گروه ریاضیات عالی

انتگرال های منحنی

رهنمودها

ولگوگراد

UDC 517.373(075)

بازبین:

مدرس ارشد گروه ریاضیات کاربردی N.I. کولتسووا

با تصمیم شورای تحریریه و انتشارات منتشر شد

دانشگاه فنی دولتی ولگوگراد

انتگرال های منحنی: روش. دستورالعمل / comp. M.I. Andreeva،

O.E. گریگوریوا؛ دانشگاه فنی دولتی ولگا. – ولگوگراد، 2011. – 26 ص.

این دستورالعمل ها راهنمای تکمیل تکالیف فردی با موضوع "انتگرال های منحنی و کاربرد آنها در نظریه میدان" است.

بخش اول دستورالعمل حاوی مطالب نظری لازم برای تکمیل وظایف فردی است.

بخش دوم نمونه هایی از انجام انواع وظایف موجود در وظایف فردی را در مورد موضوع مورد بررسی قرار می دهد که به سازماندهی بهتر کمک می کند. کار مستقلدانش آموزان و تسلط موفق به موضوع.

این دستورالعمل برای دانش آموزان سال اول و دوم در نظر گرفته شده است.

© ایالت ولگوگراد

دانشگاه فنی, 2011

1. انتگرال منحنی از نوع 1

تعریف یک انتگرال منحنی از نوع اول

اجازه دهید È AB- قوس صفحه یا منحنی صاف تکه ای فضایی L, f(پ) یک تابع پیوسته است که روی این قوس تعریف شده است، آ 0 = آ, آ 1 , آ 2 , …, A n – 1 , A n = ب ABو P i– نقاط دلخواه در قوس های جزئی È یک آی – 1 یک آی، که طول آن D است من (من = 1, 2, …, n

در n® ¥ و حداکثر D من® 0 که به روش پارتیشن بندی قوس È بستگی ندارد ABنقطه ها یک آیو نه از انتخاب امتیاز P iروی کمان های جزئی È یک آی – 1 یک آی (من = 1, 2, …, n). این حد، انتگرال منحنی نوع اول تابع نامیده می شود f(پ) در امتداد منحنی Lو تعیین شده است

محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع 1

محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول را می توان به محاسبه یک انتگرال معین در به روش های مختلفتنظیم منحنی ادغام

اگر قوس È ABمنحنی صفحه به صورت پارامتریک توسط معادلات که در آن ایکس(تی) و y(تی تی، و ایکس(تی 1) = x A, ایکس(تی 2) = x B، آن

جایی که - دیفرانسیل طول قوس منحنی.

فرمول مشابهی در مورد وجود دارد تنظیم پارامتریکمنحنی فضایی L. اگر قوس È ABکج Lتوسط معادلات و ایکس(تی), y(تی), z(تی) - توابع متمایز پیوسته پارامتر تی، آن

دیفرانسیل طول قوس منحنی کجاست.

در مختصات دکارتی

اگر قوس È ABمنحنی تخت Lتوسط معادله داده شده است جایی که y(ایکس

و فرمول محاسبه انتگرال منحنی به صورت زیر است:

هنگام تعیین یک قوس È ABمنحنی تخت Lمانند ایکس= ایکس(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
جایی که ایکس(y) یک تابع پیوسته قابل تمایز است،

و انتگرال منحنی با فرمول محاسبه می شود

(1.4)

تعیین منحنی یکپارچه سازی توسط یک معادله قطبی

اگر منحنی صاف باشد Lمعادله در سیستم مختصات قطبی به دست می آید r = r(j)، j О، کجا r(j) تابعی است که به طور پیوسته قابل تمایز است

و

(1.5)

کاربردهای انتگرال منحنی از نوع اول

با استفاده از یک انتگرال منحنی از نوع اول، موارد زیر محاسبه می شود: طول قوس یک منحنی، مساحت قسمتی از یک سطح استوانه ای، جرم، گشتاورهای ساکن، گشتاورهای اینرسی و مختصات مرکز ثقل یک منحنی مواد با چگالی خطی معین.

1. طول لمنحنی مسطح یا فضایی Lبا فرمول پیدا می شود

2. مساحت قسمتی از یک سطح استوانه ای با محور موازی OZژنراتیکس و در هواپیما قرار دارد XOYراهنما L، بین هواپیما محصور شده است XOYو سطح داده شده توسط معادله z = f(ایکس; y) (f(پ) ³ 0 در پ Î L)، برابر است با

(1.7)

3. وزن مترمنحنی مواد Lبا چگالی خطی m( پ) با فرمول تعیین می شود

(1.8)

4. لحظه های ایستا در مورد محورها گاو نرو اوهو مختصات مرکز ثقل یک منحنی مواد مسطح Lبا چگالی خطی m( ایکس; y) به ترتیب برابر هستند:

(1.9)

5. لحظات ثابت در مورد هواپیما اکسی, Oxz, اویزو مختصات مرکز ثقل یک منحنی ماده فضایی با چگالی خطی m( ایکس; y; z) با فرمول های زیر تعیین می شوند:

(1.11)

