درون یابی, درون یابی (از جانبلات بین پلیس - « هموار، تجدید، تجدید; تبدیل شده است") - در ریاضیات محاسباتی، روشی برای یافتن مقادیر میانی یک کمیت از یک مجموعه گسسته موجود ارزش های شناخته شده. اصطلاح درون یابی برای اولین بار توسط جان والیس در رساله "حساب بینهایت" (1656) استفاده شد.

در تحلیل تابعی، درون یابی عملگرهای خطی بخشی است که با فضاهای باناخ به عنوان عناصری از یک دسته برخورد می کند.

بسیاری از کسانی که با محاسبات علمی و مهندسی سر و کار دارند، اغلب باید با مجموعه ای از مقادیر به دست آمده به صورت تجربی یا نمونه گیری تصادفی عمل کنند. به عنوان یک قاعده، بر اساس این مجموعه ها، لازم است تابعی ساخته شود که سایر مقادیر به دست آمده با دقت بالایی در آن قرار گیرند. این مشکل تقریب نامیده می شود. درون یابی نوعی تقریب است که در آن منحنی تابع ساخته شده دقیقاً از نقاط داده موجود عبور می کند.

همچنین یک کار نزدیک به درون یابی وجود دارد که شامل تقریب یک تابع پیچیده توسط تابع ساده تر دیگر است. اگر یک تابع خاص برای محاسبات مولد خیلی پیچیده است، می توانید سعی کنید مقدار آن را در چندین نقطه محاسبه کنید و از آنها یک تابع ساده تر بسازید، یعنی درون یابی کنید. البته، استفاده از یک تابع ساده شده نتایجی به اندازه عملکرد اصلی ایجاد نمی کند. اما در برخی از کلاس‌های مسائل، سود به‌دست‌آمده در سادگی و سرعت محاسبات می‌تواند بر خطای حاصل در نتایج غلبه کند.

همچنین شایان ذکر است که نوع کاملاً متفاوتی از درون یابی ریاضی است که به درون یابی عملگر معروف است. آثار کلاسیک در درون یابی عملگرها شامل قضیه Riesz-Thorin و قضیه Marcinkiewicz است که مبنای بسیاری از کارهای دیگر است.

تعاریف

سیستمی از نقاط غیر منطبق را در نظر بگیرید x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) از ناحیه D ( \displaystyle D) . اجازه دهید مقادیر تابع f (\displaystyle f) فقط در این نقاط شناخته شود:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i))،\quad i=1،\ldots،N.)

مشکل درونیابی یافتن یک تابع F (\displaystyle F) از یک کلاس معین از توابع است به طوری که

F (x i) = y i، i = 1، …، N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i)،\quad i=1،\ldots،N.)

• نقاط x i (\displaystyle x_(i)) فراخوانی می شوند گره های درون یابی، و کلیت آنها است شبکه درون یابی.
• جفت های (x i, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) نامیده می شوند نقاط دادهیا نقاط پایه.
• تفاوت بین مقادیر "همسایه" Δ x i = x i - x i - 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - مرحله شبکه درونیابی. می تواند متغیر یا ثابت باشد.
• تابع F (x) (\displaystyle F(x)) - تابع درون یابییا درون یابی.

مثال

1. اجازه دهید یک تابع جدول داشته باشیم، مانند آنچه در زیر توضیح داده شده است، که برای چندین مقدار x (\displaystyle x) مقادیر مربوط به f (\displaystyle f) را تعیین می کند:

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

درون یابی به ما کمک می کند تا بدانیم چنین تابعی در نقطه ای غیر از نقاط مشخص شده چه مقداری ممکن است داشته باشد (مثلاً وقتی ایکس = 2,5).

تا به امروز، بسیاری از روش های درونیابی مختلف وجود دارد. انتخاب مناسب ترین الگوریتم به پاسخ به سؤالات بستگی دارد: روش انتخاب شده چقدر دقیق است، هزینه استفاده از آن چقدر است، تابع درون یابی چقدر صاف است، به چند نقطه داده نیاز دارد و غیره.

2. مقدار میانی را (با درونیابی خطی) بیابید.

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+ (\frac ((6378-6000))(8000-6000) (8000-1-0) 15.5) (1)) = 16.1993)

در زبان های برنامه نویسی

مثالی از درونیابی خطی برای تابع y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)). کاربر می تواند یک عدد از 1 تا 10 را وارد کند.

فرترن

C++

روش های درون یابی

نزدیکترین همسایه الحاق

ساده ترین روش درونیابی، روش درونیابی نزدیکترین همسایه است.

درونیابی توسط چندجمله ای ها

در عمل، درون یابی توسط چند جمله ای ها بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. این در درجه اول به این دلیل است که چند جمله ای ها به راحتی قابل محاسبه هستند، مشتقات آنها به راحتی قابل تحلیل هستند و مجموعه چند جمله ای ها در فضای توابع پیوسته متراکم هستند (قضیه وایرشتراس).

