Paradojas del movimiento del espacio y el tiempo zenon. Las paradojas del continuo de Zenón y su solución por Aristóteles

El movimiento es imposible. En particular, no es posible cruzar una habitación, ya que para hacerlo hay que cruzar primero la mitad de la habitación, luego la mitad del resto del camino, luego la mitad de lo que queda, luego la mitad del resto...

Zenón de Elea pertenecía a esa escuela filosófica griega que enseñaba que cualquier cambio en el mundo es ilusorio y que el ser es uno e inmutable. Su paradoja (formulada en forma de cuatro paradojas (del griego. aporía"desesperanza"), que desde entonces han dado lugar a unas cuarenta variantes más diferentes) muestra que el movimiento, el patrón del cambio "visible", es lógicamente imposible.

La mayoría de los lectores modernos están familiarizados con la paradoja de Zenón precisamente en la formulación anterior (a veces se le llama dicotomía- del griego. dicotomía"separación en dos"). Para cruzar la habitación, primero debes ir hasta la mitad. Pero luego tienes que superar la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda después de eso, y así sucesivamente. Esta bisección continuará indefinidamente, de lo que se concluye que nunca podrás cruzar la habitación.

Aporía, conocida como Aquiles, aún más impresionante. El antiguo héroe griego Aquiles va a competir corriendo con una tortuga. Si la tortuga comienza un poco antes que Aquiles, para alcanzarla, primero debe correr hacia el lugar de inicio. Pero para cuando llegue allí, la tortuga habrá recorrido una distancia que Aquiles tendrá que recorrer antes de alcanzarla. Pero durante este tiempo, la tortuga avanzará un poco más. Y dado que el número de tales segmentos es infinito, el veloz Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

He aquí otra aporía, en palabras de Zenón:

Si algo se mueve, se mueve en el lugar que ocupa o en el lugar donde no existe. Sin embargo, no puede moverse en el lugar que ocupa (ya que en un momento dado ocupa todo ese espacio), pero tampoco puede moverse en el lugar donde no existe. Por lo tanto, el movimiento es imposible.

Esta paradoja se llama flecha(en cada momento del tiempo, una flecha voladora ocupa un lugar igual a su longitud, por lo tanto no se mueve).

Finalmente, hay una cuarta aporía, en la que estamos hablando de dos columnas de personas de igual longitud, moviéndose en paralelo con la misma velocidad en direcciones opuestas. Zeno afirma que el tiempo que tardan las columnas en cruzarse es la mitad del tiempo que tarda una persona en pasar toda la columna.

De estas cuatro aporías, las tres primeras son las más conocidas y las más paradójicas. El cuarto está simplemente relacionado con un malentendido de la naturaleza del movimiento relativo.

La manera más cruda y poco elegante de refutar la paradoja de Zeno es ponerse de pie y cruzar la habitación, correr más rápido que una tortuga o disparar una flecha. Pero esto no afecta el curso de su razonamiento. Hasta el siglo XVII, los pensadores no pudieron encontrar la clave para refutar su ingeniosa lógica. El problema se resolvió solo después de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz presentaran la idea del cálculo diferencial, que opera con el concepto límite; después de que se hizo evidente la diferencia entre la partición del espacio y la partición del tiempo; finalmente, después de haber aprendido a manejar cantidades infinitas e infinitesimales.

Tomemos el ejemplo de cruzar una habitación. De hecho, en cada punto del camino hay que recorrer la mitad del camino restante, pero sólo te llevará la mitad del tiempo. Cuanto más corta sea la distancia que queda por recorrer, menos tiempo tomará. Así, al calcular el tiempo que se tarda en atravesar una habitación, sumamos un número infinito de intervalos infinitesimales. Sin embargo, la suma de todos estos intervalos no es infinita (de lo contrario, sería imposible cruzar la habitación), sino que es igual a un número finito y, por lo tanto, podemos cruzar la habitación en un tiempo finito.

Tal curso de prueba es similar a encontrar el límite en el cálculo diferencial. Tratemos de explicar la idea del límite en términos de la paradoja de Zenón. Si dividimos la distancia que recorrimos a través de la habitación por el tiempo que nos tomó hacerlo, obtenemos la velocidad promedio que recorrimos en ese intervalo. Pero aunque tanto la distancia como el tiempo disminuyen (y eventualmente tienden a cero), su relación puede ser finita; de hecho, esta es la velocidad de su movimiento. Cuando tanto la distancia como el tiempo tienden a cero, esta relación se denomina límite de velocidad. En su paradoja, Zeno asume erróneamente que cuando la distancia llega a cero, el tiempo sigue siendo el mismo.

Pero mi refutación favorita a la paradoja de Zeno no es con el cálculo diferencial de Newton, sino con una cita de un sketch de Second City, un teatro de comedia en mi ciudad natal de Chicago. En este boceto, el disertante describe varios problemas filosóficos. Habiendo llegado a la paradoja de Aquiles y la tortuga, dice lo siguiente:

Pero esto es ridículo. Todos en esta sala pueden ganar la carrera de tortugas. Incluso un filósofo tan viejo y tranquilo como Bertrand Russell, incluso él puede dejar atrás a la tortuga. ¡Pero si no puede vencerla, puede ser más astuto que ella!

En mi opinión, un buen resumen de todo lo anterior.

Una imagen para llamar la atención, pero relacionada con el tema.
hola hab!
¿Quieres estirar un poco tu cerebro? “Érase una vez los antiguos griegos. Vivían bien, porque los esclavos trabajaban en su lugar. Y los antiguos griegos estaban muy aburridos: no estaban acostumbrados a trabajar, no había nada que hacer. Hicieron una lira para tocar música, inventaron el teatro, la geometría, las matemáticas, la filosofía y otras ciencias, pero todavía no había suficiente entretenimiento.
Y luego Zeno de Elea acudió en ayuda de los que sufrían con sus llamadas aporías, paradojas destinadas a una carga justa en los cerebros de los contemporáneos.

Los contemporáneos se regocijaron: ahora era posible no solo sentarse, sino pensar largo y tendido sobre las paradojas propuestas, que, además, justificaban en parte la pereza.

De hecho, si el movimiento no existe en principio, entonces ¿por qué intentar en vano, ir a algún lugar y hacer algo, simplemente tumbarse en la hierba bajo las acacias y filosofar astutamente sobre los secretos del Universo?
¿Interesado? Bienvenido a Habrakat (dados varios enlaces a libros de texto de física cuántica).
¿Por qué no hay movimiento? Esta conclusión surge de la famosa paradoja llamada "la flecha de Zenón". La conclusión es que la flecha en vuelo permanece inmóvil en cualquier momento dado. Como en la fotografía. Entonces, de hecho... no vuela a ninguna parte. Y si vuela, es solo desde el punto de vista de quienes lo miran.