6. برای منحنی مواد مسطح Lبا چگالی خطی m( ایکس; y) ممان اینرسی در مورد محورها گاو نر, اوهو مبدا مختصات به ترتیب برابر است:

(1.13)

7. لحظه های اینرسی یک منحنی ماده فضایی Lبا چگالی خطی m( ایکس; y; z) نسبت به صفحات مختصات با استفاده از فرمول ها محاسبه می شود

(1.14)

و ممان اینرسی در مورد محورهای مختصات برابر است با:

(1.15)

2. انتگرال منحنی از نوع 2

تعریف انتگرال منحنی از نوع دوم

اجازه دهید È AB- قوس یک منحنی صاف تکه تکه L, = (تبر(پ); یک سال(پ); یک z(پ)) – تعریف شده روی این کمان پیوسته است تابع برداری, آ 0 = آ, آ 1 , آ 2 , …, A n – 1 , A n = ب- شکاف قوس دلخواه ABو P i- نقاط دلخواه در قوس های جزئی یک آی – 1 یک آی. یک برداری با مختصات D باشد x i، دی y من، دی z i(من = 1, 2, …, n، و حاصل ضرب اسکالر بردارها و ( من = 1, 2, …, n). سپس محدودیتی برای دنباله مجموع انتگرال وجود دارد

در n® ¥ و حداکثر ÷ ç ® 0، که به روش تقسیم قوس بستگی ندارد ABنقطه ها یک آیو نه از انتخاب امتیاز P iروی کمان های جزئی È یک آی – 1 یک آی
(من = 1, 2, …, n). این حد را انتگرال منحنی نوع دوم تابع ( پ) در امتداد منحنی Lو تعیین شده است

در حالتی که تابع برداری بر روی یک منحنی صفحه مشخص شده باشد L، به همین ترتیب داریم:

هنگامی که جهت ادغام تغییر می کند، انتگرال منحنی نوع دوم علامت تغییر می کند.

انتگرال های منحنی نوع اول و دوم با رابطه مرتبط هستند

(2.2)

بردار واحد مماس بر منحنی گرا کجاست.

با استفاده از یک انتگرال منحنی از نوع دوم، می توانید کار یک نیرو را هنگام حرکت یک نقطه مادی در امتداد قوس یک منحنی محاسبه کنید. L:

جهت مثبت عبور از یک منحنی بسته با،محدود کردن یک منطقه به سادگی متصل جی، پیمایش خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود.

انتگرال منحنی از نوع دوم روی یک منحنی بسته باگردش نامیده می شود و نشان داده می شود

(2.4)

محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع دوم

محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع دوم به محاسبه یک انتگرال معین کاهش می یابد.

تعریف پارامتریک منحنی ادغام

اگر È ABمنحنی صفحه گرا به صورت پارامتریک توسط معادلات که در آن داده می شود ایکس(تی) و y(تی) - توابع متمایز پیوسته پارامتر تی، و سپس

یک فرمول مشابه در مورد مشخصات پارامتریک یک منحنی گرا فضایی صورت می گیرد L. اگر قوس È ABکج Lتوسط معادلات و - توابع متمایز پیوسته پارامتر تی، آن

مشخص کردن منحنی ادغام صفحه

اگر قوس È AB Lدر مختصات دکارتی با معادله Where به دست می آید y(ایکس) یک تابع به طور پیوسته متمایز است، پس

(2.7)

هنگام تعیین یک قوس È ABمنحنی صفحه گرا Lمانند
ایکس= ایکس(y), y Î [ y 1 ; y 2]، که در آن ایکس(y) یک تابع به طور پیوسته متمایز است، فرمول معتبر است

(2.8)

اجازه دهید توابع همراه با مشتقاتشان پیوسته هستند

در تخت منطقه بسته جی، محدود به یک منحنی مثبت تکه ای و بسته به صورت خود گسسته است با+ . سپس فرمول گرین برقرار است:

اجازه دهید جی- منطقه به سادگی متصل به سطح، و

= (تبر(پ); یک سال(پ); یک z(پ))

یک فیلد برداری است که در این ناحیه مشخص شده است. رشته ( پ) در صورت وجود چنین تابعی پتانسیل نامیده می شود U(پ)، چی

(پ) = درجه U(پ),

شرط لازم و کافی برای پتانسیل یک میدان برداری ( پ) دارای شکل:

پوسیدگی( پ) = ، جایی که (2.10)

(2.11)

اگر میدان برداری پتانسیل باشد، انتگرال منحنی نوع دوم به منحنی انتگرال بستگی ندارد، بلکه فقط به مختصات ابتدا و انتهای کمان بستگی دارد. م 0 م. پتانسیل U(م) از میدان برداری تا یک جمله ثابت تعیین می شود و با فرمول پیدا می شود

(2.12)

جایی که م 0 م- یک منحنی دلخواه که یک نقطه ثابت را به هم متصل می کند م 0 و نقطه متغیر م. برای ساده کردن محاسبات، می توان یک خط شکسته را به عنوان مسیر ادغام انتخاب کرد م 0 م 1 م 2 مبا پیوندهای موازی با محورهای مختصات، به عنوان مثال:

3. نمونه هایی از تکمیل وظایف

تمرین 1

یک انتگرال منحنی از نوع اول را محاسبه کنید

که در آن L قوس منحنی است، 0 ≤ ایکس ≤ 1.

