حد x به بی نهایت تمایل دارد. محدودیت های عملکرد

راه حل محدودیت های عملکرد آنلاین. مقدار محدود یک تابع یا دنباله تابعی را در یک نقطه پیدا کنید، محاسبه کنید نهاییمقدار تابع در بی نهایت تعیین همگرایی یک سری اعداد و خیلی بیشتر به لطف ما انجام می شود سرویس آنلاین- . ما به شما اجازه می‌دهیم محدودیت‌های عملکرد را به‌سرعت و با دقت آنلاین پیدا کنید. خودت واردش میکنی متغیر تابعو در حدی که تلاش می کند، سرویس ما تمامی محاسبات را برای شما انجام می دهد و پاسخی دقیق و ساده می دهد. و برای یافتن محدودیت آنلاینشما می توانید هر دو سری عددی و توابع تحلیلی حاوی ثابت در بیان تحت اللفظی وارد کنید. در این حالت، حد یافت شده تابع شامل این ثابت ها به عنوان آرگومان های ثابت در عبارت خواهد بود. خدمات ما هرگونه مشکل پیچیده پیدا کردن را حل می کند محدودیت های آنلاین، کافی است تابع و نقطه ای که باید محاسبه شود را مشخص کنید مقدار حد تابع. در حال محاسبه محدودیت های آنلاین، شما می توانید استفاده کنید روش های مختلفو قوانین حل آنها، ضمن بررسی نتیجه به دست آمده با حل محدودیت های آنلایندر سایت www.site ، که منجر به انجام موفقیت آمیز کار می شود - از اشتباهات و خطاهای اداری خود جلوگیری خواهید کرد. یا می توانید کاملاً به ما اعتماد کنید و از نتیجه ما در کار خود استفاده کنید، بدون صرف تلاش و زمان اضافی برای محاسبه مستقل حد تابع. ما به ورودی مقادیر حدی مانند بی نهایت اجازه می دهیم. لازم است یک عضو مشترک از یک دنباله اعداد وارد کنید و www.siteمقدار را محاسبه خواهد کرد محدود کردن آنلاینبه اضافه یا منهای بی نهایت.

یکی از مفاهیم اساسی آنالیز ریاضی است محدودیت عملکردو محدودیت توالیدر یک نقطه و در بی نهایت مهم است که بتوانید درست حل کنید محدودیت ها. با خدمات ما این کار دشواری نخواهد بود. تصمیمی گرفته می شود محدودیت های آنلایندر عرض چند ثانیه، پاسخ دقیق و کامل است. مطالعه آنالیز ریاضی با شروع می شود انتقال به حد, محدودیت هاتقریبا در تمام بخش ها استفاده می شود ریاضیات بالاتر، بنابراین داشتن یک سرور برای آن مفید است راه حل های محدود آنلاین، که matematikam.ru است.

اجازه دهید تابع y = ƒ (x) در نزدیکی نقطه x o تعریف شود، به جز، شاید، خود نقطه x o.

اجازه دهید دو تعریف معادل از حد یک تابع در یک نقطه را فرموله کنیم.

تعریف 1 (به "زبان توالی" یا به گفته هاینه).

عدد A حد تابع y=ƒ(x) در کوره x 0 (یا در x® x o)، اگر برای هر دنباله ای باشد نامیده می شود. ارزش های قابل قبولآرگومان های x n، n є N (x n ¹ x 0)، با همگرا شدن به x، دنباله ای از مقادیر متناظر تابع ƒ(xn)، n є N، به عدد A همگرا می شود.

در این مورد می نویسند
یا ƒ(x)->A در x→x o. معنای هندسی حد یک تابع: به این معنی است که برای تمام نقاط x که به اندازه کافی به نقطه xo نزدیک هستند، مقادیر مربوط به تابع به اندازه دلخواه با عدد A متفاوت است.

تعریف 2 (به «زبان ε» یا به گفته کوشی).