• درون یابی خطی
• فرمول درون یابینیوتن
• روش تفاضل محدود
• IMN-1 و IMN-2
• چند جمله ای لاگرانژ (چند جمله ای درون یابی)
• طرح آیتکن
• عملکرد اسپلاین
• اسپلاین مکعبی

درونیابی معکوس (محاسبه x داده شده y)

• چند جمله ای لاگرانژ
• درونیابی معکوس با استفاده از فرمول نیوتن
• درونیابی معکوس با استفاده از فرمول گاوس

درون یابی تابعی از چندین متغیر

• درون یابی دو خطی
• درون یابی دو مکعبی

سایر روش های درونیابی

• درون یابی منطقی
• درونیابی مثلثاتی

مفاهیم مرتبط

• برون یابی - روش هایی برای یافتن نقاط خارج فاصله مشخص شده(بسط منحنی)
• تقریب - روش هایی برای ساخت منحنی های تقریبی

درونیابی معکوس

بر روی کلاس توابع از فضای C2 که نمودارهای آن از نقاط آرایه عبور می کند (xi, yi), i = 0, 1, . . . ، م.

راه حل. در بین تمام توابعی که از نقاط مرجع (xi, f(xi)) می گذرد و متعلق به فضای مذکور است، اسپلاین مکعبی S(x) است که شرایط مرزی را برآورده می کند S00(a) = S00(b) = 0. ، که حداکثر (حداقل) عملکردی (f) را فراهم می کند.

اغلب در عمل مشکل جستجوی مقدار یک آرگومان با استفاده از مقدار معین یک تابع است. این مشکل با روش های درون یابی معکوس حل می شود. اگر عملکرد داده شدهیکنواخت است، سپس درونیابی معکوس با جایگزین کردن تابع با یک آرگومان و بالعکس و سپس درونیابی به آسانی انجام می شود. اگر تابع داده شده یکنواخت نباشد، نمی توان از این تکنیک استفاده کرد. سپس، بدون تغییر نقش های تابع و آرگومان، یک یا آن فرمول درون یابی را می نویسیم. با استفاده از مقادیر شناخته شده آرگومان و با فرض مشخص بودن تابع، معادله حاصل را با توجه به آرگومان حل می کنیم.

ارزیابی عبارت باقیمانده هنگام استفاده از تکنیک اول مانند درون یابی مستقیم خواهد بود، فقط مشتقات تابع مستقیم باید با مشتقات تابع معکوس جایگزین شوند. بیایید خطای روش دوم را تخمین بزنیم. اگر تابع f(x) به ما داده شود و Ln (x) یک چند جمله ای درونیابی لاگرانژ است که برای این تابع از گره های x0، x1، x2، ساخته شده است. . . ، xn، سپس

f (x) - Ln (x) =(n + 1)! (x− x0). . . (x− xn).

فرض کنید باید مقدار x¯ را پیدا کنیم که برای آن f (¯x) = y¯ (y¯ داده شده است). معادله Ln (x) = y¯ را حل خواهیم کرد. بیایید مقدار x¯ را بدست آوریم. با جایگزینی معادله قبلی به دست می آوریم:

از آخرین عبارت چنین می شود:

|x¯ − x¯| 6m1 (n+1)! |$n(x¯)| .

البته در این حالت فرض بر این است که معادله Ln (x) = y¯ را دقیقاً حل کرده ایم.

استفاده از درون یابی برای ایجاد جداول

نظریه درون یابی در جمع آوری جداول توابع کاربرد دارد. با دریافت چنین مسئله ای، ریاضیدان باید قبل از شروع محاسبات، تعدادی سؤال را حل کند. فرمولی باید انتخاب شود که محاسبات توسط آن انجام شود. این فرمول ممکن است از سایتی به سایت دیگر متفاوت باشد. به طور معمول، فرمول های محاسبه مقادیر تابع دست و پا گیر هستند و بنابراین از آنها برای به دست آوردن برخی از مقادیر مرجع استفاده می شود و سپس با جدول بندی، جدول متراکم می شود. فرمولی که مقادیر مرجع تابع را می دهد باید دقت مورد نیاز جداول را با در نظر گرفتن جدول بندی زیر ارائه دهد. اگر نیاز به ایجاد جداول با گام ثابت دارید، ابتدا باید مرحله آن را تعیین کنید.

بازگشت اول قبلی بعدی آخرین آخرین رفتن به فهرست

بیشتر اوقات، جداول تابع به گونه ای جمع آوری می شوند که درون یابی خطی امکان پذیر باشد (یعنی درون یابی با استفاده از دو عبارت اول فرمول تیلور). در این صورت، عبارت باقیمانده شکل خواهد داشت

R1 (x) =f00 (ξ)h2t (t - 1).

در اینجا ξ متعلق به فاصله بین دو مقدار جدول مجاور آرگومان است که x در آن قرار دارد و t بین 0 و 1 است. حاصلضرب t(t - 1) بزرگترین مدول را می گیرد.

