Геометрические характеристики плоских сечений. Изменение моментов инерции стержня при параллельном переносе осей Формулы переноса осей

Рассмотрим определение моментов инерции плоской фигуры (рис) относительно осей ${Z_1}$ и ${Y_1}$ при известных моментах инерции относительно оси $X$ и $Y$.

${I_{{x_1}}} = \int\limits_A {y_1^2dA} = \int\limits_A {{{\left({y + a} \right)}^2}dA} = \int\limits_A {\left({{y^2} + 2ay + {a^2}} \right)dA} = \int\limits_A {{y^2}dA} + 2a\int\limits_A {ydA} + {a^2}\int\limits_A {dA} = $

$ = {I_x} + 2a{S_x} + {a^2}A$,

где ${S_x}$ - статический момент фигуры относительно оси $X$.

Аналогично относительно оси ${Y_1}$

${I_{{y_1}}} = {I_y} + 2a{S_y} + {b^2}A$.

Центробежный момент инерции относительно осей ${X_1}$ и ${Y_1}$

${I_{{x_1}{y_1}}} = \int\limits_A {{x_1}{y_1}dA} = \int\limits_A {\left({x + b} \right)\left({y + a} \right)dA} = \int\limits_A {\left({xy + xa + by + ba} \right)dA} = \int\limits_A {xydA} + a\int\limits_A {xdA} + b\int\limits_A {ydA} + ab\int\limits_A {dA} = {I_{xy}} + a{S_x} + b{S_y} + abA$

Чаще всего используется переход от центральных осей (собственных осей плоской фигуры) в произвольных, параллельных. Тогда ${S_x} = 0$, ${S_y} = 0$, так как оси $X$ и $Y$ являются центральными. Окончательно имеем

где , - собственные моменты инерции, т. е. моменты инерции относительно собственных центральных осей;

$a$, $b$ - расстояния от центральных осей до рассматриваемых;

$A$ - площадь фигуры.

Следует отметить, что при определении центробежного момента инерции в величинах $a$ и $b$ должен быть учтен знак, то есть они являются по сути, координатами центра тяжести фигуры в рассматриваемых осях. При определении осевых моментов инерции эти величины подставляют по модулю (как расстояния), поскольку они все равно возвышаются до квадрата.

С помощью формул параллельного переноса возможно осуществлять переход от центральных осей к произвольным, или же наоборот - от произвольных центральных осей. Первый переход осуществляется со знаком "+". Второй переход осуществляется со знаком " - ".

Примеры использования формул перехода между параллельными осями

Прямоугольное сечение

Определим центральные моменты инерции прямоугольника при известных моментах инерции относительно осей $Z$ и $Y$.

${I_x} = \frac{{b{h^3}}}{3}$; ${I_y} = \frac{{h{b^3}}}{3}$.

.

Аналогично ${I_y} = \frac{{h{b^3}}}{{12}}$.

Треугольное сечение

Определим центральные моменты инерции треугольника при известном моменте инерции относительно основы ${I_x} = \frac{{b{h^3}}}{{12}}$.

.

Относительно центральной оси ${Y_c}$ треугольник имеет другую конфигурацию, поэтому рассмотрим следующее. Момент инерции всей фигуры относительно оси ${Y_c}$ равен сумме момента инерции треугольника $ABD$ относительно оси ${Y_c}$ и момента инерции треугольника $CBD$ относительно оси ${Y_c}$, то есть

.

Определение момента инерции составного сечения

Составленным считаем сечение, состоит из отдельных элементов, геометрические характеристики которых известны. Площадь, статический момент и моменты инерции составной фигуры равны сумме соответствующих характеристик их составляющих. Если составлен сечение можно образовать путем вырезания одной фигуры из другой, геометрические характеристики вырезанной фигуры вычитаются. Например, моменты инерции составной фигуры, показанной на рис. будут определяться так

$I_z^{} = \frac{{120 \cdot {{22}^3}}}{{12}} - 2 \cdot \frac{{50 \cdot {{16}^3}}}{{12}} = 72\,300$см 4 .

$I_y^{} = \frac{{22 \cdot {{120}^3}}}{{12}} - 2 \cdot \left({\frac{{16 \cdot {{50}^3}}}{{12}} + 50 \cdot 16 \cdot {{29}^2}} \right) = 1\,490\,000$см 4

Часто при решении практических задач необходимо определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом удобно использовать уже известные значения моментов инерции всего сечения (или отдельных составляющих его частей) относительно других осей, приводимые в технической литературе, специальных справочниках и таблицах, а также подсчитываемые по имеющимся формулам. Поэтому очень важно установить зависимости между моментами инерции одного и того же сечения относительно разных осей.

