Произведение циклических групп. Примеры циклических групп

Конечные группы

Группа (полугруппа) называется конечной , если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком . Любая подгруппа конечной группы конечна. И если Н ÍG – подгруппа группы G , то для любого элемента а ÎG множество Н а ={х : x =h ◦a , для любых h ÎH } называется левым классом смежности для G относительно Н . Понятно, что число элементов в Н а равно порядку Н . (Аналогично можно сформулировать определение а Н – правого класса смежности относительно Н ).

Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся левых (правых) классов смежности по Н .

Действительно, если два класса Н a и H b , где a , b ÎG , имеют общий элемент х , то существует t ÎH такое, что x = t ◦a . И тогда левый класс для х : Н х ={y : y =h ◦x = h ◦(t ◦a ) = (h ◦t )◦a } ÍH a , но a = t ‑1 ◦x и Н a ={y : y =h ◦a = h ◦(t ‑1 ◦x ) = (h ◦t ‑1)◦x } ÍH x . Отсюда Н х = Н a . Аналогично можно показать, что Н х = Н b . И, следовательно, Н a = Н b . Если же классы Н a и H b не имеют общих элементов, то они и не пересекаются.

Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется разложением группы по подгруппе Н .

Теорема 2.6.1. Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Доказательство. Так как G – конечная группа, то и любая её подгруппа Н имеет конечный порядок. Рассмотрим разложение группы по подгруппе Н . В каждом классе смежности в этом разложении число элементов одинаково и равно порядку Н . Поэтому, если n – порядок группы G , а k – порядок подгруппы Н , то n =m ×k , где m – число классов смежности по Н в разложении группы G .

Если для любого элемента a ÎG Þ Н a = а Н (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем группы G .

Утверждение : если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н является нормальным делителем G .

Ввиду ассоциативности действия в группе (полугруппе) можно говорить о «произведении» трех элементов (а ◦b ◦c ) =(а ◦b )◦c = а ◦(b ◦c ). Аналогично вводится понятие сложного произведения из n элементов: а 1 ◦а 2 ◦…◦а n = ◦ а n = = ◦.

Произведение n одинаковых элементов группы называется степенью элемента и обозначается a n =. Это определение имеет смысл для любого натурального n . Для любого элемента группы a ÎG обозначают а 0 =е – нейтральный элемент группы G . А отрицательные степени элемента a ‑ n определяют как (a ‑1) n или (a n ) ‑1 , где a ‑1 – обратный элемент к а . Оба определения a ‑ n совпадают, т.к. a n ◦(a ‑1) n = (а ◦а ◦ ¼◦а )◦(a ‑1 ◦a ‑1 ◦ ¼◦a ‑1) = а ◦а ◦¼◦(а ◦a ‑1)◦a ‑1 ◦¼◦a ‑1 =е n =e . Таким образом, (a ‑1) n = (a n ) ‑1 .

В аддитивной группе аналогом степени элемента a n будет n ‑кратное к нему, обозначаемое обычно na , которое не стоит воспринимать как произведение n на а , поскольку n Îℕ и, возможно, n ÏG . Т.о. na ⇋, где n Îℕ, и 0а =е ⇋0, и (‑n )a = ‑(na ) = n (‑a ) для любого натурального n , где (‑a ) – обратный к a ÎG .

Легко показать, что при выбранных обозначениях для любых целых чисел m и n и для любого a ÎG выполняются известные свойства: а ) при мультипликативной записи a n ◦a m = a n + m и (a n ) m = a nm ; б ) при аддитивной записи na +ma = (n +m )a и n (ma )=(nm )a .

Рассмотрим подмножество группы G , составленное из всех степеней произвольного элемента g ÎG . Обозначим его А g . Таким образом, А g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g ‑2 ,¼}. Очевидно, А g является подгруппой группы G , т.к. для любых элементов х ,у ÎА g следует, что (х ◦у )ÎА g , и для любого элемента х ÎА g найдется х ‑1 ÎА g , кроме того, g 0 =е ÎА g .

