Encuentre las coordenadas del centro de masa de una placa homogénea. ¿Cómo calcular el centro de gravedad de una figura plana acotada usando una integral doble? Cómo realizar un cálculo típico

– calcular el centro de gravedad de una figura plana acotada. Muchos lectores entienden intuitivamente qué es el centro de gravedad, pero, sin embargo, recomiendo repetir el material de una de las lecciones. geometría analítica, donde desmantelé el problema del centro de gravedad de un triangulo y en forma accesible descifró el significado físico de este término.

En tareas independientes y de control, por regla general, se propone resolver caso más simple– plano limitado homogéneo una figura, es decir, una figura de densidad física constante: vidrio, madera, juguetes de hierro fundido, infancia difícil, etc. Además, por defecto, solo hablaremos de tales cifras =)

Primera regla y el ejemplo mas simple : si una figura plana tiene centro de simetria, entonces es el centro de gravedad de esta figura. Por ejemplo, el centro de una placa homogénea redonda. Es lógico y mundano claro: la masa de tal figura está "justamente distribuida en todas las direcciones" en relación con el centro. Creer - No quiero.

Sin embargo, en realidades duras, es poco probable que te arrojen un dulce barra de chocolate elíptica, así que tienes que armarte con una herramienta de cocina seria:

Las coordenadas del centro de gravedad de una figura limitada homogénea plana se calculan mediante las siguientes fórmulas:

, o:

, donde es el área de la región (figura); o muy corto:

, donde

Condicionalmente llamaremos a la integral la integral “X”, ya la integral la integral “Y”.

Nota-ayuda : para piso limitado heterogéneo figura, cuya densidad viene dada por la función, las fórmulas son más complejas:
, donde - la masa de la figura;en el caso de densidad uniforme, se simplifican a las fórmulas anteriores.

En las fórmulas, de hecho, toda la novedad termina, el resto es tu habilidad. resolver integrales dobles Por cierto, ahora es una gran oportunidad para practicar y mejorar tu técnica. Y la perfección, como sabéis, no tiene límite =)

Agreguemos una porción estimulante de parábolas:

Ejemplo 1

Encuentra las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana homogénea delimitada por líneas.

Decisión: las líneas aquí son elementales: establece el eje de abscisas y la ecuación: una parábola, que se construye fácil y rápidamente usando transformaciones geométricas de grafos:

– parábola, desplazado 2 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo.

Completaré todo el dibujo de una vez con el punto terminado del centro de gravedad de la figura:

regla dos: si la figura tiene eje de simetria, entonces el centro de gravedad de esta figura se encuentra necesariamente en este eje.

En nuestro caso, la figura es simétrica respecto a derecho, es decir, de hecho, ya conocemos la coordenada "x" del punto "em".

También tenga en cuenta que, verticalmente, el centro de gravedad se desplaza más cerca del eje x, ya que la figura es más masiva allí.

Sí, quizás no todos hayan entendido completamente qué es el centro de gravedad: levante el dedo índice y coloque mentalmente la "suela" sombreada con un punto. En teoría, la figura no debería caer.

Encontramos las coordenadas del centro de gravedad de la figura por las fórmulas , donde .

El orden de atravesar el área (forma) es obvio aquí:

¡Atención! Determinación del orden transversal más rentable una vez- y utilízalo para todos integrales!

1) Primero, calcula el área de la figura. En vista de la relativa simplicidad de la integral, la solución se puede formular de manera compacta, lo principal es no confundirse en los cálculos:

Miramos el dibujo y estimamos el área por celdas. Resultó sobre el caso.

2) La coordenada x del centro de gravedad ya se ha encontrado por el "método gráfico", por lo que puede consultar la simetría y pasar al siguiente punto. Sin embargo, todavía no aconsejo hacer esto; es probable que la solución sea rechazada con la frase "usar la fórmula".

Tenga en cuenta que aquí puede arreglárselas exclusivamente con cálculos orales; a veces no es necesario llevar las fracciones a un denominador común o atormentar a la calculadora.

Por lo tanto:
que es lo que se requería.