En 1958, Leonid Khalfin recordó esta paradoja en la URSS. A diferencia de los antiguos griegos, Halfin se dedicaba a los negocios: investigaba los problemas de la física cuántica. Y planteó una hipótesis completamente mística. Primero, lo volveré a contar en lenguaje de "pájaro". Bajo la condición de discreción del espectro de energía, el decaimiento de los estados cuánticos depende directamente de la frecuencia de las mediciones. Si observa una partícula inestable con suficiente frecuencia, no se descompondrá en absoluto.

Ahora - lenguaje normal. Si nadie mira una partícula inestable, se ofende por la falta de atención a su persona y se desintegra. Pero no se derrumbará hasta que al menos alguien esté interesado. Pues el hecho mismo de la observación contribuye a la prolongación de la existencia de la entidad observada. La flecha de Zenón vuela mientras podamos ver cómo vuela.

Veinte años después, los estadounidenses decidieron continuar la investigación de su colega soviético. En particular, los físicos George Sudarshan y Baydyanath Mizra. Fueron ellos quienes en 1978 designaron el fenómeno como la "Paradoja Zeno Quantum", nombrando así su artículo. Y en 1989, se difundieron rumores de que este efecto supuestamente se confirmó experimentalmente. Aparentemente, alguien miró fijamente a los cuantos durante mucho tiempo, sin permitir que se hundieran en el olvido.

Resulta que no solo los estados cuánticos de cualquier cosa están sujetos al efecto, sino también la descomposición de las partículas radiactivas. Supuestamente, la partícula se desintegra más lentamente o incluso se vuelve eterna si se coloca un contador Geiger o un sensor similar junto a ella.

Es una pena que no hubiera suficientes sensores para inundar con ellos la central nuclear de Chernobyl y así eliminar las consecuencias del accidente..."

Así escriben los humanistas para las humanidades. Me callo las conclusiones, si quieres puedes leerlo tú mismo
Pero allí recordaron que Tesla creía en la teoría del éter, dicen que es verdad, que la teoría de la relatividad aún no ha sido probada, y que un desconocido científico soviético ya lo ha probado todo: "Los científicos simplemente ganan dinero con el colisionador".

Oh, de hecho, este comportamiento se deriva de la ecuación de Schrödinger.
Si consideramos la probabilidad de decaimiento de una partícula radiactiva, como estamos acostumbrados: w=1 - exp(-t/T), entonces la probabilidad de decaimiento, si medimos N veces, no cambia.
w=1 - exp(-t/NT)^N=1 - exp(-t/T).
Si consideramos el comportamiento de la función de onda en el mismo proceso, usando la ecuación de Schrödinger, entonces veremos una dependencia del número de dimensiones. Además, cuando el número de dimensiones tiende a infinito (medida continua), la partícula no decaerá.

Hay una explicación aún más simple, sin matemáticas, que se deriva de los trabajos de John von Neumann, en particular de la hipótesis de la existencia de la reducción de von Neumann (colapso de la función de onda). Este es el fenómeno de un cambio instantáneo en la función de onda cuando se mide por un vector propio.
Por lo tanto, si se realizan mediciones con frecuencia, el tiempo para cambiar de estado disminuye, la partícula cuántica permanece en su estado.

Por ejemplo, una partícula puede entrar en un estado excitado, entonces la observación reducirá la probabilidad de la transición.
Un ejemplo más complejo e interesante: un átomo pasa de un estado excitado (1) a un estado de energía aún mayor (2), desde donde puede pasar al estado fundamental (3) con la emisión de un fotón de cierta frecuencia. Incluso la capacidad de observar este fotón, no necesariamente su observación, sugiere que cuanto más probable sea la transición 2-3, menos probable será la transición 1-2. puedes leer esto

El efecto se puede aplicar para "congelar" un átomo en el estado cuántico deseado para que una computadora cuántica pueda leer la información, es posible usarlo para la producción de magnetómetros atómicos comerciales.
Muchos consideran que este efecto es la base del pensamiento humano y la capacidad única de las aves para navegar por el campo magnético de la Tierra.
Dicen que un grupo de científicos decidió usarlo para transmitir información más rápido que la velocidad de la luz.
Alguien quiere usarlo para proteger la información de ser leída por terceros. Puedes leerlo siguiendo este enlace. En general, este es un tema casi inagotable, porque este tema tiene muchas referencias a otros temas y se puede hablar de él casi sin fin.
Gracias por su atención.
UPD: Gracias al usuario sheknitrtch por mostrar el error y por reenviarlo a los diálogos.

Zeno de Elea es un lógico y filósofo griego conocido principalmente por las paradojas que llevan su nombre. No se sabe mucho sobre su vida. La ciudad natal de Zeno es Elea. También en los escritos de Platón se menciona el encuentro del filósofo con Sócrates.

Alrededor del 465 a.C. mi. Zeno escribió un libro detallando todas sus ideas. Pero, por desgracia, no ha llegado a nuestros días. Según la leyenda, el filósofo murió en batalla con un tirano (presumiblemente la cabeza de Elea, Nearchus). Toda la información sobre eleático fue recopilada poco a poco: de las obras de Platón (nacido 60 años después que Zenón), Aristóteles y Diógenes Laercio, quien escribió un libro de biografías de filósofos griegos tres siglos después. También hay referencias a Zenón en los escritos de los últimos representantes de la escuela de filosofía griega: Temistio (siglo IV d. C.), Alejandro de Afrodio (siglo III d. C.), así como Filopón y Simplicio (ambos vivieron en el siglo VI d. C.). ) . Además, los datos de estas fuentes concuerdan tan bien entre sí que se pueden reconstruir todas las ideas del filósofo a partir de ellos. En este artículo te hablaremos de las paradojas de Zenón. Entonces empecemos.

Las paradojas del conjunto

Desde la era de Pitágoras, el espacio y el tiempo han sido considerados exclusivamente desde el punto de vista de las matemáticas. Es decir, se creía que estaban compuestos por muchos momentos y puntos. Sin embargo, tienen una propiedad que es más fácil de sentir que de definir, a saber, la "continuidad". Algunas de las paradojas de Zeno prueban que no se puede dividir en momentos o puntos. El razonamiento del filósofo se reduce a lo siguiente: “Supongamos que hemos llevado a cabo la división hasta el final. Entonces sólo una de las dos opciones es correcta: o obtenemos en el resto las cantidades mínimas posibles o partes que son indivisibles, pero infinitas en su número, o la división nos llevará a partes sin valor, ya que la continuidad, siendo homogénea, debe ser divisible en ningún caso. No puede ser divisible en una parte y en otra no. Desafortunadamente, ambos resultados son bastante ridículos. La primera se debe a que el proceso de división no puede terminar mientras el resto contenga partes que tengan un valor. Y la segunda es porque en tal situación, el todo se formaría inicialmente de la nada. Simplicio atribuyó este razonamiento a Parménides, pero lo más probable es que su autor sea Zenón. Vayamos más lejos.