عدد A حد تابع در نقطه x o (یا در x→x o) نامیده می شود اگر برای هر ε مثبت عدد δ مثبت وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x¹ x o که نابرابری را ارضا می کنند |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

معنی هندسی حد تابع:

اگر برای هر همسایگی ε نقطه A یک همسایگی δ از نقطه x وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x1 xo از این همسایگی δ، مقادیر مربوط به تابع ƒ(x) در همسایگی ε باشد. نقطه A. به عبارت دیگر، نقاط نمودار تابع y = ƒ(x) درون نواری با عرض 2ε قرار دارند که با خطوط مستقیم y=A+ ε، y=A-ε محدود شده است (شکل 110 را ببینید). بدیهی است که مقدار δ به انتخاب ε بستگی دارد، بنابراین δ=δ(ε) می نویسیم.

<< Пример 16.1

ثابت کنیم که

راه حل: یک ε>0 دلخواه را در نظر بگیرید، δ=δ(ε)>0 را پیدا کنید به طوری که برای همه x که نابرابری را ارضا می کنند |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

با گرفتن δ=ε/2، می بینیم که برای همه x نابرابری |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. محدودیت های یک طرفه

در تعریف حد یک تابع، در نظر گرفته می شود که x به هر شکلی به x 0 تمایل دارد: کمتر از x 0 (در سمت چپ x 0)، بزرگتر از x o (در سمت راست x o)، یا در اطراف نوسان داشته باشد. نقطه x 0.

مواردی وجود دارد که روش تقریب آرگومان x به x o به طور قابل توجهی بر مقدار حد تابع تأثیر می گذارد. از این رو مفاهیم حدود یک طرفه معرفی می شوند.

عدد A 1 حد تابع y=ƒ(x) در سمت چپ در نقطه x o نامیده می شود اگر برای هر عدد ε>0 عدد δ=δ(ε)> 0 وجود داشته باشد به طوری که در x є (x 0 -δ;x o)، نابرابری |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 یا به طور مختصر: ƒ(x o- 0) = A 1 (نماد دیریکله) (به شکل 111 مراجعه کنید).

حد تابع در سمت راست به طور مشابه آن را با استفاده از نمادها می نویسیم:

به طور خلاصه، حد سمت راست با ƒ(x o +0)=A نشان داده می شود.

حد چپ و راست یک تابع را حدهای یک طرفه می گویند. بدیهی است که اگر وجود داشته باشد، هر دو حد یک طرفه وجود دارد و A = A 1 = A 2.

برعکس نیز صادق است: اگر هر دو حد ƒ(x 0 -0) و ƒ(x 0 +0) وجود داشته باشند و با هم برابر باشند، یک حد وجود دارد و A = ƒ(x 0 -0).

اگر A 1 ¹ A 2، پس این کلیسای کوچک وجود ندارد.

16.3. حد تابع در x ® ∞

اجازه دهید تابع y=ƒ(x) در بازه (-∞;∞) تعریف شود. عدد A نامیده می شود محدودیت عملکردƒ(x) در x→ ∞ ، اگر برای هر عدد مثبت ε یک عدد M=M()> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای همه x که نابرابری |x|>M را برآورده می کنند، نابرابری |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

معنای هندسی این تعریف به شرح زیر است: برای "ε>0 $ M>0، که برای x є(-∞; -M) یا x є(M; +∞) مقادیر مربوط به تابع ƒ( x) در همسایگی ε نقطه A قرار می گیرند، یعنی نقاط نمودار در نواری به عرض 2ε قرار دارند که توسط خطوط مستقیم y=A+ε و y=A-ε محدود شده است (شکل 112 را ببینید). .

16.4. تابع بی نهایت بزرگ (b.b.f.)

تابع y=ƒ(x) بی نهایت بزرگ نامیده می شود برای x→x 0 اگر برای هر عدد M> 0 عدد δ=δ(M)> 0 وجود داشته باشد که برای تمام x هایی که نابرابری 0 را برآورده می کنند.<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>م.

برای مثال تابع y=1/(x-2) b.b.f است. برای x-> 2.

اگر ƒ(x) به صورت x→x o به بی نهایت تمایل داشته باشد و فقط مقادیر مثبت بگیرد، آنگاه می نویسند.