مقدار t = 12. این مقدار 14 است. بنابراین،

لازم به یادآوری است که همراه با این خطا - خطای روش - در محاسبه عملی مقادیر میانی، یک خطای غیر قابل حذف و خطای گرد کردن نیز ایجاد می شود. همانطور که قبلا دیدیم، خطای مهلک در حین درونیابی خطی برابر با خطای مقادیر تابع جدول بندی خواهد بود. خطای گرد کردن به ابزار محاسباتی و برنامه محاسبه بستگی دارد.

بازگشت اول قبلی بعدی آخرین آخرین رفتن به فهرست

نمایه موضوعی

تفکیک اختلاف مرتبه دوم، 8 مرتبه اول، 8

اسپلاین، 15

گره های درون یابی، 4

بازگشت اول قبلی بعدی آخرین آخرین رفتن به فهرست

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / نحوه انجام درون یابی

فرمول درونیابی داده های جدولی

در عمل دوم، زمانی که مقدار NHR (Q, t) از شرایط استفاده می شود میانی است 100 تن و 300 تن.

(استثنا:اگر شرط Q برابر با 100 یا 300 باشد، نیازی به درون یابی نیست).

y o- مقدار اولیه NHR شما از شرایط، به تن

(مطابق با حرف Q)

y 1 – کوچکتر

(از جداول 11-16، معمولاً برابر با 100 است).

y 2 – بیشتر ارزش مقدار NHR نزدیک به شما، بر حسب تن

(از جداول 11-16، معمولاً برابر با 300 است).

ایکس 1 y 1 (ایکس 1 روبرو واقع شده است y 1 ) کیلومتر

ایکس 2 - مقدار جدول عمق توزیع یک ابر هوای آلوده (Gt) به ترتیب y 2 (ایکس 2 روبرو واقع شده است y 2 ) کیلومتر

ایکس 0 - ارزش مورد نیاز جی تیمناسب y o(طبق فرمول).

مثال.

NHR - کلر؛ Q = 120 تن;

نوع SVSP (درجه مقاومت هوای عمودی) – وارونگی.

پیدا کردن جی تی- مقدار جدول عمق توزیع یک ابر هوای آلوده.

ما جداول 11-16 را بررسی می کنیم و داده هایی را پیدا می کنیم که با شرایط شما مطابقت دارد (کلر، وارونگی).

جدول 11 مناسب است.

انتخاب مقادیر y 1 , y 2, ایکس 1 , ایکس 2 . مهم – سرعت باد را 1 متر بر ثانیه در نظر بگیرید، دما را 20 درجه سانتیگراد بگیرید.

مقادیر انتخاب شده را در فرمول جایگزین می کنیم و پیدا می کنیم ایکس 0 .

مهم - اگر محاسبه صحیح باشد ایکس 0 در جایی بین ارزش خواهد داشت ایکس 1 , ایکس 2 .

1.4. فرمول درونیابی لاگرانژ

الگوریتم پیشنهادی لاگرانژ برای ساخت درونیابی

توابع جداول (1) ساخت یک چند جمله ای درون یابی Ln(x) را به شکل ارائه می کند.

بدیهی است که تحقق شرایط (11) برای (10) تحقق شرایط (2) را برای تنظیم مسئله درون یابی تعیین می کند.

چند جمله ای های li(x) به صورت زیر نوشته می شوند

توجه داشته باشید که هیچ عاملی در مخرج فرمول (14) برابر با صفر نیست. با محاسبه مقادیر ثابت ci، می توانید از آنها برای محاسبه مقادیر تابع درون یابی در نقاط داده شده استفاده کنید.

فرمول چند جمله ای درون یابی لاگرانژ (11)، با در نظر گرفتن فرمول های (13) و (14)، می تواند به صورت نوشته شود.

1.4.1. سازماندهی محاسبات دستی با استفاده از فرمول لاگرانژ

استفاده مستقیم از فرمول لاگرانژ منجر به تعداد زیادی محاسبات مشابه می شود. برای جداول با اندازه کوچک، این محاسبات را می توان به صورت دستی یا در یک محیط برنامه انجام داد

در مرحله اول، الگوریتمی را برای محاسبات دستی در نظر خواهیم گرفت. در آینده نیز همین محاسبات باید در محیط تکرار شود

Microsoft Excel یا OpenOffice.org Calc.

در شکل شکل 6 نمونه ای از جدول اصلی یک تابع درون یابی را نشان می دهد که توسط چهار گره تعریف شده است.

شکل 6. جدول حاوی داده های اولیه برای چهار گره تابع درونیابی

در ستون سوم جدول مقادیر ضرایب qi محاسبه شده با استفاده از فرمول (14) را می نویسیم. در زیر رکوردی از این فرمول ها برای n=3 آورده شده است.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

مرحله بعدی در اجرای محاسبات دستی، محاسبه مقادیر li(x) (j=0،1،2،3) است که طبق فرمول (13) انجام می شود.