Подгруппа А g называется циклической подгруппой группы G , порожденной элементом g . Эта подгруппа всегда коммутативна, даже если сама G не коммутативна. Если группа G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то она называется циклической группой , порожденной элементом g .

Если все степени элемента g различны, то группа G называется бесконечной циклической группой, а элемент g – элементом бесконечного порядка .

Если среди элементов циклической группы имеются равные, например, g k =g m при k >m , то g k ‑ m =e ; и, обозначив k-m через n , получим g n =e , n Îℕ.

Наименьший натуральный показатель n такой, что g n =e , называется порядком элемента g , а сам элемент g называется элементом конечного порядка .

Такой элемент всегда найдется в конечной группе, но может быть и в бесконечной группе.

Группы, все элементы которых имеют конечный порядок, называются периодическими .

Так как любой элемент конечной группы имеет конечный порядок, то все конечные группы являются периодическими. Кроме того, периодическими являются все циклические подгруппы конечной группы, поскольку они конечны, и каждый элемент конечного порядка n порождает циклическую группу того же порядка n , состоящую из элементов {g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 }. Действительно, если бы число элементов было бы равно некоторому k <n , тогда g k =e =g n , что противоречит выбору n , как наименьшей степени такой, что g n =e ; с другой стороны, k >n также невозможно, т.к. в этом случае имелись бы одинаковые элементы.

Утверждение : 1) все степени g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 различны, т.к. если бы имелись равные, например, g i =g j (i >j ), то g i ‑ j =e , но (i ‑j )<n , а по определению n – наименьшая степень такая, что g n =e .

2) Всякая другая степень g , положительная или отрицательная, равна одному из элементов g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 , т.к. любое целое число k можно представить выражением: k =nq +r , где q ,r Îℤ и 0£r <n , r – остаток и g k =g nq + r = g nq ° g r = (g n ) q ° g r = e q ° g r = g r .

1) Всякая группа обладает единственным элементом первого порядка {e }, порождающим циклическую подгруппу первого порядка, состоящую из одного элемента е .

2) Рассмотрим группу подстановок S 3 , состоящую из элементов: , , , , , . Порядок S 3 =6. Порядок элемента а равен 2, т.к. . Порядок элемента b также равен 2, т.к. . Порядок элемента с равен 3, т.к. и . Порядок элемента f также равен 3, т.к. и . И, наконец, порядок d равен 2, т.к. . Тем самым, циклические подгруппы S 3 , порожденные элементами e , a , b , d , c и f , соответственно равны: {e }, {e , a }, {e , b }, {e , d }, {e , c , f } и {e , f , c }, где последние две совпадают. Заметим также, что порядок каждой циклической подгруппы делит порядок группы без остатка. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.1. (Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любого её элемента (т.к. порядок элемента и порядок циклической подгруппы, порожденной им, совпадают).

Отсюда также следует, что любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу группы. (Т.к. g m =g nk =e k =e , где m – порядок группы, n – порядок элемента g , k – целое число).

В группе S 3 подгруппа Н ={e , c , f } является нормальным делителем, а подгруппы 2‑го порядка нормальными делителями не являются. Это легко проверить, найдя левый и правый классы смежности по Н для каждого элемента группы. Например, для элемента а левый класс смежности Н а ={е ◦ а , с ◦ а , f ◦ a } = {а , b , d } и правый класс смежности а Н ={а ◦ е , а ◦ c , а ◦ f } = {а , d , b } совпадают. Аналогично для всех остальных элементов S 3 .

3) Множество всех целых чисел со сложением образует бесконечную циклическую группу с порождающим элементом 1 (или –1), т.к. любое целое число кратно 1.

4) Рассмотрим множество корней n ‑ой степени из единицы: Е n =. Это множество является группой относительно операции умножения корней. Действительно, произведение любых двух элементов e k и e m из E n , где k , m £ n ‑1, также будет элементом E n , поскольку = = , где r =(k+m ) mod n и r £ n ‑1; умножение ассоциативно, нейтральный элемент е =e 0 =1 и для любого элемента e k имеется обратный и . Эта группа циклическая, её порождающим элементом является первообразный корень . Нетрудно видеть, что различными являются все степени: , далее для k ³n корни начинают повторяться. На комплексной плоскости корни расположены на окружности единичного радиуса и делят её на n равных дуг, как показано на рисунке 11.