Las paradojas de Zenón sobre el movimiento

Son considerados en la mayoría de los libros sobre el filósofo, porque entran en disonancia con la evidencia de los sentimientos de los eleatas. En relación al movimiento, se distinguen las siguientes paradojas de Zenón: “Flecha”, “Dicotomía”, “Aquiles” y “Etapas”. Y llegaron hasta nosotros gracias a Aristóteles. Veámoslos con más detalle.

"Flecha"

Otro nombre es la paradoja cuántica de Zeno. El filósofo afirma que cualquier cosa está quieta o se mueve. Pero nada está en movimiento si el espacio que ocupa es igual a él en extensión. En un momento determinado, la flecha en movimiento está en un lugar. Por lo tanto, ella no se mueve. Simplicius formuló esta paradoja de forma abreviada: “Un objeto volador ocupa un lugar igual en el espacio, pero algo que ocupa un lugar igual en el espacio no se mueve. Por lo tanto, la flecha está en reposo". Themistius y Felopon formularon opciones similares.

"Dicotomía"

Ocupa el segundo lugar en la lista "Paradojas de Zenón". Dice lo siguiente: “Antes de que un objeto que ha comenzado a moverse pueda recorrer una cierta distancia, debe cubrir la mitad de este camino, luego la mitad del resto, y así hasta el infinito. Dado que con divisiones repetidas de la distancia por la mitad, el segmento se vuelve finito todo el tiempo, y el número de segmentos dados es infinito, esta distancia no se puede superar en un tiempo finito. Además, este argumento es válido tanto para distancias pequeñas como para velocidades altas. Por lo tanto, cualquier movimiento es imposible. Es decir, el corredor ni siquiera podrá empezar.

Simplicio comentó esta paradoja con gran detalle, señalando que en este caso se debe hacer un número infinito de toques en un tiempo finito. “El que toca algo puede llevar la cuenta, pero un conjunto infinito no se puede clasificar ni contar”. O, como dijo Philopon, un conjunto infinito es indefinible.

"Aquiles"

También conocida como la paradoja de la tortuga de Zeno. Este es el razonamiento más popular del filósofo. En movimiento, Aquiles compite corriendo con una tortuga, a la que se le da una pequeña ventaja al principio. La paradoja es que el guerrero griego no podrá alcanzar a la tortuga, ya que primero correrá hacia el lugar de su inicio, y ella ya estará en el siguiente punto. Es decir, la tortuga siempre estará por delante de Aquiles.

Esta paradoja es muy similar a una dicotomía, pero aquí la división infinita sigue una progresión. En el caso de una dicotomía, había una regresión. Por ejemplo, el mismo corredor no puede salir porque no puede salir de su ubicación. Y en la situación con Aquiles, incluso si el corredor comienza, todavía no correrá a ninguna parte.

"Etapas"

Si comparamos todas las paradojas de Zeno en términos de complejidad, entonces esta resultaría ganadora. Es más difícil de describir que otros. Simplicius y Aristóteles describieron este razonamiento en fragmentos, y uno no puede confiar en su confiabilidad con 100% de certeza. La reconstrucción de esta paradoja tiene la siguiente forma: sean A1, A2, A3 y A4 cuerpos fijos del mismo tamaño, y B1, B2, B3 y B4 sean cuerpos del mismo tamaño que A. Los cuerpos B se mueven hacia la derecha de modo que cada B pasa Y en un instante, que es el período de tiempo más pequeño de todos los posibles. Sean B1, B2, B3 y B4 cuerpos idénticos a A y B, y se desplazan con respecto a A hacia la izquierda, superando a cada uno de los cuerpos en un instante.

Obviamente, B1 ha vencido a los cuatro cuerpos B. Tomemos como unidad el tiempo que le tomó a un cuerpo C pasar a un cuerpo B. En este caso, se necesitaron cuatro unidades para todo el movimiento. Sin embargo, se creía que los dos momentos que han pasado durante este movimiento son mínimos y por lo tanto indivisibles. De ello se deduce que cuatro unidades indivisibles son iguales a dos unidades indivisibles.

"Lugar"

Entonces, ahora conoces las principales paradojas de Zenón de Elea. Queda por hablar de este último, que se conoce como el “Lugar”. Aristóteles atribuye esta paradoja a Zenón. Se dio un razonamiento similar en los escritos de Philopon y Simplicius en el siglo VI d.C. mi. Así es como Aristóteles habla de este problema en su Física: “Si hay un lugar, entonces, ¿cómo determinar dónde está? La dificultad a la que llegó Zeno requiere una explicación. Dado que todo lo que existe tiene un lugar, se hace evidente que un lugar también debe tener un lugar, y así hasta el infinito”. Según la mayoría de los filósofos, la paradoja aparece aquí solo porque nada de lo que existe puede diferir de sí mismo y estar contenido en sí mismo. Philopon cree que, centrándose en la autocontradicción del concepto de "lugar", Zeno quería probar la inconsistencia de la teoría de la pluralidad.

Materiales sobre el tema "Paradojas de Zenón"

(Fragmento de una conferencia del curso filosófico de la Universidad Estatal de Moscú

Sí, agraciado y veloz el poderoso Aquiles, el hijo de Peleo, el héroe de la Guerra de Troya, cantado por Homero. ¡Y qué torpe, qué lenta la tortuga, que en todas partes tiene fama de ser el patrón de la lentitud y la pereza! ¿Podrá competir en velocidad con el legendario corredor? Pero el antiguo sabio Zeno creía que Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga. La creencia del filósofo se basaba en el hecho de que cuando el perseguidor llega al lugar donde estaba el perseguido en el momento de la salida, el corredor alcanzado avanzará, aunque sea un poco, más. Esto significa que en una pequeña sección nueva del camino, Aquiles nuevamente tendrá que alcanzar a la tortuga. Pero mientras el perseguidor llega a este segundo punto, el fugitivo volverá a avanzar. Y así hasta el infinito. Si esto continúa sin fin ni borde, ¿cómo podrá Aquiles alcanzar a la tortuga?

Por otro lado, todo escolar sabe por su propia experiencia cotidiana que él, lejos de ser Aquiles, es capaz de adelantar fácilmente no sólo a la tortuga, sino, lo que es bueno, al propio maestro -sólo hay que tocar la campana que anuncia el final de la lección

¿No hay un “talón de Aquiles” en el propio razonamiento de Zenón?

