ابزاری برای یافتن معادله یک تابع. چند جمله ای درون یابی لاگرانژ روشی برای یافتن معادله مربوط به منحنی است که مختصات آن چند نقطه دارد.

پاسخ به سوالات

dCode اجازه می دهد تا از روش لاگرانژی برای درون یابی یک چند جمله ایو با استفاده از مقادیر نقاط شناخته شده (x,y) نسخه اصلی را پیدا می کند.

مثال: با آگاهی از نقاط \((x,y) \) : \((0,0),(2,4),(4,16) \) روش درون یابی چند جمله ای لاگرانژی اجازه می دهد تا \(y) را پیدا کنید = x^2 \). پس از کسر، تابع درون یابی \(f(x) = x^2 \) اجازه می دهد تا مقدار \(x = 3 \) را در اینجا \(f(x) = 9 \) تخمین بزنیم.

روش درونیابی لاگرانژ امکان تقریب خوبی از توابع چند جمله ای را فراهم می کند.

فرمول های درون یابی دیگری (به جای لاگرانژ/رچنر) مانند درون یابی نویل نیز به صورت آنلاین در dCode موجود است.

می توانید این پرسش و پاسخ را ویرایش کنید (اطلاعات جدید اضافه کنید، ترجمه را بهبود ببخشید، و غیره) " itemscope="" itemtype="http://schema.org/Question">

محدودیت های درون یابی با لاگرانژ چیست؟

از آنجایی که پیچیدگی محاسبات با تعداد نقاط افزایش می یابد، برنامه به 25 مختصات (با مقادیر x متمایز در Q) محدود می شود.

سوال جدید بپرس

کد منبع

dCode مالکیت کد منبع اسکریپت Lagrange Interpolating Polynomial را به صورت آنلاین حفظ می کند. به جز مجوز منبع باز صریح (مشخص شده Creative Commons / رایگان)، هر الگوریتم، اپلت، قطعه، نرم افزار (مبدل، حل کننده، رمزگذاری / رمزگشایی، رمزگذاری / رمزگشایی، رمزگذاری / رمزگشایی، مترجم)، یا هر تابع (تبدیل، حل، رمزگشایی) , encrypt, decipher, cipher, decode, code, translate) نوشته شده در هر زبان انفورماتیکی (PHP، جاوا، سی شارپ، پایتون، جاوا اسکریپت، متلب و غیره) که حقوق آن dCode را در اختیار دارد، به صورت رایگان منتشر نخواهد شد. برای دانلود اسکریپت آنلاین لاگرانژ Interpolating Polynomial برای استفاده آفلاین در رایانه شخصی، آیفون یا اندروید، قیمت را بخواهید

ورزش

برای دوره های آموزشی در این رشته

روش های خودکار برای پردازش نتایج آزمایش.

تحقیق و توسعه: توسعه برنامه ای برای ساخت یک گراف چند جمله ای درونیابی.

یک برنامه ترسیم نمودار با استفاده از فرمول درونیابی خطی چند بازه ای ایجاد کنید.

جدول عملکرد:

مقدمه

سیستم برنامه نویسی توربو پاسکال وحدتی از دو اصل مستقل تا حدودی است: یک کامپایلر از زبان برنامه نویسی پاسکال و برخی پوسته نرم افزار ابزاری که کارایی ایجاد برنامه ها را بهبود می بخشد.

محیط توربو پاسکال اولین چیزی است که هر برنامه نویسی هنگام شروع به کار با آن مواجه می شود کار عملیبرنامه نويسي.

هدف از این کار درسی نوشتن برنامه ای برای ترسیم نمودار چند جمله ای درون یابی در توربو پاسکال است.

بخش اصلی

مقدمه نظری

مشکل درون یابی

جدولی از اعداد (xi , fi)، i = 0, 1, ..., N ; x0< x1 < … < xN .

تعریف. هر تابع f(x) طوری که f(xi) = fi ; = 0، 1، ...، N برای جدول درون یابی (interpolation) نامیده می شود.

