Кольцо полиномов с целыми коэффициентами. Конечные поля, основанные на кольцах многочленов

Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z . Делимость многочленов. Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления "углом" использует только арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для двух ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Следствие. Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным. В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда, где По определению идеала отсюда вытекает, что, а значит, I =(p). Разложение на множители. Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= 0. Примеры. 1. . Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые. 2. Многочлен неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен. Свойства неприводимых многочленов. 1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q. В самом деле, p = d*s и если deg(s)>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s)=0, то d | qp | q. 2. Если p | и p неприводим, то либо p | либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p,) = НОД(p,) =1 и потому по основной теореме теории делимости, откуда: и значит, то есть НОД(p,)=1 и, следовательно, deg (p)=0.

ЛЕКЦИЯ 7.

Кольцо многочленов от одного неизвестного

Определение многочлена . Из школьного курса известна задача решения уравнения второй степени вида

где
. Решить уравнение (7.1) – это значит найти такое значение неизвестного , которое при подстановке в уравнение (предикат ) (7.1) обращает его в числовое тождество (в истинное высказывание ).

Пример 7.1. Найти множество истинности предиката

.

Р е ш е н и е. Рассмотрим тождественное преобразование правой части указанного предиката:

.

Приравнивая последнее выражение к нулю, получаем формулу

,

которая даёт значения неизвестных, обращающих предикат
в истинное высказывание. Следовательно, множество истинности предиката
в общем случае состоит из двух элементов

,

значения которых вычисляются через значения коэффициентов квадратного трёхчлена
. Выражение
, стоящее под знаком квадратного корня, называется дискриминантом уравнения
. Возможны три случая:

1)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из одного действительного числа
(квадратное уравнение
имеет один вещественный корень);

2)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из двух вещественных чисел, которые вычисляются по выписанным выше формулам (квадратное уравнение
имеет два вещественных корня);

3)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из двух комплексно сопряжённых чисел:

(уравнение
имеет комплексно сопряжённые корни).

В общем случае мы приходим к задаче решения уравнения - й степени относительно одного неизвестного

коэффициенты
которого будем считать произвольными комплексными числами , причём старший коэффициент
. Решить уравнение (7.2) – это значит найти такие значения неизвестного , которые, будучи подставлены в уравнение (7.2), обращают его в числовое тождество. Задачу решения уравнения (7.2) заменяют более общей задачей изучения левой части этого уравнения .

Определение 7.1. Многочленом , или полиномом степени от одного неизвестного (или буквы ) называется формальное выражение вида

, (7.3)

то есть формальная алгебраическая сумма целых неотрицательных степеней неизвестного , взятых с некоторыми, вообще говоря, комплексными коэффициентами , ,
, ,
.

Обозначают многочлены различными буквами латинского и греческого алфавитов, как большими , так и малыми .

Степенью многочлена (7.3) называется наивысшая степень неизвестного , при которой коэффициент
. Многочлен нулевой степени – это многочлен, состоящий из одного, неравного нулю комплексного числа. Число нуль – это тоже многочлен, степень которого не определена .

Степень многочлена , если это необходимо, обозначается нижним индексом, например
, или символом
. Наряду с записью многочленов в форме (7.3) часто применятся форма записи по возрастающим степеням , то есть

Равенство, сумма и произведение многочленов . Многочлены можно сравнивать и производить над ними действия сложения и умножения.

Определение 7.2. Два многочлена
и
считаются равными и пишут
в том и только в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного .

Никакой многочлен, хотя бы один коэффициент которого отличен от нуля, не может быть равным нулю. Поэтому знак равенства в записи уравнения -й степени не имеет отношения к равенству многочленов.

В математическом анализе равенство многочленов
рассматривается как равенство двух функций, то есть,

.

Если многочлены равны в смысле определения 7.2, то они равны и в смысле равенства функций. Обратное является следствием сформулированной ниже основной теоремы алгебры многочленов.

Введём две алгебраические операции над многочленами с комплексными (в общем случае) коэффициентами – сложение и умножение .

Определение 7.3. Пусть даны два многочлена

,
,

,
.