راه حل.با استفاده از فرمول (1.3) برای کاهش یک انتگرال منحنی از نوع اول به یک انتگرال معین در مورد منحنی صفحه صاف که به صراحت تعریف شده است:

جایی که y = y(ایکس), ایکس 0 ≤ ایکس ≤ ایکس 1- معادله قوس Lمنحنی ادغام در مثال مورد بررسی مشتق این تابع را پیدا کنید

و دیفرانسیل طول قوس منحنی L

سپس، به جای این عبارت بجای y، ما گرفتیم

اجازه دهید انتگرال منحنی را به یک انتگرال معین تبدیل کنیم:

ما این انتگرال را با استفاده از جایگزینی محاسبه می کنیم. سپس
تی 2 = 1 + ایکس, ایکس = تی 2 – 1, dx = 2t dt; در x = 0 تی= 1; آ ایکس= 1 مربوط به . پس از تحولات به دست می آوریم

وظیفه 2

یک انتگرال منحنی از نوع اول را محاسبه کنید در امتداد یک قوس Lکج L:ایکس= cos 3 تی, y= گناه 3 تی, .

راه حل.زیرا Lیک قوس منحنی صفحه صاف است که به شکل پارامتریک داده شده است، سپس از فرمول (1.1) برای کاهش یک انتگرال منحنی از نوع اول به یک قطعی استفاده می کنیم:

.

در مثال مورد بررسی

بیایید دیفرانسیل طول قوس را پیدا کنیم

عبارات یافت شده را با فرمول (1.1) جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:

وظیفه 3

جرم قوس خط را پیدا کنید Lبا صفحه خطی m.

راه حل.وزن مترقوس ها Lبا چگالی m( پ) با استفاده از فرمول (1.8) محاسبه می شود.

این یک انتگرال منحنی از نوع اول روی یک قوس صاف منحنی در فضا است، بنابراین با استفاده از فرمول (1.2) برای کاهش یک انتگرال منحنی از نوع اول به یک انتگرال معین محاسبه می‌شود:

بیایید مشتقات را پیدا کنیم

و دیفرانسیل طول قوس

ما این عبارات را در فرمول جرم جایگزین می کنیم:

وظیفه 4

مثال 1.انتگرال منحنی نوع دوم را محاسبه کنید

در امتداد یک قوس Lمنحنی 4 ایکس + y 2 = 4 از نقطه آ(1; 0) به نقطه ب(0; 2).

راه حل.قوس تخت Lبه طور ضمنی مشخص شده است. برای محاسبه انتگرال، بیان آن راحت تر است ایکساز طریق y:

و انتگرال را با استفاده از فرمول (2.8) برای تبدیل یک انتگرال منحنی از نوع دوم به یک انتگرال معین بر روی یک متغیر پیدا کنید. y:

جایی که تبر(ایکس; y) = xy – 1, یک سال(ایکس; y) = xy 2 .

با در نظر گرفتن تخصیص منحنی

با استفاده از فرمول (2.8) بدست می آوریم

مثال 2. انتگرال منحنی نوع دوم را محاسبه کنید

جایی که L- خط شکسته ABC, آ(1; 2), ب(3; 2), سی(2; 1).

راه حل. با خاصیت افزایشی یک انتگرال منحنی

هر یک از جمله های انتگرالی با استفاده از فرمول (2.7) محاسبه می شود.

جایی که تبر(ایکس; y) = ایکس 2 + y, یک سال(ایکس; y) = –3xy.

معادله یک پاره خط AB: y = 2, y¢ = 0, ایکس 1 = 1, ایکس 2 = 3. با جایگزینی این عبارات به فرمول (2.7)، به دست می آوریم:

برای محاسبه انتگرال

بیایید یک معادله خط مستقیم بسازیم قبل از میلاد مسیح.طبق فرمول

جایی که x B, y B, xC, yC- مختصات نقاط بو با. ما گرفتیم

y – 2 = ایکس – 3, y = ایکس – 1, y¢ = 1.

عبارات به دست آمده را با فرمول (2.7) جایگزین می کنیم:

وظیفه 5

یک انتگرال منحنی از نوع دوم را در امتداد یک کمان محاسبه کنید L

0 ≤ تی ≤ 1.

راه حل. از آنجایی که منحنی یکپارچه سازی به صورت پارامتریک توسط معادلات داده می شود x = x(تی), y = y(تی), تی Î [ تی 1 ; تی 2]، که در آن ایکس(تی) و y(تی) - توابع متمایز پیوسته تیدر تی Î [ تی 1 ; تی 2 ]، سپس برای محاسبه انتگرال منحنی نوع دوم از فرمول (2.5) استفاده می کنیم که انتگرال منحنی را به چیزی که برای یک صفحه منحنی داده شده به صورت پارامتریک تعریف شده کاهش می دهد.

در مثال مورد بررسی تبر(ایکس; y) = y; یک سال(ایکس; y) = –2ایکس.