Последними двумя примерами исчерпываются по существу все циклические группы. Поскольку справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.2. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка n изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть (G , ∘) – бесконечная циклическая группа с порождающим элементом g . Тогда существует биективное отображение f : ℤ ® G такое, что для любых целых чисел k и m их образы f (k ) и f (m ), равные соответственно g k и g m , являются элементами G . И при этом f (k +m )=f (k )∘f (m ), поскольку g k + m =g k ∘ g m .

Пусть теперь (G , ∘) – конечная циклическая группа порядка n с порождающим элементом g . Тогда каждому элементу g k ÎG единственным способом можно сопоставить элемент e k ÎE n (0£k <n ), по правилу f (g k )=e k . И при этом для любых g k и g m ÎG следует, что f (g k ∘ g m )= f (g k ) ∘ f (g m ), поскольку f (g k ∘ g m )= f (g k + m )= f (g r ), где r =(k +m ) mod n , и f (g r )=e r =e k ×e m . Понятно, что такое сопоставление является биективным отображением.

Пусть g – произвольный элемент группы G. Тогда, принимая , мы получим минимальную подгруппу
, порожденную одним элементом
.

Определение. Минимальная подгруппа
, порожденная одним элементом g группы G, называетсяциклической подгруппой группы G.

Определение. Если вся группа G порождена одним элементом, т.е.
, то она называетсяциклической группой .

Пусть элемент мультипликативной группы G, тогда минимальная подгруппа, порожденная этим элементом, состоит из элементов вида

Рассмотрим степени элемента , т.е. элементы

.

Имеются две возможности:

1. Все степени элемента g различны, т.е.

, то в этом случае говорят, что элемент g имеет бесконечный порядок.

2. Имеются совпадения степеней, т.е. , но
.

В этом случае элемент g имеет конечный порядок.

Действительно, пусть, например,
и
, тогда,
, т.е. существуют положительные степени
элемента
, равные единичному элементу.

Пусть d – наименьший положительный показатель степени элемента , для которого
. Тогда говорят, что элемент
имеет конечный порядок равный d.

Вывод. В любой группе G конечного порядка (
) все элементы будут конечного порядка.

Пусть g элемент мультипликативной группы G, тогда мультипликативная подгруппа
состоит из всех различных степеней элемента g. Следовательно, число элементов в подгруппе
совпадает с порядком элемента т. е.

число элементов в группе
равно порядку элемента ,

.

С другой стороны, имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Порядок любого элемента
равен порядку минимальной подгруппы, порожденной этим элементом
.

Доказательство. 1.Если – элемент конечного порядка , то

2. Если – элемент бесконечного порядка, то доказывать нечего.

Если элемент имеет порядок, то, по определению, все элементы

различны и любая степень совпадает с одним из этих элементов.

Действительно, пусть показатель степени
, т.е.– произвольное целое число и пусть
. Тогда числоможно представить в виде
, где
,
. Тогда, используя свойства степени элемента g, получаем

.

В частности, если .

Пример. Пусть
– аддитивнаяабелева группа целых чисел. Группа G совпадает с минимальной подгруппой порожденной одним из элементов 1 или –1:

,

следовательно,
– бесконечная циклическая группа.

Циклические группы конечного порядка

В качестве примера циклической группы конечного порядка рассмотрим группу вращений правильного n-угольника относительно его центра
.

Элементами группы

являются повороты n-угольникапротив часовой стрелки на углы

Элементами группы
являются

,

а из геометрических соображений ясно, что

.

Группа
содержитn элементов, т.е.
, а образующим элементом группы
является, т.е.

.

Пусть
, тогда (см. рис. 1)

Рис. 1 – Группа – вращений правильного треугольника АВС относительно центра О.

Алгебраическая операция  в группе – последовательное вращение против часовой стрелки, на угол, кратный, т.е.

Обратный элемент
– вращение по часовой стрелке на угол 1 , т.е.

.