В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования старой системы координат:

1) путем параллельного переноса осей координат в новое положение и

2) путем поворота их относительно нового начала координат. Рассмотрим первое из этих преобразований, т. е. параллельный перенос координатных осей.

Предположим, что моменты инерции данного сечения относительно старых осей (рис. 18.5) известны.

Возьмем новую систему координат оси которой параллельны прежним. Обозначим а и b координаты точки (т. е. нового начала координат) в старой системе координат

Рассмотрим элементарную площадку Координаты ее в старой системе координат равны у и . В новой системе они равны

Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси

В полученном выражении -момент инерции статический момент сечения относительно оси равен площади F сечения.

Следовательно,

Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то статический момент и

Из формулы (25.5) видно, что момент инерции относительно любой оси, не проходящей через центр тяжести, больше момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, на величину которая всегда положительна. Следовательно, из всех моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.

Момент инерции относительно оси [по аналогии с формулой (24.5)]

В частном случае, когда ось у проходит через центр тяжести сечения

Формулы (25.5) и (27.5) широко используются при вычислении осевых моментов инерции сложных (составных) сечений.

Подставим теперь значения в выражение центробежного момента инерции относительно осей

2. Статические моменты площади сечения относительно осей Oz и Оy (см 3 , м 3):

4. Центробежный момент инерции сечения относительно осей Oz и Oy (см 4 , м 4):

Так как , то

Осевые J z и J y и полярный J p моменты инерции всегда положительные, так как под знаком интеграла находятся координаты во второй степени. Статические моменты S z и S y , а также центробежный момент инерции J zy могут быть как положительными, так и отрицательными.

В сортаменте прокатной стали для уголков приводятся значения центробежных моментов по модулю. В расчет следует вводить их значения с учетом знака.

Для определения знака центробежного момента уголка (рис. 3.2) мысленно представим его в виде суммы трех интегралов, которые вычисляются отдельно для частей сечения, расположенных в четвертях системы координат. Очевидно, что для частей, расположенных в I и III четвертях будем иметь положительное значение этого интеграла, так как произведение zydA будет положительным, а интегралы, вычисляемые для частей, расположенных во II и IV четвертях будут отрицательными (произведение zydA будет отрицательным). Таким образом, для уголка на рис. 3.2,а значение центробежного момента инерции будет отрицательным.

Рассуждая подобным образом для сечения, имеющего хотя бы одну ось симметрии (рис. 3.2,б) можно прийти к заключению, что центробежный момент инерции J zy равен нулю, если одна из осей (Оz или Оy) является осью симметрии сечения. Действительно, для частей треугольника, расположенных в 1 и 2 четвертях центробежные моменты инерции будут отличаться только знаком. Тоже можно сказать относительно частей, которые находятся в III и IV четвертях.

Статические моменты. Определение центра тяжести

Вычислим статические моменты относительно осей Оz и Оy прямоугольника, показанного на рис. 3.3.

Рис 3.3. К вычислению статических моментов

Здесь: А – площадь сечения, y C и z C – координаты его центра тяжести. Центр тяжести прямоугольника находится на пересечении диагоналей.

Очевидно, что, если оси, относительно которых вычисляются статические моменты, проходят через центр тяжести фигуры, то его координаты равны нулю (z C = 0, y C = 0), и, в соответствии с формулой (3.6), статические моменты также будут равны нулю. Таким образом, центр тяжести сечения – это точка, обладающая следующим свойством: статический момент относительно любой оси, проходящей через нее , равен нулю .

Формулы (3.6) позволяют найти координаты центра тяжести z C и y C сечения сложной формы. Если сечение можно представить в виде n частей, для которых известны площади и положение центров тяжести, то вычисление координат центра тяжести всего сечения можно записать в виде:

.

(3.7)

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Пусть известны моменты инерции J z , J y и J zy относительно осей Oyz . Необходимо определить моменты инерции J Z , J Y и J ZY относительно осей O 1 YZ , параллельных осям Oyz (рис. 3.4) и отстоящих от них на расстояния a (по горизонтали) и b (по вертикали)

Рис 3.4. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Координаты элементарной площадки dA связаны между собой следующими равенствами: Z = z + a ; Y = y + b .