En el clásico curso de lógica escrito por Minto, el famoso corredor supera fácilmente a su indigno rival, aunque él le da una ventaja inicial no solo en distancia: 100 brazas (aquí se usan las medidas de longitud del antiguo ruso, no del antiguo griego, pero esto no no importa), pero también en velocidad: no se mueve con toda su fuerza, solo diez veces más rápido que una tortuga. Es decir, en esencia, camina despacio, confiado en la victoria. Es cierto que, habiendo llegado al lugar desde donde el lento protegido de Zenon partió por el camino, el hijo de Peleev verá que ella logró arrastrarse otras 10 brazas hacia adelante. Mientras Aquiles superará estas 10 brazas, la tortuga avanzará otra braza. Bueno, no le cuesta nada a uno de pies ligeros cubrir un poco de sazhen allí. Mientras tanto, el torpe se moverá, aunque sea por una décima parte de un sazhen, ¡pero aún hacia adelante, alejándose del perseguidor! Con cada paso, la distancia se acorta. Obviamente habrá un número infinito de tales pasos. No hay problema: las matemáticas modernas han aprendido a sumar secuencias infinitas. Y Minto construye una serie infinita: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +... Tenemos una progresión geométrica decreciente. Cualquier estudiante actual puede calcular fácilmente su cantidad si, por supuesto, ya ha aprobado álgebra de un libro de texto, al parecer, para el octavo grado; esta suma es igual a 111 1/9. Después de hacer un cálculo simple, Minto concluye: “El sofista quiere demostrar que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, pero en realidad solo prueba que Aquiles la alcanza entre las 111 y 112 brazas en su camino”.

Parece ser correcto. Parece ser lógico. Por desgracia, el desacreditador triunfante no respondió al sofista caído en desgracia, porque la pregunta se planteó de otra manera: no cuándo, sino cómo es posible tal reunión...

Que el lector juzgue por sí mismo al antiguo sabio ya su oponente. Para obtener 111 1/9 brazas en la respuesta, no es necesario en absoluto recurrir a la suma de una serie infinita. Es posible resolver el problema de la manera algebraica habitual, tomando como desconocido el camino que la belleza del reptil arrastra hasta el momento de la "cita", huyendo coquetamente de su perseguidor seguro de sí mismo.

Si el desconocido ha aparecido en nuestro país, sea una X para él. Entonces el camino recorrido por Aquiles será mayor que la distancia que separaba a los corredores en la salida, por el segmento recorrido por la tortuga antes de encontrarse con Aquiles: 100 + x. Ahora considere: el tiempo de movimiento desde el inicio hasta el encuentro es el mismo para ambos corredores. Y la velocidad de Aquiles es diez veces mayor. Esto significa que el camino tomado por Aquiles también será diez veces más largo que el de la tortuga (x). Hacemos la ecuación: (100 + x): x \u003d 10. Calcular: x \u003d 11 1 / 9. ¿Cuántas brazas se ha arrastrado la tortuga? ¿Y Aquiles? 100 + x = 111 1/9 .

Es difícil creer que Zeno no pudiera encontrar el segmento deseado del camino por medios tan elementales. Es aún más difícil imaginar que Zeno nunca adelantó a nadie ni vio a otros hacerlo. ¡No, no es por nada que el pensador antiguo formula el problema de tal manera que aparece en él el concepto de una serie infinita! No lo atormenta la duda: ¿puede el cuerpo hacer un camino hecho de pedazos? El pensador está confundido por otra cosa: ¿cómo es posible una síntesis consistente de un conjunto innumerable de segmentos si dura eternamente sin llegar al límite?

no alcanzo? Y el punto 111 1/9 sazhens desde el principio, ¿no es ese el límite? Hay. ¡El único! Pero, ¿la pregunta se reduce a qué es? ¡No! Cómo la variable (en este caso, la suma de la serie) llega a su límite. ¿Y llega a todos? Llamamos a la variable suma. La forma en que es. Recuerda la serie de Minto: 100 + 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001. Siempre que contenga seis miembros. Su suma es 111.111. Este número es menor que 111 1/9. Cierto, un poco, ¡pero aún menos! La diferencia se hace aún menor si añadimos un término más a la sucesión, el séptimo: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. La suma ha cambiado, ahora es igual a 111.1111. Siete miembros - siete caracteres en el número - unos, ¿te diste cuenta? Si hay ocho miembros, la suma volverá a aumentar en uno: 111,11111. Etc. Pero ya sea que tome cien, mil, un billón de billones de términos, de todos modos su número con una cola de unidades de longitud colosal será menor que 111 1/9. La cantidad cambia, crece, pero no llega al límite. Y sin embargo podemos calcular el límite al que aspira. Se hace así. Se toma una fórmula para la suma de un número finito (enfatizamos: ¡no infinito!) de términos. Se deduce fácilmente: eche un vistazo al libro de texto de álgebra de la escuela. Sustituyamos las características de nuestra progresión geométrica en ella. El primer término es 100. Y el denominador de la progresión es una décima (0,1); después de todo, cada término siguiente es diez veces menor que el anterior. Supongamos que queremos calcular la suma de 777 miembros. Obtenemos: 100 / (1 - 0.1) *. Es fácil ver que el número antes de los corchetes es 111 1/9. ¿Qué pasa con el contenido de los corchetes? Un poco menos de uno. Y será cuanto más cercano a uno, mayor sea el exponente de la fracción 0,1 encerrada entre paréntesis. Pero eche un vistazo más de cerca al exponente: ¡este es el número de miembros de la serie más uno! Y ahora comienza la diversión. Estamos pasando de un número finito de términos a un número infinito. El exponente en (0,1) aumenta indefinidamente. ¿Qué pasa con el grado mismo, con una décima multiplicada por sí misma tantas veces que es imposible imaginarlo? Se convierte en una cantidad infinitesimal que tiende a cero. Y si es así, entonces, como está escrito en su libro de texto, tenemos el derecho de simplemente descartarlo, igualándolo a cero. Uno permanece entre corchetes. Por lo tanto, el límite deseado es igual a 111 1/9. Pero escuchemos lo que dicen las matemáticas al respecto (a través del académico A. A. Markov): “Es importante notar que no contamos su límite 0 a la totalidad de los valores infinitesimales”. Y el matemático francés Mansion se expresa aún más claramente: “Llamamos límite de una variable a un valor constante al que la variable se acerca indefinidamente, sin llegar nunca a él”. ¡Pero Zeno dijo lo mismo, disfrazando quizás símbolos matemáticos abstractos con imágenes brillantes inspiradas en hermosos mitos antiguos! No importa cuán lejos vayamos en la integración secuencial de los "movimientos" de acortamiento de Aquiles, ¡nunca obtendremos su camino completo antes de encontrarnos con la tortuga! Como dice Homero (La Ilíada traducida por Gnedich):

Este está tratando de escapar, y el otro está tratando en vano,

Así son los héroes: ni uno los alcanzará, ni este se irá...