Для определённости положим
. Суммой данных многочленов называется многочлен

коэффициенты которого равны сумме коэффициентов при одинаковых степенях неизвестного :

.

Причём, если
полагают .

Отметим, что степень суммы двух многочленов при
равна , а при
может оказаться меньше , а именно при
.

Определение 7.4. Произведением многочленов

,
,

,

называется многочлен

коэффициенты которого находятся по формуле

, . (7.4)

Таким образом, коэффициент произведения двух многочленов с индексом
равен сумме всевозможных произведений коэффициентов многочленов
и
, сумма индексов которых равна , а именно:

,
,
,
.

Из последнего равенства имеем
. Следовательно, степень произведения двух многочленов равна сумме степеней этих многочленов:

По определению полагают, что степень многочлена

.

Мы получили следующий результат.

Лемма 7.1. Пусть
и
– два многочлена. Тогда их произведение .

Пример 7.2. Пусть даны два многочлена разной степени, например,

,
.

Тогда их сумма и произведение есть, соответственно:

.

Итак, во множестве многочленов с комплексными коэффициентами введены две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение . Свойства этих операций устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 7.1. Множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей .

Доказательство теоремы сводится к проверке аксиом кольца, и мы его опустим. Отметим только, что нулём для операции сложения является число (многочлен) , а единицей для операции умножения является число (многочлен) .

Кольцо многочленов обозначают
, где
– символ поля, над которым определён многочлен. Таким образом, теорема 7.1 утверждает: множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является кольцом
.

Делимость многочленов . Многочлен
имеет обратный многочлен
, в том и только в том случае, если
– многочлен нулевой степени. Действительно, если
, то обратный многочлен
. Если же
, то степень левой части
при условии, что
существует, должна быть не меньше
, но правая часть последнего равенства является многочленом нулевой степени. Итак, в кольце многочленов
для операции умножения не существует обратной операции деления . В кольце многочленов, однако, существует алгоритм деления с остатком .

Теорема 7.2. Для любых двух многочленов
и
существуют такие многочлены
и
, что

, (7.5)

где , или
. Представление (7.5) единственно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
и
. Представим многочлены
и
в виде

Если
или
, то положим в (7.5)

,
.

Тогда, очевидно, (7.5) выполняется. Поэтому предположим, что
. Положим:

. (7.6)

Обозначим старший коэффициент многочлена
через . Очевидно, что
. Если
, то положим:

. (7.7)

Старший коэффициент многочлена
обозначим . Если
, то опять положим

(7.8)

и так далее. Степени
многочленов
, очевидно, убывают. После конечного числа шагов получим

, (7.9)

где или
, или
. После этого процесс прекращается.

Складывая равенства (7.6) – (7.9) , получаем

Обозначая сумму в круглых скобках
, а
, получаем (7.5), причём либо
, либо степень
.

Докажем единственность (7.5). Пусть

где или
, или . Из (7.5) и (7.11) имеем:

Степень многочлена в левой части последнего равенства не меньше степени
, а степень многочлена в правой части или нулевая, или меньше степени
. Поэтому последнее равенство выполняется лишь при равенств

,
.

Многочлен
в формуле (7.5) называется частным от деления многочлена
на многочлен
, а многочлен
называется остатком от этого деления. Если
, то говорят, что многочлен
делится на многочлен
, который называют делителем многочлена
. Выясним, когда многочлен
делится на многочлен
.

Теорема 7.3. Многочлен
делится на многочлен
в том и только в том случае, если существует такой многочлен
, что

. (7.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если
делится на
, то в качестве
следует взять частное от деления
на
. Обратно, пусть многочлен, удовлетворяющий равенству (7.12), существует. Тогда из доказанной в теореме 7.1. единственности многочленов
и
в представлении (7.5) и условия того, что степень
меньше степени
, следует, что частное от деления
на
равно
, а остаток
.

Следствие из теоремы 7.3. Если многочлен
и его делитель
имеют рациональные или действительные коэффициенты, то и частное
также будет иметь рациональные или действительные коэффициенты.

