد که تئوری گشتاورهای اینرسی و تئوری حالت تنش صفحه توسط یک دستگاه ریاضی توصیف می شوند، زیرا فرمول های (4.15) - (4.18) با فرمول های (3.10)، (3.11) و (3.18) یکسان هستند. فقط به جای تنش های نرمال σ گشتاورهای محوری اینرسی Jz و J y و به جای تنش های مماسی τ zy - گشتاور گریز از مرکز اینرسی J zy ثبت می شود. بنابراین، ما فرمول‌های گشتاور محوری اصلی اینرسی را بدون مشتق، با قیاس با فرمول (3.18) ارائه می‌کنیم:

.(4.19)

دو مقدار زاویه α 0 به دست آمده از (4.18) 90 0 با یکدیگر تفاوت دارند، کوچکتر از این زاویه در مقدار مطلق از 45 0 تجاوز نمی کند.

شعاع اینرسی و ممان مقاومت

ممان اینرسی یک شکل نسبت به هر محوری را می توان به صورت حاصل ضرب مساحت شکل با مربع کمیت معین نشان داد که به نام شعاع چرخش:

, (4.20)

جایی که i z شعاع چرخش نسبت به محور z است.

از عبارت (4.20) چنین بر می آید که

,
. (4.21)

محورهای مرکزی اصلی اینرسی با شعاع اصلی اینرسی مطابقت دارد

,
. (4.22)

با دانستن شعاع های اصلی اینرسی، می توانید به صورت گرافیکی شعاع اینرسی (و در نتیجه، ممان اینرسی) را نسبت به یک محور دلخواه پیدا کنید.

بیایید یکی دیگر از ویژگی های هندسی را در نظر بگیریم که قدرت میله را در هنگام پیچش و خمش مشخص می کند - لحظه مقاومت. ممان مقاومت برابر است با ممان اینرسی تقسیم بر فاصله از محور (یا از قطب) تا دورترین نقطه مقطع. بعد ممان مقاومت یک واحد طول مکعب (سانتی متر 3) است.

برای یک مستطیل (شکل 4.6، a)
,
بنابراین گشتاورهای محوری مقاومت

,
. (4.23)

برای یک دایره
(شکل 4.6، ب)،
بنابراین لحظه قطبی مقاومت

. (4.24)

برای یک دایره
,
بنابراین ممان محوری مقاومت

. (4.25)

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی O xy را معرفی کنیم. اجازه دهید یک بخش دلخواه را در صفحه مختصات در نظر بگیریم ( منطقه بسته) با مساحت A (شکل 1).

لحظات ایستا

نقطه C با مختصات (x C , y C)

تماس گرفت مرکز ثقل بخش.

اگر محورهای مختصات از مرکز ثقل مقطع عبور کنند، گشتاورهای ساکن مقطع برابر با صفر هستند:

گشتاورهای محوری اینرسیبخش های مربوط به محورهای x و y را انتگرال های شکل می گویند:

گشتاور قطبی اینرسیبخش با توجه به مبدا مختصات انتگرال فرم نامیده می شود:

ممان اینرسی گریز از مرکزبخش انتگرال فرم نامیده می شود:

محورهای اصلی اینرسی مقطعدو محور متقابل عمود بر هم نامیده می شوند که نسبت به آنها I xy = 0 است. اگر یکی از محورهای عمود بر هم، محور تقارن مقطع باشد، آنگاه I xy = 0 و بنابراین، این محورها محورهای اصلی هستند. محورهای اصلی که از مرکز ثقل مقطع عبور می کنند نامیده می شوند محورهای مرکزی اصلی اینرسی مقطع

2. قضیه اشتاینر-هویگنز در مورد ترجمه موازی محورها

قضیه اشتاینر-هویگنز (قضیه اشتاینر).
گشتاور محوری اینرسی مقطع I نسبت به یک محور ثابت دلخواه x برابر است با مجموع گشتاور محوری اینرسی این مقطع I با محور نسبی x * موازی با آن که از مرکز جرم مقطع می گذرد. و حاصل ضرب سطح مقطع A با مجذور فاصله d بین دو محور.

اگر گشتاورهای اینرسی Ix و I y نسبت به محورهای x و y مشخص باشند، نسبت به محورهای ν و u که با زاویه α می چرخند، گشتاورهای اینرسی محوری و گریز از مرکز با استفاده از فرمول ها محاسبه می شوند:

از فرمول های بالا مشخص است که

آن ها مجموع گشتاورهای محوری اینرسی هنگام چرخش محورهای متقابل عمود بر هم تغییر نمی کند، یعنی محورهای u و v که نسبت به آنها گشتاور گریز از مرکز اینرسی صفر است، و گشتاورهای محوری اینرسی I u و I v دارای شدید هستند. مقادیر max یا min را محورهای اصلی بخش می نامند. محورهای اصلی که از مرکز ثقل مقطع عبور می کنند نامیده می شوند محورهای مرکزی اصلی بخش. برای مقاطع متقارن، محورهای تقارن آنها همیشه محورهای مرکزی اصلی هستند. موقعیت محورهای اصلی بخش نسبت به سایر محورها با استفاده از رابطه تعیین می شود:

که در آن α 0 زاویه ای است که محورهای x و y باید بچرخانند تا محورهای اصلی شوند (زاویه مثبت معمولاً در خلاف جهت عقربه های ساعت تنظیم می شود و یک زاویه منفی در جهت عقربه های ساعت تنظیم می شود). گشتاورهای اینرسی محوری در مورد محورهای اصلی نامیده می شوند لحظات اصلی اینرسی:

علامت مثبت جلوی جمله دوم به حداکثر ممان اینرسی و علامت منفی به حداقل اشاره دارد.

تغییر در ممان اینرسی میله در انتقال موازیتبرها

علاوه بر ممان ثابت، سه انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

در جایی که مانند قبل، x و y مختصات فعلی ناحیه ابتدایی dF را در یک سیستم مختصات دلخواه xOy نشان می‌دهند. 2 انتگرال اول نامیده می شوند گشتاورهای اینرسی محوری مقطعنسبت به محور x و y به ترتیب. انتگرال سوم نامیده می شود ممان گریز از مرکز اینرسی مقطعنسبت به x، y. لحظات محوری همیشه مثبت هستند، زیرا مساحت dF مثبت در نظر گرفته می شود. ممان گریز از مرکز اینرسی می تواند مثبت یا منفی باشد، بسته به محل مقطع نسبت به محورهای x، y.

اجازه دهید فرمول هایی را برای تبدیل گشتاورهای اینرسی در حین ترجمه موازی محورها استخراج کنیم. (تصویر را ببینید). فرض می کنیم که گشتاورهای اینرسی و گشتاورهای ایستا در مورد محورهای x 1 و y 1 به ما داده شده است. تعیین گشتاورهای مربوط به محورهای x2 و y2 الزامی است.

جایگزینی در اینجا x 2 =x 1 -a و y 2 =y 1 -b پیدا می کنیم

باز کردن پرانتزها، داریم.

اگر محورهای x 1 و y 1 مرکزی باشند، S x 1 = S y 1 = 0 و عبارات حاصل ساده می شوند:

هنگامی که محورها به صورت موازی منتقل می شوند (اگر یکی از محورها مرکزی باشد)، گشتاورهای محوری اینرسی به اندازه حاصلضرب سطح مقطع و مجذور فاصله بین محورها تغییر می کند.