مشکل درونیابی یافتن (ساخت) یک تابع درون یابی است (یعنی تابعی که مقادیر داده شده fi را در گره های درون یابی معین xi می پذیرد) و به یک کلاس معین از توابع تعلق دارد. البته، مشکل درون یابی ممکن است راه حلی داشته باشد یا نداشته باشد (و نه تنها راه حل)، همه اینها به "کلاس داده شده از توابع" بستگی دارد. لازم است شرایطی که در آن مسئله درون یابی به طور خاص فرموله می شود، مشخص شود. یکی از روش های درون یابی این است که تابع درون یابی به عنوان ترکیبی خطی از برخی توابع خاص جستجو می شود. چنین درونیابی خطی نامیده می شود.

درون یابی خطی.

درون یابی فرمول برای n = 1، یعنی با استفاده از تابع خطی ، خطی نامیده می شود. هنگام کار با توابع چند جمله ای تکه ای، ابسیساهای داده ها فراخوانی می شوند گره ها، مفاصلیا نقاط شکست. تفاوت های فنی بین این نام ها وجود دارد، اما هر سه اصطلاح اغلب به جای یکدیگر استفاده می شوند. یک تابع چند جمله ای تکه ای خطی L(x) تابعی است که برای همه x تعریف شده است که دارای این ویژگی است که L(x) یک خط مستقیم بین xi و x i +1 است. این تعریف می‌پذیرد که در فواصل بین جفت‌های مختلف گره‌های همسایه، L(x) می‌تواند با خطوط مختلف منطبق باشد. اگر نماد را معرفی کنیم، ، سپس فرمول درون یابی خطیرا می توان به شکل زیر نوشت: (1)

کمیت q فاز درون یابی نامیده می شود که از 0 تا 1 تغییر می کند زیرا x از x 0 تا x 1 عبور می کند.

درون یابی خطی هندسی به معنای (شکل 1) جایگزینی نمودار یک تابع روی یک قطعه با وتر است که نقاط (x 0, f 0), (x 1, f 1) را به هم متصل می کند. از آنجایی که طبق فرمول، داریم و بنابراین، ، سپس برآورد حداکثر خطای درونیابی خطی بر روی قطعه مطابق با فرمول فرم را دارد ، (2) که در آن .

اغلب، جدولی از تعداد زیادی از مقادیر برخی از تابع f با گام ثابت h تغییر در آرگومان تنظیم می شود. سپس، برای یک x داده شده، دو گره نزدیک به آن انتخاب می شوند. گره سمت چپ x 0 و گره سمت راست x 1 در نظر گرفته می شود و درون یابی خطی طبق فرمول (1) انجام می شود. خطای درون یابی با فرمول (2) تخمین زده می شود.

فرمول بندی مشکل

برنامه ای برای ساخت یک گراف چند جمله ای درون یابی با استفاده از فرمول درونیابی خطی تکه ای چند بازه ای ایجاد کنید.

بسیاری از ما در علوم مختلف به اصطلاحات نامفهومی برخورد کرده ایم. اما افراد بسیار کمی هستند که از کلمات نامفهوم نمی ترسند، بلکه برعکس، روحیه می دهند و آنها را مجبور می کنند تا در موضوع مورد مطالعه عمیق تر شوند. امروز ما در مورد چیزی به عنوان درون یابی صحبت خواهیم کرد. این روشی برای رسم نمودارها با استفاده از نقاط شناخته شده است که امکان پیش بینی رفتار آن در بخش های خاصی از منحنی را با حداقل مقدار اطلاعات در مورد تابع فراهم می کند.

قبل از اینکه به اصل خود تعریف بپردازیم و در مورد آن با جزئیات بیشتر صحبت کنیم، اجازه دهید کمی به تاریخچه بپردازیم.

تاریخ

درون یابی از زمان های قدیم شناخته شده است. با این حال، این پدیده توسعه خود را مدیون چند تن از برجسته ترین ریاضیدانان گذشته است: نیوتن، لایب نیتس و گرگوری. آنها بودند که این مفهوم را با استفاده از روش های ریاضی پیشرفته تر موجود در آن زمان توسعه دادند. البته قبل از آن از درون یابی استفاده می شد و در محاسبات استفاده می شد، اما آنها این کار را به روش های کاملاً نادرست انجام می دادند و برای ساخت مدلی کم و بیش نزدیک به واقعیت، به حجم زیادی داده نیاز داشتند.