Таблица К э ли

Анализ конечных групп наиболее наглядно осуществлять с помощью таблицы Кэли, которая является обобщением известной «таблицы умножения».

Пусть группа G содержит n элементов.

В этом случае таблица Кэли представляет собой квадратную матрицу имеющую n строк и n столбцов.

Каждой строке и каждому столбцу соответствует один и только один элемент группы.

Элемент таблицы Кэли, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, равен результату выполнения операции «умножения» i-го элемента с j-тым элементом группы.

Пример . Пусть группа G содержит три элемента{g 1 ,g 2 ,g 3 }.Операция в группе «умножение».В этом случае таблица Кэли имеет вид:

Замечание. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли находятся все элементы группы и только они. Таблица Кэли содержит полную информацию о группе.Что можно сказать о свойствах этой группы?

1. Единичным элементом этой группы является g 1 .

2.Группа абелева т.к. таблица симметрична относительно главной диагонали.

3.Для каждого элемента группы существуют обратные-

для g 1 обратным является элемент g 1 , для g 2 элемент g 3 .

Построим для групп таблицу Кели.

Для нахождения обратного элемента элементу, например, , необходимо в строке, соответствующей элементунайти столбецj содержащий элемент . Элементсоответствующий данному столбцу и является обратным к элементу, т.к.
.

Если таблица Кели симметрична относительно главной диагонали, то это означает, что

– т.е. операция в рассматриваемой группе коммутативна. Для рассматриваемого примера таблица Кели симметрична относительно главной диагонали это означает, что операция в коммутативна, т.е.
,

а группа – абелева.

Можно рассматривать полную группу преобразований симметрий правильного n – угольника , добавив к операции вращения дополнительные операции пространственного поворота вокруг осей симметрии.

Для треугольника
, а группа содержит шесть элементов

где
это повороты (см. рис. 2) вокруг высоты, медианы, биссектрисы имеют вид:

;

,

,
.

Рис. 2. – Группа – преобразований симметрии правильного треугольника АВС.

Группа О называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного и того же элемента Этот элемент называется образующей циклической группы О. Любая циклическая группа, очевидно, абелева.

Циклической группой является, например, группа целых чисел по сложению. Эту группу мы будем обозначать символом 2. Ее образующей является число 1 (а также число - 1). Циклической группой является также группа, состоящая только из одного элемента (единицы).

В произвольной группе О степени любого элемента g составляют циклическую подгруппу с образующей g. Порядок этой подгруппы, очевидно, совпадает с порядком элемента g. Отсюда в силу теоремы Лагранжа (см. стр. 32) следует, что порядок любого элемента группы делит, порядок группы (заметим, что все элементы конечной группы являются элементами конечного порядка).

Поэтому для любого элемента g конечной группы порядка имеет место равенство

Это простое замечание часто бывает полезно.

Действительно, если группа О циклическая и ее образующая, то порядок элемента равен . Обратно, если группа О обладает элементом порядка , то среди степеней этого элемента имеется различных, и поэтому эти степени исчерпывают всю группу О.

Мы видим, таким образом, что циклическая группа может иметь несколько различных образующих (именно, любой элемент порядка является образующей).

Задача. Доказать, что любая группа простого порядка является циклической группой.

Задача. Доказать, что циклическая группа порядка имеет ровно образующих, где - число положительных чисел, меньших и взаимно простых с .

Наряду с порядком любой конечной группе можно отнести число - наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Задача. Доказать, что для любой конечной группы О число делит порядок группы.

Очевидно, что для циклической группы число совпадает с порядком. Обратное, вообще говоря, не верно. Тем не менее имеет место следующее утверждение, характеризующее циклические группы в классе конечных абелевых групп:

конечная абелева группа О, для которой число равно ее порядку , является циклической группой.

Действительно, пусть

Порядки всевозможных отличных от единицы элементов конечной абелевой группы О порядка , и пусть - их наименьшее общее кратное.

Разложим число в произведение степеней различных простых чисел:

Пусть Поскольку число является, по определению, наименьшим общим кратным чисел (1), среди этих чисел существует хотя бы одно число, делящееся точно на т. е. имеющеевид , где b взаимно просто с . Пусть это число является порядком элемента g. Тогда элемент имеет порядок (см. следствие 1) на стр. 29).