Las dificultades señaladas por Zenón en el rigor de la interpretación de los conceptos de "límite" y "continuidad" pueden ilustrarse con un ejemplo más sencillo. Imagínate: una tortuga se arrastra por el suelo de tu habitación. Y de repente - ¡Alto! - el animal apoyó su nariz contra la pared. La trayectoria de la tortuga es una variable que crece hasta cierto límite. El límite es la pared. O mejor dicho, un punto que limita la trayectoria de la tortuga. ¡Pero este punto no pertenece al conjunto infinito de puntos del territorio! Además, generalmente es imposible determinar el último punto del recorrido de la tortuga - aquel donde se encuentra la nariz de la tortuga en el momento del impacto, el que precede al límite - el punto de la pared. Aquí tocamos sin darnos cuenta otra aporía de Zenón. Si el primero en la historia de las matemáticas aparece con el nombre de "Aquiles", el segundo recibe el nombre de "Dicotomía". Esta antigua palabra griega se traduce como: "división infinita por la mitad". Antes de completar todo el camino, la tortuga debe pasar la mitad, dijo Zeno. Pero antes de llegar a la mitad del camino, tiene que llegar a la marca que corta justo esta mitad. Sin embargo, antes de dejar atrás un cuarto del camino, debe pasar por su "ocho" ... ¡Uf! Esto puede continuar hasta el infinito. En resumen, concluyó Zeno: ¡el movimiento nunca comenzará!

Geométricamente, la paradoja se puede interpretar de la siguiente manera. Tomamos un segmento y lo dividimos por la mitad. Cortamos la mitad izquierda en dos nuevamente. El cuarto izquierdo también está en dos. Luego el ocho izquierdo, el decimosexto tiempo, uno treinta y dos y así sucesivamente, sin fin. ¿No recuerda a Aquiles persiguiendo a una tortuga o al viaje de una tortuga a través de una habitación sin salida? Solo que ahora la nariz de tortuga juega el papel de una pared. Su punta es un punto de descanso. ¿Y dónde comienza el primer punto de movimiento? Después de todo, no podemos encontrar el punto que sigue inmediatamente al límite del segmento, de la misma manera que podríamos determinar el punto que precede inmediatamente al límite en el ejemplo de una tortuga que choca contra un obstáculo.

El error de Zeno, según el profesor S. A. Bogomolov, radica en el hecho de que, a partir de la imposibilidad de imaginar el comienzo del movimiento, el antiguo filósofo concluyó que el movimiento en sí mismo y el conocimiento confiable sobre él son imposibles. Se explica plenamente por el nivel de conocimiento matemático de su época y no disminuye sus méritos. En "Dichotomía", Zeno señaló las dificultades para comprender los conceptos de "continuum" (una secuencia continua de todos los puntos de una línea) y "movimiento". Pero los matemáticos se han acostumbrado durante mucho tiempo al hecho de que la razón se enfrenta a cuestiones frente a las cuales la intuición es impotente. Sin embargo, debemos admitir, sin embargo, que hay un cierto resto insoluble en la Dicotomía. Estamos hablando de una serie infinita que no tiene principio. Ésta sigue siendo la misma dialéctica del infinito, que adquiere particular nitidez en relación con la secuencia de momentos en el tiempo.

Nuestro próximo pase es "Arrow", la tercera aporía. Tercero consecutivo, pero no en importancia. Nos espera una paradoja, que se considera, en palabras del profesor A. A. Bogomolov, "la apoteosis de la dialéctica zenoniana".

No hay movimiento, dijo el sabio barbudo...

Este es Pushkin citando a Zenón. Y continúa:

... El otro guardó silencio y comenzó a caminar delante de él.

No podría haber discutido con más fuerza.

Todos elogiaron la enrevesada respuesta.

Pero, señores, este es un caso divertido.

Otro ejemplo viene a la mente:

Después de todo, todos los días el sol camina delante de nosotros,

Sin embargo, ¡el obstinado Galileo tiene razón!

Pushkin es citado por el escritor Daniil Danin en su libro La inevitabilidad de un mundo extraño. Y continúa: “Zeno preguntó: - Aquí vuela una flecha, en cada momento se puede agarrar en alguna parte, allí se posa en ese momento, ¿de dónde viene el movimiento? ¿Significa esto que el movimiento es una serie de estados de reposo? ¿No es esto absurdo?

El razonamiento fue impecable. Pero la evidencia de Diógenes, que comenzó a caminar, también fue irrefutable. ¿Se podría encontrar una salida a esta contradicción evidente: el movimiento se compone de momentos de reposo? Había que buscar y encontrar una salida.

Para hacer esto, las matemáticas y la mecánica tuvieron que aprender a operar con cantidades infinitesimales. Tuvieron que aprender a considerar el estado de reposo como el límite cero de un desplazamiento muy pequeño. Esto hace el cálculo diferencial. Y tuvieron que aprender a agregar tales ceros, sin sorprenderse de que el infinito, la suma de movimientos infinitamente pequeños, pueda dar un segmento final muy real del camino. Esto hace que el cálculo sea integral. Hubo un error lógico notable en el razonamiento de Zeno. Descompuso el movimiento de la flecha en un número infinito de estados de reposo y los sumó de acuerdo con la lógica aritmética de las sumas finitas: si tomas tantos ceros, todavía obtienes cero. Por eso dijo: "No hay movimiento". Y el punto es que no importa cuán grande sea el "algo" aritmético, todavía no es infinito. Diógenes solo pudo refutar en silencio a Zenón: nada habría resultado con palabras, porque entonces no había palabras necesarias para esto.

Bueno, tal vez sea cierto que Diógenes no habría encontrado las palabras adecuadas para objetar, sin embargo, no al propio Zeno, sino a uno de sus seguidores (Zeno murió más de cien años antes de que naciera Diógenes). Bueno, ¿qué tal hoy? ¿Cuáles son estas palabras mágicas que se pueden usar para defenderse de los ataques de Zeno? Obviamente cálculo diferencial e integral, ¿no? Bueno, intentemos razonar con el antiguo alborotador con los argumentos más poderosos del análisis matemático.

Suena el arco, tiembla la flecha,

Y, arremolinándose, Python murió...

Y tu rostro brilla con la victoria

Belvedere Apolo!

La escena del crimen dibujada por Pushkin está gráficamente representada por una curva balística, e idealmente (si no se tiene en cuenta la resistencia del aire) por una parábola a lo largo de la cual la flecha se mueve desde la cuerda del arco hasta el blanco. Las coordenadas son las siguientes: elevación (eje vertical) y tiempo de vuelo (eje horizontal). Ahora vamos a diferenciar. ¿Cómo calcular la velocidad? Está claro cómo: anulé el kilometraje del velocímetro y lo dividí por el tiempo que tardó el automóvil en cubrir la distancia. Derecha. Solo así encontraremos la velocidad media. ¡Y ella ciertamente cambió! Al principio, el automóvil estaba parado: la velocidad era cero. Luego se puso en marcha: la velocidad comenzó a aumentar, excedió el límite permitido; luego sonó el silbato de un policía, tuve que pisar el freno; la velocidad disminuyó bruscamente hasta que el automóvil volvió a quedar clavado en el lugar. Si calculas la velocidad media, ¡resulta que no hay nada por lo que multarte! Sin embargo, no tendrás guardia. Puede que no sepa cálculo diferencial, pero sabe algo sobre violaciones. ¿Cómo podemos determinar el valor exacto de la velocidad en un momento dado?