با در نظر گرفتن تنظیم منحنی Lما گرفتیم:

عبارات یافت شده را با فرمول (2.5) جایگزین می کنیم و انتگرال معین را محاسبه می کنیم:

وظیفه 6

مثال 1. سی + جایی که با : y 2 = 2ایکس, y = ایکس – 4.

راه حل.تعیین سی+ نشان می دهد که مدار در جهت مثبت یعنی خلاف جهت عقربه های ساعت پیمایش می شود.

اجازه دهید بررسی کنیم که برای حل مشکل می توانیم از فرمول گرین (2.9) استفاده کنیم.

از آنجایی که توابع تبر (ایکس; y) = 2y – ایکس 2 ; یک سال (ایکس; y) = 3ایکس + yو مشتقات جزئی آنها پیوسته در یک منطقه بسته مسطح جی، با کانتور محدود شده است سی، سپس فرمول گرین قابل اجرا است.

برای محاسبه انتگرال دوگانه، منطقه را ترسیم می کنیم جی، قبلاً نقاط تقاطع کمان منحنی ها را تعیین کرده بود y 2 = 2ایکسو
y = ایکس- 4، تشکیل کانتور سی.

با حل سیستم معادلات نقاط تقاطع را پیدا می کنیم:

معادله دوم سیستم معادل معادله است ایکس 2 – 10ایکس+ 16 = 0، از این رو ایکس 1 = 2, ایکس 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

بنابراین، نقاط تقاطع منحنی ها: آ(2; –2), ب(8; 4).

از آنجایی که منطقه جی– در جهت محور درست شود گاو نر، سپس برای کاهش انتگرال دوگانه به انتگرال مکرر، منطقه را طرح ریزی می کنیم جیدر هر محور OYو از فرمول استفاده کنید

.

زیرا آ = –2, ب = 4, ایکس 2 (y) = 4+y، آن

مثال 2.یک انتگرال منحنی از نوع دوم را در امتداد یک کانتور بسته محاسبه کنید جایی که با- طرح کلی یک مثلث با رئوس آ(0; 0), ب(1; 2), سی(3; 1).

راه حل.نامگذاری به این معنی است که خط مثلث در جهت عقربه های ساعت پیمایش می شود. در موردی که انتگرال منحنی روی یک کانتور بسته گرفته شود، فرمول گرین شکل می گیرد.

بیایید منطقه را به تصویر بکشیم جی، توسط یک کانتور مشخص محدود شده است.

کارکرد و مشتقات جزئی و مستمر در منطقه جیبنابراین فرمول گرین را می توان اعمال کرد. سپس

منطقه جیدر جهت هیچ یک از محورها صحیح نیست. بیایید یک پاره خط مستقیم رسم کنیم ایکس= 1 و تصور کنید جیمانند جی = جی 1 È جی 2 کجا جی 1 و جی 2 ناحیه در جهت محور درست است اوه.

سپس

برای کاهش هر یک از انتگرال های دوگانه جی 1 و جی 2 برای تکرار از فرمول استفاده می کنیم

جایی که [ آ; ب] – پیش بینی ناحیه Dدر هر محور گاو نر,

y = y 1 (ایکس) – معادله منحنی کران پایین،

y = y 2 (ایکس) – معادله منحنی محدود کننده بالایی.

اجازه دهید معادلات مرزهای دامنه را بنویسیم جی 1 و پیدا کنید

AB: y = 2ایکس, 0 ≤ ایکس ≤ 1; آگهی: , 0 ≤ ایکس ≤ 1.

بیایید یک معادله برای مرز ایجاد کنیم قبل از میلاد مسیح.منطقه جی 2 با استفاده از فرمول

قبل از میلاد مسیح.: جایی که 1 ≤ ایکس ≤ 3.

دی سی: 1 ≤ ایکس ≤ 3.

وظیفه 7

مثال 1.کار زور را پیدا کنید L: y = ایکس 3 از نقطه م(0; 0) به نقطه ن(1; 1).

راه حل. کاری که هنگام حرکت یک نقطه مادی در امتداد یک قوس منحنی توسط یک نیروی متغیر انجام می شود Lبا فرمول (2.3) تعیین می شود (به عنوان یک انتگرال منحنی از نوع دوم یک تابع در امتداد منحنی L) .

از آنجایی که تابع برداری با معادله داده می شود و قوس منحنی صفحه گرا به صراحت توسط معادله تعریف می شود. y = y(ایکس), ایکس Î [ ایکس 1 ; ایکس 2]، که در آن y(ایکس) یک تابع پیوسته قابل تمایز است، سپس با فرمول (2.7)

در مثال مورد بررسی y = ایکس 3 , , ایکس 1 = x M = 0, ایکس 2 = xN= 1. بنابراین

مثال 2. کار زور را پیدا کنید هنگام حرکت یک نقطه مادی در امتداد یک خط L: ایکس 2 + y 2 = 4 از نقطه م(0; 2) به نقطه ن(–2; 0).

راه حل. با استفاده از فرمول (2.3) بدست می آوریم

.

در مثال مورد بررسی، قوس منحنی L(È MN) یک چهارم دایره مشخص شده است معادله متعارف ایکس 2 + y 2 = 4.