اگر فقط مقادیر منفی باشد، پس

تابع y=ƒ(x)، تعریف شده در کل خط عددی، بی نهایت بزرگ نامیده می شودبه صورت x→∞، اگر برای هر عدد M>0 عددی N=N(M)>0 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x هایی که نابرابری |x|>N را برآورده می کنند، نابرابری |ƒ(x)|>M برقرار است. کوتاه:

برای مثال y=2x دارای b.b.f است. به صورت x→∞.

توجه داشته باشید که اگر آرگومان x با گرایش به بی نهایت فقط مقادیر طبیعی یعنی xєN را بگیرد، b.b.f مربوطه. به دنباله ای بی نهایت بزرگ تبدیل می شود. به عنوان مثال، دنباله v n =n 2 +1، n є N، یک دنباله بی نهایت بزرگ است. بدیهی است که هر B.b.f. در همسایگی نقطه x o در این همسایگی نامحدود است. عکس آن درست نیست: یک تابع نامحدود ممکن است b.b.f نباشد. (مثلا y=xsinx.)

با این حال، اگر limƒ(x)=A برای x→x 0، که در آن A یک عدد محدود است، تابع ƒ(x) در مجاورت نقطه x o محدود می شود.

در واقع، از تعریف حد یک تابع نتیجه می شود که به صورت x→ x 0 شرط |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

درس و ارائه با موضوع: "محدودیت یک تابع در بی نهایت"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین Integral برای درجه 10 از 1C
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف ساخت و ساز تعاملی برای کلاس های 7-10
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف تعاملی در مورد ساختمان در فضا برای کلاس های 10 و 11

آنچه ما مطالعه خواهیم کرد:

5. خواص. 6. مثال ها.

بچه ها بیایید ببینیم حد یک تابع در بی نهایت چقدر است؟
بی نهایت چیست؟
بی نهایت- برای توصیف اشیاء و پدیده های بی حد و مرز، بی حد و حصر و پایان ناپذیر، در مورد ما ویژگی اعداد استفاده می شود.

بی نهایت- تعداد نامحدود خودسرانه بزرگ (کوچک).
اگر صفحه مختصات را در نظر بگیریم، آنگاه محور آبسیسا (مرتب) به بی نهایت می رود اگر به طور نامحدود به سمت چپ یا راست (پایین یا بالا) ادامه یابد.

حالا بیایید به مرز تابع در بی نهایت برویم:
اجازه دهید یک تابع y=f(x) داشته باشیم، دامنه تعریف تابع ما شامل پرتو است، و اجازه دهید خط مستقیم y=b مجانب افقی نمودار تابع y=f(x) باشد، بیایید بنویسیم همه اینها به زبان ریاضی:

روابط ما همچنین می تواند به طور همزمان اجرا شود:

سپس مرسوم است که آن را به صورت زیر بنویسیم:

حد تابع y=f(x) با تمایل x به بی نهایت b است

مثال ها

خواص اساسی

1) برای هر عدد طبیعی m رابطه زیر برقرار است:

2) اگر پس:
الف) حد مبلغ برابر است با مجموع حدود:

ب) حد محصول برابر است با حاصل ضرب حدود:

ج) حد نصاب برابر است با نصاب حدود:

د) عامل ثابت را می توان فراتر از علامت حد برداشت:

مثال 1.

پیدا کردن: راه حل: صورت و مخرج کسر را بر x تقسیم کنید. بیایید از خاصیت استفاده کنیم که حد یک ضریب برابر با نصاب حد است:

بچه ها، محدودیت دنباله اعداد را به خاطر بسپارید.

ما گرفتیم:

مثال 2.

تعاریف محدود و نامتناهی یک تابع در بی نهایت با توجه به کوشی. تعاریف حدود دو طرفه و یک طرفه (چپ و راست). نمونه‌هایی از راه‌حل‌های مسائلی که در آن‌ها با استفاده از تعریف کوشی، باید نشان داد که حد در بی‌نهایت برابر با یک مقدار معین است.