3) Encuentra la ordenada del centro de gravedad. Calculemos la integral del "juego":

Y aquí sería difícil sin una calculadora. Por si acaso, comento que como resultado de la multiplicación de polinomios se obtienen 9 términos, y algunos de ellos son similares. Di términos similares oralmente (como se suele hacer en casos similares) e inmediatamente anotó la cantidad final.

Como resultado:
que está muy, muy cerca de la verdad.

En la etapa final, marcamos un punto en el dibujo. De acuerdo con la condición, no se requería dibujar nada, pero en la mayoría de los problemas nos vemos obligados a dibujar una figura. Pero hay una ventaja absoluta: una verificación visual y bastante efectiva del resultado.

Responder:

Los siguientes dos ejemplos son para soluciones independientes.

Ejemplo 2

Encuentre las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana homogénea delimitada por líneas

Por cierto, si imagina cómo se ubica la parábola y vio los puntos en los que se cruza con el eje, aquí puede prescindir de un dibujo.

Y más difícil:

Ejemplo 3

Encuentre el centro de gravedad de una figura plana homogénea delimitada por líneas

Si tiene dificultad para trazar, estudie (revisar) lección de parábolas y/o Ejemplo N° 11 del artículo Integrales dobles para tontos.

Ejemplos de soluciones al final de la lección.

Además, se pueden encontrar una docena o dos ejemplos similares en el archivo correspondiente en la página. Soluciones listas para usar para matemáticas superiores..

Bueno, no puedo evitar complacer a los amantes. Matemáticas avanzadas que a menudo me piden que resuelva problemas difíciles:

Ejemplo 4

Encuentre el centro de gravedad de una figura plana homogénea delimitada por líneas. Dibuja la figura y su centro de gravedad en el dibujo.

Decisión: la condición de esta tarea ya exige categóricamente la ejecución de un dibujo. ¡Pero el requisito no es tan formal! - incluso una persona con un nivel medio de formación puede imaginar esta figura en su mente:

Una línea recta corta el círculo en 2 partes y una cláusula adicional (cm. desigualdades lineales) indica que estamos hablando de una pequeña pieza sombreada.

La figura es simétrica con respecto a una línea recta (representada por una línea punteada), por lo que el centro de gravedad debe estar en esta línea. Y obviamente sus coordenadas son módulo. ¡Una excelente pauta que prácticamente excluye una respuesta errónea!

Ahora las malas noticias =) Una desagradable integral de raíz asoma en el horizonte, la cual analizamos en detalle en el Ejemplo No. 4 de la lección Métodos eficientes para resolver integrales. Y quién sabe qué más se dibujará allí. Parece que debido a la presencia círculos rentable, pero no todo es tan sencillo. La ecuación de la línea recta se convierte a la forma y las integrales tampoco resultarán azúcar (aunque los fanáticos integrales trigonométricas agradecer). En este sentido, es más prudente detenerse en las coordenadas cartesianas.

Orden de recorrido de la forma:

1) Calcula el área de la figura:

Es más racional tomar la primera integral subsumiendo bajo el signo de la diferencial:

Y en la segunda integral realizaremos la sustitución estándar:

Calculemos los nuevos límites de integración:

2) Encontremos .

Aquí en la 2da integral se usó nuevamente método para poner una función bajo un signo diferencial. Practique y adopte estos valores óptimos (en mi opinión) Métodos para resolver integrales típicas.

Después de largos y difíciles cálculos, volvemos a centrar nuestra atención en el dibujo. (recuerda que los puntos ¡aún no lo sabemos! ) y obtenemos una profunda satisfacción moral del valor encontrado.

3) Con base en el análisis realizado anteriormente, queda por asegurarse de que .

Bien:

Dibujemos un punto en el dibujo De acuerdo con la formulación de la condición, la escribimos como final responder:

Una tarea similar para una solución independiente:

Ejemplo 5

Encuentre el centro de gravedad de una figura plana homogénea delimitada por líneas. Ejecutar el dibujo.