Пример 7.3. Выполнить деление с остатком многочлена

на многочлен
.

Р е ш е н и е. Алгоритм деления (7.6) – (7.9) реализуем в форме «деления уголком »:

Итак, частное
, остаток
. Поэтому имеет место представление следующего вида

которое можно проверить непосредственным умножением.

Определение 7.5. Пусть
и
– два многочлена. Многочлен
называется наибольшим общим делителем (НОД ) этих многочленов, если он является их общим делителем и сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

НОД многочленов
и
обозначается . Сформулируем и докажем теорему, дающую конструктивный алгоритм нахождения НОД для любых двух многочленов.

Теорема 7.4 (алгоритм Евклида). Для любых двух многочленов
и
существует наибольший общий делитель

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала сформулируем алгоритм Евклида нахождения
, а потом докажем, что полученный в процессе реализации этого алгоритма многочлен является наибольшим общим делителем двух данных многочленов.

Сначала делим многочлен
на многочлен
и получаем в общем случае некоторый остаток
. Далее делим
на
и получаем остаток
, делим
на
и получаем остаток
и так далее. В результате таких последовательных делений мы придём к остатку
, на который делится предыдущий остаток
. Этот остаток и будет наибольшим общим делителем данных многочленов.

Для доказательства выпишем последовательно цепочку делений:

Последнее равенство показывает, что
является делителем для
. Поэтому оба слагаемых в правой части предпоследнего равенства делятся на
и, следовательно, на
делится и
. Поднимаясь по цепочке делений вверх, получим, что
является делителем и для
,
,
,
. Из второго равенства цепочки видим, что
является делителем и для
и, следовательно, на основании первого равенства – для
. Итак,
является общим делителем для
и
.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ +38. Кольцо многочленов

✪ Теория колец | кольца многочленов | 1

✪ Теория колец и полей 7. Кольцо многочленов. Неприводимые многочлены. Расширение поля

✪ Кольцо многочленов над факториальным кольцом. Понятие поля

✪ +41. Многочлены как кольцо

Субтитры

Многочлены от одной переменной над полем

Многочлены

Многочлен от x с коэффициентами в поле k - это выражение вида

где p 0 , …, p m - элементы k , коэффициенты p , а x , x   2 , … - формальные символы («степени x »). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность, приведение подобных членов и т. д.). Члены p k x   k с нулевым коэффициентом p k при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

Кольцо многочленов

Легко видеть, что множество всех многочленов с коэффициентами в k {\displaystyle k} образует коммутативное кольцо , обозначаемое k [ x ] {\displaystyle k[x]} и называемое кольцом многочленов над k {\displaystyle k} . Символ x {\displaystyle x} обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над R {\displaystyle \mathbb {R} } или над C {\displaystyle \mathbb {C} } . Однако, в общем случае многочлены и полиномиальные функции - это разные вещи; например, над конечным полем F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} из простого числа p {\displaystyle p} элементов многочлены x 1 {\displaystyle x^{1}} и x p + 1 {\displaystyle x^{p+1}} задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены (многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты). Следовательно, переменную x {\displaystyle x} нельзя считать принадлежащей полю k {\displaystyle k} ; о кольце k [ x ] {\displaystyle k[x]} можно думать так: мы добавляем во множество элементов поля новый элемент x {\displaystyle x} и требуем только того, чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы x {\displaystyle x} коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на «скаляры» из поля k {\displaystyle k} , оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем k {\displaystyle k} . Если рассматривать k [ x ] {\displaystyle k[x]} как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов 1 = x 0 {\displaystyle 1=x^{0}} , x = x 1 {\displaystyle x=x^{1}} , x 2 {\displaystyle x^{2}} и т. д.

Разложение на простые в k [x ]

Фактор кольца k [x ]

Важный частный случай - когда кольцо, содержащее k , само является полем; обозначим его K . Простота фактормодуля по (p) {\displaystyle (p)} равносильна неприводимости p {\displaystyle p} . Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел , которое порождено над R элементом i , таким что i 2 + 1 = 0 . Соответственно, многочлен x 2 + 1 неприводим над R и

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца A , содержащего k и элемента a кольца A , коммутирующего со всеми элементами k , существует единственный гомоморфизм колец из k [x ] в A , отправляющий x в a :

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определенного универсального свойства кольца многочленов и объясняет определенную «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры .

