Задания на формулы сложения тригонометрических функций. Формулы тригонометрии

Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем шпаргалки полезны. А здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак — тригонометрия без шпаргалки!Используем ассоциации для запоминания.

1. Формулы сложения:

косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус. И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+», и наоборот.

Синусы — «смешиваются» : синус-косинус, косинус-синус.

2. Формулы суммы и разности:

косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди.

Синусы — «смешиваются» :

3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность.

Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому

Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда:

«Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И для формулы берут сложение:

В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность

а во вторых — сумму

Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать. А дают уверенность: если воспользоваться шпаргалкой не удастся, формулы можно легко вспомнить.

Формулы сложения служат для того, чтобы выразить через синусы и косинусы углов а и b, значения функций cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

Формулы сложения для синусов и косинусов

Теорема: Для любых a и b справедливо следующее равенство cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Докажем эту теорему. Рассмотрим следующий рисунок:

На нём, точки Ma, M-b, M(a+b), получены поворотом точки Мо на углы a, -b, и a+b соответственно. Из определений синуса и косинуса координаты этих точек будут слеюующими: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+b) (cos(a+b); sin(a+b)). УголМоОМ(a+b) = уголМ-bОМа, следовательно равны треугольники МоОМ(a+b) и М-bОМа, причем они равнобедренные. А значит, равны и основания МоМ(а-b) и М-bМа. Следовательно, (МоМ(а-b))^2 = (М-bМа)^2. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, получим:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a))^2.

sin(-a) = -sin(a) и cos(-a) = cos(a). Преобразуем наше равенство с учетом этих формул и квадрата суммы и разности, тогда:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos(a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Теперь применим основное тригонометрическое тождество:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Приведем подобные и сократим на -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Что и требовалось доказать.

Справедливы также следующие формулы:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Данные формулы можно получить из доказанной выше, используя формулы приведения и заменой b на -b. Для тангенсов и котангенсов тоже существуют формулы сложения, но они будут справедливы не для любых аргументов.

Формулы сложения тангенсов и котангенсов

Для любых углов a,b кроме a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n и a+b =pi/2 +pi*m, для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Для любых углов a,b кроме a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n и a-b =pi/2 +pi*m, для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Для любых углов a,b кроме a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m и для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).