بیایید این فرمول ها را برای نسخه جدول با چهار گره مورد نظر بنویسیم:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)،

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3)،

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3)،(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

بیایید مقادیر چند جمله‌ای li(xj) (j=0,1,2,3) را محاسبه کرده و در خانه‌های جدول بنویسیم. مقادیر تابع Ycalc(x) طبق فرمول (11) در نتیجه جمع کردن مقادیر li(xj) با ردیف به دست می آید.

قالب جدول، شامل ستون‌های مقادیر محاسبه‌شده li(xj) و ستونی از مقادیر Ycalc(x)، در شکل 8 نشان داده شده است.

برنج. 8. جدول با نتایج محاسبات دستی انجام شده با استفاده از فرمول های (16)، (17) و (11) برای همه مقادیر آرگومان xi

با ایجاد جدول نشان داده شده در شکل. 8، با استفاده از فرمول های (17) و (11) می توانید مقدار تابع درون یابی شده را برای هر مقدار آرگومان X محاسبه کنید. به عنوان مثال، برای X=1 مقادیر li(1) را محاسبه می کنیم (i=0، 1،2،3):

l0(1)= 0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)= 0.2966.

با جمع کردن مقادیر li(1) مقدار Yinterp(1)=3.1463 را بدست می آوریم.

1.4.2. پیاده سازی الگوریتم درون یابی با استفاده از فرمول های لاگرانژ در محیط برنامه مایکروسافت اکسل

پیاده سازی الگوریتم درون یابی، مانند محاسبات دستی، با نوشتن فرمول هایی برای محاسبه ضرایب qi در شکل 1 آغاز می شود. شکل 9 ستون های جدول را با مقادیر داده شده آرگومان، تابع درون یابی و ضرایب qi نشان می دهد. در سمت راست این جدول، فرمول هایی وجود دارد که در خانه های ستون C برای محاسبه مقادیر ضرایب qi نوشته شده است.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ж q0

ВС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ж q1

ВС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ж q2

ВС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Ж q3

برنج. 9 جدول ضرایب چی و فرمول های محاسبه

پس از وارد کردن فرمول q0 در سلول C2، از طریق سلول های C3 به C5 گسترش می یابد. پس از آن فرمول های این سلول ها مطابق با (16) به شکل نشان داده شده در شکل تنظیم می شوند. 9.

با اجرای فرمول (17)، فرمول هایی برای محاسبه مقادیر li(x) (i=0،1،2،3) در سلول های ستون های D، E، F و G می نویسیم. در سلول D2 برای محاسبه مقدار l0(x0) فرمول را می نویسیم:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5)،

مقادیر l0 (xi) (i=0,1,2,3) را بدست می آوریم.

قالب پیوند $A2 به شما امکان می دهد فرمول را در ستون های E، F، G بکشید تا فرمول های محاسباتی برای محاسبه li(x0) (i=1,2,3) را تشکیل دهید. وقتی فرمولی را روی یک ردیف بکشید، نمایه ستون آرگومان ها تغییر نمی کند. برای محاسبه li(x0) (i=1,2,3) پس از رسم فرمول l0(x0) باید طبق فرمول (17) آنها را تصحیح کرد.

در ستون H فرمول های Excel را برای جمع li(x) طبق فرمول قرار می دهیم

(11) الگوریتم.

در شکل شکل 10 جدول پیاده سازی شده در محیط برنامه Microsoft Excel را نشان می دهد. نشانه صحت فرمول های نوشته شده در سلول های جدول و عملیات محاسباتی انجام شده، ماتریس مورب حاصل li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3) با تکرار نتایج نشان داده شده در شکل. 8 و ستونی از مقادیر که با مقادیر تابع درون یابی در گره های جدول منبع منطبق است.

برنج. 10. جدول مقادیر li(xj) (j=0،1،2،3) و Ycalc(xj)

برای محاسبه مقادیر در برخی از نقاط میانی کافی است

در سلول های ستون A، با شروع از سلول A6، مقادیر آرگومان X را وارد کنید که می خواهید مقادیر تابع درون یابی را برای آن تعیین کنید. انتخاب کنید

در آخرین ردیف (5) جدول، سلول‌های l0(xn) تا Ycalc(xn) را قرار دهید و فرمول‌های نوشته شده در سلول‌های انتخابی را به خطی که حاوی آخرین

مقدار مشخص شده آرگومان x.

در شکل 11 جدولی را نشان می دهد که در آن مقدار تابع در سه نقطه x=1، x=2 و x=3 محاسبه می شود. یک ستون اضافی به جدول با شماره ردیف های جدول داده منبع معرفی شده است.

برنج. 11. محاسبه مقادیر توابع درون یابی با استفاده از فرمول لاگرانژ

برای وضوح بیشتر در نمایش نتایج درون یابی، جدولی می سازیم که شامل ستونی از مقادیر آرگومان X به ترتیب صعودی، ستونی از مقادیر اولیه تابع Y(X) و ستونی است.