برای محاسبه انتگرال منحنی نوع دوم، راحت تر است که به تعریف پارامتریک دایره بروید: ایکس = آر cos تی, y = آرگناه تیو از فرمول (2.5) استفاده کنید

زیرا ایکس= 2cos تی, y= 2 گناه تی, , ، ما گرفتیم

وظیفه 8

مثال 1. مدول گردش میدان برداری را در امتداد کانتور محاسبه کنید جی:

راه حل.برای محاسبه گردش یک میدان برداری در امتداد یک کانتور بسته جیبیایید از فرمول (2.4) استفاده کنیم

از آنجایی که یک میدان برداری فضایی و یک حلقه بسته فضایی داده شده است جی، سپس با عبور از فرم برداری نوشتن انتگرال منحنی به فرم مختصات، به دست می آوریم

منحنی جیبه عنوان تقاطع دو سطح تعریف می شود: یک سهمی هذلولی z = x 2 – y 2 + 2 و سیلندر ایکس 2 + y 2 = 1. برای محاسبه انتگرال منحنی راحت است که به معادلات پارامتری منحنی بروید. جی.

معادله یک سطح استوانه ای را می توان به صورت زیر نوشت:
ایکس= cos تی, y= گناه تی, z = z. بیان برای zدر معادلات پارامتری منحنی با جایگزینی به دست می آید ایکس= cos تی, y= گناه تیبه معادله یک سهمی هذلولی z = 2 + cos 2 تی– گناه ۲ تی= 2 + cos 2 تی. بنابراین، جی: ایکس= cos تی,
y= گناه تی, z= 2 + cos 2 تی, 0 ≤ تی≤ 2p.

از آنجایی که در معادلات پارامتری منحنی گنجانده شده است جیکارکرد
ایکس(تی) = cos تی, y(تی) = گناه تی, z(تی) = 2 + cos 2 تیتوابع متمایزپذیر پیوسته پارامتر هستند تیدر تیО، سپس با استفاده از فرمول (2.6) انتگرال منحنی را پیدا می کنیم.

محاسبه حجم در آن راحت تر است مختصات استوانه ای. معادله دایره ای که ناحیه D، مخروط و پارابولوئید را محدود می کند

به ترتیب به شکل ρ = 2، z = ρ، z = 6 - ρ 2. با در نظر گرفتن این واقعیت که این بدنه نسبت به صفحات xOz و yOz متقارن است. ما داریم

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =

3. انتگرال های منحنی

اجازه دهید مفهوم انتگرال معین را به حالتی تعمیم دهیم که حوزه انتگرال یک منحنی معین باشد. انتگرال هایی از این نوع منحنی خط نامیده می شوند. دو نوع وجود دارد انتگرال های منحنی: انتگرال های منحنی بر روی طول قوس و انتگرال های منحنی بر روی مختصات.

3.1. تعریف انتگرال منحنی از نوع اول (در امتداد طول قوس). اجازه دهید تابع f(x,y) در امتداد یک تخت به صورت تکه ای تعریف شده است

صاف1 منحنی L که انتهای آن نقاط A و B خواهد بود. اجازه دهید منحنی L را به صورت دلخواه به n قسمت با نقاط M 0 = A, M 1,... M n = B تقسیم کنیم. بر

برای هر یک از کمان های جزئی M i M i + 1، یک نقطه دلخواه (x i، y i) را انتخاب می کنیم و مقادیر تابع f (x، y) را در هر یک از این نقاط محاسبه می کنیم. مجموع

1 منحنی صاف نامیده می شود اگر در هر نقطه مماس وجود داشته باشد که به طور مداوم در طول منحنی تغییر کند. منحنی صاف تکه ای منحنی متشکل از تعداد محدودی از قطعات صاف است.

i = 0

که در آن ∆ l i طول قوس جزئی M i M i + 1 است که نامیده می شود جمع انتگرال

انتخاب نقاط (x i، y i)، سپس این حد نامیده می شود انتگرال منحنی نوع اول (انتگرال منحنی در طول قوس)از تابع f (x,y) در امتداد منحنی L و با نماد ∫ f (x,y) dl نشان داده می شود.

تابع f(x,y) در این حالت فراخوانی می شود قابل ادغام در امتداد منحنی L،

منحنی L = AB خط یکپارچه سازی است، A نقطه اولیه، و B نقطه نهایی ادغام است، dl عنصر طول قوس است.

نکته 3.1. اگر در (3.2) f (x, y) ≡ 1 را برای (x, y) L قرار دهیم، سپس

عبارتی برای طول قوس L به شکل یک انتگرال منحنی از نوع اول بدست می آوریم.

l = ∫ dl.

پس داشتن نقاط داخلی مشترک

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x,y)dl.

4 o. ما به ویژه توجه می کنیم که مقدار انتگرال منحنی نوع اول به جهت ادغام بستگی ندارد، زیرا مقادیر تابع f (x, y) در

نقاط دلخواه و طول کمان جزئی ∆ l i که مثبت هستند،

صرف نظر از اینکه کدام نقطه از منحنی AB ابتدایی و کدام نقطه نهایی در نظر گرفته می شود، یعنی

1 3 (5 5 − 1).

نکته 3.2. مشابه آنچه در نظر گرفته شد، می‌توانیم مفهوم انتگرال منحنی از نوع اول تابع f (x, y, z) را معرفی کنیم.