Volvamos a la flecha: su velocidad se describe mediante una expresión matemática más simple. Solo que aquí es cierto lo contrario: en el momento de partir de la cuerda del arco, la velocidad de la flecha (estamos hablando de la velocidad de su ascenso) es máxima. En el punto más alto de la pista, es igual a cero. En el momento de matar a Python vuelve a alcanzar su valor más alto. En cualquier momento es diferente que antes. Sin embargo, podemos captar el patrón con el que cambia de un punto a otro.

Imagine que el vuelo de una flecha disparada por un dios radiante hacia un monstruo repugnante se captura en una película. Y pararemos la demostración de la película en algún punto intermedio, arrebatando cualquier fotograma. En este punto, la flecha (es mejor hablar de uno de sus puntos, digamos, el centro de gravedad) ha subido a cierta altura. Encendamos la unidad de cinta nuevamente, pero lo suficiente como para congelar el siguiente cuadro ante nuestros ojos. El centro de gravedad, habiendo ampliado su pista en un trozo diminuto, estará en un nuevo punto donde la altura de elevación ha aumentado. Designemos este incremento de altura como "delta es". Y al mismo tiempo, el símbolo “delta te” denota el intervalo de tiempo entre fotogramas adyacentes. Entonces, la tasa de ascenso promedio en esta sección del camino se expresará como una fracción simple delta s / delta t. Prestamos atención: ¡la velocidad vuelve a ser promedio! Sí, pero cuanto menor sea el "delta te", más se acercará el valor de nuestra fracción a la verdadera velocidad en el primer punto. Si el obturador de una cámara de cine durante el rodaje hiciera clic mil veces más, entonces el intervalo de tiempo entre dos cuadros adyacentes también se reduciría exactamente mil veces. El valor de la velocidad “instantánea” sería más preciso. Y, sin embargo, siempre que nuestra porción del eje del tiempo sea un valor finito (no infinitamente pequeño), la relación de "delta es" a "delta te" da solo la velocidad promedio entre dos momentos. Pero, ¿y si hacemos “delta te” infinitamente pequeño? En otras palabras, habiendo imaginado el segundo punto de la ruta como móvil, ¿empujarlo y empujarlo hacia el primer punto rígidamente asentado? Entonces el "delta te" tiende a cero. Delta es también. ¿Qué pasa con su actitud? Cada vez será más preciso transmitir el valor de la velocidad de la flecha en el momento del tiempo capturado en el primer fotograma. Pero solo en el límite resultará ser velocidad instantánea en ese mismo momento. Este límite de razón con delta t tendiendo a cero está representado por un signo de dos pisos “de es by de te” y se llama función derivada (en nuestro caso, la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo). (ds y dt se llaman diferenciales (de la palabra latina para "diferencia").)

La construcción anterior se puede repetir para cualquier punto de nuestra curva. Sin embargo, no necesariamente solo la nuestra, sino en general cualquier curva. Por supuesto, la forma de la derivada no será la misma para diferentes curvas, sin mencionar el hecho de que su valor varía de un punto a otro para cada curva. Pero ahora conocemos la ley de comportamiento de la derivada: cambia de la misma forma que el ángulo de inclinación de la tangente a la curva en un punto dado. Y el significado geométrico de las obras es la tangente de este ángulo. Después de todo, ¿qué son nuestros “delta es” y “delta te” sino los catetos de un triángulo rectángulo? El triángulo se construye sobre la hipotenusa con los mismos puntos de arista que marcaron la posición del centro de gravedad de la flecha en ambos marcos. Cuando comenzamos a desplazar estos puntos vecinos, la hipotenusa se fusionó con la tangente.

Entonces: habiendo encontrado la derivada, derivamos la función, en nuestro caso, la ecuación de una parábola. Conociendo la derivada, también podemos encontrar la función original (antiderivada), es decir, realizar la operación inversa: integración. Los métodos de diferenciación e integración no son más complicados que las reglas algebraicas. Pero eso no es lo que nos preocupa ahora. ¿Cuál es el significado de la fracción ds/dt? Aquí tanto el numerador como el denominador parecen ser... ¡ceros! ¡Pero la proporción de ceros es absurda!

Para comprender la paradoja, tendremos que hacer de nuevo una excursión al pasado y responder a la pregunta: ¿logró Newton repeler la “flecha” disparada por Zenón? ¿No sufrió su descendencia, el análisis de los infinitesimales, el destino nefasto de Pitón, asesinado por Apolo Belvedere?

El 24 de agosto de 1624 se iba a celebrar un debate público en París. Pero justo antes de la apertura de la discusión, uno de sus organizadores, de Clave, fue arrestado. Otro, Villon, tuvo que esconderse. Un decreto parlamentario especialmente emitido decía: prohibir la controversia; en un ambiente solemne frente a los reunidos para hacer trizas las tesis anunciadas de antemano; enviar a todos los organizadores fuera de la ciudad dentro de las 24 horas, privándolos del derecho de ingresar al distrito capital en absoluto; prohibir estrictamente a los profesores cualquier mención de tesis sediciosas en las conferencias.

Cualquiera que de palabra o por escrito viole este rescripto está sujeto a la pena de muerte... La decimocuarta tesis del programa desgarrado de la disputa proclamaba la doctrina atomista. Afirmó en blanco y negro que Aristóteles, ya sea por ignorancia o por malicia, ridiculizó la doctrina de que el mundo consiste en átomos. Mientras tanto, de esta cosmovisión corresponde perfectamente a los fundamentos razonables de la genuina filosofía natural...

¿Pero qué pasa con Zenón? ¡Se trataba de las ideas de Demócrito!

El atomismo de Demócrito fue una reacción a los ataques de la escuela eleática, encabezada por Zenón. Interesante e importante: Demócrito fue el apóstol del atomismo no solo en física, sino también en matemáticas. Además, justificó la necesidad de una cosmovisión atomista al referirse no a los fenómenos físicos, de ninguna manera, sino a las dificultades puramente matemáticas que surgen si el espacio se considera continuo. En la ciencia natural prezenoniana, todos los cuerpos se consideraban infinitamente divisibles. Esto es por un lado. Y por otro lado, se asumió que cada objeto consta de un conjunto innumerable de "terneros" indivisibles y no extendidos. Fueron estos principios en conflicto los que atacó Zenón.