همچنین ببینید: همسایگی یک نقطه
تعریف جهانی حد تابع طبق هاینه و کوشی

حد محدود یک تابع در بی نهایت

حد یک تابع در بی نهایت:
|f(x) - a|< ε при |x| >ن

تعیین حد کوشی
عدد a حد تابع نامیده می شود f (ایکس)همانطور که x به بی نهایت ()، اگر
1) چنین |x| وجود دارد >
2) برای هر عدد مثبت ε، هرچند کوچک > 0 ، یک عدد N ε وجود دارد > Kبسته به ε، که برای همه x، |x| > N ε، مقادیر تابع متعلق به همسایگی ε نقطه a است:
|ف (x) - a|< ε .
حد یک تابع در بی نهایت به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

نماد زیر نیز اغلب استفاده می شود:
.

بیایید این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول بنویسیم:
.
این فرض می کند که مقادیر متعلق به دامنه تابع هستند.

محدودیت های یک طرفه

حد چپ یک تابع در بی نهایت:
|f(x) - a|< ε при x < -N

اغلب مواردی وجود دارد که تابع فقط برای مقادیر مثبت یا منفی متغیر x (به طور دقیق تر، در مجاورت نقطه یا ) تعریف می شود. همچنین حدود در بی نهایت برای مقادیر مثبت و منفی x می تواند مقادیر متفاوتی داشته باشد. سپس از محدودیت های یک طرفه استفاده می شود.

حد چپ در بی نهایتیا حدی که x به منهای بی نهایت () میل می کند به صورت زیر تعریف می شود:
.
حد راست در بی نهایتیا حدی که x تمایل دارد به اضافه بی نهایت ():
.
حدود یک طرفه در بی نهایت اغلب به صورت زیر نشان داده می شود:
; .

حد نامتناهی یک تابع در بی نهایت

حد نامتناهی یک تابع در بی نهایت:
|f(x)| > M برای |x| > N

تعریف حد نامتناهی از نظر کوشی
حد تابع f (ایکس)همانطور که x تمایل به بی نهایت دارد ()، برابر است با بی نهایت، اگر
1) چنین همسایگی نقطه در بی نهایت |x| وجود دارد > K، که تابع بر روی آن تعریف شده است (در اینجا K یک عدد مثبت است).
2) برای هر عدد خودسرانه بزرگ M > 0 ، چنین عددی N M وجود دارد > Kبسته به M که برای همه x، |x| > N M، مقادیر تابع متعلق به همسایگی نقطه در بی نهایت است:
|ف (x) | > م.
حد نامتناهی که x تمایل به بی نهایت دارد به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد نامتناهی یک تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

به همین ترتیب، تعاریف حدود نامتناهی از نشانه های معین برابر و ارائه شده است:
.
.

تعاریف حدود یک طرفه در بی نهایت.
محدودیت های سمت چپ
.
.
.
حدود درست
.
.
.

تعیین حد یک تابع از نظر هاینه

عدد a (متناهی یا در بینهایت) حد تابع f نامیده می شود (ایکس)در نقطه x 0 :
,
اگر
1) چنین همسایگی نقطه x در بی نهایت وجود دارد 0 ، که تابع بر روی آن تعریف شده است (اینجا یا یا );
2) برای هر دنباله ای (xn)، همگرا به x 0 : ,
که عناصر آن متعلق به همسایگی، ترتیب (f(xn))به یک همگرا می شود:
.

اگر همسایگی یک نقطه بدون علامت در بینهایت را به عنوان یک همسایگی در نظر بگیریم: آنگاه تعریف حد یک تابع را به عنوان x تمایل به بی نهایت بدست می آوریم. اگر همسایگی سمت چپ یا راست نقطه x را در بی نهایت در نظر بگیریم 0 : یا , سپس تعریف حد را به دست می آوریم زیرا x به ترتیب به منهای بی نهایت و به اضافه بی نهایت تمایل دارد.

تعاریف هاینه و کوشی از حد معادل هستند.

مثال ها

مثال 1

استفاده از تعریف کوشی برای نشان دادن آن
.

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:
.
بیایید دامنه تعریف تابع را پیدا کنیم. از آنجایی که صورت و مخرج کسر چند جمله ای هستند، تابع برای همه x به جز نقاطی که مخرج در آنها ناپدید می شود، تعریف می شود. بیایید این نکات را پیدا کنیم. حل یک معادله درجه دوم. ;
.
ریشه های معادله:
; .
از آن پس و .
بنابراین تابع در تعریف شده است. بعدا از این استفاده خواهیم کرد.