منحنی صاف تکه ای فضایی L:

اگر منحنی L با معادلات پارامتری بدست آید

α ≤ t ≤ β، سپس

x= x(t)، y= y(t)

z= z(t)

مثال 3.3. ∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl را محاسبه کنید، جایی که L قوس منحنی است

Cos2 t - 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =

2 + t2 dt.

حال طبق فرمول (3.7) داریم

نشان دهنده جرم یک منحنی L با چگالی خطی متغیر ρ(x,y) است.

چگالی خطی آن طبق قانون ρ (x, y) = 2 y متغیر است.

راه حل. برای محاسبه جرم قوس AB از فرمول (3.8) استفاده می کنیم. قوس AB به صورت پارامتری داده می شود، بنابراین برای محاسبه انتگرال (3.8) از فرمول (3.4) استفاده می کنیم. زیرا

1+t

dt،

x (t) = 1، y (t) = t، dl =

3/ 2 1

1 (1+ t

m = ∫ 2 ydl = ∫

1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt =

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. تعریف انتگرال منحنی نوع دوم (توسط

مختصات). اجازه دهید تابع

f(x,y) در امتداد یک صفحه تعریف می شود

منحنی تکه ای صاف L که انتهای آن نقاط A و B خواهد بود. از نو

دلخواه

بیایید آن را بشکنیم

منحنی L

M 0 = A , M 1 ,... M n = B ما نیز درون را انتخاب می کنیم

هر جزئی

کمان M i M i + 1

نقطه دلخواه

(xi, yi)