به من بگویید چگونه از فرمول درون یابی و کدام یک در حل مسائل ترمودینامیک (مهندسی گرما) استفاده کنم.

ایوان شستاکوویچ

ساده ترین، اما اغلب به اندازه کافی دقیق نیست، خطی است. زمانی که از قبل دو نقطه شناخته شده (X1 Y1) و (X2 Y2) دارید و باید مقادیر Y روز مقدار X را که بین X1 و X2 قرار دارد، پیدا کنید. سپس فرمول ساده است.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+Y1
به هر حال، این فرمول برای مقادیر X در خارج از بازه X1..X2 نیز کار می کند، اما این قبلاً برون یابی نامیده می شود و در فاصله قابل توجهی از این بازه خطای بسیار بزرگی می دهد.
فحش های دیگر هم زیاد است. روش های درون یابی - به شما توصیه می کنم کتاب درسی بخوانید یا اینترنت را جست و جو کنید.
روش درون یابی گرافیکی نیز امکان پذیر است - به صورت دستی یک نمودار را از طریق نقاط شناخته شده رسم کنید و Y را از نمودار برای X مورد نیاز پیدا کنید. ;)

رمان

شما دو معنی دارید. و تقریباً وابستگی (خطی، درجه دوم، ..)
نمودار این تابع از دو نقطه شما عبور می کند. شما به یک مقدار در جایی در این بین نیاز دارید. خوب، شما آن را بیان کنید!
مثلا. در جدول، در دمای 22 درجه، فشار بخار اشباع 120000 Pa و در 26، 124000 Pa است. سپس در دمای 23 درجه 121000 Pa.

درون یابی (مختصات)

روی نقشه یک شبکه مختصات وجود دارد (تصویر).
برخی از نقاط مرجع معروف (n>3) روی آن وجود دارد که هر کدام دارای دو نقطه هستند مقادیر x,y- مختصات بر حسب پیکسل و مختصات بر حسب متر.
لازم است مقادیر مختصات میانی را در متر با دانستن مختصات در پیکسل پیدا کنید.
درون یابی خطی مناسب نیست - خطای خارج از خط خیلی بزرگ است.
مانند این: (Xc مختصات بر حسب متر در امتداد ox، Xp مختصات بر حسب پیکسل در امتداد ox، Xc3 مقدار مورد نظر در ox است)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

چگونه می توان همان فرمول را برای یافتن Xc و Yc با در نظر گرفتن دو (مانند اینجا) بلکه N نقطه مرجع شناخته شده پیدا کرد؟

سرخس جوکا پایین آمد

با توجه به فرمول های نوشته شده، آیا محورهای سیستم مختصات بر حسب پیکسل و متر بر هم منطبق هستند؟
یعنی Xp -> Xc به طور مستقل درون یابی می شود و Yp -> Yc به طور مستقل درون یابی می شود. اگر نه، پس باید از درون یابی دو بعدی Xp,Yp->Xc و Xp,Yp->Yc استفاده کنید که تا حدودی کار را پیچیده می کند.
همچنین فرض بر این است که مختصات Xp و Xc با مقداری وابستگی به هم مرتبط هستند.
اگر ماهیت وابستگی مشخص باشد (یا فرض شود، برای مثال، فرض کنیم که Xc=a*Xp^2+b*Xp+c)، آنگاه می توان پارامترهای این وابستگی را به دست آورد (برای وابستگی داده شده). الف، ب، ج) با استفاده از تحلیل رگرسیون (حداقل مربعات روش). در این روش، اگر یک وابستگی خاص Xc(Xp) را مشخص کنید، می توانید فرمولی برای پارامترهای وابستگی به داده های مرجع بدست آورید. این روش به ویژه اجازه می دهد تا یک رابطه خطی را پیدا کنید که به بهترین وجه مناسب یک مجموعه داده معین است.
عیب: در این روش، مختصات Xc به دست آمده از داده های نقاط کنترل Xp ممکن است با موارد مشخص شده متفاوت باشد. به عنوان مثال، یک خط مستقیم تقریبی که از نقاط آزمایشی کشیده شده است دقیقاً از خود این نقاط عبور نمی کند.
اگر مطابقت دقیق مورد نیاز باشد و ماهیت وابستگی نامعلوم باشد، باید از روش های درون یابی استفاده کرد. ساده ترین آنها از نظر ریاضی چند جمله ای درونیابی لاگرانژ است که دقیقاً از نقاط مرجع عبور می کند. اما به دلیل درجه بالای این چند جمله ای با تعداد نقاط کنترل زیاد و کیفیت درون یابی ضعیف، بهتر است از آن استفاده نکنید. مزیت فرمول نسبتا ساده است.
بهتر است از درون یابی اسپلاین استفاده کنید. ماهیت این روش این است که در هر بخش بین دو نقطه همسایه، وابستگی مورد مطالعه توسط یک چند جمله ای درون یابی می شود و شرایط همواری در نقاط اتصال دو بازه نوشته می شود. مزیت این روش کیفیت درون یابی است. معایب - استخراج یک فرمول کلی تقریبا غیرممکن است؛ شما باید ضرایب چند جمله ای را در هر بخش به صورت الگوریتمی پیدا کنید. عیب دیگر دشواری تعمیم به درونیابی دو بعدی است.