Вычислим моменты инерции J Z , J Y и J ZY .

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Если точка O пересечения осей Oyz совпадает с точкой С – центром тяжести сечения (рис. 3.5) статические моменты S z и S y становятся равными нулю, и формулы упрощаютсяY i и Z i нужно брать с учетом знаков. На осевые моменты инерции знаки координат не повлияют (координаты возводятся во вторую степень), а вот на центробежный момент инерции знак координаты окажет существенное влияние (произведение Z i Y i A i может оказаться отрицательным).

Оси, проходящие через центр тяжести плоской фигуры, называют центральными осями.
Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Теорема

Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольную плоскую фигуру, площадь которой равна А , центр тяжести расположен в точке С , а центральный момент инерции относительно оси x будет I x .
Вычислим момент инерции фигуры относительно некоторой оси x 1 , параллельной центральной оси и отстоящей от нее на расстоянии а (рис) .

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA .

Анализируя полученную формулу, отмечаем, что первое слагаемое - осевой момент инерции относительно центральной оси, второе слагаемое - статический момент площади этой фигуры относительно центральной оси (следовательно, он равен нулю), а третье слагаемое после интегрирования может быть представлено в виде произведения a 2 A , т. е. в результате получим формулу:

I x1 = I x + а 2 А - теорема доказана.

На основании теоремы можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей осевой момент инерции плоской фигуры будет наименьшим относительно центральной оси .

Главные оси и главные моменты инерции

Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно осей координат I x иI y , а полярный момент инерции относительно начала координат равен I ρ . Как было установлено ранее,

I x + I y = I ρ .

Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты будут изменяться, при этом их сумма останется величиной постоянной. Поскольку сумма переменных величин постоянна, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается, и наоборот.
Следовательно, при определенном положении осей один из осевых моментов достигнет максимального значения, а другой - минимального.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют минимальное и максимальное значения, называют главными осями инерции.
Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.

Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно такой оси - главным центральным моментом инерции.
Можно сделать вывод, что если фигура симметрична относительно какой-нибудь оси, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей инерции этой фигуры.

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции плоской фигуры называют взятую по всей площади сумму произведений элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей:

I xy = Σ xy dA ,

где x , y - расстояния от площадки dA до осей x и y .
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.
В таблицах стандартных профилей содержится характеристика, которая называется радиусом инерции сечения , вычисляемая по формулам:

i x = √ (I x / A) , i y = √ (I y / A) , (здесь и далее знак "√" - знак корня)

где I x , I y - осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; А - площадь сечения.
Эта геометрическая характеристика используется при изучении внецентрального растяжения или сжатия, а также продольного изгиба.

Деформация кручения

Основные понятия о кручении. Кручение круглого бруса.

Кручением называют такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент , т. е. силовой фактор, вызывающий круговое перемещение сечения относительно оси, перпендикулярной этому сечению, либо препятствующий такому перемещению. Другими словами - деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных его оси приложить пару или пары сил.
Моменты этих пар сил называют скручивающими или вращающими. Вращающий момент обозначают Т .
Такое определение условно разделяет силовые факторы деформации кручения на внешние (скручивающие, вращающие моменты Т ) и внутренние (крутящие моменты М кр ).

В машинах и механизмах кручению наиболее часто подвергаются круглые или трубчатые валы, поэтому расчеты на прочность и жесткость чаще всего производят для таких узлов и деталей.

Рассмотрим кручение круглого цилиндрического вала.
Представьте резиновый цилиндрический вал у которого жестко закреплен один из концов, а на поверхности нанесена сетка из продольных линий и поперечных окружностей. К свободному концу вала приложим пару сил, перпендикулярно оси этого вала, т. е. закрутим его вдоль оси. Если внимательно рассмотреть линии сетки на поверхности вала, то можно заметить, что:
- ось вала, которую называют осью кручения, останется прямолинейной;
- диаметры окружностей останутся такими же, а расстояние между соседними окружностями не изменится;
- продольные линии на валу обратятся в винтовые линии.

Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндрического бруса (вала) справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми (поскольку их диаметры не изменились). А поскольку в сечениях вала отсутствуют продольные силы, то расстояние между ними сохраняется.