و محاسبه کنید

نوع 1. 1.1.1. تعریف یک انتگرال منحنی از نوع اول بگذار در هواپیما اکسیمنحنی داده شده (L).اجازه دهید برای هر نقطه از منحنی (L)تابع پیوسته تعریف شده است f (x;y).بیایید قوس را بشکنیم ABخطوط (L)نقطه ها A=P 0، P 1، P n = Bبر nقوس های دلخواه P i -1 P iبا طول ( i = 1، 2، n) (شکل 27) بیایید روی هر قوس انتخاب کنیم P i -1 P iنقطه دلخواه M i (x i ; y i) ،بیایید مقدار تابع را محاسبه کنیم f(x;y)در نقطه M i. بیایید یک جمع انتگرالی بسازیم بذار کجا λ→0 (n→∞), مستقل از روش پارتیشن بندی منحنی ( L)به قسمت های ابتدایی و نه از انتخاب نقاط M i انتگرال منحنی از نوع 1از تابع f(x;y)(انتگرال منحنی در طول کمان) و نشان می دهد: اظهار نظر. تعریف انتگرال منحنی تابع به روشی مشابه معرفی شده است f(x;y;z)در امتداد منحنی فضایی (L). معنای فیزیکی یک انتگرال منحنی از نوع اول: اگر (L)-منحنی مسطح با یک صفحه خطی، سپس جرم منحنی با فرمول به دست می آید: 1.1.2. ویژگی های اساسی یک انتگرال منحنی از نوع اول: 3. اگر مسیر ادغامبه قسمت هایی تقسیم می شود که , و دارای یک نقطه مشترک واحد باشد, سپس . 4. انتگرال منحنی از نوع 1 به جهت ادغام بستگی ندارد: 5. طول منحنی کجاست. 1.1.3. محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع 1. محاسبه یک انتگرال منحنی به محاسبه یک انتگرال معین کاهش می یابد. 1. اجازه دهید منحنی (L)با معادله داده می شود. سپس یعنی دیفرانسیل قوس با استفاده از فرمول محاسبه می شود. مثال جرم پاره خط مستقیم را از یک نقطه محاسبه کنید A(1;1)به نقطه B(2;4)،اگر . راه حل معادله خطی که از دو نقطه می گذرد: . سپس معادله خط ( AB): , . بیایید مشتق را پیدا کنیم. سپس . = 2. اجازه دهید منحنی (L)به صورت پارامتری مشخص شده است: . سپس، یعنی دیفرانسیل قوس با استفاده از فرمول محاسبه می شود. برای حالت فضایی تعیین منحنی: سپس یعنی دیفرانسیل قوس با استفاده از فرمول محاسبه می شود. مثال طول قوس منحنی را پیدا کنید، . راه حل طول قوس را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم: . برای انجام این کار، دیفرانسیل قوس را پیدا می کنیم. بیایید مشتقات , , را پیدا کنیم سپس طول کمان: . 3. اجازه دهید منحنی (L)مشخص شده در سیستم مختصات قطبی: . سپس یعنی دیفرانسیل قوس با استفاده از فرمول محاسبه خواهد شد. مثال جرم قوس خط را محاسبه کنید، 0≤ ≤ اگر . راه حل جرم قوس را با استفاده از فرمول بدست می آوریم: برای انجام این کار، دیفرانسیل قوس را پیدا می کنیم. بیایید مشتق را پیدا کنیم. 1.2. انتگرال منحنی از نوع 2 1.2.1. تعریف انتگرال منحنی از نوع دوم بگذار در هواپیما اکسیمنحنی داده شده (L). اجازه دهید در (L)یک تابع پیوسته داده می شود f (x;y).بیایید قوس را بشکنیم ABخطوط (L)نقطه ها A = P 0، P 1، P n = Bدر جهت از نقطه آبه نقطه که دربر nقوس های دلخواه P i -1 P iبا طول ( i = 1، 2، n) (شکل 28). بیایید روی هر قوس انتخاب کنیم P i -1 P iنقطه دلخواه M i (x i ; y i), بیایید مقدار تابع را محاسبه کنیم f(x;y)در نقطه M i. بیایید یک جمع انتگرال بسازیم، جایی که - طول طرح ریزی قوس P i -1 P iدر هر محور اوه. اگر جهت حرکت در امتداد برآمدگی با جهت مثبت محور منطبق باشد اوه، سپس برآمدگی کمان ها در نظر گرفته می شود مثبت، در غیر این صورت - منفی. بذار کجا اگر محدودیتی در مجموع انتگرال در وجود داشته باشد λ→0 (n→∞مستقل از روش پارتیشن بندی منحنی (L)به بخش های ابتدایی و نه از انتخاب نقاط M iدر هر قسمت ابتدایی، این حد نامیده می شود انتگرال منحنی از نوع 2از تابع f(x;y)(انتگرال منحنی بر روی مختصات ایکس) و نشان می دهد: اظهار نظر.انتگرال منحنی بر روی مختصات y به طور مشابه معرفی می شود: اظهار نظر.اگر (L)منحنی بسته است، سپس انتگرال روی آن نشان داده می شود اظهار نظر.اگر روشن ( L) سه تابع به طور همزمان داده می شود و از این توابع انتگرال وجود دارد , , سپس عبارت: + + فراخوانی می شود انتگرال منحنی کلی از نوع 2و یادداشت کنید: 1.2.2. ویژگی های اساسی یک انتگرال منحنی از نوع دوم: 3. هنگامی که جهت ادغام تغییر می کند، انتگرال منحنی از نوع 2 علامت خود را تغییر می دهد. 4. اگر مسیر ادغام به قسمتهایی تقسیم شود که , و دارای یک نقطه مشترک واحد باشد, پس 5. اگر منحنی ( L) در هواپیما نهفته است: محور عمود بر هم اوه، سپس =0; محور عمود بر هم اوه، آن ؛ محور عمود بر هم اوز، سپس = 0. 6. یک انتگرال منحنی از نوع دوم روی یک منحنی بسته به انتخاب نقطه شروع بستگی ندارد (فقط به جهت عبور از منحنی بستگی دارد). 1.2.3. معنای فیزیکی یک انتگرال منحنی از نوع دوم. شغل Aنیروها هنگام جابجایی یک نقطه مادی با واحد جرم از یک نقطه مدقیقا ندر امتداد ( MN) برابر است با: 1.2.4. محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع دوم. محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع دوم به محاسبه یک انتگرال معین کاهش می یابد. 1. اجازه دهید منحنی ( L) با معادله به دست می آید. مثال محاسبه کنید کجا ( L) - خط شکسته OAB: O(0;0)، A(0;2)، B(2;4). راه حل پس از آن (شکل 29). 1) معادله (OA): , , 2) معادله یک خط (AB): . 2. اجازه دهید منحنی (L)به صورت پارامتری مشخص می شود: . اظهار نظر.