امروزه حتی می توانیم انتخاب کنیم که کدام یک از روش های درون یابی مناسب تر است. همه چیز به یک زبان کامپیوتر ترجمه می شود که می تواند با دقت زیادی رفتار یک تابع را در یک منطقه خاص، محدود به نقاط شناخته شده، پیش بینی کند.

درون یابی مفهومی نسبتاً محدود است، بنابراین تاریخچه آن از نظر واقعیات چندان غنی نیست. در بخش بعدی متوجه خواهیم شد که درون یابی در واقع چیست و چه تفاوتی با نقطه مقابل آن - برون یابی - دارد.

درون یابی چیست؟

همانطور که قبلاً گفتیم، این نام کلی روش هایی است که به شما امکان می دهد نمودار را بر اساس نقاط رسم کنید. در مدرسه، این کار عمدتاً با جمع‌آوری جدول، شناسایی نقاط روی نمودار و ایجاد خطوطی که آنها را به هم متصل می‌کند، انجام می‌شود. آخرین اقدام بر اساس ملاحظات شباهت تابع مورد مطالعه با سایرین انجام می شود که نوع نمودارهای آن را می دانیم.

با این حال، راه‌های دیگری، پیچیده‌تر و دقیق‌تر برای انجام وظیفه ترسیم نمودار نقطه به نقطه وجود دارد. بنابراین، درون یابی در واقع یک "پیش بینی" از رفتار یک تابع در یک منطقه خاص است که توسط نقاط شناخته شده محدود شده است.

مفهوم مشابهی در ارتباط با همان منطقه وجود دارد - برون یابی. همچنین پیش‌بینی نمودار یک تابع است، اما فراتر از نقاط شناخته شده نمودار. با این روش بر اساس رفتار یک تابع در یک بازه معلوم پیش بینی می شود و سپس این تابع در بازه مجهول نیز اعمال می شود. این روش برای کاربرد عملی بسیار مناسب است و به طور فعال به عنوان مثال در اقتصاد برای پیش بینی فراز و نشیب در بازار و پیش بینی وضعیت جمعیتی کشور استفاده می شود.

اما از موضوع اصلی منحرف شده ایم. در قسمت بعدی متوجه خواهیم شد که درون یابی چیست و با چه فرمولی می توان این عملیات را انجام داد.

انواع درونیابی

توسط بیشترین نمای سادهنزدیکترین درونیابی همسایه است. با این روش یک نمودار بسیار تقریبی متشکل از مستطیل ها بدست می آوریم. اگر حداقل یک بار توضیح معنای هندسی انتگرال را در یک نمودار دیده باشید، متوجه خواهید شد که در مورد چه نوع شکل گرافیکی صحبت می کنیم.

علاوه بر این، روش های دیگری نیز برای درون یابی وجود دارد. معروف ترین و محبوب ترین آنها با چند جمله ای ها مرتبط هستند. آنها دقیق تر هستند و امکان پیش بینی رفتار یک تابع را با مجموعه ای نسبتاً ناچیز از مقادیر فراهم می کنند. اولین روش درونیابی که به آن نگاه خواهیم کرد، درونیابی چند جمله ای خطی است. این ساده ترین روش از این دسته است و مطمئناً هر یک از شما در مدرسه از آن استفاده کرده اید. ماهیت آن در ساخت خطوط مستقیم بین نقاط شناخته شده نهفته است. همانطور که می دانید یک خط مستقیم از دو نقطه صفحه می گذرد که بر اساس مختصات این نقاط می توان معادله آنها را پیدا کرد. با ساختن این خطوط مستقیم، یک نمودار شکسته دریافت می کنیم که حداقل، مقادیر تقریبی توابع را نشان می دهد و به طور کلی با واقعیت مطابقت دارد. درون یابی خطی اینگونه عمل می کند.

انواع پیچیده درون یابی

یک روش درون یابی جالب تر، اما در عین حال پیچیده تر وجود دارد. این توسط ریاضیدان فرانسوی جوزف لوئیس لاگرانژ اختراع شد. به همین دلیل است که محاسبه درون یابی با این روش به نام او نامگذاری شده است: درونیابی به روش لاگرانژ. ترفند اینجا این است: اگر روشی که در پاراگراف قبل توضیح داده شد فقط از یک تابع خطی برای محاسبه استفاده می‌کند، بسط لاگرانژ شامل استفاده از چند جمله‌ای درجات بالاتر نیز می‌شود. اما یافتن خود فرمول های درونیابی برای توابع مختلف چندان آسان نیست. و هر چه نقاط بیشتر شناخته شود، فرمول درونیابی دقیق تر است. اما روش های بسیار دیگری نیز وجود دارد.