Таким образом, для любого в группе О существует хотя бы один элемент порядка Выбрав для каждого один такой элемент, рассмотрим их произведение. Согласно утверждению, доказанному на стр. 29-30, порядок этого произведения равен произведению порядков , т. е. равен числу . Поскольку последнее число по условию равно , тем самым доказано, что в группе О существует элемент порядка п. Следовательно, эта группа является циклической группой.

Пусть теперь О - произвольная циклическая группа с образующей и Н - некоторая ее подгруппа. Так как любой элемент подгруппы Н является элементом группы О, то его можно представить в виде , где d - некоторое положительное или отрицательное целое число (вообще говоря, определенное неоднозначно). Рассмотрим множество всех положительных чисел для которых элемент принадлежит подгруппе Н. Так как это множество непусто (почему?), то в нем существует наименьшее число Оказывается, что любой элемент h подгруппы Н является степенью элемента . Действительно, по определению, существует такое число d, что (число d может быть и отрицательным). Разделим (с остатком) число d на число

Так как , то в силу минимальности числа остаток должен быть равен нулю. Таким образом, .

Тем самым доказано, что элемент является образующей группы Н, т. е. что группа Н циклична. Итак, любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

Задача. Доказать, что число равно индексу подгруппы Н и, следовательно, делит порядок группы О (если группа О конечна).

Заметим еще, что для любого делителя порядка конечной циклической группы Q в группе О существует одна и только одна подгруппа Н порядка (а именно подгруппа с образующей

Отсюда вытекает, что если конечная циклическая группа проста, то ее порядок является простым числом (или единицей).

Отметим наконец, что любая факторгруппа следовательно, любой гомоморфный образ) циклической группы Q является циклической группой.

Для доказательства достаточно заметить, что образующей группы служит смежный класс содержащий образующую группы О.

В частности, любая факторгруппа группы целых чисел Z является циклической группой. Изучим эти циклические группы более подробно.

Так как группа Z абелева, то любая ее подгруппа Я является нормальным делителем. С другой стороны, согласно доказанному выше, подгруппа Н является циклической группой. Так как факторгруппы по тривиальным подгруппам нам известны, то мы можем считать подгруппу Н нетривиальной. Пусть число является образующей подгруппы Н. Мы можем считать это число положительным (почему?) и, следовательно, большим единицы.

Подгруппа Н. состоит, очевидно, из всех целых чисел, делящихся на . Поэтому два числа тогда и только тогда принадлежат одному смежному классу по подгруппе Н, когда их разность делится на , т. е. когда они сравнимы по модулю (см. Курс, стр. 277). Таким образом, смежные классы по подгруппе Н суть не что иное, как классы чисел, сравнимых между собой по модулю .

Другими словами, факторгруппа группы Z по подгруппе Н является группой (по сложению) классов чисел, сравнимых между собой по модулю . Мы будем эту группу обозначать через Ее образующей является класс, содержащий число 1.

Оказывается, что любая циклическая группа изоморфна либо группе Z (если она бесконечна), либо одной из групп (если ее порядок конечен).

Действительно, пусть - образующая группы О. Определим отображение группы 2 в группу О, полагая

Смежные классы, теорема Лагранжа

Пусть H подгруппа группы G . Левым смежным классом элемента a по подгруппе H называется множество элементов ah , где h принадлежит H . Левый смежный класс обозначают aH . Аналогично вводится правый смежный класс элемента a по подгруппе H , который обозначают Ha .

Поскольку в подгруппе всегда имеется нейтральный элемент, то каждый элемент a содержится в смежном классе aH (Ha ).

Свойство 2.7. Элементы a и b принадлежат одному левому смежному классу по подгруппе H тогда и только тогда, когда

Доказательство . Если , то b =ah , и, значит, b принадлежит левому смежному классу aH . Обратно, пусть , тогда найдутся , что , и .

Теорема 2.2. Если левые (правые) смежные классы элементов a и b по подгруппе H имеют общий элемент, то они совпадают.