درون یابی. معرفی. بیان کلی مشکل

هنگام حل مسائل مختلف عملی، نتایج تحقیق در قالب جداولی ارائه می شود که وابستگی یک یا چند کمیت اندازه گیری شده را به یک پارامتر تعیین کننده (استدلال) نشان می دهد. این نوع جداول معمولاً در قالب دو یا چند ردیف (ستون) ارائه می شوند و برای شکل دادن به مدل های ریاضی استفاده می شوند.

توابع مشخص شده در مدل های ریاضی معمولاً در جداول به شکل زیر نوشته می شوند:

اطلاعات محدود ارائه شده توسط چنین جداول در برخی موارد مستلزم بدست آوردن مقادیر توابع Y j (X) (j=1,2,...,m) در نقاط X است که با نقاط گرهی منطبق نیست. جدول X i (i=0،1،2،…،n) . در چنین مواردی، برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع مورد مطالعه Yj (X) در نقاط دلخواه مشخص X، لازم است برخی از عبارت تحلیلی φj (X) تعیین شود. تابع φ j (X) که برای تعیین مقادیر تقریبی تابع Y j (X) استفاده می شود تابع تقریبی نامیده می شود (از لاتین approximo - نزدیک شدن). نزدیکی تابع تقریبی φ j (X) به تابع تقریبی Y j (X) با انتخاب الگوریتم تقریب مناسب تضمین می شود.

ما تمام ملاحظات و نتیجه گیری های بیشتر را برای جداول حاوی داده های اولیه یک تابع مورد مطالعه (یعنی برای جداول با m=1) انجام خواهیم داد.

1. روش های درون یابی

1.1 بیان مسئله درونیابی

اغلب برای تعیین تابع φ(X) از فرمولی استفاده می شود که فرمول بندی مسئله درون یابی نامیده می شود.

در این فرمول کلاسیک مسئله درون یابی، لازم است تابع تحلیلی تقریبی φ(X) تعیین شود، که مقادیر آن در نقاط گره X i با مقادیر مطابقت دهید Y(X i) از جدول اصلی، i.e. شرایط

تابع تقریبی φ(X) که به این ترتیب ساخته شده است به فرد اجازه می دهد تا یک تقریب نسبتاً نزدیک به تابع درون یابی Y(X) در محدوده مقادیر آرگومان [X 0 ; X n ]، توسط جدول تعیین می شود. هنگام تعیین مقادیر آرگومان X، تعلق نداشتندر این فاصله، مسئله درون یابی به یک مسئله برون یابی تبدیل می شود. در این موارد دقت

مقادیر بدست آمده هنگام محاسبه مقادیر تابع φ(X) به فاصله مقدار آرگومان X از X 0 بستگی دارد، اگر X< Х 0 , или от Х n , если Х >Xn.

در مدل‌سازی ریاضی، تابع درون‌یابی می‌تواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع مورد مطالعه در نقاط میانی زیر بازه‌ها استفاده شود [Х i; X i+1]. این روش نامیده می شود فشرده سازی جدول.

الگوریتم درون یابی با روش محاسبه مقادیر تابع φ(X) تعیین می شود. ساده ترین و واضح ترین گزینه برای اجرای تابع درونیابی جایگزینی تابع مورد مطالعه Y(X) در بازه [X i ; X i+1 ] توسط یک خط مستقیم که نقاط Y i، Y ​​i+1 را به هم متصل می کند. این روش را روش درونیابی خطی می نامند.

1.2 درونیابی خطی

با درون یابی خطی، مقدار تابع در نقطه X، واقع بین گره های X i و X i+1، با فرمول یک خط مستقیم که دو نقطه مجاور جدول را به هم متصل می کند، تعیین می شود.

در شکل شکل 1 نمونه ای از جدولی را نشان می دهد که در نتیجه اندازه گیری یک کمیت مشخص Y(X) به دست آمده است. ردیف های جدول منبع برجسته شده اند. در سمت راست جدول یک نمودار پراکندگی مربوط به این جدول است. جدول با استفاده از فرمول فشرده می شود

(3) مقادیر تابع تقریبی در نقاط X مربوط به نقاط میانی زیر بازه‌ها (i=0، 1، 2، …، n).

عکس. 1. جدول فشرده تابع Y(X) و نمودار مربوط به آن

هنگام در نظر گرفتن نمودار در شکل. 1 می توان مشاهده کرد که نقاط به دست آمده در نتیجه فشرده سازی جدول با استفاده از روش درون یابی خطی روی قطعات مستقیمی قرار دارند که نقاط جدول اصلی را به هم متصل می کنند. دقت خطی

درون یابی، به طور قابل توجهی به ماهیت تابع درون یابی و به فاصله بین گره های جدول X i, , X i+1 بستگی دارد.