همچنین یک روش محاسبه کامل تر و نزدیک به واقعیت وجود دارد. فرمول درون یابی به کار رفته در آن مجموعه ای از چندجمله ای ها است که کاربرد هر کدام به مقطع تابع بستگی دارد. به این روش تابع spline می گویند. علاوه بر این، راه هایی نیز برای انجام چنین کاری وجود دارد، مانند درون یابی توابع دو متغیر. در اینجا فقط دو روش وجود دارد. از جمله آنها می توان به درونیابی دو خطی یا دوگانه اشاره کرد. این روش به شما این امکان را می دهد که به راحتی یک نمودار بر اساس نقاط در فضای سه بعدی بسازید. روش های دیگر تحت تاثیر قرار نمی گیرند. به طور کلی، درون یابی یک نام جهانی برای همه این روش های رسم نمودار است، اما انواع روش هایی که می توان این عمل را انجام داد، آنها را مجبور می کند بسته به نوع تابعی که تحت این عمل قرار می گیرد به گروه هایی تقسیم شوند. یعنی درون یابی که نمونه ای از آن را در بالا در نظر گرفتیم به روش های مستقیم اشاره دارد. درون یابی معکوس نیز وجود دارد که از این جهت متفاوت است که به شما امکان می دهد نه یک تابع مستقیم، بلکه یک تابع معکوس (یعنی x از y) را محاسبه کنید. ما گزینه های دوم را در نظر نخواهیم گرفت، زیرا بسیار دشوار است و به یک پایگاه دانش ریاضی خوب نیاز دارد.

بیایید به شاید یکی از مهم ترین بخش ها برویم. از آن می آموزیم که چگونه و کجا مجموعه روش هایی که در مورد آن بحث می کنیم در زندگی اعمال می شود.

کاربرد

همانطور که می دانید ریاضیات ملکه علوم است. بنابراین، حتی اگر در ابتدا نکته ای را در عملیات خاصی مشاهده نکنید، این به معنای بی فایده بودن آنها نیست. به عنوان مثال، به نظر می رسد که درون یابی چیز بیهوده ای است که با کمک آن فقط می توان نمودارهایی ساخت که اکنون افراد کمی به آن نیاز دارند. با این حال، در هر محاسباتی در مهندسی، فیزیک و بسیاری از علوم دیگر (به عنوان مثال، زیست شناسی)، بسیار مهم است که به اندازه کافی نشان داده شود. تصویر کاملدر مورد پدیده، در حالی که دارای مجموعه ای از ارزش ها است. خود مقادیری که در نمودار پراکنده شده اند، همیشه ایده روشنی از رفتار تابع در یک منطقه خاص، مقادیر مشتقات آن و نقاط تقاطع با محورها به دست نمی دهند. و این برای بسیاری از زمینه های زندگی ما بسیار مهم است.

و چگونه در زندگی مفید خواهد بود؟

پاسخ به چنین سوالی می تواند بسیار دشوار باشد. اما پاسخ ساده است: هیچ راهی. این دانش برای شما فایده ای ندارد. اما اگر این مطالب و روش های انجام این اعمال را درک کنید، منطق خود را آموزش خواهید داد که در زندگی بسیار مفید خواهد بود. نکته اصلی خود دانش نیست، بلکه مهارت هایی است که فرد در فرآیند مطالعه به دست می آورد. از این گذشته ، بی جهت نیست که یک ضرب المثل وجود دارد: "یک قرن زندگی کنید - یک قرن یاد بگیرید".

مفاهیم مرتبط

با نگاه کردن به انواع دیگر مفاهیم مرتبط با این، می توانید خودتان متوجه شوید که این حوزه از ریاضیات چقدر مهم بوده (و هنوز هم هست). ما قبلاً در مورد برون یابی صحبت کرده ایم، اما یک تقریب نیز وجود دارد. شاید قبلاً این کلمه را شنیده باشید. در هر صورت، ما در این مقاله معنای آن را نیز تحلیل کردیم. تقریب، مانند درون یابی، مفاهیم مربوط به رسم نمودارهای تابع هستند. اما تفاوت بین اول و دوم این است که ساخت تقریبی یک نمودار بر اساس نمودارهای شناخته شده مشابه است. این دو مفهوم شباهت زیادی به یکدیگر دارند و مطالعه هر یک از آنها جالب تر است.