Следовательно, деформация кручения круглого вала заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения - чем дальше от закрепленного конца вала находится какое-либо сечение, тем на больший угол относительно оси вала оно закручивается.
Для каждого сечения вала угол поворота равен углу закручивания части вала, заключенного между этим сечением и заделкой (закрепленным концом).


Угол (рис. 1 ) поворота свободного конца вала (концевого сечения) называется полным углом закручивания цилиндрического бруса (вала).
Относительным углом закручивания φ 0 называется отношение угла закручивания φ 1 к расстояниюl 1 от данного сечения до заделки (закрепленного сечения).
Если цилиндрический брус (вал) длиной l имеет постоянное сечение и нагружен скручивающим моментом на свободном конце (т. е. состоит из однородного геометрического участка), то справедливо утверждение:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - величина постоянная.

Если мы рассмотрим тонкий слой на поверхности вышеупомянутого резинового цилиндрического бруса (рис. 1 ), ограниченный ячейкой сетки cdef , то заметим, что эта ячейка при деформации перекашивается, и ее сторона, удаленная от закрепленного сечения, смещается в сторону закручивания бруса, занимая положение cde 1 f 1 .

Следует отметить, что аналогичная картина наблюдается при деформации сдвига, только в этом случае поверхность деформируется из-за поступательного перемещения сечений друг относительно друга, а не из-за вращательного перемещения, как при деформации кручения. На основании этого можно сделать вывод, что при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы (напряжения), образующие крутящий момент.

Итак, крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении.

Определим зависимость между различными моментами инер­ции се­чения от­но­сительно двух параллельных осей (рис. 6.7), связанных зави­си­мос­тями

1. Для статических моментов инерции

Окончательно,

2. Для осевых моментов инерции

следовательно,

Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то

Из всех моментов инерции относительно параллельных осей осе­­­вой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходя­щей через центр тяжести сечения.

Аналогично для оси

Когда осьy проходит через центр тяжести сечения

3. Для центробежных моментов инерции получим

Окончательно можно записать

В случае, когда начало системы координат yz находится в цент­ре тя­же­сти сечения, получим

В случае, когда одна или обе оси являются осями симметрии,

6.7. Изменение моментов инерции при повороте осей

Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координат­ных осей zy .

Уголсчитается положительным, если старую систему ко­ор­ди­нат для перехода к новой нужно повернуть против часовой стрелки (для пра­вой декартовой прямоугольной системы координат). Новаяи стараяzy системы координат связаны зависимостями, которые сле­дуют из рис. 6.8:

1. Определим выражения для осевых моментов инерции относи­те­ль­­но осей новой системы координат:

Аналогично относительно оси

Если сложить величины моментов инерции относительно осей и, то получим

т. е. при повороте осей сумма осевых моментов инерции является ве­ли­чи­­ной постоянной.

2. Выведем формулы для центробежных моментов инерции.

.

6.8. Главные моменты инерции. Главные оси инерции

Экстремальные значения осевых моментов инерции сечения на­зы­ваются главными моментами инерции.

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых осе­вые мо­менты инерции имеют экстремальные значения, называются глав­­ны­­­ми осями инерции.

Для нахождения главных моментов инерции и положения глав­ных осей инерции определим первую производную по углу от мо­мен­та инер­­­ции, определенного по формуле (6.27)

Приравняем этот результат нулю:

где - угол, на который нужно повернуть координатные осиy иz , что­­­бы они совпали с главными осями.

Сравнивая выражения (6.30) и (6.31), можно установить, что

,

Следовательно, относительно главных осей инерции центро­бе­ж­­­ный мо­­мент инерции равен нулю.

Взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе сов­па­да­ют с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инер­ции.

Решим уравнение (6.31) относительно угла :

.

Если >0, то для определения положения одной из главных осей инер­ции для правой (левой) декартовой прямоугольной сис­темы ко­ор­ди­­нат необходимо осьz повернуть на уголпротив хода вра­ще­ния (по хо­­ду вращения) часовой стрелки. Если<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz повернуть на уголпо ходу вращения (против хода вра­ще­ния) часовой стрелки.

Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (y илиz ), относительно которой осевой момент инерции имеет большее зна­че­ние (рис. 6.9).

Ось максимум направлена под углом к оси(), если() и расположена в четных (нечетных) четвертях осей, если().

Определим главные моменты инерции и. Используя фор­му­­­лы из тригонометрии, связывающие функции,,,с функциями,,из формулы (6.27) по­лу­чим

,