Доказательство . Пусть . Тогда найдутся , что . Произвольный элемент из левого смежного класса aH содержится в левом смежном классе bH. Действительно, для , и, следовательно, . Аналогично доказывается включение . Тем самым теорема доказана.

Следствие 2.1. Левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство очевидно.

Следствие 2.2. Левый (правый) смежный класс равномощен H.

Доказательство. Установим соответствие межу элементами подгруппы H и элементами смежного класса aH по формуле . Соответствие является взаимно однозначным. Тем самым утверждение доказано.

Теорема 2.3 (Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок ее подгруппы.

Доказательство . Пусть G – группа порядка n , а H - подгруппа G порядка k .Имеет место равенство . Удалим из правой части равенства повторяющиеся члены. В результате останутся не пересекающиеся смежные классы. Поскольку число элементов в смежном классе равно , то , где m количество различных смежных классов. Тем самым установлено равенство n =mk , что и требовалось.

Количество различных смежных классов называется индексом подгруппы H в группе G .

Множество элементов из группы G называется порождающим, если G получается замыканием этого множества относительно групповой операции.

Группа, порожденная одним элементом, называется циклической.

Следствие 2.3. Любая группа содержит циклическую подгруппу.

Доказательство. Пусть a –элемент группы G . Множество является циклической подгруппой.

Порядок циклической подгруппы, порожденной элементом a , называется порядком элемента.

Свойство 2.8. Если элемент a имеет порядок n , то a n =e .

Доказательство . Рассмотрим последовательность . Поскольку число членов в последовательности бесконечно, а для степеней элемента a существует конечное число возможностей, то в последовательности встретятся одинаковые члены. Пусть , где k <j и k первый повторяющийся член. Тогда , и значит, член k-j+ 1 повторяется. Следовательно, j =1 (иначе ). Таким образом, последовательность состоит из повторяющихся наборов вида и в ней k- 1 различных элементов. Следовательно, k =n +1. Так как , то .

Порядок любого элемента является делителем порядка группы, следовательно, a | G | =e для любого элемента группы.

Следствие 2.4. Порядок группы делится без остатка на порядок любого элемента группы.

Доказательство очевидно.

Теорема 2.4 (о циклических группах)

I. Для любого натурального n существует циклическая группа порядка n .

II. Циклические группы одинаковых порядков изоморфны между собой.

III. Циклическая группа бесконечного порядка изоморфна группе целых чисел.

IV. Любая подгруппа циклической группы циклическая.

V. Для каждого делителя m числа n (и только для них) в циклической группе n -го порядка существует единственная подгруппа порядка m .

Доказательство . Множество комплексных корней степени n из 1 относительно операции умножения образует циклическую группу порядка n . Тем самым первое утверждение доказано.

Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a , а циклическая группа H , того же порядка, порождена элементом b . Соответствие взаимно однозначное и сохраняет операцию. Второе утверждение доказано

Циклическая группа бесконечного порядка, порожденная элементом a, состоит из элементов . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Таким образом, третье утверждение доказано.

Пусть H – подгруппа циклической группы G , порожденной элементом a . Элементы H являются степенью a . Выберем в H a . Пусть это элемент . Покажем, что этот элемент является порождающим в подгруппе H . Возьмем произвольный элемент из H . Произведение содержится в H при любом r . Выберем r равным частному от деления k на j , тогда k-rj есть остаток от деления k на j и, значит, меньше j . Поскольку в H нет элементов, которые являются не нулевой степенью a, меньше чем j , то k-rj= 0, и . Четвертое утверждение доказано.

Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a . Подгруппа, порожденная элементом , имеет порядок m . Рассмотрим подгруппу H порядка m . Выберем в H элемент, который является наименьшей по абсолютной величине ненулевой степенью a . Пусть это элемент . Покажем, что j=n /m. Элемент принадлежит H . Следовательно, отличное от нуля число вида rj-nv по абсолютной величине не меньше j , что возможно только если n делится на j без остатка. Подгруппа, порожденная , имеет порядок n /j =m , следовательно, j=n /m . Поскольку порождающий элемент подгруппы определяется однозначно по ее порядку, то пятое утверждение доказано.