نتیجه

ریاضیات آنقدرها که در نگاه اول به نظر می رسد، علم سختی نیست. او نسبتا جالب است. و در این مقاله سعی کردیم آن را به شما ثابت کنیم. ما به مفاهیم مرتبط با رسم نمودارها نگاه کردیم، یاد گرفتیم که درون یابی مضاعف چیست و با مثال هایی تجزیه و تحلیل کردیم که در آن از آن استفاده می شود.

در عمل، برای جابجایی ابزار، سیستم CNC تنها به نقاط مرجع نیاز ندارد، بلکه به نمایش دقیق تری نیاز دارد. برای محاسبه نقاط میانی و صدور دستورات برای حرکت در امتداد محورهای خطی، از یک دستگاه محاسباتی ویژه استفاده می شود - درون یابی.

Interpolators به ​​تقسیم می شوند خطیو گرد. درون یاب خطی برای کار کردن حرکت مستطیلی ابزار استفاده می شود. در ورودی، درون یابی اطلاعاتی در مورد مختصات نقاط مرجع دریافت می کند، در خروجی، برای هر مختصات، دنباله ای از پالس های لازم برای انجام هندسه داده شده تشکیل می شود. درون‌یابی خطی به شما اجازه می‌دهد فقط تمرین کنید مستطیلجنبش. با این حال، اطمینان حاصل کنید دقیقمطابقت جابجایی در امتداد یک خط مستقیم معین بسیار دشوار است. مسیر نهایی حرکت تقریباً شبیه یک خط شکسته است (شکل زیر).

در فرآیند کار، درون یابی مستقیم به طور متناوب فعال شدن درایوها را کنترل می کند محور X، سپس توسط محور Y(اگر خط در صفحه XY باشد)، تعداد مورد نیاز پالس را به درایو ارسال می کند. در شکل بالا، برای انجام یک خط مستقیم، یک پالس به محور Y و دو پالس به X ارسال می شود. معنی دانحراف از هندسه داده شده را تعریف می کند. زیرا وضوح به شما امکان می دهد یک پالس را برای حرکت تنظیم کنید 0.001 mm، سپس منحنی شکسته نهایی را می توان در نظر گرفت صاف.

بنابراین، درون یابی خطی تعداد پالس های مورد نیاز را در امتداد یک یا محور دیگر محاسبه می کند و آنها را به درایوها خروجی می دهد.

برنامه ریزی خطی

G01 X n.n Yn.n Z n.n Fn.n، که در آن

اف- سرعت حرکت؛

به عنوان مثال، برای برنامه ریزی یک حرکت خط مستقیم از یک نقطه آدقیقا ببا سرعت 1000 میلی متر در دقیقهلازم است فریم بعدی در UE تشکیل شود.

درون یابی. مقدمه. بیان کلی مشکل

هنگام حل مسائل مختلف عملی، نتایج تحقیق در قالب جداولی ترسیم می شود که وابستگی یک یا چند کمیت اندازه گیری شده را به یک پارامتر تعیین کننده (استدلال) نشان می دهد. این گونه جداول معمولاً در قالب دو یا چند ردیف (ستون) ارائه می شوند و برای شکل دادن به مدل های ریاضی استفاده می شوند.

توابع ارائه شده در جداول در مدل های ریاضی معمولاً در جداول به شکل زیر نوشته می شوند:

اطلاعات محدود ارائه شده توسط این جداول، در برخی موارد، مستلزم به دست آوردن مقادیر توابع Yj (X) (j=1,2,…,m) در نقاط X است که با نقاط گرهی منطبق نیست. جدول X i (i=0،1،2،…،n). در چنین مواردی، برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع مورد بررسی Y j (X) در نقاطی که به طور دلخواه X مشخص شده اند، لازم است مقداری عبارت تحلیلی φj (X) تعیین شود. تابع φ j (X) که برای تعیین مقادیر تقریبی تابع Y j (X) استفاده می شود تابع تقریبی نامیده می شود (از رویکرد لاتین approximo). نزدیکی تابع تقریبی φj (X) به تابع تقریبی Yj (X) با انتخاب الگوریتم تقریب مناسب تضمین می‌شود.