Si un cuerpo es infinitamente divisible, dijo, entonces debe ser infinitamente grande. No importa cuán lejos llegue la fragmentación, cada vez se obtendrán partículas extendidas, cuyas dimensiones nunca llegarán a cero. Como la división es infinita, ¡habrá un número infinito de “átomos” geométricos! Y si es así, entonces la suma de un número infinitamente grande de elementos indivisibles extendidos y adicionales resultará ser inconmensurablemente enorme. Si, por el contrario, el punto como límite de división no tiene dimensiones, ¡entonces la suma de cualquier número arbitrariamente grande de tales "ceros" nunca dará un cuerpo extenso!

El sabotaje lógico de Zeno causó una impresión sorprendente. Los científicos estaban alarmados; Quedó claro para todos que los fundamentos teóricos de la geometría no fueron pensados ​​​​con la suficiente profundidad, internamente contradictorios e insostenibles.

Fue entonces, entre los escombros que quedaron después de las actividades destructivas de los eleáticos, que la escuela de Demócrito comenzó a restaurar teóricamente los cimientos de la geometría. Después de haber pegado la etiqueta de "afísicos" ("pseudocientíficos") a personas de ideas afines a Zeno, simplemente hizo a un lado sus tentaciones diabólicas. Se proclamó nuevamente el límite de la divisibilidad de la materia y el espacio. Así, en respuesta a la crítica eleática puramente negativa, apareció una plataforma positiva sobre la cual era posible, para bien o para mal, seguir construyendo el templo de las matemáticas y la mecánica. ¡Pero entonces Aristóteles tomó y torpedeó esta plataforma constructiva! Bueno, tenía razón a su manera: después de todo, las contradicciones notadas por Zeno hicieron que la posición de Demócrito fuera muy, muy inestable...

Durante más de doce siglos y medio, las ideas aristotélicas dominaron la ciencia.

No fue hasta finales del Renacimiento que los eruditos levantaron la voz contra el dogma escolástico. Incluso a pesar de que, habiendo prometido la pena de muerte a críticos particularmente entusiastas, el parlamento francés equiparó la autoridad de Platón y su discípulo Aristóteles con la autoridad del evangelio... La idea de continuidad, que era contraria a la vida cotidiana. intuición, fue rechazada por los pensadores del Renacimiento. En sus Conversaciones y pruebas matemáticas sobre dos nuevas ramas de la ciencia, Galileo habla de espacios infinitesimales entre segmentos infinitesimales individuales de una línea recta. Se desprende claramente de la carta de Cavalieri a Galileo que ambos, como Kepler, por cierto, alimentaron la idea de "indivisible" a través del contrabando. ¡Y las opiniones de Kepler y Cavalieri, los precursores de Newton en la creación de nuevas matemáticas, son puro atomismo geométrico!

“La conexión directa y continua entre el atomismo matemático de la antigüedad y el cálculo diferencial e integral actual está fuera de toda duda”, dice el profesor S. Ya. Lurie en el libro “The Theory of Infinitely Small by the Ancient Atomists”. “La historia del método infinitesimal no debería comenzar con Cavalieri, sino con Demócrito”.

Entonces, el cálculo infinitesimal se construyó sobre una base atomística. Pero luego, resulta que las paradojas de Zeno quedaron sin resolver. Recuerde nuestro desconcierto con los diferenciales: ¿qué es, ceros o no ceros? ¿Cuál es el significado de una fracción en la que tanto el numerador como el denominador tienden a cero al mismo tiempo? Esta pregunta preocupó profundamente a otro creador de análisis: Leibniz, el colega alemán de Newton. La notación ds / dt introducida por Leibniz se consideró como la relación de cantidades infinitesimales - diferenciales (ds y dt. Este simbolismo todavía nos confunde cuando comenzamos a estudiar cálculo diferencial. De la expresión: límite delta s / delta t \u003d ds / dt que tiende a cero: la conclusión sugiere involuntariamente que "delta te" tiende a dos límites a la vez: a dt, que de ninguna manera es igual a cero, y al mismo tiempo a cero, pero "delta es" a ds y a cero! todo porque tenemos ante nosotros los "restos fósiles" de la era atomística en matemáticas. Asumiendo que la curva está formada por los "átomos" más pequeños, como límite para el incremento "delta es" o "delta te" ya no será cero, es decir, nada, sino la altura o la anchura de esta partícula geométrica indivisible: ds o dt, respectivamente. Ahora bien, desde el punto de vista de Leibniz, sin trucos, es fácil comprender la igualdad: la límite delta s / delta t \u003d ds / dt Porque en el enfoque atomístico, el límite delta s es igual a ds, y el límite delta t es igual a dt. de precisamente: at atomistic. Con el mismo que fue hecho añicos por Zeno. Al mismo tiempo, de la que el matemático ya se ha ido hace mucho tiempo. Bueno, ¿qué pasa hoy, cuando las matemáticas vuelven a estar en las posiciones de continuidad, que, por cierto, también fueron gravemente socavadas por Zenón? ¿Se hacen sentir los argumentos insidiosos de los eleáticos?

Abre el excelente libro "What is Mathematics" de R. Courant y G. Robbins. Allí dice: las diferenciales, como cantidades infinitesimales, han sido finalmente expulsadas del uso matemático, y no sin vergüenza. Sin embargo, el mismo término "diferencial" volvió a colarse por la puerta de atrás. Él, como si nada hubiera pasado, todavía aparece en la notación que ha llegado hasta nuestros días y confunde ds/dt.

Es cierto que hoy en día los matemáticos ven dt no como un valor infinitamente pequeño, sino como un incremento finito "delta te". En cuanto a ds / dt, esta “fracción” en su conjunto se ha convertido en solo un símbolo del resultado que se obtiene al ir al límite: de hecho, antes de ir al límite, puede deshacerse del futuro “cero” en el denominador. Para ello se abre el numerador de la fracción ds/dt; porque detrás de este símbolo está la diferencia algebraica habitual. La diferencia entre dos expresiones de la misma ley matemática, pero para dos puntos diferentes de la curva. El factor “delta te” aparece en la fórmula de la diferencia. ¡El mismo que está en el denominador! Y si es así, tanto el numerador como el denominador se pueden reducir a "delta te". Después de todo, esto no está prohibido mientras el “delta te” no sea igual a cero. Entonces "delta te" desaparece del denominador. Es cierto que en la fórmula para el numerador, después de la reducción, queda un "delta te" más. Pero luego, cuando llegamos al límite, este segundo “delta te” se desvanece. Entonces, ¿es difícil, es simple? Pero para cada función es posible evitar el absurdo con una maniobra inteligente: ds / dt = 0/0. Por supuesto, Newton y Leibniz también sabían cómo encontrar integrales y derivadas de esta manera. Pero no reconocieron el derecho exclusivo del procedimiento marginal para servir de soporte a nuevos métodos. Razonaron algo así: sí, la integral y la derivada se pueden calcular como límites. Pero, ¿qué diablos son estos conceptos en sí mismos?