Esta tarea es interesante porque contiene una figura de tamaños suficientemente pequeños, y si comete un error en alguna parte, existe una alta probabilidad de no ingresar al área. Lo cual, por supuesto, es bueno en términos de control de decisiones.

Ejemplo de diseño al final de la lección.

A veces útil transición a coordenadas polares en integrales dobles. Depende de la forma. Busqué y busqué un buen ejemplo, pero no lo encontré, así que demostraré la solución en la primera tarea de demostración de la lección anterior:


Recuerde que en ese ejemplo, cambiamos a coordenadas polares, descubrió el procedimiento para eludir el área y calcula su area

Encontremos el centro de gravedad de esta figura. El esquema es el mismo: . El valor es visible directamente desde el dibujo, y la coordenada "x" debe desplazarse un poco más cerca del eje y, ya que allí se encuentra la parte más masiva del semicírculo.

En integrales, usamos fórmulas de transición estándar:

Es probable que no se hayan equivocado.

3 Aplicaciones de las integrales dobles

3.1 Introducción teórica

Consideremos las aplicaciones de la integral doble a la solución de varios problemas geométricos y mecánicos.

3.1.1 Cálculo del área y la masa de una placa plana

Considere una placa de material delgado D ubicado en el avión Ohu. Cuadrado S esta placa se puede encontrar usando la fórmula integral doble:

3.1.2 Momentos estáticos. Centro de masa de una placa plana

momento estático METRO X sobre el eje Buey punto material PAG(X;y) acostado en el avión oxi y teniendo una masa metro, se llama el producto de la masa de un punto y su ordenada, es decir METRO X = mi. El momento estático se define de manera similar METRO y sobre el eje Oye: ­ ­ ­ METRO y = mx. Momentos estáticos placa plana con densidad superficial γ = γ (x, y) se calculan mediante las fórmulas:

Como se sabe por la mecánica, las coordenadas X C ,y C el centro de masa de un sistema de material plano está determinado por las igualdades:

donde metro es la masa del sistema, y METRO X y METRO y son los momentos estáticos del sistema. Peso de la placa plana metro está determinado por la fórmula (1), los momentos estáticos de una placa plana se pueden calcular mediante las fórmulas (3) y (4). Luego, según las fórmulas (5), obtenemos una expresión para las coordenadas del centro de masa de una placa plana:

Un cálculo típico contiene dos tareas. En cada problema, se da una placa plana D, delimitado por las líneas especificadas en la condición del problema. GRAMO(x, y) es la densidad superficial de la placa D. Para esta placa encuentre: 1. S- cuadrado; 2. metro- masa; 3. METRO y , m X– momentos estáticos sobre los ejes Oye y Vaya respectivamente; 4. , son las coordenadas del centro de masa.

3.3 Cómo realizar un cálculo típico

Al resolver cada problema, debes: 1. Hacer un dibujo de un área determinada. Seleccione el sistema de coordenadas en el que se calcularán las integrales dobles. 2. Registre el área como un sistema de desigualdades en el sistema de coordenadas seleccionado. 3. Calcular área S y masa metro placas de acuerdo con las fórmulas (1) y (2). 4. Calcula momentos estáticos METRO y , m X según las fórmulas (3) y (4). 5. Calcular las coordenadas del centro de masa, según fórmulas (6). Coloque el centro de masa en el dibujo. En este caso, existe un control visual (cualitativo) de los resultados obtenidos. Las respuestas numéricas deben recibirse con tres cifras significativas.

3.4 Ejemplos de cálculo de muestra

Tarea 1. lámina D limitado por líneas: y = 4 – X 2 ; X = 0; y = 0 (X ≥ 0; y≥ 0) Densidad de área γ 0 = 3. Decisión. El área especificada en el problema está limitada por una parábola. y = 4 – X 2, ejes de coordenadas y mentiras en el primer cuarto (Fig. 1). Resolveremos el problema en el sistema de coordenadas cartesianas. Esta área se puede describir mediante un sistema de desigualdades:

Arroz. uno

Cuadrado S placa es igual a (1): Como la placa es homogénea, su masa metro = γ 0 S= 3 = 16. Usando las fórmulas (3), (4), encontramos los momentos estáticos de la placa: Las coordenadas del centro de masa se encuentran mediante la fórmula (6): Responder: S ≈ 5,33; metro = 16; METRO X = 25,6; METRO y = 12; = 0,75; = 1,6.