ما تمام ملاحظات و نتیجه گیری های بیشتر را برای جداول حاوی داده های اولیه یک تابع مورد بررسی (یعنی برای جداول با m=1) انجام خواهیم داد.

1. روش های درون یابی

1.1 بیان مسئله درونیابی

اغلب برای تعیین تابع φ(X) از یک دستور استفاده می شود که به آن عبارت مسئله درون یابی می گویند.

در این فرمول کلاسیک مسئله درون یابی، باید تابع تحلیلی تقریبی φ(Х) را تعیین کرد که مقادیر آن در نقاط گرهی Х i با مقادیر مطابقت دهید Y(X i) از جدول اصلی، i.e. شرایط

تابع تقریبی φ(X) که به این ترتیب ساخته شده است، به دست آوردن یک تقریب نسبتا نزدیک به تابع درون یابی Y(X) در محدوده مقادیر آرگومان [X 0 ; X n ] که توسط جدول تعریف شده است. هنگام تنظیم مقادیر آرگومان X، مالک نیستدر این فاصله، مسئله درون یابی به مسئله برون یابی تبدیل می شود. در این موارد دقت

مقادیر بدست آمده هنگام محاسبه مقادیر تابع φ(X) به فاصله مقدار آرگومان X از X 0 در صورت X بستگی دارد< Х 0 , или от Х n , если Х >Xn.

در مدل سازی ریاضی، تابع درون یابی می تواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع مورد مطالعه در نقاط میانی زیر بازه ها استفاده شود [Х i ; Xi+1]. چنین رویه ای نامیده می شود مهر جدول.

الگوریتم درون یابی با روش محاسبه مقادیر تابع φ(X) تعیین می شود. ساده ترین و واضح ترین پیاده سازی تابع درون یابی جایگزینی تابع بررسی شده Y(X) در بازه [X i ; Х i+1 ] توسط پاره خطی که نقاط Y i، Y ​​i+1 را به هم متصل می کند. این روش را روش درونیابی خطی می نامند.

1.2 درونیابی خطی

با درون یابی خطی، مقدار تابع در نقطه X، واقع بین گره های X i و X i+1، با فرمول یک خط مستقیم که دو نقطه مجاور جدول را به هم متصل می کند، تعیین می شود.

روی انجیر 1 نمونه ای از جدولی را نشان می دهد که در نتیجه اندازه گیری مقدار مشخصی Y(X) به دست آمده است. ردیف های جدول منبع برجسته شده اند. در سمت راست جدول یک نمودار پراکندگی مربوط به این جدول وجود دارد. تراکم جدول به دلیل محاسبه با فرمول انجام می شود

(3) مقادیر تابع که در نقاط Х مربوط به نقاط میانی زیر بازه‌ها (i=0، 1، 2، …، n) تقریب می‌شوند.

عکس. 1. جدول فشرده تابع Y(X) و نمودار مربوط به آن

هنگام در نظر گرفتن نمودار در شکل. 1 می توان مشاهده کرد که نقاط به دست آمده در نتیجه تراکم جدول با استفاده از روش درون یابی خطی بر روی پاره های خطی قرار دارند که نقاط جدول اصلی را به هم متصل می کنند. دقت خطی

درون یابی، اساساً به ماهیت تابع درون یابی و به فاصله بین گره های جدول X i, , X i+1 بستگی دارد.

بدیهی است که اگر تابع صاف باشد، حتی با فاصله نسبتاً زیاد بین گره ها، نمودار ساخته شده با اتصال نقاط با پاره های خط مستقیم، تخمین دقیق ماهیت تابع Y(X) را ممکن می سازد. اگر تابع به اندازه کافی سریع تغییر کند و فواصل بین گره ها زیاد باشد، تابع درون یابی خطی اجازه نمی دهد تا یک تقریب به اندازه کافی دقیق به تابع واقعی به دست آوریم.

تابع درونیابی خطی را می توان برای یک تحلیل اولیه اولیه و ارزیابی صحت نتایج درونیابی استفاده کرد که سپس با روش های دقیق تر دیگر به دست می آیند. چنین ارزیابی به ویژه در مواردی که محاسبات به صورت دستی انجام می شود، مهم می شود.