در مورد فضایی: مثال محاسبه جایی که ( AB)-بخش از A(0;0;1)قبل از B(2;-2;3). راه حل بیایید معادله خط را پیدا کنیم ( AB): بیایید به ثبت پارامتری معادله خط مستقیم برویم (AB). سپس . نقطه A(0;0;1)مربوط به پارامتر است تیبرابر: بنابراین، t=0. نقطه B(2;-2;3)مربوط به پارامتر است تی, برابر: بنابراین t=1. هنگام حرکت از آبه که در،پارامتر تیاز 0 به 1 تغییر می کند. 1.3. فرمول گرین. ل) شامل M(x;y;z)با محورها گاو، اوی، اوز 16.3.2.1. تعریف انتگرال منحنی از نوع اول.اجازه دهید در فضای متغیرها x،y،z یک منحنی صاف تکه تکه داده می شود که تابع بر روی آن تعریف می شود f (ایکس ,y ,z بیایید منحنی را به قطعات دارای نقطه تقسیم کنیم، یک نقطه دلخواه را روی هر یک از کمان ها انتخاب کنیم، طول کمان را پیدا کنیم و مجموع انتگرال را بسازیم. اگر محدودیتی برای دنباله مجموع انتگرال در عدد وجود داشته باشد، مستقل از روش تقسیم منحنی به کمان یا انتخاب نقاط، آنگاه تابع f (ایکس ,y ,z ) منحنی انتگرال پذیر نامیده می شود و مقدار این حد را یک انتگرال منحنی از نوع اول یا یک انتگرال منحنی در طول قوس تابع می نامند. f (ایکس ,y ,z ) در امتداد منحنی، و (یا) نشان داده می شود. قضیه هستی.اگر تابع f (ایکس ,y ,z ) روی یک منحنی صاف تکه ای پیوسته است، سپس در امتداد این منحنی قابل ادغام است. مورد یک منحنی بسته.در این حالت می توانید یک نقطه دلخواه روی منحنی را به عنوان نقطه شروع و پایان در نظر بگیرید. در ادامه منحنی بسته را می نامیم کانتورو با یک حرف مشخص می شود با . این واقعیت که منحنی که در امتداد آن انتگرال محاسبه می شود بسته است معمولاً با یک دایره روی علامت انتگرال نشان داده می شود: . 16.3.2.2. ویژگی های یک انتگرال منحنی از نوع اول.برای این انتگرال، هر شش ویژگی که برای یک انتگرال معین، دوگانه، سه گانه معتبر هستند، از خطی بودنقبل از قضایای ارزش میانگین. آنها را فرموله و اثبات کنید بدون کمک دیگری. با این حال، هفتم، دارایی شخصی نیز برای این انتگرال صادق است: استقلال انتگرال منحنی نوع اول از جهت منحنی:. اثباتمجموع انتگرال انتگرال های سمت راست و چپ این برابری برای هر تقسیم منحنی و انتخاب نقاط (همیشه طول کمان) منطبق است، بنابراین حدود آنها برابر است. 16.3.2.3. محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول. مثال ها.اجازه دهید منحنی با معادلات پارامتری تعریف شود، جایی که توابع متمایز پیوسته وجود دارد، و اجازه دهید نقاطی که پارتیشن منحنی را تعریف می کنند، با مقادیر پارامتر مطابقت داشته باشند، به عنوان مثال. . سپس (به بخش 13.3 مراجعه کنید. محاسبه طول منحنی ها). با توجه به قضیه مقدار میانگین، نقطه ای وجود دارد که . اجازه دهید نقاط به دست آمده با این مقدار پارامتر را انتخاب کنیم: . سپس مجموع انتگرال برای انتگرال منحنی برابر با مجموع انتگرال برای انتگرال معین خواهد بود. از آنجا که پس از عبور از حد در برابری، به دست می آوریم بنابراین، محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول به محاسبه یک انتگرال معین بر روی یک پارامتر کاهش می یابد. اگر منحنی به صورت پارامتری داده شود، این انتقال مشکلی ایجاد نمی کند. اگر یک توصیف شفاهی کیفی از منحنی داده شود، ممکن است مشکل اصلی وارد کردن یک پارامتر بر روی منحنی باشد. اجازه دهید یک بار دیگر تاکید کنیم که ادغام همیشه در جهت افزایش پارامتر انجام می شود. مثال ها. 1. محاسبه کنید که یک دور مارپیچ کجاست در اینجا انتقال به انتگرال معین مشکلی ایجاد نمی کند: پیدا می کنیم و . 2. همان انتگرال را روی پاره خطی که نقاط را به هم وصل می کند محاسبه کنید و . در اینجا هیچ تعریف پارامتری مستقیمی از منحنی وجود ندارد، بنابراین AB باید یک پارامتر وارد کنید معادلات پارامتریک یک خط مستقیم به شکلی است که بردار جهت و نقطه خط مستقیم است. نقطه را نقطه و بردار: را بردار جهت می گیریم. به راحتی می توان دید که نقطه مطابق با مقدار است، نقطه مطابق با مقدار است، بنابراین. 3. قسمتی از قسمت استوانه در کنار صفحه را پیدا کنید z =ایکس +1، در اکتان اول خوابیده است. راه حل:معادلات پارامتری دایره - راهنمای استوانه فرم دارند ایکس =2cosj، y =2sinj، و از آنجا که z=x سپس +1 z = 2cosj+1. بنابراین، از همین رو 16.3.2.3.1. محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول. مورد تخت.اگر منحنی روی هر صفحه مختصاتی قرار داشته باشد، برای مثال، صفحه اوهو ، و با توجه به تابع داده می شود ایکس به عنوان یک پارامتر، فرمول زیر را برای محاسبه انتگرال به دست می آوریم: . به طور مشابه، اگر منحنی با معادله داده شود، آنگاه . مثال.ربع دایره ای که در ربع چهارم قرار دارد را محاسبه کنید. راه حل. 1. در نظر گرفتن ایکس به عنوان یک پارامتر، ما دریافت می کنیم، بنابراین 2. اگر یک متغیر را به عنوان پارامتر در نظر بگیریم در ، سپس و . 3. به طور طبیعی، می توانید معادلات پارامتری معمول یک دایره را بگیرید: . اگر منحنی داده شود مختصات قطبیو سپس و . قطعات یدکی 1 0 0 اگر خطایی پیدا کردید، لطفاً یک متن را انتخاب کنید و Ctrl+Enter را فشار دهید. انتخاب سردبیر زمان روی ساعت سیگنالی از فرشته شماست طلسم جغد به چه معناست و چگونه موثر است؟ تعویذ جغد: به چه معناست، برای کدام علامت زودیاک مناسب است؟ طلسم خورشید یک نماد جادویی قدرتمند در میان بسیاری از مردمان است گل صد تومانی نماد عشق و ثروت است عصا و گوی در نمایشگاه "بوریس گودونف از خدمتکار تا حاکم کل روسیه"