Tarea 2. lámina D limitado por líneas: X 2 + en 2 = 4; X = 0, en = X (X ≥ 0, en≥ 0). Densidad superficial γ (x, y) = en. Decisión. La placa está delimitada por un círculo y líneas rectas que pasan por el origen (Fig. 2). Por tanto, para resolver el problema, es conveniente utilizar el sistema de coordenadas polares. ángulo polar φ varía de π/4 a π/2. Un haz extraído del poste a través de la placa "entra" en ρ = 0 y "sale" del círculo, cuya ecuación es: X 2 + en 2 = 4 <=>p = 2.

Arroz. 2

Por lo tanto, el área dada se puede escribir como un sistema de desigualdades: El área de la placa se encuentra por la fórmula (1): Encontramos la masa de la placa por la fórmula (2), sustituyendo γ (x, y) = y = ρ pecado φ :
Para calcular los momentos estáticos de la placa, usamos las fórmulas (3) y (4):
Obtenemos las coordenadas del centro de masa usando las fórmulas (6): Responder: S ≈ 1,57; metro ≈ 1,886; METRO X = 2,57; METRO y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Informes

El informe debe contener todos los cálculos realizados, dibujos cuidadosamente ejecutados. Las respuestas numéricas deben recibirse con tres cifras significativas.

Demos un ejemplo de cómo determinar el centro de masa de un cuerpo dividiéndolo en cuerpos separados, cuyos centros de masa son conocidos.

Ejemplo 1. Determine las coordenadas del centro de masa de una placa homogénea (Fig. 9). Las dimensiones se dan en milímetros en la Figura 9.

Decisión: Muestre los ejes de coordenadas y . Dividimos el plato en partes, que están formadas por tres rectángulos. Para cada rectángulo, dibujamos diagonales, cuyos puntos de intersección determinan las posiciones de los centros de masa de cada rectángulo. En el sistema de coordenadas aceptado, es fácil encontrar los valores de las coordenadas de estos puntos. A saber:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Las áreas de cada cuerpo son respectivamente iguales a:

; ; .

El área de toda la placa es:

Para determinar las coordenadas del centro de masa de una placa dada, usamos las expresiones (21). Sustituyendo los valores de todas las cantidades conocidas en esta ecuación, obtenemos

De acuerdo con los valores obtenidos de las coordenadas del centro de masa de la placa, indicamos el punto C en la figura. Como puede ver, el centro de masa (punto geométrico) de la placa está fuera de ella.

método de adición. Este método es un caso parcial del método de separación. Se puede aplicar a cuerpos que tienen muescas (vacíos). Además, sin la parte recortada, se conoce la posición del centro de masa del cuerpo. Considere, por ejemplo, la aplicación de tal método.

Ejemplo 2 Determine la posición del centro de masa del peso de una placa redonda con radio R, en la que hay un recorte con radio r (Fig. 10). Distancia .

Decisión: Como puede ver, en la Fig. 10, el centro de masa de la placa se encuentra en el eje de simetría de la placa, es decir, en la línea recta, ya que esta línea es el eje de simetría. Por lo tanto, para determinar la posición del centro de masa de esta placa, es necesario determinar solo una coordenada, ya que la segunda coordenada se ubicará en el eje de simetría y equilibrará los cero. Mostremos los ejes de coordenadas , . Supongamos que la placa está formada por dos cuerpos: un círculo completo (como si no tuviera un recorte) y un cuerpo que parece estar hecho con un recorte. En el sistema de coordenadas adoptado, las coordenadas de los cuerpos indicados serán: .Las áreas de los cuerpos son: ; . El área total de todo el cuerpo será igual a la diferencia entre las áreas del primer y segundo cuerpo, a saber