بدیهی است که اگر تابع صاف باشد، حتی با فاصله نسبتاً زیاد بین گره‌ها، نموداری که با اتصال نقاط با بخش‌های خط مستقیم ساخته می‌شود، به فرد اجازه می‌دهد تا ماهیت تابع Y(X) را به طور نسبتاً دقیق تخمین بزند. اگر تابع خیلی سریع تغییر کند و فاصله بین گره ها زیاد باشد، تابع درون یابی خطی اجازه نمی دهد تا یک تقریب به اندازه کافی دقیق به تابع واقعی به دست آوریم.

تابع درونیابی خطی را می توان برای کلی استفاده کرد تجزیه و تحلیل اولیهو ارزیابی صحت نتایج درونیابی، که سپس با روش های دقیق تر به دست می آیند. این ارزیابی به ویژه در مواردی که محاسبات به صورت دستی انجام می شود، مرتبط می شود.

1.3 درونیابی با چند جمله ای متعارف

روش درونیابی یک تابع توسط یک چند جمله ای متعارف بر اساس ساخت تابع درون یابی به صورت چند جمله ای به شکل [1] است.

ضرایب c i چند جمله ای (4) پارامترهای درون یابی آزاد هستند که از شرایط لاگرانژ تعیین می شوند:

Pn (xi) = Yi، (i = 0، 1، ...، n)

با استفاده از (4) و (5) سیستم معادلات را می نویسیم

بردار حل با i (i = 0، 1، 2، …، n) سیستم خطی معادلات جبری(6) وجود دارد و اگر هیچ گره مطابق x i وجود نداشته باشد، می توان آن را پیدا کرد. تعیین کننده سیستم (6) تعیین کننده Vandermonde1 نامیده می شود و بیانی تحلیلی دارد [2].

1 تعیین کننده واندرموند تعیین کننده نامیده می شود

برابر صفر است اگر و فقط اگر xi = xj برای برخی . (مواد از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد)

برای تعیین مقادیر ضرایب با i (i = 0، 1، 2، …، n)

معادلات (5) را می توان به صورت ماتریس برداری نوشت

A*C = Y،

که در آن A، ماتریس ضرایب تعیین شده توسط جدول درجات بردار آرگومان های X= (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

C یک بردار ستونی از ضرایب با i است (i = 0, 1, 2, … , n) و Y بردار ستونی از مقادیر Y i (i = 0, 1, 2,… , n) از تابع درون یابی در گره های درون یابی.

راه حل این سیستم معادلات جبری خطی را می توان با استفاده از یکی از روش های شرح داده شده در [3] به دست آورد. مثلا طبق فرمول

که در آن A -1 ماتریس معکوس ماتریس A است. برای بدست آوردن ماتریس معکوس A -1 می توانید از تابع MOBR() استفاده کنید که در مجموعه توابع استاندارد برنامه مایکروسافت اکسل قرار دارد.

پس از تعیین مقادیر ضرایب با i با استفاده از تابع (4)، مقادیر تابع درون یابی را می توان برای هر مقدار از آرگومان x محاسبه کرد.

بیایید ماتریس A را برای جدول نشان داده شده در شکل 1، بدون در نظر گرفتن ردیف هایی که جدول را فشرده می کنند، بنویسیم.

شکل 2 ماتریس سیستم معادلات برای محاسبه ضرایب چند جمله ای متعارف

با استفاده از تابع MOBR() ماتریس A -1 را معکوس به ماتریس A بدست می آوریم (شکل 3). پس از آن، طبق فرمول (9) بردار ضرایب C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T نشان داده شده در شکل را بدست می آوریم. 4.

برای محاسبه مقادیر چند جمله ای متعارف در سلول ستون Y متعارف مربوط به مقدار x 0، تبدیل شده را به نمای بعدیفرمول مربوط به خط صفر سیستم (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

به جای نوشتن "c i" در فرمول وارد شده در سلول جدول اکسل، باید یک پیوند مطلق به سلول مربوطه حاوی این ضریب وجود داشته باشد (شکل 4 را ببینید). به جای "x 0" - یک مرجع نسبی به یک سلول در ستون X (نگاه کنید به شکل 5).

Y متعارف (0) مقداری که با مقدار سلول Ylin(0) مطابقت دارد. هنگام کشش فرمول نوشته شده در سلول Y متعارف (0)، مقادیر Y متعارف (i) مربوط به نقاط گره اصلی نیز باید مطابقت داشته باشند.

جداول (شکل 5 را ببینید).