Модули

Кольцо многочленов от нескольких переменных

Определение

Многочлен от n переменных X 1 ,…, X n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α 1 ,…, α n ), где каждое α i - ненулевое целое число, пусть

X α называется одночленом степени | α | = ∑ i = 1 n α i {\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}} . Многочлен - это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K : ∑ α p α X α {\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }} .

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k [x 1 ,…, x n ]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k [x 1 , x 2 ] изоморфно k [x 1 ][x 2 ], как и k [x 2 ][x 1 ]. Это кольцо игрет фундаментальную роль в алгебраической геометрии . Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k [x 1 ,…, x n ] и алгебраическими подмногообразиями k n известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

• (слабая форма, алгебраически замкнутое поле ) Пусть k - алгебраически замкнутое поле . Тогда любой максимальный идеал m кольца k [x 1 ,…, x n ] имеет вид

• (слабая форма, любое поле коэффициентов ) Пусть k - поле, K - алгебраически замкнутое поле , содержащее k и I - идеал в кольце k [x 1 ,…, x n ]. Тогда I содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из I не имеют общего нуля в K n .
• (сильная форма ) Пусть k - поле, K - алгебраически замкнутое поле , содержащее k , I - идеал в кольце k [x 1 ,…, x n ] и V (I ) - алгебраическое подмногообразие, K n определенное I . Пусть f - многочлен, равный нулю во всех точках V (I ). Тогда некоторая степень f принадлежит идеалу I .

Глава XI. Многочлены.

Кольцо многочленов от одной переменной над

Ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей

Определение 1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочленом над кольцом K от переменной x называется выражение вида , где a i ÎK , причем лишь конечное число элементов a i ≠0.

a i называется коэффициентом многочлена f (x ) при степени i.

Множество всех многочленов над кольцом K от переменной x обозначается K [x ].

Определение 2. Пусть f (x ) и g (x ) , где K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены f (x ) и g (x ) называются равными (алгебраически ), если соответственно равны их коэффициенты при одинаковых степенях x .

Определение 3. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0=0(x ).

Определение 4. Пусть K - f (x ) , f (x )≠0(x ). Число n называется степенью многочлена f и обозначается deg f =n, если a n ≠0 и a i =0 при i >n.

По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0 (x ) .

Таким образом, если , то deg (deg ℕ {0}).

Согласно определению 2, добавляя или отбрасывая слагаемые с нулевыми коэффициентами, мы получаем многочлен, равный данному. Таким образом, всякий многочлен степени n может быть записан в виде

Тогда a 0 называется свободным или постоянным членом многочлена f (x ), a n - старшим коэффициентом многочлена f (x ).

Определение 5. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , , причем n ≥m.

Операции сложения и умножения многочленов из K [x ] определяются по правилам

Теорема 1 . Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда K [x ] относительно операций по правилам (1 ) и (2 ) – также является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей 1(x )= 1.

Доказательство. Проверим для K [x ] все аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей.

1. K [x ]¹Æ, например, 0(x )Î K [x ], так как все его коэффициенты равны 0ÎK .

2. Операции «+» и «⋅» по правилам (1) и (2) являются алгебраическими на K [x ] (т.е. K [x ] замкнуто относительно этих операций). Действительно, пусть f (x )и g (x )Î K [x ], из формул (1) и (2) следует, что коэффициенты многочленов f (x )+g (x )и f (x )⋅g (x )получаются путем сложения и умножения коэффициентов f (x )и g (x ), т.е. элементов из K. В силу замкнутости кольца K относительно сложения и умножения, коэффициенты многочленов f (x )+g (x )и f (x )⋅g (x ) принадлежат K . То есть f (x )+g (x )ÎK [x ]и f (x )⋅g (x )Î K [x ].

3. [ x ], +> - абелева группа.