1.3 درونیابی با چند جمله ای متعارف

روش درونیابی یک تابع توسط یک چند جمله ای متعارف بر اساس ساخت یک تابع درونیابی به عنوان یک چند جمله ای به شکل [1] است.

ضرایب i از چند جمله ای (4) پارامترهای درون یابی آزاد هستند که از شرایط لاگرانژ تعیین می شوند:

Pn (xi ) = Yi , (i = 0 , 1 , ... , n)

با استفاده از (4) و (5) سیستم معادلات را می نویسیم

بردار حل با i (i = 0, 1, 2, …, n ) از یک سیستم خطی معادلات جبری(6) وجود دارد و اگر هیچ گره مطابق x i وجود نداشته باشد، می توان آن را پیدا کرد. تعیین کننده سیستم (6) تعیین کننده Vandermonde1 نامیده می شود و بیانی تحلیلی دارد [2].

1 تعیین کننده واندرموند تعیین کننده نامیده می شود

برابر صفر است اگر و فقط اگر xi = xj برای برخی . (مواد از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد)

برای تعیین مقادیر ضرایب با i (i = 0، 1، 2، …، n)

معادلات (5) را می توان به صورت ماتریس برداری نوشت

A* C = Y،

که در آن A ماتریس ضرایب تعیین شده توسط جدول توان های بردار آرگومان X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

С بردار ستونی از ضرایب با i است (i = 0، 1، 2، …، n)، و Y بردار ستونی از مقادیر Y i (i = 0، 1، 2، …، n) است. تابع درون یابی در گره های درون یابی.

راه حل این سیستم معادلات جبری خطی را می توان با یکی از روش های شرح داده شده در [3] به دست آورد. مثلا طبق فرمول

که در آن A -1 ماتریس معکوس ماتریس A است. برای به دست آوردن ماتریس معکوس A -1 می توانید از تابع MIN() استفاده کنید که در مجموعه توابع استاندارد برنامه مایکروسافت اکسل گنجانده شده است.

پس از تعیین مقادیر ضرایب با i، با استفاده از تابع (4)، می توان مقادیر تابع درون یابی را برای هر مقدار از آرگومان x محاسبه کرد.

بیایید ماتریس A را برای جدول نشان داده شده در شکل 1، بدون در نظر گرفتن ردیف هایی که جدول را متراکم می کنند، بنویسیم.

شکل 2 ماتریس سیستم معادلات برای محاسبه ضرایب چند جمله ای متعارف

با استفاده از تابع MOBR() ماتریس A -1 را معکوس به ماتریس A بدست می آوریم (شکل 3). سپس طبق فرمول (9) بردار ضرایب С=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T نشان داده شده در شکل را بدست می آوریم. چهار

برای محاسبه مقادیر چند جمله ای متعارف در سلول ستون Y متعارف مربوط به مقدار x 0، تبدیل به را معرفی می کنیم. نوع بعدیفرمول مربوط به خط صفر سیستم (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

به جای نوشتن "c i" در فرمول وارد شده در سلول جدول اکسل، باید یک مرجع مطلق به سلول مربوطه حاوی این ضریب وجود داشته باشد (شکل 4 را ببینید). به جای "x 0" - یک مرجع نسبی به سلول ستون X (نگاه کنید به شکل 5).

Y متعارف (0) از مقداری که با مقدار سلول Y lin (0) مطابقت دارد. هنگام کشیدن فرمول نوشته شده در سلول Y متعارف (0)، مقادیر Y متعارف (i) نیز باید مطابق با نقاط گره اصلی باشد.

جداول (شکل 5 را ببینید).

برنج. 5. نمودارهای ساخته شده بر اساس جداول درونیابی خطی و متعارف

با مقایسه نمودارهای توابع ساخته شده بر اساس جداول محاسبه شده با استفاده از فرمول های درون یابی خطی و متعارف، در تعدادی از گره های میانی انحراف قابل توجهی از مقادیر به دست آمده توسط فرمول های درون یابی خطی و متعارف مشاهده می کنیم. منطقی تر است که صحت درونیابی را بر اساس به دست آوردن اطلاعات اضافی در مورد ماهیت فرآیند مدل سازی شده قضاوت کنیم.