اجازه دهید تعریف حد محدود یک تابع در بی نهایت را با توجه به کوشی بنویسیم:
.
بیایید تفاوت را تغییر دهیم:
.
صورت و مخرج را بر تقسیم و در آن ضرب کنید -1 :
.

اجازه دهید .
سپس
;
;
;
.

بنابراین، متوجه شدیم که وقتی،
.
.
نتیجه می شود که
در، و.

از آنجایی که همیشه می توانید آن را افزایش دهید، بیایید بگیریم. سپس برای هر کسی،
در .
این به آن معنا است .

مثال 2

اجازه دهید .
با استفاده از تعریف کوشی از حد، نشان دهید که:
1) ;
2) .

1) راه حل به عنوان x تمایل به منهای بی نهایت دارد

از آنجایی که تابع برای همه x تعریف شده است.
اجازه دهید تعریف حد تابع را در برابر منهای بی نهایت بنویسیم:
.

اجازه دهید . سپس
;
.

بنابراین، متوجه شدیم که وقتی،
.
اعداد مثبت را وارد کنید و:
.
بنابراین برای هر عدد مثبت M، یک عدد وجود دارد، به طوری که برای
.

این به آن معنا است .

2) راه حل به عنوان x تمایل دارد به اضافه بی نهایت

بیایید تابع اصلی را تبدیل کنیم. صورت و مخرج کسر را در ضرب کنید و فرمول تفاضل مربع ها را اعمال کنید:
.
ما داریم:

.
اجازه دهید تعریف حد راست تابع را در زیر بنویسیم:
.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: .
بیایید تفاوت را تغییر دهیم:
.
صورت و مخرج را در:
.

اجازه دهید
.
سپس
;
.

بنابراین، متوجه شدیم که وقتی،
.
اعداد مثبت را وارد کنید و:
.
نتیجه می شود که
در و .

از آنجایی که این برای هر عدد مثبت صدق می کند، پس
.

منابع:
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.

محدودیت ها برای همه دانش آموزان ریاضی دردسرهای زیادی ایجاد می کند. برای حل یک محدودیت، گاهی اوقات باید از ترفندهای زیادی استفاده کنید و از بین انواع روش های حل، دقیقاً روشی را انتخاب کنید که برای یک مثال خاص مناسب است.

در این مقاله به شما در درک محدودیت‌های توانایی‌های خود یا درک محدودیت‌های کنترل کمک نمی‌کنیم، اما سعی می‌کنیم به این سوال پاسخ دهیم: چگونه محدودیت‌ها را در ریاضیات بالاتر بفهمیم؟ درک با تجربه به دست می آید، بنابراین در عین حال چندین مثال مفصل از حل حدود را با توضیحات ارائه خواهیم کرد.

مفهوم حد در ریاضیات

سؤال اول این است: این حد چیست و حد چیست؟ ما می توانیم در مورد محدودیت های دنباله های عددی و توابع صحبت کنیم. ما به مفهوم حد یک تابع علاقه مندیم، زیرا این همان چیزی است که دانش آموزان اغلب با آن مواجه می شوند. اما ابتدا کلی ترین تعریف از حد:

فرض کنید مقداری متغیر وجود دارد. اگر این مقدار در فرآیند تغییر به طور نامحدود به عدد خاصی نزدیک شود آ ، آن آ - حد این مقدار

برای تابعی که در یک بازه مشخص تعریف شده است f(x)=y چنین عددی حد نامیده می شود آ ، که تابع زمانی که به آن تمایل دارد ایکس ، به یک نقطه خاص تمایل دارد آ . نقطه آ متعلق به بازه ای است که تابع در آن تعریف می شود.

دست و پا گیر به نظر می رسد، اما بسیار ساده نوشته شده است:

لیم- از انگلیسی حد- حد.