Aquí, por ejemplo, está la pendiente de la curva. Existe por sí solo, independientemente de la ingeniosa construcción geométrica, acompañado del paso al límite. Lo mismo puede decirse de la integral, que se interpreta como el área de una figura plana delimitada por los ejes de coordenadas y nuestra curva: dicen que un concepto como área tiene algún "significado en sí mismo" absoluto, y parece que al no haber necesidad de involucrar operaciones auxiliares con límites.

Los matemáticos modernos argumentan lo contrario.

“Ni Newton ni Leibniz”, dice el libro de R. Courant y G. Robbins, “podrían tomar esa posición distinta que nos parece simple y natural ahora que el concepto de límite se ha aclarado por completo. Su ejemplo dominó durante más de un siglo, durante el cual la esencia del asunto fue oscurecida por argumentos infructuosos sobre "cantidades infinitamente pequeñas", sobre "diferenciales", etc. Se creía que tales conceptos eran accesibles solo para unos pocos elegidos con un instinto matemático real, y ese análisis, de hecho, es muy difícil, ya que no todos tienen este instinto o pueden desarrollarlo. La integral, de manera similar, se consideraba como la suma de "un número infinitamente grande de términos infinitamente pequeños". Existía la idea de que tal suma era una integral, o un área, mientras que el cálculo de su valor como límite de una sucesión de sumas finitas de términos ordinarios se consideraba como una especie de apéndice. Ahora simplemente descartamos el deseo de explicar "directamente" la integral y definirla como el límite de una secuencia de sumas finitas. De esta manera, se eliminan todas las dificultades y todo lo que es valioso en el análisis adquiere una base sólida.

Para ir a cualquier parte, primero debe recorrer la mitad del camino, luego la mitad de la distancia restante, y así hasta el infinito. De aquí se sigue inevitablemente la conclusión: en principio es imposible llegar al punto final y, por lo tanto, el movimiento mismo también es imposible.

Esta paradoja se llama la paradoja de la dicotomía. La autoría se atribuye al antiguo filósofo griego Zenón. Se supone que se formuló como prueba de la singularidad del universo, y que el cambio, incluido el movimiento, es imposible (como creía el maestro de Zenón, Parménides).

La gente rechazó intuitivamente esta paradoja durante muchos siglos. Desde un punto de vista matemático, la solución formulada en el siglo XIX es reconocer que la mitad más un cuarto más un octavo más un dieciseisavo, etc. constituye una unidad. Es como decir cero enteros y nueve en un período es igual a uno.

Sin embargo, esta solución teórica en realidad no responde a la pregunta de cómo un objeto puede alcanzar el punto final de su movimiento. La solución a este problema es más compleja y todavía no del todo clara, si nos apoyamos en las teorías del siglo XX, que niegan la infinita divisibilidad de la materia, el tiempo y el espacio.

Zenón de Elea pertenecía a esa escuela filosófica griega que enseñaba que cualquier cambio en el mundo es ilusorio y que el ser es uno e inmutable. Su paradoja (formulada como cuatro aporías (del griego aporia "sin salida"), que desde entonces han dado lugar a unas cuarenta opciones diferentes más) muestra que el movimiento, el patrón de cambio "visible", es lógicamente imposible.

La mayoría de los lectores modernos están familiarizados con la paradoja de Zenón precisamente en la formulación anterior (a veces se le llama dicotomía - del griego. dichotomia "dividir en dos"). Para cruzar la habitación, primero debes ir hasta la mitad. Pero luego tienes que superar la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda después de eso, y así sucesivamente. Esta bisección continuará indefinidamente, de lo que se concluye que nunca podrás cruzar la habitación.

Aporia, conocida como Aquiles, es aún más impresionante. El antiguo héroe griego Aquiles va a competir corriendo con una tortuga. Si la tortuga comienza un poco antes que Aquiles, para alcanzarla, primero debe correr hacia el lugar de inicio. Pero para cuando llegue allí, la tortuga habrá recorrido una distancia que Aquiles tendrá que recorrer antes de alcanzarla. Pero durante este tiempo, la tortuga avanzará un poco más. Y dado que el número de tales segmentos es infinito, el veloz Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

He aquí otra aporía, en palabras de Zenón:

Si algo se mueve, se mueve en el lugar que ocupa o en el lugar donde no existe. Sin embargo, no puede moverse en el lugar que ocupa (ya que en un momento dado ocupa todo ese espacio), pero tampoco puede moverse en el lugar donde no existe. Por lo tanto, el movimiento es imposible.

Esta paradoja se llama flecha (en cada momento del tiempo, una flecha voladora ocupa un lugar igual a su longitud, por lo tanto, no se mueve).

Finalmente, hay una cuarta aporía, en la que estamos hablando de dos columnas de personas de igual longitud, moviéndose en paralelo con la misma velocidad en direcciones opuestas. Zeno afirma que el tiempo que tardan las columnas en cruzarse es la mitad del tiempo que tarda una persona en pasar toda la columna.

De estas cuatro aporías, las tres primeras son las más conocidas y las más paradójicas. El cuarto está simplemente relacionado con un malentendido de la naturaleza del movimiento relativo.

La forma más cruda y menos elegante de refutar la paradoja de Zeno es ponerse de pie y cruzar la habitación, correr más rápido que una tortuga o disparar una flecha. Pero esto no afecta el curso de su razonamiento. Hasta el siglo XVII, los pensadores no pudieron encontrar la clave para refutar su ingeniosa lógica. El problema se resolvió solo después de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz presentaran la idea del cálculo diferencial, que opera con el concepto de límite; después de que se hizo evidente la diferencia entre la partición del espacio y la partición del tiempo; finalmente, después de haber aprendido a manejar cantidades infinitas e infinitesimales.

Tomemos el ejemplo de cruzar una habitación. De hecho, en cada punto del camino, debe recorrer la mitad del camino restante, pero solo para esto necesitará la mitad del tiempo. Cuanto más corta sea la distancia que queda por recorrer, menos tiempo tomará. Así, al calcular el tiempo que se tarda en atravesar una habitación, sumamos un número infinito de intervalos infinitesimales. Sin embargo, la suma de todos estos intervalos no es infinita (de lo contrario, sería imposible cruzar la habitación), sino que es igual a un número finito y, por lo tanto, podemos cruzar la habitación en un tiempo finito.

Tal curso de prueba es similar a encontrar el límite en el cálculo diferencial. Tratemos de explicar la idea del límite en términos de la paradoja de Zenón. Si dividimos la distancia que recorrimos a través de la habitación por el tiempo que nos tomó hacerlo, obtenemos la velocidad promedio que recorrimos en ese intervalo. Pero aunque tanto la distancia como el tiempo disminuyen (y eventualmente llegan a cero), su relación puede ser finita; de hecho, esta es la velocidad de su movimiento. Cuando tanto la distancia como el tiempo tienden a cero, esta relación se denomina límite de velocidad. En su paradoja, Zeno asume erróneamente que cuando la distancia llega a cero, el tiempo sigue siendo el mismo.

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