برنج. 5. نمودارهای ساخته شده با استفاده از جداول درونیابی خطی و متعارف

با مقایسه نمودارهای توابع ساخته شده از جداول محاسبه شده با استفاده از فرمول های درون یابی خطی و متعارف، در تعدادی از گره های میانی انحراف قابل توجهی از مقادیر به دست آمده با استفاده از فرمول های درون یابی خطی و متعارف مشاهده می کنیم. قضاوت معقول تر در مورد دقت درونیابی را می توان بر اساس به دست آوردن اطلاعات اضافیدر مورد ماهیت فرآیند مدل سازی شده

درون یابی روشی برای یافتن متغیرهای میانی یک تابع از چندین مقدار از قبل شناخته شده است. کلمه درون یابی برای اولین بار توسط جان والیس در اثر علمی خود "حساب بینهایت" معرفی شد.

درون یابی خطی

ساده ترین حالت درون یابی "خطی" است، یعنی یافتن یک مقدار از دو نقطه داده شده. این فرآیند محاسبه را می توان به عنوان یک تابع خطی در نظر گرفت و در نتیجه محاسبات را بصری تر می کند. اعمال یک تابع در یک سیستم مختصات را تقریب می گویند. برای انجام این کار، باید یک خط مستقیم روی محور مختصات از طریق نقاط شناخته شده رسم کنید. منطقی است که مقدار مورد نظر واقع بین دو نقطه اول را می توان با دانستن ابسیسا X به صورت گرافیکی یافت. اگر مختصات X مقدار مورد نظر خارج از مقادیر شناخته شده (X 1, X 2) باشد، فرآیند محاسبه برون یابی نامیده می شود.

ماشین حساب به شما امکان می دهد با دانستن مختصات X و Y دو تابع دیگر و همچنین ابسیسا آن، مقدار مختصات Y مقدار مورد نظر را تعیین کنید. برای محاسبه، باید مقادیر دو نقطه داده شده X 1، Y 1 و X 2، Y 2 را وارد کنید و همچنین مختصات X نقطه مورد نظر را مشخص کنید و سرویس به طور خودکار روش محاسبه و تعیین می کند. آن را انجام دهد.

فرمول درونیابی خطی

برای محاسبه از فرمول زیر استفاده می شود:

مثال محاسبه

داده شده: مختصات دو نقطه A(3;1.5) و B(6;5).
پیدا کنید: مختصات نقطه C با آبسیسا 4.5.

پس از این، مقادیر را در فرمول مشخص شده جایگزین می کنیم:

Y = 5 + (1.5 - 5) / (3 - 6) · (4.5 - 6) = 5 + (-3.5) / (-3) · (-1.5) = 3.25.

ابزاری برای یافتن معادله یک تابع. چند جمله ای درون یابی لاگرانژ روشی برای یافتن معادله مربوط به منحنی است که مختصات آن چند نقطه دارد.

پاسخ به سوالات

dCode اجازه می دهد تا از روش لاگرانژی برای درون یابی یک چند جمله ایو با استفاده از مقادیر نقاط شناخته شده (x,y) نسخه اصلی را پیدا می کند.

مثال: با آگاهی از نقاط \((x,y) \) : \((0,0),(2,4),(4,16) \) روش درون یابی چند جمله ای لاگرانژی اجازه می دهد تا \(y) را پیدا کنید = x^2\). پس از کسر، تابع درون یابی \(f(x) = x^2 \) اجازه می دهد تا مقدار \(x = 3 \) را در اینجا \(f(x) = 9 \) تخمین بزنیم.

روش درونیابی لاگرانژ امکان تقریب خوبی از توابع چند جمله ای را فراهم می کند.

فرمول های درون یابی دیگری (به جای لاگرانژ/رچنر) مانند درون یابی نویل نیز به صورت آنلاین در dCode موجود است.

می توانید این پرسش و پاسخ را ویرایش کنید (اطلاعات جدید اضافه کنید، ترجمه را بهبود ببخشید، و غیره) " itemscope="" itemtype="http://schema.org/Question">

محدودیت های درون یابی با لاگرانژ چیست؟

از آنجایی که پیچیدگی محاسبات با تعداد نقاط افزایش می یابد، برنامه به 25 مختصات (با مقادیر x متمایز در Q) محدود می شود.

سوال جدید بپرس

کد منبع

dCode مالکیت کد منبع اسکریپت Lagrange Interpolating Polynomial را به صورت آنلاین حفظ می کند. به جز مجوز منبع باز صریح (مشخص شده Creative Commons / رایگان)، هر الگوریتم، اپلت، قطعه، نرم افزار (مبدل، حل کننده، رمزگذاری / رمزگشایی، رمزگذاری / رمزگشایی، رمزگذاری / رمزگشایی، مترجم)، یا هر تابع (تبدیل، حل، رمزگشایی) , encrypt, decipher, cipher, decode, code, translate) نوشته شده به هر زبان انفورماتیک (PHP، جاوا، سی شارپ، پایتون، جاوا اسکریپت، متلب و غیره) که dCode دارای حقوق است، به صورت رایگان منتشر نخواهد شد. برای دانلود اسکریپت آنلاین لاگرانژ Interpolating Polynomial برای استفاده آفلاین در رایانه شخصی، آیفون یا اندروید، قیمت را بخواهید