یک توضیح هندسی نیز برای تعیین حد وجود دارد، اما در اینجا ما به تئوری نمی پردازیم، زیرا ما بیشتر به جنبه عملی موضوع علاقه داریم تا جنبه نظری. وقتی این را می گوییم ایکس به مقداری تمایل دارد، این بدان معناست که متغیر مقدار یک عدد را نمی گیرد، بلکه به آن بی نهایت نزدیک می شود.

بیایید یک مثال خاص بزنیم. وظیفه یافتن حد است.

برای حل این مثال، مقدار را جایگزین می کنیم x=3 به یک تابع ما گرفتیم:

به هر حال، اگر به عملیات پایه روی ماتریس ها علاقه دارید، مقاله جداگانه ای در این زمینه بخوانید.

در نمونه ها ایکس می تواند به هر ارزشی گرایش داشته باشد. می تواند هر عدد یا بی نهایت باشد. در اینجا یک مثال زمانی است ایکس به بی نهایت تمایل دارد:

بطور شهودی، هرچه عدد در مخرج بزرگتر باشد، مقدار تابع کوچکتر خواهد بود. بنابراین، با رشد نامحدود ایکس معنی 1/x کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود.

همانطور که می بینید، برای حل محدودیت، فقط باید مقدار مورد نظر را در تابع جایگزین کنید ایکس . با این حال، این ساده ترین مورد است. غالباً یافتن محدودیت چندان واضح نیست. در محدوده ها عدم قطعیت هایی از نوع وجود دارد 0/0 یا بی نهایت / بی نهایت . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ توسل به ترفندها!

عدم قطعیت های درون

عدم قطعیت شکل بی نهایت/بی نهایت

بگذارید یک محدودیت وجود داشته باشد:

اگر بخواهیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم، هم در صورت و هم در مخرج بی نهایت می گیریم. به طور کلی، شایان ذکر است که عنصر خاصی از هنر در حل چنین عدم قطعیت هایی وجود دارد: باید توجه داشته باشید که چگونه می توانید عملکرد را به گونه ای تغییر دهید که عدم قطعیت از بین برود. در مورد ما، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم ایکس در مقطع ارشد چه اتفاقی خواهد افتاد؟

از مثالی که قبلاً در بالا توضیح داده شد، می دانیم که عبارات حاوی x در مخرج به صفر تمایل دارند. سپس راه حل حد این است:

برای حل عدم قطعیت نوع بی نهایت / بی نهایتصورت و مخرج را بر تقسیم کنید ایکسبه بالاترین درجه

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است هر نوع کاری

نوع دیگری از عدم قطعیت: 0/0

مثل همیشه، جایگزینی مقادیر در تابع x=-1 می دهد 0 در صورت و مخرج کمی دقیق تر نگاه کنید متوجه می شوید که ما یک معادله درجه دوم در صورتگر داریم. بیایید ریشه ها را پیدا کنیم و بنویسیم:

کم کنیم و بگیریم:

بنابراین، اگر با عدم قطعیت نوع مواجه هستید 0/0 - صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای آسان‌تر کردن حل مثال‌ها، جدولی با محدودیت‌های برخی از توابع ارائه می‌کنیم:

حکومت L'Hopital در داخل

راه قدرتمند دیگری برای از بین بردن هر دو نوع عدم قطعیت. ماهیت روش چیست؟

در صورت عدم قطعیت در حد، مشتق صورت و مخرج را بگیرید تا عدم قطعیت از بین برود.

قانون L'Hopital به این صورت است:

نکته مهم : حدی که در آن مشتقات صورت و مخرج به جای مصدر و مخرج قرار می گیرند باید وجود داشته باشد.

و اکنون - یک مثال واقعی:

عدم قطعیت معمولی وجود دارد 0/0 . بیایید مشتقات صورت و مخرج را در نظر بگیریم:

Voila، عدم قطعیت به سرعت و با ظرافت حل می شود.

امیدواریم بتوانید این اطلاعات را در عمل به کار ببرید و پاسخ سوال «چگونه محدودیت ها را در ریاضیات بالاتر حل کنیم» بیابید. اگر نیاز به محاسبه حد یک دنباله یا حد یک تابع در یک نقطه دارید، و مطلقاً زمانی برای این کار وجود ندارد، برای یک راه حل سریع و دقیق با یک سرویس دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید.